Нелинейные краевые задачи со смещением для некоторых уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Задачи типа Трикоми с алгебраической нелинейностью в краевом условии

§ I. ¡Задача для модельного уравнения в полярных координатах

1.1. Постановка задачи и её редукция к краевой задаче теории аналитических функций

1.2. Задача о модуле аналитической функции.

1.3. Случай разрешимости в явном виде.

1.4. О распадении на линейные задачи.

1.5. О разрешимости задачи при некоторых дополнительных условиях.

1.6. ?езше.

§ 2. Задача для уравнения ЛаврентьеЕа-Бицадзе.

2.1. Формулировка задачи и сведение её к нелинейной краевой ■задаче типа Гильберта.

2.2. Задача о модуле аналитической функции

2.3. Зторой случай разрешимости задачи (2.6) в явном виде

2.4. Случай распадения на линейные задачи

2.5. Некоторые замечания.

Глава П. Задачи со свободными границами

§ 3. Задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

3.1. постановка задачи и сведение её к смешанной краевой задаче теории аналитических функций

3.2. Исследование смешанной краевой задачи при некоторых дополнительных предположениях.

3.3. Продолжение.

3.4. Продолжение.

3.5. ! Триме не ние конформных отображений.

3.6. Резше.

§ 4., Задача для уравнения с двумя линиями изменения типа . . 56.

4.1. Еостановка задачи и приведение её к краевой задаче со свободными границами для аналитических функций

4.2. Случай распадения на линейные задачи

4.3. Линейно-эллиптический случай

4.4. Другие случаи.

4.5. Таблица случаев явной разрешимости

§ 5. Уравнение в полярных координатах.

5.1. Постановка задачи, приведение её к смешанной краевой задаче теории аналитических функций

5.2. Исследование нелинейной смешанной краевой задачи со свободными границами

5.3. Применение конформных отображений

Глава III. Задачи с "малой" нелинейностью.

§ 6. Уравнение с круговой линией изменения типа

6.1. Пэстановка задачи и приведение её к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Гиль-бэрта.

6.2. О разрешимости системы.

6.3. Единственность решения

§ 7. Система дифференциальных уравнений первого порядка смешанного типа.

7.1. Формулировка задачи и редукция её к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши

7.2. О разрешимости системы в частном случае

7.3. Продолжение.

7.4. Другой случай разрешимости

Л.иторатура.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа - один из Еажных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первая работа Ф.Трикоми [82] появилась около шестидесяти лет назад, однако период наиболее интенсивного развития этой теории приходится на последние тридцать лет. Начало этому периоду положено исследованиями советских математиков М.А.Лаврентьева,А.В.Би-цадзе, К.И.Бабенко, Ф.И.Франкля, И.Н.Векуа. Ими получены фундаментальные теоретические результаты и установлены связи с задачами трансзвуковой газовой динамики [9,23,70,71], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [17], безмоментной теории оболочек [17]. Позднее были обнаружены и другие приложения: в магнитной гидродинамике [38], теории электронного рассеяния [81], в прогнозировании почвенной влаги [49], в биологии [27,50] .Важные результаты по этой тематике в дальнейшем были получены в работах М.М. Смирнова,В.П. Михайлова, С.П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, Т.В.Чек-марева, В.Н.Врагова, А.М.Нахушева и их учеников. Обзор многих результатов тлеется в монографиях А.В.Бицадзе [12,13], Л.Берса [ 9], М.М.Смирнова [67], М.С.Оалахитдинова [63], Т.Д.Джураева [ 26].

В 60-х годах появились статьи В.И.Жегалова [28] и А.М.Наху -шева [ 51], в которых впервые поставлены и изучены краевые задачи со сдвигами в гиперболической области, а также работа А.В.Бицадзе и A.A.Самарского [ 14], где подобная задача рассматривалась для эллиптических уравнений. Эти задачи со "смещениями", или "нелокальные", как их назвали позже, быстро привлекли внимание математиков. В настоящее время имеется большое число работ, где такие задачи изучаются для дифференциальных уравнений различных типов.

Для уравнений смешанного и смешанно-составного типа систематике -ские исследования указанных задач ведутся в г.г.Ленинграде, Куйбышеве , Ташкенте и Казани. Появились ж приложения [49,50].

Во всех упомянутых выше работах рассматривались только линейные краевые задачи (как со смещениями, так и без смещений). Исследовании нелинейных задач без смещений для уравнений смешанного типа началось сравнительно недавно. Первые работы относятся к 1966г. (Д.К.Йзазава [20], И.В.Майоров [43], Г.Г.Салахиев [60-62]). В ста -тьях [<50-62])изучены задачи для систем уравнений смешанного типа, когда в краевом условии присутствовал нелинейный член с малым параметром. В связи с этим применялись результаты теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений, полученные А.И.Гусейновым [24], В.К.Наталевичем [46,48], Б.И.Гехтом [21-22], В.Ф.Кропачевым [40] и другими (см.например, монографию А.И.Гусейнова ж Х.Ш.Мухтарова[25]). В работах Д.К.Гвазавы [ 20], И.В.Майорова [ 43], Л.И.Галиевой [18] нелине:!ными были исходные уравнения, в работах И.Н.Родионовой [59], Р.М.За:!ниева [ 33], И.Е.Солодовникова [ 68], нелинейными были условия склеивания.

Нелинейные краевые задачи со смещениями, насколько нам известно, пока никем не рассматривались. Поэтому целью настоящей диссертации является изучение нелинейных краевых задач со смещениями длт некоторых модельных уравнений смешанного типа.

Отправной точкой для постановки изучаемых в диссертации задач послужили работы В.И.Жегалова [28-32]. Рассмотренные здесь задачи являются линейными, но оказалось, что применяемая в этих работах методика может быть распространена и на нелинейные задачи, если привлечь еще результаты В.К.Наталевича [46,47] и Ю.В.Обносо-ва [53-55] по нелинейным краевым задачам теории аналитических функций, которые до сих пор в теории уравнений смешанного типа не исполь зовались.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Алибеков Г.А. О свойствах производной от функции, отображающей область с углами. - В кн.: Вопросы теории приближений функций и её приложений. Сборник статей,/ Под ред. В.К.Дзядыка, Киев, 1976, с.19-32.

2. Алибеков Г.А. О свойствах конформного отображения облас -тей с углами. В кн.: Вопросы теории приближений функций и её приложений. / Под ре д. В.К.Дзядыка, Киев, 1976, с. 4-18.

3. Астафьева Л.К. К нелинейной задаче Трикоми. В кн.: Труды семинара по краевым задачам, Казань, 1982, вып.18, с.21-26.

4. Астафьева Л.К. Задача Трикоми с нелинейным смещением. -В кн.: Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР, Рязань, 1981, с.3-5.

5. Астафьева Л.К. Об одной нелинейной краевой задаче со свободными границами для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Казань, 1982, - 25 с. - / Рукопись представлена Казан.ун-том.Деп.в ВИНИТИ 16 ноябр. 1982, № 5600-82.

6. Астафьева Л.К. Задача Трикоми с полиномиальным смещением.-В кн.: Неклассические задачи уравнений математической физики, Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1982, с.15-17.

7. Астафьева Л.К. Нелинейная нелокальная краевая задача со свободными границами для уравнения с двумя линиями изменения типа В кн.: Теория функций комплексного переменного и краевые задачи Изд-во Чув.гос.ун-та, Чебоксары, 1983, с.3-21.

8. Базарбеков A.B. Об одной задаче А.В.Бицадзе для уравнения смешанного типа с замкнутой линией вырождения. Дифф.уравнения, 1975, т.II, № I, с.176-179.

9. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961, - 208 с.

10. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа.-Труды мат.ин-та АН СССР, 1953, т.41, 59 с.

11. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа. Дифф. уравнения, 1970, т.6, JS I, с.3-6.

12. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1981. 448 с.

13. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд. АН СССР, ВИНИТИ, 1959. - 164 с.

14. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР, 1969, т. 185, J* 4, с.739-740.

15. Бредихина Т.Б., Волкодавов В.Ф., Лернер М.Е. О единст -венноети решения задач типа Трикоми с полиномиальными условиями склеивания. В кн.: Волжский математический сборник, Куйбышев, 1971, вып.9, с.П-16.

16. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ,1959. 628 с.

17. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 11-е изд. - М.: Наука, 1975, - 872 с.

18. Галиева Л.И. Некоторые краевые задачи для нелинейных уравнений смешанного типа. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1973. - 8 с.

19. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд., перераб. и дополн. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

20. Гвазава Д.К. Глобальное решение задачи Трикоми для одного класса нелинейных уравнений смешанного типа. Тез. кратк. на-учн.сообщений / Международный конгресс математиков, секция 7. -М.: 1966, с.25.

21. Гехт Б.И. Разрешимость нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом итераций. Учен. зап. Казан, ун-та, Математика, 1956, т.116, кн.4, C.III-I39.

22. Гехт Б.И. Разрешимость нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. В кн.: Научные труды Новочеркасск.политехи.ин-та, физ.-мат.секция. Ереван, 1955, т.26/40/, с.436-454.

23. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ,1960. 421 с.

24. Гусейнов А.И. Теоремы существования и единственности нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Мат.сборник.Новая серия, 1947, т.20/62/, Ш 2, с.239-309.

25. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелиней -ных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980.- 416 с.

26. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1979, - 238 с.

27. Еленин Г.Г. Об одной системе квазилинейных нестационар -ных уравнений смешанного типа. Дифф.уравнения, 1982, 18, В 7, с.1186-1190.

28. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнений смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. Учен. зап. Казан, ун-та, 1962, т.122,кн.3, с. 3-16.

29. Жегалов В.И. К задачам со свободными границами для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Казань, 1981.- 22 с. - / ^Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 8 июня I98I,f 2750281.

30. Жегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнений смешанного типа. В кн.: Дифференциальные уравнения, Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР, Рязань, I98I,c.4I-44.

31. Жегалов В.И. Об одной краевой задаче для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе в полярных координатах. Изв.вузов, Математика, 1984, JS 3, с.38-44.

32. Жегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнений смешанного типа. Труды семин. по краевым задачам, Изд-во Казан, ун-та, 1981, вып.17, с.63-73.

33. ЗайниеЕ P.M. Применение теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений к исследованию краевых задач для некоторых уравнений смешанного типа. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук.-Куйбышев, 1979. 12 с.

34. Карамышев Ф.И. Задача Гильберта для системы дифференциальных уравнений смешанного типа в полярных координатах. В кн.: Труды Новочеркасск, политехн.ин-та, Ереван, I960, т.109, с.61-72.

35. Карамышев Ф.И. Об одной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа. В кн.: Труды Новочеркасск, политехи. ин-та, Ереван, I960, т.109, с.25-31.

36. Карамышев Ф.И. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа. Сиб. мат. журн., 1961, II; 4, с.537-546.

37. Каратопраклиев Г. Об одном обобщении задачи Трикоми. -ДАН СССР, 1964, 158, 2, с.271-274.

38. Коган М.Н. О магнотогидродинамических течениях смешанного типа. ПММ. 1961, 25, I, с.132-137.

39. Коппенфельс В. и Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963.- 406 с.

40. Кропачев В.Ф. О нелинейных сингулярных интегральных уравнениях. В кн.: Труды Казанского авиационного ин-та, Казань,1955, XXX, с.I15-132.

41. Лаврентьев М.А., Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. ДАН СССР, 1950, 70, 3, с.373-376.

42. Лаврентьев ГЛ.А. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд., исправл. - М.: Наука, 1973. -736 с.

43. Майоров И.В. Задача Трикоми для нелинейных уравнений смешанного типа. Тез. кратк. научн.сообщений / Международный конгресс математиков, секция 7. - М.: 1966, с.42-43.

44. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 420 с.

45. Мусхелишвйли Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -3-е изд., испраЕЛ. и дополн. М.: Наука, 1968. - 512 с.

46. Наталевич В.К. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения и нелинейные краевые задачи теории аналитических функций. -Учен. зап. Казан, ун-та, 1952, т.112, кн.10, с.155-190.

47. Наталевич В.К. Об одной нелинейной краевой задаче аналитических функций. В кн.: Научн. труды Новочеркасск, политехн. ин-та, Ереван, 1955, т.26, с.455-459.

48. Наталевич В.К. О нелинейном сингулярном интегральном уравнении и нелинейной краевой задаче теории аналитических функций. ДАН СССР, 1952, т.83, В I, с.15-17.

49. Нахушев A.M. Краевая задача для нагруженных интегро-диф-ференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной Елаги. Дифф.уравнения, 1979, т.15, J& I, с.96-105.

50. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения. -Дифф.уравнения, 1983, т.XII, J6 I, с.86-94.

51. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Дифф.уравнения, 1969, т.5, В I, с.44-59.

52. Нужин М.Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении к определению формы сечений скручиваемых стержней. -Учен. зап. Казан, ун-та, 1949, т.109, кн.1, с.97-120.

53. Обносов Ю.В. О решении краевой задачи типа Гильберта. -Изв.вузоЕ. Математика, 1973, № 10, с.42-49.

54. Обносов Ю.В. Решение одной нелинейной смешанной краевой задачи теории аналитических функций. Изв.вузов. Математика,1975, В 6, с.96-102.

55. Обносов Ю.В. Решение однородной степенной задачи Гиль -берта с постоянным показателем. В кн.: Труды семинара по краевым задачам, Казань, 1978, вып.15, с.99-107.

56. Плещинская И.Е. Граничные задачи для системы уравнений смешанного типа, приводимые к задаче Гильберта. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1979. - 15 с.

57. Показеев В.И., Мерлин A.B. Краевая задача для уравнения fv-oro порядка смешанного типа в многосвязной области. В кн.: Теория функций и краевые задачи. - Чебоксары, 1972, с.37-47.

58. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 12-е изд., - М.: Наука, 1977. - 444 с.

59. Родионова И.Н. Задача с нелинейными условиями склеивания для уравнений смешанного типа II рода. В кн.: Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР. 1975, Рязань, вып.6,с.173-184.

60. СалахиеЕ Г.Г. Краевая задача для квазилинейной системы уравнений I порядка смешанного типа. В кн.: Труды семинара по краевым задачам, Казань, 1970, вып.7, с.232-238.

61. Салахиев Г.Г. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений смешанного типа с нелинейными условиями склеивания. В кн.: Труды семинара по краевым задачам, Казань, 1966, вып.З, с.141-145.

62. Салахиев Г.Г. Нелинейная краевая задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка смешанного типа. В кн.: Труды семинара по краевым задачам, Казань, 1966, вып.3,с.129-139.

63. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. -Ташкент: Фан, 1974. 156 с.

64. Салимов Я.Ш. Нагруженная нелинейная задача типа Гильберта. В кн.: Исследования по некоторым вопросам конструктивной теории функций и дифференциальных уравнений. - Баку, 1981, с.49-52.

65. Селим М.С. Нелинейная нагруженная граничная задача типа Гильберта. Учен. зап. Азерб. ун-та, Сер. физ.-мат. наук, Баку, 1978, с.84-89.

66. Селим М.С. Об одной нелинейной нагруженной задаче Гильберта. Учен. зап. Азерб.ун-та.Сер.физ.-мат.наук, Баку, 1978, с.100-104.

67. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. - 295 с.

68. Солодовников И.Е. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с обобщенными условиями склеивания. Автореф. дисс.канд. физ.-мат.наук. Казань, 1974. - 10 с.

69. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи.- 2-е изд., перераб. и дополн.- Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1965. -333 с.

70. Франкль Ф.И. Два газодинамических приложения краевой задачи Лаврентьева-Бицадзе. Вест.МГУ. Сер. мат., мех. и астр. 1951, 6, II, с.3-7.

71. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина для решения смешанных до- и сверхзвуковых течений. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1945, 9, 2, с.121-142.

72. Хафизов Ш.Г. Обобщенные задачи Гурса для одного эллип-тико-гиперболического уравнения. В кн.: Дифференциальные уравнения и математическая физика. / Республ. сб. научн. трудов, Куйбышев, 1979, вып.1, с.125-129.

73. Чибрикова Л.И. О 1фаевой задаче Римана для автоморфных функций.- Учен.зап.Казан.ун-та, Математ.,1956, т.116, кн.4, с.59--110.

74. Чибрикова JI.И. Основные граничные задачи для аналитических функции.- Казань:Изд-во Казан, ун-та, 1977.-302 с.

75. Чибрикова Л.И. Эффективное решение краевой задачи Гильберта для некоторых прямоугольников, ограниченных дугами окружностей.- Учен. зап. Казан, ун-та, 1957, т.117, кн. 2, с. 22-26.

76. Чибрикова Л.И., Плещинский Н.Б.Об интегральных уравнениях с обощенными логарифмическими и степенными ядрами.- Изв.вузов. Математика, 1976, Ш 6,с. 91-104.

77. Чибрикова Л.И., Показеев В.И. Задача Трикоми для одной многосвязной области.- В кн.: Краевые задачи теории функций комплексного переменного.- Казань, 1962, с.73-79.

78. Шабат Б.В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа.- ДАН СССР, 1957, т. 112, Ш, с.386-389.

79. BlcadseA.V. Zus Theosle des Gleichungen vom gemischten Tijpls.-Schötens last. Math.Dtsch.Acad. WLôs.-Beslin, 1978, uô,s. 91-95.

80. Teicomi F Suite equazlonl 11пеаг1 alle deeivate pamall dl2°-ozdtne di tipo misto.- Memosle deLla R. Accademla Wazlonale del Llncel, 1925, вег.5, irol 14, Jase. 7.