Некоторые вопросы теории бисингулярных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ростовский ордгна трудового красного шамгли государственный университет

СпециалиэтоованкыЯ совё^ К.САЗ.52.13 яъ наукам

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

СШЙШЦДИ Елизавета Николаевна

' УЛК 517.9

ННКО-ТОРНЕ ОПРОСЫ ТЕОРИИ -БКСИНГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

OI.OI.OI - «атеиатичгский анализ

А Н Т О Р Е О 2 Р А Т диссертации на соискание у теней степени

кандидата физико-математических каук

Ростоа-на-Лону 1992

Работа выполнена в Ростовском Ордена Трудового Красного Знаками государственном университете

Научный руководитель - док?ор физико-математических наук,.

Лилидя В.С.

Офшдашшше- оппоненгы. - доктор фкзико-маэекаукческих наук

Карлович Ю.И.

кандидат физико^матека'гйчесю® наук Деувдяк В.Ы.

Ведущая организаций « В&яорусский государственный

укищреитет

Защита состоится в_ исйр Го^ 1993 Г., в . чае. на заседании Специализированного Совета К 0^3.52.13 по присуздению ученой степени кандидата физик&»матеыатически наук в ростовской государственном университете по адресу:

344104» г..Роето&-на~Дону ,ул.Зорге,5, ыеханико-иатеыатический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотек« Ростовского государственного университета по адресу: рг.Ростов-на-Яоку, ул.Пушкинская,148

Автореферат разослан " ЛнёуиЬЛШ г\

Ученый секретарь специализированного совета К 063,52.13,

. доцент В.Д.Кряквин

к-

i

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы - исследование классов реаенинй полных бисингу-ярных интегральных уравнений и исследование нетеровости бисин-^лярных операторов с некоторым инволэтивным сдвигом в простран-гве Lр (Г, * Г*) ^ Г, , <£ - простые замкнутые контуры та Ляпунова в комплексной плоскости.

Актуальность темы. Основные понятия краевой задачи Римана ия аналитических функций двух комплексных переяенных и связан-jx с нею бисингулярных интегральных уравнений били введены 5 ра-зтах Й.Б. Гагуа, А.Г. 'Даварвеиавили. В.А. Какичева, С.И. То-тикиавили. Вопроси качественной теории бисингуларних операп-56. такие как нетеровость. вычисление индекса, построение ре^у-зризатора, исследовались в работах 11.5. Симоненко. З.С. Пили-t. П.И. Сазонова. Р.В. Дудучавы. 3 настоящей диссертации мс-тедуется нетеровость одного класса бисингдлярных операторов ; ¡которым инволативным сдвигом. Это новый, не изучаввийсз p.üíee, lace операторов. Некоторые другие класса операторов со cflSíroíí (учались Д.И. Сазоновым и C.B. Ефимовым.

Ь нистпччей работе получило такяе дальнейаее развитие изу-■ни»' клагсов ревений бисингулярных интегральных уравнений.

Mi'T'iflHK.j исгл^дований. При обосновании полученных в дис--фт.щии результатов использовались иетпды теирии сингулярны* !т-г;>ыьных уравнений и операторов. методы Функционального ■ ¡али^а. включая теорию банаховых алгебр, а такге теория сик-

- А -

гулярнкх операторов со сдвигом-.

Научнаая новизна и практическая значимость работы. В д.ис сертации исследуется некоторый класс бисинсулярных операторов со сдзигок. Получен критерий нетеровости оператора из этого класса в терминах обратимости матричного операторного символа. Исследован ряд случаев, когда условия нетеровости являются эффективно проверяемыми. В диссертации обобщаются полученные ранее теоремы о классах решений характеристических бисннгуляр-ных уравнений на случай полных бисингулярн;ы.х интегральных урас нений.

Все полученные в диссертации результат^ являются новыми-.. Они ногут быть использованы в теории интегральрых уравнений-со сдвигом и- для получения априорной информации о. решениях возникающих на практике конкретных уравнений..

Апробация работы.. Основные результаты диссертации докладывались:

- на семинаре по интегральным уравнениям в отделении гидроакустики Морского гидрофизического института Украины, г,. Одесса (рук. проф. Литвинчук Г.С.);

- на семинаре кафедры функционального анализа Белорусского Государственного университета, г. Минск (рук.. проф.. йнтоневич Й.Б.);

- на семинаре кафедры алгебры и дискретной натеиатики Ростовского Государственного университета, г. Ростов-на-Дону (рук. проф. Симоненко И.Б.);

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Че-

ченского Государственного университета, г. Грозный «. рук. доц. Танкиев И.А.).

СОДЕРШИЕ РА50ТН

Зо введении дан краткий исторический обзор результатов, связанных с темой диссертации. Затем приведено описание результатов диссертации.

В первом параграфе приводятся необходимые в дальнейшей сведения о бисингулярных операторах.'

Пусть Г - простой замкнутый контур в комплексной плоскости V . удовлетворяющий условию Ляпунова. На контуре П введем стандартным образок ориентации. Обозначим через * 3) две области, на которые контур Г разбивает С. Введем следующие обозначения: Кр(Г) - множество всех коипактнии операторов в Ьр(Г). (или $ ) - оператор сингулярного интегрирована в^р(Г). р£~ & (-1- - проекторы в (Лр(г)- банахова алгебра полных сингулярных интегральных операторов г непрерывными коэффициентами, действующих т. 5. мниже1 тро всех операторов вида А Рг *Cl.fi. + 'т. где . а_С'С{Г\ ТёКр(Г). Прямуз ечкму ¿'.р(г)@ьр(г) обознлиа , « ^лгаору полных сингулярных интегральных операторов э

I £ ' . г

1~р{Г] , непрерывными ! цатричныии) коэффициентами через с'г.¡и (Л. - оанахс-Еа алгебра, то через С Суден обозничать

алгагру всех непрерывных по норае отобрааенкй ^ в ОЬ

Предположим, что контуры Г и Г удовлетворяют тем же

/

дгл-.виям. что и Г . Через В (Г,*/1)) (& (I-Р (Г^х Гц)))

обозначим прос транство всех линейных ограниченных '.компактных) операторов, действующих в пространстве ¿/> (С, *

)сссмотрим »нонество Есех линейных операторов вида

(а т

ж ^

с Г , «)

Vi J

'it

где функция &0 непрерывна на ^ * , а функции ¿11 , ¿2-* , Удовлетворяют Условию Гельдера по совокупности перекен-ннх. Банахову подалгебру В (¿р (Tf х/I)), порожденную всеми операторами вида (!) называют алгеброй бисингулзрных операторов к 0t-03K9«-s7 ОСр (Гr/Ц Ксйдойу оператору А (& Vtplr^n,)) единственным образом сопоставляются четыре оператор-функции

со значениями в

Pip (г.)

и OtpVi) соответственно у . Для оператора А вида (П эти оператор-функции записываются так:

*) Оператор-функции. " A^fa). АГ(^й.) называют символом бисин-•гулгрного оператора А ■

(А%) Ф<) - (± А.,, Ь)) +

-" я*-Г 'ПЧГЧ,

Го

МЫ)

иг с ] ^

Г-\

§2 посвящен доказательству некоторых теорем о классах ре-

ений полного бисингулярного интегрального уравнения

тс £ ч

2 г

Г, . /% - простые замкнутые контуры типа Ляпунова), при па;!-1чних предположениях относительно коэффициентов , , . и функции г .

Основная трудность рассматриваемого в диссертации случае >язана с отсутствием эффективных Формул*оглашения полных син-млрных интегральных операторов с непрерывными ко?Ффициенг-з»и.

Осн"вным результатом второго параграфа ¿рлзется следдвзй? вррхдение

Теорема !. Пусть бисингулярный интегральный ояерлор ^

удовлетворяет теории Нетера, его коэффициенты удовлетворяют условию Гельдера. а функция £ £ Ь у (Г, * Г*) (1 * ^ • Тс г да всякое речение У (¿¿¿(Ъ*!*-)) бисингдлярного инте-гг.сльного уравнения (2) принадлекит пространству Ь у. ( ^ х Г^) и существует не зависящая от / постоянная С такая, что выполняется оценка •//У//^ ± С (№ ¡¡р + И $ И %)•

В этом не параграфе доказываются следующие теоремы о при-нздленности решения уравнения (2) классу гельдеровских функций и классу бесконечно дифференцируемых функций.

Теорема 2. Пусть бисингулярный интегральны!! оператор А удовлетворяет теории Нетера. его коэффициенты й функция удовлетворяют условии Гельдера. Тогда всякое решение Ч' (Г, )) бисингулярного интегрального уравнения (2) удовлетворяет условии Гельдера.

г л ^

Теорема 3. Пусть , 'I контуры класса С , би-

сннгулярный интегральный оператор А удовлетворяет теории Нетера, его коэффициенты и функция являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Тог Д д ВС ЯК О £ рб'шбНИб бисингулярного интегрального уравнения ¡2) является бесконечно дифференцируемой функцией.

В §3 строится алгебра бисиигулярных операторов со сдвигом.

Предположим, что Ч {.Ч ^(¡¡г^Ъ) - отображения, такие

что Л (к)

удовлетворяют условию .'Гельдера и ч-с^^Ьг <• единичное отображение Г в себя). Рассмот-рик линейные операторы

- э -

определяемые следующим образом:

и/.-

Операторы вида Л + , рде

А , Е>

- бисингулярные

:ператоры, образуют банахову алгебру, которую будеи обозначать Основным результатом §3 является критерий нете-зозости оператора

Теорема 4. Оператор Ъ~А-+ Н'б (¿^р) является Нете-

ровнм тогда и только тогда, когда для всех операторы

£

действующие в обратимы.

Оператор-функции , образующие символ оператора

не являются независимыми. В §3 выводятся условия связи, который они удовлетворяйте Сформулируем зти условия для случая, когда отобраненне ^ не меняет ориентации контура. Допустим, ЧТО 2)^ <? С(Г,,ОСр(Га)) ;

2>%) Н есСг^сго).

Оператор-функции образуют символ некоторого оператора

-4 /С г (- г

из ¿'р в том и только том случае, когда для всех 1, С2С'2

где £ . независимо принимают значения и — .

В этой ке параграфе рассматривается рзд частных случаев, когда условия нетеровости являются эффективно проверяемыми. Предположим, что восемь чисел Л±± , ^^ . Рассмот-

рим оператор 1)-А+ # где

А + Р., ,

ш

6++ И^ -г ь- -г - S_- .

Здесь

Имеет место

Теореыа 5. Пусть Ъ~А+\Л/£> . где /I и В бисин-гцлярные операторы вида (3). Допустим, что является грани-чнын значением конфориного отобравения в или в

3*1 < в или в еЬ? ). Оператор Л является нете-ровым тогда и только тогда, когда + + - ФО ,

а*-а-+ - -£<.- Фо , - ¿'.£_ ¿о.

(соответственно — фо ,

).

Обозначим через Н++ , Н+- , + , Н- _ классы функций, аналитических соответственно в областях ^ х %% , Я]'* ¡Ь^ ,

и представимых там интегралами типа

Кови

±- г г ¡т

т-)*- М /-т.- 7 ) /-г: - ) 1 1

(g*i)L JJ fr-)(%-&)

1 'г р

с плотностью fifMUpir^q) _ в р^ГгМатривается '¿доча линейного сопряачния си сдвигик. эаклгмвчлчса в опреде-

лении четырех функций (Р'*, , Ф из соответству-

ющих Н-классов при условии, что их предельные значения на Удовлетворяет почти всюду условию

где 0.+Ч- , 0—~ . , + непрерывные на Г***^ функции,

^Р При дополнительных предполоаениях отно-

сительно отображающей-функции ^ устанавливается критерий не-теровости задачи линейного сопряжения (4) в терминах обратимости некоторых операторов, действующих в ¿^(Г^) \\ равенства частичных индексов коэффициентов задачи (4).

Обозначим

г™ — {'Г* Ч1 — 4 \ Введем оператор ' I 1 ^ А V 1) '

Пусть

В (б С^ХГ,))-

функция,' нигде не обращающаяся в ноль. Обозначим через индекс функции

переменной "¿^ при фиксированном значении другой переменной.

Теорема 0. .Если ^ - граничное значение конформного отображения , то задача линейного сопряжения (4)

является нетеровой тогда и только тогда, когда

!> для любоп £ Г^ обратимы операторы

действующие в лрстранстве

2) ър>~ (ЬиШо, = >

§4 посвящен исследованию нетеровости операторов вида 2)=А+СЬ , где А , В> - бисингулярные операторы, а С -оператор комплексного сопряжения: Здесь устанавливается критерий нетеровости оператора

А + по форме аналогичный случаю оператора

из алгебры . В этом параграфе такве исследунзтся

некоторые, частные случаи. Приведем один-из них. Пусть операторы

А , £ имеют вид (3). Обозначим

где индексы оС . ^ , У , ¿Г независимо принимают значения + или — , а - номер места, занимаемого комбинацией

знаков Лв последовательности ■+ ; - > ~ + > - ~

Теорема ?. Пусть 2) = 4+С& , где А , В - бисингу-

лярные операторы вида (3). Рператор D является нетеровым то-

гда и только тогда, когда d^^O ; ¿/¿j ^ О и операторы

х + fLzA. я т1 + «ЦА р_ г/ ,

diq dzз

Т 4- ~ dj>Z р гп° cLlZ^ Р Т°

■1 I * 1 / " 1 >

Qn

действующие соответственно в LJ/e ) И пПплтимм.

В §5 рассматривается 'dip ^ > '*) операторов нид.

/Uwft+Cfa + kVF) , ГД1. ft _ 5) _ /-" . г,игингу

л .арные операторы, - введенный ранее опиратир ■''дьига, С -.•перагор комплексного- солряаения." ?. -той пм'чграфр устанавли

вается критерий нетервости оператора из алгебры Жр в

терминах обратимости некоторой операторнозначной матрицы-функции. Рассматривается пример, когда условия нетеровости являются зффектизно проверяемыми.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [I - 63. Статьи [I - 3] написана в соавторстве с &.С. Пилиди и принадлеват авторам в равной мере.

Автор выранает глубокую благодарность доктору физико-математических наук Владимиру Ставровичу Пклиди за руководство и постоянную поддержку з работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Пилиди B.C., Стефакиди E.H. О классах решений полных бисин-

гулярных интегральных уравнений. // Ростов, гос. ун-т. -Ростов н/Д, i375 Деп, в ВИНИТИ, N3751-75.

2. Пилиди B.C., Стефаниди E.H. Об'одной алгебре бисингулярных

операторов ci. сдвигом. // Изв, ВУЗов. Математика. - 1971. -N9. - С. 30-81.

3. Пилиди B.C., Стефаниди E.H. Об одной алгебре бисингулярных -

операторов со сдвигом. / Ростов, гос. ун-т. - Ростов н/Д, 1980. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.05.81, N3036-81.

4. Стефаниди'E.Hi Об одной алгебре бисингулярных-операторов с

сопряяением. / Чеч.-Инг. гос. ун-т. - Грозный, 1989. - ?6 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.06.90, N4619-889.

5. Стефанлдя Е,й» 05 одной алгебре бисингулярных операторов со

сдвигом и сопряженней, / Чеч.-йнг. гос. ун-Т. - Грозный, 1990, - 33с, - Деп, 8 ВйШТ« 23.0?.90, И4?!5-В90.

6. Стефаниди Е,Н, 03 одной алгеВре бисингулярных операторов со

сдвигом и сопряжейие-ы. // Изв. СКНЦ В0. Сер. естеств. наук. -"1991. - ГГ4. С.

Подписано в печать 14,12.92. Формат 60 х 90.

Объем 1,0 гия.Тярак 100 экз.. Бумага лисчая.

Отпечатано в государственном университете Чеченской Республики г .Грозный,. упД;ершова,32 .