Теория Нетера многоэлементных краевых задач со сдвигом для функций, аналитических в области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.2

ГЛАВА ПЕРВАЯ. Многоэлементные краевые задачи с некарлемановским сдвигом для пары функций, аналитических в области.

§1. Некоторые определения и вспомогательные сведения . .14

§2. Постановка задачи. Общая схема построения теории Нетера краевых задач со сдвигом для пары функций, аналитических в области . . 17

§3. Теория Нетера краевой задачи (2.1) . . 26

§4. Теория Нетера краевой задачи (2.2) . . 35

§5. Теория Нетера общей краевой задачи линейного сопряжения с некарлемановскими сдвигами (2.3).41

ГЛАВА ВТОРАЯ. Многоэлементные переопределённые краевые задачи со сдвигом для функции, аналитических в области.

§6. Постановка задачи. Общая схема построения теории Нетера переопределённых краевых задач со сдвигом для функции, аналитической в области . . 46

§7. Теория Нетера краевой задачи (6.1) с некарлемановским сдвигом . 56

§8. Некоторые общие утверждения о краевой задаче (6.1) со сдвигом Карлемана . .

§9. Теория Нетера нормальной краевой задачи

6.1) в случае прямого сдвига Карлемана . 69

§10. Теория Нетера нормальной краевой задачи

6.1) в случае обратного сдвига Карлемана . . 90

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. Вырожденные случаи многоэлементных краевых задач со сдвигом Карлемана, сохраняющим ориентацию.

§11. Постановка задачи. Схема построения теории Нетера . .

102

§12. Теория Нетера общей краевой задачи линейного сопряжения со сдвигом Карлемана и вырожденным символом (ЦД) .

105

§13. Теория Нетера общей четырёхэлементной краевой задачи (II.2) со сдвигом Карлемана и вырожденным символом . .

112

Пусть Г - простой замкнутый контур Ляпунова, разбивающий комплексную плоскость на две области: ограниченную - 2) и содержащую бесконечно удалённую точку - 2) • Через Щ обозначим гомеоморфизм контура Г на себя, сохраняющий

60) , либо изменяющий ориентацию на Г .

Краевыми задачами со сдвигом и сопряжением для аналитических функций называются задачи, в граничные условия которых линейно входят как предельные значения искомых аналитических функций, вычисленных в различных точках контура, так и их комплексно-сопряжённые значения. Если при этом число предельных значений в краевом условии больше двух, то краевая задача называется многоэлементной.

Постановку краевых задач при которой правая часть и предельные значения искомых функций принадлежат пространству

И (ГI , будем называть Н - постановкой, если же fiL /V. правая часть и угловые предельные значения искомых функций принадлежат L (Г) — Lp - постановкой.

Стимулом к активному изучению многоэлементных краевых задач в последние годы кроме теоретического интереса служат и различные приложения таких задач к теории упругости, гидромеханике, к задачам о склеивании поверхностей положительной кривизны и т.п. (см., например, списки литературы в Н.И.Мусхелишви-ли [I] , И.Н.Векуа [2] , Н.П.Векуа [з] , Ф.Д.Гахов [4] , Г.С.Литвинчук [б] ).

Постановки краевых задач со сдвигом можно обнаружить ещё в трудах Б.Римана, однако объектом систематического исследования они стали значительно позднее, под влиянием работ Д.Гильберта, С.Газемана [б] и Т.Карлемана [7] .

Изучение краевых задач со сдвигом в СССР началось в 40-ых годах по инициативе Н.И.Мусхелишвили. Первые работы в этом направлении, ставшие основополагающими, принадлежат Д.А.Квесела-ве [8] , [9J . В этих работах Д.А.Квеселава дал полное решение основных двухэлементных краевых задач со сдвигом. + (0.1) J*)] ^ С (*) +fCt)9 (0.2)

C(t) fd) + £ Ct) (задача Карлемана) . (0.3)

Позднее в работах Г.С.Литвинчука и Э.Г.Хасабова [ю] , [llj была исследована задача ^ (задача типа Карлемана) , (0.4)

Здесь . В задачах

0.3) и (0.4) дополнительно предполагалось, что оL+ U+(t)] ~ t (сдвиг Карлемана). Следует указать на принципиальное различие между краевыми задачами для пары функций, аналитических в области (0.1), (0.2) и краевыми задачами для одной функции, аналитической в области (0.3), (0.4). Краевые задачи (0.3), (0.4) являются вообще говоря переопределёнными и потому для устранения их переопределённости дополнительно требуется выполнение необходимых условий разрешимости. Для задачи (0.3) эти условия указаны Т.Карлеманом:

С Си) = 1, + (Г^бо н с? .

Дальнейшее развитие теория краевых задач (0.1) - (0.4) и их различных обобщений получила в работах Г.С.Литвинчука, Г.С.Литвинчука и Э.Г.Хасабова [10] , Э.И.Зверовича, В.А.Чернец-кого, Л.Г.Михайлова, Н.Т.Мишнякова и многих других авторов.

Исследования Д.А.Квеселавы нашли свое естественное продолжение в работах Н.П.Векуа [3] , изучившего различные обобщения краевых задач (0.1) - (0.4). Н.П.Векуа принадлежит инициатива постановки краевой задачи со сдвигом Карлемана

L(t)] = аш 9%) + I (t) 9%) + J , (0.5) которую ныне обычно называют его именем.

Из-за сложности краевого условия задача (0.5) не допускает столь же полного решения, которое получено для задач (0.1) - (0.4) в общем случае. Поэтому для неё, как и для других многоэлементных задач, основной целью исследования является построение теории Нетера: нахождение условий нормальной разрешимости, вычисление индекса (разности между числом линейно независимых решений однородной задачи и числом условий разрешимости), получение дефектных функционалов, а в тех случаях, когда это возможно, и вычисление чисел линейно независимых решений и условий разрешимости .

В работе Н.П.Векуа [12] получены необходимые условия разрешимости переопредлённой задачи (0.5) для случая изменяющего ориентацию сдвига Карлемана: a [<L(i)]a(t) + I [cL(t)] id) = 7, (0e6) a f°ltt)]£(t) + I UwJ сГа) = с? ? (0.7) oLUa)]%u) + тип yd) + найдено условие нетеровости OL (t) Ф О j a также описан некоторый алгоритм получения решений задачи (0.5) из решений системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Вопрос о величине иццекса и дефектных числах задачи (0.5) при этом остался открытым.

Работа Н.П.Векуа fl2J положила начало систематическому и многоплановому исследованию многоэлементных задач со сдвигом, одним из основных направлений которого является построение теории Нетера указанных задач.

К числу первых работ в этом направлении следует отнести работы Г.С.Литвинчука и Э.Г.Хасабова [13] , [и] по краевой задаче Гильберта со сдвигом Карлемана

Яе{йЩ?Ь) + Blt)(f>+UCi)l} = K(t) , (0.9) поставленной Ф.Д.Гаховым, работы Г.С.Литвинчука и А.П.Нечаева [l5] , [хб] , [l7] по теории Нетера краевой задачи Н.П.Векуа (0.5) и некоторые другие работы, посвященные теории Нетера многоэлементных краевых задач и их разнообразным обобщениям. Подробную библиографию по этому вопросу можно найти в монографии [б].

В работе Г.С.Литвинчука и Э.Г.Хасабова f18J впервые была поставлена общая четырехэлементная задача со сдвигом Карлемана: d(t]9м + + (оло) теория Нетера которой была построена позднее в работах В.С.Макогона (см. [19] ) в предположении, что ранг матрицы

1/0= actI da) lit) di-i) €(t) aUd)] e[<U*)] dUa)] е(Ц out) iw dUit)] EUu)] aU(t)] тождественно равен 2 на контуре Г , причем некоторые две фиксированные строки матрицы f)(i) линейно независимы во всех точках контура.

Теория Нетера многоэлементных краевых задач строилась обычно либо конформным склеиванием к краевым задачам без сдвига (см., например,работу В.А.Чернецкого [20] ), либо сведением к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом. Поскольку последние до недавнего времени были изучены сравнительно хорошо лишь для сдвигов, удовлетворяющих условию Карлемана

JLn(t) = t7 где ^Ы&ли^Ш], JL.wft см., например, работы Г.С.Литвинчука [21] , [22] , Н.К.Кара-петянца и С.Г.Самко [23] , [24] , [25] , Н.Я.Крупника и В.И.Няги [2б] ), естественно, что при изучении многоэлементных краевых задач сдвиг также предполагался йарлемановским.

Из результатов по нетеровской теории многоэлементных краевых задач с некарлемановским сдвигом, для функций аналитических в области, автору известна лишь работа А.П.Нечаева Ы , где изучена задача

P*[oL(t)] = a(t)<P'*'(t) + id) (O.II)

7 2» и серия работ Е.К.Тимофеева [28] - [30] , посвященных общей граничной задаче линейного сопряжения с двумя сдвигами фаа) 4(b)?Jint)]+dltl +e(i)%}ptwfiH(o.i2)

Сдвиг JL (t) , устранимый с помощью конформного склеивания предполагался в [27] - [30] произвольным, а "неустраняемый" сдвиг fi(t) в [28] - [30] - карлемановским.

Упомянем также статью А.В.Айзенштата и В.А.Чернецкого [31] , в которой рассматривается задача (0.3) с не-карлемановским сдвигом.

Исследование многоэлементной краевой задачи методом интегральных уравнений обычно производилось в следующем порядке:

1) С помощью интегрального представления, специально подбираемого для данной задачи, краевая задача сводилась к (вообще говоря ей не эквивалентному) сингулярному интегральному уравнению со сдвигом.

2) По сингулярному уравнению строилось сопряжённое либо союзное уравнение.

3) Из союзного уравнения с помощью некоторого алгоритма строилась союзная краевая задача.

4) С помощью союзной краевой задачи устанавливалась связь между индексами краевой задачи и соответствующего сингулярного интегрального уравнения. В терминах союзной краевой задачи записывались условия разрешимости.

Указанный способ построения теории Нетера обладал очевидными недостатками: /

1) Законность применения союзного уравнения вместо сопряженного не была строго обоснована.

2) Определение союзной краевой задачи было недостаточно формализовано, в результате чего не удавалось установить необходимость получаемых условий нетеровости.

3) Трудную задачу подбора интегрального представления приходилось решать заново для каждого нового краевого условия многоэлементной задачи.

4) Возникали трудности обоснования законности применения основных положений теории нетеровых операторов (например,теоремы о малых возмущениях) к нетеровым краевым задачам.

Предлагаемый в настоящей диссертации подход, который мы называем операторным, позволяет устранить недостатки i') - 4'). С его помощью получены критерии нетеровости и вычислены иццексы ряда краевых задач для пары функций и одной функции, аналитической в области, как со сдвигом Карлемана так и с некарлемановс-ким сдвигом. Для случая сдвига Карлемана построена также теория Нетера некоторых многоэлементных краевых задач с вырожденным символом.

Диссертация состоит из введения и 13 параграфов, объединенных в три главы.

1. Литвинчук Г.С., Хасабов Э.Г,, Один класс сингулярных интегральных уравнений и обобщённая краевая задача типа задачи Карлемана, Сибирский матем. ж. 5, №4 (1964), 858-880.

2. Векуа Н.П., Об одной обобщённой граничной задачеКарлемана для нескольких неизвестных функций, Изв. АН СССР, сер. матем., 20, №1 (1956), 377-384.

3. Литвинчук Г.С., Хасабов Э.Г., 0 краевой задаче Гильберта сосдвигом, ДАН СССР 142, №2 (1962)^274-277.

4. Литвинчук Г.С., Хасабов Э.Г., Об индексе обобщённой краевойзадачи Гильберта, Успехи матем. наук, 20, №2 (1965), 124-130.

5. Литвинчук Г.С., Нечаев А.П., К теории обобщённой краевой задачи Карлемана, ДАН СССР, 189, №1 (1969), 38-41.

6. Литвинчук Г.С., Нечаев А*П., Обобщённая краевая задача Карлемана, Матем. сборник, 82, №1 (1970), 30-54»

7. Литвинчук Г.С., Нечаев А.П., К теории обобщённой краевой задачи Карлемана, Материалы Всесоюзн. конф, по краевым задачам, Казань, (1970), I7I-I74.

8. Литвинчук Г.С., Хасабов Э.Г., 0 краевых задачах со сдвигом исопряжением для системы аналитических функций, Укр. матем* ж., 20, №2 (1968), 262-272.

9. Крупник Н.Я., Няга В.И., Сингулярные интегральные операторысо сдвигом вдоль кусочно-ляпуновского контура, Изв. ВУЗов, сер. матем., №6, (1975), 60-72.

10. Нечаев А.П., Об одной краевой задаче для двух функций,аналитических в области, ДАН УССР, №10, (1969), 891-893.

11. Тимофеев Е.К., Теоремы Нетера для одного класса краевыхзадач с некарлемановским сдвигом, Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы, Сер. естеств. наук, №4, (1975), 87-89.

12. Тимофеев Е.К., К теории краевых задач с некарлемановскимсдвигом, ВИНИТИ, ДЕЛ 8 алр. 1976г., №1080.

13. Тимофеев Е.К., Об одной общей краевой задаче линейногосопряжения, Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы, Сер. естеств. наук, №1, (1977), 12-14.

14. Айзенштат А.В., Чернецкий В.А., Краевая задача Карлемана снеинволютивным сдвигом, Матем, заметки, 14, №5, (1973), 677-686.

15. Прёсдорф 3., Некоторые классы сингулярных уравнений,Москва, "Мир", (1979).

16. Рисе 3?., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, Москва, "Мир", (1979).

17. Кравченко В.Г., 0 сингулярном интегральном операторе сосдвигом, ДАН СССР, 215, №6, (1974), I30I-I304.

18. Кравченко В.Г., К теории Нетера интегро-функциональныхуравнений со сдвигом, Укр. матем. ж., 24, №6, (1972), 752-762.

19. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., 0 системах функциональных иинтегро-функциональных уравнений с некарл емановским сдвигом, ДАН СССР, 236, №5, (1977), I064-1067.

20. Симоненко И.Б., Краевые задачи Римана и Римана-Газеманас непрерывными коэффициентами, Исследования по совр. проблемам теории функций компл. перем., М., Физматгиз 1961, 380-399.

21. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я., Введение в теорию одномерныхсингулярных интегральных операторов, Кишинёв, Изд-во АН МССР, 1973.

22. Карлович Ю.И., Шапиро M.B., Об алгебре операторов со сдвигомКарлемана, переводящим компоненты контура друг в друга, Матем. исследования (Кишинёв) 9, №3, (1974), 95-104.

23. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я., Об алгебрах сингулярных интегральных операторов со сдвигом, Матем. исследования (Кишинёв) 8, №2 (28), (1973), 170-175.