О применении квазидифференциальных уравнений в теории линейных многоточечных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ДЕРР Василий Яковлевич

О ПРИМЕНЕНИИ КВАЗИДИМЕРЕНЦИАЛЫШ УРАВНЕНИЙ В ТЮРИИ ЛИНЕЙНЫХ Ш0Г0Т0ЧЕЧ1ШХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

"(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Свердловск - 1990

Работа выполнена в Ияевскои иохшшческои институте.

0*}зношлышо оппоненты:

профессор, доктор ^пзико-мтиатпчеоквх наук Н.В.Азбслов

профессор, доктор фазпко-иатвкатичосквх наук . Ю.В.Покоршй

профессор, доктор фазикочзтеиатнчвоких наук Е.Л.Тонкой

Ведущее учровденио -инотиут штештЕКП АН БССР

Зацста состоится . 31' 199О-голд В &

часов на заседании специализированного Совота Д ОСЕ.07.СИ по защаге диссертаций па ооиспагаю учоноЗ степопс донора паук прп институте шгеыатики с кэхагааш УрО АН СССР по адрзсу: 620С66, г. Свордловск, ул. С.Ковакевокой, 16.

С диссертацией поено ознакомиться в библиотека инссгтута матеь'лтшш УрО АН СССР.

Автореферат разослан " » 1090 г<

о -

Учений сокротарь специализированного Совета, « |

кандидат физско-цатеттическшс наук ЗМк Ы.И.Гусов

; 7 -3-

Б Щ Л Я ХАРАКТЕРИСТИКА РЛ Б ОТИ

усть 1 - открытия интервал з , & =» 1!ИЯ,ШП

треугольная матрица, элементы которой - функции из I п Ц . Квазипрсизводшге ^о: (кеОиу} фуннции ос-. опреде-

лятся равенствам»

линейным квазидифференциальным называется уравнение

и! (I)

Решением уравнения (I) называется всякая функция тСО » имеющая локально абсолютно непрерывнее квазипроизводнне ^ ос С?с5 0!п-1> и почти в саду в 2 удовлетворяпзая уравнение (I).

Если функции 4/ри С и. V. п.-О , /ри С1е1:«,>

гс с О: 4.-1 ) , »/рлм, локально суммируемы в I , то существует единственное репенна уравнения (I), удовлетворягадее начальный условиям

)<а>» с<с«о<*-1, ап , Г«бЮ. (2)

Обшпговеттоа дифференциальное уравнение (ОДУ) (линейное) с локально су!.,Е!пруег.яяя| коэффициентами и его формально сопряженное 53 смысле Логранжа уравнение представляют собой частные случаи уравнения (I). ВЦ) содержится самосопряженное уравнение четного порядка, рассмотренное в книге Ы.А.Наймаряа (Наймарк М.л. ЛизеЯные дкффере^тнальнне операторы. - II.: Наука, 1969. - 520 с.) Уравнения, рассматривавшиеся в ряде рабо. зарубежных авторов 10 тахте содержатся а (I).

а) Д.. Ограда!« ««еЫз

а 3:23. ¿Ьхь. ¿1'В. - <2*1. - « &3. - р. т-516.

11141 А леЬг с{ &Л2СХ цны'кИ^ын&ае

«ряйЯгзд У ¡Чве. с? «з О.Т-Л .-».iiU.-p.i-M.

// ¿м. д.. та. - * -Р «-б*

Однако уравнение (I) интересно не только тем, что позволяет с единой точки зрения рассматривать различные уравнения. Большой интерес представляет тот факт, что при сделанных выше весьма общих предположениях относительно Ры С' "> оно обладает формально сопряженным в смысле Лагранжа уравнением

* C-lV4^)<4> « gci>, UI, ^

где & « (.1^) ^ - нижняя треугольная матрица, tile .

т.е. имеет место тождество Лагранжа: почти для всех 4«!

- *cft>(£y)ct> в i. (x,y3ct),

где

(для всех ос Со и ^ О , имепцих локально абсолютно непрерывные квазипроцзводные до порядка п.-4 включительно). Матрица нь С С-О*"4 )* ( ^ -символ

Кронекера) билинейной формы С*, не зависит от ф . Сказанное означает, что при изучении линейных краевых задач вместе с их сопряженными (в особенности краевых задач с многоточечными краевыми условиями) язык квазидифференциальных уравнений 'КдУ) более естествен, нежели язык ОДУ.

По-видимому впервые уравнение и. -го порядка вида (I) (самосопряженное с комплексными коэффициентами) рассматривалось в работах Д.Шина (см., например, Шин Д. О решениях линейного квазидифференциального уравнения 'а-го порядка // Матем. сб. -1940, - Т. 7 (49). - С. 479-632). П центре внимания Д.Шина, а также некоторых из цитированных выше авторов"' вопрос о числе линейно независимых решений самосопряженного уравнения

см. также T^ixtK Я. &mU-po¿*l colitMa ju^tik, 'j- sjMmtt-vic aad a>Uiiwiy eft/«-ecsLoKs Z' 9%íc

JjDKtlo«. Soc. - -(985.- V. 51, дЗ.- (>. 513-561.

^•х. - XV.- О t 3ht X ф 0 , 4<= £а, ,

интегрируемых с квадратом на [а, ¿3 , или на более современном языке {см. цитированную книгу Наймарка М.А. стр. 165), вопрос об индексе дефекта оператора, порожденного квазидифференциальным выражением , .Б работах 3.Нехари и В.Ф.Тренча (см. вше), а также в работе Е.Л.Тонкова (Тонкой Е.Л. К вопросу о неосцилляции линейной системы // Нелинейные колебания и теория управления. - Ижевск. - 1982. -Был 4. - С. 62-74) рассматривается некоторые проблемы, связанные с неосцилляцией. Однако систематически теория неосцилляции однородного уравнения (I) и связанная с ней теория классической задачи Балле Пуссена для уравнения (I) до сих пор но йшш построена. Между тем такая теория необходима хотя бы в связи с возможностью преобразования некоторых многоточечных краевых задач в задачу Балле Пуссена для КдУ, а так~е в связи с краевыми задачам! для ОДУ с обобщенными функциями в коэффициентах.

Несмотря на большое число работ, посвященных построению сопряжениях краевых задач для скалярного уравнения, ** сколько-нибудь законченная теория таких задач может быть построена только на языке НдУ. В этой теории возникает обобщенная задача Балле Пуссена, обладощая свойством: задача сопряженная я ОЗВП такко есть ОЗВП» Кроыо того, функция Грина классической задачи Валло Пуссена есть реаеназ некоторой однородной ОЗВП. Находит ОЗВП н механические приложения. Ранее изучался только весьма частный случай ОЗВП, обобцагдиП л:пзь классическую -двухточечную задачу Балле Пуссена (Гантмахер З.Р., Крейн и.Г. Осцилляционнкз матрицы и ядра и излив колебания механических систеи. - Н.-Л.: Гостехиздат. - 19ЕО. - 360 е., Покорный Ю.В. О неклассической задачо Балле Пуссена // Диффзренц. уравнения. - 1978. - Т. 14, » 6. - С.'1018-1027).

н> например, Пархимович И.В.' {.Многоточечные краевые задачи-для линейных интегро-дифференциал„кых уравнений в классе гладких функций // Дифференц. уравнегая.-1972.-Т.8,!ХЗ.-С.549-552;

Д. vWjoiMi and sai^adjeiM-t 4»ш.Нам1 vaBiu ¡лоб' Ciws Viitfi. Vtvitt^oce ctWiiWns / SI AW {J. Aj>p£. ЛаЬ -Ш-v,«.-p. №-859.

A.M. iWiWf Vftbtt. put-isms rtlti UiieiioA. poUt iou-it-eoK<ii.UoHS / gheUtc y, V.19,-p.

Диссертация ставит целью I) в некоторой степени восполнить перечисленные пробели; 2) подробно изучить ОЗВП; 3) изучить многоточечные задачи с комбинированными краевыми условиями; 4) указать новые области применения КдУ с теории ОДУ, в • частности, применить КдУ в теории уравнен^ с обобщенными функциями с коэффициентах.

Научная новизна результатов определяется следугдни:

- построена теория неосцилляции решений однородного КдУ; в частности, доказан аналог критерия наосц!илящш й.Хартмана-А,Ю.Левина, получены достаточные условия неосцилляции;

- построена задача, сопрякенная к обаей классической многоточечной краевой задача и, в частности, задача, сопряженная к классической задаче Балле Пуссена;

- введен класс ОЗВП, содержащий сиесте с кандоЙ своей задачей такке и ее сопряженную;

- получены необходимые и достаточные условна однозначной разрешимости 035П;

- исследован знак функции Грщш ОЗВП, ее свойства по обеим переменным, установлена область положительности ассоциированных ядер, связанных с модулей функции Грина; исследованы некоторые свойства спектра и собственных функций ОЗВП;

- предложен новый подход к изучения комбинированных многоточечных краевых задач; в частности введено и изучено понятие неосцилляции однородного (дифференциального и разностного) уравнения относительно упорядоченной системы функционалов, участвующих в краевых условиях; линейный оператор разложен в произведение операторов первого порядка с использованием функционалов, участвующих в краевой садача; на основе этого исходная краевая задача разложена в систему краевых задач более простого вида;

- для некоторых частных случаев доказаны полуэффективнш критерии неосцилляции относительно функционалов ; на основе ето-го получены эффективные достаточные условия такой неосцилляции;

«■ исследован знак функции Грина и свойства спектра некоторых частных случаев комбинированной многоточечной краевой задачи;

- установлена возможность преобразования некоторых распада-эдихся многоточечных краевых, задач для ОДУ в классическую задачу Балле Пуссена для КдУ; на основе этого получены признаки разрешимости для краевых задач второго порядка;

- с помощью КдУ введено новое определение решения линейного ОДУ с обобщенными функциями в коэффициентах, более широкое.

чем существующие; доказана непрерывная зависимость решения от первообразных коэффициентов.

Теоретическая я практическая ценность. Результаты диссертации в области теории линейных многоточечных квозидифферен-циальных краевых задач (классических и обобщенных) расширяют и углубляет представления об этих задачах. Так, впервые рассмотренная ОЗВП обнаружило ранее неизвестные свойства классической задачи Балле Пуссена. Например,найденные свойства функции Грина ОЗВП по второму аргументу мокло применить к исследованию линейных и нелинейных краевых задач с несуммируемыми особенностями; решения ОЗВП можно использовать для приближения решений классических задач..Свойства ОЗВП используется в теории импульсных краевых задач в работах участников семинара проф. Н.В.Азбелева. Результаты в области теории комбинированных многоточечных задач находят' применение в теории и практике двусторонних методов решения краевых задач. Определение решения уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах с помощьп КдУ можот быть использован такие для практического построения решения задачи Копи Для линейного ОДУ с несуммируемыми особенностями в коэффициентах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на всесоюзных и региональных конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям (1984 - 1988 гг), на семинаре проф. Н.В.Азбелева (1984 - 1988 гг), в ннсти-*уте математики и механики УрО АН СССР (семинары проф. С.Т.За-валипуша н проф. Ю.С.Осипова, 1985, 1986, 1988 гг), в институте прикладной математики пфи Тбилисском университете ч( семинар проф. И.Т.Кигурадзе, 1980 г.), на кафодре ыатематичес: эго анализа Удмуртского гос.университета (семинар проф. Е.Л.Тонкова, 1983 -

1988 гг\на факультете В!Л ИГУ (семинар пт>оф. Н.Л.Григоренко,

1989 г.), в институте математики АН УССР (семинар проф. А.Ц.Са-мойленяо, 1989 г.), в институте математики АН БССР (семинар проф. И.В.Гайшуна, 1989 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 22 работы в журналах ."Дифференциальные уравнения", "Известил вузов", "Доклады АН СССР", кепвузовских сборниках и тезисах конференций. Основные результаты диссертации опубликовав в [1 - 15].

Структура и объем работы. Основная часть диссертации содержит 300 страниц машинописного токета и состоит из введения и шести глав. Список литературы из 126 наименований и три при-

ложеимя содеркат еще 35 страниц. Главы разбиты на. 21 параграф; нумерация параграфов отдельная по главам; нумерация пунктов, утверждений и формул отдельная по параграфам; этачцумерация сохранена н в автореферате.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I. Неосцилляция решений квазиднфференциального уравнения. Во введении к главе кратко излагаются основные факты обшей теории линейного КдУ. 5 I носит вспомогательный характер. Здесь приводятся утверждения теории неосцилляции однородного КдУ

С*ЗС)сЪ = 0, -и! , (3)

которые могут бить сформулированы в терминах решений.

Обозначим через линейное пространство функций сс. :

I , имевдих локально абсолютно непрерывные квазипроиовод-ные С к. с- 0 •• к-О н локально суммируемуп квазипрокзводную

о^ • Скаком, что огс Йр имеет в тонко е! -нуль кратности к„ если й)^)^ 0, к с

OlKv•ip (ф*0с(ко^и.). общее число 9 -нулей функции гга на Я с ! с40с I ) обозначим ^ Ск,*3)

С Уравнение (3) назовем неосцнлляционныи на ЗсХ,

если для любого его нетривиального розенлк «<•>

• При условии р-^С-П^О п.в. в и неосцилляция уравнении (3) оквивслентн£ представлению

> - ^ Ркн ^ №... на Ас с^), (4)

где (4) > 0 , "'ч-^С* ^ С и £ 0: им) локально абсолвгно непрерывны, -А^О) локально суммируема; справедлив аналог обобщенной теоремы Ролля; неосцилляция уравнения (3) на ¡3 иCft.il или У - С-» эквивалентна существованию у |юго системы решений { , обладащей свойством йе!

-Ье.У , к с \ \ п. -системы) и системы решений (зЛ,

обладаицей свойством

del (ï'y^.,*0 » «M*»

( S5- (У) -системы решений).

В 5 2 а предположении неосцилляции уравнения (3) доказывается положительность функции Кошн и устанавливается знак функции Грина классической многоточечной задачи Ваяло Цуссина. Здесь доказывается также некоторые вспомогательные факты "кпа-з5!дцфф8ргнц:1ального"исч1!сл0Ш1Я, которые используются в дальнейшей.

Обозначил через Sd) множество функций fps I -"■TR., обладающих свойством: для лкбого ^Sl найдутся такие числа , 11 • что IW8QT

место оценка С ji--j I почти для dcox £ пэ

S -окрестности точки J? « (Зункцла из 3(1) локально суммируо-ии. Скажем, что 8>€1Рл(1), если 4/ра g S(l) ,

Pire/pu €3(1), iß it 11-1, к« О î 1-1 ( 9 - нияняя'

треугольная матрица, Ф » ( Pv^Vq)

Теорема 1.2.3. Пусть Q € Рл(1) , st G ,

• <P,C», («si, ^^tt-O,

fe ^^/'Ptt^-Ai (0<Av!<«», или).

S ч

Тогда

-&r<t ciüliÜ = п Ал .

В § 3 доказывается аналог .полуэффектпвного критерия З.Хартмана - А.Ю.Левина неосцилляции уравнения (3).

Пусть € Э?д, , У cl > система функций {1

называется О) - системой, осли {^к.} А и

при каздон ¿-<Hin-l - 9-М+(3)-

о

- 10 -

-системы.

Теорема 1.3.1, Для того, чтобы уравнение (3) было неосцилляционным на СО.,43 е I » необходимо и достаточно,

чтобы существовала iP-SCCe.fc)) -система *

Фк t , удовлетворявдая неравенствам

На основе теоремы I.3.I получены эффективные

условия не*

осцилляции.

Глава 2. Многоточечные линейные краевые задачи и их сопряженные. S I этой главы является вспомогательным. Здесь рассма:-риваатся общая двухточечная краевая задача для уравнения (2), изучагтся некоторые вспомогательные операторы.

Пусть * СЪ. - простран-

ство суммируемых на Э со степенью р (ограниченных в существенном на iJ ) функций с обычной нормой. Дополнительно к ранее налагавшимся ограничениям потребуем, чтобы 4/р4в ,

(</р+ Щ в 1> . Тогда сЦ , плотны в]Ц

н L и L* можно рассматривать как линейные операторы, действующие из L^ в Lp и имеющие плотные области определения;

«Ö(L)B , Пусть С - один из этих операто-

ров. Следующим образом определим линейный оператор С * IL^^L^'

1 4

а а

Ухе СЛ^Е.

При 1 <р«г«>о есть оператор, топологически сопряжен-

ный оператору С i при априори С" есть лишь некото-

рое сужение сопряженного оператора.

Обозначим через L^ сужение операторе L краевыми условиями =

Теорема 2.I.I. L* , CL*T Ц .

Далое в § I рассматриваются двухточечные краевые условия

Мо + ЗС. СеЦр«>сЗ> « О, З^-ПС

для которых строится вектор-функционал К,*'1 Иг'

такой, что оказывается справедливой

Теорема 2.1.2. р в Ц .

Здесь () -сужение к () краесь-гти усло-

виями о О С и 0 ) •

В § 2 рассматриваются краевые условия

ЛаО

где гля-г - матрицы Пятаковы, что ранг гп :< -матри-

цы М» ( Но ... равен, иг .

1 Пусть Д я , а^]. Введем линейное пространство

функций > , имеших кусочно абсолотно непрерывные квазипроизводные л (1С 5 05 »г- -3) 9 которые допускает разрывы типа конечного скачка в точках А „ и такио, что

5 % € Пр. <= И н с .

Обозначим

^у 3 0)" 0 > ' С о I л-1), сое сфрп;,.>

Ж « Лл^С-Н,...

(5+СО«X-блочно-диагональная гатраца; - расотро-

ние и* на 52^ по формуле

Дополним М до невыроаденной С^+Я^п.- матрицыМ

и положим Б » ( » М+п Э (Я")ТЖ .

Пусть м+ - подматрица . обраэониннаи первыми

- т. ее строками, А.*^ » М+ •

( и д* ) - сужение I. СI» * ) " краевыми условиями

хх » о в 0 > •

Справедлива

Теореыа 2.2.3. (и^М.*,

■ ♦ А

& связи с этой теоремой краевая задача и ,

* ® называется сопряженной к задача ££ в

ла в О ( £ € Ц

Скажем, что 0С€ имеет в точках ^ * Д 9 -

дефект п. ), если имеет разрыв е

точке 0-1, а все младшие квазипроизводные непрерывны в этой точке. Функцию х€ » имещуи ь точках ЧХ^ € А Ф -дефект не выше р> , назовем Д, Р)- сплайном ( Р °

Л „ I М- . +А

" » Пусть и - суженнс и на множество

Д, -сплайнов ( С)*,,... ,

Следствие теоремы 2.2.3. Задачей, сопряженной к классической задаче Балле Пуссена

Ы

^ (а, ао*» ¿4 , *е<н*и, 2|и.;»и..(Ь) * *

является задача

Далее в 5 2 строится задача, сопряженная к произвольной многоточечной задаче на множестве Д > р-сплайнов. В связи с етим и с (6)) рассмотрим задачу

С Ры<л'» J4.fl» О» 0</11+<р1«и., 1*1«»),

которую егтоствсино налпать обобщенной задачей Боллг Пуссена. Классическая задача (5) получается из (7), (0) при я 0 } задача (6) также есть ГЗВГ1. Задача, рассмотренная Ю.В.Покоршш Покорный Ц.В. О неклассической задаче Балл«? Пуссена // Дифферент уравнения. - 197(!. - Т. 14, № 6. - С. 1010-1027) получается ИЗ (7), (.'!) при И Р1 а 4.

Следствие теоремы 2.2.5. Задачей, сопряженной к авдьч« СП, С"3) является задача

которая также петь 0314.

Таким образом, класс ОЗВП замкнут относительно перехода к сопряженной задаче. Это означает, что свойства функции Грина ОЗВП обладает некоторой "симметрии". Задач. (7), (8) самосопряженная, если 9 , «.-четное, = ,

, ии».

Глава 3. Обобщенная задача Балла Пуссена. В этой главе изучается задача (7), (8). В § I сформулированы основные результаты. . !

Пусть а в «ндя $ рП , Т"^51 ®педем ЛОВЫ0

и правые (Ч^ индексы точек д^б Д в ОЗВП (7),(Р):

к

Теорема 3.1.1. Для того, чтобы задача (7), (8) бмлн однозначно разрешимой, необходимо, а если уравнение (3) н-оспилляпипино на ^ , то и достаточно, чтобы выполнялись угле рич

ъ О , 0 , »га .

® ИЛИ "^Ко®® ПРИ некоторой с,б "h? , то для однозначной разрешшости (7), (8) достаточно неосцилляции уравнения (3) на промежутках 1&, &КаЗ и 63-Обозначим

$ fit sign. И (А-ечУ , -ЬО.

Г l«4

Следупцее утверждение есть обобщение известной теоремы Е.С.Чич-кина на ( ® , Д, f ) - сплайны.

Теорема 3.1.2. Пусть , урав-

нение (3) неосцилляционно на У , ^^ О» t^fc О,

и п.в. в ^ выполнено неравенство -^C-t"> > О • Тог-

да для решения сгСО задачи (7), (8) справедливы соотношения

(Н) ^сЬ ■ icCfti.ftu,), UQtf

И cii,) = |4 » ie OS 4.

Обозначим Af = { at€ L i -UUi},

V(ji<ab V) v V •

где Q-C-t, £> - функция Грина задачи (7), (8).

Теорема 3.1.3. Если уравнение (3) неосцилляционно на У, и *tu>Q,

«PffCg.ttiJ«^ , ico.iH,

- 15 -

где ОС^. 3) , За -сечение (э-С-Ь.З}.

Следствие. При условиях теоремы при

всех как функция 3 имеет в точках 3*0.5, С1-нули

кратности в точности РI •

Теорема 3.1.4. При условиях теоремы 3.1.3

сЬ-Ь ( СП)

при

, , '(12)

♦,«4 а! = й„...

» ..

Если в дополнение к (12)

то в (II) имеет место строгое неравенство.

Две последние теоремы позволяет исследовать свойства спектра и собственных функций ОЗВП подобно тому, как зто сделано в работах Ф.Р.Гантмахера и М.Г.Крейна (двухточечные задачи Балле Пуссена для ОДУ), А.В.Левина и Г.Д.Степанова (различные двухточечные задачи для ОДУ), Ю.В,Покорного (классическая многоточечная задача Балле Пуссена для ОДУ и частный случай ОЗВП для ОДУ при в 1 ).

Рассмотрим следувцую задачу на собственные значения •

а4,'а)сЬ « лг.МУ'ОсЪ, (13)

<р?с~»<4>?>/4 » (14)

Теорема 3.1.5. Пусть выполноны условия теоремы 3.1.3. Тогда

I).задача (13), (14) имеет бесконечную последовательность вещественных собственных чисел, причем

... ,

хв ""00 >;

2) соответствующие им собственные функция гг<0), обладают свойствами: функции «• С^сс^С^)

непрерывны на У и образуют на 3 ■ ряд Маркова относительно ^ , причем

е) имеет на 3 в точности ^.-4 перемен знака;

других нулей, кроме участвующих в этих переменах знака, в не им^ет С }*> »

б) перемены знака С*) и перемежаются;

в)

линейная комбинация в4й ... + ^^^ С^к.*

. -V > О ) имеет на У не менее с- 4 перемен знака и

на не более £ - i нулей.

Лалее в § I рассматриваются случаи, когда исходная ОЗВИ распадается на несколькб ОЗВП на частичных промежутках.

В § 2 доказывается ряд вспомогательных утверждений в основном опирающихся на разложение (4). Эти утверждения резюмируются следующим распространением -на ( С5 , й , р ) - сплайны обобщенной теоремы Ролля.

Пусть ос С*} - ( Ф » Д , ? )-сплайн, - число перемен знака на У (значение кусочно непрерывной функции

в точках разрыва при подсчете числа перемен знака не учитывается) , *2йв - число перемен знака Ц. * ^ « в точках из & , с10-число нечетных среди С $ } , число отличных от

нуля С , £ При О С ©£» 6 ,

& - и в при сСв < с Ы.. .

Теорема 3.2.1. Пусть Ь> 5с' кусочно непрерывна и имеет на И лишь изолированные перемены знака. Тогда

Э

СУ £ - "Е 8-,

§ 3 посвящен вспомогательным утверждениям другого типа. Здесь показывается необходимость условий теоремы 3.1.1, приводится представление функции Грина ОЗВП через фундаментальную

Ю Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г, Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М,~Л. Гостехиздат. -1950, с. 229.

систему решений уравнения (3), аналогичное представлению функции Грина классической задачи, исследуется все случаи распадения ОЗВП нп ряд задач на частичных промежутках. В заключенно параграфа исследуются свойст.а индексов £к , tK , в частности их поведение при добавлении к списку Ь новых точек. Бее утверждения 5 I доказывается в 5 4. Глава 4. Линейные многоточечные краевые задачи с комбинированными краевыми условиями. Подход к изучении линейных краевых задач, который предлагается в этой глпве состоит в том, что краевые условия, если это возможно, разбивается на две группы. Например, интегральные краевые условия и многоточечные, или условия, в которых заданы линейные комбинации значений функции и ее производных в одной точка, и условия Балле Пуссена, или условия типа Коп:и-Ннколетти л условия Валла Пуссена. Краевые задачи, допускапиче такое разбиение, называется комбинированными. Далее осуществляется факторизация линейного опер~тора с помояьв краевых условий первого типа. На основе этой факторизации исходная краевая задача разлагается в систему краевых задач болео простого вида.

В 5 I рассматривается линейные краевые задачи для дифферон-циального ( ТЭ = cL/di ) или разностного ( Т>»Т, - сг-Ci + O) уравнения

(Ls)t±> n s i« (i;)

Kae

с краевыми условияхт двух типов:

ч

и

jй Ии-ъ „ (17)

где

= Ca,S3 («1) при Drz адн, у = О: Л-п.

9

С ° 5 при 15 = Т , и - некоторые линейно независимые линейные функционалы, Aj *. ^-»jR , ^n."

^рассматривается как линейное пространство, топология в нем не фиксируется. _

Пусть (р^Сх, } означает число нулей с учетом их крат-ностей (при A/ctt ) или число перемен знака (при Ь»Т )

CCfi _ на 1 ;

>3C<„...,eK)«ÍL5 ífC8c,4)éK-icH e «Íí( sccbíáo.-leoyi

при к»0 обозначаем < 1 С .

Теорема 4.1.3. С с .

Как показывает примеры, вообще говоря,

V......hct<.....

при 1С > 1 , поэтому полагаем

.VWP)%nja<e......6 e)t

Теперь

V 4...... е%> с с ° с

Назовем уравнение

неосцилляционным на й относительно упорядоченной системы , ... , , если

L6Ut3ce„..., ео.

Пусть In - фиксированная система решений уравнения (18). Обозначим через р^ определитель, который получится

кз вронскиана dit С il-i ) если заменить в нем пос-

о

ледние р строк строками (i^ii, , ... , , te 1 : р.

Скажем, что Le ..., £f> Э С , £р>),если

существует система {tt^!^ С такая, что ,

K.e1f. и.-р С Ь^ } t£4ip) сохраняют знак на

i V£,се......п

Теорема 4.1.1. С 6„... , ef) с ^ itu ... , > С1 ¿р«Ч.> \ .....£o = Ut3CA.....¿o.

Определим операторы (если Ье ^ (£,,...и М[

(если Ье ^(Л, .. , ) ) формулами

° 1) - ----- ,

Пусть

- линейный дифференциальный или разностный оператор порядка ц-р с единичным старшим коэффициентом такой, что = С^раг).

Теорема 4.1.4. Если к € ^ (.¿и ..., ¿р ) , то

Теорема 4.1.5. Если Ь 6 ^ ( ... , ^ «) |Т0

I «Л,... .

Отметим, что для всех решений/уравнания (Эр и в ^ невязки С ^ р "> суть числа, зависящие лишь от & .

Эта зависимость есть, очевидно, линейный функционал. Полагаем

Теорема 4.1.6. Если Ь 6 .....

краевая задача (15) - (17) эквивалентна следующей системе краевых задач

Л\ 1^ = , Х\ » , I 6 4 : * , >0 = ^ , (19)

При этом задачи (19) однозначно разрешимы.

Пусть бс-Ь.з), и ГЫ.П-

Рриив соответственно задач (15) - (17), (19) и (20). Следствие теоромн 4.1.6. Если

и существует функция Грина задачи (20), то существует и функция Грина зодачи (15) - (17) и при 2> * ¿/«Н <4

всМ)« 5-! га.'гоСг^.^л ••• б**1«.« ¿х%\

а а

Аналогичное представление имеет м<»сто н при 2>вТ.

Пусть при ЪвЛ/еИ «О^СЗ) -система есть -систеыа ( Е - единичная матрица); при 1>"Т надо в определении Е - (Э } - системы вронскианы заменить казоратиакама, ' Т о о р о м а 4.1.7. Для того, чтобы ^С^,..., »

необходимо и достаточно, чтобы существовала ©^00 -система решений уравнения (К1), обладашая свойством

ик€ , иа€ . п-ч + 1 л .

Б $5 2-4 приьодятся полуэффективные критерии неосцилляции уравнения (18) относительно упорядоченной систоыы функционалов. В 5 2 рассматривается один функционал

»-4

Т. СЪ\)сс.), р

с - С . ' '

( в<С при 1)в{1/(Й , 0£ С * Л-И. + 4 . ПриТ)«Т-).

На основе полуэффективного критерия получены эффективные доста-точтае признаки принадлежности ¿.С

В § 3 рассматривается система функционалов Л-1 -к

£{х О*"«)^) + <Б*а) СС;> ч (21)

при следуояем расположении

ал с,< ... Cld/di >,

U<s %-i СЪ » т ">

и

Лй Ct!4 ... С- С, 5 6 • 0 5 Ct tf ... й С, d Jf-tt+ <

Считаем, что прй D ® Т выполнены неравенства л. Н V

При 15 ** d/cii обозначим через (1 <j ) число С^,

равных а ( 4,) » ПР» D Т через Ха обозначим чнс.:о C(,s О , а через число С^ » Л - к + I .

ПолуэффективниЯ критерий в этом случае имеет следупдий ьид. Теорема 4.3.2. Для того, чтобы L £

необходимо и достаточно существования £D+(*3)- системы

{. , H-4S

"w «. 3 1 • обладающей свойствами

. (-i)^" о . icfiitit-o, :'

1» в. случае (22)

я 0 » U V< г"г& . { ' '»

• п-к+г-г.-Ч „

(-0 <t{Vr.bO, U t-te+< •. a,

ii6г-г^+i i rt + t-t^-l ,

а в случае (23)

(М)М"Й*1 Ъ 0 , \ (■ 1Ч ь , к € 11 rt- I ,

^„»о, U гв-н ч-v , (aciirt-l, tec г,, •. м.-1 + га .

CD- d/di ) ,

> (23)

CD«T\ J

- 22 -

В 5 3 рассматривается также функционалы (21) в случае, когда <ц совпадает либо с д, , либо с В в любой последовательности,

В § 4 рассматривается только дифференциальный случай. При этом используется аппарат КдУ. Пусть теперь

V & £в к*-* ф-'Оссо.

причем Ч.а., Обоз-

начим И ; С^к - опре-

делитель, который получается из минора 4 ) если за~

менить в нем последний столбец столбцом С^ч*» ... Теорема 4.4.2. Пусть ^ С V" I ) > ^

( I О. Пусть существует ЯУ^С^) - сис-

тема {^"ж}11""1 • обладающая свойствами

(-«У"" 0 , (24)

*¿ч&кЪ О , к С- \ \ к-1 ,

(25)

прячем хотя бы при одном ве %л : либо в (25), либо в

(24) на множестве положительной меры имеет место строгое неравенство. Тогда и €

Для п.» I, доказано более сильное утверждение.

В 5 5 исследуется знак функции Грина и свойства спектра краевой задачи = Л/{Ц )

(Ьс)еЬ = из, (26)

К^ас «О, Ч й IV-£, (27)

<р(*, <Ч>*/Ч » 2. (28)

где определены равенствами (21), причем С,,*» ... ■ Сгся с ( а < С. <с 4 ; если О , то условий типа (27) в точ-

ке С. нет), а остальные с^, совпадают либо с д. . либо с 5 (безразлично в какой последовательности), 1>г+ 4-^+ 1.

Пусть теперь = (¿Ч.4 ,

V Сс,&> М) ■ С-оУ*4 при

<эС&) а С-О при С < -I 6 & ; за обозначением ЦГ^Ы)

сохраним прежний смысл; ОС^, - Функция Грина задачи (26) - (28).

Теорема 4.5.1. Пусть Ь 5 Ш С 1и..., Тогда

<:<?ы (X ч^вссс-^.

где = 5 а Зд - сечение &С4,!П.

Справедливы также теоремы, аналогичные теоремам ¿¡.1.4 и 3.1.5.

Глава 5. Преобразование многоточечных краевых задач. В § I рассматривается краевая задача

гЬАс&а, *<з1а.М, е^ас^)»^,

«Ч.зсЬ с- И* , Ас-Ь£Н*",* а... б.

Выберем функцию Л,; £а, &3 так» чтобы -аС^;.) =

» ^^''Ч15 предположим, что матрица А СО облада«;? свойствен

а : существует р^ I Сл, (П С ^ ^ «-1, О: I)

такие, что можно определить функции ^^ С^» Осе 0!к)

по формулам

Ь3 '

К'1

. т

Р А р,л,п.,.-, + ¿орк-гС1СС1-.п-о,

причем С*€ 1 > ПИ) абсолютно непрерывны, сум-

мируемо, а матрица G»C^0, • , ) но вырождается ни в одной точке. Определим р в ( p0(v , .. . , р, )Т кок Proemio уравнении '

ПОЛОЖИМ Р».* P>v>vB ^ » ПРИ t > t , построим

квазипроизподные но матрице (р , и положим ra « -R7 2. . Тогда краиная задача (29) эквивалентна задаче Ролле '¡.\гсенп

(VO^-O, teca, él, (Jx)Ho-lTi, U^kv.

причем Z » G ( oi^Oc}, Cnpa;">wi'i n

T t e p o v а Ь,I.I, Пусть выполнены условия OV • Краевая задача (.">3) однозначно разрешима при любом расположении "Ц € С Л, Ь 1 тогда и только тогда, когда уравнение ^ОС в О нсосцилляционно на t<l, fe] .

Теорема допускает распространение на случай, когда некото-рно из -Ц совпадает. На примере системы, эквивалентной уравнению

(РуУ + гГ0' *еСМЗ («))

и краевых условий Штурма-Лиувилля показывается возможность выбора pin; i обеспечиваииих выполнение условий (в (30) предполагается, что ^/р и 1 с.уумируемы, причем p(i>>0 п.». в СО, 6] ).

В 5 2 на основе теоремы 5,1.1 получены э^ф'нтивнно достаточные условия однозначной разрешимости простоем их краевых за-дпч для уравнения (30). Здесь рассматриваются краепие условия

= усёу*0, (31)

Ср4)СИ)*0, (f>pCé) = 0, ар.у

- CpJ/Xft) «О , 1i(6)nO. (J4)

Справедлива, например, :

Теорема Ь.2.3. Если

, \ 1 рсЬчх-1) > С I иЬМ/сс) ,

(V

ю задача (30), (32) однозначно риэрешима; если

$ &

рсЪчсЪ > (Я }к-Ы4/:зг ) , (За)

Л

то задача (30), (31) однозначно разрешима; если крона (ЗЬ) выполнено также условие

а- л+ (4-1)а/рС4>+ > о С^бСа.й])

(¿-а)&/рсЪ + г Л О , и [а, Г] ),

то задача (30), (33) ((30), (34)) однозначно разреичша.

В 5 3 с помощью теоремы 5.1.1 получены эффективные ¡длли-гочные условии неосцилляции ураннения (30) относ, 1-гольно функционала

* Т» + Г« < С Л $ с « .

Глава 6. Уравнения с обобщенными функциям» и коаффицид^ьл. Основным объектом изучения в этой главе является сшшфНй.. уравнение

'^chtzin'l\ ... + рлсЪс5= р^Ъ, iebC^pv^»

коэффициенты > которого - производные ь смысле кл^, ы

обобщенных функций от, вообще говоря, разрывши функции. P<i:t -личные подходи к определению решения уравнения (35) т.чцк fiii. пбсуддиются в книге А,й.Филиппова (Филиппов A.S. ,!i.iь ш . и ные уравнения с разрывной правой частью. '!. ; Hayna, ИЫ , .■■:! ; ) и работе А.Ю.Левина (Ленин A.D. Вестник Лрлсламскир , ..,¡.1. %

рыл» 8, с. 122-144). Предлагаемый подход отличается от рассмотренных в этих работах.

§ I носит подготовительный характер, Здесь рассматриваются следушие две модификации интеграла Лебега-Стилтьеса от ограниченной В-измеримой функции по функции , иыешей локально ограниченную вариацию 5 •

I

О) [ {сЫ^сЬ £ I ^сЫ^с-Ь , и I

$

(§(&>-§(й-о» + СО 1£сЫ()<1> + с4)-дгётО)),

с

где ^ - мера Лебега-Стилтьеса, порожденная непрерывной слева функцией § С - о }. Интеграл (2) но зависит от значений во внутренних (из ) точках разрыва (но зависит

от ' и ); он не зависит от ; если

интегрируема по в смысле Дарбу-Стилтьеса (иди Перрона-

Стилтьеса), то оба интеграла совпадают; интеграл ад-

дитивен как функция промежутка, 4

Приведенные в этом параграфе теоремы о предольном переходе под знаком интегралов (1) и СО служат основой для доказательства непрерывной зависимости решения уравнения (36) от первообразных коэффициентов, Возможно они продстполявт ц самостоятельный интерес. ^

Пусть Тп, - множество точек разрыва фСО » Основной результат параграфа -

Теорема 6.1.1. Для того, чтобы для любой измеримой

ограниченной на [а, Ь) и любой

■I 6 £.Я.,6>) (всюду!) выполнялось соотношение

I г

с« $ {*сЬ Я^ф - СО I (с <з?)

необходимо и достаточно, чтобы

а) Зи-Са-О) -уса-о)

рщчюмерно на Си—

- 27 -

б) для лсбоИ системы иокалогащнх интервалов {

С а»,Л $ £ к , ряд

«■1

СХОДИЛСЯ- квазиравномерно относительно }

в) существовало такое аС , что

ЧУМ, <?ЛС1-0) й X , .

Са,63

Ес"ч кроне условиГ а), б), в) выполнено еще я условие

^Са-о) ~ дс-Ь - дса-о) , иТ^

то пр.ч дюбои -Ъ в Ссц&3

•Сип а>£ ^д^сб) ■ с« [ {он . (зн)

Как показывает примеры, сходимость сс еду для С-П нельзя заменить .на сходимость ^ -почти всвду; если и

не содержат непрерывных сингулярных составляющих, то

условна б) теоремы может быть заменено следушнм условием: ряд »

. т ре

где ~ Тл У (и Т» ) сходится квазираено-

* « а 1»

мерно относительно ... .

В § I приводены и другие условия предельного перехода вида (37) и (38).

В 5 2 приводится и обсуждается определение решения уравнения (36), о которой говорилось тмэ. Здесь предполагайся, чтл выполнено условно ЗУЪ : р^ С • > В-изиерима и локально ограничена, ркС*) СмбП1. И. + 1) имеет локально ограниченные вариации. Таким образом, как и в цитированных аиле работ;.*, га предполагаем заданными первообразные ког'йиниенгои, й и.и

- 28 -

числ« и значения этих первообразных в своих точках разрыва. Пусть сначпла л.^2,, Т*- множество точек разрыва

и.

tv (О T«UTU а'йТ. Определим нижние тре-

и. И.

угольны? матрицы Не (А^к"), и Ф® ( РЫ^ о следующими равенствами

& ък^ è с Р< - Pi («■*>), i

Cl> CKGâ-.K Ici),(39)

6 Û*P {. С Чи.*"'*««. «fc , (40)

с к» ..., 8, iei,.,.,c ; -tel)

(при м.« 3. равенства (40) и (41) отсутствуют);

Рк-с* /Лкн

^"-^.K-l CUV. к--.).,

^li = ^K'v " ^Kj, ^K-J-M, K-Ui '^K-J+i.k-jtl

( VÊj+liic, j 6 H ic ^ при К последнее равенство отпа-liï'-:; KtliN. )i

Pi»" ^U.

С 11 * , к б ft/, к , ii I). При И, а 1 . « р.„ i .С=р С р, ~ р'п с Л* )), Р,« О, Р„- I.

Будзи рассматривать кваэнпроизводныв и квазндифф<-'р<2нниал1.-иов уравнение nq построенной матрице . Условия ТУЬ гарантируют (с большим запасом) однозначную разрешимость задачи Коши

(d^yci)^ ы)

при любой локально суммируемой и любом | £ "R11 ,

Вместе с уравнением (26) рассмотрим начальные условия

"У* (.«-<!к, ael, ^еКЛ. (•»■»>

Теорема 6,2.1. Если рк(0 Скб1'. м+1) локально абсолютно непрерывны (коэффициенты уравнения (i>o\ si or., гра вая часть локально сумнлруеыи), то задача (35), (43) оквиикленг-на задаче (42) при " '^„С^ > 1 я 'f >

у» су«»...» <iV) •

Рассмотрим однородное уравнение (36) ( pa+1ci) п 0 ) . Так как задача (42) ( 3 О ) однозначно разрешима при условиях Ti% » то представляется естественным следувдес-о п р е д о л о и и е . Решением задачи (36), (43) при p^CbsO называется решение задачи (42) при |cb s О и <£ = Н С^У

Отки решение определяется однозначно. Оно существует и единственно, имеет В-измеримув локально ограниченную прои.чбод-нуа порядка 'л - i . Если выполнены условия цитированных выпи.-работ, то совпадает и решения.

Решение неоднородного уравнения строится с нсмиш.ы блнаши' конструкции. Это решение могет быть построено и слспуь.-.ш сера• зом. Пусть СчрС^, S ) - функция Кони уравнения ^ эг - О , Тогда решение уравнения (35) с нулевыми начальными л.>f-.;iiic:ir имеет вид

- 30 -*

wti> • W J C^t-Mi&^CtaeJp^fgi .

йг

Непрерывная зависимость решения от ^ (при выпол-

нении только условий TYt ) доказывается на основе теореы 5 I (см., например, теорему 6.1.I). Эти теоремы показывает, что решение уравнения (36) нельзя получить с помощью предельного перехода из последовательности решений классических уравнений с локально суммируемыми коэффициентами.

Рассмотрим последовательность уравнений

i i,mui,i,.„).

Пусть С*1) - решение отого уравнения при начальных усло-

виях (43), ссС') - решение задачи (36), (43) (в смысле выно-лрипеденного определения).

Т е о р о м а 6*2.6. Пусть выполнены условия "¡¡f}ft ,

локально абсолютно непрерывны

— pkC"t) , ie I , т.— »о , к 6 1} И.+ 4 ;

4.1

6 Ktn-.n+i,

Тогда

Он Uht с4о-асС±>, tel.

Порядок пределышх переходов в этой теореме изменить нельзя.

Введенное определение позволяет автоматически перенести

на уравнение (35) теорио неосцилляции и теории зид&чи Вилли Пуссена.

В 5 3 напе определение распрос роняется на систему

ськфеЬа+^сЬ (ДаХ; кс4>, {сЪ в ),

гда матрица б) - С и ззктор-функцнл -|с*) удов-

летворяет еледуюшм условияи: ~ ^ 1к ПРН к Й ' >

причем с* > В-иэыеримы и локально ограничены, (тц„

при < К и компоненты > ¡шест локально ограничен-

нее вариации,' при (с>| локально суммируемы < I, к

£ И.).

Для квазид1{ф$ерекциального уравнения

-их (45)

справедлива

Теорема 6,3,2. Пусть ) а элементы матрицы 9 удовлетворяет условиям:

рц непрерывны а X, РцС4>>0р ^ <?. I [

р1« /рЦ а Яд* , 1« 1; и., пй О; 1-ч , £/рКИ, в ф ,

причем П, С461: к} В-нзкорнш и локально ограниче-

ны, а и пРн к 6 О» & О^З-) имаот

локально ограниченные вариации.

Тогда задача Копи,,пля уравнения (44) имеет единственное ресение; квазипроизводные этого решения до порядка включительно В-измерикы и локально ограничены.

В § 4 приводится доказательство теоремы 6.1.1. Остальные теорэмы § I доказаны в прилонении 2.

В прилоаениц 3 рассматривается уравнение типа (35), где в правой части - производная порядка ш С ** ^^ • от функции ограниченной вариации.

ОсновньА? публикации по диссертации '.

I. Дерр В.Я, К вопросу о факторизации линейной краевой задачи // Дкфференц. уравнения. - 1981. - Т, 17, I? 12, -С. 2123-2135.

2. Дерр B.fl.• Критерий неосцилляции решений однородного уравнения относительно системы функционалов // Доклады АН СССР.

- 1901. - Т. 260, & 5. - С. 1047-1051,

3. Дерр В.Я. Теоремы о неосцилляции квазидкфференциальных уравнений // Проблемы современной теории периодических двике-ний. - Ижевск. - 1934. - Вып. 7. - С. 23-28.

4. Дерр В.Я. О задачах, сопряженных к многоточечным краевым задачам // Нелинейные колебания и теория управления, -Иксбск. - 1935. - Вып. 5. - С. 41-49.

5. Дерр В.Я. К предельному переходу под знаком интеграла Лебега-Ст.штьсса / Уды. гос. ун-т, Устин. мах. ин-т. - Устинов.

- I9(i6. - 39 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.07.86, Р 4867 - 86.

6. Дерр В.Я. Достаточные условия неосцилляции уравнения второго порядка относительно функционала // Изв. вузов. Математика. - 1936. - » 12. - С. 21-26,

7. Дерр В.Я. О спектре некоторых многоточечных задач / Уды. гос. ун-т, Устин. мех. ин-т. - Устинов. - 1987. - 45 с. -Деп. в ВИНИТИ 23.01.87, Р 533 - 87.

8. Дерр В.Я. О преобразовании некоторых многоточечных краевых задач в задачу Балле Пуссена и условиях разрешимости //

Диффоренц. уравнения. - 1987.'- Т. 23, Г> 4, - С. 598-608.

9. Дерр В.Я. К обобщенной задаче Балле Пуссена // Диффе-ренц. уравнения. - 1987. - Т. 23, £ II. - С. I86I-I872.

10. Де.рр В.Я. Об уравнениях с коэффициентами - обобщенными функциями // Ш региональная конференция "Функционольно-днф-ференциалвные уравнения и их приложения". - Пермь. - 1988. -С. 25.

11. Дерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнен^ с обобщенными функциями в коэффициентах // Доклады АН СССР. - 1988. - Т. 290, & 2. - С. 269-27¿:

12. Дерр В.Я. О неосцилляции однородного уравнения относительно упорядоченной системы функционалов // Республиканская конференция "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений". - Рига. - 1988. - С. 42.

13. Дерр В.Я. Об уравнениях с обобщенными функциями // Вторая Северо-Кавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. - Махачкала. - 1988. - С. 74.

14« Дорр В.Я. Прлэпад ноооцшшпцш относительно одной опотош функционалов // 17 региональная конференция "Функционально дифференциальные уравнения и их приложения". - Уфа. -1989. - С. 25.

15. Дорр В.Я. О линейных дифференциальных уравнениях с коэффициентами - о<$о<5щвшшиа функцдяш // Диффоропц. уравна-шхя. - 1989. - Т. 25, Н 12. - С. - 2187 - 2188.

Подпиоано в почать 18.06.1990. формат 60x84/16.Бумага писчая. Плоская пвчать.Усл.ноч.л.1,82. Уч.пзд.л.1,79.Тирая 100 экз. Заказ ЧЯ о Ч-vv\ - оо ьоц Бесплатно.

Радшщзопно-издатольсклй отдал Игавокого механического института. Ротащпнт СМУ ЭПМ.

Адроо института и ротапринта: 426069,г.Иаевок,ул.Студв1шаокая,7.