Базисы в банаховых пространствахфункций одной переменной,удовлетворяющих обобщенномуусиленному условию Гельдера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

С- - .п '1

I и ^

2 к МАР 1397

На правах рукописи

Бычков Андрей Борисович

Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 1997

Работа выполнена в Ростовском государственном строительном

университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент В. М. Гробер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Е. М. Семенов доктор физико-математических наук, профессор В. П. Кондаков

Ведущая организация: Одесский государственный университет.

Защита состоится 1 о-креЛА^ 1997 г. в часов на заседании диссертационного совета К 063.52.13 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан_^ _ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.52.13, доцент

В. Д. Кряквин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. С самого начала развития теории банаховых пространств важным направлением исследований была и остается теория базисов. Потребовались десятилетия для решения следующей проблемы С. Банаха: в каждом ли сепа-рабельном банаховом пространстве существует базис? Отрицательный ответ дал П. Энфло, что сделало еще более актуальными проблемы существования базисов в конкретных банаховых пространствах, построения базисов с определенными свойствами, проверки базисности уже известных систем.

До сих пор остается нерешенной следующая проблема, поставленная Джерри Джонсоном в 1974 году: обладает ли базисом банахово пространство С°(К, (1) функций, определенных на компактном метрическом пространстве (К, <1) и удовлетворяющих усиленному условию Гельдера относительно 0 < а < 1 ? В работах 3. Чисельского было получено, что классические системы функций Фабера-Шаудера и Франклина являются безусловными базисами в 0,1]. В 1969 году Р. Воник, Дж. Фрамп-тон и Э. Тромба доказали существование симметрического базиса в С°(К) для всякого компакта К С В." и произвольного О < а < 1.

В реферируемой диссертации продолжена эта тематика. В пространствах функций, определенных и удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера на различных подмножествах вещественной оси в явном виде построены базисы

и исследованы их свойства (монотонность, интерполяционность, симметричность).

Цель работы. При различных ограничениях на модуль непрерывности рассматриваются банаховы пространства С°(5), 5 С И, функций, удовлетворяющих усиленному условию Гель-дера на 5 относительно , сепарабельное подпространство пространства С°(11), и решаются следующие задачи:

• Построение интерполирующего базиса в С°(5) для всякой инъективной и всюду плотной на произвольном предком-пакте 5 последовательности узлов интерполяции.

• Построение симметрического интерполирующего базиса пространства С°(К), К — некоторый компакт из И.

• Построение базиса и симметрического базиса в пространстве С2(Д), Д — множество Кантора, при более слабых, чем в общем случае, ограничениях на функцию .

• Построение интерполирующего базиса в банаховом пространстве (7^(11).

• Нахождение достаточных условий монотонности построенных базисов.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применяются методы и результаты как из теории функций (модули непрерывности, вогнутые функции, свойства изучаемых

классов функций), так и из функционального анализа (теория базисов, изоморфизмы). В диссертационной работе использованы конструкции, предложенные 3. Чисельским (построение изоморфизмов) и В.И. Гурарием (метод "присоединения вершин" при построении базисов в пространствах функций).

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Ряд лемм, приведенных в § 1.1, новыми не являются. Материал параграфа 1.3 является новым большей частью с конструктивной точки зрения — построен симметрический интерполирующий базис в пространствах С^(К), в то время как существование симметрического базиса легко следует из работ других математиков. Все остальные результаты диссертации можно считать новыми без каких-либо оговорок.

Работа носит теоретический характер. Ее основные положения могут найти применение в различных вопросах теории функций, функционального анализа, в том числе в дальнейшем развитии теории базисов в функциональных пространствах.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на воронежских зимних математических школах (1995 г., 1997 г.), первой и третьей всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам геометрии и анализа (1994 г., 1996 г.), на семинаре по функциональному анализу в Харьковском государственном университете (рук. — проф. М.И. Кадец и проф. В.М. Кадец), на семинаре кафедры теории функций и

функционального анализа Воронежского государственного университета (рук. — проф. Е.М. Семенов), и неоднократно на семинарах по мартингальным и аналитическим методам (РГАС, рук. — доц. И.В. Павлов и доц. В.М. Гробер), на научно-технических конференциях РГАС.

Публикации. Результаты, полученные в диссертации, с разной степенью общности опубликованы в восьми работах, список которых приведен в конце автореферата. В диссертацию не вошел материал совместных с В.М. Гробером работ о базисах и полных системах в пространствах функций С®(К) двух переменных

• Бычков A.B., Гробер В.М. Интерполяционные базисы и полные интерполяционные системы функций в пространствах С°(К) // Всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам геометрии и анализа: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1994.— С. 18.

• Бычков A.B., Гробер В.М. О базисах в пространствах С°(К) II Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1995.—№2.— С. 3-13.

и совместный с О.В. Гробером результат

• Бычков A.B., Гробер О.В. О базисных свойствах систем типа Фабера-Шаудера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н/Д, 1995 — 8 е.— Деп. в ВИНИТИ №2368-В95 от 01.08.1995.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (80 наименований). Каждая глава разбита на параграфы и заканчивается заключительными замечаниями. Работа проиллюстрирована тремя рисунками, изложена на 105 страницах.

Содержание работы

Во введении дается обзор наиболее важных результатов, полученных в данном направлении 3. Чисельским, Р. Боником, Дж. Фрамптоном, Э. Тромба, Дж. Джонсоном, М.З. Берколай-ко, А.П. Горячевым и др. Приведены формулировки основных теорем, доказанных в диссертации и даны необходимые определения. Вот некоторые из них.

Говорят, что базис банахова пространства Е назы-

вается монотонным, если для всякой последовательности чисел £ = и для всех номеров п > т справедливо неравенство

т п

H&i •=i < Е >=i

Безусловный базис называется симметрическим, если

для всякой перестановки 7г(г) базисы и {е^,)}^ 1 экви-

валентны.

Пусть Г — некоторое банахово пространство функций, определенных на множестве К, а {х,}-^! —последовательность различных точек в К. Базис {/¿}~1 пространства Р называется интерполирующим в узлах {ж,} , если для всякой функции

/ £ F, / = Е Cifi, и для произвольного номера п £ N выпол->=1

няются равенства

п

£*/;(*,•) = /(*,•), У? — 1,2,...,п.

¿=1

Модулем непрерывности будем называть всякую функцию, определенную на полуоси [0, +оо) и удовлетворяющую следующим условиям :

Io ЦО) = 0 ;

2° < üj(t2), 0<ti<t2;

3o w(t) e C[0, +oo) ;

4o o)(íi +12) < w(ti) + u>{t2) , ti,Í2>0;

Всюду в работе полагается, что o>(í) ф 0. Будем говорить, что ui(t) удовлетворяет условию (*), если

(*) t = o(w(t)) , t -» О,

условию (Z), если

(Z) 3 Г2 > 0 : Vie (0,1] / — dt<Ü-Lü{6) ,

о t

и условию (Z'), если выполняется

(SO 3 Т > 0 : V 6 € (0,1) /íf^T.íf .

£

Пусть функция f(x) определена на некотором подмножестве S вещественной оси, модуль непрерывности w(t) ф 0. Величина

\Т\и - sup -т-р— ,

x,yes ш{\х - у|)

называется из -полунормой Гельдера функции f(x); а;-нормой Гельдера назьшается сумма || • ||ы = || • ||с + | • |ы, где || • ||с — супремум-норма.

Через CU(S) мы обозначим класс функций на S, удовлетворяющих условию Гельдера относительно функции и>, т.е.

Cu(S) = {f : №<+oo} .

Будем говорить, что функция / 6 Си(5) удовлетворяет усиленному условию Гельдера, если

Ve > О 3 <5 > О : < е ух у е s : 0 < \х - у\ < 6 .

Щз -у|)

Класс всех таких функций на S мы обозначим (5). Хорошо известно, что || • — замкнутое подпространство в банаховом пространстве (CU(S), || • ||w).

В первой главе диссертации предполагается, что S С R, множество S содержит бесконечное число точек и ограничено в евклидовой метрике.

В первом параграфе главы 1 доказан ряд вспомогательных утверждений, используемых на протяжении всей работы.

Параграф 1.2 начинается со следующей конструкции. Для произвольной последовательности различных точек С S

по-

строится система функций 0, не зависящих от w и та-

ких, что fn(xi) = 0 как только 0 < i < п. Приведем главный результат этого параграфа.

Теорема 1.3. Пусть {x¡}~0 С S — произвольная всюду плотная на множестве S последовательность различных точек, а ненулевой модуль непрерывности w обладает свойством (*). Тогда функции образуют базис в банаховом простран-

стве C°(S), интерполирующий в узлах •

При дополнительном предположении вогнутости функции и> этот базис — монотонный.

Так, если S = [0,1], a — обычная последователь-

ность диадических разбиений 0,1,1/2,1/4,3/4,1/8,..., то система {/¿}¿2o по построению суть функции Фабера-Шаудера. В этом частном случае теорема 1.3 была доказана М.З. Берколайко.

Символом К будем обозначать компактное подмножество вещественной оси. В параграфе 1.3 рассмотрены пространства функций С°(К) при ограничениях (Z) и (Z') на функцию u>(t). Цель параграфа — построить в явном виде симметрический и интерполирующий базис в С°(К). Для удобства предполагается, что

min{a; | х £ К} = 0 и max{a; | х £ К} = 1 ,

что не приводит к потере общности. Вводится всюду плотная на множестве К последовательность различных точек {^Лйо С К, рассматриваются соответствующая ей система Ш~о и Функции {v«}£0: <Ро(х) = х £ К, u (fii = jf^fc

о и функции {<¿>¿}£0: <ро(х) = 1, х € К, и <р{ = ¡-^ для i € N.

Пусть оператор : ^ —+ Си(К) определен равенством

оо 1=0

Сходимость этого ряда понимается в смысле нормы || • ||с, ее обеспечивает лемма 1.8.

Теорема 1.6. Если иi(t) удовлетворяет условиям (Z) и (Z'), то отображение Su : lx —> СШ(К) является изоморфизмом.

Из теорем 1.3 и 1.6 следует Теорема 1.7. При предположениях (Z) и (Z') система функций {</5¿}¿20 является симметрическим базисом банахова пространства , интерполирующим в узлах {a;,}-î0. При дополнительном предположении вогнутости функции w(t) указанный базис является монотонным. Отображение S^lo является изоморфизмом пространств cq и С°(К). Таким образом, используя сложившуюся терминологию, Su — совместный изоморфизм пространств I^ и Си(К), со и С®(К).

В конце главы даны некоторые заключительные замечания. В частности, пояснено почему в вышеприведенных теоремах условие вогнутости модуля непрерывности u>(t) нельзя заменить более слабым условием квазивогнутости (функция w(t) на полуоси [0,+оо) называется квазивогнутой, если w(0) = 0, а функции u(t) и щ положительны и не убывают при t > 0).

Во второй главе диссертации рассматриваются банаховы пространства функций С°(Д) и СЫ(Д) , определенных на множе-

стве Кантора Д. Выбрав в качестве области определения "совершенное множество", удалось найти базис и симметрический базис пространства С°(Д) , отказавшись от ограничений (*) и (/?'). Этот базис образуют функции Хаара специального вида.

Именно, пусть {х;}^ — обычная система Хаара на [0,1], в(х) — ступенчатая функция Кантора. Рассмотрим суперпозиции Х»(#|д(а;)), г 6 N, устранив разрывы этих функций (Х2(0|д(я)) имеет разрыв в точке 2/3, функция Хз(0|д(я)) —в точке 2/9, и т.д.). Построенная таким образом функциональная последовательность неоднократно изучалась разными авторами.

Пронормировав полученные функции (кроме первой) по | • |ш, имеем следующую систему:

ЕЕ 1 , =

-К) , *ед§

И вообще,

Щз-*-1)

, к > 0 , г = 1,...,2\

х € ДгЙ -|ы(3-^) , хЕАк2Г О для остальных х £ А

Основным результатом § 2.1 является следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть ш^) ф. О — произвольный модуль непрерывности. Система функций

Л'

(ы) сЦ

г 6 N

|Л.-|о, '

является базисом пространства С® (А)

Далее в § 2.1 доказано, что этот базис не является монотонным ни для какого модуля непрерывности иi(t).

В параграфе 2.2 при помощи введенных функций строится оператор Ты : —► СЫ(Д), который каждой последовательности £ = 6 loo ставит в соответствие функцию

¿=i

Сходимость этого ряда вновь понимается в смысле нормы || • ||с, доказывается корректность такого определения. Теорема 2.2. Пусть модуль непрерывности cj(t) удовлетворяет условию (Z ). Тогда оператор Тш является изоморфизмом пространств I^ и Си{А) .

Теорема 2.3. Пусть ui(t) удовлетворяет условию (Z). Тогда оператор Ти |Со: cq А) является изоморфизмом, а функции {^'"•'(х)}^ — симметрическим базисом пространства С°(Д) .

Из "замечаний" к главе: в работе [6] для модулей непрерывности ta, 0 < а < 1 получены оценки

и нзг'из».

В главе 3 вводится класс

функций C^(R) С таких,

что

Ve>0 3í(/,e)GN : ||/|R\[-U¡1 < е •

В параграфе 3.1 доказано, что с нормой Гельдера || • ||ш пространство C^(R) является банаховым и приведена конструкция

функций , образующих базис в этом пространстве. Индук-

тивную схему построения данной системы поясняет следующая иллюстрация :

8 4 9 2 5 1 6 3 7

Функции fi(x), t < 9.

Во втором параграфе главы 3 доказана Теорема 3.1. Пусть иi(t) ф 0 удовлетворяет условию (*), тогда система является базисом пространства C^(R).

Автор рад поблагодарить профессоров М.И. Кадеца, Е.М. Семенова, B.C. Кашина, доцента И.В. Павлова за внимание, советы и библиографические подсказки, а также выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту В.М. Гроберу за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения.

Список работ по теме диссертации

1. Бычков А.Б. Интерполяционный базис в подпространстве гельдеровых функций, определенных на одномерном компакте; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н/ Д, 1995.—11 с.— Деп. в ВИНИТИ №1945-В95 от 30.06.1995.

2. Бычков А.Б. Интерполяционные базисы в пространствах 11*1 и // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тезисы докладов воронежской зимней математич. школы.— Воронеж: ВГУ, 1995.— С. 55.

3. Бычков А.Б. О базисах и аппроксимации в сепарабель-ных подпространствах пространств гельдеровых функций // Вторая всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1995.— С. 32-35.

4. Бычков А.Б. Об изоморфизмах некоторых пространств Гельдера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н/Д, 1996.— 8 е.— Деп. в ВИНИТИ №562-В96 от 21.02.1996.

5. Бычков А.Б. Базисы в банаховых пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н/Д, 1996.— 24 с.— Деп. в ВИНИТИ №1994-В9б от 14.06.1996.

6. Бычков А.Б. Базис из функций Хаара в пространстве С°(Д) // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1996 — №1.— С. 3-5.

7. Bychkov А.В. Bases in Banach spaces of functions satisfying modulus of continuity strong Holder condition // Третья все-pocc. школа-коллоквиум по стохастич. методам: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1996.— С. 173-174.

8. Бычков А.Б. О базисах в строго гельдеровых пространствах // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов воронежской зимней матема-тич. школы.— Воронеж: ВГУ, 1997.— С. 35.

ЛР020818 от 20.09.93. Подписано в печать 27.02.1997 г. Формат 60 х 84^. Бумага типографская. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз.

Редакциопно-издательский центр РГСУ. 344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162.