Функциональные и сингулярные интегральные операторы со сдвигом в пространствах Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

АСЛАНОВ ВИДАДИ ДЖАХАНГИР оглы

УДК 517. 948 : 517. 983

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СДВИГОМ В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА

(01.01.01 — Математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискаиие ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку —

1992

Работа выполнена в Азербайджанской государственной нефтяной академии.

Научные руководители:

доктор фпзнко-математнчсскнх наук профессор ЛИТВИНЧУК Г- С., доктор физико-математических наук КАРЛОВИЧ Ю. И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН Азербайджанской Республики ГАДЖИЕВ А. Д. (ИММ АН Азербайджанской Республики), доктор физико-математических наук АБДУЛЛАЕВ С. К. (БГУ им. М. Расул- аде).

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита состоится «(\» (^оД-ЬЬ^- 1992 г. в | Ц ?"*час.

на заседании специализированного совета К. 004-01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте математики и механики АН Азербайджанской Республики по адресу: 307602, Баку, ГСП — 602, ул. Ф. Агаева, 553 квартал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МММ АН Азербайджанской Республики.

Автореферат разослан «/6 - » ¡992 г.

Ученый секретарь

/

специализированного совета,

доктор физико-математических наук 2-/ ИЛЬЯСОВ М- X

О ШЛЯ ХАРАКТЕ РИСТИК А РАБОТЫ.

Актуальность те^ы. Сингулярные ннтегрзлъныз уравнения :о сдвигом являются естественным обобщением сингулярных ин-'егрэльных уравнений с ядром Коши.

Интерес к такого рода уравнениям вызвал многочисленном х приложениям в теории кавитацконных течений идеальной идкости,в анизотропной теории упругости и функциональные перзторы в задачах синтезе сигнала оптимальных систем лока-ии.

Сингулярные интегральные операторы со сдвигом (СИОС) ра различных предположениях относительно несущего контура коэффициентов привлекал ьнимэние. многочисленных исследо-)тел9й. В их числе Г.С.Литвинчук, С.Г.Сакко, Н.К.Карзпетякц, .Ц.Гохберг, Н.Я.Крупник, В.И.Нягэ, Р.В.Дудучзвэ, В.Г.Краз-!нко, Ю.И.Карлович, В.Н.Семенютэ, А.П.Солдзтов, Л.И.Сазо-|В, А.Г.Мясникоз, А.Б.Антоневич, А.БЛеСздев, А.Б.Хзелев, Д.Латуикин и др.

Подробное изложение и историю вопроса, з также библио-вфию доведенного до 1975 годэ, можно найти в ыэнографии С.Литвинчукэ1). Отметим тэкяб обзорные статьи

Г.С.Литвинчух. Крэевив задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., Наука, 197?. - 448с.

В.И.Карловиче, В„Г.Кравченкос ГоСЛитвинчука^"^ в кото-рах, в частости, собрана библиография до 198Э года.

В диссертации изучается сингулярный оператор со сдвигом

Т«А+(? + А-Р- ш

где

X " тождественный оператор, W - оператор сдвига: (ОТ)(-0= , ЛШ даффеоморфазы (сдвиг) прос-

того замкнутого контура Г ив себя, инеющий непустое, множество .Л периодических точек,, коэффициенты Си , непрерывны не контура Р 8 — - оператор

сингулярного интегрирования но контуре • Г .

Б предположении 0 что коэффициенты , £± операторе Д+ являются непрерывными функциями на Г № (Х-ь принадлежат пространству Н^СГ) , оператор Т рассматривался.рз&ее соответственно в пространствах , /fz.pz.oo й (ом.2), 4)).

Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчуя Г.Сс Теория Нестера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. //Изв.аузов. Ыатаи. -1983 - Ё 4 - с„3-27о

Карлович ю.И,, Кравченко В.Г., Лятвиичук Г.С„ Обратимость функциональных операторов в банвховых пространствах.// Функционально-дифференциальные уравнения - Пермь: ППИ, . 1990. - с.18-58. Карлович Ю.И., Литвинчук Г.С. О некоторых классах полу-нетеровых операторов//Изв.вузов. Ыа?еи.-2990 - № 2, с.3-16.

При этом з теория Нетера оператора (I) в случае

конечного множества периодических точек сдвига построена В„ГДрэвченко, а з случае произвольного непустого множества периодических точек - В.ИДарловичен и В,Г.Кр8вченко; критерий И. (о!) - норыальноотя оператора (I) получен Р.Марда-евыИо Соответствующе результаты для оперзторз (I) в Н^*. получены в работах Ю.И.Карловича, Б.Турсункулова и Р.Кэр-диева.

В настоящей диссертации впервые оператор Т рассматривается в рефлексивной пространстве Орляча /-^СГ) . Пере-сод к пространствам Орлича ¿.^(Г) оказался нэ тривиальны:.'. Голученные здесь результаты существенно отличается от энергичных результатов для пространств ¿-рО"1) как по харзк-ерус так и способу ах обоснования» Это вызвано ми, что иг с то одной величины К ^ , К-.Ц'^Н , отрэгэсцей эа-исииость спектра оператора взвешенного сдвига от значений роизводной сдвига з периодических точках, в случае про-грэнствэ 0рлич8 -поязлгатоя две величины *,

- О, Л , связанные с интерполяционный! характеристика!;:! )остранств8 Орличв - индексами Д.Бойда. ' В основе исследования но Уг(с1)- нормальность (поду-теровость) оператора (I) лежит изучение односторонней об-тииости функциональных операторов со сдвигом (2). Такие ерэторы играют важную роль в теории дифференциальных звнений с отклоняющимся вргуиентои, в теории динамических зтем и'т.д.

_ £ _

Цель работ'.! - построение теории И.(о1) - нормальности СКОС (I) и получения критерии односторонней обратимости ФО (2) со сдвигом в рефлексивном пространстве Орличо

Методы исследования. В диссертации применяются методы общей теории линейных операторов в банаховых пространствах,-з также теории интегральных и функциональных операторов.

Научная ковианэ, теоретическая к практическая значимость таботы. Основные научные результат, которые выносятся на защиту, следующие:

1) Критерий односторонней обратимости в рефлексивных пространствах Орличэ Г1) ФО (2) со сдвигом:

а) сохраняющим ориентации и имеющим конечное множество неподвижных точек,

б) имеющим произвольное непустое множество периодических точек.

2) Описание спектра оператора взвешенного сдвига в/^Р.

3) Критерий И,(о!) - нормальности СИОС (I) в рефлексивном пространстве Орличэ/.^(.Г1) в случаях сдвига: •

а) сохраняющего ориентацию и имеющего конечное иноке ствс неподвижных точек, ■

б) сохраняющего ориентацию и имеющего произвольное непустое мнонестЕо периодических точек,

в) изменяющего ориентацию сдвига.

4) Критерий нетеровости и формула для вычисления индексе СИОС (I) в рефлексивном пространстве Орлича

з случаях сохрзняюцего и изменяющего ориентацию сдвига.

5) Приложение к исследованию дифференциальных грзнич-

1ых задач со сдзкгои для аналитических функций в пространен)

!твэх Соболева-Орлича {.V) ,

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались га Одесском городской сеыяварэ по краевш задачам и янтег-13льныц уравнениям (рук. - проф.Г.С.Литвннчук), на Ы Урзлъ-кой региональной конференции "Сункционально-дийеренциаль-ые уравнения и их приложения" (Пермь, 1-5 февраля 1988г»)» а Хй Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных ространствох (Куйбшлев, 6-13 октября 1988г.), на Северо-8вк8зской сколе-конференции "Функциональнее пространства, ингулярпые операторы :: их пгзлогвкяя (г.Теберда, 16-23 знтября 1983г.), иэ Соворо-Кэвкозской региональной кояфе-знцаи "ЛинеНнк'е оператора з функциональных пространствах" ?розниц, 1Э8ЭГ.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано У 1бот, охвзт1ззюс!;х осиовпоз содержание диссертации.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа измена на 45"б страницах машинописного текста и состоит введения, двух глав и библиографии. Ейблиографяя содер-т 3 названия.

СОДЕШНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В введении дается краткий исторический обзор работ по зледуеным проблемам, обосновивается тема исследования,

излагаемся краткое содержание диссертации.

В первой главе исследуема односторонняя обратимость ФО вида (2) в рефлексивных пространствах Орлича.

В § I даны необходимые сзедения о выпуклых и вогнутых функциях и пространстве Орлича.

В § 2 с помощью теории выпуклых и вогнутых функций введены индексы Д.Бойдэ У^ (¿=0,4) и характеристики для пространства Орлича и двойственного (сопряжен-

ного) ему пространства Л^С1) . Пусть

0 с-»+0 СиС ОЮЛ * ЬлС ~ еЛ Ьлс

где при Су О , 8 М"' - функция, *-»•+о«

обратная л/ - функции М . Эти пределы существуют ввиду

полу мультипликативности ^ н8(о,с<>) , причеи^^о . ' Согласно неравенству ■

(сх)

справедливому вследствие возрастания функций 1Л и Х/мЛх) , шеей: о ^ 1 ■

Для ОС положим

Очевидно,

^¿COrr^^c-4)]"4, (¿=0,1) -

/ . , -VP

В случае пространства LAV) Di0cc)=:s;cС) = с" , в общем

случае 3C0(cj^iK (.с) „ Приведен призер пространства Орличэ,

для которого ЗС0(с).£.ЗС4(с).

ЛЕММА 2.1. Справедливы формулы:

[л . -И/* г -И/и

гы гл\слх)\ I 4 h**U>« M"Vx)J

».-»»■> jX7-f /VA-4<)J ' "-»««UOI M U) J '

В § 3 вычислен спектральный рэдиус оператора взвешенного сдвига. Обозначим^*) —-L и <АИ(4)=<А при не , ¿6 Г1 . Если ¿С сохраняет ориентацию, то вез периодические точки А. сдвига имеют одинаковую

кратность 4 в случае замкнутого контура Г и в случае разомкнутого С

Изменяющий ориентацию сдвиг JL имеет на Г две неподвижные точки и монет иметь периодические точки кратности „

Пусть ф ~ замыкание множества ^бГ1' 1

У='^А(=АП4>) • Для 4&ССР) введем обозначения:

Кш=П1\&и«)] г ^¿tt)=I>|-ВДи*.w>1)\LM >

VI Z.V

= (¿=0,1) , П = Г \ ф

G^C-t) -равно соответственно , C^W-Jj-^tfc)

и 0, гели ¿ё П, , Рд , Q и Г \ (У fc U Q ) ; где

(wi^Jl) если Д сохраняет (изменяет) ориентации. • ТЕОРЕИА 3.1. Если Д. - диффеоморфизм Г на себя с произвольный непустыа ынокествоц А > периодических точек, то спектральный радиус оператора взвешенного сдвигз o^C{.V) j в рефлексивном пространстве Орлича ¿м(.F) вычисляется по формула:

• •Z(r) = vMax|pg^J.3i4(U,w(W|)j',/'V; и а]

В §§ ¿t-5 изучается односторонняя обратимость ФО типа

е пространстве Орлича Г) соответственно в случае конеч-

гл

¡"зго множества iL неподвижных точек л произвольного негустого инокества JV. периодических точек.

Пусть W\ —4 , .Д конечно и - произвольная

- II -

свпзнзя компонента открытого множестве Г \А . Тогда ^ сохраняем ориентацию и <£($) = % » Концы Т.+ открытой дуги ^ являются неподвижным точками сдвига ск , где через 'С+ (Т-) обозначен притягивающий (отталкивающий) конец для сдвига Л :

3 § К основный утверждением язляются следукдае: ТЕОРЕМА 4.1» Если Д, - диффеоморфизм. разомкнутого коитурз но н-збя, сохранявши ориентацию и оставляющий не--одзиниьш только концы контура , то оператор А

спрзза (слеза) з .пространстве тогда и

только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) 1}(Х±)70 , -амфо;

2) шф0>' г- и иСзкоь^)

пп'К7Ко > при КАКо (соответственно,

рл К КПР!5 )•

Пр:; огои г случае рэзжачиюс индексов Д.Бойдэ пространна ~оз:«!кзвг новое качество по срозвенпю с тво-односторонней обратимости СО з /р (.Г1) . А именно, длило

СЛЕДСТВИЕ 4.1. Если оператор А обратим справа или слева в пространстве , то

В § 5 доказана

ТЕОРЕМА 5.1. Если диффеоморфизм сЛ сохраняет ила изменяет ориентацию на Г и имеет непустое множество А периодических точек, то оператор А обрати" справа (слева) в рефлексивном пространстве Орлича тогда и

только тогда, когда:

I) б^Ыфо У-^ГчП,

(ЗКоб^ при

при КАКо (соответственно, (Зи0в2) ¿£«1к«)]-£0 при КДК„ ,

при К"7Ко ).

СЛЕДСТВИЕ 5.2» При выполнении условий теоремы 5.1 оператор А обратим в рефлексивном пространстве Орлича тогда и только тогда, когда (л^ЩфО для всех

СЛЕДСТВИЕ 5.3. Спектр операторе взвешенного сдвига т-дм с коэффициентом С (Г) в рефлексивном пространстве Орлича X (Г) имеет вид:

(ГCT)^(Ur<[3; U

где У - производное иножество для У и

СОТО-

еслм «jCi) 70 ,

Во второй главе исследуется И(с1) - нормальность и строится теория Нетерэ СИОС в рефлексивных пространствах Орлича,,

3 § б изучается компактность некоторых интегральных операторов в рефлексивном пространстве Орлича . В

частности, доказано, что если- Г - ляпуновский замкнутый контур, э сдвиг сохраняет ориентацию, .то операторы

• [N¿=>#5-5«/ я ОГрСбС+Б . где (<СЦ')(4:)= фШ компактен в рефлексивном пространстве Орлича Г сп) „ Приведены критерий нетеровости и формуле для вы-

АЛ

щсления индекса в/м(.П) сингулярного интегрального оператора + с коэффициентами £{±¿ССГЧ .

Основной является следующая

ЛЕММА 6.2. Если = 0 хотя бы в одной тачке

контура р , то оператор А/-а+ не является

ни (л, , ни с! - нормальный в пространстве .

В § 7 рассматривается качественно новый по' сравнении с теорией в/рСГ1) случай, когда индексы Д.Бойда не совпадают.

Во второй глвве за исключением § II для функциональных операторов Д=сх1-(>\Х/ с коэффициентам а, ббСсг*) предполагается выполненным условие (х):

ебли индексы Д.Бойда пространства Орлич" различны, то

(уг-еЪЛ.)

Пусть сначала одвиг сК имеет конечное множество А. неподвижных точек. Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМ 7.2. Лели сЛ - сохраняющий ориентацию Н - гладкий диффеоморфизм контуре V ■ не себя и для операторов А4 выполняется условие (х), то оператор Т-А+$.+А-Р, и(с1)- нормален в рефлексивном пространстве Орличв ¿-МСР) мгда и только тогда, когда операторы Д + обратимы слева (справа) в ХМ(Р) .

Такая же теорема доказана в § 8 для случая, когда одвиг Л, сохраняет ориентацию и имеет произвольное непустое множество А. периодических точек.

В § 9 рассматривается У\ (о1) - нормальность оператора Т , когда сдвиг с1 изменяет ориентацию контура Г . Пусть ^ и ^ - дуги разбиения контура Г неподвижными точками 2. и 2, одвига . Полагаем

ТЗОГЕМА 9.1. Бели сдвиг ск изменяет ориентацию контура Г и для оперэторз

выполняется условие (х), то оператор (I) и.(,с()- нормален в пространстве ¿^СГ1) тогда и только тогда, когда обратимы слеза (справе) операторы

Несмотря из то, что функции С+ , о1+ имеют разрывы I рода в точках 2 и , критерия односторонней обратимости операторов такие дается теоремой 5.1. В результате в теореме 9.2 установлен критерий л(.сО - нормальности оператора ' в терминах его коэффициентов.

В § 10 найден критерий нетеровости и формула для вычисления индексе оператора Т в случэе сдвига ^ ^ сохраняющего или изменяющего ориентацию контуре Г и имеющего непустое .множество Л периодических точек. По аналогии работы5^ введено понятие индекса Коии для разрывной функции (А) .

Карлович Ю.И., Кравченко В.Г. Теория Нетерз сингулярного интегрального оператора со сдзигои, имеющим периодические точки.//ДАН СССР. - 1976. - Т.231, 16 2 - с.277-280.

ТЕОРЕМА ЮЛ. Если сдвиг ск сохраняет ориентацию контура Г и иыеет хотя бы одну периодическую-точку кратности а операторы (2) удовлетворяют условию (х), то оператор (I) нетеров в тогда и только- тогда, когдз

всюду на Г1 .В случае нетеровости

¿ис|Т - Л-^ао^СсцЦ-ТЫ

ТЕОРЕМА 10.2. Если сдвиг изменяет ориентацию коктурз Г1 и для оператора А„=:аС1»ОТ—выполняется условие (х}, то оператор (I) нетеров в пространстве тогда и только тогда, когда

всюду на V . При уоловии нетеровости

Т г-"Зло! ^[а СМ)/0(А>с11 .

Следует отиетить, что в случае совпадающих индексов Д.Ббйдз в §§ 7-10 получены безусловные критерии VI (с>1) -нориальности и нетеровости оператора (I).

И, наконец, в § II отроитоя теория Нетера следующей двусторонней интегро-дифференци.альной краевой задачи:

+

5 г __г

5 . Г7Г, . циЬ

- Г + ¿¿иф" (Л«) 4

Н-ГО +

Г Г

, где Г простой замкнутый контур Ляпунова, функции , £ ,с1кбСсГ) , ^¿Л^СГ) ядра А,,(!-• ГО » . . - слэбополяр-

ные, э неизвестный функци'и (Т) »^ё^^СГ) .

(1)$. (1У

Здесь ^ (р) . 8 (г1) - пространства

Собояева-Орлича функций , имеющих обобщенные

производныеЦ'^Х^Г) , ¿-4,3 снабженные нормой

По теме диссертации опубликованы следуюдае работы:

1. Асланов В.Д. Интегро-дифференциальная крэевэя задача с конечной группой сдвигов для односвязной области. Баку, 1982. Дап. К» 4634-82.

2. Асланов В.Д. Линейная интегро-диффереяцивльввя краевая задача со сдвигом Кэрлеманэ./Доследования по некоторым во"росам конструктивной теории функиий и дифференцизль-

ншс уравнений. Тематический сборник научных трудов АзйНЕФТЕХКМэ, 1381, стр.124-127.

3. Асланов В.Д. Об одной обобщенной краевой задаче с конечной группой сдвигов.//Исследования по некоторый вопросам конструктивной теории функций и 'дифференциальных уравнений. Тематический сборник научных трудов АзИНБФТЕХИМа, 1983, стр.204-209.

4. Асланов В.Д. Интегро-дифференциэльнзя краевая задача с конечной группой сдвигов для пары функций, аналитической в многосвязной области. Баку, 1987. Деп. К? 662 -Аз. от 15.01.87.

5. Асланов В.Д..Карлович Ю.И. Об односторонней обратимости функциональных операторов в пространствах Орлича.// ХШ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространотвэх. Тезисы докладов. Куйбышев, 1988. стр.17-18. '

6. Асланов В.Д,, Карлович Ю.И. Односторонняя обратимость функциональных операторов в рефлексивных пространствах Орлича.//ДАН Аз.ССР. - 1989. - Т.45. - !й 11-12. -6.3-7.

7. Асланов В.Д. Об нормальности в пространствах Орлича сингулярных интегральных операторов со сдвигом,

• имеющих непустое множество периодических точек.// Линейные операторы в функциональных пространствах. Тезисы докладов Северо-Кавказской региональной конференции. Грозный, 1989, стр.9.

05/ Тир. ЮС ТсГлчстЛ«' т,ш. АэИУ М. Любеке«*.

Баку—ГСП. проспект Ленина, 20.