Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Лисовец, Наталия Ивановна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Одесса МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лисовец, Наталия Ивановна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ I. Обозначения и вспомогательные сведения

§ 2. Сингулярные интегральные операторы с матричными кусочно- непрерывными коэффициентами специального

§ 3. Нетеровость и индекс некоторых вспомогательных операторов.

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В

НЕСКОЛЬКИХ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ,

§ 4. Постановка задачи

§ 5. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса задачи

§ б. Подсчет дефектных чисел задачи в неособых случаях

§ 7. Дифференциальные граничные задачи

ГЛАВА III. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИЙ,АНАЛИТИЧЕСКОЙ В

МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

§ 8. Постановка задачи. Предварительные результаты

§ 9. Исследование на нетеровость

§ 10.Окончательные результаты

 
Введение диссертация по математике, на тему "Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций"

Диссертация посвящена исследованию многоэлементных граничных задач для функций (кусочно) аналитических в одной или нескольких конечных либо бесконечных многосвязных областях с краевым условием, содержащим сдвиг, комплексное сопряжение и производные искомых функций. Предполагается, что сдвиг переводит компоненты связности границ областей друг на друга;одни компоненты с сохранением, а другие - с изменением ориентации. Задачи с таким сдвигом мы будем для краткости называть смешанными.

0.1°. Теория краевых задач со сдвигом является важным разделом современной математической физики. Историю вопроса, а также подробную библиографию, доведенную до 1975 г., можно найти в монографии Г.С.Литвинчука C.42J. Здесь отметим лишь, что первые постановки краевых задач со сдвигом содержатся еще в грудах Б.Римана L57J, весьма важное стимулирующее влияние на развитие этой теории оказали классические работы К.Газемана L820 и Т.Карлемана[81].

С начала сороковых годов по инициативе'Н.И.Мусхелишвили в Советском Союзе началась интенсивная работа по исследованию краевых задач теории аналитических функций со сдвигом и сопряжением. Этому в немалой степени способствовало и то,что ряд важных задач математической физики и механики удалось свести именно к задачам такого рода.В классических грудах Д.А.Квеселава [31] ,Н.П.Векуа [5] (см.также монографии Н. И. Мусхелишвили [50J ,Ф.Д.Гахова [12] ,И.Н.Ве-куа[3.],А.Д.Джураева [17]),Г.С.Литвинчука [42] ,Э.И.Зверовича[20] 31.Г. Михайлова [49], Л.И.Чибршсовой [76J, B.C. Рогожина [77] и др., а также их многочисленных учеников и последователей,теория краевых задач со сдвигом сформировалась в развитую область с четко очерченным кругом задач , с широким арсеналом средств и методов исследования и разнообразными приложениями к смежным теориям, таким как анизотропная теория упругости, теория бесконечно-малых изгибаний поверхностей положительной кривизны и многим другим?* Важную роль как в самой теории граничных задач, так и е приложениях играет также исследование дифференциальных граничных, задач (в том числе со сдвигом) и тесно связанных с этими задачами сингулярных интегро-дифференциапьных уравнений. Отсылая читателя за подробными историческими и литературными указаниями к уже цитировавшимся: монографиям; [42,, 50, 5] , упомянем: здесь лишь известные работы 11, 2.2.3,

Хорошо известно, что краевые задачи для1 аналитических функций допускают явное решение в квадратурах далеко не всегда. Поэтому одним из центральных вопросов в теории: краевых задач со сдвигом! становится: вопрос ее качественного исследования: определения условий нетеровости, вычисления; дефектных чисел и индекса задачи. Поясним-, что в соответствии с принято! в теории негеравых операторов терминологией (см*, например, [ 6ZJ ) здесь и всюду: в дальнейшем; нетеровой называется! нормально разрешимая задача с конечными дефектными числами £ и р ; их разность ЭГ=£*~р называется индексом задачи; Под нормальной разрешимостью понимается: замкнутость образа задачи (множества правых частей, при которых задача разрешима); под дефектными числами - размерность (В ядра (число линейно-независимых решений однородной задачи) и коразмерность^ обзраза задачи (число ее условий разрешимости)»

Мощным: методом, построения нетеровской теории краевых задач является: метод интегральных: уравнений; Этот метод, который часто применяется в комбинациях с методом конформного склеивания, оттачивался и развивался в работах целого ряда математиков; в дополнение к указанным выше см. также широко известные работы Р.С.Йса-ханова А.П.Нечаева151-55]* В.АЛернецкого »

Г.Ф;Манджавидзе[Чб-Ц g] и др. Метод интегральных: уравнений поз~ воляег выразить искомые функции через решение некоторого сингулярного интегрального уравнения со сдвигом, нетеровость которого достаточна для нетеровости задачи. Попутно удается* также связать индекс эгого уравнения с размерностью ядер исходной задачи и задачи специальным! образом; построенной по исходной «* союзной задачи» В последнее время интерес к исследованиям по теории краевых задач со сдвигом; и сопряжением; значительно возрос. Этот факт объясняется, с одной стороны, все новыми приложениями, которые эта теория находит1 в сшых различных областях, например^» в электродинамике [13] | и» с другой - существенными продвижениями в теории сингулярных интегральных уравнений со сдвигом (с современным' состоянием, этой теории можно ознакомиться по обзору

Следует подчеркнуть, что в последнее времн исследование граничных задач проводится не только в классической, гельдеровской, но, в основном, в; разрывной (в смысле Б.В.Хведелидзе) постановке.-При этом; правая часть задачи: может задаваться, например, в пространстве Lp(fp) с весом (см.работу Б.В.Хведелидзе [W] , и имеющуюся там библиографию, статьи й«Б,Симоненко[60-61]| Й.М.Спитков-ского Z10] , А.П.Солдатова£б&-69j> Ю.й.Карловича и В.Т.Кравчен~ ко[&2-<?Щи многие другие) или, например, в пространстве гельдеров-ских функций Нд/Гр)с весом (см.серию работ Р.В.'Дудучава [i8-19] и др.)* На коэффициенты задачи также накладываются все менее жесткие ограничения: они предполагаются измеримыми существенно ограниченными, в частности, кусочно^непрерывными функциями, и.г.д,

При такой постановке для исследования краевых задач оказалось необходимым! привлекать методы и результаты теории линейных операторов;. В качестве примера укажем: работу Г.С.Лшсвинчука и И.М.Спит-ковского[4Ч] » в которой на основе известных результатов В.М.Ада-мяна, Д.З.Арова и М.Г.Крейна по теории ганкелевых. операторов получены точные формулы для вычисления дефектных чисел в обобщенной: краевой задачи Римана при весьма слабых ограничениях на ее коэффициентыJ

С другой стороны, в последнее время изучаются: граничные задачи со сдвигом все более общей природы. Еще в работе Л.И.Чибрико-вой и В.С.Рогожина П7] результаты: Д.АЛСвеселава для задачи Газема-на и типа Газемана были перенесены на случай сдвига, переводящего несущий контур не на себя* а на- другой контур; искомые функции при этом разыскивались аналитическими соответственно в различных областях; Такаят постановка и ее обобщения оказывается естественной и в связи с исследованием плоской смешанной задачи теории упругости анизотропного тела (см. также [5] ), и в связи с гими приложениями } . Задачи со сдвигом, переводящим один контур на другой, для функций1, аналитических в различных областях, изучались также Ю.И.Черским Lb И], В.Н.Гавдзинским и А.П.Нечаевым [.6] , Г.Ф.Мавджавидзе [Ц?]. Исследование дифференциальных задач в такой постановке было предметом кандидатской диссертации. А.В.Про-ценкофб]. Н.Е.Товмасян L$b] при помощи интегрального представления, выражающего искомые функции через аналитические плотности, исследовал весьма общую дифференциальную задачу со сдвигом! для определения функций, аналитических в: нескольких; несовпадающих областях;

В последнее; время на пути дальнейших обобщений постановок краевых задач со сдвигом и сопряжением в указанном' направлении достигнуты' значительные успехи» Достаточно указать здесь фундаментальную серию работ Р.С.Исаханова,[£1-£6], в которой, в частности, исследуется трехэлементная! задача: об определении функций, аналитических в нескольких многосвязных областям по краевому уо* ловию, связывающему предельные значения одной ив: них. с предельны^ ми значениями каждой из остальных* Входящий в краевое условие сдвиг '"перебрасывает"' компоненты связности границ областей друг на друга. Кроме того, предполагается, что сдвиг по части компонент связности контура-носителя! действует с сохранением, а на части -с изменением ориентации. Для указанной задачи в классической гель-деровской постановке методом интегральных уравнений получены достаточные условия нетеровосги, вычислен индекс, а в некоторых случаг-ях — дефектные числа.1 Р.С.Йсахановым исследована также дифференциальная граничная задача со сдвигом столь же общей природьи

Укажем: еще работу АЛ.Шилина [Ч&З* в которой на римановой поверхности изучаегсяг краевая задача Карлемана типа Карлемана со сдвигом, изменяющим; ориентацию одних и сохраняющих ориентацию других компонент связности несущего контура. Эти рабопш являются продолжением; более; ранних исследований С.К.Таврилова 9] •

Подчеркнем;, что исследование задач со сдвигом в такой "смешанной" постановке, а также их обобщений является закономерным этапом1 построения; теории краевых задач со сдвигом, и естественно развивает предшествующие работы' в этом: направлении.

0,2°. В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия: негеровостги, вычислен индекс (а в некоторых случаях ~ и дефектные числа) в пространствах Lr> ® весом: ( Н © весом;) краевых задач со сдвигом, сопряжением и производными в постановке, являзо» щейся дальнейшим развитием постановок[^7,6, «Такая общность постановки привела к необходимости развития и применения операторного подхода к построению негеровской теории краевых задач:, что является наиболее существенным моментом настоящей работы. Этот подход представляет собой, по существу, удобную модификацию классического метода интегральных уравнений'^ Его суть состоит в рассмотрении краевого условия задачи как: оператора, действующего из пространства функций, аналитически продолжимых с контура в область, и последующей формализации процедур применения интегральных представлений и перехода к вспомогательным задачам;.'

Основные черты предлагаемого подхода поясним на простейшем примере: краевой задачи типа задачи Карлемана(см., например» С. НУ) отыскании функции ^ , аналитической в конечной многосвязной области 2) по краевому условию

С^ед - 6ci)^"+ ftct) , te Г . (0.1)

Здесь oL - сохраняющий ориентацию гладкий неособый ( сдвиг, удовлетворяющий условию Карлемана d,CaLct)3 -i , Со. г) n V >

Г= И Г - составной ляпуновский контур, ориентированный так, сг\ г чтобы ограничиваемая им: область oU оставалась слева при обходе [ в положительном направлении.'Коэффициент б^-Ц^СГ)» функция ft задается в LP С Г), 1 <p^eof функция разыскивается в Lpff )-^IrrtP, Р~ проектор, связанный с оператором S сингулярного: интегрирования с ядром: Коши формулой Р= S) »1 - единич** ный оператор. Предполагаются выполненными п.ву на Г обычные СЧ2.3 условия i^r Со.3) ftct) + toft0, te Г 7 (р.Ч) снимающие переопределенность задачи (0.1), Пусть «С - подпространство функций fUlpCn. удовлетворяющих условию (0.4) , Введем; операторы (Wfl)ct)= , (Cfl)(i)= fuCi") .

Исследование задачи (0,1) эквивалентно изучению операторного уравнения Kvf=fi, ^f^'-pCF)/ ft в оС » где оператор

К= W-6C : Lp CD . СО.5)

Определим в Lp ( Г ) оператор L г iC Х~ 6>WCyL Согласно (0,2.) - СО. Ъ) , L- проектор; согласно(0.4) Рассмотрим; действующий из; прямой суммы; ©Гв LpCГ ) оператор (строку) Л iL) • Этот оператор обратим,, обратшм к нему будет

Л- п — 1 / iN^ ,!«-pw столбец Ц = CL ~Lu» где Т означает транспонирование, Рас>-смотрим; равенство

L,iL) (К ^«(w-fcC.CW^Oi):^!;-^ Со.6)

Для удобства домножим: правую часть (О.б) на обратимую матрицу J » Получим оператор отвечающий следующей: вспомогательной задаче для пары; функций: t*A>b + ,-te Г. Co.ч)

Таким образом;, умножение в (О. в) на оператор ("[ - осущест

St» вляет переход к вспомогательной задаче (0.7); этот, переход; состав-ляетг один из основных, моментов в исследовании задачи (О. l) и ее обобщений классическим методом: интегральных уравнений (см:,, напри-» мер, [4 2J] , с.297-300), йз равенства Со. б) и обратимости Д сразу следует [.32,, 14] , что К и К нормально разрешимы: лишь одновременно, а дефектные числа К вдвое превосходят дефектные числаК» аналогичные, утверждения; справедливы, естественно, и для зздач(0.1) и (О.?), Заметим, что в классической схеме (см,[42,43}) выводилось соответствующее равенство для числа линейно-независимых реше**

- 10 ний однородных задач (0.1) и (0.7) и союзных к ним; при этом само понятие союзной задачи оставалось недостаточно формализованным. Вопрос об одновременной нормальной разрешимости (0.1) и (0.7) не обсуждался.

Наряду с важной вспомогательной ролью при изучении задач для одной аналитической функции (типа (0.1) и ее обобщений), задачи для пары аналитических функций (типа (0.7) и ее обобщений) имеют также значительный самостоятельный интерес. Исследование таких задач классическим методом интегральных уравнений проводилось с помощью интегральных представлений. Их выбор и обоснование представляют собой весьма тонкую и грудную задачу. Построение изящных интегральных представлений, как это делалось, на -пример, в[5,23,43,83] и др. позволяет выразить решение (0.7) ( и, тем самым, (0.1)) через решение некоторого, возможно более простого, интегрального уравнения, нетеровосгь которого досга -точна для негеровосги (0.7), а индекс связан с числом линейно-независимых решений однородной задачи (0.7) и союзной к ней.

Вместе с тем для получения необходимых и достаточных условий негеровосги и вычисления индекса (0.7) - (0.1) можно применять более формальный прием. Рассмотрим оператор (столбец) iwp ,рс.учР([>1;(Г)+1;(Г).

Легко устанавливается,(см. следствие 3.1 ниже), что [~\ нете ров, а его индекс (над полем R вещественных чисел)1кс1Г\= п

Домножим К справа на 1 1 . Учитывая (см.1421,с.35), что оператор SC~C S компактен, получим нетеровый лишь одновременно с |\ сингулярный интегральный оператор со сдвигом Q =1"Р . Таким образом, умножение К на Д - это и есть процедура применения интегральных представлений (с. 304-309 142]).

- .II

При помощи известного матричного равенства СД5] (см. равенство (1.6) ниже или с*398 в [42J ) исключи® в SfC инволюциюW. Окончательно получим, что для нетеровости задачи (0.1) необходима и достаточна негеровость матричного сингулярного интегрального оператора?

Теперь эффективные условия нетеровости и формуну для вычислен ния индекса (ОЛ)и СО. 1), скажеш, в терминах значений коэффициента

Ь f можно выписывать для задач с коэффициентом £> из такого класса, для которого эти результаты получены: для сингулярного интегрального оператора К • В частности, это можно сделать для кусочно-непрерывного коэффициента Ь и др.

Подчеркнем, что только что (фактически, с полным доказательством;) проведено исследование на нетеровость и.вычислен индекс задач (0.1) и (ОЛ)(см• § 14 в Основные черты: изложенной схем® сохраняются и при исследовании значительно более общих вдо-гоэлементных: задач (см'.-гл.П:,Ш), изучаемых в настоящей работе в рамках, операторного подхода."

Отметиш, что точка зрения на краевое условие задачи, как на операторное уравнение (переопределенное задач типа(0.1)) высказывалась Г.С.Литгвинчуком (см. [4 У,сД71) и В.Г.Кравченко еще в 1973-1975 гг;

Идея замены: процедуры применения интегральных: представлений умножением- на оператор? П впервые использоваласьвработе С.^'Скорохода Сб.Ч] . На ее основе С.Ф.^Скороход построил озгличный от предлагаемого в настоящей работе вариант1 операторного подхода. С его помощью e[66J построена нетеровская теория задачи для двух аналитических, функций с несколькими сдвигали; В pa6ore[65J исследована на нетеровость четырехэлементнаи задача с; карлемановским сдвигом дня одной аналитической функции. Основные трудности, прео« допеваемые в[62>,65] связаны с задачей описания: множества 5L , из которого выбирается правая часть рассматриваемой задачи. Наиболее нолные результаты получены в случае непрерывных коэффициентов. Для случая кусочно-непрерывных коэффициентов задача описания станов вится значительно сложнее; С,§,Скороход в этом случае получает достаточные условия! негеровости задачи в терминах^ невырожденности сим-* вола некоторого матричного сингулярного интегрального оператора. Подчеркнем, что С*Ф.Скороходом рассматривался только случай конечной односвязной области и, в основном-, непрерывных коэффициентов» Предлагаемый в настоящей pa6Die вариант операторного подхода ориентирован на исследование задач? Ф том числе, дифференциальных), для функций, аналитических в, вообще говоря, несовпадающих конечных либо бесконечных многосвязных областях со сдвигом, переводящим компоненты связности их границ друг на друга частично с изменением, частично с сохранением: ориентации. Коэффициенты рассматриваемых за--. дач: предполагаются, вообще говоря, измеримыми существенно ограниченными функциями. Строятся матричные сингулярные интегральные операторы, негеровость которых эквивалентна нетеровости исходных задач; устанавливается связь их индексов. Для случая кусочно-непрерывных коэффициентов в работе предпринята попытка придать необходимый и достаточным: условиям негеровости и формуле для вычисления индекса задачи в Lp с весом и Н^с весом, выраженным в терминах значений коэффициентов, возможно более эффективный характер. Характеризуя содержание работы в целом, отметим!, -что глава I содержит, в. основном, результаты, составляющие техническую основу операторного подход да. В главе П рассматривается четырехэлементная задача для функций, аналитических в нескольких многосвязных областях и ее обобщение на случай краевого условия, содержащего производные. Можно сказать, что постановка главы И обобщает постановку (0.*?) в духе работ1

6, 2,1- 2,63 В главе Ш рассмотрена трехэлементная задача для одной аналитической функции (обобщенная задача Карлемана, или задача Н.П.Векуа), в постановке, обобщающей (О. О в духе[бД,гц-2б]«-Таким образом., в главе П реализуется (разумеется, в существенно более сложном; варианте)только аналог перехода озг(ОЛ) к , а в гл.Ш - аналоги переходов как ог(0.1)к (О.Ч), так и ог(.ОЛ)к К • Прежде чем перейти к: более детальному обзору результатов диссертации по параграфам:, укажем еще близкие к рассматриваемы® в ней вопросам: работу ЮЛШарловича и В.Г.Кравченко Q2/9J» в которой, в частности, построена теория Нетера задачи Газемана на сложном! контуре с кусочно-непрерывными коэффициентами^ серию работ1 Ajt.Con-датова (см., например, [6S] ), в которой его результаты, по теории Нетер® сингулярных интегральных операторов с куеочно-*гладким сдви-* гом! и кусочно-непрерывными коэффициентами применяются к исследованию краевых задач для аналитических функций; статью С 553 » где отличным: от нашего методом (сведением: к обобщенной краевой задаче Римана) изучена задача Н.П.Векуа (обобщенная краевая задача Карлемана) на единичной окружности в пространстве Lp с весом.' о

0.3.Диссертация состоит из десяти параграфов, разбитых, для удобства, на пунктьи

В § I содержатся некоторые известные факты, часто используемые в дальнейшем^

В § 2 в пространствах Lp (Г,р) CH^ff^p))00 степенным весом (см^ * а также работыsР.В.Дудучава

P^-JJ^-M*; v^r.-Kj^p-i, o^i)

Р - ляпуновский контур, рассматривается сингулярдай интегральный оператор с: кусочно-непрерывной матрицей функцией Gl •

В п.2.1дприведены критерий нетеровосги и формула для вычисления индекса в Lp ( и fi^ оператора \) в терминах .: ; ■ собственных чисел матриц ц скачков аргументаdjetGj;

Згот результат позволил получить в п.2«2°критерий нетеровости и формулу для вычисления индекса оператора U® (2x2) матрицей-функцией; £| специального вида иГ> са&) кусочно-непрерывные; элементы которой связаны соотношением wfcvadH^djMydoH; и^еК.-ьеГ, (0.g)

Именно, установлено что нетеровостьU эквивалентна условиям xCti о)* О, СЫШОФ Ч (0.10) ъ^и=к? Н + 5

Здесь ©(У^^СсЬопределяютхгя по показателям; веса и предельным значениям U^,СУ,ОС,у, суммирование в (0.1о') в первой сумме: осуществляется по дугам! непрерывности X , во второй - по точкам разрыва. GJ • Отметим, что кг операторам; U с коэффициентом d вида(0.$) приводится исследование многих задач со сдвигом', и сопряжением: (см» а также глЛ,Ш настоящей работы);; Например,, нетеровость обобщенной краевой задачи Римана [12., 5, Ч Z] act)<p"bciyfU) + k-i), -te Г ф.а) эквиваленгна£4£/?0]нетеровости, а индекс - вдвое меньше индекса*) к) Во избежание недоразумений, подчеркнем^ что индекс и дефектные числа везде в работе, если явно не оговорено противное, подсчи-тываютсяг над полем: R вещественных чисел^ оператора V » для которого в (О.*) xct)* Oito, уФ* feci) , ltd.) = I си-ЫМЬсЬ!2", IX Ci) = 1 , Г • В качестве следствия в п.2.2°приведен критерий нетеровосги (О,id)в Lp(T; р) и рК°Р« с известным. С&ОД для 1р(Г)), и формула для вычисления ее индекса, уточняющая соответствующую формулу I о

В п.ЗЯ обоснован прием!, позволяющий в вопросах, негеровэости и вычисления индекса переходить от случая задач: с краевым условие ем, заданным на составном контуре, к случаю простого контура. В п.3^2°установлена нетеровость л вычислен индекс вспомогательных операторов ("интегральных представлений") - оператора [\ и некого-рых более сложных операторов, играющих аналогичную П роль в дальнейшем;,

Во второй главе получены необходимые и достаточные условия нетеровости» вычислен индекс (а в некоторых случаях, и дефектные, числа) четырехэлементной задачи для функций* аналитических в нескольких многосвязшх облаетях.: V

В § % приводится постановка задачи и примеры, показывающие, в каком направлении она развивает известные постановки С42,,2Д-2,6,

5 и др."

ГГусть и ИХг1,Н конечные либо бесконечные многосвязные области, произвольным; образом расположенные друг от

Г № р носительно друга, 1 = VJ lm У = U У - их, границы, У = N м к 3=1 J 5 6rrt r ^ i K^ oL - сдвиг, диффеоморфно переводящий каждый

1 "к lu=l ' из Г^ на некоторый о^ с сохранением: или изменением:- ориентации." Требуется найти аналитические в и соответственно функции ^ и по краевому условию

OA)Y^Cduia + - Ы),

Задача рассмотрена в Up - и Н - постановке. Это означает, соответственно, что 1+р(Га,р)? H^pfy >J>)

Сх Р)* ® первом случае коэффициенты (0.12) принадлежат ju owl ij

Цао(Гк)#во втором - кусочно гельдеровы с разрывами в t0,.,ta.

В § 5 построены сингулярные интегральные операторы 1< =

- Р+й^О » ГД® о-fc^r^ имеют вид (ОЛО^Х^и^ вычисляются по коэффициентам (0»12) на ■> Доказано, что для нетеровости задачи (0.12) необходима и достаточна нетеровость К^ Jn=l,Nt а ее индекс af= aSTtuik. + 2>( V0-v), где Ve - суммарное число конечных среди областей и 9 т,= 1,М. в частности, в случае непрерывных коэффициентов для нетеровости (0.12) необходимо и достаточно, чтобы OJ&dLi) - toye®) ФО , i € . №Зй)- actjecb* О , t€ J^' ;

X \oncj ) где ( ) - объединение тех j^.С. , для которых сдвиг сохраняет (изменяет) ориентацию. В случае кусочно-непрерывных коэффициентов (0.12) приведены необходимые и достаточные условия ее нетеровости и формула для индекса в терминах (O.IO)-(O.IO'). Отсюда выведен ряд следствий, в том числе и критерий нетеровости и формула для индекса трехэлементной задачи L26] с кусочно- непрерывными коэффициентами.

В § б в т.н. неособых случаях (см.,например, С3,5,26] ) вычислены дефектные числа задачи (0.12) в постановке § 4 с гель-деровскими коэффициентами при обычных (см. £.42,49,26] ) предположениях, позволяющих свести эгог вопрос к: вопросу о вычислении дефектных чисел двуэлементной задачи,

Я)

В § 7 в пространствах СЛ^Соботгева и функций с гельдегровскими производными рассмотрена задача в общей постановке: § 4, с краевым условие®, содержащим производные:

0.1Ь) tub , -fee I^j , ot-tti6 &UK •» V, 5h.=o, 1,- .

Установлено, что нетеровость (О-^эквивалентна нетеровости задачи (о.1го,в которой аД)= , , , dtb) = ctstb)?индекс задачи(0.15)связан с индексом^ задачи (0.1г) равенством

Я N мед, nejf0 ^ где Jtl0 (<До)- множество значений l^rn^M (ft,, П=1,^)для которых Б^ С ~ конечная область*

В третьей т?лаве получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс задачи Н.ГГ.Векуа (обобщенной краевой задача Карлемана) об отыскании функции (f аналитической в конечной либо бесконечной V - связной области S) по краевому условию у

Р+Сс1<±)] = att)^ + ЬФ + fbct), te Г = ид . (0.14)

Предполагается, что сдвиг al удовпегворяезг условию Карлемана (О. ^ (i) контур Jf= "U J7 > причем; оС пареводит каждую компоненты связностиРcf^ на себя либс на другую компоненту связности

К Г г № " сохранением: ориентации, каждую компоненту связностиJ^l - на дру-~ пса-) гую компоненту связности 1 с изменением; ориентации, а каждую компоненту связности на себя с изменением ориентации. Предполагается, что п.в; на Г выполнены тождества Н,П,Векуа; ad)at<utu+ to асы&й = о,

Ш + OAfcvft + fcctofitcntti = о , -ь * Г, снимающие [4, переопределенность задачи,

В § 8 содержится постановка задачи, примеры и некоторые предварительные результаты. Отметим; среди них, например, доказанную здесь необходимость условий ^Г^Ц^СГ^Для негеровосги

Со. 14).'

В; § 9 построены действующие в Lp(f р) сингулярные ин~ тегральные операторы К + где (Jj имеет вид(0.$|

Х,и м и определяются по коэффициентам; Св14). Доказано, что нетеровость(0,14) эквивалентна негеровосги К , установлена связь индекса Я задачи (0.14) с j-iib. Заметим;, что при построении операторов 1^для j=l>£. используетел (разумеется, в более сложном варианте) схема, описанная в о «Л/]) п;0,2 настоящего введения^ для Кj=?3 - георема конформного склеивания (см. 14 2*, 3 5 J )» позволяющая свести обобщенную краевую задачу' Карлемана & эквивалентной обобщенной краевой задаче Римана на разомкнутой дуге,

В § 10 в терминах (0.10) -(О. ±о') получены необходимые и достаточные условия негеровосги и формула для. вычисления индекса задачи (014)с кусочно-непрерывными коэффициентами, В частности, оказалось, что для нетеровости (ОЛЧ)ъ случае непрерывных <Х,6 необходимо и достаточно, чтобы е= i 1 , <*> ф. & о , ®о в <£> ' где lnf - число тех компонент связности во Бсех точках которых выполнено неравенство lOujc)| > l&Qt) I, ~ чис71° тех неподвижных точек сдвига на этих компонентах связности в которых о функция а принимает значение "'-I" В п.10.2 в неособых случаях, при обычных £42.,£63 ограничениях |СЦЬ)|< l€>(it)| ? -Ьб Г^ и |cidb|> вычислены дефектные числа задачи (0.14) с гельде-ровскими коэффициентами. о

0.4. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса в Lp(f,р) и Н^СГ;р) оператора с, кусочно-непрерывной матрицей-функцией специального вида (р.?>1 (теорема 2.2).

2. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса в 1-р(Г;р)и HM(T,J>) задачи (0.12) с измеj римыми существенно ограниченными, кусочно-непрерывным^, непрерывными коэффициентами (теорема 5.1, теорема: 5.2, следствие 5 Л) и. формулы- для вычисления ее дефектных чисел'.'

3» Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса дифференциальной задачи (теорема. 7.1, следствие 7.1).

4. Необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса задачи (0.1 Ц) с измеримыми существенно ограниченными, кусочно-непрерывными, непрерывными коэффициентами (теорема 10.1, теорема 10.2, следствие 10,1) и формула для вычисления ее дефектных чисел,

Результаты работы опубликованы в; [ЪЪ- *

Результаты работы докладывались на Ш республиканском; симпозиуме по дифференциальным! и интегральным уравнениям (Одесса,1

1982 г.), семинаре по краевым задачам при Одесском госуниверситете (руководитель - доцент: А.Ш.Нечаев), Одесском городском: семинаре по краевым: задачам: и сингулярным; интегральным уравнениям: (руководитель - профессор Г,С.Литвинчук), вошли в обзорный доклад Г.СЛитвинчука'на совместных чтениях Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского (Москва, 1983 г.)'*

Автор пользуется приятной возможностью выразить глубокую: благодарность своему научному руководителю А .П. .Нечаеву.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Лисовец, Наталия Ивановна, Одесса

1. Бессчетнов М.Е. Об одной краевой задаче со сдвигом, Карле-мана для аналитических функций,1 - В кн»: Дифференциальные уравнен ния с частными производными» Труды семинара СЛСоболева»: Новосибирск, 1980, - с. 5-22;

2. Гавдзинский'В. Н., Нечаев АЛ. Краевая задача; для пары функций, аналитических в несовпадающих областях. Укр.матем.журн.^ 1979, 31, № .6* с.658-665.

3. Гавдзинский. В.Н. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения первой основной задачи гермоупругости. Дифферент у равн. , 1974, 10, № 9, сЛ725~1726.

4. Гаврилов С.К. Исследование по смешанным двухэлементным: краевым! задачам, теории аналитических функций!» Дисс. . канд. физ.-мат.наук, Одесса, 1974.

5. Гаврилов С.К. Смешанная краевая задача карлемановского типа. Сибирск.матем.журн., 1974, 15, № 3, с.485-497.1.i Гаврин В.Г. Индекс и условия разрешимости одного класса- 142 интегродифференциальных уравнений.- ДАН БССР, 1976, 20,№ 7, с.589 590.

6. Ганин М.П; Об одной общей краевой задаче для аналитических функций. ДАН СССР, 1951, 79,№ 6,с.921 - 924.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М,: Наука,1977.- 640 с.

8. Горожда JI.B. ,Емец.Ю.П., Жукова Н.И. ,Зверович Э.И.О применении обобщенной краевой задачи Римана к расчету электрических полей.- ДАН БССР,1979,23,№ 2,c.II8-I20.

9. Гохберг И.Ц.,Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев,изд-во "Штиинца", 1973.-426 с. '

10. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа.- М.: Наука,1973.

11. Дудучава Р.В. О сингулярных интегральных операторах в пространствах Гельдера с весом.- ДАН СССР, 1970,т.191, № I, с.16 19.

12. Дудучава Р.В. О теоремах Негера для сингулярных интегральных уравнений в пространствах гельдеровских функций с весом.-В кн.:"Тр.симп. по механике сплошной' среды и родственным проблемам анализа" I97I,r.I, с.89 102.

13. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановой поверхности. Успехи- 143 матем.наук, 1971, 26, № I, с.НЗ-179.

14. Исаханов Р.С. Линейная граничная задача для нескольких голоморфных функций; Тр.Гбилисск^магем.ин-га, 1978, 58,с.106-121.

15. Исаханов Р.С. 0 некоторых граничных задачах теории аналитических функций. Тр; Тбилисск.матем.ин-та, 1976, 52, с.61-80.

16. Исаханов F.C. Об одной общей задаче для голоморфных функций; ~ Труда Тбилисск.магем.ин-та АН ГрузССР, 1980, 65,с.99-109.

17. Карапетянц Н.К., Самко С.Г«' Сингулярные интегральные операторы сю сдвигов Карлемана в случае кусочно-непрерывных: коэффициентов. Изв.вузов,математика, 1975, №' 2, с.43-54.

18. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. ~ Изв. вузов. Математика, 1983, №'4, с.3~27;г

19. Карлович Ю.И., Кравченко В,Г. Об. алгебр® сингулярных интегральных операторов с некарлемановским; сдвигом; и кусочно*-непрерывными коэффициентами. ДАН СССР, 1980, 252, Ш б, с.1307-I3II.

20. Карлович Ю.И., Шапиро М.В. Об алгебре операторов со- 144 сдвигом Карлемана, переводящим компонента контура друг в; друга.-Матем.иссл., 1974, % $ 3, с.95-104.

21. Квеселава Д.А.:' Некоторые граничные задачи теории функций. Труды магем:.ин-та АН ГрузССР, 1948, 16, с.39-80.

22. Крейн C.F. Линейные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1971^

23. Крупник Н.Я» Некоторые общие вопросы теории одномерных сингулярных интегральных операторов с матричными коэффициентами.-Матем.исслёд,, 1976, вып.42, c;9I-II3.

24. Курганская М.Я., Черский Ю.И. Задача сопряжения трех аналитических функций; ДАН СССР, 1970, 195, №4, с.765-768.'

25. Латушшин Ю^Д., Литвинчук F.C., Спитковский H.Mv К теории одной граничной задачи Николая Ве&уа. Труд® матем.ин-га АН ГрузССР, 1984.

26. Лисовец. Н.И. Дифференциальная граничная задача для функций, аналитических в нескольких многосвязных областях. -Одесса, 1984. « 17 с. Рукопись представлена Одесским ун-том. Деп. в УкрНИИНТИ 13 марта 1984 г., № 546. Ук. - Д84*

27. Лисовец Н.И. Об одной четырехэлеменгной краевой задаче,-В кн. '"Тезисы докл. Ш респ.симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям;, Одесса, 1982, с. 183;- 145

28. Лисовец Н.И. Смешанная краевая задача дпя функции^ аналитической в многосвязной области в пространстве суммируемых функций. Одесса, 1983. - 30 с. - Рукопись представлена Одесским ун-том. Деп. в УкрНИШШ 19 июля 1983 г., № 773 Ук -ДШ.

29. Литвинчук: Г.С., Нечаев АЛ. Обобщенная краевая задача Карлемана.Матем.сборник, 1970 , 82, № I, с.30-54.

30. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Точные оценки дефектных чисел обобщенной краевой задачи Римана, факторизация; эрмитовых матриц-функций и некоторые проблемы приближения мероморфными функциями. Матем.сборник, 1982, 117, № 2, с.196-215♦

31. Лопагинский Я.Б. Введение в современную теорию дифференциальных уравнений в частных производных. К.: Наукова думка, 1980; - 216 с.

32. Манджавидзе. Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения общего вида со смещениями. Тр. Тбилисск. матем:. ин-та, 1967, 33, с.76-81.

33. Манджавидзе Г.-Ф. Об одном классе граничных задач линейного сопряжения. Сообщ.АЕ ГрузССР; 1982, 105* 13, с.493-496."