Свободная интерполяция в жордановых областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§1 План диссертации

§2 Обзор работ по теме диссертации.

§3 Интерполяция в областях Лаврентьева.

§4 Интерполяция в квазиконформных областях.

§5 Интерполяция в областях с внешним заострением.

§6 Интерполяция в обобщенной полосе

§7 Интерполяция в окрестности точки внутреннего заострения.

§8 Итоги и перспективы.

§9 Терминология и обозначения.

ГЛАВА I

Свободная интерполяция для классов Гёльдера в областях Лаврентьева

§1.1 Введение.

§1.2 Теорема о расширении области.

§1.3 Построение функции "аналитического расстояния"

§1.4 Необходимость условия редкости.

§1.5 Необходимость условия пористости.

§1.6 Конструкция оператора продолжения для малых показателей гладкости граничная интерполяция).

§1.7 Конструкция оператора продолжения для любых показателей гладкости граничная интерполяция).

§1.8 Достаточность условий пористости и отделимости для интерполяции на множестве общего вида.

ГЛАВА II

Свободная интерполяция для классов Гель дера в квазиконформных областях

§2.1 Введение.

§2.2 Свойства квазиконформных отображений.

§2.3 Необходимость условия редкости.

§2.4 Необходимость условия пористости.

§2.5 Вспомогательные утверждения.

§2.6 Построение операторов продолжения, понижения и поднятия

§2.7 Доказательство достаточности условий пористости и редкости

ГЛАВА III

Интерполяция в окрестности точки внешнего острия.

§3.1 Введение.

§3.2 Вспомогательные утверждения.

§3.3 Построение оператора продолжения при малых показателях гладкости

§3.4 Построение операторов понижения и поднятия.

§3.5 Доказательство теоремы 3.1.1.

§3.6 Решение задачи свободной интерполяции для стандартной полосы

ГЛАВА IV

Интерполяция в обобщенной полосе.

§4.1 Введение.

§4.2 Построение эквивалентной дуги.

§4.3 Метод разбиения обобщенной полосы на области Лаврентьва

§4.4 Построение расширения и симметричной точки для обобщенной полосы

§4.5 Вспомогательные оценки и конструкции.

§4.6 Доказательство теоремы 4.4.2.

ГЛАВА V

Интерполяция в окрестности точки внутреннего заострения.

§5.1 Введение.

§5.2 Интерполяция на некасательном множестве.

§5.3 Теорема вложения для пространства

§5.4 Интерполяция и эффект повышения гладкости на спиралях

§1. План диссертации

Нередко бывает, что на фиксированном "малом" множестве голоморфные функции из того или иного пространства ведут себя "свободно": их сужения на это множество утрачивают следы аналитичности. Если класс таких функций допускает простое и полное описание в терминах вещественного анализа, то обычно говорят о феномене свободной интерполяции.

Целью работы является решение задачи свободной интерполяции в областях комплексной плоскости достаточно общего вида. Пусть Хд - пространство функций, содержащееся в множестве функций аналитических в области С. Требуется описать множества Е (Е = Е С С) такие, что сужение функций пространства Ха на множество Е совпадало бы с некоторым естественным классом функций на этом множестве. Мы говорим о свободной интерполяции, поскольку на интерполируемые функции накладываются минимальные ограничения. В такой формулировке, разумеется, очерчено лишь направление исследований. Каждая конкретная задача свободной интерполяции становится содержательной только с появлением тщательно сбалансированной постановки, которая оказывается важным компонентом решения задачи свободной интерполяции.

Проводимые в диссертации исследования имеют своей базой большой пласт разнообразных работ, посвященных решению задачи свободной интерполяции в круге. Обзор этих исследований будет приведен ниже. Основной результат работы - выделение геометрических свойств областей комплексной плоскости, определяющих структуру интерполяционных множеств и решение задачи свободной интерполяции в соответствующих классах областей. Самостоятельный интерес может представлять и технический аппарат, разработанный или усовершенствованный в ходе доказательства теорем о свободной интерполяции. То обстоятельство, что задача свободной интерполяции в областях отличных от круга мало исследована, косвенно свидетельствует о том, что эта задача содержательна, и дает автору основание вводить упрощающие ограничения на исследуемые объекты. В качестве пространств аналитических функций мы рассматриваем только классы Гельдера. Такой выбор продиктован двумя обстоятельствами. С одной стороны, переход от круга к областям более общего вида интересен именно для классов функций, гладких вплоть до границы. С другой стороны, среди пространств гладких функций пространства Гельдера оказываются наиболее удобным объектом. В этих классах легче, чем в других, решаются многие технические вопросы, сопровождающие постановку и решение задачи свободной интерполяции.

Другой объект, который мы выбираем, - область в комплексной плоскости. Здесь мы стремимся минимизировать ограничения, но оказывается, что разным классам областей отвечают разные типы интерполяционных множеств и задача естественным образом разветвляется. Имеется еще одна причина таких разветвлений - стремление использовать технический аппарат, соответствующий рассматриваемому классу областей. Именно эти обстоятельства определяют структуру работы в целом - каждая из глав, посвящена решению задачи для некоторого фиксированного класса областей. Разумеется, проведенные здесь исследования, далеки от полного решения задачи свободной интерполяции, но как надеется автор, они дают правильное представление о стандартных ситуациях, которые могут возникнуть в этом круге вопросов.

Еще одно важное обстоятельство, влияющее на стиль изложения и структуру работы, связано с устойчивостью схемы доказательств и технических средств, используемых для ее реализации. Большое количество работ, посвященных решению задачи свободной интерполяции в круге, сформировали несколько распространенных схем решения таких задач. В рамках наших исследований постоянно используется одна из этих схем. До некоторой степени этот выбор определяется личными пристрастиями. Оправданием выбора являются новые неочевидные результаты, которые удается установить, используя эту схему рассуждений, и то, что возможности такой схемы далеко не исчерпаны. Как и любая общая конструкция, схема, применяемая здесь, несет в себе только направляющие установки. Для использовании схемы в каждой конкретной ситуации требуется содержательная работа.

Прежде чем преходить к описанию схемы, перечислим обязательные этапы, по которым проходит решение задачи свободной интерполяции независимо от того, какая схема решения будет использоваться.

1. Формулировка правильных гипотез о структуре интерполяционного множества и об описании пространства следов аналитического класса функций на предполагаемом интерполяционном множестве.

2. Доказательство теоремы вложения: сужение функции аналитического класса должно входить в описанное в пункте 1 пространство следов.

3. Доказательство необходимости условий, налагаемых на структуру интерполяционного множества (если пространство следов такое, как мы ожидаем, то условия на интерполяционное множество выполнены).

4. Доказательство возможности проинтерполировать любую функцию из пространства следов аналитической функцией из исходного пространства.

Главный во всем исследовании момент - структура интерполяционного множества - чрезвычайно устойчив. Это хорошо известно по исследованиям этой задачи в круге. Интерполяционными множествами для целого ряда банаховых пространств функций, аналитических в круге и гладких вплоть до границы, являются множества, удовлетворяющие двум условиям: редкости - внутренние точки множества отделены окрестностями, величина которых пропорциональна расстоянию до границы области, пористости - любая дуга на границе области содержит эквивалентную себе по длине поддугу ("пору"), не содержащую точек интерполяционного множества.

Исходя из того, что уже было известно о задаче свободной интерполяции, естественным было начать с описания областей комплексной плоскости, у которых структура интерполяционных множеств остается такой же, как и у круга. После чего выяснять изменения, происходящие в задаче интерполяции для областей других типов. Этот план успешно работает и освобождает нас от необходимости формулировать гипотезу о структуре интерполяционного множества. Что касается гипотезы об описании пространства следов и соответствующей теоремы вложения, то в рамках нашего выбора аналитических классов функций эти вопросы почти всегда тривиальны. Ради этого упрощения и были выбраны аналитические классы Гельдера. Подбор классов областей, для которых решается задача интерполяции, проведен таким образом, чтобы необходимые условия на структуру интерполяционного множества менялись плавно. Это дает основание ожидать, что и способы доказательства соответствующих утверждений сохранятся. Проведенные исследования показали обоснованность таких ожиданий. Главные усилия всякий раз приходятся на реализацию четвертого этапа. Действие используемой здесь схемы, помимо всего прочего, привлекательно еще и тем, что конечным ее результатом всякий раз является построение оператора продолжения. Соответствующие конструкции являются основной частью большинства доказательств приводимых здесь теорем об интерполяции, поэтому мы перечислим основные шаги в ее реализации. Отметим, прежде всего, что задача построения оператора продолжения естественно распадается на две неравноправные части. Первая и главная - построение оператора продолжения для интерполяционного множества, целиком лежащего на границе области. Вторая часть -построение оператора продолжения для множеств общего вида. Специфика конструкции оператора продолжения для граничного интерполяционного множества позволяет рассматривать общий случай как возмущение решения задачи интерполяции для граничной компоненты рассматриваемого множества. При этом интерполяция на множестве внутренних точек сводится к классической теореме Карле-сона об интерполяции ограниченными аналитическими функциями. Рассмотрим подробнее схему построения оператора продолжения для граничного интерполяционного множества. a) Оператор продолжения строится как сингулярный контурный интеграл, особенности которого сосредоточены на интерполяционном множестве. b) Контур интегрирования является границей специальным образом построенного расширения исходной области (расстояние от любой точки исходной области до интерполяционного множества эквивалентно расстоянию от этой точки до границы расширения). c) Размещение особенностей контурного интеграла на выделенном интерполяционном множестве достигается за счет помещения в знаменатель подынтегрального выражения специальным образом построенной аналитической функции, модуль которой в каждой точке области эквивалентен расстоянию от точки до интерполяционного множества. с!) Проверка того, что построенный оператор действует в пространство аналитических функций, удовлетворяющих в замыкании области условию Гельдера, происходит на основе следующего достаточного условия принадлежности функции аналитическому классу Гельдера: для произвольной точки из расширенной области и ближайшей к ней точки интерполяционного множества должно быть выполнено условие Гельдера. Технически это условие проверяется значительно легче, чем условие Гельдера для произвольной пары точек в области. Фактически мы далее работаем не с классом Гельдера, а с его подпространством, состоящим из функций, аналитически продолжимых через все дуги дополнения интерполяционного множества. Отметим, что это достаточное условие дает нам еще один повод выбрать классы Гельдера на первом этапе рассмотрения задачи свободной интерполяции. Проверка этого достаточного условия - основная часть всех доказательств. е) Техническую базу оценок сингулярных интегралов, возникающих в операторе продолжения, составляет следующее универсальное свойство пористых множеств, обнаруженное Дынькиным. Пусть на границе области фиксировано пористое множество и функция сНз1;(;г) определена как расстояние от точки 2 до пористого множества. Тогда существуют постоянные ¡3 > 0 и С > 1 такие, что для любой дуги </ на границе области выполнена оценка

Л ~ 1 1 Функция входит в знаменатель, оцениваемого сингулярного интеграла, как обязательная и наиболее сложная часть подынтегрального выражения. Оценки сингулярного интеграла далее строятся на том, что мы разбиваем область интегрирования на компоненты так, чтобы на каждой из них все остальные части подынтегрального выражения были эквивалентны постоянным. Оцениваемый интеграл должен содержать некоторое количество не связанных между собой параметров (показатель гладкости, число /5 из оценки Дынькина, положение точки в которой происходит оценка) - учет их взаимодействия требует многочисленных технических усилий для реализации нужных оценок.

Формально рассмотренная схема доказательства полностью решает задачу свободной интерполяции, но ее реализация наталкивается на еще одну чисто техническую сложность. Конструкция оператора продолжения, используемая нами, такова, что оценки проходят только для пространств Гельдера с показателем гладкости меньшим числа ¡3 из неравенства Дынькина. Тем не менее оператор продолжения удается построить при всех показателях гладкости. Это оказывается возможным благодаря процедуре редукции, позволяющей понижать гладкость исходной интерполируемой функции, затем строить продолжение для исправленной функции и далее исправлять полученное продолжение до функции, интерполирующей исходную. Процедура понижения гладкости оказывается самой сложной, поскольку ее осуществление требует проведения прямой оценки разности значений функции в любых двух точках, что увеличивает число свободных параметров в сингулярном интеграле и, тем самым, усложняет оценки.

Завершая описание схемы доказательства, отметим, что оно не претендует на полноту, а только выделяет общую часть большинства проводимых доказательств. Технические особенности каждого из них мы обсудим позже.

Автор надеется, что предлагаемая работа представляет интерес не только полученными в ней новыми результатами об интерполяции аналитическими функциями, но и благодаря той технике, которая была разработана или усовершенствована в ходе доказательств основных результатов диссертации.

1. H.S.Black Modulation Theory New-York, 1953.

2. H.Nyquist Trans.AIEE, v. 47 (1928), p.618-644.

3. B.A.Котельников, О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросявзи, "Ред.связи РККА", 1933.

4. D.Gabor J ЛЕЕ, v. 93,pt,III(1946).

5. C.E.Shennon Proc.IRE, v. 37(1949), p. 10-12.

6. Pick G. Uber die Beschrankungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden, Math. Ann., 1916, v. 77, p. 7 -23.

7. Schur I., Uber Potenzreihen die im Inner des Einheitskreises beschrankt sind, J.Reine Angew. Math., v. 147(1917), p. 205-232.

8. Nevanlinna R. Uber beschrankte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen Ann. Acad. Sei. Fenn, sre. A, v.13, n.l(1919).

9. Hardy G.H. The mean value of modulus of analytic functions, Proc.Lond.Math. Soc., v. 14(1914), p. 269-277.

10. Смирнов В.И. Sur les valeurs limites des functions analytiques, C.r. Acad.scient., v. 188(1929), p. 131-133.

11. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр Москва, "Мир", 1984.

12. Carleson L. On bounded analytic functions and clouser problems Ark. for Math., v.23(1952), p. 10-18.

13. Heyman W.K. Ann. de l'lnstitute Fourier, v.l3(1958).

14. Newman D.J. Interpolation in H°° Trans. Amer. Math. Soc., v. 92(1959), p. 501-507.

15. Нафталевич А.Г. Об интерполировании функций ограниченного вида Ученые записки Вильнюсского университета, т. 5(1956), с. 5-27.

16. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions Amer.J.Math., v. 80(1958), p. 547-559.

17. Shapiro H.S., Shields A.L. On some interpolating problemsfor analytic functions Amer. Jor. Math., v.83, n. 3(1961), p. 513-532.

18. Rudin W. Boundary values of continuous analytic functions Proc.A.M.S., v.7(1956).

19. Bishop E. A generalized Rudin-Carleson theorem Proc. A.M.S., v.13, n.1(1962).

20. K.Hoffman Banach spaces of analytic functions Englewood Cliffs, N.J.(1962).

21. Виноградов C.A., Хавин В.П. Свободная интерполяция в и некоторыхдругих классах функций Записки научных семинаров ЛОМИ, том 47(1974), с. 15-54.

22. Никольский Н.К., Павлов B.C. Базисы из собственных вектороввполне неунитарных сжатий и характеристическая функция Известия АН, т. 34(1970), с. 90-133.

23. Виноградов С.А. Базисы из показательных функций и свободная интерполяция в банаховых пространствах с I/ нормой Записки научных семинаров ЛОМИ, том 65(1976), с. 17-68.

24. Хрущев C.B. Энтропийный смысл суммируемости логарифма Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 73(1977), с. 152-187.

25. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига, "Наука", Москва(1980).

26. Виноградов С.А., Хавин В.П. Свободная интерполяция в Я°° и некоторых других классах функций.П Записки научных семинаров ЛОМИ, 1976, том 56, с. 12 59.

27. C.Sundberg Values of ВМОА functions on interpolating sequences Michigan Math. Jor., v.31(1984), p. 21-30.

28. Коточигов A.M. Интерполяция аналитическими функциями Известия ТЭТУ, С-Петербург, в. 472(1994), с. 45-50.

29. Виноградов С.А. Об интерполяции степенных рядов, абсолютно сходящихся на границе круга сходимости Вестник ЛГУ, сер. матем. т.160, 2(1965), с.30-44.

30. Коточигов A.M. Интерполяция аналитическими функциями,гладкими вплоть до границы Записки научных семинаров ЛОМЙ, т.30(1972), с. 167-169.

31. Коточигов A.M. Свободная интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук, ЛГУ, Ленинград(1981).

32. Коточигов A.M. Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы Записки научных семинаров ЛОМЙ, т.56(1976), с. 186-187.

33. Коточигов A.M. Свободная интерполяция в некоторых пространствах аналитических функций, описываемых в терминах коэффициентов Фурье Проблемы математического анализа,СПбГУ, в. 15(1995), с. 139-161.

34. Carleson L. Sets of uniqueness for functions regular in the unit circle Acta Math., v. 87(1952), p.325-345.

35. Oberlin D.M. Uniform convergent Fourier series and sets of measure zero Preprint(1978).

36. С.А. Виноградов, C.B. Хрущев Свободная интерполяция в пространстве равномерно сходящихся рядов Тейлора Препринт ЛОМЙ Р-1-80(1980).

37. C.B. Кисляков Еще раз о свободной интерполяции функциями, регулярными вне предписанного множества Записки научных семеминаров ЛОМЙ, т. 107(1982), с. 71-88.

38. ДолженкЬ Е.П. Граничные свойства произвольных функций Известия АН, серия матем., т. 31, 1(1967), с. 3-15.

39. P.D. Hamke, B.S. Tomson A porosity characterization of symmetric perfect sets Classical real analysis, Contemp. Math., Amer. Math. Soc., RI, n. 42(1985), p. 81-85.

40. H. Alexander, B.A. Taylor, D.L. Williams The interpolating sets in A°° Jor. Math. Anal and Appl., v.36(1071), p. 556-566.

41. Chollet A.-M. Ensembles de zeros de functiosanalytiques dans ile disque, appartenant a une classe de Gevrey, sur le bord C.R.Acad.Sci.Paris, ser. A-B, v. 269(1969), p. 447-449.

42. Павлов B.C., Сутурин М.Г. О точности одной теоремы единственности, Записки научных семинаров ЛОМЙ, т. 30(1972), с. 170-171.

43. Королевич B.C., Погорелый Е.А. О нулях аналитических функций, принадлежащих классам Жеврея Математические Заметки, т. 15, 6(1974.), с. 857-863.

44. B.A.Taylor, D.L. Williams Boundary zero of A°° functions satisfying growth conditions Proc. Amer. Math. Soc., v.35, n.l(1972), p. 155-159.

45. Хрущев C.B. Множества единственности для классов Жеврея Записки научных семинаров ЛОМЙ, т. 56(1976), с. 163-169.

46. Дынькин Е.М., Хрущев C.B. Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы Записки научных семинаров ЛОМЙ, т. 56(1976), с. 59-72.

47. Дынькин Е.М. Гладкие функции на плоских множествах Доклады АН СССР, т. 208, 1(1973), с. 25-27.

48. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа Труды МЙАН, т. 70(1974), с. 1-270.

49. Дынькин Е.М. Множества свободной интерполяции для классов Гельдера Математический сборник, т. 109, 1(1979), с.107-128.

50. Коточигов A.M. Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 47(1974), с. 170-171,

51. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции, Москва, " Мир" (1984).

52. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений Новосибирск, "Наука"(1974).

53. M.J.Gonzalez, A. Nikolau Quasiconformal mappings preserving interpolating sequences Anals.acad.sci.Fennica, Mathematica, v. 23(1998), p. 283-290.

54. Bruna J. Les ensembles d'interpolation des AP(D)C.r. Acad .scient., t AB 290, п.1(1980), p.A25-27.

55. Коточигов A.M. Интерполяция в пространствах аналитических функций, определяемых модулем непрерывности Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып. 41(1984), с. 77-91.

56. Широков H.A. Свободная интерполяция в пространствах СД, Математический сборник, т. 117, 39(1982), с. 337-358.

57. Дынькин Е.М. Свободная интерполяция функциями с производной из Нг Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 126(1983), с. 77-87,

58. Воричева И.А., Дынькин Е.М. Об одной неклассической задаче интерполяции Алгебра и анализ, т.4, в. 5(1992), с. 45-90.

59. Шамоян Ф.А. Структура замкнутых идеалов в некоторых классах аналитических функций, аналитических в круге и гладких вплоть до границы ДАН СССР, т. 60(1975), с. 133-136.

60. Коточигов A.M., Широков H.A. Свободная интерполяция для классов Гельдера в жордановых областях Проблемы математического анализа, СПбГУ, в. 15(1995), с. 109-138.

61. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям "Мир", Москва(1969).

62. Gehring F.W. Characterizations of quasidisks University of Michigan(1992).

63. Pommerenke Ch. Boundary behavior of conformai maps Springer-Verlag, Berlin(1992).

64. Semmes S.W. Quasiconformai mapping and chord-arc curves Trans.Amer.Math.Soc., v. 306(1988), p. 233-264.

65. Лаврентьев M.A. Sur une classe de representatoins continues Математический сборник, т. 42(1953), с. 407-424.

66. Ahlfors L.V. Quasiconformai reflections Acta Math., v.109(1963), p. 291-301.

67. Белый В.й. Квазиконформные отображения и приближение аналитических функций в областях с квазиконформной границей Математический сборник, т. 102, 3(1977), с.331-361.

68. Белый В.Й., Милюков В.М. Некоторые свойства конформных и квазиконформных отображений и прямые теоремы конструктивной теории функций Известия АН, Т.38, 6(1974), с.331-361.

69. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами "Наука", Москва(1972).

70. Duren P.L. Smirnov domainsЗаписки научных семинаров ЛОМИ, т. 170(1989), с. 95-101.

71. Fisher S.D. Function theory on planar dominse (1983).

72. Лебедев Н.А. О продолжении комплексных функций Вестник ЛГУ, сер. Матем.,Мех.,Астрон., вып. 3(1963), с. 61-68.

73. Стейн Й.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций "Мир", Москва(1973).

74. Коточигов A.M., Широков Н.А. Свободная интерполяция в классах Гельдера в квазиконформных областях Проблемы математического анализа, СПбГУ, в. 16(1997), с. 145-166.

75. Широков Н.А. Конструктивное описание классов Гельдера на замкнутых, жордановых кривых Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 141(1985), с. 72-99.

76. Тамразов П.М. Гладкости и полиномиальные приближения Киев, "Наукова Думка" (1975).

77. Коточигов A.M., Широков Н.А. Интерполяция в окрестности точки острия Алгебра и анализ, том 10, в. 4(1998), с. 142-176.

78. Kotochigov A.M. Interpolation sets for the Holder spaces of function analytic in a strip Operator theory: Advances and Applications, Birkhauzer Verlag Basel,vol. 113(2000), p. 179-194.

79. Коточигов A.M. Интерполяция в обобщенной полосе Записки научных семинаров ПОМИ, т. 207(2000), с. 124-174.

80. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного "Наука", Москва(1966).

81. Duren P. Theory of Нр spaces (Pure and applied mathematics 38) New York(197Q).

82. Zinsmeister M. Representation conforme et courbes presque iipschitzieim.es Ann.Inst.Fourier (Grenoble), v. 34(1984), p. 29-44.

83. Jerison D.S., Kenig C.E. Hardy spaces, A», and singular integral in chord-arc domains Math. Scand., v. 50(1982), p. 221-247.

84. Макаров Н.Г. О размере множества особых точек на границе несмирновской области Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 170(1989), с. 176182.

85. Дынькин Е.М. Гладкость интегралов типа Коши Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 92(1979), с. 115-133.

86. Warschawski S.E. On conformal mapping of infinite strips Trans. Amer.Math.Soc., v. 51(1942), p. 280-335.

87. Лаврентьев M.A. Граничные проблемы в теории однозначных функций Математический сборник, т. 1(1936), с. 815-844.

88. Дынькин Е.М. Неаналитический принцип симметрии и конформные отображения Алгебра и анализ, т. 5, вып. 3(1993), с. 119-142.

89. John F. Rotation and strainComm.Pure.and Appl. Math, v.14, n.3(1961), p. 415-426.

90. Рещетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе Новосибирск, Наука(1982).

91. Дынькин Е.М. Оценки Аналитических функций в жордановых областях Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 73(1977), с. 70-90.

92. Дынькин Е.М. Конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева и О.В.Бесова Труды МИАН, т. 155(1981), с. 41-76.

93. Dyn'kin Е.М. The psevdoanalytic extention Journal d'analyse mathématique, v. 60(1993), p. 45-70.

94. Коточигов A.M. Интерполяция в аналитических классах классах Гельдера в окрестности точки внутреннего заострения Проблемы математического анализа, СИбГУ, вып. 17(1997), с. 90-100.

95. Коточигов А.М. Эффект повышения гладкости для аналитических фцнкций, Записки научных семинаров ПОМИ, т. 282(2001), с.1-20.

96. Широков Н.А. Идеалы и факторизация в алгебрах аналитических функций, гладких вплоть до границы Труды МИАН, том 130(1978), с. 196-222