Исследование разрешимости многопараметрических обратных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Обратные краевые задачи в односвязных областях

§1. Решение задачи с тремя участками по параметрам (ж, у, в) и (у, х,в)

§2. Случай 3п участков.

§3. Решение задачи по параметрам (ж, у, %) и \у->хчХ) с тремя участками

§4. Симметричные решения обратных краевых задач и условия их однолистности

Глава 2. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта в многосвязной области и ее приложения

§5. Случаи двусвязных и трехсвязных областей.

§6. Обратные краевые задачи в двусвязных областях.

§7. Краевая задача Гильберта с разрывными коэффициентами.

§8. Обратная краевая задача по параметрам х,у,0) в многосвязной области

В диссертации изучаются многопараметрические обратные краевые задачи (ОКЗ) для аналитических функций в конечносвязных областях.

Толчком к возникновению теории ОКЗ послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами [38], [39], [54]. В настоящее время ОКЗ в результате более чем полувекового развития образуют интересный и обширный раздел теории аналитических функций, который был создан преимущественно трудами казанских математиков и механиков (обзор [15]). Исторически сложилось так, что первые ОКЗ, имевшие приложения в механике, ставились Г.Г. Тумашевым и его учеником М.Т. Нужиным по дуговому параметру й [54]. В односвязном случае задача состоит в отыскании области Иг на сфере Римана С и аналитической в Вг функции по ее граничным значениям в) = «(в) + и;(в), 0 < 5 < I, (0.1) где й - дуговая абсцисса неизвестного спрямляемого граничного контура Ьг области Цг и I - его длина. В зависимости от того, принадлежит бесконечно удаленная точка области Дг или нет, ОКЗ делятся на внешние и внутренние. Во внешних задачах существенным оказалось то, задано или нет положение точки гУо, являющейся образом в плоскости ги бесконечно удаленной точки. ОКЗ с заданной величиной ги0 впервые рассмотрел М.Т.Нужин [39], и с тех пор они называются задачами в постановке М.Т.Нужина. Внешняя ОКЗ в случае, когда ги0 заранее не задается, рассмотрена Ф.Д.Гаховым [23]. Им же была доказана разрешимость уравнения, из которого определяется ги0 и которое впоследствии стали называть уравнением Гахова.

В связи с требованием физической реализуемости построенных объектов в механике большую роль в теории ОКЗ играют достаточные условия однолистности решений. В этом направлении получено большое количество результатов, которые отражены в обзорах [10], [11].

С последующим развитием теории и появлением новых прикладных задач возникла необходимость в рассмотрении ОКЗ по параметрам, отличным от s. Из таких задач можно выделить задачу об определении крылового профиля по заданной хордовой диаграмме [25, гл. 8], [55, §17]. При этом распределение скорости выражается функциями от абсцисс х точек на профиле. ОКЗ по параметру х возникает и при построении плотины по заданной эпюре напора на ее контуре [29]. В качестве другого примера, когда граничные условия задаются как функции от г = \z\, можно привести задачу об определении формы поперечного сечения стержня по заданным на контуре продольным смещениям [39]. Все это породило интерес к изучению ОКЗ по различным параметрам из набора х = Rez, у = Imz, г = \z\, в = argz, х — arg dz, (0.2) что отмечено в работах [36], [55]. В этом направлении имеется большое число работ [7]-[9], [43], [44]. Следующим шагом стало изучение многопараметрических ОКЗ в многосвязных областях, когда на некоторых контурах граничные условия (0.1) заданы от одного параметра, а на оставшихся - от другого параметра из набора (0.2). Более общим случаем является постановка ОКЗ, когда значения аналитической функции на различных участках границы искомой области заданы как функции различных параметров. При этом были выявлены "родственные" пары таких параметров: (х,у), (г, 9), (s,x), решение ОКЗ по которым сводится к известной в теории краевых задач смешанной задаче о нахождении аналитической в известной области D функции F(z) по краевым условиям

ReF(i) = fi(t), t е Lu lmF(t) = f2(t), t e L2, где Li U L2 = dD. Подобные задачи исследованы в работах [48, §9], [31], [32], где указаны условия их разрешимости. При этом плодотворным оказалось введение произвольных постоянных в постановку ОКЗ, впервые предложенное Р.Б.Салимовым [48, §9]. Для внешней ОКЗ по параметру s в многосвязной области этот способ был применен JI.H. Журбенко [26], а по параметрам (s,9) - М.И. Киндером [31] и A.B. Киселевым [32].

Более сложной проблемой оказалось дальнейшее увеличение числа параметров. Исследование таких ОКЗ приводило к нелинейным краевым задачам, метода точного решения которых не существовало. В данной диссертации удалось выделить наборы трех параметров, например, (х, ?/, 0), ОКЗ по которым сводились к краевой задаче Гильберта в известной области из плоскости IV или из плоскости вспомогательного переменного Хорошо развитый аппарат решения этой задачи [20], [21], [27], [37] позволил дать достаточно полное исследование таких ОКЗ. При этом к процессу решения краевой задачи Гильберта в многосвязной области был применен новый подход, который позволил сделать этот процесс более наглядным и связать его с построением отображений на некоторые канонические области.

Актуальность диссертации заключается в необходимости изучения многопараметрических ОКЗ, которые берут свое начало от прикладных задач механики сплошных сред. Целью данной работы является построение решений и исследование картины разрешимости таких ОКЗ, которые сводятся к классу хорошо изученных краевых задач Гильберта.

Кратко изложим основные результаты работы.

Диссертация состоит из двух глав, разделенных на восемь параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.

Для сокращения записи договоримся о следующем. Краевую задачу Гильберта (Шварца) о нахождении аналитической и однозначной в некоторой конечносвязной области И функции непрерывно продолжи-мой на границу Ь = сШ, по краевому условию будем называть задачей (0.3) (задачей (0.4)) или задачей Гильберта (0.3) (задачей Шварца (0.4)).

Первая глава посвящена исследованию трехпараметрических задач в односвязной области, а также построению симметричных решений ОКЗ по параметрам х и (ж, у).

В §1 изучается внутренняя ОКЗ в следующей постановке. Требуется определить конечную односвязную область Бг и аналитическую в этой области функцию яи^), непрерывно продолжимую на границу Ь2, если Ьг = Ь\ и Ь2г и Ь\ и известны граничные значения функции

Функции срк и трк, к = 1,2,3, предполагаются однозначными гель-деровыми функциями своих аргументов. Правые части равенств (1.1) являются параметрическими уравнениями кривой Ляпунова которая ограничивает конечную односвязную область Д^.

Ие [(а(£) + гЪ(Ь)) = ф), £ е Ь, (11е^(£) = с(£), Ь Е Ь)

0.3) (0.4) г) |*6£1= <р\{т) + гф^т), 0 < г < гф) \геь1= + 0 <а <12]

М I«€!*= + гфз(0), 0<а11Г<в<а2п< тг/2.

0.5)

Если г = ж, а = у, то, после отображения Dw на единичный круг D<¿ в плоскости вспомогательного переменного ( и установления зависимостей 2(7)5 У(т) и 0(7) на ДУгах и соответственно, для определения аналитической в Z>£ функции z((), непрерывно продолжимой на единичную окружность, получена следующая краевая задача

Rez(eiy) = х(-у), е* Е Ll,

Imz(e^) = 2/(7), е* Е Д (0.6) arg*(e*) = 0(7), e^eLj.

Функцию z(£) в дальнейшем понимаем как решение исходной ОКЗ. Так как arg^(ei7) = 0(7) Re^-^zie*)] = 0, то (0.6) представляет собой краевую задачу Гильберта с разрывными коэффициентами. Ее индекс в классе функций, ограниченных в точках: стыка дуг L*, оказывается равным —2. Решение этой задачи существует при выполнении одного условия разрешимости

7г зтг/2

-h I ®(7)ехр[-Г0(е*)]<*7 + *2 / Ш™Р [-Г0(е*)] d7 = 0, (0.7) тг/2 * где ¿(7) = íc(7)/Zi, #(7) = y^D/h- Из этого условия при заданной величине ¿2 > 0 постоянная 1\ > 0 определяется однозначно. Функция z(£) определяется по формуле

C) = exp (О,) о ъ

Функции Го(егу) и Г(С), входящие в формулы (0.7), (0.8), определяются по начальным данным (подробный вид этих функций находится на с. 20).

Если же г = у, сг = ж, то 2(С) определяется как решение краевой задачи (0.5), в которой первые два условия нужно поменять местами. Индекс этой задачи Гильберта оказывается равным —1, поэтому она является безусловно разрешимой и ее решение выражается по формуле + (0,)

Далее в диссертации приведен примерный вид искомой области как в случае набора (?/,ж,0), так и в случае набора (ж,?/,0). Затем с топологической точки зрения пояснено различие между этими двумя случаями.

После этого доказана единственность и однолистность полученного решения исходной ОКЗ по обоим наборам параметров.

В качестве вывода получена

Теорема 1.1. Внутренняя ОКЗ (0.5) в случае набора (у,х,в) безусловно разрешима, и ее решение определяется по формуле (0.8), а в случае набора (х,у, 9) ее решение определяется формулой (0.9) при выполнении одного условия разрешимости (0.7). В обоих случаях однолистное решение единственно.

Внешняя ОКЗ в постановке Нужина заключается в нахождении области Дг, содержащей бесконечно удаленную точку, и функции ги(;г), аналитической в этой области и непрерывно продолжимой на ее границу, если ее граничные значения определяются по формулам (0.5), а положение точки гУо = •ш(оо) задается заранее. Коротко эта задача названа внешней ОКЗ (0.5).

После перехода к вспомогательной плоскости при котором точке ■ш0 соответствует точка ( = 0, искомая функция найдена в виде го (С) = Ф(£) + С/С, где Ф(£) - новая неизвестная аналитическая в В^ функция, С — выч^о^о (С) ~ неопределенная комплексная постоянная. Итоговый результат для внешней ОКЗ представляет

Теорема 1.2. Решение внешней ОКЗ (0.5) по параметрам (у,х,0) и (х,у,в) дается формулой ^о(С) = Ф(С) + С/С; Ф(С) определяется по формулам (0.8) и (0.9) соответственно. Эти решения являются единственными, если величина С = бы^=о^о(С) фиксирована.

В §2 задача по параметрам (х,у,$) обобщается на случай, когда граница искомой области Цг разбита на 3п участков. Для этого вначале рассматривается задача по параметрам (ж, у) в следующей постановке [48, §9]. Пусть Ах, Ап, Вп - точки границы Ьг искомой области

Дг, следующие друг за другом в положительном направлении и пусть начало координат принадлежит Ьг. Будем считать, что эти точки заданы декартовыми координатами: Ак{тк + ек,рк), Вк(пк + ек,дк), где ™>к < пк1 Рк < Як - заданные величины, а величины ек отыскиваются в процессе решения. Во внутренней задаче требуется отыскать конечную область Дг и аналитическую в Д., непрерывную в Д2 функцию и)(г), если известны ее граничные значения у>(г)\х€Аквк = ¡к(х*), тк + ек < х* < пк + ек, ^(г)\геВкАк+1 = дк(у), рк<у <Як, к = 1,п, Ап+1 = Ап.

Функции /к(х*) и дк(у) считаются удовлетворяющими условию Гельде-ра, а х* - переменная, связанная с абсциссой х точки Ьг на дугах АкВк равенством х* = х + ек.

После перехода к прямой задаче в верхней полуплоскости искомая функция определится по формуле Синьорини [63]

О = <»(оо) + ^

7гг

Это решение с дополнительным условием 11е;г:(оо) = 0 существует при выполнении п условий разрешимости

0.10) являющихся системой п линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных еДоказана однозначная разрешимость этой системы. Тем самым наличие произвольных постоянных в исходной постановке позволяет сделать исходную ОКЗ безусловно разрешимой.

Та же идея используется при решении внутренней ОКЗ по параметрам (х,у,в) в следующей постановке. Требуется определить конечную область Дг с границей Ьх = и^Ь^ и аналитическую в непрерывную в Дг функцию ии(г), если

У)(г)\ж€ь1к+1 - /зан-1(я*)> ™>к + ек < X* < щ + еь

Ш(г)\геь*к+2 = Ьк+2(у), 0 <у< Як, /зан-з(0), ак1Г<в< рь тг, к = 0, п - 1.

Здесь Як > 0 и 0 < пк < га*. - фиксированные, а е*. - пока неопределенные константы. Величины 0 < ак < (Зк < 1 также заранее не задаются. Переменная х* на Ц,к+1 связана с х = Иег соотношением х* = х + Все функции /7 предполагаются гельдеровыми функциями своих аргументов, которые определяют в плоскости т границу ЬУ] конечной односвязной области Дд, являющейся кривой Ляпунова.

Так как в постановке указанной выше задачи участвуют неопределенные константы ек, то отмечены интервалы изменения функции #(7) в зависимости от е*.:

0(7з*+з) = 0, в(ък+4) < | при тш + еш > 0,

0(Ък+з) = тг, б,(7зь+4) = | при тк+1 + ек+1 = 0,

0(7зь+з) > 0(Ък+4) = тг при тк+1 + ек+1 <0, к = 0,п - 1, где дуга является прообразом участка Ь\ при отображении функцией 5 = 1,3п. Сама функция ¿(С) определяется единственным образом ък п 5 к-1ак

Щ) ( к=1 Ьк у{оо)

Щ) «- с при выполнении п условий разрешимости (в число которых входит и условие Ке^(в^) = 0), где е* Е = г'1 [Ь3гко+2] при некотором 0 < к0 < п — 1), из которых все постоянные е*. определяются единственным образом.

В односвязном случае наличие решения ОКЗ по параметрам (ж, у, в) и (у,х,6) позволяет решить ОКЗ по параметрам (х,у,х) и {у,х,Х)-, где X = а^ ¿г. Исследованию таких задач посвящен §3.

Требуется определить конечную односвязную область Иг с границей Ьг = Ь\ и Ь2Я и и аналитическую в этой области функцию непрерывно продолжимую на границу, если геы= Мт) + (т) = Мт), р<т<д; *»(*) 1*ел» = ^гН + гф2{(?) = /2(<т), г < а < в; (0.11) и>(г) |,€£з= <р3(х) + гфз(х) = /з(х), оцж < х < а2тг.

Здесь р, д, г, в, 0 < а.\ < < 1/2 - заданные величины, дуга Ь\ не содержит прямолинейных участков, и на ней угол наклона касательной %(£) является монотонной функцией. Предполагается, что функции /1 (г), /2(сг) и /з(х) являются однозначными гельдеровыми функциями своих аргументов и определяют в плоскости переменного ад границу Ьу, конечной односвязной области Дд, являющейся кривой Ляпунова. Далее в тексте эта задача коротко названа внутренней ОКЗ (0.11).

Для определения аналитической в круге функции 2:(С) получена краевая задача

Ие [ге^'(е^)] = г'(7), ег> £ Ь\,

1ш [ге^'(е^)] = </'(7), е* в Щ, (0.12) аг§ ¿(е*) = хЬ) ~ тг/2 - 7, & € 4

Индекс задачи Гильберта (0.12) равен —1, и ее решение записывается в виде

2тт ■ о ъ

Искомая функция определяется по формуле С

0 = I ¿МА+ *(()), (0.14) о и доказана единственность этого решения.

При г = ?/, и — х

С) = ехр Г (С) с, (7)^737^7 + , (0.15) где вещественная константа Во является произвольной. За счет этого решение г(£), определяемое по формуле (0.14), является неединственным. Итогом §3 служит

Теорема 3.1. В случае набора {х,у,х) внутренняя ОКЗ (0.11) имеет единственное однолистное решение, которое определяется по формулам (0.13), (0.14)- В качестве решения ОКЗ (3.1) по параметрам (у, ж,%) получается семейство однолистных функций, производные которых выражаются по формуле (0.15) и зависят от произвольной вещественной постоянной.

В случае внешней ОКЗ по тем же параметрам, как и в §1, решение ,г(£) ищем в виде -г(С) = Ф(£) + причем в случае набора (х,у,х) оно единственно, а в случае набора (у,х,х) зависит от одной произвольной вещественной постоянной, если фиксировать величину С = выч£=о2:(£).

§4 является продолжением работы [14], в которой рассматривались симметричные решения ОКЗ по параметру в. Вместо в в данном параграфе были взяты параметры х и (х,у). Вначале рассмотрена ОКЗ в следующей постановке. Требуется определить конечную односвязную область .Ог с жордановой границей Ьг и функцию гу(^), аналитическую в этой области и непрерывно продолжимую на Ьг, если

Функция /(х) представляет собой двузначную гельдерову функцию, заданную на отрезке [0,/]. Однозначные ветви этой функции на верхней и нижней сторонах отрезка [0,/] обозначим через $\(х) и /2(х) соответственно. Справедлива

Теорема 4.1. Решением ОКЗ с начальными данными (0.16) будет зеркально симметричная функция и)(г) в зеркально симметричной области Дг тогда и только тогда, когда зеркальной симметрией обладает граничная функция /(х); т.е.

Добавление к х параметра у позволяет рассматривать области, симметричные и относительно мнимой оси. Сочетание же симметрии относительно вещественной и мнимой осей естественным образом приводит /(®) = ¥>0*0 + 0 < х <1.

0.16)

ЛМ = /2 (ж). к двоякосимметричным областям. Внутренняя ОКЗ состоит в определении конечной односвязной области с границей Ьг = Ь\ и Ь2г и и Ь\ и аналитической в этой области функции непрерывно продолжимой на границу, если

2)\*еьь = fk{x), ~Р<х<р, Л = 1,3, , , Л(У), -Ч < У < <?, I = 2,4. ^^

Предполагается, что величины > 0 известны, а функции /¿(ж) и /¿(у) определяют в плоскости т границу конечной односвязной области Бу,. Для получения в качестве решения двоякосимметричной области Ог интервалы изменения параметров х и у взяты симметричными относительно начала координат. Имеет место

Теорема 4.5. Решением ОКЗ с начальными условиями (0.17) будет двояко симметричная функция в двоякосимметричной области тогда и только тогда, когда выполнены условия

ЛМ = 7зМ; Ш = ТХ^у), I = 2,4, выражающие симметрию границы Ьш относительно вещественной оси, и условия

2{у) = - Д(2/); /*(®) = -/*(-з), к = 1,3, выражающие симметрию Ьу, относительно мнимой оси.

Во второй главе излагается новый метод решения краевой задачи Гильберта в многосвязной области как с непрерывными, так и с разрывными коэффициентами, основанный на построении решения однородной задачи. Подробно изучен случай двусвязной области, так как, во-первых, он допускает полное исследование, во-вторых, решение задачи может быть выписано в явном виде с помощью формулы Билля [17, с.235]. Затем исследуется картина разрешимости краевой задачи Гильберта в (т+1)-связной области (т > 1) в самой общей постановке, когда коэффициенты имеют конечное число точек разрыва на каждом граничном контуре. В качестве приложения полученных результатов решена ОКЗ по параметрам (х,у, в).

В начале §5 излагаются известные факты о решении краевой задачи Гильберта с непрерывными коэффициентами

Яе [(а(£) + гЬ(¿)) = ф), * е Ь, (0.18) в произвольной (т + 1)-связной области с помощью метода регуляризую-щего множителя [21,§37]. Затем условие (0.18) записано в равносильном виде

Re [e~^F(t)] = t 6 L, (0.19) где G{t) = a(t) — ib(t), v(t) = argG(i), и дано такое

Определение. Положительную на L функцию p{t), после умножения на которую краевая задача Гильберта (0.19) сводится к задаче Шварца

Re$(i) = t € L, (0.20) будем называть R-множителем задачи (0.19). В этом же параграфе доказана

Лемма 5.1. Функция Fo(t), не обращающаяся в нуль на L, является решением задачи

Re [е-™®F0{t)] = 0 (0.21) тогда и только тогда, когда l/|F0(i)| есть R-множителъ задачи (0.19).

С помощью этой леммы указанная задача решается в кольце и трех-связной области, обладающей зеркальной симметрией.

В §6 рассмотрены внутренние и внешние ОКЗ в двусвязной области по параметрам (х,у) и (#, 0). Внутренняя задача и в том и в другом случае разрешима единственным образом. Внешняя ОКЗ по тем же параметрам имеет единственное решение, если фиксировать две вещественные постоянные, входящие в состав искомой функции

§7 посвящен исследованию краевой задачи Гильберта в следующей постановке.

Пусть D является (т+1)-связной областью, ограниченной замкнутыми простыми непересекающимися кривыми Ляпунова L0, . , LTO, из которых L0 охватывает остальные. Требуется определить аналитическую и однозначную в области D функцию F(z), непрерывно продолжимую на границу L = по краевому условию

Re [(a(i) + ib(t))F(t)] = c(t), t € L, (0.22) причем функции a(t), b(t) и c(t) имеют на Lj разрывы первого рода в конечном числе точек tjkj, kj = 1 }pj, j = 0, m и удовлетворяют условию Гельдера на каждой из замкнутых дуг, соединяющих две соседние точки разрыва. Вблизи точек tjkj искомая функция F(z) удовлетворяет условию

F{z)\ < Cjkj\z - 0 < < 1.

При a2(t) + b2(t) ф 0 всюду на L краевое условие (0.22) записано в таком виде

Re [e-^W] = (0-23) где v(t) = arg G(t) = arg(a(i) — ib(t)) - ветвь, непрерывная на каждой из ДУГ tjkj tjkj+1 контура Lj. В зависимости от поведения F(z) в окрестности точек tjkj вводится индекс задачи (0.23), отвечающий данному классу решений. Затем с помощью функций <j>o(z), . , фт(г), отображающих D на единичный круг с концентрическими разрезами, которые переводят фиксированную точку zq 6 D в начало координат и удовлетворяют условию и ГЛ1 - / 1 с е £fc при к = j, 1Ш)1~~\дъ<1 с при к Ф j, от задачи (0.23) с непрерывным коэффициентом v{t) переходим к задаче

Re [в*Юф(*)] - c(t) (0.24) с кусочно постоянным коэффициентом

Функция Ф(;г) имеет га* простых нулей на L, но не более чем по одному на каждом контуре Lj и ведет себя в окрестности точки z0 как (z — z0)N+k, где N = ге/2 +т*/2 = £JL0 Nj, к ф 0 - целые числа одного знака. Для однородной задачи (0.24) при c(t) = 0 ее решение Фо(г) существует в классе m-листных функций и при условии Фо(£) Ф 0 на L отображает область D на m-листную риманову поверхность, граница которой состоит из т конечных прямолинейных разрезов наклона ж/2 — /¿¿(mod27r) к вещественной оси. Тогда функция [¿ег,^Фо(£)] является Я-множителем задачи Гильберта (0.24), после умножения на который приходим к задаче Шварца для функции Ф(г)/{Фо(г) ке!§=4 6

При N > 0

ФМ ITf \ , ^ "к а при N < О где Н(г) - аналитическая и однозначная в области В функция. Для ее определения получаем задачу Шварца

КеН(ь) = с2(г), г е ь, причем должны выполняться условия однозначности ^^Г^ = 0>з= ^ (°-25) где является гармонической мерой контура относительно области В. После определения Н(г) искомая функция при N > 0 выражается по формуле ю=«»м {ям+± ^+£ ^+* > х

При N < О т Рз т хе*« П П (« - Ч)^/ П Ш- (0-26)

3=0ку=0 ¿=0

Р(г) = гФ0(г) \н(г) + £ + ¿7о) х т Р] —Ь}к ■ т хе*<*> П П (г - П (0-27) j=0 к]-0 з-о где \ — / Фз(г)~**'> если на нет нулей Ф(;г), 1] > если на А? есть нули Ф(г).

Основным результатом §7 является

Теорема 7.1. Решение краевой задачи Гильберта (0.22) при (эе + т*)/2 > т зависит от ае — т + 1 произвольных постоянных. Если 0 < (аз + 7п*)/2 < т и г - ранг системы (0.25) относительно неизвестных Ше^к, 1п1 ^к, Не^, ¡гш/*., то при ае — г + 1 > 0 омо зависит от ге — г + 1 действительных постоянных, а при ае — г + 1 < 0 определяется однозначно лишь при выполнении г — эе — 1 условий разрешимости. Если же ае + т* <0, то единственное решение задачи (0.22) существует при выполнении т — ае — 1 условий разрешимости. В первых двух случаях функция определяется по формуле (0.26), в последнем - по формуле (0.27).

В §8 рассмотрен самый общий случай ОКЗ по параметрам (х,у,в) в (т + 1)-связной области. Приведем точную постановку внутренней задачи. Она заключается в нахождении конечной (т + 1)-связной области с границей Ьг, состоящей из т+1 замкнутых кривых . , Ь™, причем контур охватывает остальные и Ь\ = иа также аналитической в Дг и непрерывно продолжимой на границу функции из (г), если ии(г) \геЬ1зР+1= ¡¿Зр+1(х*), + < х* < + е,р;

Ц^3р+2= Л"Зр+2(у), 0 < у < т М I геь{зр+3= Л'Зр+з ОТ, а)р-к <9 < а)р1Т, р = 0, п - 1,; = 0, т.

0.28)

Гельдеровы функции fjs определяют в плоскости т границу Ьу, = конечной (га + 1)-связной области причем Ь^ охватывает остальные, и все Ц, являются кривыми Ляпунова. Поставленную задачу назывем внутренней ОКЗ (0.28). Из сопоставления граничных значений в плоскостях г ж и) определяем функции ж*(£), у(Ь) и 0{Ь) на участках Ц%р+2 и соответственно. Если выполнены условия согласованности для функции 0(£), то для определения функции г(ги), аналитической и однозначной в Дя и непрерывно продолжимой на границу, получаем краевую задачу Гильберта

Яе [е-^Ц*)] = с(*),

0.29) где

27Г kjp, е тг/2 + 2тгI е Ь£р+2 дЬ) - тг/2 + 2тгг,р, I £ Ь^

Ф) = { У(*), t е о, I е

Из результатов §7 следует, что индекс этой задачи равен — (т + 1 )п, и после сведения задачи (0.29) к задаче Гильберта с кусочно постоянным коэффициентом придем к нахождению функции

Ф(ги) гФо(ги) я М + £

Рк к=1 *7о с регулярной частью H(w), полюсами в нулях W\, . , wm функции Фо(ги) и нулями в полюсах di, . , dm этой же функции. Для определения H{w) получена задача Шварца

ReH(t) = c4(i), t е Lw.

Обозначим через (p(t) функцию v{t) — /3(i)7r, где (3(t) = (3js на каждой дуге причем

-7г < -wja = <p(tj3 + 0) - ip(tjs - 0) < 0.

Пусть wq - точка области Dw, являющаяся прообразом нуля при отображениях </>o(w), ••• ? Фт{w), определенных в §7, a c{t) = Re [—г1пЯ0(£)], где

HQ{w) = Ф0(ги)

Il?=i(w ~ dj)

Затем определена аналитическая и однозначная в О у, функция по краевому условию задачи Шварца m

Rep(t) = <p(t) + £ arg^-(i) + h(t), j=0 где h(t) определяется так же, как и в §7, а \ I ФЛЮ)* ПРИ четном пч

ФА™) ~ 1] ПРИ нечетном п.

Пусть ро(ги) - аналитическая и однозначная компонента функции р{и;), непрерывно продолжимая вплоть до границы С учетом вышесказанного все условия разрешимости задачи (0.29) имеют вид о, ь т .

НЫ + Е + *7Ь = 0,

ТП |

ЯМН + ЕНГ^^и = 0, Р = !,(" + !)(»-1)/2-1, (0.30) т

1 аз гик lmH(tjQ) + Im £ , + 7o = 0, j = W fc=1 ijo ~ wk

При их выполнении искомая функция определена в виде

W) = г~-гтш /Ч пт , ч-еХР (* +PüM ) X

П,=0 V'j(^) - dj) x и

W-Wk

0.31)

Рассмотрением разности двух функций Z\{w) и отвечающих двум различным решениям Wi(z) и w2(z) внутренней ОКЗ (0.28), доказана единственность решения этой задачи и выявлена картина ее разрешимости. А именно, справедлива

Теорема 8.1. Решение внутренней ОКЗ (0.28) единственно и определяется формулой (0.31) при выполнении т — [г — (т + 1)п] условий разрешимости, где г - ранг системы (0.30).

Затем на основании доказанной теоремы построено решение внешней ОКЗ по тем же параметрам.

Выделим основные результаты работы:

1) дано полное исследование ОКЗ по параметрам (х,у,р) и (у,х,р) в односвязной области, где р = arg z, р = arg dz, и показана зависимость картины разрешимости этих задач от порядка следования параметров;

2) получены необходимые и достаточные условия на начальные данные, при которых решения обратных краевых задач по параметру х обладают зеркальной симметрией, а по параметрам (х, у) являются двоя-косимметричными;

3) предложен алгоритм решения краевой задачи Гильберта в многосвязной области с разрывными коэффициентами;

4) решена ОКЗ в многосвязной области в случае, когда на каждом граничном контуре имеется 3п чередующихся участков, на которых значения искомой функции зависят последовательно от х, у и arg z.

Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[6]. В статье [4] научному руководителю принадлежат постановки задач, исследование которых проведено автором. В работе [5], написанной совместно с С.Г.Амирхановой, автору принадлежат формулировки и доказательства теорем 4.1 и 4.5. На основе нового метода решения краевой задачи Гильберта, изложенного в статье [6], автором введено определение R-множителя этой задачи, а сама задача решена с помощью функций, осуществляющих отображение на некоторые канонические области.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по геометрической теории функций (руководитель - Л.А.Аксентьев), итоговых научных конференциях в Казанском университете (1996-1999 гг.), на II и III Республиканских научных конференциях молодых ученых и специалистов (1996, 1997 гг.), на школе-конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева (июнь 1997 г., Казань), и на молодежной школе-конференции по теории функций (сентябрь 1998 г., Казань).

Автор выражает глубокую признательность за постоянную помощь и внимание к работе своему научному руководителю Аксентьеву Леониду Александровичу и научному консультанту Салимову Расиху Бахтига-реевичу за ценные предложения, способствовавшие улучшению работы. Автор также благодарит участников семинара по геометрической теории функций за полезные замечания.

1. Абубакиров Н.Р. Многопараметрические обратные краевые задачи в конечносвязных областях / Материалы конференции, посвящ. 100-летию со дня рожд. Б.М. Гагаева. - Казань, 1997. - С. 5-6.

2. Абубакиров Н.Р. Трехпараметрическая обратная краевая задача в конечносвязных областях / Казан.ун-т. Казань,1997. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.07.97, N 2508-В97. РЖМат, 1998, 12Б-131 Деп.

3. Абубакиров Н.Р. Трехпараметрические обратные краевые задачи в многосвязных областях // Труды математич. центра им. Лобачевского. Казань, 1999. - С. 215-216.

4. Абубакиров Н.Р., Аксентьев Л.А. Трехпараметрическая обратная краевая задача для односвязной области / Казан.ун-т.- Казань,1996 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.96, N 2368-В96. РЖМат, 1996, 12Б-131 Деп.

5. Абубакиров Н.Р., Амирханова С.Г. Симметричные решения обратных краевых задач для односвязных областей / Казан.ун-т.- Казань, 1998.- 14 с. Деп. в ВИНИТИ 09.07.98, N 2182-В98. РЖМат, 1999, 1Б-122 Деп.

6. Абубакиров Н.Р., Салимое Р.Б. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта для аналитической функции в многосвязной области / Казан.ун-т.- Казань, 1999.- 15 с. Деп. в ВИНИТИ 28.05.99, N 1703-В99.

7. Авхадиев Р.Г. Некоторые обратные краевые задачи теории аналитических функций с особыми точками на границах. Дисс. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1978. - 129 с.

8. Авхадиев Р.Г., Журбенко JI.H. Некоторое обобщение обратной краевой задачи по ж и устойчивость ее решения // Труды семин. по краев, задачам. Казань: Казан, ун-т, 1977. - Вып.14. - С.5-19.

9. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. - 215 с.

10. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев JI.A. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. -1975. -Т.ЗО. Вып.4. - С. 4-60.

11. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

12. Аксентьев Л.А. Применение принципа аргумента к исследованию условий однолистности, I // Изв. вузов. Математика. 1968. - N 12. - С. 3-8.

13. Аксентъев Л. А. Применение принципа аргумента к исследованию условий однолистности, II // Изв. вузов. Математика. 1969. - N 3. - С. 3-15.

14. Аксентъев Л.А. Симметричные решения обратных краевых задач // Труды семин. по краев, задачам. Казань, 1974. - Вып.14. - С. 20-27.

15. Аксентъев Л.А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимое Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных краевых задач и ее приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 18.- С. 69-126.

16. Аксентъев Л.А., Зорин И.А. Классы многолистных аналитических функций, решающих задачу Гильберта // Труды семин. по краев, задачам. Казань, 1992. - Вып.27. - С. 22-37.

17. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. 2-е изд.- М.: Гостехиздат, 1970. 304 с.

18. Банцури Р.Д. О задаче Римана-Гильберта для двусвязных областей // Сообщения АН Груз. ССР. 1975. - N3. - С. 549-552.

19. Боярский Б.В. Об особом случае задачи Римана-Гильберта // ДАН СССР. 1958. - Т. 119. - N 3. - С. 411-414.

20. Веку а И.Н. Обобщенные аналитические функции. 2-е изд. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

21. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд. - М.:Наука, 1977. - 640 с.

22. Гахов Ф.Д., Хасабов Э.Г. О краевой задаче Гильберта для многосвязной области // Изв. вузов. Математика. 1958. - Т.2. - N 1. - С. 12-21.

23. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Учен, записки Казан, ун-та. Казань, 1953. - Т.113. - N10. - С. 9-20.

24. Г о лузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.:Наука, 1966. - 628 с.

25. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.гНаука, 1994. - 440 с.

26. Журбенко Л.Н. Об устойчивости решения обратной краевой задачи с параметром я в случае многосвязной области //Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Казан ун-т, 1980. - Вып. 17. - С. 74-84.

27. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971 - Т. XXVI. - Вып. 1. - С. 113-139.

28. Зиновьев П.М., Майер Ф.Ф. Об однолистности симметричных решений обратных краевых задач в случае бесконечного искомого контура // Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Казан ун-т, 1985. - Вып. 22.- С. 88-95.

29. Ильинский Н.Б., Нужин М. Т. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные задачи теории фильтрации. Казань: Казан, ун-т, 1963. - 139 с.

30. Квеселава Д.А. Задача Римана-Гильберта для многосвязной области // Сообщения АН Груз. ССР. 1945. - N8. - С. 581-590.

31. Киндер М.И. Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях. Дис. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1984. - 146 с.

32. Киселев A.B. Классы корректности внешних обратных краевых задач по смешанным параметрам. Дис. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1989. - 129 с.

33. Коппенфелъс В., Шталъман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963. - 406 с.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 5-е изд. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

35. Митюшев В.В Решение краевой задачи Гильберта для круговой многосвязной области / Ред. ж. Изв. АН Беларуси. Сер. физ.- мат. н. -Минск, 1993. 28 с. - Библиогр. 17 назв. - Деп. в ВИНИТИ 03.11.93, N 2745 - В 93. РЖМат, 1994, ЗБ117.

36. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск:Наука, 1977. - 424 с.

37. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962. - 599 с.

38. Нужин М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их приложениях в теории упругости. Дис. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1947. -44 с.

39. Нужин М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении к определению формы сечения скручиваемых стержней // Учен, записки Казан, ун-та. Казань, 1949. - Т.109. - N1. - С. 97-120.

40. Обносов Ю.В. Решение смешанной краевой задачи теории аналитических функций // Труды семин. по краев, задачам. Казань: Казан, ун-т, 1982. - Вып. 19. - С. 122-132.

41. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. 2-е изд. - М.: - Наука, 1977. - 664 с.

42. Родин Ю.Л. Об условиях разрешимости краевых задач Римана и Гильберта на римановых поверхностях // ДАН СССР. 1959. - Т. 129.- N6. С. 1234-1237.

43. Сагитова С.Б. Исследования по обратным краевым задачам вмногосвязных областях. Автореф. дис. канд. ф.-м. наук. Казань, 1984.- 12 с.

44. Сагитова С.Б., Широкова Е.А. Об обратной краевой задаче для параметра в // Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Казан ун-т, 1983.- Вып. 19. С. 175-184.

45. Салехов Л.Г., Чибрикова Л.И. К решению краевой задачи Гильберта // Труды семин. по краев, задачам. Казань: Казан, ун-т, 1971. -Вып. 8. - С. 155-175.

46. Салехова И.Г., Курманова Е.Э. Смешанная краевая задача со щелями на плоскости / Теория функций комплексного переменного. Чебоксары, 1983. - С. 128-137.

47. Салимое Р.Б. Внешние обратные краевые задачи для случая, когда граничные значения заданы в функции декартовой координаты х // Учен, записки Казан, ун-та. Казань, 1957. - Т.117. - N9. - С. 60-64.

48. Салимое Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости.- Казань: КВВИУ, 1970. 364 с.

49. Салимое Р.Б., Селезнев В.В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами // Труды семин. по краев, задачам.- Казань: Казан, ун-т, 1979. Вып.16. - С.149-163.

50. Салимое Р.Б., Селезнев В.В. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца // Труды семин. по краев, задачам. Казань: Казан, ун-т, 1980. - Вып.17. - С.140-157.

51. Салимое Р.Б., Шабалин П.Л. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для аналитической в круге функции / Труды матем. центра им. Лобачевского. Казань, 1998.- С. 206-215.

52. Сорокин A.C. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей // ДАН СССР. 1987. - Т.293. - N 1. - С. 41-44.

53. Сорокин A.C. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей // ДАН СССР. 1987. - Т.296. - N 4. - С. 801804.

54. Тумашев Г.Г. Определение формы границ потока жидкости по известному распределению скорости или давления. Дис. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1945. - 70 с.

55. Тумашев Г.Г. , Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. 2-е изд. - Казань:Казан.ун-т, 1965. - 333 с.

56. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III. М.: Наука, 1970. - 656 с.

57. Черепанов Г. П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой и вдоль окружности // ДАН СССР. 1964. - Т. 156. -N 2. - С. 275-277.

58. Чибрикова Л.И. О граничных задачах для прямоугольника / Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань, 1964.- С. 59-63.

59. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань, 1964. - 302 с.

60. Широкова Е.А. Об однолистности решений внутренних обратных краевых задач в случае параметров жиг// Тр. семин. по краев, задачам.- Казань: Казан ун-т, 1978. Вып. 15. - С. 185-191.

61. Широкова Е.А. Применение гомотопических семейств замкнутых кривых для исследования однолистности решения обратных краевых задач // Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Казан ун-т, 1979. - Вып. 16. - С. 235-240.

62. Шиффер М. Некоторые новые результаты в теории конформных отображений // Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. С. 234-301.

63. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoría delle funzioni di variabile complessa // Annali di Mathematica, Ser.3. 1916. - T.25. -P. 253-273.