Теоремы сравнения и однородности для субгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

§ I Предварительные сведения и специальные обозначения . ^

§ 2 Теоремы сравнения для субгармонических функций без предположений о "близости" ассоциированных мер

§ 3 Теоремы сравнения для субгармонических функций

§ 4 Теоремы однородности для субгармонических функций ^.

§ 5 Применение теорем сравнения, к субгармоническим функциям

§ б Применение теорем сравнения к целым функциям

Вопросы асимптотического поведения субгармонических функций и лагорифма модуля аналитических функций а также их разностей занимают одно из центральных мест в общей теории субгармонических и аналитических функций. Важной частью этой проблемы является получение оценок разности субгармонических функций IC-hf-U^ при известном поведении соответствующих ассоциированных мер. Поскольку добавка гармонического слагаемого к функции 1С не меняет ассоциированной меры, исследование поведения К» в данной постановке возможно только с точностью до гармонического слагаемого. Кроме того, оценки могут быть получены только вне некоторого исключительного множества, так как функция ^ может принимать бесконечные значения в некоторых точках своей области оп-эеделения.

В работе в основном рассматриваются функции ЬС U4~ ТА ^, пде Uj и субгармонические на всем hi -мерном евклидовом пространстве W ^ Z) . Поведение функции ручается главным образом в терминах ассоциированных мер J^-4^2 1редставление о важности этой тематики может дать перечень авторов, к ней причастных: Ж.Адамар, А.Картан, У.Хейман, Б.Я.Левин, иПфлюгер и многие другие (см., например, [i-IO] ). Однако,в юречисленных выше и других работах рассматриваются не все воз-южные ситуации, в частности, либо не полностью учитывается 'близость" ассоциированных мер ju,{ и ум^ } либо делаются допол-[ительные предположения об их "близости" (см.

I] , [6-81 , [Ю] ).

Наша работа посвящена изучению влияния "близости" распределе-шй масс Jji{ и yu.^ субгармонических функций bti и Uz на :ходство их асимптотического поведения и связанных с этим задач, [олученные результаты могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория рядов Дирихле, теория аппроксимации, задача спектрального анализа и синтеза, в мультипликативной теории функций и могут представлять интерес для специалистов в указанных областях, работающих в Харькове, Ленинграде, Ростове, Москве, Львове, Уфе.

Содержание диссертации изложено в шести параграфах.

В первом параграфе приведены обозначения и классические результаты, которые в последующих параграфах используются без пояснений.

Второй параграф содержит результаты, касающиеся оценок разностей субгармонических функций в терминах ассоциированных мер без каких-либо предположений о их "близости".

Результаты этого параграфа (теоремы 2.1, 2.2) носят. иллюстративный характер. Они предназначены для того, чтобы показать, насколько улучшаются оценки разности субгармонических функций, когда есть дополнительная информация о "близости" их ассоциированных мер (см. §3). Из теорем 2.1 и 2.2 следуют оценки снизу для субгармонических функций в терминах ассоциированных мер.

В дальнейшем мы используем оценки снизу в терминах максимума на сфере (окружности), которые приводятся в виде теорем 2.3 и 2.4 в конце параграфа.

Оценками разностей и оценками снизу занимались многие авторы (см. fl-б] , [~12-13] ). Наши оценки отличаются от известных более полным описанием исключительных множеств. Для описания исключительных множеств используются две леммы о, так называемых, нормальных точках, которые используются на протяжении всей диссертации. Метод доказательства лемм и метод их использования является модификацией метода £ -нормальных точек Хеймана (см. [23], [9-Ю] , [6-8] ), восходящего к известной лемме А.Картана об оценке многочлена снизу (см. [ij ).

Основные результаты диссертации, касающиеся сравнения субгармонических функций на плоскости и в пространстве по их ассоциированы^ мерам, изложены в третьем параграфе.

В случае целых функций ^ и ^ на комплексной плоскости € "близость" ассоциированных мер субгармонических функций | и -Cn\{z\ может быть интерпретирована как "близость" нулей функций ^ и ^ • Другими словами, это означает, что нули функции fz могут быть получены малыми сдвигами нулей функции ^

Следуя [9] , с/ -мерой Карлесона ограниченного множества G- в (К ^ ) будем называть величину r . , — o(+rvi-Z ot-tnjz* Gr — l/lf 2 tL , где берется по шарам радиуса t; , покрывающим множество Сг (см. TI4J ).

Для множества S ^ IR , возможно неограниченного, через Ь- будем обозначать пересечение £ ПЮ^М^ где г) - замкнутый шар в /R с центром в начале координат радиуса t Если

I со то говорят, что линейная плотность множества не превышает уЗ . При 0 Ь есть С^ -множество (см. [i] ,

М ).

К числу первых утверждений, отражающих изменение поведения целой функции при сдвиге её нулей, относятся результаты, приведенные в книге Б.Я.Левина [l] ( лемма I, с.130; лемма 4, с.143). Эти утверждения вошли в основной аппарат теории целых функций конечного порядка. При нецелом J>> 0 результат из [I] (лемма I, с.I30) заключается в следующем.

Пусть множество {Л^} корней канонического произведения со

2 р где & ( и>р) - (f-Uj ^Pi U-+ — + . . +-J- первичный множитель Вейерштрасса рода р . имеет плотность относительно уточненного порядка J>(X) —> J) .

Рассмотрим другое каноническое произведение <5 00 в котором IfahlAnl , I

Тогда при любых £>0 и %>0 можно так подобрать &>0 > что

I ^ с

I U I ПШ1- AmSMl<6 г/(ру г при всех £ , не принадлежащих некоторому множеству Е- , линейная плотность которого не превышает ^

В случае целого J) аналогичное утверждение имеет место для "урезанных" произведений

Когда последовательность^ имеет лишь конечную верхнюю плотность при уточненном порядке j)(zj аналогичные утверждения были доказаны А.А.Гольдбергом [4j , 0.414)

Результаты Б.Я.Левина и А.А.Гольдберга были усилены в работах И.Ф.Красичкова-Терновского [7] , [8] в предположении, что нули {/(Kf целой функции / сдвигаются в произвольных направлениях так, что I Ак~ ук | < 8 Ый| и последовательность {Лц} имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке j)(i)j)<+оо . При этом было показано, что при нецелом jO существует целая функция ^ с нулями в точках ffn такая, что для любых положительных ot^^- 1 множество ЕсС^ где нарушается неравенство

I* «.г, удовлетворяет условию 2

X ( j-mM Ег) ^ [3 J

0 J

С*

Случай целого J) рассмотрен в [в] .

Обобщение перечисленных выше результатов на субгармонические функции конечного порядка на плоскости было дано В.С.Азариным [ю] в связи с задачей асимптотической аппроксимации субгармонической функции логарифмом модуля целой. В.С.Азарин использовал понятие Т -сдвига yUrp борелевской меры уи , заданной на IR для измеримого по Борелю отображения Т пространства !К в себя. Мера JUj> определяется по формуле jur(Q)=ju (г'а),

- борелевское множество.

Близость мер JU и JU^характеризуется степенью "искажения" пространства IR отображением Т* , а именно: поведением функции •

В утверждениях Б.Я.Левина, А.А.Гольдберга, И.Ф.Красичкова-Терновского сдвиг нулей можно трактовать как Т -сдвиг распределения единичных масс, сосредоточенных на последовательности точек.

В.С.Азариным рассмотрен случай отображения Т воряющего условию где положительная убывающая функция на [0,-+ такая, что kt) < &afwy ьа>0, te(a,0 ,«><?■

Заметим, что под убывающей функцией, следуя Л.Шварцу [21], мы понимаем такую функцию ^ , что из t1 ^ tz следует f(^z) • Если -- убывающая функция, то <f(4) будем называть возрастающей.

Пусть jU борелевская мера на С нормального типа при конечном порядке J> ( J) -нецелое ). т.е. удовлет-(0.2)

Каждому такому распределению масс соответствует канонический интеграл ( ^ff^yiA f){oj=0 )

Основная лемма из [ю] утверждает, что для произвольного ft € (0У ) множество Е , где не выполнено неравенство с г=|н| ) оо / , ' О Л % i/^-fW) + (0,3) имеет линейную плотность не выше » ^O^Zj постоянные.

В работе В.С.Азарина [9] содержится другое утверждение, относящееся к обсуждаемому кругу вопросов, сформулированное в терминах обобщенных функции.

Отметим, кроме перечисленных, работы Р.М.Редхеффера [15], Б.Я.Левина и И.В.Островского [16] , А.М.Седлецкого [28] , н.Д. Серых [17] , [27] , где рассматривается изменение поведения целых функций из специальных классов (функций класса Картрайт;

I 2 функций, принадлежащих L на вещественной оси, функций типа синуса)при сдвиге их нулей.

Все приведенные выше утверждения из работ [i] , [4] , [7] [ю] и одно утверждение из [18] (вторая подготовительная теорема) содержатся в результатах §3 диссертации, причем в более сильной форме.

В нашей работе ограничения, накладываемые на отображение Т , минимальны, а рост меры jU произвольный. Сформулируем одно из следствий основной теоремы 3.2 диссертации. Пусть jit - борелевская мера на lRm, Т - измеримое по. Борелго отображение [ft"1 в себя такое, что прообраз каждого компакта имеет конечную меру относительно yU и Ty-yJ ^ где ЦО -борелевская функция на Щ . Обозначим через Cj, наименьшее делое число, не меньшее Z~Щ , такое, что в вьпэа-жении

К (*,dWhШЦ ♦1хГ lyl>l*l " где d и IV0 {0} - ft . сходится второй интеграл. Тогда существуют субгармонические йункдии uju и ^^ с ассоциированными мерами соответственно ул иуи^ такие, что для любой возрастающей йуншгаи if(i)>0 на ГОЛ вне множества Е выполняется неравенство

Н^^^Гщ, и множество Е удовлетворяет условию

Здесь yU -jU ч- JUT зависит только от т и .

Из этого утверждения вытекает, (следствие 3.1), что если I задана субгармоническая функция на плоскости U(%)= г| (2,р) где yU - распределение масс нормального типа при нецелом порядке j? > О на С и I удовлетворяет условию (0.2), то дом произвольного при 2 € Е О fi причем pi г ->оу

В2 не зависят от ^ и .

Здесь оба слагаемых в оценке разности канонических интегралов, в отличии от (0.3), зависят от функции ^

С помощью приведенного выше утверждения можно также уточнить оценку (0.1): U | - U\Г)\ I < ^ s г{z +1) (0.4) при , а при Т>0.

Используя теоремы 3.1 и 3.2, а также следствия к ним, в §3 доказываются утверждения, позволяющие сравнивать поведение субгармонических функций, у которых ассоциированные меры принимают одинаковые значения на системе ячеек (теорема 3.3, следствие 3.3). В такой форме теоремы сравнения удобны для применения.

Доказательства теорем срввнения основаны на модификации идей и методов В.С.Азарина [ю] и И.Ф.Красичкова-Терновского

Г7] •

В четвертом параграфе изучается колебание значений субгармонической функции в неограниченных областях в IR в зависимости от скорости роста. Как видно из работы И.Ф.Красичкова-Терновского [2б] , возможный подход состоит в том, что этот вопрос может быть интерпретирован как влияние варьирования ассоциированной меры на поведение функции. Однако, в §4 мы избрали несколько отличный подход, основанный на представлении Рисса. Этот метод имеет то преимущество, что позволяет изучать колебание произвольной субгармонической функции U .

В случае неограниченной области, не совпадающей с IR , накладывается ограничение на убывание функции Ьс на последовательности точек, поскольку в таких областях из оценки сверху СС jTZAtyti не следует оценка снизу, сравнимая с убыванием

-/И и(1/- - lUfO U(X) ; xeGr.

М = 7

Результаты, тесно связанные с вопросом, рассматриваемым в §4, имеются в книге Б.Я.Левина ( £l] , теоремы 6, 7, с.128) и в работе А.Пфяюгера [5] , где показано, что для любого О функции

In гт построенные по заданной целой функции ^ уточненного порядка J) (X) , образуют равностепенно непрерывное семейство при X ф- Е^ , где Е^ - множество положительных чисел с верхней относительной мерой меньшей ^ . Там же дается аналогичное утверждение для функций, аналитических внутри угла, когда на последовательности точек из угла задана оценка снизу.

Изучению зависимости приращения субгармонической функции 1Л от приращения переменной € посвящены также работы И.Ф.Красичхова-Терновского [25] и А.Ф.Гришина [29] . Этот вопрос затрагивается и в работах А.А.Кондратюка £3l] , Т.А.Ма-каниной [30] .

В §4 усиливаются и обощаются результаты работы [2б] , а также часть результатов работ [29] . В частности, для субгармонической функпии U на !Rm доказано (следствие 4.1), что для любой положительной неубывающей на С функции t) найдется множество Е такое, что при х^уфЕ, г где В -постоянная lA^it)-^) и

Утверждения §4 можно применять для изучения множеств вполне регулярного роста функций, субгармонических в бесконечной области подобно тому, как это делается в [i] (§1, с.184) ^ в [36] .

В §5 и §6 теоремы сравнения применяются для асимптотической аппроксимации субгармонической функции субгармоническими функциями со специальными свойствами и к различным вопросам теории целых функций.

В §5 показано (теорема 5.1), что для любой субгармонической Ж IR Функции U существует бесконечно дифференцируемая субгармоническая Функция U такая, что вне некоторого множест-ia шаров радиусов t; , удовлетворяющего условию t.т '-с + с*?

С L выполнено соотношение

В случае функции 7л конечного порядка jO можно утверждать, что

U (X) ^ осж/Л где - оператор Лапласса, at - положительное число, зависящее от J) (см. теорема 5.2).

Для субгармонической функции U нормального типа при конечном порядке J) в [f(m (w&Z) доказана теорема 5.3 о существовании субгармонической функции U, с целочисленным распределением масс такой, что для любой неубывающей функции найдется множество b. , удовлетворяющее условию

1-ти ЕХ = Oil^1) + к S 1-ftt) ' J J и при X 4 £"

-й(ю\ = 0СyvИ)у /л-*1"*9

В частности, при = £ получается оценка л

I // I У I Ж I I I л. t~r~ г / л —? т <-'— а й-(/п\^\ , где ^ - целая функпия.

В случае Р.С.Юлмухаметов [18] доказал более сильное утверждение, а именно: если субгармоническая функция U конечного порядка, то существует целая функция j , удовлетворяющая вне множества кружков с конечной суммой радиусов асимптотическому соотношению шъ) -А)|/(2)||= 6>(<Vi?I) , г со

Результат Р.С.Юлмухаметова получается путем специального выбора нулей целой функции ^ . В нашей оценке допускается больший произвол в выборе нулей £ .

В задаче спектрального синтеза и при исследовании операторов, коммутирующих с оператором обобщенного дифференцирования в работах [32-34] использовалась возможность расщепления целой функции f уточненного порядка fCt)-* j° на плоскости для oC1)0(z>0 на произведение целых функций г'/г » Удовлетворяющих вне некоторого С0 -множества соотношению

U I {, (2)1 -о/ UI £ (2)\ | = 0( №f°*)> Я-. о. (0.5)

Для р~ 1 и ^ = - J- этот результат был доказан в [32] , затем распространен на целые функции нормального типа при конечном порядке J) > О и произвольные В.С.Азариным [35] .

Теоремы сравнения из §3 позволяют утверждать, что в оценке (0.5) для функции ^ нормального типа при порядке J)>0 в правой части можно поставить а в случае z 0 (1*1 5 ) для любого £>0 (теоремы 6.2, 6.3).

При помощи теоремы 6.2 доказывается (теорема 6.4), что целую функцию экспоненциального типа ^ из класса Картрайт, то есть такую, что + оо

- d % < , я =/<е

J + X

-оо можно для любого 0 *< о( с 1 представить в виде f где j - функции класса Картрайт и длина индикаторной диаграммы равна с/ d , где d - дяина индикаторной диаграммы £ (индикаторная диаграмма функций класса Картрайт отрезок мнимой оси ).

В конце §6 теоремы сравнения применяются при исследовании

Г А 2 7 устойчивости полноты экспоненциальных систем { * }к f при достаточно малых сдвигах показателей в специальном пространстве аналитических в выпуклой области функций с ограничением на рост вблизи границы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю И.Ф.Красичкову-Терновскому за постоянное внимание и помощь в работе.

§1. Предварительные сведения и специальные обозначения а) Ассоциированная мера. Пусть Q. - область в IR ^ - субгармоническая функция в G . Функция порождает обобщенную функцию Ьс над пространством С0 (Q) финитных бесконечно дифференцируемых функций с естественной топологией, определенную формулой где а

77 ^ С

- мера Лебега в IR Обобщенная функция

A U оказывается неотрицательной, т.е. существует борелевская мера в Q такая, что У

AU;(f>= \ (f(x)dju(x) , if€C™(Cr)f

ГН f* где d^i } m-z при №>Z , SM - площадь единичной сферы в IR

Эта мера называется мерой, ассоциированной по Риссу о функцией It , или просто ассоциированной мерой Функции U Ассоциированную меру субгармонической на всем пространстве IR171 функции часто называют распределением масс этой функции. Субгармоническую функцию с ассоциированной мерой JU мы будем обозначать Ъс^ б) Функция Грина. Функция Qm^/fiG) называется функцией Грина для х , отвечающей области Q в точке ^ , есж

1) - гармоническая функция по X в области Q за исключением точки Xs у .

2) на границе Q .

3) gw С ^ Lf}G)+hM(ix-yi) гармоническая функция в точке X - у • Здесь и всюду далее

Г 6п1 , **=1, - X ,

В частности, для внутренности замкнутого шара Q(X0/ X) радиуса X с центром в точке Х0 функция Грина имеет вид:

I) fn = Z У

2) Ш >Z r

В обоих пунктах ( и -z) - (к-Хв) -гт .

Ч >J Ч 0J п ^ Ют

Для функции U^ , субгармонической в области Up С IK в предположении, что существует функция Грина для области Q- , имеет место представление

- \ Нг (х) G где JU - ассоциированная мера функции U^ , Hq наименьшая гармоническая мажоранта функции ЬС^ . в) Функции, субгармонические во всем пространстве. Непрерывно дифференцируемая на [ t0j ч- со) хо > О функция называется уточненным порядком, если при 7 '-* + .

Функция U называется функцией уточненного порядкаJ)( если

U (х) ^ —TjooxO

1X1

1x1'

Если jO(l) = jO и выполнено предыдущее соотношение, то fc называют функцией нормального типа при порядке у? ив таком случае будем писать £ [fi + c>0) .

Через обозначаем каноническое ядро рода ^ в

1Кт ( [20] г с. 74 ) ixy) +zt

-JL где - целое число (сумма = О , если ^ < о ), а гт-2 при п ^ i , где - угол между радиус - векторами точек

X и ^ в; = с/ г с« г) п а при ^ > 2 В? (rJ=CT (с* Г J. rn-Z rnj.

Через Cnz (~t) мы обозначаем полиномы Гегенбауэра, которые можно получить как коэффициенты разложения функции m-i i-ztk^h2)' z по степеням А (см. [19] , с.451).

Функцию В^ (iff) можно выписать в явном виде. При м > Z т./ & j в:(Г)=2Z А\ А) соцк-е)г,

К*{-п. где

Д*- • • • С***-*)

- К! г~\ т

Функция Un (X;(j) при у ф 0 является гармонической в IK относительно X . При |> /х( имеет место представление too г 0 и-сро* где (f + 1)

Пусть JU - борелевская мера в IR . Родом мет dju. будем называть наименьшее целое число ^ ^ Z- Ун такое, что

Г + оо и. тт ~ I

I Cjr+M-I

Через JU({) будем обозначать меру замкнутого шара радиуса с центром в начале координат гп

Мера JU в [R имеет нормальный тип при конечном порядке j) ^ 2 -т » если при некотором А > О t>o и при этом будем писать jU в I J>, + ^ ) .

Известно, что если мера уи. исчезает в некоторой окрестности начала координат и род меры djk равен , то интеграл f)- 5 Hfiw^M г который мы будем называть каноническим потенциалом рода , сходится при > и является субгармонической функцией с ассоциированной мерой jU . Если » т0 полагаем

НР (х, р -- Н^Ы ■

Обратно, если ^ субгармоническая функция с ассоциированной мерой Ja , исчезающей в некоторой окрестности начала координат, и род меры d^u равен ^ , то имеет место представление Адамара им - H^fyp-t где Ф - гармоническая функция.

Если U^ субгармоническая функция и к + ,то мера JU имеет нормальный тип при порядке J) ив представлении Адамара функция ф - гармонический полином степени не вше [j)] , а ^ можно полагать равным [j>] ( [jd] -целая часть числа J) ).

Всюду далее, если речь идет о мере в [ft , будем считать, что она исчезает в некоторой окрестности начала координат. Это практически не сказывается на общности утверждений, доказываемых в нашей работе.

Для меры JU в [R введем функцию f s где (j, - некоторое целое число и y^fy > С^ - род меры ijA .Полагаем — функция такого вида часто возникает в вопросах изучения асимптотического поведения целых и субгармонических функций, в частности при получении оценок сверху на каноническое произведение по заданной последовательности нулей на комплексной плоскости (см. fl-2] ). г) Г - сдвиг борелевской меры JU (см. [2lJ , с.617). Пусть Т - измеримое по Борелю отображение пространства в себя и прообраз каждого компакта из R имеет конечную меру относительно меры . Такое отображение назовем ja собственным. Мере ju можно сопоставить меру JUj> , которая определяется по правилу: у(Ат (Q) =/*(T~Q)

Q. - произвольное борелевское множество. Меру JU^ будем называть Т-сдвигом уи •

Пусть $ - некоторая неотрицательная борелевская функция на fR , тогда для любого борелевского множестваDc/R"1 ^ f(Tx) QLjx(K) = ^((00) dyUT(xJ (1.2)

Т'Ъ D д) Спедиалъные обозначения. Через 2 (VC; i) будем обозначать замкнутый шар в с центром в точке X радиуса t .

Ют(1) Q(Oj Ъ) О - начало координат. Если из контекста ясно, в каком пространстве рассматривается шар (пс), индекс уп будем опускать.

Пусть б (.эс) - некоторая положительная функция на !Rm , Для обозначения шара специального вида в /R ™ будем применять символ

Если ^ - некоторая функция на Jf , Q- - некоторое множество в R , то

- верхняя б) о- регуляризация функции ^ , Сг = U г> Г" ХбСг б - вздутие множества Ст Будем говорить, следуя [25] , что множество Q 6-удале

V» но от множества Q- у , если для любого «£ е Сг0 » выполнено соотношение

6(х) Г) 0

Символом С •••/ ш обозначать положительную постоянную, зависящую только от вещественных параметров

0-i / Q-Z; • - •/ и В03М0ЖН0 0Т размерности пространства ft™. Постоянная О всюду далее зависит только от W На протяжении всей диссертации используются неравенства для субгармонических функций, справедливые вне некоторых исключительных множеств шаров (кружков). В связи с этим введем следующие обозначения.

Пусть t-t)} - счетное множество шаров в ffC*1 . С этим множеством ассоциируется аддитивная Функция множеств J. т~< eccD для любого множества D .

Редкость множества шаров мы будем описывать при помощи оценок сверху на функцию

ЕШ .

В целях сокращения формулировок условимся в следующей записи.

Пусть Ut/ U2 - некоторые функции, заданные в какой-либо области QxClRm , jj - некоторая фуншшя на подмножествах IR" . Запись icz(xj { Е (D) < )(£)/ или и4 (х) =■ 0(Кг(*)), Ш-^+оо { E(D)^y(D)} означает, что существует не более чем счетное множество шаров $ -{-в^СС^^)} , такое, что для точек X ^ U Q. выполнено С неравенство lti (X) < КЯ(Х) или соотношение а функция множества, ассоциированная с g , удовлетворяет условию

E(D)^ )J(D) для любого борелевского множества D.

В том случае, когда дополнительно известно, что исключительное множество шаров £ - {в-(ее- удовлетворяет условию t^ -<■ |xt- ( для любого С , где в (я) -заданная функция, то аддитивную функцию, ассоциированную с множеством будем обозначать Еg (D) .

В некоторых случаях редкость исключительного множества будет оцениваться значениями ассоциированной функции множества только на шарах А* (V .В таких случаях в качестве меры редкости шаров мы будем использовать функцию

E((i) = Eg(Djv).

Для числа СrCeR или функции я, = тш {Ы,0} ^ - тш { ^ 0} f = о{} [ оС]} - целая часть Ы ,

1. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций.-М.:Гостех-издат, 1956.

2. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции.-М.:Мир,1980.

3. Хейман У. Мераморфные функции. М.:Мир,1966.

4. Красичков И.Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка. -Сиб. матем. ж., 1965. У1, №4, с.840-861.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней.-Матем. сб., 1966, т.70,2, с.198-230.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней.-Матем. сб., 1966, т.71, №3, с.405-419.

7. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка.-Матем.сб., 1979, т.108, №2,с.147-167.

8. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции.Матем. сб., 1969, т.79, №4, с.463-476. CI. Азарин B.C. О субгармонических во всем пространстве функциях вполне регулярного роста.-Записи мех.-мат.фак-та Харьк. университета, 1964, т.28, серия 4

9. Фридман A.H. Оценки снизу субгармонических функций.-Укр. матем. ж., 1980, т.32, №5, с.701-706

10. Ушакова-И.В. Асимптотические оценки разности субгармонических функций в плоскости.-Вестник Харьк. гос. ун-та, серия мех.-мат., 1970, №53, вып.34, с.70-81

11. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных значений .-М.:Мир, 1971

12. Redheffeг RM.Two consequences 0/ the Be,u%£cn$-Ma&{iaisCn theory. ptoc. Ame^. Ma th. Sac. , 4Ш, I/. 36, p. 116-422.

13. Левин Б.Я., Островский И.В. О малых возмущениях множества корней функций типа синуса.-Изв. АН СССР, сер. мат., 1979, 43, с.87-110

14. Серых Н.Д. Об ограниченных сдвигах множества корней функции класса Sp » невыводящих из этого класса.-В сб.: Теория функций, функ. анализ и их приложения, Харьков, 1983,вып. 39, с.117-119

15. Юлмухаметов Р.С. Приближение субгармонических функций.-Матем. сб., 1984, т.124, №3, с.393-415

16. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп.-М.: Наука, 1965

17. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. -М.:Наука, 1971

18. Шварц Л. Анализ.-И.: Мир, 1972

19. Кудина Л.С. Оценки для функций, представленных в виде разности субгармонических в шаре. -В сб.: Теория функций, функ. анализ и их приложения:, 1971, вып.14, с.58-67

20. НщтапМК. Questions oj leyutaxdifconnected with the Phiay Kent- Linolelofpzinctpfe.- J. math, penes cuppl, 19S€,V.3S, rfz , p. S'5-- tze.

21. Ландкоф H.C. Основы современной теории потенциала.-M.: Наука, 1966

22. Красичков-Терновский И.Ф. О свойствах одродности целых функций конечного порядка.-Матем.сб., 1967, т.72, №3, с.412-419

23. Леотьев А.Ф. Ряды экспонент.-М.:Наука, 1976

24. Серых Н.Д. Об асимптотике целых функций,йолучаемых из функций класса Sfi малым сдвигом корней.- Рукопись депон. в ВИНИТИ II марта 1980 г., №923-80-30, с.5

25. Седлецкий A.M. Негармонические ряды Фурье*- Сиб.матем.ж., 1971, ХП, №5, C.II00-III4

26. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонической функции.-В сб.:Теория функций, функ. анализ и их приложения, Харьков, 1968, вып.6, с.3-29; 1969, вып.7, С.5У-84; 1969, вып.8,с.126-135

27. Маканина Т.А. О колебанри функций, сопряженных к целым функциям экспоненциального типа.-Изв.вузов. Математика, 1973, №6,с.61-67

28. Кондратюк А.А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста. Ш Матем. сб., 1983, т.120, №3, с.331-343

29. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций I. Спектральный синтез на выпуклых областях.- Матем. сб, 1972, т.129, №4, с.459-489

30. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей. Матем. сб.,т.153, №1, с.3-41

31. Ткаченко В.А. Об операторах, коммутирующих с обощенным дифференцированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста. Матем. сб., 1977,т.144, №3, с.435-456

32. Азарин B.C. 0 разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост. Матем. сб., 1973, т.132, №2, с.229-230.

33. Гришин А.Ф. О множествах регулярного роста целых функций. I.- В сб.:Теория функций, функ. анализ и их приложения, Харьков, 1983, вып. 40, с.36-47

34. ВгихСспу A.,M*ttCciHn P. On FoulCzi

35. Юлмухаметов Р.С. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы.- Матем. заметки, 1982, т.32 вып.1, с.41-56

36. Хабибуллин Б.Н. Разложение целых функций конечного порядка на эквивалентные множители. В кн.: Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменного, Уфа,БФ АН СССР, 1983, с.161-181

37. Хабибуллин Б.Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций. Рукопись депон. в ВИНИТИ 2 марта 1984 г., №1604-84, с.34

38. Хабибуллин Б.Н. Сравнение субгармонических функций по их ассоциированным мерам. Матем. сб., 1984, т.125, N4с.522-538p. Z 93-309.