Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Бычков Андрей Борисович

Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 1997

Работа выполнена в Ростовском государственном строительном

университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Ведущая организация: Одесский государственный универ-

сов на заседании диссертационного совета К 063.52.13 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 4 _ 1997 г.

наук, доцент В. М. Гробер

наук, профессор Б. М. Семенов доктор физико-математических наук, профессор В. П. Кондаков

ситет.

Защита состоится 1 Ь

Зо

1997 г. в ^ ча-

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.52.13, доцент

В. Д. Кряквия

Общая характеристика работы

Актуальность темы. С самого начала развития теории банаховых пространств важным направлением исследований была и остается теория базисов. Потребовались десятилетия для решения следующей проблемы С. Банаха: в каждом ли сепа-рабельном банаховом пространстве существует базис? Отрицательный ответ дал П. Энфло, что сделало еще более актуальными проблемы существования базисов в конкретных банаховых пространствах, построения базисов с определенными свойствами, проверки базисности уже известных систем.

До сих пор остается нерешенной следующая проблема, поставленная Джерри Джонсоном в 1974 году: обладает ли базисом банахово пространство С^{К,й) функций, определенных на компактном метрическом пространстве {К, ¿) и удовлетворяющих усиленному условию Гельдера относительно 0 < а < 1 ? В работах 3. Чисельского было получено, что классические системы функций Фабера-Шаудера и Франклина являются безусловными базисами в С°[0,1]. В 1969 году Р. Боник, Дж. Фрамп-тон и Э. Тромба доказали существование симметрического базиса в для всякого компакта К С И" и произвольного О < а < 1.

В реферируемой диссертации продолжена эта тематика. В пространствах функций, определенных и удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера на различных подмножествах вещественной оси в явном виде построены базисы

и исследованы их свойства (монотонность, интерполяционность, симметричность).

Цель работы. При различных ограничениях на модуль непрерывности из(£) рассматриваются банаховы пространства С°(£), ЙСЯ, функций, удовлетворяющих усиленному условию Гель-дера на 5 относительно и>(£), сепарабельное подпространство <7^(11) пространства , и решаются следующие задачи:

• Построение интерполирующего базиса в С°(5) для всякой инъективной и всюду плотной на произвольном предком-пакте 5 последовательности узлов интерполяции.

• Построение симметрического интерполирующего базиса пространства С^(К), К —некоторый компакт из И.

• Построение базиса и симметрического базиса в пространстве С°(Д) , Д — множество Кантора, при более слабых, чем в общем случае, ограничениях на функцию из{£).

• Построение интерполирующего базиса в банаховом Пространстве С*2(Н).

• Нахождение достаточных условий монотонности построенных базисов.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применяются методы и результаты как из теории функций (модули непрерывности, вогнутые функции, свойства изучаемых

классов функций), так и из функционального анализа (теория базисов, изоморфизмы). В диссертационной работе использованы конструкции, предложенные 3. Чисельским (построение изоморфизмов) и В.И. Гурарием (метод "присоединения вершин" при построении базисов в пространствах функций).

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Ряд лемм, приведенных в § 1.1, новыми не являются. Материал параграфа 1.3 является новым большей частью с конструктивной точки зрения — построен симметрический интерполирующий базис в пространствах С'® (К), в то время как существование симметрического базиса легко следует из работ других математиков. Все остальные результаты диссертации можно считать новыми без каких-либо оговорок.

Работа носи г теоретический характер. Ее основные положения могут найти применение в различных вопросах теории функций, функционального анализа, в том числе в дальнейшем развитии теории базисов в функциональных пространствах.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на воронежских зимних математических школах (1995 г., 1997 г.), первой и третьей всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам геометрии и анализа (1994 г., 1996 г.), на семинаре по функциональному анализу в Харьковском государственном университете (рук. — проф. М.И. Кадец и проф. В.М. Кадец), на семинаре кафедры теории функций и

функционального анализа Воронежского государственного университета (рук. — проф. Е.М. Семенов), и неоднократно на семинарах по мартингальным и аналитическим методам (РГАС, рук. — доц. И.В. Павлов и доц. В.М. Гробер), на научно-технических конференциях РГАС.

Публикации. Результаты, полученные в диссертации, с разной степенью общности опубликованы в восьми работах, список которых приведен в конце автореферата. В диссертацию не вошел материал совместных с В.М. Гробером работ о базисах и полных системах в пространствах функций С^(К) двух переменных

• Бычков А.Б., Гробер В.М. Интерполяционные базисы и полные интерполяционные системы функций в пространствах С%(К) // Всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам геометрии и анализа: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1994 — С. 18.

• Бычков А.Б., Гробер В.М. О базисах в пространствах С°(К) II Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1995.— №2.— С. 3-13.

и совместный с О.В. Гробером результат

• Бычков А.Б., Гробер О.В. О базисных свойствах систем типа Фабера-Шаудера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н / Д, 1995.— 8 е.— Деп. в ВИНИТИ №2368-В95 от 01.08.1995.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (80 наименований). Каждая глава разбита на параграфы и заканчивается заключительными замечаниями. Работа проиллюстрирована тремя рисунками, изложена на 105 страницах.

Содержание работы

Во введении дается обзор наиболее важных результатов, полученных в данном направлении 3. Чисельским, Р. Боником, Дж. Фрамптоном, Э. Тромба, Дж. Джонсоном, М.З. Берколай-ко, А.П. Горячевым и др. Приведены формулировки основных теорем, доказанных в диссертации и даны необходимые определения. Вот некоторые из них.

Говорят, что базис {ег}^г банахова пространства Е называется монотонным, если для всякой последовательности чисел £ = и для всех номеров п > т справедливо неравенство

т I п

еш ¿=1 i < Е ;=i

Безусловный базис {ег}-51 называется симметрическим, если для всякой перестановки тг(г) базисы {е,}^ и (е^,)}^ 1 эквивалентны.

Пусть Г — некоторое банахово пространство функций, определенных на множестве К, а {а^}— последовательность различных точек в К. Базис пространства Р называется интерполирующим в узлах {я,}-*^, если для всякой функции

f £ F, f = £ Cif'i, и для произвольного номера п £ N выпол-í=i

няются равенства

£c¿/¿(®¿) = /(®j) , Vj = 1,2,...,«.

•=i

Модулем непрерывности будем называть всякую функцию, определенную на полуоси [0, +оо) и удовлетворяющую следующим условиям :

Io w(0) = 0 ;

2° w(íi) < w(t2) , 0 < ii < í2 ;

3o u»(t) 6 C[0, +oo) ;

4o w(t, + í2) < w(ti) + w(í2) , íi, ¿2 > 0 ;

Всюду в работе полагается, что w(í) ф 0. Будем говорить, что u)(t) удовлетворяет условию (*), если

(*) t = o(w(t)) , t О,

условию (¿Г), если

(Z) 3 Í2 > 0 : V<5 G (0,1] / ^-dt < Ü • ш(6) ,

о 1

и условию (Z'), если выполняется

(Z>) 3 Т > 0 : V 5 € (0,1) /íf^r.íf .

5

Пусть функция /(ж) определена на некотором подмножестве 5 вещественной оси, модуль непрерывности ф 0. Величина

х,уе5 и>{\х-у\) ■ хфу

называется ш-полунормой Гельдера функции /(х); о;-нормой Гельдера назьпзается сумма || ■ ¡|ш = || • ||с + | • \ш, где || • ||с — супремум-норма.

Через Сы(5) мы обозначим класс функций на 5, удовлетворяющих условию Гельдера относительно функции о/, т.е.

сда = {/ : или < +оо} .

Будем говорить, что функция / € Сш(5) удовлетворяет усиленному условию Гельдера, если

Уе > О 36 > 0 : Щ^Щ < е V х,у е 3 : 0 < - у) < 6.

Класс всех таких функций на 5 мы обозначим С°(5). Хорошо известно, что (С°(£>), || • — замкнутое подпространство в банаховом пространстве (Сш(<?), || • ||и).

В первой главе диссертации предполагается, что мно-

жество 5 содержит бесконечное число точек и ограничено в евклидовой метрике.

В первом параграфе главы 1 доказан ряд вспомогательных утверждений, используемых на протяжении всей работы.

Параграф 1.2 начинается со следующей конструкции. Для произвольной последовательности различных точек С 5

строится система функций {/¿(а;)}^10, не зависящих от ш и таких, что fn(x¡) = 0 как только 0 < i < п. Приведем главный результат этого параграфа.

Теорема 1.3. Пусть С S — произвольная всюду плот-

ная на множестве S последовательность различных точек, а ненулевой модуль непрерывности и> обладает свойством (*). Тогда функции {/¿}¿£0 образуют базис в банаховом пространстве C%(S), интерполирующий в узлах {x;}¡S0 •

При дополнительном предположении вогнутости функции uj этот базис — монотонный.

Так, если S = [0,1], a {£¡}¿S0 — обычная последовательность диадических разбиений 0,1,1/2,1/4,3/4,1/8,..., то система {fi}¡ZQ по построению суть функции Фабера-Шаудера. В этом частном случае теорема 1.3 была доказана М.З. Берколайко.

Символом К будем обозначать компактное подмножество вещественной оси. В параграфе 1.3 рассмотрены пространства функций С°(К) при ограничениях (Z) и (Z1) на функцию u(t). Цель параграфа — построить в явном виде симметрический и интерполирующий базис в С®{К) • Для удобства предполагается, что

min{a; | х € К} =0 и max{cc ¡ х € К} — 1 ,

что не приводит к потере общности. Вводится всюду плотная на множестве К последовательность различных точек {x¿}So С К, рассматриваются соответствующая ей система Шёо и функции {v»¿}£0: ы®) S 1, ® € Я", и W = j^fc

Шёо и функции {p¿}£0: ч>а{х) = 1, х € К, и ^ = j-^ для г € N.

Пусть оператор : ^ —► СЫ(АГ) определен равенством

00

t=0

Сходимость этого ряда понимается в смысле нормы || • ||с, ее обеспечивает лемма 1.8.

Теорема 1.6. Если w(t) удовлетворяет условиям (Z) и (Z'), то отображение : lx —> СШ(К) является изоморфизмом.

Из теорем 1.3 и 1.6 следует Теорема 1.7. При предположениях (Z) и (Z1) система функций {V(}So является симметрическим базисом банахова пространства С°(К), интерполирующим в узлах . При дополнительном предположении вогнутости функции uj(t) указанный базис является монотонным. Отображение 5„|Со является изоморфизмом пространств cq и С® (К). Таким образом, используя сложившуюся терминологию, Su — совместный изоморфизм пространств и Си(К), со и С°(К).

В конце главы даны некоторые заключительные замечания. В частности, пояснено почему в вышеприведенных теоремах условие вогнутости модуля непрерывности ui(t) нельзя заменить более слабым условием квазивогнутости (функция ui{t) на полуоси [0, +оо) называется квазивогнутой, если w(0) = 0, а функции Lo(t) и ¿щ положительны и не убывают при t > 0).

Во второй главе диссертации рассматриваются банаховы пространства функций С°(Д) и СЦД) , определенных на множе-

стве Кантора А. Выбрав в качестве области определения "совершенное множество", удалось найти базис и симметрический базис пространства С®(Д) , отказавшись от ограничений (*) и (¿Г'). Этот базис образуют функции Хаара специального вида.

Именно, пусть — обычная система Хаара на [0,1],

6{х) — ступенчатая функция Кантора. Рассмотрим суперпозиции , г е N, устранив разрывы этих функций (Х2(0|д(я)) имеет разрыв в точке 2/3, функция Хз(0|д(я)) — в точке 2/9, и т.д.). Построенная таким образом функциональная последовательность неоднократно изучалась разными авторами.

Пронормировав полученные функции (кроме первой) по | • |„, имеем следующую систему:

= 1 , =

N1) .

х £ А? х £ Д§

И вообще,

=

г = 1,...,2

* € Л2*Й

* е д£+2

О для остальных х £ Д

Основным результатом § 2.1 является следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть ^ О — произвольный модуль непрерывности, Система функций

г 6 N

является базисом пространства С°(А) .

Далее в § 2.1 доказано, что этот базис не является монотонным ни для какого модуля непрерывности u(t).

В параграфе 2.2 при помощи введенных функций строится оператор Ты : —> Си(Д), который каждой последовательности £ — {^i},^! £ loo ставит в соответствие функцию

ио = £ •

¿=1

Сходимость этого ряда вновь понимается в смысле нормы || • ||с, доказывается корректность такого определения. Теорема 2.2. Пусть модуль непрерывности cu(t) удовлетворяет условию (Z). Тогда оператор Тш является изоморфизмом пространств и Сы(Д) .

Теорема 2.3. Пусть w{t) удовлетворяет условию (Z). Тогда оператор Ты \Со: cq —> С°(Д) является изоморфизмом, а функции — симметрическим базисом простран-

ства С£(Д) .

Из "замечаний" к главе: в работе [6] для модулей непрерывности ta, 0 < а < 1 получены оценки

и \\ТГг\\< з°.

В главе 3 вводится класс функций C^(R) С C°(R) таких, что

Ve > 0 3 i (/, е) е N : ||/|R\H,Í¡L < е ■

В параграфе 3.1 доказано, что с нормой Гельдера ||-||ш пространство C¿(R) является банаховым и приведена конструкция

функций {/¿}£1, образующих базис в этом пространстве. Индуктивную схему построения данной системы поясняет следующая иллюстрация :

8 49 2 5163 7

Функции fi(x), i <9.

Во втором параграфе главы 3 доказана Теорема 3.1. Пусть ui(t) ф 0 удовлетворяет условию (*), тогда система {/¿}iSi является базисом пространства R).

Автор рад поблагодарить профессоров М.И. Кадеца, Е.М. Семенова, B.C. Кашина, доцента И.В. Павлова за внимание, советы и библиографические подсказки, а также выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту В.М. Гроберу за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения.

Список работ по теме диссертации

1. Бычков А.Б. Интерполяционный базис в подпространстве гельдеровых функций, определенных на одномерном компакте; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н/ Д, 1995.— 11 с.— Деп. в ВИНИТИ №1945-В95 от 30.06.1995.

2. Бычков А.Б. Интерполяционные базисы в пространствах

и // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тезисы докладов воронежской зимней математич. школы.— Воронеж: ВГУ, 1995.— С. 55.

3. Бычков А.Б. О базисах и аппроксимации в сепарабель-ных подпространствах пространств гельдеровых функций // Вторая всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1995.— С. 32-35.

4. Бычков А.Б. Об изоморфизмах некоторых пространств Гельдера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н / Д, 1996.— 8 е.— Деп. в ВИНИТИ №562-В96 от 21.02.1996.

5. Бычков А.Б. Базисы в банаховых пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н/Д, 1996.— 24 с.— Деп. в ВИНИТИ ЛП994-В96 от 14.06.1996.

6. Бычков А.Б. Базис из функций Хаара в пространстве

А) // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1996,— №1.— С. 3-5.

7. Bychkov A.B. Bases in Banach. spaces of functions satisfying modulus of continuity strong Holder condition // Третья все-pocc. школа-коллоквиум по стохастич. методам: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1996.— С. 173-174.

8. Бычков А.Б. О базисах в строго гельдеровых пространствах // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов воронежской зимней матема-тич. школы.— Воронеж: ВГУ, 1997.— С. 35.

ЛР020818 от 20.09.93. Подиисшю в печать 27.02.1997 г. Формат 60 х 84^ Бумага типографская. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз.

Гедакциопно-издательский центр РГСУ. 344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162.