Базисы в функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Plö ид

2 з ::;oii взз

ттхжп тост?(штй штат

■ Нэ правах рткопас:

ТлЕБШШ Георгий Евгеньекп

ВШЛ з ШШШШШ ПРОСТРАНСТВАХ Спецяашьаость 01.G1.01 - математический апаш

АВТОРЕФЕРАТ '

диссеиацли на соискание ученой степени дскгорз ф'зяко-мате^итичест кар

Тбилиси - 1993

Работа выполнена в Тбилисском государственном университете ш.И.Дкззашюили

ОНШЕШЕ ОППОШГШ: доктор Лгзико-матвматкчесжкх- наук, профессор Е.Ф.Гагошкик

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Пааташвили

доктор физико-математических наук, профессор. С.Б.Тодурия

Защита состоится А - О &_1933 года

0 -------

.в I ь чаеоз на заседании научно-аттестационного соЕета 51 01.01 .С 1!°1-4 при Тбилисском государственном университете

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тбилисского государственного уни_зрситета по адресу:-380043, Тбилиси, ул.Университетская 2"

Автореферат разослан АУР С- 1993 года.

Ученый секретарь научно-аттестационного созета ГЫ 01.01 .С №1-4 /доц.

Г.Е.Ткебучава

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН Актуальность теми. Объектом исследования являются свойства базисов классически! функциональных пространств --Ьр, пространств Орлича и др. Понятие базиса банахова пространстьа было введено Ю.Шаудером в 1527 г.; оно тесно связано с проблемой представления произвольного элемента. Ода из наиболее известных базисов представляет собой тригонометрическая система, которой посвящена обширная научная литература. Другие базисы, такие, как системы Хаара, Франклина, Уолша и системы сплайнов возникли в связи с. конкретным потребностями анализа. и его приложений. В дальнейшем, з результате интенсивных исследований в ссчов-ном П.Л.Ульянова и его учеников, выяснился новый спектр свойств и применений системы Хзара, причем некоторые ее свойства являются вэкшя: и при изучении произвольных базисов. Свойства скстеяэ Фраяклинэ и систем сплайнов с успехом были использованы в работах З.Чисельского, С.В.Еочкарева, П.Войтащека и других математиков в принципиальных вопросах функционального анализа, а система Уолша нашла значительные применения и в прикладных вопросах - теории кодирования, цифровой обработке сигналов, распознавании образов:

Цель работы. Изучение структурных свойстз функциокаль-кых пространств. Описание предельных множеств пространств Орлича, на которых ограничены определенные операторы, связанные с базисами Исследование конкретных базисов - систем Хаара, Франклина, систем сплайнов и др. Изучение аппроксимативных свойств весовых функциональны?; пространств.

„Методы исследования. Б работе применяются методы теории функций вещественного переменного и функционального анализа, некоторые специальные конструкции гармонического а негармонического анализа Фурье. ■

- з -

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит •теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дагнейшего изучения ящрокс2мат1Б2НХ .: структурных свойств функциональных пространств, ксследевз-езя вопросов сходимости рядов но базисам пространств функций многих переменных.

Научная новизна. Исследованы такие подпространства Еврефяексяшых пространств, для функций из которых разложения по базисам безусловные Получены теоремы об эквивалентности Оазисов. Изучены свойства систем, образованных произведениями базисов. Найден максимально широкий интегральный класс функций, в котором имеет место сходимость почт всей,/ сферических сумм, кратных рядов Фурье-Хаара. Установлен возможный порядок роста степеней полиномиального алгебраического лакунарного базиса в пространстве С1^!'"1). Получены оценки приближений суммами Фурье-Чисельекогс' функций из весовых пространств Орлича в терминах весового модуля непрерывности. Доказаны прямые и' обратные теорс:^ теории приближений для системы ограниченных г. совокупности полигонов, порожденных онделеттами.

Апробация работы. Результаты ра.боты докладываюсь кз научных семинарах: в ТГУ под руководством Л.Б.Кикиашвкли, з Тбилисском МИ. под руководством О.Д.Церетели; в МГУ под руководством Д.Е.Меньшова и П.Л.Ульянова; Б.С.Кашка и К.И.Ооколкова. Кроме .того, результаты' диссертации докладз-валисъ:. на заседаниях Грузинского математического общества, на семестре по.теории аппроксимации в Международном ма~ тематическом Деноре в Варшав'е; на II Мевдунзродной конференции по дифференциальным' уравнениям в Ажяре; на' Ыеазу-зсеской школе'семинаре по теории приближений и задача,: вы-'числительной математика в Уоскве; на даней пл<оле по теорин

функцкй к пркОза:кек"й б Саратове;' на школе по соьрекешзвд проблемам теории функций в Иркутске; на .июле по теорил функций в Нор-Амберте; на расширенных заседаниях секизата У№ ТГУ з Т&ште; на Шаднародюм симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа в Тбилиси.

Публикации. Основные результаты дессоргзции опубязсо-заны в 24 научных работах, список которых приведен в-конца автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитяровзннсй. литературы. Общий-объем диссертации 188 страниц. Библиография содержи 147 назв.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении приведен краткий исторический обзор по теме работы и обсуядаютс.я основные результаты.

Первая глава посвящена изучению операторов, связаклнх с базисам, а также свойств ксисретшх. базисов - систем Хзара, Уолша-Паяи, Франклина, Члсельского•и др. В первом параграфе этой главы изучается безусловная сходимость на Еоданожествах нерэфлексивных пространств Ордаа, оператор сдеигз, эквивалентность базисов, необходимые и достаточные условия, обеспечивающие безусловную сходимость разложения Фурье-Хаара,-и некоторые другие Еопрсн.

И.Марцинкевич, опираясь на неравенства шли доказал, что в пространстве Ьр(1), 1= [0,13, 1<р<ю,' система Хаарз образует безусловный базис. С:З.Бочкарезнм и В.Ф.Гапогкишм этот результат был обобщен на рефлексивные пространства Ор-дича. С.В.Бочкаревым доказано, что- и система Франклина образует- безусловный базис в рефлексивных пространствах Орли-

ча, а З.Чисельский перенес результат МарциккеЕича на класс систем сплайнов. С другой стороны, в нерефлексивных пространствах Срлича, как показал В.Ф.Гапошкин, система Хаара не обракует безусловного базиса. Таким образом, опираясь на результат А.М.Олевского о наилучшей базисной безусловной .константе для системы Хаора, он установил отсутствие безусловных базисов в иерефлексиЕНЫх пространствах Орлпча." Е.М.Семеновым были найдены необходимые и достаточные условия безусловной базшюсти системы Хаара в симметрических пространствах, т.е. учтя указанную теорему А.М.Олевского', найдены необходимые и достаточные условия существования безусловного базиса в этих пространствах. Для пространств C(ï) и 1(1) отсутствие таких базисов известно из работ С.Карлииа и А.Пельчинского. Возможно однако рассматривать множества функций из заданных пространств, для которых безусловная сходимость по определенным базисам имеет место. Этот подход рассматривался в работах П.Л.Ульянова, М.Б.Петровской, JI.А.Балашова, Т.Херовски, С.Чанга к 3.^сельского, Г.Е.Ткебучава. В первом параграфе приводятся оконча— .тельные результаты относительно таких предельных множеств резанных нерефлексивных пространств".

Р.Пэли доказал, что система Уолна-Пэли образует базис в. пространствах LP(I), 1<р< а. Из результатов А.М.Олевского следует, что в пространствах С(1) и L(I) нет ограничены;«; в совокупности ортонормировании! базисов. С.Фридли, В.Иванов и П.Шимон доказали, что системы Виленкина образуют Оазясн в пространствах Орлий тогда, и только тогда, когда ■оно-рефлексивно. В первом параграф рассмотрены метрические пространства, - относительно которых сходимость рядов- Фурье-Уошэ-Паш функций нз нерефлексивнзх пространств имеет места.

' 3.«лсельсккй,П.Шагол и П.Шелнн показали, что систеш Хаара и Франклина образуют эквивалентные базисы в пространствах 1р(1), 1<р< ш • З.Чисельским бал поставлен вопрос об эквивалентности этих базисов в пространстве Ь. П.Шелин и А.А.Комиссаров доказали отсутствие этой эквивалентное^. Нине приведенная теорема дает полное решение поставленной задачи в терминах пространств Орлича. Для формулировка соответствущих результатов введем такие определения. Пусть К'-фрпсция порождает пространство Орлича Ьф=Ьф(1), Ы0,1],. Ф*-функкия дополнительная в смысле Юнга к функции Ф, Еф - замыкание в Ьф множества ограниченных функций;

и -1

пусть, далее, главная часть функции Е(и)-и Хф(£)£

1

порождает пространство Орлича Хд-Х^Ш, которое является подпространством пространства и в указанных низе вопросах играет особую роль.

Базисом (безусловным Оазисом) множества А по норме пространства В э А называется последовательность элементов ЦкБ такая, что какдому элементу х£А единственным образом ставится в соответствие последовательность скаляров {а1> так, что ряд сходится к х (сходится при лю-

бой перестановке ) по норме пространства В. .

Если Ф ={(]> Гх)}®=1, хе1 ортонормировашая система и В -некоторое пространство функций, определенных на I, -го

АФ(В) = {(ап)°=п :5Г€В, ап=(1,фп)>.

о

Пусть, далее, Х=СХ1>, Р=СЕХ}, } -системы Хаара, Франклина и Чисельского соответственно. Из ^олученках в первом параграфе результатов следует

Теорема. Пусть заданы пространства Орлича Ь0(1) и %(!),

причем выполнено условие

, <р(и) Ил--■ > 0.

и ко ф(и )

Тогда эквивалентны следующие условия а)-Г): . а) 1^(1) с уи; . Ь) ¿Г(Е^) \ АХ(Ьф) - 01 С) ¿Х(Е(3) \ АР(Ъф) =0;

в пространстве Срлича 1^(1) по норме пространства Орлича 1ф(1) .

с1) существует безусловный Оазис (в частности, система . Хёара образует безусловный базис);

е) система Услша-Пэли образует базис; 1) операторы сдвига по системе Хаара ограничены в совокупности.

С помощью этого утверждения выводятся <

Теорема. Условие

1а(1) сШ+Ь(1) необходимо и достаточно для каждого из- Бйлвчений

АР^с АХ(%); .

АХ(Е^)с АР(Ьф)..

Теорема. Условие еи

и*® . • .

эквивалентно каждому из условий:

а^ существует Еепрерь.иная , функция, ряд Фурье-Хаара которой не сходится безусловно ы норме пространства Орлича Ьк(1);

Ь) суцестзует непрерывная функция £, для которой ряд '

- Ь -

n=I

Я9 сходится то норме пространства Орлича Ьц(1);

c) . 'АР(С) \ AXtLj,; 0;

d) . АХ(С) \ АР(Ly) ф 0;

е) существует непрерывная функция, ряд Фурье которой но тригонометрической системе не сходится но норме пространства Орлича Ьу(1).

Из Этой теоремы, в частности, следует отрицательный-ответ на один вспрос П.Л.Ульянова: для каждой .пи возрастающей функции Ф:[0,®)* to,©) существует возрастающая функция

и:[0,ф)» [О,») такая, что из условия jr$(fMf)< о вытекала

I

бы безусловная Ф-сходаость ряда Фурье-Хэара функции f ?

В этом i<e параграфе пг.чводится критерий безусловное! сходимости ряда Фуръе-Хаара функции из сепарабельного пространства Орлича , причем, в частности, доказано, что необходимая часть условия является общей и для произвольных базисов. Соответствующие результаты для пространства 1(1) известны (Б.С.Кашин, А.А.Саакяя; А.М.Олевский).

В первом же параграфе с помощью систем Чисельсксга решается задача о существовании миннмизирущего сплайна з рефлексивном пространстве Орлича (предложена З.Чисельским). Для любого натурального и определим разбиение отрезка I так; хп=(зп При и=1. пологим sr , 2 при . n^+v, u>0,

, пуст* зп равно I2~'i+1 для и равно

—U '

(l-v)2г для l>2v. Последовательность разбиений определяет на I точки t ,t1,—, которые упорядочены так: tQ= 0, tj= 1, а для n=2^+v>1 пологш tn=3n 2v_r

Пусть-fn(a'k)=EkC(n). яри a.g(n'w=

=НкС(п) при Ш>к-ш, 0<кса+2, где Ж (г )= \

п I

а Б - оператор дифференцирования. В рефлексивном пространстве Орлича 1^(1) с нормой введем эквивалент-нуга норму

(и) (т) 2 1/2

II = IСЦСС-.С^ ) ] ||ф

и обозначим йфГ)(1)=(1:1(г,еЬф(1} }. Для фиксированной функции Г€С(1) обозначим через У®(1) множество тех функций для которых 1=1,...,п и

Екб(0)=Бкб(1 )=0, к=1 ,...,ш+1.

Теорема. Пусть заданы п>0, т>-1 и 1еС(1). Тогда существует единственная функция (I), .

такая,что

{югп+2ео о = шг с в г)ш+г£ з

к

п (га,га+1> (п,и+2)

30 = Г(1) " Е ( I Г,- (8)111(3)

° 3=1 I _ • и

?

В пространстве Ь этот вопрос изучен З.Чисельским. Во втором параграфе продолжается исследование свойств системы Чисельского, здесь уже в терминах модуля измензния функции, введенного З.А.Чантурия.

Теорема. Пусть а > 1/2 и и - модуль изменения функ-пш г удовлетворяет условна

о (X—3/2

£ П и(П.1) <05,

п=1

_ ТА _ — —

Югда

Епа|(1,с^п>)1 < е. п=1

3 этом яэ параграфе устанавливается окончательность полученных результатов.

Подобные теоремы з случае системы Хаара получены З.А.Чантурия. В качестве следствия из этой -теорема выводятся аналоги некоторых утверждений Б.И.Голубова .

Вторая глава состоит из шести параграфоз. 3 первом параграфе некоторые утверждения первой части работы переносятся на многомерный случай. Нике кратные системы функций заданных на Iй (с!>2) определяются как обычно; например, кратной системой Хаара будет система

| ПХх (х^), И,2.....с1 }. 'Доказаны

Теорема. Кратная система Хаара образует безусловный базис в пространстве Ып^Щ*1) по норме пространства ЫпаЬ(1<1) тогда и только тогда, когда {3>а+<1,

Теорема. Кратная система Хаара образует безусловный базис в пространстве непрерывных функций С (Iе1) по норме пространства Орлича Ь^!4) тогда и только тогда, .когда

и

о

Условия этих теорем являются существенная п при исследовании базцсности. Так, имеет место

Теорема. Кратная система Уолза-Пэда образует (в смысле сходимости по Приягсхейму) базис •

a) в пространстве ЫгА(1<5)' по норме, простре-тства

тогда и только тогда, когда рхы-Д; . >

b) н пространстве С(1а) по норме пространства Орличэ

Х^Ц11) тогда и только тогда, когда выполнено условие (*).

Аналогичное утверждение верно и для кратной тригонометрической системы.

В этом параграфе получены и многомерные аналоги включений классов коэффициентов по системе Хаара и Франклина. В частности, устанавливаются в многомерном случаэ результаты, подобные теоремам П.Шелина и А.А.Комиссарова. Все утверждения этой части носят окончательный характер.

Во втором параграфе этой главы исследуется безусловная сходимость рядов Фурье по произвольным базисам - произведениям. Показано, что многомерные варианты теорем С.Карлина и А.Пельчинскогс? для таких базисов существенным образом зависят от размерности пространства.

В этом параграфе доказывается, что и для систем вида произзедений кратная система Хаара играет такую же иеклгчительнув роль, что л в одномерном случае: безусловная Оазисная константа у кратной системы Хаара наименьшая в классе базисов указанного вида (аналог теоремы А.М.Олевско-го). Г

В. этом ке параграфе доказано, что кратные система Хаара и Франклина образуют безусловные базисп в рефлексивных пространствах Орлича (многомерный аналог теоремы С.Е.Бсчкарева-В.Ф.Гапошкина). Исследованы также вопросы равносходимости по системам Хаара и Франклина в кратном"' случае. В этих вопросах полезным инструментом исследования является утверждение, где устанавливается эквивалентность функции Пэли и переставленных в различных смыслах рядов по крчтшш системам Хаара я Франклина в пространствах Ьр(1а), 0<р< с», (в одномерном случае соответствующие результата принадлежат Д.Буркгольдеру, Р.Гавда и Г.Г.Геворкяну ).

В этом параграфе доказана

Теорема Пусть^Мф^у)^ — базис пространства Орлича I^d2) с условием

Lgd2) \ Lin L+(I2) i 0. Тогда найдутся функция GiLjd2) и последовательности е'={е^=±1 > г е"={8^'=±1}, такие, что ряд

J Ж ъМ^ЩЫ

3

( а13(й) - коэффициент Фурье функции 0 по системе • {•ф1(х)фЛ(у)} ) не сходится по плоской мере на I2 ь смысле Прингсхейма.

Это утверждение является новым и для классических кратных систем функций. В силу результатов предыдущих исследований этой главы эта "еорема окончательна. Отметим, что для некоторых важных в анализе Фурье последовательностей операторов расходимость по плоской мере была установлена в работах Р.Гецадзе, С.В.Конягина и Л.З.Жикиашвили.

В третьем параграфе второй главы доказана

Теорема, Пусть .Ф - возрастающая на. [О,ев) четная, неотрицательная функция с условием Ф(и)=о(и1пцсЬ1и), ПрИ ико.

Найдется функция 1€Ф(Ь)(Iй), такая, что ее сферические частные суммы Б (Гд) расходятся почти всюду на

В работе Г.Кемхадзе изучено подобное утверждение в случае Ф(и)=и и расходимости на множестве положительной меры. Им же доказано, что в приведенной теореме' символ о нельзя заменить на 0.

В четвертом параграфе- с помощью результатов второго параграфа охарактеризована безусловная сходимость кратного. ряда Хаара в пространствах 1Р(1а), 0<р<®, (случай р>1,

d=1 рассмотрен "А.А.Мзслоеым).

3 пятом параграфе рассматривается поведение некоторых операторов, связанных с базисами. К.Сокол-Соколовский доказал, что для функции f€blnL2(T2), 1=1-%,х\ почти всюду

IM л/

существует конечный предел Г(х,у)=11гп 1 „(х.у), где

E-wd

л. Т|-М» ;

i£ (х.у)-сощшенная усеченная фукнкция. А.Зигмунд ослабил условия на класс до LlnI(T2),a также доказал аналогичный гезультат для преобразования Гильберта функций двух переменных ЧГ(х)=11ш -~JJ f(x-s,y-t)s~1t""1dsdt,

№\[-е,£])х(К\[-т),т)1). Он поставил вопрос о достаточности условия интегрируемости функции для существования почти всюду её сопряженной функции . и преобразования Гильберта двух переменных в случае X--сходимости (т.е. при выполнении соотношений 1 /А i с/г} < X для некоторого Х>1). Отрицательный отЕет на этот вопрос был получен И.Стейном и Л.В.Еихиашвили. Более того, Л.Жшмашвили доказал, что достаточным условием не явлкется и принадлежность любому классу <p(L)(T2) с условием 9(t,)=o(tlpd"1t) при t-нп даке в случае Х=1. Креме того, аналогичные результаты получены им для преобразования Гильберта и оператора частных сумм средних Чезаро сопряжения кратных тригонометрических рядов.

2 пятом параграфе указанные результаты доводятся до окончательных в ¡жале пространств Орлича. Кроме того, доказывается, что множества функций из пространств Орлича, не входящих в пространство Ыпа"1ШаЧдля которых укззан-нгз операторы существуют в смысле сходимости по d-мерной мере, составляют множества первой категории и таким образом они являются скорее исключением, а не об при

- 1ч -

правилом. Подобным образом здесь рассматриваются к средние Бохнера-Рисса с показателем ник критического (здесь усилены соответствующие результаты М.Кокима). Отметим что различие меаду К-сходкксстъю и сходимостью в смысле Прингсхеймз в вопросе -существования сопряженных функций установлена Л.Г.Гоголадзе.

Хорошо известна следующая задача: если -

-полиномиальный алгебраический базис пространства С(I), а уп - степень полинома Рп(х), то каким можно сделать минимальный рост V ? Обшую постановку этой задачи мокко найти е обзорном докладе П.Л.Ульянова в 1961 г. на Всесоюзном математическом съезде. Она интенсивно исследовалась в работах Ч.Фойаша и А.Зингера, К.М.И'айдукова, З.А.Чантурия, В.Н.ТемлякоЕэ, М.И.Кадеца, .С.В.Бсчкарева, Ал.А.Привалова. В ему теоремы 'Лштца некоторые системы лакунаршх степеней замкнуты з пространстве непрерывных функций и, следовательно, подобную задачу мокко исследовать и для базисов, образованных такими системами, С другой стороны, как известно задача Банаха о существования базиса в' пространствах С®(Iй) положительно решена в > работах З.Чисельского "и С.Шонефельда. Неизоморфность пространства С1(12) пространству С(1) доказана. Г.Н.Хенганым. В-шестом параграфе рассматривается возможный порядок роста степеней лакунарного алгебраического базиса в пространстве Ст(1°). Пусто А=(?.о, . %п) - конечная последовательность чисел с условием о=\ < \,<...< X и

о 1 п

'БЛ(п)(г) р-, 2-Х е (П)= шах--:-/где ' В (2)= | | —'л Не 2=1 2. ■ • • А(п) - га

-произведение Бляшке.

ХСЛ(п)

Теорема. Пусть заданы неотрицательное число т и последовательности Л(;!)= { ^ и М(3)= {

(¿=1,2..,й)г которые для всех 3 удовлетворяют следующим . условиям: Х^Мт, для ^ для всех 1;

м . о

У (Хи)Г1=в, . £ =

Тогда существуют полиномы

V0 У(а) ,(1) , (<3)

п п Л, .......>

которые образуют базис в пространстве С'Т(1Й) .причем < ^ да , — ,(3, п> по.

Третья глава посвящена изучению структурных свойств весовых пространств, весовых оценок операторов, связанных с базисами, аппроксшатйвйых свойств- базисов в весовых пространствах. В первом параграфе приводится весовой аналог 5й:?ерлсляцяонной тесреш, вспользуешй в дальнейшем.

Ограниченность максимального' оператора в весовых пространствах исследована полностью в известкой работе Б.Макенхаупта .Подобная задача для рефлексивных пространств Орлцча рекена в работе р.кермана и А.Торчинского. Изучещш различных операторов в весовцх пространствах Орлича Еосьяаены монографии В.Н.Кскилаавили и М.Крбеца, работы В.М.Кскилащвапи, .А.А.ГоГатгаьили, С.С.Казаряна, М.Крбецз. Необходимые и достаточные условии, базисности различных систем в весовых пространствах Лебега изучались в работах А.С.Кранцберга, Р.Ханта и Р.Янга, А.Госселнна, Г.Е.Ткебуча-ва, К.С.Касзряна, Р.Цинка .

- ль -

Ео втором параграфе исследованы условия ка веса, при выполнении которых максимальный оператор ограниченно действует, из весового пространства Срлетэ в грослда.ство 1>„(1). В этом г:е параграф:- найдено условие, достаточное для. вшюгнэнля неравенства слабого типа для мажоранты чзстнкх сумм ряда Фувье-Хаара. С шгсщью этих утверждений исследуется базиспость системы Хзара.

Е третьем и четвертом параграфах . доказаны оценки приближений по системам Чисельского ( в частности, по системам Хаара и Франклина) через модуль непрерывности з весовых пространствах и Ьф Соответствуя!1,ие неве-совне случаи хорошо известны из цикла-работ П.Л.Ульянова и З.Чисельсксго, некоторые схема исследований которых ис- ,. пользуются и в Бесовом случае.

Через А обозначается класс весовых функций; удовлетворяющих условию Макенхаупта.

Теорема. Пусть Ьф • (1)-сепарабелыюо . пространство, Ф(х) и Ф*(хУдовлетворяют условию Д£ при всех х, g£A , р (Ф) -еиззпй индекс функции Ф и тМ .

Тогда для любой функции fei» (I) имеют место оценки

*» S '

Ь) 0)<СС (i'4->V

где и n(i) - частные суммы Фурье и наилучсее.

триблинение порядка п по системе Чисельского соответственно,

В четвертой главе исследуются -вопросы конструктивной теории функций .для базисов из кусочно-линейных онделея. и зграничзньж базисов, порожденных такими функциями. Тонятие сндэлзт введено в' I36S г. независимог й.П.Леиарьо

и А.Батлсм. Систем таких функций обладают многая! свойствами системы Хаара и тригонометрической системы. Они интенсивно изучаются в настоящее время и имеют различные приложения.

Используя доказанные выше результаты, во втором пара-^афе четвертой главы устанавливается эквивалентность кратных базисов составленных из полигональных онделет и систем Хаара (и Франклина). Как следствия отмечаются некоторые ашроксимс тинные свойства таких систем.

В третьем параграфе с помощью матрицы Уолша построен и изучен ограниченный базис (система полигонов) пространств т,р(1), 1<р< ш. Исследуются прямые и обратные теоремы теории приближения функций для этой системы, её функции Лебега, опенки ко;?ф$идонтов и вариация полученных полигонов. 1

Основные работы автора по теме диссертации:

1.'Ткейучгва Г.Е. О базисах некоторых нерефлексивных пространств функций, Кзтем.заметки, 19,4,1976 549-560,

2.Ткебучзвг Г.Е. Об интерполяционных сплайнах Чксельского, Сообщения АН ГССР,S3 ,2,1977,285-287.

3.?tabuchava С. On the order оГ growth of pover of lacunary algebraic basis in the spaces C"1^), Bull.Polon.Acad. Sol., 25,5,1977, 461-464.

4.Tkebuchava G. Properties of sone functions spaces and Ciesielskl systems, Bull.Polon.Ac id.Sci.,25,5,1977, 457-46G.

5.Tkebucha?a G. Cn unconditional convergence of Haar series, Banacii Certer Publication, 4,Wars2awa>i979,

¿0 I -£l I £1.

З.Ткебучава Г.Е. 0 базисах в пространствах Срличи, Analysis

Kath.,?,1,1531, 69-30. ГЛ-:ебучгза Г.Б. О Оезуслоззых базисах в ыерефлекси^лкх

пространствах, Сообщения АН ГССР,101,2,1981,237-299. З.Ткс&учаза Г.Е. О безусловной базисности системы Хаара в весовых пространствах, Сообщения Ali ГССР, 10?.,2,1981, 285-287.

J.Tkebuchava G. Sur les propriétés du systei. de Haar, Coni.

Equation Dlff.,II,Alger,1983.. Ю.Ткебучазз г.Е. Интегральные неравенства в весовых жр?ф-лекскрннх пространствах функций, Сообщения АН ГССР, ш, 3, 1986,477-479.

1.ТкеСучава Г.Е. О кратных рядах Фурье по системе Хаара, в сб.' "Некоторые вопросы те^рш функций", Тбилиси,. ТГ/, J. 1936,307-331.

2.Ткебучава Г.Е. О безусловных базисах в пространствах функций, Сообщения АН ГССР, 125,1,1937,2I-2&.

3.Ткебучава Г.Е. О свойствах базиссв-в .некоторых'функциональных пространствах, в сб. "Некоторые вопросы теории Функций и функционального анализа",Тбилиси, Щ", 4,19^8, 170-193. ' . .; . ' '

4.Ткебучава Г.Е. О кратных системах функций в пространствах Орлича, в сб."Некоторые вопросы теории функций и функционального анализа", Тбилиси, ТГУ, 4, 19.83,194-208.

5-Ткебучава Г.Е. О безусловных базисах е функциональных пространствах,-в сб. "Некоторые вопросы теории функций и функционального анализа", Тбилиси,ТГУ,4,1988,207-224..

6.Ткебучава Г.Е. О кратных системах'функций в пространствах Орлича,-Сообщения АН ГССР,129,2,1988 / 250-252. .

7.Ткебучава Г.Е. О некоторых аппроксимативных свойствах

базисов в пространствах Орлича, Сообщения АН ГССР,130,2, 1933,241-244.

18.Ткебучева Г.Е. О расходимости, кратных рядов Сурье по базисам, ЛАН СССР, 308,3,1985,535-536.'

19.Ткебучава Г.Е. Максимальная функция Хардн-йггтльву'за и ряды Фурье-Хаара в весовых функциональных пространствах, Сообщения АН ГССР, 140,1,1990,17-20.

ЗО.Ткебучава Г.Е. Об одной ограниченной ортонормирсьанной системе функций^ До:сл.раса.засед.семи.ИШ ТГУ. Тбилиси, 5,2,1930,118-120.

2!/Гкебучава Г.Е. О бгзу слспой сходимости рядов Хаарг в пространствах 1Р(1а).0<р< ч>,с!>1, Сообщения АН ГССР,141,1, (991,к 5-28. .

22.Ткебучага Г.Е. О безусловной сходимости по система', про-;::-ЕйДений Оазисов, Симп.по мех.сглош.среды и родств. вопросам гнал., Ш1АН Грузии,Тбилиси,1991,183.

23.Гкебучава Г.Е. Об абсолютной .сходимости коэффициентов Фурье-Чисельского, Сообщения АН Грузии,141,2,1991.

¿¿.Ткебучава Г.Е. О сопряженных функциях и преобразованиях Гильберта многих переменных, Сообщения АН 'Грузии,143.3, 1991*345-347.

л. 1,25

л. 0,61

Т;:ра:?. 100

: рсТГь'Лпеокого уг.у.^ирс^тосс, ЗсООЙа, - :':0 -