Устойчивая разрешимость абстрактных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения и вспомогательные утверждения.

§1.1. Банаховы функциональные пространства.

§ 1.2. Линейные операторы.

§ 1.3. Непрерывные операторы и некоторые теоремы существования.

Глава 2. Устойчиво разрешимые операторы.

§ 2.1. Устойчиво разрешимые операторы.

§2.2. Некоторые свойства устойчиво разрешимых операторов.

§ 2.3. Достаточные признаки устойчивой разрешимости.

§ 2.4. Устойчиво разрешимые операторы относительно класса усиленно непрерывных возмущений.

Глава 3. Устойчивая разрешимость абстрактных краевых задач.

§ 3.1. Устойчиво разрешимая абстрактная краевая задача.

§ 3.2. Свойства устойчиво разрешимых абстрактных краевых задач.

§ 3.3. Абстрактная краевая задача для квазилинейного уравнения с нелинейными краевыми условиями.

§ 3.4. Разрешимость квазилинейных краевых задач.

Глава 4. Некоторые приложения.

§ 4.1. Задача Коши для одномерного стационарного уравнения теплопроводности.

§4.2. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно старшей производной.

§ 4.3. Разрешимость нелинейного уравнения Гаммерштейна.

Объектом исследования диссертационной работы является абстрактная краевая задача (АКЗ), т.е. система двух операторных уравнений где : X -» У - непрерывные (вообще говоря, нелинейные) операторы;

2,^2 : X -»Л" - непрерывные вектор-функционалы, Х,У - банаховы пространства.

В виде (0.1) можно записать многие известные классы краевых задач. К ним относятся краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или систем, краевые задачи для функционально-дифференциальных (ФДУ) и интегро-дифференциальных уравнений. Кроме того, система (0.1) охватывает нелинейные функциональные и интегральные уравнения. Как правило, в конкретных краевых задачах первое операторное уравнение системы (0.1) это дифференциальное уравнение или система уравнений, а второе уравнение объединяет краевые условия.

Рассмотрим квазилинейную краевую задачу где Ь,1 - линейные оператор и вектор-функционал соответственно. Эта задача является частным случаем краевой задачи (0.1).

Квазилинейные краевые задачи вида активно исследуются в теории краевых задач. Краевые задачи вида (0.2) для функционально-дифференциальных уравнений исследованы в работах [9,11,14, 15].

В основе всех известных методов исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач лежит следующая схема. Вместе с краевой задачей (0.2) рассматривается линейная краевая задача

0.1)

0.2)

0.3)

При условии обратимости оператора \Ь,1\: X —» У х Кп решение задачи (0.3) имеет вид х = С/ + Хьа, (0.4) где - обратный оператор. Оператор С :У X называется оператором Грина задачи (0.3), вектор Хь - {х^ .,.,хп), удовлетворяющий условию IXI = Е, называется фундаментальным вектором уравнения Ьх = 0.

Если воспользоваться представлением (0.4), то вопрос о разрешимости краевой задачи (0.2) сводится к вопросу существования решения уравнения второго рода А х = Фх=Х1Р2(х) + СГ1х. (0.5)

Для исследования уравнения (0.5) применимы классические схемы, использующие теоремы о неподвижных точках.

На наш взгляд, в настоящее время можно говорить о том, что квазилинейные краевые задачи являются достаточно хорошо изученным объектом.

Особое место в теории квазилинейных краевых задач занимают краевые задачи с необратимым оператором [ь,1], так называемые «резонансные» краевые задачи. Этот случай в 70-е годы выделился в отдельное направление в теории краевых задач. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах [5, 20, 23, 71, 73, 77, 80, 83, 94].

Сравнительно мало изученными являются абстрактные краевые задачи вида (0.1), когда оператор [7], Т2 ] является нелинейным. К такого рода задачам относятся, например, краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.

Актуальность исследования такого рода объекта связана с тем, что дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения возникают при построении математических моделей реальных процессов практически во всех областях человеческой деятельности. Линейные и квазилинейные модели адекватно описывают сравнительно узкий класс реальных объектов, и даже в этом случае, позволяют получить грубую информацию об их поведении. Попытки уточнения информации о поведении изучаемой системы или расширения класса объектов приводят к необходимости построения нелинейных моделей, а следовательно исследованию абстрактных краевых задач вида (0.1).

Получение утверждений о разрешимости абстрактных краевых задач (0.1) имеет не только теоретическую значимость в теории краевых задач и функциональном анализе, но и является актуальным с точки зрения практических приложений.

Краевые задачи, допускающие запись в виде системы например, [34, 37, 38, 56, 66, 81]). В подавляющем большинстве работ по исследованию задачи (0.6) используется явная или неявная линеаризация задачи (0.6). В частности, в работах [16, 18, 28, 31, 57, 63, 88, 93] используется редукция нелинейной краевой задачи (0.6) к некоторой вспомогательной квазилинейной. Иными словами, вместо задачи (0.6) исследуется на разрешимость задача вида к которой применяются известные схемы исследования на разрешимость квазилинейных или резонансных краевых задач.

К числу методов, использующих неявную линеаризацию задачи (0.6) можно отнести метод Ньютона-Канторовича, метод применения теоремы о неявной функции, методы теории нелинейных фредгольмовых операторов. В

0.6) с нелинейным оператором [Т},^], изучались многими авторами (см.,

1(х) = Т2 (х) - /(л;) + а,

0.7) этом случае нелинейный оператор ¡ТЬ^г] аппроксимируется своей производной. Такой подход реализован в работах [29, 82, 86].

Одним из методов, позволяющим сформулировать условия разрешимости задачи (0.6) без предположений о линеаризуемости (глобальной или локальной) оператора , У2 ], является метод монотонных по Минти-Браудеру операторов. Однако этот метод может быть применен лишь для некоторых специальных видов краевой задачи (0.6).

При исследовании на разрешимость АКЗ (0.6) иногда удается избежать линеаризации исходной задачи. При этом используется специфика АКЗ. Примером могут служить краевые задачи для квазилинейных ОДУ с существенно нелинейными краевыми условиями. Такие задачи исследованы в работах [12, 21, 64, 68, 75]. В этом случае исследование исходной АКЗ (0.6) можно заменить поиском условий существования решения нелинейной системы уравнений в конечномерном пространстве.

Целью настоящей работы является исследование на разрешимость существенно нелинейной абстрактной краевой задачи (0.1). Под термином «существенно нелинейная АКЗ» будем понимать АКЗ вида (0.1) без предположения о линеаризуемости оператора [Г^Т^]

В работе предлагается новый подход, который можно охарактеризовать как аксиоматический. Суть подхода состоит в следующем. Вводится понятие устойчиво разрешимого нелинейного оператора. Это понятие характеризует свойство нелинейного оператора Т сохранять разрешимость уравнения

Тх = Нх + у при возмущениях Н определенного типа. Далее изучаются формальные свойства устойчиво разрешимых операторов и выделяются некоторые классы таких операторов. Это позволяет получить новые теоремы о разрешимости АКЗ (0.1).

Казалось бы, наиболее общим видом АКЗ является система уравнений (0.6). Однако, в работе исследуется на разрешимость краевая задача, имеющая представление (0.1). Это продиктовано тем, что система (0.1) оказывается более естественной в рамках данного подхода, т.к. при этом 1^2 трактуются как некоторые возмущения операторов Тх и Т2 соответственно. Отметим, что родственный подход был использован итальянскими математиками в работе [72].

Приведем обзор содержания диссертационной работы.

Работа состоит из четырех частей, оформленных в виде глав. Главы разбиты на параграфы.

Содержание первой главы носит вспомогательный характер. В первом параграфе приведены некоторые понятия и утверждения, относящиеся к банаховым пространствам (определение прямой топологической суммы и функциональные пространства, используемые в работе). Во втором параграфе собраны необходимые сведения из теории топологически нетеровых операторов (ТНО): определение ТНО, утверждения о норме обобщенного правого обратного к топологически нетеровому сюръективному оператору. Здесь же сформулированы некоторые вспомогательные утверждения о линейных операторах. В параграфе 1.3 рассмотрены утверждения о непрерывных отображениях, а также теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. В частности, приведены условия непрерывного действия оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций, сформулированы основные определения и утверждения теории монотонных по Минти - Браудеру и аккретивных операторов. Здесь же собраны некоторые признаки гомеоморфности нелинейного оператора, и, наконец, приведены необходимые утверждения о степени отображения.

Главы 2, 3, 4 содержат основные результаты диссертационной работы. Во второй главе введено понятие устойчиво разрешимого оператора относительно некоторого класса ¥ и множества (г. Сформулированы основные свойства устойчиво разрешимых операторов. Доказаны достаточные признаки устойчивой разрешимости. Более подробно глава 2 имеет следующую структуру.

Параграф 2.1 содержит общее определение (хР,6;)-устойчиво разрешимого оператора.

Пусть Х,У - банаховы пространства. Обозначим через ЧР некоторое семейство операторов Н:X ->У, а через (?сУ - некоторое множество пространства У.

Определение 2.1.1. Непрерывный оператор Т: X —» У будем называть устойчиво разрешимым относительно семейства (класса) ¥ и множества (/ ((¥, (г)-устойчиво разрешимым), если для любого оператора Н из класса ¥ и произвольного у € С уравнение

Тх = Нх + у имеет хотя бы одно решение.

Здесь же обсуждаются возможные варианты выбора класса Ч7 и множества (7.

Параграфы 2.2, 2.3 посвящены исследованию устойчиво разрешимых операторов относительно семейства

Н: X -» У - вполне непрерывный, такой что lim sup ||/£e|| = 0 г~ж\\х\\=г и множества (7 = У.

В работе У),У)-устойчивая разрешимость называется просто устойчивой разрешимостью, а для обозначения (^(Х,У),6')-устойчивой разрешимости применяется термин « -устойчивая разрешимость».

В параграфе 2.2 доказаны основные свойства устойчиво разрешимых операторов. Эти свойства, в основном, носят характер утверждений о том, при каких преобразованиях устойчиво разрешимого оператора Т свойство устойчивой разрешимости сохраняется. К такого рода преобразованиям относятся умножение оператора Т слева или справа на некоторый оператор А (линейный или нелинейный). Также здесь сформулировано утверждение о том, когда оператор Т - Г является устойчиво разрешимым. Приведем одно из утверждений такого типа. и

Теорема 2.2.8. Пусть Т: X —> У устойчиво разрешимый относительно класса оператор, вполне непрерывный оператор Т7: X -> У удовлетворяет условию: существует такое число г0 > 0 ? чт0 неравенство ш/||Гдс| > хмр (0.8)

II х\\=г ||дс||=г выполнено для любого г>г0.

Тогда оператор Т устойчиво разрешим относительно класса , и уравнение Тх = Fл: имеет хотя бы одно решение л; е IIГ().

Теорема 2.2.8 представляет собой не только формулировку одного из свойств устойчиво разрешимого оператора. Она имеет самостоятельное значение, как признак существования решения нелинейного уравнения Тх = Рх.

Отметим, что теорема 2.2.8 применима в условиях, когда факт устойчивой разрешимости оператора Т установлен. Поэтому актуальным является вопрос о достаточных условиях, гарантирующих устойчивую разрешимость оператора. Решению этого вопроса посвящен § 2.3. Показано, что свойством устойчивой разрешимости обладают следующие классы:

- гомеоморфные отображения при некоторых дополнительных требованиях на рост оператора;

- топологически нетеровы, сюръективные операторы; локально-собственные операторы, удовлетворяющие т -условию.

Кроме того, в § 2.3 приведены признаки разрешимости нелинейных операторных уравнений. Эти утверждения получены с применением соответствующих теорем об устойчивой разрешимости.

Положим

П(АГ,Г)=

Н : X -» У- усиленно непрерывный, такой что lim sup||#л:|| = 0 г-»оо х =г

В параграфе 2.4 исследуется устойчивая разрешимость операторов относительно семейства С2(Х,У), называемая О-устойчивой разрешимостью, если <7 = У, и О0-устойчивой разрешимостью при <2 = {в}.

В этом параграфе обсуждаются свойства -устойчиво разрешимых операторов. Показано, что кроме гомеоморфизмов и линейных сюръективных операторов с дополняемым ядром свойством 01 -устойчивой разрешимости обладают монотонные коэрцитивные операторы, а также их обобщения. Сформулированы утверждения о разрешимости операторных уравнений, иллюстрирующие возможности данного подхода. Приведем одно из утверждений такого типа.

Теорема 2.4.9. Пусть Р е £з(аГ,У* ) и выполнены условия:

1) пространство X рефлексивно; к

2) Т: У —> У - монотонный и коэрцитивный оператор;

3) £: X -»У - линейный ограниченный сюръективный с дополняемым ядром оператор;

Тогда операторное уравнение ТЬх = Рх имеет хотя бы одно решение.

Отметим, что эта теорема применима и в тех случаях, когда непосредственное применение метода монотонных операторов не возможно.

Глава 3 полностью посвящена устойчивой разрешимости абстрактных краевых задач. В первом параграфе данной главы введено понятие устойчиво разрешимой абстрактной краевой задачи.

Определение 3.1.1. Абстрактную краевую задачу

Тл х = Нл х + V,

1 / \ Л (°-9)

Т2{х)=Н2{х) + а, будем называть (хР,С)-устойчиво разрешимой, если оператор [Т{ ,Т2 ]X -» У х Лп устойчиво разрешим относительно класса ^[х, У х Яп) и множества С с Ух Я".

Утверждения параграфа 3.2 о свойствах устойчиво разрешимых АКЗ, в основном, получены с использованием утверждений параграфов 2.2, 2.4. В некоторых из этих утверждений существенно проявляется специфика двухкомпонентности оператора [Т},Г2]> соответствующего АКЗ (0.9).

Исследование достаточных условий на операторы 7] и Т2, обеспечивающих устойчивую разрешимость оператора [7], Т2 ] является задачей достаточно сложной. Поэтому в работе много внимания уделяется исследованию специальных частных случаев оператора [7} ,Т7\. Этим вопросам посвящены § 3.3 и 3.4.

В параграфе 3.3 найдены достаточные условия устойчивой разрешимости абстрактной краевой задачи

Ьх = Нх, <р(х) = к(х), т.е. когда оператор 2} представляет собой линейный оператор. Приводимые в этом параграфе утверждения получены с помощью следующих двух методов.

Первый подход существенно использует предположение о возможности параметризации части решений уравнения Ьх = Нх. Отметим, что при этом могут быть использованы различные утверждения о параметризации [13, 26] множества решений или о существовании непрерывного селектора многозначного отображения, которое каждому а е ставит в соотвествие множество решений задачи

Lx~Hx, (0 11) = «, где / - подходящий вектор-функционал. При этом устойчивая разрешимость функционала (р{Хь ■) обеспечивает устойчивую разрешимость краевой задачи (0.10).

Второй подход использует известную схему (см., например, [12]). При использовании этого подхода удается избежать предположения о существовании непрерывного селектора многозначного отображения, но приходится требовать выполнения более жестких условий для нелинейного вектор-функционала (р. Сформулируем одно из утверждений этого параграфа.

Теорема 3.3.4. Пусть L - линейный сюръективный оператор с конечномерным ядром (dimkerL = n), функционал (р удовлетворяет условию p{XLa),a) > для любого« е Rn (0.12) где функция у: [0,оо) —»I?1, обладает свойством lint у (i) = оо.

СО

Тогда АКЗ (0.10) устойчиво разрешима относительно класса .

В этом же параграфе получены утверждения о разрешимости АКЗ вида

Lx = F^x,

Up(x)=F2{x). (0ЛЗ)

В § 3.4 сформулированы признаки разрешимости квазилинейной краевой задачи как для случая обратимого оператора [L,l], так и для критического случая.

В главе 4 полученные в работе утверждения применяются для исследования на разрешимость некоторых классов краевых задач.

Параграф 4.1 посвящен вопросу существования решения задачи Коши для одномерного стационарного уравнения теплопроводности в случае зависимости коэффициента теплопроводности: а) только от координаты; б) от температуры.

В случае зависимости коэффициента теплопроводности от координаты исследуется задача Коши

-fy0trx(t))=f{t,x(t)), / е [ОД]

0) = а, (0.14) х(0)=0.

Условия разрешимости (0.14) получены при значениях у е (-оо,-1/2) и (-1/2,1/6).

Отметим, что при 0 < у < 1/6 уравнение является сингулярным.

Параграф 4.2 разделен на три пункта. В первых двух пунктах исследуются различные классы краевых задач для ФДУ и ОДУ. В третьем пункте рассматривается краевая задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения.

Первый пункт посвящен задаче Коши для функционально-дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной х3 (t) ■+ bx(t) + g(x(t\¿(*)) = Fx, te [ОД], Je(0)=£Z.

Во втором пункте § 4.2 рассмотрена краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, с существенно нелинейными краевыми условиями. g(x{t))= f{t), /6 [од] (0.15) x3(0) + ¿x2(0) + ^(0) = /c. (0.16)

Теорема 4.2.2. Пусть выполнены условия:

1) непрерывная, неубывающая функция #(•) имеет не более чем линейный рост, т.е. g(u]<ci +rfi|n|;

2) существуют такие числа т,пе R +, что tg(t)>nt2 - ni\t\ для любого teR1;

3) ¿>2 -Зс> 0.

Тогда краевая задача (0.15)-(0.16) разрешима в пространстве D2.

В третьем пункте § 4.2 рассмотрена краевая задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения с существенно нелинейными краевыми условиями. x(t)= JJT(/,s)/(s,*(s))fe, t e [од], (0.17) 0 o) ■+ ax2 (o) + &c(l) = ¿y(j|jc||). (0.18)

Последний параграф главы 4 посвящен вопросу существования решения существенно нелинейного уравнения Гаммерштейна ь g(x(t))= jK(t,s)/(s,x(s)}ls, (0.19) а в случае, когда функция g{) не предполагается обратимой. Отметим, что этот случай практически не изучен в литературе.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IV Крымской Международной математической школе «Метод функции Ляпунова и его приложения» (Алушта, 1998), Международной конференции «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Kyiv, 1999), на Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), на научно-технической конференции ПГТУ «Проблемы прикладной математики и механики» (Пермь, 1998), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 1999), на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством проф. Азбелева Н.В. (1999), на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета под руководством доц. Олейника A.A., на семинаре каф. математического анализа Челябинского государственного университета под руководством проф. Свиридюка Г.А.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8, 48-55,

1. Абдуллаев А.Р. Вопросы теории возмущений устойчивых свойств для функционально-дифференциальных уравнений: Дис. . докт. физ.- мат. наук. - Пермь, 1991, - 210 с.

2. Абдуллаев А.Р. Нелинейные возмущения линейного сюрективного оператора // Краевые задачи. Пермь, 1986. - с. 41-44.

3. Абдуллаев А.Р. Сюръективность как устойчивое свойство линейных операторов // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: ПГТУ, - 1997, № 4,. с. 35-40.

4. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Известия вузов. Математика. 1996, № 11.-с. 14-22.

5. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Топологичеки нетеровы операторы: Обобщенная обратимость и аддитивное представление // Известия вузов. Математика. 1994, № 6. - с. 3-7.

6. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994. - 93 с.

7. Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В. Об одном методе исследования на разрешимость нелинейных операторных уравнений // Тезисы международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения». Челябинск: Изд-во ЧТУ, 1999, с.6.

8. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Худяков С.П. К вопросу о регулязиемости уравнений // Краевые задачи. Пермь, 1984. - с. 3-8.

9. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. научн. тр. / Пермский политехнический институт. -Пермь, 1987.-с. 3.-11.

10. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6, №4.-с. 616-628.

11. Алиев Г.Ф., Дадашев A.C. О сходимости решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Изв. АН АзССР Сер. Физ.-техн. и мат. наук. 1983. - 4, № 1. - с. 45-51.

12. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука, 1986. - 266 с.

13. Аширов О. Обобщенная задача Кощи для системы полуявных дифференциальных уравнений // Изв. АН ТССР Сер. Физ.-техн., хим. и геол. н. 1982. - № 6. - с. 9-12.

14. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная ассимптотика. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.

15. Бойчук A.A. Построение решений двухточечной краевой задачи для слабовозмущенных нелинейных систем в критических случаях // Укр. Мат журнал. 1989. - Т. 41, № ю. - с. 1416-1420.

16. Брыкалов С.А. Признаки существования решений, не требующие выделения линейной части в краевых условиях // Диф. уравнения (Минск). 1989. - 25, № 5. - с. 749-757.

17. Бурмистрова А.Б. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса: Дис. . канд. физ.- мат. наук. Пермь, 1990, - 134 с.

18. Вавилов С. А. О нетривиальных решениях некоторых классов операторных уравнений // Доклады РАН. 1993. - Т. 331, № 1.

19. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М.: Наука, 1972.-416 с.

20. Гончаров В.В., Толстоногое A.A. О непрерывных селекторах и свойствах решений дифференциальных включений с m-аккретивными операторами // Докл. АН СССР. 1990. - 315, № 5. - с. 1035-1039.

21. Гусаренко С.А. Критерий приводимости операторных уравнений // Известия вузов. Математика. 1993. - № 5. - с. 43-45.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М.: ИЛ, 1962.-895 с.

23. Диблик И.О. Существование и единственность решения начальной краевой задачи для дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных /Ред.ж. "Изв.вузов. Матем." Казань, 1984. -Юс. Депонирована в ВИНИТИ. - 1984. - № 908-84.

24. Дмитриенко В.Т. Двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Приближ. Методы исслед. диф. уравнений и их прил. Куйбышев. 1982.- с. 47-58.

25. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.

26. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.-744 с.

27. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики: Новые достижения. 1987. -Т. 30.-с. 105-201.

28. Кравцов П.А. Единственность решений дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Диф. уравнения (качественная теория). Рязань. 1984. - с. 101-103.

29. Кравцов П.А. Задача Коши и неявные уравнения // Диф. уравнения в частными производными. / Ленигр. гос. пед. ин-т. Л. - 1990. - с. 8-12.

30. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: ГИТ-ТЛ, 1956. - 392 с.

31. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

32. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.- 104 с.

33. Куратовский К. Топология. Tl. М.: Мир, 1966. - 594 с.

34. Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. В кн. «Наука, технология, вычислительный эксперимент». М:Наука, 1993,- с. 6-32.

35. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, Гл. ред физ.-мат. лит., 1988. - 304 с.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972.

37. Мисюркеев И.В. Введение в нелинейный функциональный анализ. -Пермь, 1968.-307 с.

38. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982. - 536 с.

39. Плехова Э.В. О некоторых свойствах устойчиво разрешимых операторов / Депонирована в ВИНИТИ, № 2556-В99, 13 с.

40. Плехова Э.В. О разрешимости одного операторного уравнения / Депонирована в ВИНИТИ, № 1896-В98, 6с.

41. Плехова Э.В. О разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений // Тезисы докладов IV Крымской Международной математической школы «Метод функций Ляпунова и его приложения».Алушта. Изд. Симферопольского ун-та, 1998, с.54.

42. Плехова Э.В. Об устойчиво разрешимых операторах // Тезисы докладов воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 1999, с. 127.

43. Плехова Э.В. Об устойчивой разрешимости линейных операторов / Депонирована в ВИНИТИ, № 2621-В 99, 12 с.

44. Плехова Э.В. Разрешимость краевой задачи для квазилинейного уравнения с нелинейными краевыми условиями / Депонирована в ВИНИТИ, № 1361-В99, 10 с.

45. Плехова Э.В. Устойчивая разрешимость гомеоморфных отображений.// Вестник ПермГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь:ПГТУ. - 1999.-е. 69-74.

46. Плехова Э.В. Функциональные характеристики нелинейных операторов.// Тезисы докладов научно-технической конференции ПГТУ «Проблемы прикладной математики и механики». Пермь: Изд. ПГТУ, 1998, с.11.

47. Просенюк Л.Г. О представлении правильных решений вещественного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Известия вузов. Математика. 1990. - № 1. - с. 70-72.

48. Просенюк Л.Г. О существовании и асимптотических свойствах решений одной вещественной системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Укр. мат. ж. 1993. - 45, № 10. -с. 1461-1464.

49. Пушкарев Г.А. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Дис. . канд. физ.- мат. наук. Пермь, 1990, - 109 с.

50. Самарский А.А., Курдюмов С.П., Змитренко Н.В., Михайлов А.П. Нелинейные процессы в плотной плазме и особенности термодинамики режимов обострения. Препринт № 109, ИПМ им. Келдыша, М., 1976.

51. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982. - 383 с.

52. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

53. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.-421 с.

54. Anichini G., Conti G. Boundary value problems with nonlinear boundary conditions // Nonlinearity. 1988. - № 1. - p. 531 -546.

55. Bernfeld S.R., Palamides P.K. A topological method for vector-valued and nth-order nonlinear boundary value problems // J. Math. Anal, and Appl. 1984. -102, №2.-p. 488-505.

56. Benavides T.D. An existence theorem for implicit differential equations in Banach space // Ann. Math. Рига end Appl., 1978. - V 118. - p. 119-130.

57. Borisovich Yu. G. Global analysis and the solvability of nonlinear controlable systems // Meth. a Appl. Global. Anal. Varonezh, 1993. - p. 28-38.

58. Chen Zhiqiang Continuous selecitons of set-valued mappings and applications to fixed point theory // Шусюэ Сюэбао = Acta. Math. Sin. -1988.-31, №4.-p. 456-463.

59. Erbe L.H. Existence of solution to boundary value problems for second order differential equations // Nonlinear Anal. Theory. Meth. and Appl. 1982. - 6, № 11.-p. 1155-1162.

60. Ergen W.K. Kinetic of the circulating fuel nuclear reactor // J. Appl. Phus. 25, 1954.-p. 702-711.

61. Fucik S. Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. Dordrecht : D. P. Publ. Co., 1980. 390 p.

62. Furi M., Martelly M., Vignolli A. Contribution to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces // Ann. Mat. Рига ed appl. 1978, № 118. - p. 229-294.

63. Furi M., Martelli M.,Vignolli A. On the solvability on nonlinear operator equation in normed spaces // Ann. Mat. Рига Appl. 1980. - V. 124. - p. 321343.

64. Furi M., Pera M.P. An elementary approach to boundary value problems at resonance // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1980. - V.4, № 6. - p. 1081 -1089.

65. Furi M., Pera M.P. On the existence an unbounded connected set of solution for nonlinear equation in Banach spaces // Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. CI. Sci. Fis., mat. e. natur. 1980. -V. 67, № 2. p. 31-38.

66. Jackson L.K., Palamides P.K. An existence theorem for a nonlinear two-point boundary value problem // J. Differ. Equat. 1984. - 53,№ 1. - p. 48-66.

67. Januszewski J. On the Hammerstein integral equation in Banach spaces // Comment. Math. Univ. Carol. 1990. - 31, № 4. - c. 685-891.

68. Kannan R. Nonlinear perturbations at resonance // Dynamic Systems: An Int. Symp. New York: Acad. Press, 1976. - V. 2. - p. 67-71.

69. Kupka I. Continuous selection from topological to metric spaces // Rend. Circ. mat. Palermo. Sec. 2. 1990. - 39, № 3. - p. 427-435.

70. Liang Jin, Xiao Tijun A not on set-valued mappings admittings contituous selections // Цзыжань цзачжи = Nature J. 1990. - 13, № 8. - p. 538-539. -кит.

71. Martelli M. A note on boundary value problems at resonance// Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur. 1978. - V. 64, № 4. - p. 356-362.

72. Marz Roswitha On boundary value problems in differential-algebraic equation // Appl. Math. And Comput. 1989. - 31, Spec. Issue. - c. 517-531.

73. Marz Roswitha Hider-index differential-algebraic equations: analysis and numerical treatment // Prep. Humboldt-Univ. Berlin. Sekt. Math. 1987, № 159.-p. 1-30.

74. Mawin J. Landesman-Laser's type problems for nonlinear equations //Conf. Sem. Math. Univ. Bary. Bary, 1977.- V.2. - p. 67-71.

75. Michael E. Continuous selections // Ann. Math., 1956. 63, № 2. - p. 361-381.

76. Nirenberg L. Variational and topological method in nonlinear problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1981. - V. 4, № 3. - p. 267-302.

77. Pachpatte B.G. Existence theorems for Hammerstein type integral equations // An. Sti. Univ. Iasi. Sec. la. 1987. - 33,№ 3. - p. 197-201.

78. Petrushyn W.V.,Yu Z.S. Solvability of Neuman boundary value problems for nonlinear second-order ordinary differential equations, which need not solvable for the highest-order derivative // J. Math. Anal, and Appl. 1983. - V. 91, № l.-p. 244-253.

79. Plekhova E. On the stable solvability of accretive operator //Thesis of international conference "Dynamical systems modelling and stability investigation". Kyiv, 1999, p. 107.

80. Ray W. O. An elementary proof of surjectivity for a class of accretive operators.// Proceedings of american mathematical society, 1979, V. 75, № 2. - p. 255-257.

81. Szufla S. On the Hammerstein integral equation with weakly singular kernel // Funk. Elvacioj. 1991. - 34, № 2. - p. 279-285.

82. Teodoru Gcordeta Continuous selecyions for multifunctions and Cauchy problem for multivalued equation // Bui. Inst. Politehn. IASI. Sec 1. 1991. -37, № 1-4.-p. 67-73.

83. Tineo A. Existence of solution for a class of boundary value problems for the equations x" = F{t,x,x',x")ll Comment. Math. Univ. Carol. 1988. - 29, № 2. -p. 285-291.

84. Trafardar E. On the existence of solution of the equation Lx = Nx and a generalized coincidence degree theory 1. // Comment. Math. Univ. Carolinae. -1980. -№21.-p. 805-823.