Анализ природы обобщенных решений для некоторых классов краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ларин Андрей Владимирович

АНАЛИЗ ПРИРОДЫ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2005

Работа выполена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Азизов Томас Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Булгаков Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич

\

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет

Защита состоится 29 ноября 2005 г. в 1540 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038 05, доктор физико-математических наук, профессор

Гликлих Ю Е.

200 £-4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Возможность представления обыкновенного дифференциального оператора

Ьи = рйи{п+1) +Р1Ы(п) +----Нрп+1«

в факторизованном виде

^^^(¿^(■■■(¿Ло«)-)), (1)

чрезвычайно важна в самых разных разделах анализа и его приложений. Например, в цикле работ 30-х гг XX века М. Г. Крейн, исследуя осцилляционные спектральные свойства для операторов старших порядков, сразу предлагал их заданными в виде (1). Впервые для уравнения второго порядка возможность такого представления установил и использовал Пуанкаре. Общий вид функций К{х) в (1) предъявлен Фробениусом по фундаментальной системе решений уравнения

Ьи = 0. (2)

Если ¥>ъ • • • 1 4>п~ некоторая фундаментальная система решений (2),

то

= = М*) =

т<Ро, >*-1)]а [к — 2, ..., п),

где Ц[т — \¥(1р0, ..., (рт) — определители Вронского.

Однако, это чисто формальное представление не обеспечивало регулярности, так как в стороне оставался вопрос об отсутствии нулей у всех вронскианов Представление (1) с непрерывными коэффициентами независимо друг от друга обосновали Келлог и Пойа, связав это обоснование со свойством неосцилляции оператора Ь : оператор Ь (вместе с уравнением Ьи = 0) называют неосциллирующим на отрезке [а, 6], если любое его нетривиальное решение имеет не более (п+1) нуля с учетом кратностей. Свойство неосцилляции достаточно исчерпывающим образом исследовано в работах А. Ю. Левина, Ф. Хартмана и др. в связи с различными вопросами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (60-80-е гг XX в.).

Если для исходной достаточно гладкой системы соответствующие

детерминанты не имеют нулей, то эта система Фк = {<рг}о является при каждом к системой Чебышева. Это обстоятельство послужило отправным в

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА |

классической теории Маркова по проблеме моментов. Возможность распространения теории Маркова на более общие классы функций (без предположения об их гладкости) исследовалась в серии работ М. Г. Крейна и его учеников. В конечном счете им удалось установить аналог представления (1) в виде

<1 <1 <1 (1 . .

и, (3)

<1х<1рп<1рп-1 йра

где меры ро, рх, ..., рп порождены исходной системой Чебышева Ф = {у?г}о непрерывных функций, причем, система Ф называлась фундаментальной системой решений уравнения Ьи = 0. При этом Рк{Ъ) были непрерывными справа монотонными функциями и относительные производные в каждой точке были правыми.

Ясно, что представление (3) чрезвычайно интересно (и важно) для анализа уравнений с самыми различными особенностями Однако оказалось, что это представление, вообще говоря, неверно.

Ю. В. Покорным был предъявлен контрпример в виде системы

ио(*) = 1. «1(4)=«, «а(«) = т + 1*1>

Здесь в представлении (3) невозможно обойтись непрерывными справа функциями ро, Ри • • •, Рп- В последующей работе Ю. В Покорного была предложена схема, позволяющая корректно обосновать представление Крсйна-Рутмана, основанная на расширении понятия относительных производных по "многоступенчатым мерам".

В настоящей работе детально анализируется и обосновывается соответствующий "восстановленный" результат Крейна-Рутмана. Анализ связан с расширением понятия интеграла Стилтьеса на случай ступенчатых мер.

Заметим, что неточность в теореме Крейна-Рутмана обнаружил также Р. А. Жалик. Он привел и контрпример, близкий по сути к (19). Его попытка доказать соответствующий "правильный" общий результат не увенчалась успехом С контрпримера к его результату начинается оригинальная часть настоящей работы

Цель работы:

— развернутое обоснование концепции, приводящей к корректному и полноценному доказательству теоремы М. Г. Крейна, М. А Рутмана об инте-

тральном представлении дифференциального оператора, фундаментальная система решений которого имеет в качестве своего базиса М-систему функций;

— опровержение попытки Р. А. Жалика решить данную проблему без использования многозначности мер в точках, в которых исходная система теряет гладкость,

— распространение понятия .ЕТ-продолжения исходной системы Чебышева на системы негладких функций;

— обобщение понятия кратности нуля и числа геремен знака решений псевдодифференциальных неравенств (в которых дифференциальный оператор представляется через последовательное применение относительных производных по многоступенчатым в точках разрыва мерам).

Методы исследования. Специфика исправленного представления (1) заключается в том, что при относительном дифференцировании функции рк№) неизбежно оказываются многозначными — для них в точках разрыва невозможно обойтись только значениями рк(£ — 0), + 0). Так, в примере системы (19) должно быть

т. е. рг(£) оказывается в точке t — 0 трехзначной. Для Т-системы более высокого порядка в особых точках функции-меры обязаны (подчеркнем — именно обязаны иметь) и большее количество "промежуточных в точке значений. Таким образом, мы вводим соответствующее расширение исходного отрезка [а, 6], заменяя каждую особую точку £ несобственным сегментом [£ — 0, £ + 0], включая внутрь него дополнительные элементы — точка £ у нас как бы расщепляется. Именно в этих "псевдоточках" мы определяем соответствующие промежуточные значения ступеней функций (£).

Неизбежность появления промежуточных "ступенек" мер в особых точках устанавливается самой процедурой построения этих мер, возникающих в

* + 1, * > 0, = 0, 4 = 0,

г - 1, г < о,

результате предельных переходов в отношении

Р(£о, 6, .... Ш) =

<Ро(£о) •■ Ы*)

<Рк(г)

¥>о(£о) ••■ <Ро(€к)

к — 1, ..., п — 1, при стягивании упорядоченных наборов

■ • •. &

к точке т. Оказывается, предельные значения зависят от того, каким образом такой набор £о < £ь < • • ■ < 6: располагался в процессе стягивания его к г относительно этой точки, т. е. между какими £г+1 находился т в процессе этого стягивания. Именно эти разные пределы определяют различные "промежуточные в точке т" значения соответствующей функции меры.

Многозначность конструируемых таким образом мер предопределяет и расширение понятия интеграла Стилтьеса, позволяющего обращать описанное дифференцирование. Устанавливаемая таким образом псевдорегулярная факторизация (1) позволяет изучать ситуации с достаточно с негладкими решениями, открывая возможность построения и использования таких традиционных и базовых для многоточечных краевых задач методов, как многократное итерирование теоремы Ролля.

Научная новизна. В работе детально обосновывается неизбежность учета "промежуточных значений" — ступенек — мер р^, порождаемых процедурой дифференцирования вдоль системы Чебышева. Описано соответствующее расширение интеграла Стилтьеса.

Изучено обобщенное понятие кратности нуля у полинома по произвольной системе Чебышева.

Для дифференциальных уравнений с существенными особенностями (по типу модели многоопорного стержня) описаны аналоги классических теорем о распределении нулей, об их суммарной обобщенной кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Одним из современных направлений математической физики является анализ обобщенных решений для краевых задач с различной степенью особенности. Основные методы, используемые при этом, относятся к теории обобщенных функций по Соболеву-

Шварцу и дают весьма неполную информацию о структуре и свойствах решений, поскольку решениями оказываются обобщенные функции

В диссертации исследуется анализ возможности использования более точных методов, позволяющих говорить о сильных решениях. Для этого используются квазипроизводные по специальным мерам, порождаемым исследуемой задачей. В работе обсуждаются различные аспекты этой причинной связи, в частности, описание соответствующих мер по фундаментальной системе решений.

Возможность представления непрерывной на отрезке [а, Ь] системы Чебы-шева Ф = {¡л(£)}о 3 виДе фундаментальной системы решений некоторого дифференциального уравнения чрезвычайно важна в различных разделах , анализа.

( Обоснование представления (3) позволяет переносить на случай уравнения

с обобщенными коэффициентами стандартную технику (типа расширенной теоремы Ролля) подсчета суммарной кратности нулей промежуточных квазипроизводных, хорошо развитую для регулярных дифференциальных уравнений.

Представление (3) открывает возможность поточечного анализа решения дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами, что в принципе невозможно в рамках теории распределений (обобщенных функций).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Воронежского государственного уни-( верситета (семинары Ю. В. Покорного), на семинарах Ю. И. Сапронова, на специализированных секциях Воронежской Зимней и Весенней Математиче-, ской школы (2004, 2005 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, список публикаций приведен в конце автореферата. Основные результаты диссертации получены самостоятельно. Из совместных работ [1]-[2] в диссертационную работу включены только результаты, принадлежащие автору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 11 параграфов, изложенных на 98 страницах, и списка литературы, включающего 45 наименований. Для утверждений (теорем, лемм, следствий) и замечаний используется двойная нумерация вида (Номер главы Номер утверждения в главе), для формул принята сквозная нумерация.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации приводится обоснование концепции, позволяющей перенести

методы исследования гладких функций на широкий класс функций, нерегулярных в некоторых точках интервала.

Диссертация имеет структуру в виде трех глав.

Первая глава "Системы Чебышева и их свойства. Предварительные сведения "содержит реферативную информацию о системах Чебышева, свойствах Т-систем, примеры Т-систем. Также приводятся утверждения, касающиеся кратности нулей негладких функций, базы точки и М-свойства базы.

Как известно, система функций {м* (£)}", определенных на абстрактном множестве Е, называется системой Чебышева (Т-системой), порядка п на Е,

п / п \

если каждый многочлен Р{£) = [ > 0 1 имеет в Е не более

о V о /

п корней.

Эквивалентность этого определения Т-системы и детерминантного свойства установлена Хааром:

Функции }о образуют Т-систему порядка п на Е тогда и только то-

гда, когда определитель

"о(*о) «1(*о) о)

и0(и) ••• ип(Ь{) ^

ио(Ь„) их(гп) •■• ип(гп) отличен от нуля при любых ¿о, ¿1 ■ • ■, £п £ Е, среди которых нет равных.

Приводятся общеизвестные свойства Т-систем, показывающие возможность построения и единственность существования (в определенных условиях) многочлена по данной Т-системе, принимающего наперед заданные значения в п (п + 1) точках интервала.

При построении многочлена, имеющего своими корнями заданные т точек, имеют различие простые и двойные корни. В монографии М. Г Крейна, А. А. Нудельмана (Крейн М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М Г. Крейн, А. А. Нудельман — М.: Наука, 1973

— 414 с ) получены оценки числа нулей многочленов по данной непрерывной Т-системе, если кратность каждого из нулей не превосходит 2. Таким образом, простой корень должен иметь единичную кратность, а двойной корень

— кратность, равную двум Данные результаты позволили провести аналогию с гладкими Т-системами (ЕТ-системами), количество нулей многочленов которых вычисляется с учетом кратностей нулей.

Данные свойства являются основанием для истинности утверждения о существовании в множестве полиномов по исходной Т-системе многочлена, по-

ложительного на всем [а,Ь].

Рассматривается линейное подпространство Е пространства С(а,Ь) функций, непрерывных на (а, Ь).

Полагается, что Е не колеблется справа в точке £ £ [а, Ь), если каждая функция х{€) £ Е (х{{) не тождественный нуль) при некотором е > 0 не имеет нулей в + е). Аналогично определяется неколеблемость Е слева в точке £ € (а, 6] Если Е не колеблется в точке £ как справа, так и слева, то Е будем называть просто неколеблющимся в точке Пространство Е, неколеблющееся в каждой точке £ 6 [а, 6], назовем неколеблющимся на (а, 6). 4 Как известно, множество полиномов по данной Т-системе на отрезке [а, Ь]

является неколеблющимся на (а, Ь). Введенное понятие неколеблемости поз-^ воляет доказать утверждение о взаимной дифференцируемости полиномов по данной Т-системе.

Для построения системы мер, приводящих данное дифференциальное выражение Ь к виду (1), необходимо привести исходную Т-систему функций к М-системе (системе Маркова). Предположение о том, что в множестве многочленов исходной Т-системы существует базис, являющийся М-системой, принципиально важно для анализа свойств функций (35). В вышеупомянутой монографии М Г Крейна, А. А. Нудельмана формулируется результат о существовании такого базиса по крайней мере на открытом интервале (а, Ъ). Доказательство же этого факта в полном объеме не было приведено.

Вторая глава "Об относительном дифференцировании по многоступенчатым мерам, порождаемым системой Чебышева" посвящена вопросу обосно-„> вания представления (3) через исправление результатов Крейна-Рутмана с ^ применением квазидифференцирования по многоступенчатым мерам.

Приводится первоначальная редакция (Крейна-Рутмана) теоремы об интегральном представлении систем Маркова.

Недавно мы обнаружили контрпример Р. А. Жалика к данной теореме, сопровождаемый попыткой исправить результат М Г. Крейна, М. А. Рутмана:

Теорема 2.4 (Р. А. Жалик) Пусть {ы0, ■ • •, ип} — М-система на несчет,ном множестве А, обладающем свойством (£>) (т. е. множество А полностью упорядочено, не содержит своих максимального и минимального элементов, и для каждой пары различных элементов из А существует третий элемент А, находящийся между ними), и пусть с € А. Тогда существует система функций {уо, ■ • •, уп}, имеющая следующие свойства:

(a) Функции î/o, • • •, Уп представляются в форме

i-i

Уг = и, + г = 1, 2, ..., га,

J=0

и уо = щ на А.

(b) Существует подмножество В множество А, имеющее не более чем счетное дополнение к А, вещественнозначная строго возрастающая функция h, определенная на А, и набор {р\, ..., рп} вещественнозначных строго возрастающих функций, определенных на открытом интервале, граничные точки которого являются инфимумом и супремумом h(A) такие, что p,[h(c)) = 0, г = 1, ..., п, и для каждой точки t из В,

МО

Vi(t) = Vo{t) j dpi(s),

M<0 M«) Si

mit) = Ve(t) J J dp2(s2)dp1(s1),

(21)

h(c) h(c)

Ht) Si «n-l

yn{t) = yo{t) J J • ■ J dPn(sn)dp„-i{sn-i) ■ - ■ dpi(si).

h(c) h(c) h(c)

Оказывается, исправление некорректно, и соответствующие теоремы Р. А. Жалика не устраняют природу неточностей в доказательстве вышеупомянутой теоремы М. Г. Крейна, М. А. Рутмана. Для опровержения результата Р. А. Жалика используется система Марко-

ва, состоящая из пяти функций:

u0{t) = 1, щ (t) = t, u2{t) =

¿^-i, i<0

Г i3 — 3i — 2

us(t) =

, i < 0

ТГ

ft + 2)3 - 9t - 10

(22)

ъ->*>°

¿4 - б*2 - 8< - 3 , . п

= <

¿4 + Ш3 + 62^ + — 3 _ —-—-' г * и

В центре второй главы — доказательство теоремы об интегральном представлении в формулировке Ю. В. Покорного:

Теорема 2.5 Пусть линейная оболочка Е(Ф) непрерывной Т-системы Ф = {<^0(^)1 VI М> •••, <Рп{Щ на интервале (а,Ь) содержит тождественную единицу. Тогда существует такая монотонная панка Мп = что (¿) € £'(Ф) С С^Мп)(а,Ь), и равенство

<РоШ Vi (Со)

Ы£п) <Po(t) <Pi (in) ¥>i(f)

= 0,

(32)

¥>n(fr) ••• <Ai(fn) Vnft) ®(io) ■•• ®(£n) x(t)

где a < £0 < £1 < ■ • • < £n < t < b, эквивалентно включению x € (a, b) и равенству

-----£-x(t)= const, feiJ(zw). (33)

d/in-i dpi

При этом линейная оболочка Е^ системы пРи каждом к имеет

размерность п — к + 1, а любой базис Е^ есть система на Щщ+х)-

Доказательство этого результата оказалось возможным благодаря использованию квазипроизводных по мерам, многозначным в сингулярных точках заданного интервала (о, Ь).

Пусть некоторая функция <p(t) определена на (а, Ь). Тогда подмножество (а, 6) точек непрерывности tp{t) обозначим через R(<p), а подмножество (о, Ь),

являющееся дополнением к R(<p), — через G(ip).

Будем говорить, что <р £ Н, если G(ip) содержит все точки разрыва ¡р, функция ip имеет на Г2(</з) локально ограниченную вариацию и если для каждой Z из G(ip) ip(Ç)о = - 0) и </?(Om = <P(t + 0). и sup t(£/V) < oo.

f ев(ф)

Функция (p называется а-дифференцируемой, a £ H, если а задана и строго монотонна на и для любой f € (а, Ь) существуют и конечны пределы

tSi a{t) - <r(i - 0) ÎV <r(i) - + 0)

Обозначив эти пределы через -f-{î—0) и -т^(£+0) соответственно, в случае

da oo-

их несовпадения введем для функции — в точке £ 6 (а,Ь) расщепление

der

{&,&}, что ^-0) = и ^(€ + 0) = ^(6). В точках £ е G{v)

с расщеплением {<fo, ..., £m} дефекта j(Ç/<p) = тп имеем

¥>(Ы - <Жо)

К-о),-

-*(&)' "

¥>(£m) - V(im-l)

Этот набор чисел определен на расщеплении .., £'т+1} для функции

dip

— в точке do

Для корректного определения относительной производной в приведенных выше обозначениях требуется определенное соотношение дефектов (размерностей наборов расщеплений) дифференцируемой функции и функции меры.

Функция (р £ Я примыкает к ф £ Н, если Gy Э G^ (Д^ С ii^,) и y(f/V) = 7(£/У>) + 1, для всех £ из Д,,.

Определение 2.3 Набор Мп — {/i,}" функций из Н называется монотонной пачкой, если при всех k = 1, 2, ..., п Цк строго монотонны на своем fi(/ijt), и при к — 2, ..., п каждая fik примыкает к p-k-i-

Для фиксированной монотонной пачки Мп — {fii}\ через СМп(а,Ь) обозначим множество таких функций h £ Н, что для любой h и для любого к — 0, 1, ..., п — 1 почти обычная производная

аМ(<) =~Л1*-Ч(*), = 2, ..., п, аЦк

= /г.(й), является /ifc+i-дифференцируемой.

Описанная процедура дифференцирования допускает естественное обращение с помощью интеграла типа Лебега-Стилтьеса.

Пусть £ е бу/ f€ Я), и с ней однозначно сопоставлен набор

{£[)' iii • • • 1 fm)>

ip'(£'t) — (г — 0, ..., т), и пусть fj,(t) 6 Я — строго монотонная на fi(/Li)

функция такая, что у(£//х) = t(£/V) - 1, = /i(f)i (* = О, .. •, т - 1) на наборе {£о, • • •, £m-i}- Тогда интеграл исходной функции <p'{t) по функции p,(t) в точке £ запишется в виде

m-1

/ ¿мм = хушмо. - m(o«-I)>

i-o t=1

представляющем значение скачка <^(£ + 0) — <р(£ — 0) первообразной функции ip(t) е Я в точке £ Заметим, что тС^/м) = 7(f/V)-

Определение 2.4 Пусть функция x(t) £ Я определена на множестве £1{х), получившемся из интервала (а, Ь) заменой нерегулярных точек из Gx С (а,Ь) функции x(t) (т. е. точек, в которых x(t) неоднозначно определена) соответствующими упорядоченными наборами расщеплений, а функция n(t) g Я строго монотонна при всех t € € Gx, и для любой £ € Gx 7(£/м) = 7(£/я) ~ 1- 7Ьг<?а ¿ля любых с, i 6 П(х)

f x(s)dn(s) = f x(s)d^(s) + £ £ *(Ша»(0. - M£)»-i)> (31)

С i fe<?.M «=1

г lie d, t' € (a, 6) — точки, в расщеплениях которых находятся точки cut соответственно, a fXo(t) ~ непрерывная часть функции t).

Глава 3 "Псевдодифференциальные неравенства" посвящена изучению вопроса о числе перемен знака и количестве нулевых мест решений некоторого квазидифференииального неравенства Получены оценки числа перемен знака, сформулирован аналог теоремы Ролля для негладких функций

п

Обозначим множество многочленов ^^ по данной Т-системе

*=0

WWlo чеРез р

Т-систему {«ft(*)>o (a ^ t ^ состоящую из п раз непрерывно дифференцируемых функций, будем вслед за [1] называть jET-системой, если каждый многочлен P{t) 6 Р имеет в [а, 6] не более п корней, при условии, что каждый корень засчитывается столько раз, какова его алгебраическая кратность.

С использованием рассуждений теоремы 2 5 несложно убедиться в истинности следующего утверждения.

Как известно, для того чтобы система п раз непрерывно дифференцируемых функций была £Т-системой, необходимо и достаточно, чтобы определитель

ио щ ... и„ ¿о «1 ■ ■ • ¿п

(а ^ ¿о ^ ^ • • • ^ ¿п ^ Ь) не обращался в нуль при а < ¿о ^ ¿1 ^ - • • ^ ^ Ъ.

Лемма 3.2 Пусть х € Н [м-дифференцируема, где р(-) £ Н — строго

монотонная функция, а, 0

Для расширения определения ЕТ-системы на негладкие функции используется аналог классической теоремы Ролля:

Лемма 3.3 Для того чтобы д-дифференцируемая функция х 6 Н была

¿¿X

неубывающей, необходимо и достаточно, чтобы ее производная — была

ацх

всюду неотрицательной на соответствующем ей Г2 ( — ) .

Будем называть числом перемен знака функции х(-) £ Н на О(х) и обозначать через 5п(ж) наибольшее из целых к 0 таких, что для некоторого набора (а =)ао < <*\ < ■ ■ ■ < а^ < Ь) на каждом из полуинтер-

валов х), где [а,/3) = {< е И(х) : а ^ Ь < /3 функция ж(£) не есть

тождественный нуль и сохраняет знак.

Далее предполагается, что функция х(£) имеет в [а, Ь] конечное множество нерегулярных точек £ = {£1, £2, • • -, £т}, в которых я^) разрывна или теряет гладкость при дифференцировании. Соответствующее множество функций обозначим Я(£).

Лемма 3.4 Для любой х 6 //(£) из неравенства

®(*)«й(<) > 0 {1ф (44)

т

при = — следует, что число перемен знака £п(а:) этой

к=1

функции на £1(х) удовлетворяет неравенству

- т. (45)

ад <

и=1

Лемма 3.5 Пусть функция ¡1 € #(£) строго монотонна, тогда для любой

/¿-дифференцируемой х(-) 6 Н(£) имеет место неравенство

ЬМ-1'

Рассматривается неравенство

и0(г)Ь(х) ^ О ф г = 17т). (46)

Под его решением будем понимать любую функцию х{Ь) £ Г), удовлетворяющую ему при I ф

Формулируются теоремы:

Теорема 3.1 Пусть Ь не осциллирует на [а, 6]. Тогда любое решение неравенства

и0^)Ь(х)> 0 » = 17т)

имеет в [а, Ь] не более п + ]Г| перемен знака, где )Г| = 71 + 72 Н-----1-

Теорема 3.2 В условиях теоремы 3.1 для любого решения х(-) е Г) уравнения Ьх - 0

5п(®)<п+|Г|-1. (47)

Определение 3.2 Для кусочно-непрерывной на [а, Ь] функции х{{) точку ¿о € (и, 6) назовем нулевой, если х(<о + 0)х(£о — 0) ^ 0.

Теорема 3.3 Пусть Ь не осциллирует на [л, 6], и х(-) — некоторое решение из Г) неравенства

и0{1)Ь{х) >0 (Ьф г = 17т).

Тогда суммарная \-кратность всех различных нулевых мест х(-) в [а, Ь] не превосходит п + |Г|.

Далее в третьей главе рассматривается возможность переформулирования классических задач с использованием интегрального представление систем Маркова.

Пусть система функций (<)}"_0 является базисом рассматриваемого однородного уравнения. По теореме 1.6 данную систему возможно считать М-системой на интервале [а, Ь) (или (а, 6]). Согласно теореме 2.5 для такой системы существует набор строго монотонных функций (монотонная пачка) позволяющий представить уравнение

ьх = {{Езтх"{1))"+=т (56)

2006-4 *1 16924

в виде

im (¿h {ш) {d^rf{t))))=т (58)

Теорема об интегральном представлении (о существовании системы мер) по данной системе Маркова позволяет решить вопрос о слабом продолжении Т- систем.

Определение 3.3 Система функций un+\(t) является слабим Т-продол-жением Т-системы {wfc(i)}g на замкнутом интервале [а, 6], если система функций {ы*:(£)}о+1 также является Т-системой на [а, 6].

Теорема 3.4 Для всякой Т+-системы {«*(<)}о на замкнутом интервале [а,Ь] существует слабое Т+-продолжение un+i(t).

Список публикаций по теме диссертации.

1. Покорный Ю. В. Об относительных производных, порождаемых дифференцированием вдоль системы Чебышева / Ю. В Покорный, А. В. Ларин; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж. - 2001. - 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.07.01 N 1691-В2001.

2 Покорный Ю. В. О неосцилляции решений квазидифференциальных неравенств / Ю. В. Покорный, A.B. Ларин // Труды математического фаг культета. - Воронеж. - 2001. - Вып. 5. - 220 с.

3. Ларин А. В. Об интегральном представлении систем Маркова / Ларин А. В.; — Воронеж, ун-т. — Воронеж, 2005. — 15 е.: — Библиогр. 5 назв. - Рус - Деп. в ВИНИТИ 28.06.05 N 917-В2005

4. Ларин, А. В. Об интегральном представлении разрывных систем Маркова / А. В. Ларин // Тез. докл. материалов ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". — Воронеж, 2005. — С. 94-95.

5 Ларин, А. В. О мерах, порождаемых непрерывной системой Чебышева / А. В Ларин // Тез. докл. материалов ВЗМШ "Современные методы теории функций и смежные проблемы". — Воронеж, 2005. — С. 140-141.

Заказ № 759 от 14 10 05 i Тир 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение

Глава I. Системы Чебышева и их свойства. Предварительные сведения

§1.1. Определение и простейшие свойства систем

Чебышева

§1.2. Примеры Т-систем.

§1.3. О кратности нулей негладких функций. База точки

§1.4. М-системы. Чебышевское пространство. М-свойство

Глава II. Об относительном дифференцировании по многоступенчатым мерам, порождаемым системой Чебышева

§2.1. Теорема Крейна-Рутмана об интегральном представлении систем Маркова

§2.2. Теорема об интегральном представлении систем

Маркова

§2.3. Доказательство теоремы об интегральном представлении.

Глава III. Псевдодифференциальные неравенства

§3.1. ЕТ-свойства полиномов по системам Чебышева

§3.2. О распределении нулей .ЕТ-продолжения

§3.3. Случай многоопорной балки (переопределенная задача

Балле Пуссена) .91у

§3.4. Слабое продолжение Т-системы

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Возможность представления обыкновенного дифференциального оператора

Lu = р0и(п+1) + piu(n) + • • • + pn+iu в факторизованном виде чрезвычайно важна в самых разных разделах анализа и его приложений. Например, в цикле работ 30-х гг XX века М. Г. Крейн, исследуя осцил-ляционные спектральные свойства для операторов старших порядков, сразу предлагал их заданными в виде (1). Впервые для уравнения второго порядка возможность такого представления установил и использовал Пуанкаре. Общий вид операторов hi(x) в (1) предъявлен Фробениусом по фундаментальной системе решений уравнения

Lu = 0. (2)

Если сро, (pi, ., (рп — некоторая фундаментальная система решений (2), то = WW = Vo{t), ftl(<) = где Wm = • • • 5 фт) — определители Вронского.

Однако, это чисто формальное представление не обеспечивало регулярности, так как в стороне оставался вопрос об отсутствии нулей у всех вронскианов Wk. О. Д. Келлог (см. [18-20])и Г. Пойа ([34,35]) независимо друг от друга обосновали представление (1) с непрерывными коэффициентами, связав это обоснование со свойством неосцилляции оператора L: оператор L (вместе с уравнением Lu = 0) называют неосциллирующим на отрезке [а,Ь], если любое его нетривиальное решение имеет не более (n + 1) нуля с учетом кратностей. Свойство неосцилляции достаточно исчерпывающим образом исследовано в работах А. Ю. Левина, Ф. Харт-мана и др. (см. [22,38]) в связи с различными вопросами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (60-80-е гг XX в.).

Если для исходной достаточно гладкой системы {^г}о соответствующие детерминанты Wk не имеют нулей, то эта система Фк = {<£>г}о является при каждом к системой Чебышева. Это обстоятельство послужило отправным в классической теории Маркова по проблеме моментов. Возможность распространения теории Маркова на более общие классы функций (без предположения об их гладкости) исследовалась в серии работ М. Г. Крейна и его учеников. В конечном счете им удалось установить аналог представления (1) в виде d d d d dxdpn-idpn-2 dpo где меры po, Pi, Pn-i порождены исходной системой Чебышева Ф = {<fi\§ непрерывных функций, причем, система Ф называлась фундаментальной системой решений уравнения Lu = 0. При этом pk{t) были непрерывными справа монотонными функциями, и относительные производные в каждой точке были правыми.

Ясно, что представление (3) чрезвычайно интересно (и важно) для анализа уравнений с самыми различными особенностями. Однако оказалось, что это представление, вообще говоря, неверно.

Ю. В. Покорным в [3] был предъявлен контрпример в виде системы

Здесь в представлении (3) невозможно обойтись непрерывными справа функциями />о, pi, ., рп-\- В последующей работе Ю. В. Покорного ([11]) была • предложена схема "реабилитации" представления Крейна-Рутмана, основанная на расширении понятия относительных производных по "многоступенчатым мерам".

В настоящей работе детально анализируется и обосновывается соответствующий "реанимированный" результат Крейна-Рутмана. Анализ связан с расширением понятия интеграла Стилтьеса на случай ступенчатых мер.

Заметим, что неточность в теореме Крейна-Рутмана обнаружил также Р. А. Жалик ([4]). Он привел и контрпример, близкий по сути к (19). Его попытка доказать соответствующий "правильный" общий результат не увенчалась успехом. С контрпримера к его результату начинается оригинальная часть настоящей работы.

Цель работы: развернутое обоснование концепции, приводящей к корректному и полноценному доказательству теоремы Крейна-Рутмана об интегральном представлении дифференциального оператора, множество решений которого имеет в качестве своего базиса М-систему функций; опровержение попытки Р. А. Жалика решить данную проблему без использования многозначности мер в точках, в которых исходная система теряет гладкость; распространение понятия ЕТ-продолжения исходной системы Чещ(Ь) = 1, щ (t) = t, u2(t) = y + Ni t> 0.

19) бышева на системы негладких функций; обобщение понятия кратности нуля и числа перемен знака решений псевдодифференциальных неравенств (в которых дифференциальный оператор представляется через последовательное применение относительных производных по многоступенчатым в точках разрыва мерам).

Методы исследования. Специфика исправленного представления (1) заключается в том, что при относительном дифференцировании функции pk(t) неизбежно оказываются многозначными — для них в точках разрыва невозможно обойтись только значениями pk(£ — 0), + 0). Так, в примере системы (19) должно быть ( t + 1, t>0, / ч J * + 1, i>0,

Po(t) = t, pi{t)={ P2(t) = { 0, i = 0, t-l, t <0, ^ (t-l, t <0, т. e. p2(t) оказывается в точке t = 0 трехзначной. Для Т-системы более высокого порядка в особых точках функции-меры pk{t) обязаны (подчеркнем — именно обязаны иметь) и большее количество "промежуточных в точке значений. Таким образом, мы вводим соответствующее расширение исходного отрезка [а, 6], заменяя каждую особую точку £ несобственным сегментом [£ — 0,£ + 0], включая внутрь него дополнительные элементы — точка £ у нас как бы расщепляется. Именно в этих "псевдоточках" мы определяем соответствующие промежуточные значения ступеней функций Pk(t).

Неизбежность появления промежуточных "ступенек" мер в особых точках устанавливается самой процедурой построения этих мер, возникающих в результате предельных переходов в отношении

Сь =

Mfo) ••• s«o) •••

••• Ы6)

Pk(t о) ••• <Рк(£к)

35) к = 1, п — 1, при стягивании упорядоченных наборов к точке г. Оказывается, предельные значения зависят от того, каким образом такой набор £о < <•••<& располагался в процессе стягивания его к т относительно этой точки, т. е. между какими находился г в процессе этого стягивания. Именно эти разные пределы определяют различные "промежуточные в точке т" значения соответствующей функции меры.

Многозначность конструируемых таким образом мер предопределяет и расширение понятия интеграла Стилтьеса, позволяющего обращать описанное дифференцирование. Устанавливаемая таким образом псевдорегулярная факторизация (1) позволяет изучать ситуации с негладкими решениями, открывая возможность построения и использования таких традиционных и базовых для многоточечных краевых задач методов, как многократное итерирование теоремы Ролля.

Научная новизна. В работе детально обосновывается неизбежность учета "промежуточных значений" — ступенек — мер pj,, порождаемых процедурой дифференцирования вдоль системы Чебышева. Описано соответствующее расширение интеграла Стилтьеса.

Изучено обобщенное понятие кратности нуля у полинома по произвольной системе Чебышева.

Для дифференциальных уравнений с существенными особенностями (по типу модели многоопорного стержня) описаны аналоги классических теорем о распределении нулей, об их суммарной обобщенной кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Одним из современных направлений математической физики является анализ обобщенных решений для краевых задач с различной степенью особенности. Основные методы, используемые при этом, относятся к теории обобщенных функций по Соболеву-Шварцу и дают весьма неполную информацию о структуре и свойствах решений, поскольку решениями оказываются обобщенные функции.

В диссертации исследуется анализ возможности использования более точных методов, позволяющих говорить о сильных решениях. Для этого используются квазипроизводные по специальным мерам, порождаемым исследуемой задачей. В работе обсуждаются различные аспекты этой причинной связи, в частности, описание соответствующих мер по фундаментальной системе решений.

Возможность представления непрерывной на отрезке [а, Ь] системы Чебышева Ф = в виде фундаментальной системы решений некоторого дифференциального уравнения чрезвычайно важна в различных разделах анализа.

Обоснование представления (3) позволяет переносить на случай уравнения с обобщенными коэффициентами стандартную технику (типа расширенной теоремы Ролля) подсчета суммарной кратности нулей промежуточных квазипроизводных, хорошо развитую для регулярных дифференциальных уравнений.

Представление (3) открывает возможность поточечного анализа решения дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами, что в принципе невозможно в рамках теории распределений (обобщенных функций).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Воронежского государственного университета (семинары Ю. В. Покорного), на семинарах Ю. И. Сапронова, на специализированных секциях Воронежской Зимней и Весенней Математической школы (2004, 2005 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список публикаций входит в библиографический список ([2], [5], [11]-[13]). Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из совместных работ [2], [5] в диссертационную работу включены только результаты, принадлежащие автору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 11 параграфов, изложенных на 98 страницах, и списка литературы, включающего 45 наименований. Для утверждений * (теорем, лемм, следствий) и замечаний используется двойная нумерация

1. Крейн М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. А. Нудельман — М.: Наука, 1973. - 414 с.

2. Покорный Ю. В. Об относительных производных, порождаемых дифференцированием вдоль системы Чебышева / Ю. В. Покорный, А. В. Ларин; Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2001. — 33 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.07.01, № 1691-В2001.

3. Покорный Ю. В. Об интегральном представлении систем Маркова / Ю. В. Покорный // ДАН. 1994. - Т. 335. - N 1. - С. 18-20.

4. Zalik R. A. Integral representation of Tchebysheff system / R. A. Zalik // Pacific journal of mathematics. 1977. - Vol. 68. — N 2. -P. 553-568.

5. Покорный Ю. В. О неосцилляции решений квазидифференциальных неравенств / Ю. В. Покорный, А. В. Ларин // Труды математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2001. — Вып. 5. — С. 143-152.

6. Покорный Ю. В. Об одной осцилляционной теореме С. Н. Берн-штейна / Ю. В. Покорный // Мат. заметки. — 1988. Т. 43. - N 5. — С. 615-623.

7. Покорный Ю. В. О многозначных дифференциалах от кусочно-гладких функций / Ю. В. Покорный, О. Ю. Литманович, В. П. Плакси-на // Известия ВУЗов. 1996. - N 11. - С. 73-84.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М: Наука, 1967.

9. Боровских А.В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога / А. В. Боровских, Ю. В. Покорный // Успехи матем. наук. — 1994. Т. 49. - N 3. - С. 3-42.

10. Покорный Ю.В. О квазидифференциальных уравнениях, порожденных непрерывной системой Чебышева / Ю. В. Покорный // Доклады РАН. 1995. - Т. 345. - N 2. - С. 171-174.

11. Ларин А. В. Об интегральном представлении систем Маркова / А. В. Ларин; Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2005. — 15 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.05 N 917-В2005

12. Ларин А. В. Об интегральном представлении разрывных систем Маркова / А. В. Ларин // Тез. докл. материалов ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". — Воронеж, 2005. — С. 94-95.

13. Ларин А. В. О мерах, порождаемых непрерывной системой Чебышева / А. В. Ларин // Тез. докл. материалов ВЗМШ "Современные методы теории функций и смежные проблемы". — Воронеж, 2005. — С. 140-141.

14. Чебышев П. Л. Поли. собр. соч. / П. Л. Чебышев — М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1947. Т. 2: Математический анализ. 520 с.

15. Нааг A. Minkowskische Geometrie und Annaehrung an Staetige Funk-tionen / A. Haar // Math, ann., 1918. Bd. 78. - S. 293-311.

16. Бернштейн С. H. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной / С. Н. Бернштейн М.-Л.: ОНТИ, 1937. - Ч. 1. - 203 с.

17. Sturm С. Sur une class d'equations a differences partielle / C. Sturm // J. Math. Pures Appl. 1836. - V. 1. - P. 373-444.

18. Kellog O.D. The Oscillation of Functions of an Orthogonal Set / O. D. Kellog // Amer. J. Math. 1916. - V. 38. - P. 1-5.

19. Kellog O.D. Orthogonal Function Sets Arising from Integral Equations / O. D. Kellog // Amer. J. Math. 1918. - V. 40. - P. 145-154.

20. Kellog O.D. Interpolation Properties of Orthogonal Sets of Solutions of Differential Equations / O.D. Kellog // Amer. J. Math. 1918. - V. 40.P. 220-234.

21. Гантмахер Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн — M.-JL: Гостехиздат, 1950. — 360 с.

22. Левин А. Ю. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака / А. Ю. Левин, Г. Д. Степанов // Сиб. матем. журн. 1976. - Т. 17. - N 3. - С. 606-625; Т. 17. - N 4. -С. 813-830;

23. Karlin С. Total Positivity / С. Karlin // Stanford Univ. Press. 1968.

24. Гантмахер Ф. P. О несимметрических ядрах Келлога / Ф. Р. Гантмахер // ДАН СССР. 1936. - Т. 1. - N 1. - С. 3-5.

25. Юдович В. И. Спектральные свойства осцилляционного дифференциального оператора на прямой / В. И. Юдович // УМН. — 1983. — Т. 38. N 1. - С. 205-206.

26. Покорный Ю. В. О спектре интерполяционной краевой задачи / Ю. В. Покорный // УМН. 1977. - Т. 32. - N 6. - С. 198-199.

27. Покорный Ю. В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю. В. Покорный, К. П. Лазарев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 4. - С. 658-670.

28. Jentzsch R. Ueber Integralgleichungen mit positivem Kern / R. Jentzsch // J. flier reine und angew Math. 1912. - Bd. 141. - S. 235244.

29. Schur I. Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleichungen / I. Schur // Math. Ann., 1909. Bd. 67. - H. 3. - S. 306-339.

30. Sturm C. Memore sur les equations differentielles lineaires du second ordre / C. Sturm // J. Math. Pures Appl., 1936. V. 1. - P. 106-108.

31. Крейн M. Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантнымконус в пространстве Банаха / М. Г. Крейн, М. А. Рутман // УМН. — 1948. Т. 3. - N 1. - С. 3-95.

32. Покорный Ю. В. О знакорегулярных функциях Грина некоторых неклассических задач / Ю. В. Покорный // УМН. — 1981. — Т. 36. — N 4. С. 205-206.

33. Березин И. С. Методы вычислений. Учеб. пособие / И. С. Березин, Н. П. Жидков. М.: ГИФМЛ, 1959. - 464 с.

34. Polia G. On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equations / G. Polia // Trans. Amer. Math. Soc. — 1922. P. 312-324.

35. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. II / Г. Полна, Г. Сеге. — М.: Наука, 1978. 432 с.

36. Frobenius G. Ueber die Determinante mehrerer Funktion einer Variablen / G. Frobenius // J. reine und angew. Math. — 1874. — Bd. 7. — S. 245-257.

37. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах. — М.: Мир, 1965. — 276 с.

38. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения хп+ pi(t)x^+ ---+Pn(t)x = О // А. Ю. Левин / УМН. 1969. -Т. 26. - N 2. - С. 43-96.

39. Coppel W. A. Disconjugacy / W. A. Coppel // Lect. Notes. Math. — 1971.-N 220. 148 p.

40. Боровских А. В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога // А. В. Боровских, Ю. В. Покорный / УМН. — 1994. — Т. 49. N 36. - С. 3-42.

41. Остроумов В. В. Об однозначной разрешимости задачи Валле-Пус-v сена // В. В. Остроумов / Дифференц. уравнения. — 1963. — N 2. —С. 261-268.

42. Покорный Ю. В. О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи / Ю. В. Покорный // Матем. заметки. — 1968. — N 5. С. 533-540.

43. Покорный Ю. В. О вторых решениях многоточечных краевых задач с выпуклыми нелинейностями / Ю. В. Покорный // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. И. - N 10. - С. 1801-1810.

44. Дерр В. Я. К обобщенной задаче Валле-Пуссена / В. Я. Дерр // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N. 11. - С. 1861-1872.

45. Дерр В. Я. О задачах, сопряженных к многоточечным краевым задачам / В. Я. Дерр // Нелинейн. колебания и теория упр. — Ижевск, 1985. Вып. 5. - С. 41-49.