О разрешимости, представлении решения и регуляризации общей линейной краевой задачи для системы функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенной относительно производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КЙШСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСЗСР УРАЛЬСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.М.ГОРЬКОГО

На правах рукописи

Дударев Егор Петрович

УДК 517.929

О РАЗРЕШМОСта, ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ И РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ОБЩЕЙ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДА*Ш ДМ СИСТЕМЫ ФУШШОШЛЬНО-ДИФФЕРЕЩШЬНЬа УРАВНЕНИЙ, НЕ РАЗРЕШЕННОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Свердловск - 1990

Работа выполнена на кафедре математического анализа Пермского политехнического института.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.П.Максимов Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Ю.Е.Бояринцев доктор физико-математических наук, профессор И.В.Мельникова Ве,пущая организация - Институт прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета

Зашита состоится "У7" октября_ 1990 г. в

/ гОО

1о часов на заседании специализированного Совета К.063.78.03 по /осуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. А.М.Горького (620083, Свердловск, К-83, пр.Ленина, 51, комната 24В).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского университета.

Автореферат разослан сентЯРРЯ 1990 г. Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

В.Г.Пименов

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем. Диссертация посвящена исследованию линей->й краевой задачи

= = (I)

е - линейный ограшченный оператор, действующий из ВР в р , - линейный ограниченный вектор-функционал на Т)р . Здесь о - пространство функций х: [а,Ьт — Р с компонентами, суммируе-ми в степени р , если У ^ р < , и ограниченными в существен-м, если р =оо; Т)р - пространство абсолютно непрерывных функ-й ас:са,Ьз — /? , для которых х е . Как известно, любой

кейный оператор ¿С : Вр-Ц допускает представление

*

(ХхнЬ — + зсга).

зратор О : 1-р— 1-р из этого представления называют "главной •лью" оператора . Случай, когда в (I) оператор ^ имеет здгольмову главную часть, подробно исследован Н.В.Азбелевым, ?.Рахматуллиной, В.П.Максимовым и их учениками. Объектом иссле-)ания в настоящей работе является краевая задача (I), где опе-•ор У не удовлетворяет требованию фредгольмовости главной ,ти.

В центре исследования находятся следующие две краевые задачи: Задача I. Найти функцию з:еТ)р (У-й-р^ удовлет-ягощуи почти всюду на [а, А 7 уравнению

к)(Ь - I + А({) ос (а) = (2)

а

словию

¿г = х о)

б предположении, что В - прямоугольная (или особенная) матрица

с элементами из пространства, /- сх> » - линейный ограниченный вектор-функционал.

3 а д а ч а II. Найти функцию эс е Т)Р (1 ) такую, что Зое € 1)™ и которая удовлетворяет почти всюду на 1а,£>1 уравнению

(У*нЬ^^ШтЫ-^Ки^^ыс/з = {А)

и условию (3) в предположении, что 3 -тхп -матрица или особенная) с элементами из пространства , 1)р - линейный ограниченный вектор-функционал.

Уравнения типа (2) и (4) охватывают широкий класс функционально-дифференциальных уравнений и часто встречаются в приложениях. Так, любое уравнение

Лх =

где

(■/ & р ехэ ) - линейный оператор, являющийся линейной комбинацией операторов Т , , ^ и /-", определяемых равенствами 6

£ £ ¡я*.

а а

^ ^ _ I , если к(1) е. 1а,¿>] ,

I О , если Кс-ё) ф [а,£з при естественных ограничениях на параметры уравнения, имеет представление (2). А следовательно, типичными представителями класса уравнений (2) являются: система обыкновенных дифференциальных уравнений, система уравнений с сосредоточенным отклонением аргу-

мента, система уравнений с распределенным отклонением аргумента, система интегро-диф$еренциальных уравнений. Уравнения типа (2) возникают, например, в теории электрических цепей, в теории переноса нейтронов, в теории управления и в математической экономике, а уравнения типа (4) - в теории автоматического регулирования.

Актуальность теш исследования определяется необходимостью в общей точке зрения на отдельные классы уравнений, отличающихся формой записи, но имеющих глубокие общие корни проблем, которые возникают при исследовании разрешимости линейной краевой задачи для уравнения (2) ((4)), при получении представления решения этой задачи, при построении приближенного решения. Решение упомянутых проблем для краевой задачи I (II) позволило бы избежать повторений при исследовании конкретных классов -краевых задач и выяснить природу их основных свойств.

Цель работы. Используя различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных матриц, теорию линейной краевой задачи для

функционально-дифференциального уравнения &

<х

найти для каждой из краевых задач условия разрешимости и представление общего решения; исследовать вопросы, связанные с установлением корректности задачи, а также дать некоторые рекомендации и методы построения приближенного решения.

Обииз методы исследования. В работе использованы методы теории обобщенных обратных матриц, теории линейной краевой задачи для $ункшонально-ди|ференциальных уравнений с фредгольмовой главной частью, теории некорректных задач.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем: а) построены основы теории линейной краевой задачи I: получе-

нн критерии разрепимости и представление решения; показано, что краевая задача Г не обладает свойством ß. -устойчивоета* к малым изменениям "исходных данных"; указан способ построения регуляри-зованного по А.Н.Тихонову семейства приближенных решений возмущенной задачи и получена оценка уклонения этого регуляризованного решения от точного решения исследуемой краевой задачи;

б) получены критерий разрешимости и представление решения линейной краевой задачи II.

Теоретическая и практическая ценность. Проведенное исследование позволяет с единой точки зрения рассматривать задачи, ранее изучавшиеся вне связи друг с другом, служит дальнейшего развитию теории функционально-дифференциальных уравнений, расширяет возможности приложений этой теории и теории некорректных задач. Результаты диссертации могут быть использованы, в частности, при решении прикладпт задач теории электрических цепей, теории переноса нейтронов, теории управления, теории автоматического регулирования, математической экономики. Некоторые примеры таких задач, встречающихся в приложении, рассмотрены в работе.

Идеи, приемы и утверждения, изложенные в диссертации, используются на кафедрах математического анализа и экономической кибернетики Пермского университета.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, 1988), на III (Перта, 1988) и 1У (Уфа, 1989) Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения

1 Иванов В.К., Васин В.Б., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

я их приложения", на семинаре профессора Бояринцева Ю.Е. в Иркутском ВЦ СО АН СССР (Иркутск, 1990), на Пермском городском семинаре по функционально-дифферзнциальннм уравнениям (1987-1990).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, изложена на 92 страницах. Список литературы содержит 67 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении формулируется цель исследования, дается краткий обзор основных идей и результатов диссертации.

Первая глава посвящена описанию объекта исследования и обоснованию актуальности теш исследования.

Первый параграф этой главы носит вспомогательный характер. Здесь приводится описание одного класса линейных интегральных операторов, а именно класса , который систематически используется в дальнейшем, а также необходимые для дальнейшего изложения сведения из общей теории линейной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения (5) и из теории так называемых обобщенных обратных матриц (полуобратных, псевдообратных).

Говорят, что линейный интегральный оператор измеримым на [а, о] * [а,Ы ядром удовлетворяет условию

(/5/54«)), если для элементов э) п*п -матрицу КсЬ, в)

имеем

II с, з)Пц €¿2 , ¿,] п.,

В § 1.2 предлагается постановка приведенных выше двух линейных краевых задач I и II, которые являются объектом исследования настоящей работы.

Отметим, что задачи I я II в случае, когда в (2) и (4) -обыкновенная дифференциальная операция, т.е. когда

(¿£oc)(h М Bfé)iré)-M)Xfi)

и

<<£oc)(í) М ¿ lñ(hxcé)J - fithxté), а /

бас =¿¿ J с/(о (s) эс Cs), подробно исследованы Ю.Е.Бояринцевнм и его ученика!®1. Методика исследования упомянутых выше краевых задач, примененная Ю.Е.Бояринцевнм и его учениками, не может быть перенесена на случай задач I и II, так как существенно использует специфику систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно тот факт, что матрица Кош для системы обыкновенных дифференциальных уравнений представит в виде С (i, s) = Х(Ь X' (s), где л - фундаментальная матрица соответствующей однородной системы.

В заключительном параграфе первой главы обосновывается актуальность поставленных в предыдущем параграфе задач I и II, приводятся примеры таких задач, встречающихся в приложениях.

Вторая глава посвящена исследованию линейной краевой задачи I. Методика исследования краевой задачи I состоит в переходе с помощью специальной полуобратной матрицы Е) к решению вспомогательной задачи и последующем использовании результатов теории ли-

1 Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.; Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука, 1988. - 158 е.; Бояринцев Ю.Е. и др. Численные методы решения сингулярных систем. - Новосибирск: Наука, 1989. - 223 с.

нейной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения вида (5) и теории некорректных задач.

В § 2.1 формулируются условия, при которых в рассматриваемой главе исследуется краевая задача I. А именно, предполагается, что б - mх п -матрица с элементами из пространства Loo ( £> ^mxnLL,), причем, если т=п, то матрица 3 - особенная; К : Lp — L™ ( •/ =& р a oj ) _ линейный интегральный оператор о измеримым на [a,èj«• lu,bl ядром K(i,s) и удовлетворяющий следующему условию: если р=1 , то К - слабо вполне непрерывный, если i<p<<x>, то К удовлетворяет условию если р= оо, то К - регуляр-

ный слабо вполне непрерывный оператор; А

тхп Lp ; /в С;

матрица о имеет полуобратную матрицу пк ^п w , что краевая задача

сJef

f<£a JC)cé) Ki)0C(h fli(i) ocra) = О, toc ~ Ot

где Ki = 3 (■ ) К , Mi (■) = E) (■) Л(-), имеет только тривиальное решение.

В 5 2.2 установлена связь между множеством решений краевой задачи I и множеством решений следующей вспомогательной задачи:

Найти пару {x,if} е DP " Lp , удовлетворяющую почти всюду на la,bl уравнениям

(¿C&jocé) =-&~(h j(é) / vri),

xrsyds - f}(i)sc(00 + jd)}' o, S> ri) ггг-é) = О

и условию (3). Здесь Ет - единичная т*т. -матрица.

Л е м м а 2.1. Если х есть решение краевой задачи I, то пара {х, V} , где

г/гЬ = IЕп - B'ri) Brh3 ¿rh, (7)

является решением вспомогательной задачи. Обратно, если пара есть решение вспомогательной задачи, то ос является решением краевой задачи Т, при этом имеет место соотношение (7).

В § 2.3, основывачсь на лемме 2.1 и представлении решения полуодкородной задачи

¿еа*=у, (в)

получено представление решения краевой задачи I.

Основным результатом этого параграфа является теорема 2.1, дающая представление решения краевой задачи I в терминах системы линейных интегральных уравнений первого рода.

Теорема 2.1. Если краевая задача I разрешима, то ее решение имеет представление ^

x(h =XBd)X (i s> &'fs)jis)ds + J CB/¿,s)[En - B~rs)Bfs)1z(S)ds,

где X& - фундаментальная матрица однородного уравнения

хпЬ = О,

удовлетворяющая условию ¿J/в = , Ge(i,s) - матрица Грина полуоднородной задачи (8), х - решение системы линейных интегральных уравнений первого рода

J Н& <i,T:) Х(Т) с/т =yeré), te[a.,f} J, (9)

HB(te> = ~ В(i)B~(é)JHв[En- В~(z)В ml, £

H& (i,z) = 1 JCri s) +Kr-ê,T) - Л ri) Ga ra.Ti,

cje, (h = lEn - Bc-è)37é)Jri),

S В

ys (i)=-jfri,s)X&(s) dsX+MjXbiatf-jHbdvB'mjmc/v-jrb).

В § 2.4 получены критерии разреиимости краевой задачи I и приведены иллюстрирующие примеры. Основной критерий разрешимости дает

Те о ре ма 2.3. Краевая задача Г разрешима тогда и только

I п

тогда, когда разрешима в пространстве LP система линейных интегральных уравнений первого рода (9).

В зависимости от ранга матрицы Е> , как следствия теоремы 2.3, получены (следствия 2.1-2.3) более удобные критерии разрешимости .

В J 2.5 для одного частного случая краевой задачи I, а именно для случая, когда в (2)

(i£cc)(h « B({) jc (Ь + Jidixra.) i 4&p<oot получен (теорема 2.4) легко проверяемый на практике сритерий разрешимости.

В 5 2.6 показано, что краевая задача I не обладает свойством 'стойчивости к малым изменениям "исходных данных" (правой части f : i ) и, следовательно, является некорректной задачей. Причем, ак как краевая задача I может иметь не единственное решение, то од неустойчивостью этой задачи к малым изменениям "исходных дан-ых" здесь понимается отсутствие Ji -устойчивости.

§ 2,7 посвящен регуляризации краевой задачи I в предположена что

1) при точных "исходных данных" f = Jv и множество эчных решений ¿Сг краевой задачи I не пусто;

2) точные данные задачи { jy, iT) нагл известны лишь приближен), т.е. известна лишь пара {ffr, такая, что выполнены соотнося

«i?-§T«L? ^ 11 Ь ~ Ут"

;е § и \ - заданные положительные числа;

3) для оператора Грина полуоднородной задачи 18) известно лишь его приближение > такое, что выполнено соотношение

где ц - заданное положительное число.

Здесь указан (теорема 2.5) способ построения регуляризован-ного по А.Н.Тихонову семейства приближенных решений возмущенной задачи

[¿е, а* =

и получены оценки уклонения (теорема 2.6 и следствие 2.4) этого регулярязованного решения от точного решения краевой задачи I. Отметим, что регуляризация краевой задачи I проводится с помощью метода регуляризации А.^.Тихонова для системы линейных интегральных уравнений первого рода (9). Регуляризованным семейством приближенных решений краевой задачи I является множество , состоящее ¿.з элементов р о

где ХА пробегает регуляризованное семейство

решений систеш (9), Ху = II- 11 - произвольная матрица со столбцами из Ър такая, что £[/ = £>% . А — •

Третья глава посвящена исследованию линейной краевой задачи II. Методика исследования краевой задачи II аналогична той, которая использовалась при исследовании краевой задачи I в главе 2.

В § 3.1 формулируются условия, при которых исследуется краевая задача II. Предполагается, что матрица 3 имеет такую полуобратную матрицу В с элементами из Т)р , что краевая задача

(¡£& у) (-1) ^ у (Ь - (К4унЬ + $1(1) у (а.) "О, ¿ву = 0,

где

£> £ <К4ухЬ = \iKti,

я

£

= А(ЪВГ(и) - \К({, Б) ^ Й гв)^.

а л

&

имеет только тривиальное решение. Здесь - постоянная т*п -матрица, Фр - тхп -матрица со столбцами из ¡..ц ( определяемые из представления

{х: = ^ х«г) +

1Ф*

справедливого для любого линейного ограниченного функционала на пространстве Т)р.

В § 3.2 установлена связь между множеством решений краевой задачи II и множеством решений следующей вспомогательной задачи: Найти пару е!)р * Юр , удовлетворяющую почти всюду

на [а,6] системе

&

*) ¿ ГЗ) с/ч - ) ига),

[Ет -В^>В~Ы)]у{{> =0, ВсЬ г/(Ь = О

и условию

4У =)(-£*.

Л е м м а З.Т. Если ас есть решение краевой задачи II, то

пара

у(Ь = Ь( ао>

является решением вспомогательной задачи. Обратно, если пара

iy,ii) € D'p * Dp есть решение вспомогательной задачи, то

jrr Ь = &~(i)y(-i) 1Г(±) является решением краевой задачи II, при этом имеют место соотношения (10).

В * 3.3, основываясь на лемме 3.1 и представлении решения полуоднородной задачи

Уау-д, Uy=0. (И)

получено представление решения краевой задачи II. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 3.1. Если краевая задача II разрешима, то ее решение имеет представление

В '

£>~<b)ty&(i)(Y- J Ф/is) irfs)ds - Я/е и(а)) +

ОС. с

£ &

+ i (l,s)(jrs) -hj Kcs,T) u-(t)dt:- fi(s)V(a))ds}+ V(i), a a.

где У& - фундаментальная матрица однородного уравнения

<£ay)fh = o.

удовлетворяющая условию У& = , С % (i, s) - матрица Грина полуоднородной задачи (II), т - решение системы &

j 1Ет - B(i)&~(l}][ I Кв () zrcTjdz М& (i) Via) - fi)] = 0, \&(bir(h=-0,

I

K& (Ь, T) = 1 Q&(i,s) K(srT:)ds - Ф/ (T), /

J)&ci> ■= - - J Q& ct, s) Drs)c/s, ЯА

j&d)=-yB(h У - J Gact, s> f(s) c/s.

В 5 3.4 получены критерии разрешимости краевой задачи II. Основной критерий разрешимости дает

Теорема 3.3. Краевая затача ТТ разрешила тогда я только тогда, когда система Ь

[Ет - Ы)&~<тI JC&ri.T) - B~(T)B(r»ZCT)ldT У

+ Ай(Ь[Еп. - и)Bra>]z fa) - h(M = 0, as 6 ^L

имеет решение 2. такое, что 1Вп -3~B)z еВр .

В заключении приведен краткий перечень основных результатов, выносимых на защиту.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность профессору Сидорову Н.А. за полезное обсуждение полученных результатов, способствующее улучшению работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Т. О разрешимости одной системы линейных функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенной относительно производной // TII Урал, регион, конф. "Функционально-дифференциальные уравнения": Тез. докл. - Пермь: Перм. ун-т, I9B8. - С.30.

2. Об одной системе линейных функционально-дифференциальных уравнений, 'не разрешенной относительно производной // Функционально-дифференциальны е уравнения: Межвуз.сб.науч.тр. - Пермь: Перм. политехи, ин-т, Т988. - С.136-150 (в соавторстве).

3. 0 представлении решения и разрешимости общей краевой задачи для системы линейных функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенной относительно производной // Республ. конф. "Теория и численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений": Тез. докл. - Рига: Латв. ун-т, Т'Ш. - С.49.

4. Регуляризация по А.Н.Тихонову общей краевой задачи для одной системы линейных функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенной относительно производной // 1У Урал, регион, конф. "{ункционально-дифференщальные уравнения и их приложения": Тез. докл. - Уфа: УАИ, 1989. - С.30.

5. Регуляризация по А.И.Тихонову общей краевой задачи для одной системы линейных функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенной относительно производной / Перм. политехи, ин-т. -Пермь, 1989. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ. 11.05.89. Л 3071-В89.

6. О представлении решения и разрешмости общей краевой задачи для одной системы линейных функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенной относительно производной // Теоретические и численные исследования краевых задач: Межвуз.сб.науч.тр. - Рига: Латв. ун-т, 1989. - С.ЮО-Ш.

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная.

Объем Г,0 уч.-изд. л. Тйраж 100 экз. Заказ №675 . Бесплатно.

Урал. ун-т. 620083, Свердловск, пр. Ленина, 51.

Типография Пермского университета.

Подписано в печать 20.07.90.

Формат 60 х Дб.

614600, Пермь, ул. Еукирева, 15.