Субгармонические функции конечного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

-9 1x3:?

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи - ГРИШИН Анатолий Филиппович

СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков - 1992

Работа выполнена в Харьковском государственном университе'

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Азарин B.C.;

доктор физико-математических наук, профессор Гольдберг A.A.;

доктор физико-математических наук, профессор Красичков И.Ф.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет.

rJ

Защита диссертации состоится " 44- шйЖ ^ 1992 г __часов на заседании специализированного с

часов на заседании специализированного совета

Д 016.27.02 в ФТИНТ АН Украины по адресу: 310164, Харьков, пр.Ленина, 47.

С диссертацией можно.ознакомиться в библиотеке ОТИНТ АН Украины. .

Автореферат разослан " £3 " 0(МЦЗрЛ^ 1992

г.

в

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

В.А.Ткаченко

л

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предмет исследования.

Субгармонические функции были введены в анализ в начале ' века Ф.Гартогсом и Ф.Риссом. В одной из первых монографий ) теории субгармонических функций И.И.Привалов 3 писал тедуидее: "После того, как теория субгармонических функций до-?аточно развилась, естественно возникает вопрос о приложении с как более общего класса функций к теории аналитических Функ-1й одного комплексного переменного. Этот новый методологиче-сий подход к проблемам теории Функций комплексного переменно-

з, в основании которого лежат свойства субгармонических функ-1й, с одной стороны, дает упрощение доказательств и объясняет ад положений, на первый взгляд, не связанных друг с другом; другой стороны, позволяет сформулировать ряд принципов в наи-элее общем виде для широкого класса субгармонических функций." дальнейшем появились монографии, посвященные различным аспек-1М теории субгармонических функций. Отметим монографии Н.С. шдкофа (1966), У.Хеймана и П.Кеннеди (1976), М.Цудзи (1959). последней подробно исследуются вопросы применения субгармони-

эских функций к теории аналитических функций.

Теорема Рисса о представлении субгармонической Лункции ут-зрждает, что во всякой области, компактно вложенной в область убгармоничности, субгармоническая функция отличается от лога-иФмического потенциала лишь на гармоническое слагаемое. Таким 5разом теорию субгармонических функций можно рассматривать как асть значительно ранее оформившейся теории потенциала. Теория отенциала является более общей теорией, так как в ней рассмат-ивавтся ядра более общие, чем в теории субгармонических функ-ий. Сближение происходит на путях развития абстрактной теории убгармонических функций, большой вклад в которую внес Ы.Брело.

Субгармонические функции естественным образом появляются теории винеровских процессов. Связь теории потенциала и тео-ии случайных процессов изложена в монографиях Г.Ханта (1957), .Б.Дынкина (1963), П.-А.Мейера (1966), Дяс.Л.Дуба (1984). .-А.Мейер во введении к своей книге отмечает, что вероятностью методы заметно улучшили понимание некоторых фундаментальных дей теории потенциала. Это касается понятий выметания, тонкос-

и, полярных множеств. Теория субгармонических функций связана

и с другими разделами математики. Так, А.Губер (1957) дает пр> ложения теории субгармонических функций к геометрии. В диссертации теория субгармонических функций развивается в направлет о котором писал И.И.Привалов.

Один из вопросов, который занимает важное место в теории субгармонических функций с момента начала развития ее, связан с изучением непрерывности субгармонической функции, функция, субгармоническая в области D , может быть разрывной в каждс точке области Т) . Широко известен классический принцип Bacv леско и Эванса, утверждающий, что субгармоническая функция, не прерывная ьа носителе ее риссовской меры, является непрерывно? всюду. А.Картан ввел топологию, которую он назвал тонкой, в кс торой все субгармонические функции непрерывны. Важные результг по тонкой топологии получили Шоке, Брело, Фугледе. Некоторые j зультаты, относящиеся к непрерывности субгармонической функцш в эвклидовой топологии, получили Арсов (1956), Содин (1984).

Наряду с изучением поведения субгармонической функции во внутренних точках, важное место занимает изучение граничного г ведения. Этому посвящена работа Литтлвуда (1929). Граничным свойствам аналитических и субгармонических функций посвящено несколько монографий, среди них книга И.И.Привалова (1941).

Субгармоническая функция не может принимать значение ■+ сх Однако в некоторых точках она может обращаться в — <ю . Таг множества имеют емкость ноль и тип • Описание множеств«

где выполняется более тонкая оценка снизу, чем неравенство 1Г (z) >-°° , труднее. Один из наиболее известных резул! татов в этой области - теорема Г.Картана об оценке многочлена снизу. Оценка снизу субгармонических функций даются в работах Альфорса (1931), Альфорса и Хейнса (1949), Хеймана (1956), Говорова (1968). Оценкам снизу гармонических и голоморфных функций в единичном круге и их применениям уделяется значительное внимание в монографии Н.К.Никольского (1974). Вопросы непрерш ности, асимптотической непрерывности и связанные с ними вопрос об оценке снизу субгармонических функций - предмет исследован! первой главы диссертации.

Изучение свойств специальных классов целых и субгармониче ских функций - другой важный аспект современных исследований. Эти исследования, находят приложения в спектральной теории one]

торов (Н.Г.Крейн, 1Л.В.Келдыш, В.А.Марченко), конструктивной теории функций (Н.И.Ахиезер), радиотехнике (Я.И.Хургин, В.П. Яковлев), теории вероятностей (Ю.В.Линник, И.В.Островский). Много применений .находит класс целых функций вполне регулярного роста в' смысле Левина-Щшюгера. Теория функций вполне регулярного роста изложена в £ • Новый подход к этой теории дает созданная В.С.Азариным теория динамических систем субгармонических функций. Н.В.Говоров построил теорию функций вполне регулярного роста, голоморфных в полуплоскости. Эта теория изложена в его монографии (1986). Л.И.Ронкин (1989) получил новые результаты в этой теории, а А.Ю.Рашковский и Л.И.Ронкин (1987)

изучили субгармонические функции вполне регулярного роста в многомерном конусе.

В теории субгармонических функций многие важнейшие результаты получаются при использовании многочисленных интегральных формул. Наиболее известная из них - формула Пуассона - Иенсена. Широко применяются формулы Неванлинны, Симидзу - Альфорса, Кар-лемана, Левина, Петренко. Две новые интегральные формулы являются основой для части результатов второй главы диссертации. Многочисленные применения имеет метод рядов Фурье в теории субгармонических функций. Таким образом, исследование интегралов от субгармонических функций - важная часть теории этих функций. Во второй главе исследуются некоторые из интегралов. В результате получаются новые формулы для индикатора и нижнего индикатора субгармонической функции. В связи с исследованием других интегралов вводятся и из"учаются различные обобщения класса функций вполне регулярного роста.

В третьей главе диссертации теория целых и субгармонических функций прилагается к исследованию одной задачи интерполяции целыми функциями. Различные вопросы интерполяции целыми функциями освещены в монографиях В.Л.Гончарова (1954), М.А.Евграфова (1954), А.О.Гельфонда (1967, третье издание), Б.Я.Левина (1956), И.И.Ибрагимова (1971), см. также обзор .

Большое влияние на исследования по интерполяции оказала известная статья Карлесона 1962 года "Интерполяция ограниченными функциями и проблема короны". Она породила многочисленную литературу. Исследования по этим вопросам отражены в книгах П.Ку-сиса и Дж.Гарнетта. Большой вклад в разработку вопросов, связанных со свободной интерполяцией в классах , Н ^ и клас_

сах гладких функций внесли ленинградские математики. О некото рых из этих исследований речь идет в обзоре С.А.Виноградова и В.П.Хавина (1974, 1976) и книге Н.К.Никольского (1980). Важные результаты по интерполяции в указанных выше классах по лучили армянские математики М.Ы.Джрбашян, Г.М.Айрапетян, В.М. Мартиросян, Ф.А.Шамоян.

В исследованиях А.Ф.Леонтьева по теории интерполяции, ре зультаты которых изложены в трех монографиях, выделен класс ц лых функций, удовлетворяющих условию:

где { - множество всех корней целой функции

# Гв) уто

ненного порядка 2.) , К/(б) - индикатор этой функции А.Ф.Леонтьев ставит следующий вопрос. Пусть $ - целая

Функция экспоненциального типа и ¡1, (в) > О . Пусть для функции £ (в) выполняется равенство (I) при 1.

Следует ли из этого, что £ (ъ) является функцией вполне р гулярного роста? А.Ф.Леонтьев дает положительный ответ на это вопрос при условии, что (2) удовлетворяет дополнительном ограничению:

С точки зрения общей теории целых функций имеет самостоятельн значение изучение класса целых функций, удовлетворяющих услов (I). Кроме того, ограничение (I) можно заменить более слабым: функция ) имеет регулярный рост на множестве своих ко ней (определение приведено в дальнейшем тексте). Это ограниче ние позволяет корням функции ^ («* ) иметь достаточно высоку кратность. Таким образом возникает задача об описании класса целых функций, имеющих регулярный рост на множестве своих кор ней.

По ассоциации с принципом Василеско и Эванса можно было ожидать, что справедливо утверждение: "Если целая функция име регулярный рост на множестве своих корней, то она есть функци

полне регулярного роста." Однако это утверждение ложно и это ричина того, что А.Ф.Леонтьев налагает дополнительное ограни-ение > 0 при J) ,

В диссертации доказано, что функция, имеющая регулярный ост на множестве своих корней, является делителем в кольце це-ых функций некоторой целой функции вполне регулярного роста, ричем индикаторы делимого и делителя совпадают. Этого утверж-ения оказалось достаточно для исследования рассматриваемой в иссертации интерполяционной задачи. Однако, полное описание ласса функций, регулярно растущих на множестве своих корней, эка неизвестно, как неизвестен и ответ на вопрос А.Ф.Леонтье-а. Для всех известных целых функций, регулярно растущих на мно-эстве своих корней,_ предельное множество Азарина состоит из /нкций вида , где К/(в) - некоторая

ригонометрически J) -выпуклая функция, зависящая от выбора (/ . Это позволяет высказать гипотезу.

Гипотеза. Если -f (z) есть целая функция, имеющая регуляр-з'й рост на множестве своих корней, то любая функция из

эедельного по Азарину множества для функции -f(z) имеет вид

В.С.Азарин, В.Б.Гинер, Р.Л.Подошев показали, что из спра-эдливости этой гипотезы следует утвердительный ответ на вопрос .Ф.Леонтьева.

Цель работы. Исследование непрерывности субгармонической /нкции в индивидуальной точке Z. 0 , лежащей или в области ^гармоничности, или на прямолинейном участке границы. Иссле-эвание асимптотической непрерывности функций конечного порядка, /бгармонических во всей плоскости и в полуплоскости. Исследова-ie интегралов от субгармонических функций,- вывод новых формул ш индикатора и нижнего индикатора. Исследование различных обоб-;ний класса функций вполне регулярного роста. Исследование за-1чи свободной интерполяции в классе целых функций

Методы исследования. Применяются методы классического ана-:за, некоторые методы комбинаторной геометрии, различные мето-i теории целых и субгармонических функций. В частности, исполь-чэтся теоремы о представлении субгармонических функций, инте->альные формулы для субгармонических функций, используется тон-ш топология.

Научная новизна. Для широкого класса субгармонических в функций введено понятие полной меры. Полная мера определяет функцию из такого класса с точностью до мнимой части це лой вещественной функции. С помощью полной меры дается удобное и компактное представление субгармонических в <С+ функций конечного порядка. Предложен новый метод выделения исключителг ных множеств, приспособленный к изучению асимптотического поведения в окрестности бесконечности субгармонических в плоско( ти и полуплоскости функций. Получены критерии непрерывности су гармонической функции в точке Но , когда лежит в оС

ласти субгармоничности или на прямолинейном участке границы. Для субгармонической функции конечного порядка построены разл! ные исключительные множества Р , вне которых получается х( рошая оценка функции

Су

Найдены достаточные условия на риссовскуг меру функции

) > субгармонической в С , для того, чтобы множество покрывалось системой кругов

а) нулевой линейной плотности,

б) видимых из начала координат под конечным углом,

в) с конечной суммой радиусов,

и, одновременно, чтобы выполнялось соотношение

чГ(г} Ь) о при н? е Р. (2

Эти результаты приводят к некоторому дополнению теории Левина и Пфлюгера.

Для случая полуплоскости доказан критерий существования множества Р такого, чтобы оно, во-первых, покрывалось сис темой кругов нулевой линейной плотности и, во-вторых, чтобы в поднялось соотношение (2).

Получены новые формулы для индикатора и .нижнего индикато субгармонической функции, выраженные в терминах интегралов от нее. Из этих формул следует критерий полной регулярности рост на фиксированном, луче. . .

Введены понятия р - индикатора Н ($ / и нижнего £ индикатора Н р Для целой функции • Функции

Нр (о) и обладают двумя свойствами. Во-первых,

выполняются неравенства Hj,(&) Í К(&) и Н^/0) /ь (&} ,

где Ш и - индикатор и нижний индикатор функции

^ . Во-вторых, функции Hj) (8) и üjj (&) относи-

тельно просто выражаются через корни функции . Все это

вместе дает точную оценку снизу для (ь (&) и точную оценку сверху для (9) . Эти оценки превращаются в равенства, если луч CUUfZ - б является лучом вполне регулярного роста.

Введены и изучены классы функций J3 -регулярного роста и более узкий класс функций слабо регулярного роста, который содержит класс функций вполне регулярного роста. Получена система неравенств для корней функции f (ъ) , имеющей заданный индикатор. Произвольная ограниченная тригонометрически J3 -выпуклая функция порождает такое неравенство. Из этих неравенств зледует новая теорема единственности для целых функций с инди-сатором, не превосходящим заданный.

Доказана теорема, утверждающая, грубо говоря, что если W(z) '.сть положительная функция, представимая в виде разности субгар-юнических, то ограничение риссовской меры этой функции на мно-;ество, где она обращается в ноль, есть положительная мера.

Введен класс функций, регулярно растущих на множестве своих орней. Доказано, что если целая функция с индикатором h>(&) егулярно растет на множестве своих корней, то она является де-ителем в кольце целых функций целой функции' вполне регулярного оста с индикатором h>(Q)

Получено полное решение задачи свободной интерполяции с ростыми узлами интерполяции в классе целых функций

Практическая и теоретическая ценность". Работа носит теоре-тоеский характер. Полученные результаты могут быть использова->i при развитии теории целых и мероморфных функций в различите травлениях. Автор считает, что таким результатом, в частности, зляется следующее представление для функций, субгармонических полуплоскости и удовлетворяющих условию lF(z) 4 HZ^^}

f4e* Тпь гА,

jijo «=■»

е Р= есггг. , Р= £>Л . Pt-lMazlPS) , ¿ -

полная мера Функции ^С?) (здесь предполагается, «то она не нагружает некоторой окрестности нуля). Ядро представления определяется Формулами:

«рМ

при

Ьы>0 , с1<ЮЧ>> 0 и продолжается по непрерывности по переменной £ на вещественную ось. Многие авторы, в частности, Неванлинна, Хейман, Говоров, Ито при изучении голо-, морфнух, мероморфных, субгармонических функций в полуплоскости пользовались аналогичными формулами. Однако, в одних случаях эти формулы получались при других ограничениях на функцию ) , в других - выглядели более сложно.

Некоторые результаты диссертации использовались в исследованиях других авторов, другие явились исходным пунктом для дальнейших исследований. Так, М.Л.Содин (1984) нашел для функций, субгармонических в (С , критерий существования множества Р, такого, что оно покрывается системой кругов нулевой линейной плотности и, кроме того, выполняется равенство (2). М.Л.Содин (1985) также изучил асимптотический модуль непрерывности субгармонической Функции и ее частных производных. Б.Н.Хабибуллин (1991) получил новые неравенства для корней целой функции с заданным индикатором. Одна из теорем, представляющая интерес для общей теории субгармонических функций, в дальнейшем тексте именуемая теоремой 18, использовалась в работах Еременко и Содина (1990, 1990). В последнее время Фугледе (1991) доказал усилении'/ вариант этой теоремы и нашел его применение.

Полученное в диссертации решение задачи свободной интерполяции в классе целых функций позволяет приступить к резению аналогичной задачи, для соответствующего класса функций, голоморфных в полуплоскости.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались н; У1 и Ш конференциях "Некоторые проблемы комплексного анализа" (Черноголовка, 1983, 1987 годы), на республиканской конференци по теории целых и субгармонических функций, Харьков, 1990 г., на семинаре во Львове (руководитель А.А.Гольдберг), Ростове

руководитель Ю.Ф.Коробейник), Санкт-Петербурге (руководитель .П.Хавин), Уфе (руководитель В.В.Напалков), Харькове (руко-одитель Б.Я.Левин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в аботах С 5 - 12] , список которых приведен в конце авторефе-ата. Одна работа написана в соавторстве с М.Л.Содиным. Неко-орке из результатов приведены в книге и обзоре .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и рех глав. Общий объем диссертации 434 страницы. Библиография эдержит 138 названий.

Содержание работы. Вначале отметим, что теоремы из дис-эртации, на которые мы будем ссылаться, но не формулировать элностью, будут иметь двойную нумерацию, например, теорема 3.2-эорема 3 из главы 2. Теоремы, которые доказаны в диссертации, которые мы будем формулировать в автореферате, будут снабже->! последовательными номерами - теорема I, теорема 2 и так да-зе. Буквой М будем обозначать константы, не обязательно одни те же. Введем необходимые определения и обозначения.

Абсолютно непрерывная Функция ^(х)^ Ъ € > называ-

йся уточненным порядком (в смысле Валирона), если выполняются ;ловия:

1СТО рассматривается случай, когда - положительное число, гогда нам удобно будет предполагать, что ^р - произвольное щественное число. Функцию мы будем обозначать

Уточненный порядок ^(х] называется Формальны/ порядком ■нкции , субгармонической во всей плоскости (£ (верх-

!Й полуплоскости )> если существует такая константаМ ,

о выполняется неравенство

мv(z)y 0 е[о, *3<73 (&е(о,Я)).

Уточненный порядок ^(т ) назътвается полуформальным по-дком субгармонической в С+ функции 'ТГ('В) , если ^(ъ) -рмальный порядок этой функции и существуют числа ^ _9С ^

£ (С^ У) , М такие, что в каждой области (/? = < £ ; $«№<12 <&-<>} найдется точка 2 такая,

что

Через £р (^(ъ)) обозначаем класс субгармонических в (Г+ Функций, для которых ^ (Ъ ) является формальным порядком. / / \ Через

обозначаем класс субгармонических в С + функций, для которых ^(ъ) является полуформальным порядком .

Через 5 К обозначаем класс субгармонических в !£^ функций, для которых в каждой ограниченной области "О <- существует положительная гармоническая мажоранта. Имеют место соотношения

5НР ^^сБР^^^БК.

Известно, что если Р > * , то классы 5НР (.•РО1)') совпадают.

Для функций V £ § К вводится понятие полной меры. Пусть 45 € ЭК > - ее риссовская мера. Функция

п5(ь) - Шь

называется граничными значениями функции

. Таким образом функции из класса Э К можно считать определенными в замкнутой полуплоскости От* 2 У/ О .По теореме 39.1 функция

(Ь) интегрируема по Лебегу на каждом сегменте .

Кроме того, для почти всех Ои к Ь существует предел

Указанное равенство определяет меру V на /Я- . Мера V на-зквается граничной мерой функции $) . Имеет место равенство о6г>(£)= +

где <У - сингулярная мера на К. которая назьвается сингулярной граничной мерой функции 1У (Ъ) . Мера ^ , определяемая по формуле

называется полной мерой субгармонической функции (ъ) . Нам удобно считать, что мера ^ • - это мера в плоскости С

эра ^ обладает такими свойствами.

1) Мера ^ конечна на каждом компакте.

2) Ограничение меры на полуплоскость ц. _ есть елевая мера.

3) Ограничение меры Л на полуплоскость ч- ^ есть по-эжительная мера.

Сама же мера Л в общем случае есть знакопеременная зра. Ее жорданова составляющая ¿X _ сосредоточена4 на (Я/ и 1вна

[а - положительная жорданова компонента мерк б"' ,

о).

Теорема 40.1 утверждает, что равенство

тГьЫ-ЪЫЬЪьзЫ^е <С4,

;е ) - целая вещественная функция, есть необходимое и ютаточное условие равенства полных мер функций тУ^ (ъ) и Г„ (Ъ) . Теорема 46.1 утверждает, что для функций Г (2) € ЪР^Ь)) сингулярная граничная мера отрицательная, что справедливы формулы

ичем для справедливости второй формулы_ необходимо дополнитель-е предположение о сходимости в нуле написанного интеграла.

Символами ) , 0>(Ъ)61,) обозначаем, соответ-

венно, открытый и замкнутый круг с центром в точке 2 радиусом СЪ .

Уточненный порядок называется формальным порядком

ры ^ , если существует константа М такая, что

+ + - полная

риация меры ^

Пусть - положительная мера формального порядка

Функцию

мы называем функцией концентрации меры ^ .

В параграфе 1.3 главы I описываются выделение, и оценка исключительного множества для положительной меры. Исключительное-множество определяется двумя строго возрастающими непрерывными Функциями А(ъ) , ге[о^о<>) , а(о)=1 , ¿е[о,{], Ф)=0 .Обычно Л(г)= \/(ч.) ,

ГДе ^ - формальный порядок меры уЛ> . Однако рассматриваются и другие функции Д (Ъ ) .

Исключительным множеством для положительной меры ¿¿о , определяемым функциями А(ъ) и

, называется множество Ъ £ (С 4 {0 } , для которых существует Л В (о, -/Д тако>

что

^ (в об г}) 7/ У(*)А(ъ). (3)

Для каждой точки £ € Г существует максимальное из чисел

е ( О, > Лля которых выполняется неравенство (3). Это

"исло обозначается • Если «Л. < { , то вьшолняется ра-

венство

С множеством р ньт связываем открытое множество & ,

&= -и сы.^г).

Пусть Сг - (] ОI есть разложение множества 0- на свя:

ны? компоненты. Допустим, что каждая компонента & ¿ ограни' на и есть система кругов , где С($1 /¿¿)

круг наименьшего радиуса, содержащий компоненту & £ • Т^огда система кругов ^ покрывает множество р

Для произвольной система ^ кругов С ) верхн

линейной плотностью системы называется величина

Ш = и i Е Ii

" IftKR

ожество F назьшается С0 - множеством, если существу-система кругов \jL , покрывающая F , такая, что *№)=<> .

Основные результаты главы I содержатся в следующих теоре-

х.

Теорема I. Пусть iTfe) субгармоническая в С функция рмальиого порядка J>(z) • Тогда существует константа М^ кая, что если выделение исключительного множества F произ-цить с помощью функций V(t>) , -^pok »

^ (fy If 3 , то множество F покрывается системой кругов ; такой, что t*(¡А) ^ £ и справедливы неравенства

Л

Кг,к)1ч< М $ (4+ ъ}ъ*ШГ7

\\Ь.\ г ёр.

Теорема 2. Пусть "ЕГ^Н ) субгармоническая во всей плоскости геция формального порядка ^р (%) • Пусть функция концентра-1 Ф(с^) ее риссовской меры удовлетворяет условию 4

(4)

О

вогнутая мажоранта функции , также

)влетворягацая условию (4) (такая мажоранта всегда существует). :ть р - исключительное множество для мёры у// , построен? с помощью функций А (ч*) = V(Ъ) , 1р(<£)-

/0/£, (М^ э % Ш) со специально выб-

гной константой - Тогда Я есть С ^ - множество и

)аведливо неравенство

Теорема 3. Пусть - субгармоническая во всей плос

кости функция формального порядка ^р(ъ) , ^^ - ее рис-совская мера. Пусть существуют возрастающая функция удовлетворяющая условию (4), и функция такие, что

уь(е.Ь,*гр(<ри)+е(г))ч(г), ге С.

Тогда, если для каждого С > О сходится интеграл ^__£_

? -щ.т

то существует множество Р ,

нат под конечным углом

(то есть £ ОЯ-С <<*>)

С 'д"

1

покрываемое системой кругов , видимых из начала коорд!

нат под конечным углом

йс , I

и такое, что

при г) аЬг е Г.

/1

Если для каждого £ > О сходится интеграл

Т. ¿еЬ <ла

}ге чеь) < .......<■

то существует множество /" , покрываемое системой кругов конечной суммой радиусов, и такое, что

при £ £

+ Аге Р.

к* о '

Замечание. Из условия £ (г) -¿П* Ы,Ъ = О

следует условие (5), из условия следует условие (6).

Теорема 4. Пусть гГ(н)в . /6 - рис-

совская мера

Для того, чтобы существовало С^ - множество Р такое, что

при е С+ 4 Р (?)

к.-»о

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие четыре условия.

1) Существует множество с Д?, линейной плотности ноль такое, что

при

к* О

2) Мера - б" имеет минимальный тип относительно уточненного порядка ^р (ъ) 4

3) Для любого измеримого множества Е с ^ линейкой плотности ноль мера ^) ~ ({:) (Л имеет

минимальный тип относительно уточненного порядка Р У

4) /Л £) Г5 0 при бе 5С) , где

. Субгармоническая в I. функция

Щг)

с индикатором

1ъ(б") называется функцией вполне регулярного роста в смысле Б.Я.Левина - А.Пфлюгера, если существует С0 - множество Р такое, что

тг/ге*), Ш-*п при гс^9 ё (*') у/(г)

- IS -

Из теоремы 3 следует такое дополнение к теории Левина - Пфлю-гера.

Теорема 5. Пусть if (i) - функция вполне регулярного роста. Пусть существуют возрастающая функция ¥(<£) , удовлетворяющая условию (4), и функция (l-*00) такие, что выполняется одно из неравенств

jx (ь (г/г)) i (Щ + ^ <м

Тогда, если выполняется неравенство (8), то существует множество F , покрываемое системой кругов, видимых из начала координат под конечным углом, и такое, что выполняется соотношение (7^. Если выполняется неравенство (9), то существует множество F , покрываемое системой кругов с конечной суммой радиусов и такое, что выполняется соотношение (7).

Перейдем к изложению результатов главы П. Главный результат первой части этой главы составляет следующая теорема. Теорема б. Пусть €(г) £ S F (ffr)) } 6 e(OjSC) £ - произвольное вещественное число,

(ш]г i» Vl i

Пусть

ф) и к (в)

- индикатор и нижний индикатор функции 15'(г) . Тогда"

I) существуют пределы

's ^о -s «£■»*о ^

2) выполняются равенства

3) если Н е (-<*;<*>) П[Ь (вЬ

(ш)г

1-ЪсО

то

(¡ж

1Ь теоремы б- следует следующий критерий полной регулярности на луче 0ЛЛ~£ = В

Теорема 7. Пусть ^Ь) С $>Р > .

Для того, чтобы функция 'У (2) была Функцией вполне регулярного роста на луче ОЯ/^ 2 = & , необходимо и достаточно, "тоби существовал предел

Зал)енив область интегрирования на луч , можно

получить аналогичный критерий для случая с/ > ^ . Теорема 7 при дополнительном предположении, ито Н/@\~ —4-— к {&)

была доказана Б.Я.Левиным l_IJ . В главе II приводятся два обобщения теоремы 7 путем замень: субгармонической функции

ТУ(-6 на вещественную функцию- при нччото-

- рых ограничениях на функцию (X ) , которые заменяют свойство субгармоничности.

Переходим ко второй половине главы П. Пусть £ (%) - целая функция формального порядка ^ ,

1 г "

В стандартной ситуации величина IJ )| возрастает,

как ¡21 , а в общем случае ее рост не превышает Поэтому естественно ввести величины

которые мы называем ^ -индикатором и нижним ^р -индика"- эм целой функции (?) • Ыце Валирон (1931) заметил, что Н есть тригонометр:шески ^ -выпуклая функция. Пусть С&4* есть - периодическое продолжение функции СО$ ^р & С сегмента $ÍJ $CJ . Пусть уСС - риссовская мера фикции

/ % | > т.е. мера, сосредоточенная на последовательности 2.^, корней функции $ (ъ) , причем ^ > где К - кратность корня . Введем меру и,^ по формуле "

= ст*$ (ол^ь- в.

При > мера ^¿¿^ , вообще говоря, знакопеременная.

Справедлива следующая теорема, являющаяся источником остальных результатов- главы II.

Теорема 8. Пусть - целая функция формального порядка

£ . Тогда справедливо следующее равенство ( ¿> - нецелое)

(Ю)

Из теоремы 8 непосредственно следует такое утверждение. Теорема 9. Пусть /(2) целая функция формального порядка р , £ - нецелое. Тогда справедливы следующие равенства

Формулы, аналогичные формулам (10), (II), (12), но юнеющие более сложный вид, приведены в диссертации и для случая целого £

Формулы (10), (II) показывают, что ^Э - индикатор и нижний ^р - индикатор, в отличие от индикатора и нижнего индикатора весьма просто выражаются через корни функции / (?) . Эти формулы вместе с неравенствами Н^ (в)4 К(9) ,

дают точную оценку снизу индикатора ш и точную оценку сверху нижнего индикатора к. (б) . Отметим, что соответствующие неравенства превращаются в равенства, если луч ОКА - б есть луч вполне регулярного роста для функции . Отметим также, что оценками индикатора и нижнего индикатора, через меры, порожденные корями функции £ (ъ) , занимались многие математики. Мы укажем лишь на цикл работ А.А. Гольдберга (1962-1965).

Если функция (г ) является функцией вполне регулярного роста на луче =6" > то существует предел

и выполняется равенство

. Однако, аналог

теоремы 7 для случая. не имеет места. Из существова-

ния предела (13) не следует, что функция (Н ) является функцией вполне регулярного роста на луче вЛЦ Ъ ~ & Следовательно, имеет смысл следующее определение.

Целая функция формального порядка называется функ-

цией ^ - регулярного роста на луче ОН*? - & > если существует предел / ' ч

J(1tLв)

Из ^ -регулярности роста не вытекает равенство Н^(в) = 1ь(в) ■ Поэтому вводится еще о,дно определение.

Целая Функция формального порядка р называется функцией слабо регулярного роста на луче 0/1/^2 = & , если она является функцией ^р - регулярного роста на этом луче и выполняется равенство Нр = N4®/

Множество корней целой функции называется -

правильно распределенные з случае нецелого £ , если существует нэ более, чем счетное множество © такое, что при 1) & ё © существует предел

где ("ЬО) - число корней функции в секторе

4 в) -В случае целого ^

дополнительно требуется, чтобы существовал предел

Л. ~\7Г)

м \гп\т Ч

где - множество корней Функции £(г) без учета нуля.

Теорема 10. Для того, чтобы целая функция формаль-

ного порядка р была функцией р -регулярного роста во всей плоскости ({Г , необходимо и достаточно, чтобы множество ее корней било ^р - правильно распределено.

Теорема II. Для того, чтобы целая функция г (2 ) была Функцией слабо регулярного роста на луче ~ & > не-

обходимо и достаточно, чтобы для любого Д> О множество

Е--{г: иНСы^НШ-АН*}

имело логарифмическую плотность ноль, т.е., чтобы выполнялось равенство „

Л-

Ч-ъ^о Л

Класс функций р -регулярного роста значительно более :ирокий, чем класс функций вполне регулярного роста. В частнос-и, этот класс содержит целке функции, предельное множество .зарина которых является периодическим £4] .

Пусть К ('У) - произвольная ограниченная £%' - перио-щческая тригонометрически р -выпуклая функция, ^Сг} - це-!ая функция формального порядка р , ^ - риссовская мера функции Ьп, | (г)| ,

с/ДЙ = к(<Ш]<ь)с{уС1ф,).

Теорема 12. Пусть (?) - целая функция формального порядка ^ '^>0 , 1ь (в) - ее индикатор, К (***) - ограниченная - периодическая тригонометрически -выпуклая функция, - мера на единичной окружности, порожденная функ-дией • у

к1 (у-о) + / $

Гогда справедливо неравенство

В силу произвольности функции К , эта теорема дает целую систему ограничений на корни функции $ при условии, если известен индикатор зтоП функции. Из этой теоремы следует теорема единственности для целых функций с индикатором, не превышающий заданный. Первые утверждения такого рода были установлены в классических теоремах Ф.Карлсона,..Т.Карлемана,. Р.НеЕан-линны. Дальнейшие теоремы были получены Б.Я.Левиным

[I, глЛУ,

5 2,3^] . Случай положительных корней и р — 4 был с достаточной -полнотой разобран в работах В.Фукса, Ж.П.Кахана, П.Маявзна и Л.Рубела. Эти теоремы находят применения в вопросах полноты систем аналитических функций, в аналитическом продолжении степенных рядов, во многих других вопросах анализа.

Теорема 13. Пусть ^ {ъ ) - целая функция формального порядка р , р> О , ) - ее индикатор, О ,

где А- {гп П = , - 25Г- перисди-

ческая ограниченная тригонометрически - выпуклая функция. Пусть к> (в) . Пусть К , К} О , - произволь-

ная ' - периодическая ограниченная тригонометрически -выпуклая функция, К5) (5) , где

^ - считающая функция множества А . Пусть 5 - мера на единичной окружности, построенная по функции способом

указаннызл в теореме 12. Тогда, если

Ч^ЮО 4 t ^ ° о

то Нг)= 0 .

Остановимся теперь на результатах главы Ш. Введем вначале необходимые определения. Пусть ^ (&) - уточненный порядок, Е - счетное множество, уЧ^ - считающая функция множест-

ва Е , т.е. ¿Мгр (Ь) равно количеству точек в множестве £ П "О ■ Пусть Ь (6 (о^))^ М V (Ъ) . Обозначим

Пусть — и & . функцией плотности множества В

0 геК . л

относительно уточненного порядка 0(4,) назьшается функция

йпь Х- (Кд.). Е (Г-* о ь '

Функция (Л¡г (К) - зто аналог верхней угловой плотности • Имеет место равенство

Пусть - целая функция с индикатором от-

носительно уточненного порядка . Множество Е назы-

вается множеством регулярного роста для функции •р'С?) , если существует отображение Т , определенное на множестве Е , и обладающее свойствами

2£'Т(Е)

Введенное определение позволяет говорить о функциях, регулярно растущих на множестве своих корней.

Третья глава посвящена изучению одной задали по интерполяции целыми функциями. Вопросами, близкими к .исследованию автора, ранее занимались Б.Я.Левин, А.ф.Леонтьев, О.С.Фирсакова, А.М.Руссаковский, А.В.Братищев, К.Г.Малютин. Так, А.5.Леонтьев впервые поставил задачу о свободном интерполяции в заданном классе и решил ее для классов [J,Jo0) , [«Р.)00] • Рас_ сматриваем задачу свободной интерполяции в классе [уР('1)} к(6)3 , т.е. в классе таких целых функций, чей индикатор относительно уточненного порядка не превышает . В предыду-

щих работах по задаче свободной интерполяции в классе

к [9)2 дополнительно предполагалось, что узлы интерполяции таковы, что существует целая функция с индикатором Ь/(б) , обращающаяся в ноль в узлах интерполяции. Основной результат наших исследований состоит в том, что указанное условие является необходимым условием разрешимости задачи свободной интерполяции в классе Гр (1)^ к

Теорема 14. Пусть-! Е= = ?„е1в* , последовательность комплексных чисел с единственной точкой сгущения на бесконечности, ) - уточненный порядок,

> О , - ЯЗГ- периодическая огра-

ниченная тригонометрически ^ - выпуклая функция,

Ъ • Тогда следующие утверждения эквивалентны,

а) Для любой последовательности ^^ , удовлетворяющей условию

существует ^(й) € такая, что •

б) Для любой последовательности , удовлетворяющей условию (14), существует целая функция -f-(t) вполне регулярного роста с индикатором \ь(в) и такая, что ■£(&»,,}= 4>п,

в) Существует целая функция с индикатором , обращающаяся в ноль в каждой точке ft-^ и такая, что

г) Существует целая функция ffz) вполне регулярного роста с индикатором К/ (б) , которая обращается в ноль в каждой точке множества В и такая, что если - множе-стзо всех корней функции ^(е) , то '

д) I) (И) ^f/^ü (^У для Jm^oro компакта К ,

Гр,е J^H ~ Риссовская меРа ФУ"КЧИИ

К (г) ,

2> Uno sup

Импликацию Ъ Ob ранее доказала О.С.Фирсакова, А.&.Руссаковский, § Малютин. Новыми являются импликации , Э=т> 2, .

Имеется аналогия между сформулированной теоремой о теоремой о разрешимости задачи свободной интерполяции в классе в круге. Неравенство J&h есть аналог Ус~

ловия, что мера,порождаемая узлами интерполяции, есть карлесонов мера, а условие.2 из пункта д) есть аналог требования несгущае-' мости

-гА1 6

при /Ъ + К.

Отметим еще, что задача свободной интерполяции в классе

огрзиичений на кратность узлов интерполяции была позднее решена в совместной работе А.М.Рус.саков-ского и автора (1985).

Приведем еще некоторые результаты из главы Ш. Следующая теорема - это вариант теоремы В.Бернштейна о существовании йунлции с заданный индикатором.

Теорема 15. Пусть ^(ъ) - уточненный порядок, = ¿¿т^р(ъ) > 0 '(*,(&) - периодическая огра-

ниченная тригонометрически р - выпуклая функция, Ъ^ ¡Ь ' ¡/^Н ~ Риссопская мера функции Н {ъ) .

Пусть £ - счетное множество такое, что

для любого компакта К . Тогда существует целая функция ) вполне регулярного роста относительно уточненного порядка с индикатором

к (в) , которая обращается в ноль в каждой точке множества £ , причем выполняются следующие дополнительные условия. 1 1

1) Пусть £ > ($ - произвольное, удовлетворяющее написанному неравенств, а функция зависит от в»--бора^)' ч), а = * И^К - ■ множество корней функции , не принадлежащих множеству

Е • Тогда круги С не пересекаются меж-

ду собой и не пересекают множество £

2) Существует число (/, > О такое, что

В случае, когда Е - пустое множество, такого рода утверждения были получены в более ранних работах В.Бернштейна, Б.Я.Левина, В.Н.Логвиненко, А.Ф.Леонтьева. Значительно более сильное утверждение в этом случае можно получить из работы Р.С.Юлмухаметова (1984).

Вопросы о существовании целых функций, для которых выполняется условие

вне "малых" множеств, рассматривали в своих работах Б.Я.Левин (1961), Б.Я.Левин и Ю.И.Любарский (1975), Ю.И.Любарский и Ы.Л. Содин (1986).

Случай, когда ^р - целое, а множество £ имеет угловую плотность, рассматривал Г.Л.Лунц (1970).

В главе Ш изучается класс функций, регулярно растущих на множестве своих корней. Этот класс естественно возникает при рассмотрении задачи свободной интерполяции в классе [Р(г), к(®0 Как легко усмотреть из формулы Коши для производной голоморфной функции, если целая функция удовлетворяет равенству (I), то она регулярно растет на множестве своих корней. Обратное утверждение неверно. Однако, можно доказать, что если функция |(г) регулярно растет на множестве своих корней, то существуют Функция (?) , для которой выполняется равенство (I), и С0 -множество Я такие, что

^ [и 1ШI- и ¡1 при * ё р.

Ыы приведем две теоремы, относящиеся к описанию класса функций, регулярно растущих на множестве своих корней. Как мы уже отмечали, полное описание этого класса пока неизвестно.

Теорема 16. Пусть | (г) - целая функция с индикатором Я (в) относительно уточненного порядка ^(ъ ) , регулярно растущая на множестве своих корней. Тогда функция (ъ ) является делителем в кольце целых функций некоторой целой функции вполне регулярного роста относительно уточненного порядка рС*-} с индикатором К/(0)

Теорема 17. Пусть - целая функция с индикатором

относительно уточненного порядка ^р СО , регулярно растущая на множестве своих корней. Пусть. Ь.Мъ*'

'У (2) - субгармоническая функция из предельного множества Аз! рина целой функции , АЛ, - риссовская мера Функции

-Тогда €(2)=Н(г) при не .

Отметим, что для любой целой функции выполняется неравен-

ство

Технической основой результатов третьей главы служит следующая теорема, представляющая, как нам кажется, интерес для общей теории субгармонических функций.

Теорема 18. Пусть 1С и 1Г ('г ) - субгармонические функции, (¿[г)- 1У(го - пусть № .

1 ъ-**0 О

Пусть - риссовская мера функции

У (г)

. Тогда^^ -

ограничение меры ии на множество В- - является положительной мерой.

Эта теорема является усилением одного результата Валле-Пусена (1938), см.также Брело (1950 - 1951). Теорема 18 усилена ^ недавней работе Фугледе (1991).

Цитированная литература

I. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. ГШТЛ, Москва,

1956 , 632. . . п 0 1-

2. Ыиь 8.^. Ы&игиЬсет, о? глло*> о{ -гиочь

¡Ш1&Ь1071Л. (ил/сщЬ ^Иогь, Атм^сби^ Д&ИириЖьсА^ ЪвсьвЬ^ ^ Ргоуоскльег,,

^МмьЖ,523.

3. Привалов "И.И. Субгармонические функции. ГРТТЛ, Москва, Ленинград, 1937, 199.

4. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, том 85. ВИНИТИ, Москва, 1991, 256.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

5. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1968, 6, С.3-29.

6. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1968, 7, С.59-84.

7. Гришин А.Ф. 0 регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1969, 8, С.126-135.

8. Гришин А.Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1983, 40, С.36-47.

9. Гришин А.Ф. 0 множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1984, 41, С.39-55.

10. Гришин А.Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1984, 42, С.37-43.

11. Гришин А.Ф., Содин М.Л. Рост по лучу, распределение корней по аргументам целой функции конечного порядка и одна теорема единственности // Теория функций, функциональный•анализ и их приложения. Харьков, 1988, 50, С.47-61.

12. Гришин А.Ф. Функции первого порядка, субгармонические в полуплоскости и одна тауберова теорема // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1990, 53, С.87-94.