Разрешимость квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

р Г Б ОД

1 О ПИВ 1555

На правах рукописи

а гтгто рзспльсш'и

РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ^' УРАВНЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Нижний Новгород -1995

Работа выполнена в научно-исследовательском центре функционально-дифференциальных уравнений Пермского государственного технического университета.

Научный руководитель - А.Р.Абдуллаев, доктор физико-

- математических наук, профессор

Официальные оппоненты: - А.й.Булгаков, доктор физико-

математических наук, профессор,

- С.Н.Слугин, доктор физико-математических наук, профессор.

Ведущая организация' ' - Пермский государственный

университет.

1 •) v

Защита состоится п 2 1 " ■ 1995 г., в %Ч на заседании диссертационного совета Д. 063.77.07 в Нижегородском государственно;.^университете ( 603600, Г.Н.Новгород, пр.Гагарина, 23). , .

С диссертацией ыокно* ознаковдться в научной библиотеке

ННГУ.

Автореферат разослан " 2С" ъгыс^. 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.И.Лукьянов

Общая характеристика работы

Актуальность тема. КвазшпшвЯшэ краевые задачи для

обыкновенных дкфферокцяальных уравнений (ОДУ) являются объектом интенсивного изучения начиная со времен С.Н.Еернатейна я Н.Нагу-мо. Интерес к таким объектам объясняется и тем, что квазилинейные краевые задачи возникают 3 математических моделях многих реальных процессоз ( в биологии, химии, экологии, экономике и др.). Вопросы разрешимости квазилинейных краевых задач для ОДУ изучались кбюпшя азторага. Отметим работа Н.В.Азбелева, н.и.Васильева, В.В.Тудкова, Й.Т.Кнгурадзе, Ю.А.Кдокова, С.Н.Сдугша, Б.Л.Шахтера и др.

Дальнейшее развитие теории квазилинейных краевых задач привело к необходимости рассмотрения задач для функционально-дифференциальных уравнения (ОДУ). При исследовании нелинейных ФДУ возникают значительные трудности, связанные со сложностью саках уравнений и неприменимостью многих идей и методов теории ОДУ. Эти трудности проявляются и при изучении квазилинейных краевых задач для ФДУ, теория которых стала развиваться сравнительно недавно. Отметим работы 'Н.В.Азбелева, А.Р.Абдуллаевз, А.Д.Иышкиса, В.П.Максимова и др.

Цель работы. Исследование условий разрешимости квазилинейных краевых задач с гладки-щ нелинейностями в уравнении или в краевых условиях. Разработка абстрактной схемы исследования на разрешимость краевых задач для ФДУ. Получение эффективных признаков разрешимости некоторых конкретных классов краевых задач.

ООпще метода исследования. Метода функционального анализа и элементы теории абстрактного ФДУ. В частности, используется теория положительных линейных операторов и метод монотонных по Минти-Браудеру операторов.

Научная новизна. В диссертационной работе предлагается абстрактная схема исследования на разрешаюсть квазилинейных краевых задач, использующая конечномерную параметризуемость множества решений уравнения. Предлагаемый в работе метод позволяет

[з отличии от. классического подхода ) исследовать задачи с - "частичной гладкостью", то есть при наличии "гладкости" либо у нелинейной части уравнения, либо в краевых условиях- В последнем случае для установления разрешимости попользуется параметризация множества решений уравнения, которая но является конечномерной. Применение метода монотонных по Минти-Браудеру операторов позволяет получить эффективные признаки конечномерной паракэтризуемос-ти без ограничения на константу /¡шшаща нелинейного оператора в уравнении. Схемы исследования реализованы для ФДУ и для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка. Получаемые при атом признаки разреиикосгя сказываются менее. жесткими, чеы при непосредственном применении схемы Шзудера.

Теоретическая п практическая ценность работы. Предлагаемые в работе методики могут Сыть применена к исследованию на разрешимость различных классов краевых задач, возникающих в приложениях ( например, в теории химических реакций ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведен-в конце автореферата.

Апробация работы. Основные результаты диссертации догладывались и обсуждались на XXVI, XXVII зимних математических школах (Воронеж:, 1994,' 1995), на международной 'конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 19Э4), на Пермском (1992-1994) городском Семинаре по функционально-дафференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В.Азбе-лева, на Нижегородском Семинара под руководством профессора С.Ф.Морозова (ННГУ, 1995).' ■

Ойьезл и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех частей п списка литературы. Части разбиты на.пункты. Объем диссертации составляет 99 страниц машинописного текста. Библиографический список вклзчает 103 наименования.

Содераанпе в ссеовеез разудгьтата дкссертацгх

Во введении обосновывается актуальность теш исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и смежным вопросам, приводится краткая аннотация полученных,результатов.

Первая часть носит вспомогательный характер. Здесь приведены сведения, необходимые в дальнейшем. В частности, сформулированы теореш о существовании' и единственности решения уравнения Фх = у с монотонным по Минти-Браудеру оператором Ф :' X -* X* , где X -

^/ui^iu1 ггрдпзодспь* cciici2iiiic cjici'ciitii

теории абстрактного ЗЩУ.

Объектом изучения является квазилинейная краевая задача, за- . писанная в виде систекы двух уравнений:

. • Яг = Рх, (i)N

1х = фХ,

где 2 : D - В - линейный ограшченнзй ошратор, Р : D - В - непрерывный- оператор, I : В -»' В0 - лзне2шй ограниченный вектор-функционал ,."(р : D •» ВР - шпрэрнЕЕЫй вектор-функционал. Банахово пространство D изо:яэр|зо срггг.толу произведения • банаховз пространства 3 2 К*1» что если крабвал зздвчз занрисанз з _впдз (1), то второе""'уравнение называется краавш-sr условиями задачи.

■ откзхим, что в виде (t) ыояно записать многие актуальные классы квазилинейных краевых задач для ОДУ, шт'егродаффЗрвнциаль-ных уравнений, уравнений с отклонявшимся аргументом, с последействием и др. -

Части 2 и 3 содержат основные,результаты диссертационной работы. • '

В части 2 предлагаются'новые схемы исследования на.разреши-' масть квазилинейной краййой.задачи вида (1).

В пункте 2.t изложена общая схема исследования на разрешимость краевых, задач для конечномерно параметризуемых уравнений.

* Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию.функционально-дифференциальных уравнений. М-: Наука, 199!, - 280 с.

- б -

Уравнение

ах = рх, (2)

■ называется конечномерно параметризуешь), если меаду множеством решений уравнения и некоторым замкнутым подмножеством конечномерного пространства существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. ;

В частности, уравнение (2) является^ конечномерно параметризуемым, если корректно разрешима задача

£х = Рх, (3)

^х = а, •

где 11 : Б -» Й0 - некоторый линейный ограниченный вектор-функционал. Под корректной разрашкостью - понимается однозначная разрешимость задачи (3) прп хабога. се!^ п непрерывная по норке В зависимость ее решений от а.

'В предполоЕЗШЕ п - гсзрноС шфшетрвхзуздхоста реаеше уравнения (2) шввт представление

• X = Ш. + Ш, ■ (4)

где оператор М : Е81 - В - непрерывен,\Х - фдааенталышй веетор уравнения Йх = О, такой, что = Е. аей" { фундаментальным называется вектор X = {х1,.".,,хм), где х1,....Хд составляют базис "линейного многообразия решений однородного уравнения £х .= О ).

Решение (4) уравнения. (2) зависит от произвольного вектора а, который и выступает в качестве параметра. В этих условиях разрешимость задачи (1) следует из разрешимости уравнения гт +1а) = <р(Ыа + Ха). .

Вообще говоря, вид оператора М неизвестен. Однако, можно выяснить асимптотическое поведение оператора Ы, накладывая соответствующие ограничения йа оператор Р.

Определение 2.1.2. Будел говорить, то вентор-фунционал <р ( оператор Р ; квазиогрантен, если .

Чп £ Ш -ЧпЬ < [ Ьр Е Ш ТОТ^- < ]•

Величину Ъу ( Ър ) будел называть квазторлой ветюр-фушцианаш '<р ( оператора 1 ).

Сформулируем общую теорему о разрешимости задачи (1).

Теорема 2.1.1. Если'выполнены условия:

1. оператор Н квазиограничен с квазинорлой Ь^;

2. бег (IX) ? о;

3. веитор-футциптл ср квазиагрантт с квазинорлсй Ъ^;

4. нгхг1|-( И^дп • ^ + ( Ьу + т^р.)) < 1.

то задача (I) илееа хотпя бы одно ремэпиз.

В пункте 2.1 такяе приведена теорема ой оценке оператора М, которая получена при условии, что оператор Р удовлетворяет усло-бйго ^шиигшла с константсй

V < (5)

где в : 8 - й - оператор Гринз" линейной задачи

ах » г, (6)

Цх. = о, г«в.

В этом же пункте реализована обдая схема для конкретного вида оператора Р, а именно,-(Рх)(Ю = Ш, (ТхНЬ), (Sxj(t)), где Т : Б^ - I? ," Б : - - линейные операторы, функция 1 : Га,Ь]хйп«1г1 - И31 удовлетворяет условию Наратеодори и имеет рост не "выше линейного", то есть существуют положительная функция с € Ьр и константы <Ц, ^ > 0, 7 е СО»13, тдкке, что

!Г(4,и,у)1 ^ с(1) + (11|и|т + й^т!?

для почти всех Ша,Ы и для всех и,у. Напомним, что это условие является достаточным для непрерывного действия оператора Немыцко-

ГО (Рх)(г) = т, (Тх)ш, <Бх)ип из

Отметим, что условия сформулированного признака разрешимости задачи (!) (теорема 2.1.1) являются менее яесткнми, чем требования, при выполнении которых возможно применение схемы Шаудера. Сказанное подтверждается приведенный! примерами.

В пункте 2.2 получены условия конечномерной параметризуемое™ в случае, когда В = Ь2, Бх а Ш,х). Эти утверждения основаны на использовании- модифицированной теоремы о разрешимости операторных уравнений с шдоэдтельшм по Минти-Браудеру оператором, Метод монотонных по Нинти-Браудеру операторов позволяет избавиться от ограничения на константу Липшица оператора Г и рассматривать уравнение (2) с оператором Р, имекцим достаточно боль-

шую константу Липшица.

В пункте 2.2 приводятся оценки оператора М без ограничения на константу Липшица оператора F.'

Если задача (6) однозначно разрешима, то ее решение имеет

вид

X = Gz + Ха,

где G : - D - оператор Грина задачи (6), X : R2 -> D - оператор, определяемый фундаментальным вектором уравнения £х = О, таким, что I.jX = Е. Тогда разрешимость в D задачи

fix = f(t,x), » а

эквивалентна разрешимости в Lg уравнения

z = f(t, Gz + la). (7) Основным предположением для построения оценки оператора М является "строгая" положительность оператора Грина (-G), то есть, существование такого 7 > 0, что

<-Gz, 2 TlSzJ^. (8)

Обозначим N : Lj - L2 - оператор Немыцкого, определяешй равенством (Nu)(t) в f(t, u(t)).

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

1. Существует констант 7>0, такая, шо выполняется неравенство (8);

2. Оператор Еехыщюго N квазиаграничен с квазинорлой bN;

3. Существует константа п < 7, что для всех ueLg выполняется неравенство

<Nu, 1* -n Тогда будет верна оценка

<Р(т. n, |GlVIfe. ty-m^-l«! £ bz' lal • где z€l<2 - решение уравнения (7),

Р(Т, п. |G| ' ; v А^»?-™*^ *

У |С|2(27+Ь„)гЬ|

. b*.<27+Va>tGl2.

+ -2-. + - ,

2<.J-n)d 7 ~ n

Отметим, что существование константы 7 следует из положительности оператора (-G). Часто значение 7 для конкретного оператора G мроадт быть напйдено непосредственно. В случае, когда оператор Грина симметричный, то наилучшим значением у является Inf o(G) .*>

Кал ь'лодихвиа из тьирамы 2.2.1 пилучьно равенство

Ьй" yiG»VD'

позволящее выразить квазинорму оператора М через константу bz.

Подчеркнем, что оценка оператора М установлена баз ограничений на константу Лишшца Ьд. Такта образом, константа Липшица монет быть достаточно велика.

Далее в пункте 2.2 уточняется оценка оператора М в случав, когда функция i(t,u), горовдавдая оператор Немыцкого, обладает свойством аддитивности по второй переменной ( в частности, оценка верна для линейного уравнения ).

В пункте 2.2 сформулированы теоремы о разрешимости задачи (1), полученные из основной теоремы 2.1.1 с использованием полученных оценок оператора М.

Отметим, что метод монотонных по Минти-Браудеру операторов позволяет установить разрешимость квазилинейных краевых задач, если операторы Грина соответствующих линейных задач удовлетворяют неравенству (8). Однако, предложенная схема применима и в том случае, если неравенство (8) выполнимо для оператора Грина некоторой вспомогательной краевой задачи для данного уравнения.

В пункте 2.3 приведена схема исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач, краевые условия которых обладают определенной степенью гладкости. В этой схеме ( в отличии от схемы из пункта 2.1 ) предполагается "гладкость" не у оператора а у вектор-функционала ср. Схема, изложенная в пункте 2.1 основана на использовании конечномерной параметризуемости множества решений уравнения (2)'. Множества решений некоторых классов краевых

*) Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир, 1972,-183 с.

задач допускают параметризацию ( хотя и не конечномерную ) относительно краевых условий. Эта возможность и используется в пред-лоханной в пункте 2.3 схеме исследования на разрешимость.

Предполагается, что для уравнения

1х = <рх (9)

существует линейный ограниченный оператор £1 : Б -» В, что краевые

задачи

£.,х = Г, и ■ «Цх = Г,

1х = а 1х = срх

однозначно разрешимы для любых асй11,' *€В. В этих условиях множество решений уравнения (9) можно записать в виде

х = и + Ки, (10)

где и € Н(С1), : В - В - оператор Грина задачи £.,х = I, 1х=0, оператор К : Н(С1) -» йег £1 непрерывен.

Используя представление (10) в пункте 2.3 получено условие разрешимости задачи (1) и задачи й.,х = Рх, 1х = фх.

Отметим, что схема, изложенная в пункте 2.3 позволяет получить условия разрешимости задачи (1) менее жесткие, чем при непосредственном применении схемы Шаудера или схемы, приведенной в пункте 2.1.

В части 3 изучается разрешимость краевых задач для сингулярного дифференциального уравнения

ФШ х* + р х - т,х<г)), (11)

где Ша.ЬЗ, функция ф обращается в ноль в граничных точках отрезка [а,Ы, ф(Ю > 0 для Ёсех 1;€(а,Ъ).

Полученные утверждения основаны на применении общей схемы, приведенной во второй части. Краевые задачи для уравнения (11) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов. В части получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (11).

В пункте 3.1 приведены вспомогательные утверждения. Подход к изучении краевых задач для уравнения (11) основан на идеях теории абстрактных ФДУ, где конструируется специальное пространство решений и используется факт изоморфюсти этого пространства и прямого произведения некоторого банахова пространства и К11.

Для уравнения (11) будем рассматривать краевые условия

вида:

х(а) = a1v x(b) = а12 (12)

и х(а) = а^, х'(Ь) = а22, Oy € R. (13)

Будем исследовать разрешимость задачи (11). (12) в линейном пространстве ^ф р задачи (11), (13) в пространстве р г *

Определение 'з.1.1. Будел говорить, что 'xcflL р

(Х£\Уф р<2)« еали * : ta.bJ ■* R -абсолютно непрерывная на Ta.bJ

функция с абсолшно непрерывной на (а.Ь] производной, х существует почти всюду на ta,b] и ф х* €

Далее в пункте показано, что при некоторых условиях на функцию ф пространство И^р 1 ( Иф р г )' изоморфно прямому произведению Lp-R2, следовательно является банаховым пространством. Норду на пространстве ^pj ( ^ф^г ) определим равенствон

|x|w = :х(а)| +|х(Ь)| + {ф ¿*|, .

(|X|W = !Х(3)| +|Х'(Ь)Г+ j(|>i'к )

Ф.Р.2 Т?

Пусть G : Lj -> Нф^^ оператор Грете эедечя

ф х* + р х = z, х(а) = 0, х(Ь) » 0. (14)

Леима 3.1.3. Если функция ф такоба, w> ф'' (t)<0, V t с ta,b], и Ilm ty(t)-r(t)-r{t) = 0, то <-Gz,z>T > 0.

t-a+O

к 5

"PJ ^

Здесь r(t) s J e ej^^üs, s0 > a - одно из

a

фундаментальных решений уравнения ф х + ß х = 0.

В этой ке пункте доказано, что оператор Грина задачи (14) удовлетворяет неравенству (8). Методика нахождения константы 7 состоит в следующем. Имеем неравенство

<-GZ, z>^ > |У"ф

Покажем, что существует 7 > 0, такое, что

> 7 |С2| ^ (15)

Перешсав неравенство (15) в видэ

ь -

Зи в / (ф- 7 и2П)) « > О,

а

где и = Сг, рассмотрим функционал 3 в пространстве яо таких абсолютно непрерывных на 1а,Ы функций х, что У""ф~х с Показано, что банахово пространство Я0 изоморфно прямому произведению Х^-й. Норму на пространстве !?0 определим следующим образом :

|х!Ио - |х(Ъ)[ + |У1Гх Ц.

Отметим, что банахово пространство ®ф>2,1 вложено в ??0.. Рассмотрим задачу:

Зх - т1п, (16)

Х(Ъ) »0.

Используя теорию минимизации квадратичных функционалов*', сведем задачу (16) к задаче о безусловной минимизации функционала 3Л1 » 3( у) в пространстве^, где

Ту^ У ® X «1а-При некоторых условиях на ф оператор Ту-^ ограничен. Имеем,

3^ * <ну, 7>Ъг.

где Н « I - 7К, К = Ту-х Ту-ф . Существует 7 > О, такое, что оператор Н положителен й обратим, а именно. 7 < 1 / |К|Т _т . Следо-

£? 2

вательно, при таких 7 для оператора Грина задачи (14) выполняется неравенство (8). .

Основными результатами пункта 3.2 являются условия корректной разрешимости краевых задач (11), (12) и (11), (13). Для задачи (11), (12) используется техника монотонных по Ыинти-Браудеру операторов, для задачи (11), (13) применяется "И-метод" и принцип неподаигной точки Банаха.

») Груздев А.А.,. Гусаренко С.А. О редукции вариационных задач к экстремальным задачам без ограничений.// Из&естия вузов. Мл-теиАтикА. - - N6. с. .

Рассмотрим оператор опрвдэляегдШ

равенством

ъ

(Гг)а) ж ¡ Ци аз. I е 1а.Ы. (17)

t

В пункте найдены условия непрерывности оператора Т, даны оценки его нормы. Для случая фШ е г, I с [0,11 оператор Т* : 1>ч - Ь < 1 /р + 1 /ч = 1, 1 сопряженный оператору Т, известный

как оператор Чезаро, интенсивно изучался в литературе.

Для получения оценки норки оператора Т используется неравенство Харди-Литтльвуда*', а так ге различные его обобщения. Рассмотрим задачу

Ф<п х*+ р х = га), (18)

х(а) = О, х'(Ь) = О.

Справедлива

Леша 3.2.5. Если выполнено неравенство |ТК < 1/|Р|,

р" р

то задача (18) для каждого Г € Ьр ияеет единственное реиякив х с

Пусть С2 : ^р " ^ф р 2 ~ оператор Грина задачи (18). Решение задачи (И), (13) удовлетворяет в пространстве Яф 2 уравнению

ха) = х-сои^, аг2) + (с2нх)а).' (19)

где N : р>2 " ^ " оператор Нешцкого, Ни в кг,и). Уравнение

(19) можно рассматривать в пространстве С, так как всякое решение

уравнения (19), принадлежащее С, будет принадлежать и Я. 0 . г, « ч'»р>'-

В пункте приведены оценки нормы оператора С2 как оператора, действующего из Ьр в С, и как оператора, действующего из в йф р 2 • &алое в пункте приведены условия корректной разрешимости задачи (11), (13).

%еореыа 3.2.1 ( 3.2.2 ) Пусть задача (18) однозначно

разрешила, и Га,и) удовлетворяет по второму аргументу условия Липшица с константой К^. Вели выполнено одно из условий'. •в) М^Ь -С,(Ь - а) 1/р < 1;

р ф,р,2 ф,р,2 р

Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства.П.: ИЛ, 1948, -456 с.

где J : Я. р 2 - Lp - оператор вложения пространства Яф р 2 б протранстоо то краевая задача (11), (13) корректно разрешима.

Для получения условий корректной разрешимости задачи (11), (12) применяется техника монотонных по Ыинти-Браудеру операторов.

Определенна ■ 1.3.5. Пусть А : X - X - линейный оператор, X - рефлексивное банахово пространство. Оператор S будел называть (А, ц) - ланашзннил, если, существует такое р. е R, что для любых u,v € X выполняется неравенство

• <Su - Svy Au - Av>x ^ ц }u - v|| .

Рассмотрим сеыейстЕО операторов U| = I - ?G, где С - действительный параметр, I í [0, -к»), G : L2 - - оператор Грина задачи (14). Рассмотрим в пространство билинейную форму

<u, S <U, (í5y>l . . . (20)

Отметим, что в случае, когда оператор (-G) полояителен к симметричен, билинейная форма (20), будет задавать в пространстве L2 скалярное произведение, и норш

- У <и' и №ьг -

будут аквивалентш в Lg.

Леша 3.2.6. Пусть втолнёны условия:

1) Cyugcm&yem конспххняп j > 0 такая, то дополняется неравенство (8)1

2) Существует константы ш > 0, п < 7 = 7(G) такие, чао

а} Для всех u,v ç R и Оля почт всех t е Са,Ы выполнятся неравенство .,

|f(t, и) - î(t, 7)| < m |и - v|; - . Ъ) Для всех ид £ Е и для почти всех t £ fà,b] Выполняется неравенство

(-r(t, и) + f(t, v))•(и - V) $ П (и - У)2 .

2

Тогда при Ç > п) оператор I - N(G2 + Ха) является (Uç, р.) -

лонащанкил, где (.1 = 1 -' nyU U^z = z - ÇGz.

Да.гее в пункте к уравнению ffiz = 0, где Ф : "ь2 Ь2 -

оператор, определяемый равенством Ф2 = z - N(Gz + Ха) применяется

/

одна из модофщяровавншс теорем Браудера, а хкэнно

Георока 1.3.1. гаю оператор Р : X -* X* являемся (А,'ц) -аономонныа относительно ограшменного обратного оператора А и ц>0, то отобрсигение Р является гожеолорфизлол X на X*. Используя эту теорему, получена

Теорема 3.2.3. Если выполнены условия лелш 3.2,6, то отображение Ф : Lg - L2 является галеолорфизлол._

Теорема 3.2.3 гарантирует корректную разрешимость задачи (51), (12) в пространстве Хэ. -

В пункте 3.3-приведены условия разрешимости задачи

<]>(t) х+ ß X = f(t,x), (21)

2х « <рх.

Предложенная в пункте 2.J схема позволяет получить признаки разрешимости задачи (21) для широкого класса функционалов I, не уточняя при этом его конкретный-вид.

Автор выражает глубокуо благодарность и признательность профессорам Н.В.Азбелеву п Л.Ф.Рахматуллшой за ценные соеэты и постоянное внимание к работе.

Пубяпгацгз по гсгз дессортадпз

1. Кунгурцева A.B. К вопросу о разрешимости краевых задач для квазилинейных уравнений // Известия вузов.!.!ате:!зтпка. -1393. И 5. - С.50 - 55.

2. Кунгурцева A.B. Корректная разрешимость двухточечной задачи для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка / Пергский гос.техннч.университет. - Пермь, 1994.- 8 е.- Леп. в ВИНИТИ 29.06.94, N 1628 - В 94.

3. Кунгурцева A.B. Метод мйнотонвых операторов и разрешимость краевых задач // Современные метода теории функций и смегныэ проблемы: Тезисы докладов ВЗШ.-Воронеж: ЕГУ, 1995. - с.142.

4. Кунгурцева A.B. Об одаом классе краевых задач для сингулярных уравнений // Известия вузов. Математика. - 1995. ТГ'Э.- С. 40 -47.

5. Кунгурцева A.B. Об одном признаке разрешимости краевых задач для квазилинейных уравнений // Тезисы докладов ВЗЛ.-Воронег: ЛГУ, 1994. - C.S5.

6- Кунгурцева A.B. Об одной1 схекэ исследования на разрешимость, квазиоинейных краевых задач // Вестншс ПГТУ". Математика и прикладная математика. - Параь: ПГТУ, - 1994, Н 1. - С. 86 - 94. 7. Кунгурцева A.B. О разрешимости квазилинейных краевых задач // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения н их приложения".-Саранск: Из-ео Мордовского ун-та, 1994. -

с. 146