Знак функции Грина двухточечных задач Валле-Пуссена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах

Лихачева Наталья Николаевна

Знак функции Грина двухточечных задач Валле-Пуссена

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 1997

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Рахматуллина Л.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Дерр В.Я., кандидат физико-математических наук, доцент Олейник A.A.

Ведущая организация - Челябинский государственный университет.

Защита диссертации состоится 16 октября 1997 г. на заседании диссертационного совета К 063.66.09 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект 29а, ауд. 423.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан 1$ сентября 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: кандидат физико-математических наук, доцент

В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основной вопрос диссертации - условия однозначной разрешимости и сохранения знака функции Грина двухточечных задач для. уравнения с распределенным отклонением аргумента. Тематика работы непосредственно связана с известной проблемой С.А.Чаплыгина. Теорема Чаплыгина1 утверждает, что для решения х задачи Когаи = х(а) = а, / 6[а,/?],

из неравенств г'(У)> I е[я,/>], г(а)>а, следует неравенство

х{1)<1{г), 1е[а,Ь\

Первые работы, посвященные вопросу о распространении этого утверждения о дифференциальном неравенстве на другие классы уравнений, принадлежат Б.Н.Петрову, Дж.Вилкинсу, Б.Н.Бабкину, Р.Беллману. Так Б.Н.Петров показал, что без дополнительных предположений эта замечательная теорема не переносится даже на уравнения второго порядка. В связи с этим Н.Н.Лузин поставил проблему о выяснении условий применимости теоремы Чаплыгина для других классов дифференциальных уравнений.

В случае функционально-дифференциального уравнения вопрос об условиях справедливости аналога теоремы Чаплыгина сводится к условиям, гарантирующим знакоопределенность функции Грина. Условия знакоопределенности функций Грина отдельных классов краевых задач были установлены Н.В.Азбелевым, В.Я.Дерром, А.И.Домошницким, С.М.Лабовским, С.А.Паком, А.Л.Тептиным и другими. Отметим в этой тематике исследования грузинских

1. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.-.ГИТТЛ, 1950.

математиков под руководством И.Т.Кигурадзс.

Цель работы. Получение эффективных условий однозначной разрешимости и сохранения знака функции Грина двухточечных задач для уравнения с распределенным отклонением аргумента.

Основной метод исследования. Предлагаемые в диссертации исследования базируются на общей теории функционально-дифференциальных уравнений1.

Научная новизна. Все результаты диссертации, а также некоторые методы исследования являются новыми.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Дано решение проблемы С.А.Чаплыгина-Н.Н.Лузина для линейного функционально-дифференциального уравнения с распределенным отклонением аргумента. Условия однозначной разрешимости и знакоопределенности функции Грина линейного функционально-дифференциального уравнения позволяют решать вопросы существования и единственности решения краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Уральских региональных конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям (Уфа, 1989; Пермь, 1990), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование, управление и оптимизация" (Горький, 1990), на семинаре АН Киргизии (Фрунзе, 1990), на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В.Азбелева (Пермь, 1990-1997), на семинаре кафедры математического анализа Челябинского госуниверситета (Челябинск, 1997).

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 278 с.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 6 работ. Список работ приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Она содержит 97 страниц, включая библиографический список из 104 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации и приведена краткая аннотация полученных результатов.

Ниже используются следующие обозначения: С - пространство непрерывных функций —> с нормой ||л:|1с = тах

IV" - пространство функций —>с абсолютно

непрерывной производной (п -1) -го порядка, Ь\

\\х\\

( \ /г-'| С'\ I

„ = |!х (.у) (Ь + £ л (а); ^ - пространство суммируемых

г=0

шп

а

Ъ

функций 1{1, =

а

Основной вопрос первой главы - условия однозначной разрешимости и сохранения знака функции Грина двухточечной краевой задачи для уравнения с распределенным отклонением аргумента.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В нем описан объект исследования - линейное функционально-дифференциальное уравнение

+ = /(г), I е[а,Ь]. (1)

Предполагаются выполненными условия: функция R:[a,b] х [а,

измерима в квадрате [а,б]х[а,б], полная вариация у

s=a

и функция f(t) суммируемы на \a,b\.

Под решением уравнения (1) понимается такой элемент х е Wn, для которого равенство (1) выполняется почти всюду на [а, 6].

Частными случаями уравнения (1) являются:

1) обыкновенное дифференциальное уравнение

x%) + A{t)x(t) = f{t), te[a,b},

2) интегро-дифференциальное уравнение

x("\t) + blK{t,s)x{s)ds = f{t), te[a,b},

а

3) уравнение с сосредоточенным отклонением аргумента

х(£) = если ¿¡£[а,Ь].

В параграфе 1.1 содержатся необходимые в дальнейшем сведешш из теории уравнений в банаховом пространстве, из теории линейных краевых задач, дано определение функции Грина краевой задачи и сформулированы ее свойства.

В параграфе 1.2 рассматриваются двухточечные краевые задачи

+ = At), t фД (2)

a

{a) = 0, i = 0,n-k-l, (b) = 0,j = 0Д-1, ~

где к е{1,2,...,л-1}.

Для изучения задачи (2), (3) используется левая эквивалентная регуляризация, т.е. сведение этой задачи к уравнению с каноническим фредгольмовым оператором, причем задача (2), (3) без предположения о монотонности функции /?(?,.?) по Л' при почти всех /

редуцируется к уравнению с изотонным оператором. При этом используется разложение д) = где

не убывают по при почти всех /е \а,Ь\. Параграф 1.2 разбит на пункты. В пункте 1 задача (2), (3) исследуется в случае, когда к -нечетное число. Уравнение (2) записывается в виде:

м ь ь

=/М-

а а

Предполагается, что вспомогательная задача

= (4)

а

х®(а) = 0, / = (\n-k-l, х^(Ь) = 0, у = 0,^-1, (5)

однозначно разрешима и имеет отрицательную функцию Грина в квадрате (а,Ь)х(а,Ь), а соответствующая ей

полуоднородная задача

а

1мх = ам> 0, г = 0,л-1,

(6) (7)

. , л-^(й), если 0< г < п-к-1,"

Н-1) л:4 '{Ь), если п-к < I < п-1,

п-1

и >0, имеет положительное решение на (а, Ь).

1=0

Уравнение (2) редуцируется к уравнению с изотонным оператором. Далее, результаты Г.Г.Исламова1 об оценке спектрального радиуса линейного изотонного оператора в пространстве С позволяют для исследуемой задачи (2), (3) доказать теорему типа теоремы Валле-Пуссена в предположении, что удовлетворяет условиям

шЦг е [а, Ь] (/, а) ф (г, а + 0)| - 0, тез{1 ф,Ь].К+{1,Ь) Ф 0)} = 0.

Приведем это утверждение. Теорема 1.2.1. Если

а) краевая задача (4), (5) однозначно разрешима и на (а,Ь)х(а,Ь);

б) задача (6), (7) имеет положительное на {а,Ь) решение;

то следующие угверждения эквивалентны:

1) существует такая функция V е IV", что у(?) >0, I е[а,б],

+ = уАг)<0,1 ф,Ь],

а

к+\х' ~ ай-Ъ 1=0,П-1,

1. Исламов Г.Г. Об оценке сверху спектрального радиуса // Докл.АН.1992. Т. 322, № 5. С.836-838.

п-1 Ь

X «1+1 - / > 0;

(=0 а

2) задача (2), (3) однозначно разрешима и ее функция Грина Сг^я) < 0 на (а,Ь) х

3) спектральный радиус оператора —>С, определяемого равенством

меньше единицы;

4) задача

1мх = «;+1 >0, г = 0,п -1, имеет положительное на (а,Ь) решение.

Для изучения краевой задачи (4), (5) в качестве вспомогательной рассматривается задача

>}(г)=г(г), 1е.[а,Ъ],

х(г)(а)=0, / = 0, /г - /с -1, х^(й) = 0,7=0,/с-1,

которая однозначно разрешима и имеет при нечетном А; отрицательную функцию Грина (7о(?,.?) в квадрате (а, б) х (я, б).

Это позволяет редуцировать задачу (4), (5) к уравнению с антитонным оператором и, применив теорему Н.В.Азбелева и Л.Ф.Рахматуллиной1

1. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. К вопросу о функционально-дифференциальных неравенствах и монотонных операторах // Функционально-дифференциальные уравнения : Межвуз. сб. научн.тр. / ПермПИ. Пермь, 1986. С. 3-9.

а

об уравнении с антитонным оператором, получить условия, гарантирующие выполнение предположений а), б) теоремы 1.2.1. Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия:

1) спектральный радиус оператора ^ >С,

определяемого равенством меньше единицы;

2) для любого ^ е(а,Ь) выполнено неравенство

Тогда краевая задача (4), (5) однозначно разрешима и ее функция Грина (^(/,^<0 на (а,Ь) х (а,Ь).

Теорема 1.2.3. Если при I е(а,Ь) выполнено неравенство + гДе решение краевой задачи

х(п)(/) = 0, 1е[а,Ь],

1мх = ам>0, г = 0,н-1,

то решение задачи (6), (7) не принимает отрицательных значений на {а, Ь).

Полученные результаты позволяют формулировать достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи (2), (3) и отрицательности ее функции Грина, а также и других эквивалентных утверждений теоремы 1.2.1. Это проиллюстрировано в пункте 2 параграфа на примере краевой задачи

а

*(г)(а) = 0, г = 0,и-2, х{Ь) = 0. (9)

Для задачи (8), (9) получены эффективные условия однозначной разрешимости и отрицательности ее функции Грина (следствия 1.2.3, 1.2.4,1.2.5). Приведем одно из них.

Следствие 1.2.5. Если выполнены неравенства

то краевая задача (8), (9) однозначно разрешима и ее функция Грина С?(г^)<0 на {а,Ь)х (а,Ь).

Рассмотрен частный случай задачи (8), (9) - задача для уравнения с сосредоточенным отклонением аргумента, для которой сформулированы эффективные признаки однозначной разрешимости и отрицательности ее функции Грина (следствия 1.2.6, 1.2.7, 1.2.8). С помощью конкретных краевых задач проведено сравнение полученных признаков.

В пункте 3 параграфа 1.2 аналогичным образом исследуется задача (2), (3) в случае, когда к - четное число. В пункте 4 краевая задача (2), (3) рассматривается в предположении, что ^(м) является монотонной функцией по .У при почти всех ? е[а,Л].

Вторая глава диссертации посвящена вопросу существования и единственности решения краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения

а \Ь-а)

( ь Л

(л*)(/)=/ фОуКяьЫ ,

V 4 У

где + функция /:[а,Ь]х Л1 Я1

а

удовлетворяет условиям Каратеодори, функция \а,Ь\ х \а,Ь\ —> К1

Ъ

измерима в квадрате \а,Ь\ х \а,Ь\, полная вариация [/

¡-а

суммируема на [а,6], и не убывает по 5 при почти всех

Пусть [ц^] - некоторый интервал в пространстве Ь. Говорят, что функция /(?,«) удовлетворяет условию ¿¡[¿^г] ( ),

если существует такая суммируемая на функция (,й(0)

и такой изотопный (антитонный) оператор М^и^ —> Ь

( М2:[ь ), что /М')) = а(/)м(г) +

( /(/,«(/)) = + (Л/2м)(/) ) при ы е

Для краевой задачи

Г ь \

= /фД (10)

х^'На) = аь г = 0,/г - /с -1, = у = 0.Л-1, (11)

где к = {1,2,...,« -1}, доказаны утверждения типа теоремы Нагумо1.

Это осуществляется на основе предложенной в цитированной выше статье Н.В.Азбелева и Л.Ф.Рахматуллипой схемы квазилинеаризации". Например, для нечетного к справедлива

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия: 1) существует такая пара функций и, г еЖ", что Ц/) < I

и выполняются неравенства

( Ь \ ( Ь \

(Ао){1)>/ ^фК^Ы . (Л7)(/)</

V а У V а

1. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения . М.: ИЛ, 1962, 351с.

и{,)(а) < at < z(i)(а), i = 0,п-к-1,

(-1 у¿Хь)<(-1 урJ<(-1 У Р\ь\ j = ;

2) функция f{t,u) удовлетворяет условию , где

Ь Ъ

lit) = J ZW = Ы^АЫ,

а а

с коэффициентом p^&L таким, что вспомогательная краевая задача

Ъ

(hx){t)-p2{t)\x(s)dsR0(t,s) = r{t), t e[a,b],

а

х= 0, i = 0,п-к-\, x{j\b) = 0,j = Oj^l, однозначно разрешима и ее функция Грина G2(t,s} < 0 на (a,b) х (a,b) ,

а решение полуоднородной задачи

(Ax)(t)-p2(tfjx(s)dsRo(t,s) = 0, t e[a,b\

а

xW(a)>0, i = 0,n-k-\, >0, j = 0,k-\,

не принимает отрицательных значений на

M •

Тогда краевая задача (10), (11) имеет решение х удовлетворяющее неравенствам v{t) < x(î) < z{î), t

Если, кроме того,

3) функция удовлетворяет условию с коэффициентом

Р[ &L таким, что вспомогательная краевая задача

(Ax)(t) - Л (t)]x(s)dsR0(t, s) = r{t), t e [a, b],

a

x^(a) = 0, i = Ь,п-к-\,x^\b) -0,j = 0,k-\,

однозначно разрешима и ее функция Грина (?[(?,.?)< О на (а,Ь) х (a,b), то-краевая задача (10), (11) имеет в порядковом интервале единственное решение.

Для задачи (10), (11) при к-1 сформулированы эффективные признаки разрешимости и однозначной разрешимости (следствия 2.1.12.1.4), при этом существенно используются результаты первой главы диссертации, полученные для линейных задач.

В заключении главы доказанные признаки разрешимости и однозначной разрешимости применяются для исследования конкретных краевых задач. Например, доказаны такие утверждения Утверждение 2.1.7. Если выполнено условие 1п(б-а)2 + Г <0, гф,6],

то задача

x"(i) = lnx[/z(r)] + i2, t e[a,b], х(а) = 1, х(б) = 1,

где -> [а,6] измерима и удовлетворяет условиям:

mes\t е \a,b\. h(t) = /г(я)| = 0, mes{t е[а, b].h{t) = h{b)} = 0,

имеет единственное решение х , удовлетворяющее неравенствам [b-af < х(г) <1, t <Е[а,Ь\

Утверждение 2.1.9. Если существует положительное число с такое, что

1 1__1_

£~{b~af cos2l' Ins+tgs+t1 <0, t e[a,b],

то задача

x"(/)=in440]+'sr4A(0]+i2'' Ф4

x(a) = 1, x(ö) = l,

где функция h(t) удовлетворяет прежним условиям, имеет

единственное решение х , удовлетворяющее неравенствам

£<x{t)< 1, t е[а,Ь].

Список опубликованных работ

1. Лихачева H.H. К вопросу о дифференциальных неравенствах дня уравнений с отклоняющимся аргументом. Деп. в ВИНИТИ,

№ 3454-В89, 18 с.

2. Лихачева H.H. Теорема Валле-Пуссена для уравнений второго порядка с распределенным отклонением аргумента. Деп. в ВИНИТИ, №5198-90. 11 с.

3. Лихачева H.H. Теорема Валле-Пуссена для уравнений п-го порядка с распределенным отклонением аргумента // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр./ ПермПИ.Пермь, 1990. С. 71-75.

4. Лихачева H.H. К вопросу о разрешимости краевых задач для квазилинейного уравнения второго порядка // Тезисы XV Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Часть И. Ульяновск, 1990. С. 5.

5.. Лихачева H.H. К вопросу о разрешимости краевых задач для квазилинейного уравнения n-го порядка // Тезисы III СевероКавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Махачкала, 1991. С. 93.

6. Лихачева H.H. Теорема Валле-Пуссена для одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1997, № 5. С. 30-37.