Обобщение теорем Неванлинны и изменение асимптотического поведения целой функции при сдвигах ее нулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Кудашева Елена Геннадьевна

Обобщение теорем Неванлинны и изменение асимптотического поведения целой функции при сдвигах ее нулей

01.01.01. - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

диссертации на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

1 1

Уфа 2010

004612385

Работа выполнена на кафедре математики ФГОУ ВПО "Башкирский государственный аграрный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Б.Н.

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук,

профессор Кривошеев A.C. кандидат физико-математических наук, доцент Башмаков РА.

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО

"Южный федеральный университет"

Защита диссертации состоится 26 ноября 2010 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.057.01 при Учреждении российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

Автореферат разослан « /Г » октября 2010 г.

Ученый секретарь совета Д002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций кандидат физико-математических наук Попенов C.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВОПРОСА

Актуальность темы исследования. В общей теории аналитических и субгармонических функций одно из центральных мест занимают вопросы распределения нулей голоморфных функций и их асимптотического поведения.

Особый интерес вызывает исследование распределения нулей голоморфных функций в единичном круге D комплексной плоскости С и их асимптотического поведения вблизи границ области определения. Полученные результаты представляют интерес не только как внутренние вопросы теории распределения значений голоморфных функций, но и как необходимый этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.

В диссертации исследуются два вопроса, связанные между собой изучением распределения нулей функций.

Первый посвящен изучению распределения нулей голоморфных

функций в единичном круге D комплексной плоскости С и представления

мероморфных функций в виде отношения голоморфных. В качестве основной отправной точки этого исследования можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны (1939, 1941 гг.). Развитие тематики продолжено в работах: М.М. Джрбашяна (1945, 1970, 1973 гг.), А. Г. Нафталевича (1953, 1961 гг.), М. Цудзи (1956, 1975 гг.), Б. Коренблюма (1975 г.), Т. Гамелина (1978 г.), Ф.А. Шамояна (1983, 1985 гг.), Р. Коул-вела (1985 г.), Д. Паскуаса (1988 г.), С. Горовица (1974, 1995 гг.), Е. Бел-лера (1977, 1994 гг.), П. Кусиса (1984, 1996 гг.), Дж. Гарнета (1984 гг.), Г. Бомаша (1992 г.), Д. Бруна и К. Массанеда (1995 г.), К. Сейпа (1995, 1997 гг.), Д. Льюкинга (1996 г.), А. Боричева и Г. Хеденмальма (1997 г.). Исследования по данной тематике продолжают и в последние годы Г. Хе-ден-мальм, Б. Коренблюм и К. Жу (2000 г.), A.A. Кондратюк (2001 г.), В.Я. Эйдерман и Маттс Эссен (2002 г.), С. Сандберг (2003г.), О. Бласко, А. Кукуряка и М. Новак (2004 г.), Б.Н. Хабибуллин (2003, 2007, 2009 гг.) и Др.

Другой актуальный вопрос, исследуемый в данной работе, это изменение поведения целой функции при сдвиге ее нулей или более общий -изменение поведения субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса. Основополагающие результаты в этой области получены в работах Б.Я. Левина (1956 г.), A.A. Гольдберга (1965 г.), И.Ф. Красичкова -Терновского (1966, 1967, 1972 гг.), B.C. Азарина (1969, 1973, 1979 гг.), А.Ф. Гришина (1969 г.), В.В. Напалкова (1995 г.), М.И. Соломеща (1995 г.), Б.Н. Хабибуллина (1984, 1985, 1989, 1993 гг.). Исследования по этой теме проводятся и в последние годы. В этом направлении работают А.Ф.

Гришин и Т.И. Малютинина (2005 г.), Т. Рансфорд (1995, 2001 гг.). Б.Н. Хабибуллин (2006-2009 гг.) и др.

В диссертации изучается изменение поведения целой функции при глобальном изменении расположения нулей, задаваемого через специальные суммы сдвигов, а также изменение поведения субгармонической функции при интегральной оценке трансформации ее меры Рисса.

Цели работы. Основной целью работы является исследование следующих вопросов:

• обобщение теорем Р. Неванлинны на классах голоморфных в

единичном круге 2) функций /, определяемых следующим образом

где М : D —> (—со,+со) - функция-мажоранта, порождающая этот весовой класс, субгармоническая, возможно нерадиальная и не обязательно всюду положительная;

• возможность представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных функций без общих нулей из классов Hoi(D;M) при тех же максимально общих условиях на М;

• изменение асимптотического поведения субгармонической функции при интегральных ограничениях на сдвиг ее меры Рисса;

• изменение асимптотического поведения целой функции произвольного конечного порядка при специальном сдвиге ее нулей;

• аппроксимация произвольной целой функции другой целой функцией с простыми нулями.

Методы исследования. В диссертации наряду со стандартной техникой теории функций комплексного переменного, теории субгармонических функций и функционального анализа используются другие специальные методы исследования: подход к описанию последовательностей нулей голоморфных функций из весовых пространств, разработанный Б.Н. Хаби-буллиным на основе техники выметания мер и субгармонических функций, техника Г-сдвига меры B.C. Азарина и др.

О)

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) получены описания последовательностей нулей голоморфных функций из классов (1), определенных субгармонической нерадиальной и не обязательно всюду положительной функцией-мажорантой М;

2) установлены новые представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных функций, с ограниченичением на рост вблизи границы единичного круга посредством весовых функций

м-

3) доказана теорема об изменении роста субгармонической функции при Г-сдвиге ее меры Рисса с интегральными ограничениями;

4) получены результаты об изменения поведения целой функции произвольного конечного порядка при сдвиге ее нулей;

5) найдена оценка скорости приближения целой функции другой целой функцией с простыми нулями и достигнута неулучшаемая асимптотическая аппроксимация порядка 0(1/1 г\2) вне малого исключительного множества,

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований по математике, носят теоретический характер. Они могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория аппроксимации, задачи спектрального анализа и синтеза. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, Башкирском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете, Казанском государственном университете, Институте математики и механики при КГУ, Брянском государственном педагогическом университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Украина, США, Испания, Норвегия, Израиль, Швеция, Китай и др.) научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова в Абрау-Дюрсо в 2006 г., научной конференции посвященной памяти Б.Я. Левина в Харькове в 2006 г. (Украина), VI региональной школе-конференции по математике, физике и химии в

Уфе в 2006 г., Уфимской Международной математической конференции посвященной памяти А.Ф. Леонтьева в Уфе в 2007 г., Всероссийской школе - конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" в Уфе в 2007 г., Всероссийской научно-практической конференции с международным участием в рамках IX Международной выставки "АгроКомплекс-2009" в Уфе в 2009 г., Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100-летию Башкирского государственного университета в Уфе в 2009 г., научно исследовательских семинарах кафедры математики Башкирского государственного аграрного университета (руководитель Б.Н. Хабибул-лин), кафедры высшей алгебры и геометрии Башкирского государственного университета (руководитель Б.Н. Хабибуллин), Общегородском научном семинаре по теории функций и комплексному анализу в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН (руководитель: чл.-корр.РАН В.В.Напалков).

Публикации. Основная часть результатов диссертации опубликована в работах [1] — [10]. Из совместных работ в диссертацию вошли только те результаты, которые доказаны лично автором. Работы [4] и [9] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 108 страницах машинописного текста; состоит из введения, пяти глав, списка литературы в алфавитном порядке, содержащего 80 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается краткая история вопроса, обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цель работы и основные результаты, приводится краткое содержание всей работы.

Работа состоит из двух частей, связанных между собой исследованием вопросов распределения нулей голоморфных функций.

В первой и второй главах описываются последовательности нулей голоморфных функций из классов Но1(1);М), определенных в (1). Получены новые результаты, которые являются обобщением классических теорем Р. Неванлинны о распределении нулей и о функциях ограниченной характеристики. Приведем формулировки этих теорем.

Введем необходимые определения и понятия.

Обозначим через £>(г, () открытый круг на комплексной плоскости С с центром в точке г еС радиуса / > 0, 2) := £>(0,1) - единичный круг, дО- единичная окружность.

Через Zeroj обозначим последовательность нулей А. = {Лк}, к еЫ, функции f в D, перенумерованную с учетом кратности.

Теорема Неванлинны (о нулях). Попарно эквивалентны следующие пять утверждений:

1. Последовательность А = {Лк}, к € N - последовательность нулей ограниченной голоморфной в D функции.

2. Для любой функции /д, голоморфной на единичном круге, с последовательностью нулей ZerOj^ = К~{Лк} выполнено условие

1 2*

sup— \\oifK{reie)\de<+n.

г<1 2ж £ 1 1

3. А = {Лк} = 2егод последовательность нулей для некоторой голоморфной на единичном круге функции /А удовлетворяющей предыдущему условию.

ю |

4. Выполненено соотношение ^ log-<+со.

Ы1 I А I

СО

5. Выполненено соотношение У (l — |А|)< +оо.

*=1 1

6. Выполненено соотношение ({)с11 < +<х>,

о

где (г)— считающая функция последовательности А = {Лк}.

7. Л = {Лк}, А: е N - подпоследовательность нулей для некоторой ограниченной голоморфной в X) функции.

Приведем близкую по идее теорему того же автора о представлении мероморфной функции.

Теорема Неванлинны (о функциях ограниченной характеристики). Если для мероморфной в единичном круге I) функции/, представленной в виде отношения голоморфных функций / = причем

шах{| $(0) |,| д(0) |} Ф 0, выполнено условие

зирГ(г;/)<+со, с< 1

или голоморфные функции g и q ограничены в О, то найдутся ограниченные голоморфные функции g0 и в единичном круге О без общих нулей такие, что справедливо представление / = на ^ ■ Где

Т(г;характеристика Неванлинны мероморфной функции /.

Будем исследовать представленные теоремы Неванлинны в классах пространства (1).

Для борелевской меры V на С (или в I)) полагаем

Функция М : И —» (—оо,+оо) называется радиальной, если М{£) = М(| 2 |) для каждой точки г е /).

Для субгармонической функции М в области О мера Рисса определяется равенством

Ум "¿ЛМ'

где оператор Лапласа А действует в смысле теории обобщенных функций, или теории распределений.

В главе 1 дан обзор исследований Б.Н. Хабибуллина о распределении нулей для весовых классов (1) голоморфных функций в произвольной области С! э 0 и о представлении мероморфных функций в терминах функции Грина и гармонических мер. Они служат основой для изучения новых версий теорем Неванлинны для области Г2 = /), которые приведены во второй главе.

В главе 2 сформулирована и доказана новая вариация теорем Р. Неванлинны для единичного круга (Теорема 1).

В Теореме 1 рассматриваются классы пространств (1), как уже отмечалось выше, с субгармонической функцией-мажорантой М. Более того она может достаточно быстро стремиться к — со при приближении к

точкам окружности дй по некасательным направлениям. В этой главе приводятся примеры, подтверждающие нетривиальность подобных классов функций.

Для подмножества <Ш И, обозначим через совокупность

всевозможных связных объединений Б з Б0 конечного числа кругов

,)<г/), у = 1,...,/и, исключая те области 2), в дополнении С\£>

которых есть изолированные точки. Через ¿Уд (г,-) обозначим

гармоническую меру в точке 2 относительно области ¿) <еС, через gD(■,z)- продолженную функцию Грина для -О с полюсом в геВ.

Для г = ге'в, 0<г < 1, где и числа а>0 введем в

рассмотрение "полярный прямоугольник" относительного размера а

где функция М из определения (1).

Теорема 1. Пусть М — субгармоническая функция такая, что М(0) > -00 и

Пусть Л = {AJ - последовательность точек такая, что {/lt}—>сШ ирм А—>оо н 0 g А, а /д - некоторая голоморфная в D функция с последовательностью нулей Zero * = Л = {Лк }.

0(z; а) := - teiv : {г - aVl-r2)+ < t < 1, | sin(y/ - в) |< aVl-r2¡

и функции

у" f+ £(1~1Z ° < ^ < ''

Тогда

1) если в 19 выполнено, хотя бы одно из трех условий

8ир М1о8|/д(2)^,(0,2)- 0,2)

В - .

Бир

йеи^

. * в\{0}

Л

<+00,

эир

Е^(Л.О)- \М{г)с1с,в{0,2)

<+00,

то для любых 8 е (0,1) и а > 1 последовательность А - последовательность нулей функции из класса

(2)

где постоянная СЕ зависит только от В,

2) если А - подпоследовательность нулей функций из класса Но1(/);М), то она последовательность нулей функций из класса (2),

3) если мероморфная в И функция f — glq представлена в виде отношения двух голоморфных функций тах|1^(0)|,|д(0)|}^ 0, для которых выполнено одно из двух условий

а) эир |я(г)|}с/й)д(0,г) - ^М{2)с1соп{<д,2)

<+00,

б) одновременно g е Но1(/);Л/), д е Но1 (0;М),

то найдутся функции gQ,tJ(j из класса (2) без общих нулей, для которых справедливо представление / = gQ /д^ на И.

Заметим, что условия первой части 1) Теоремы 1 является аналогами соотношений 2 и 4 Теоремы Р. Неванлинны о нулях. Вторая часть 2) — аналог соотношения 7 той же теоремы. Третья часть 3) - аналог Теоремы Р. Неванлинны о функциях ограниченной характеристики. Причем в теоремах Р. Неванлинны речь идет лишь о постоянных функциях-мажорантах М = 0 в единичном круге В.

Приведем модификации полученных результатов для случая, когда сужение на отдельные сектора в единичном круге £> мажоранты М ради-ально.

Функцию М : 2 = ге'в —> (—оо,+оо), гей, назовем радиальной в секторе

¿(а,Р)\={2 = ге1в :0 < г < 1, а < в < /5} из 2), если при каждом 0 < г < 1 функция М(ге'в) не зависит от

Пишем сектор Z(a',/Г) зэ Да,/?) , если а' <а< /? < Р'.

Следствие. Если в каком-либо секторе А(а!, Р ) 3 /.{а, Р) вес М из Теоремы 1 радиолен и дифференцируем по радиусу, то при достаточно

малой постоянной а> 1 для всех трех утверждений 1), 2) и 3) Теоремы 1

£

для точек г € /,(а,р) слагаемое —в весе, определяющем

2-а

класс (2), можно заменить на слагаемое аСе 1

->п а /ГП—t JO"')4<M'(0>

2(2-а) Vi-И гг2\+

Во второй части диссертации, в главах 3, 4, 5, рассмотрены вопросы изменения асимптотического поведения субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса и изменения асимптотического поведения целой функции произвольного конечного порядка при специальных сдвигах ее нулей.

В главе 3 дан детальный исторический обзор результатов о сдвигах нулей. Начинается он с первых утверждений, отражающих изменения поведения целой функции при сдвиге ее нулей по аргументам, полученных Б.Я. Левиным в 1956г. Перечислены основные результаты A.A. Гольд-берга, И.Ф. Красичкова-Терновского, B.C. Азарина, В.В. Напалкова, М.И.

Соломеща, А.Ф. Гришина, Т.И. Малютиной, Б.Н. Хабибуллина по этой тематике, которые послужили отправной точкой данного исследования.

В главе 4 сформулирована аппроксимационная теорема Б.Н. Хабибуллина для целых функций экспоненциального типа. Напомним ее в упрощенной форме.

Теорема КИ2. Пусть / фО - целая функция экспоненциального типа с последовательностью нулей 2ег0у=(Ак), и (ук) - последовательность в С, к = 1,2,... Если сходится ряд

то найдется целая функция экспоненциального типа g ф 0 с последовательностью нулей Zerog =(yk), для которой при любом числе £ > 0 существует такое множество Ес С С верхней линейной плотности < е, что

При этом если f конечного типа, то функция g такая же, а индикаторы роста функций fug совпадают.

В четвертой главе этот результат распространен на целые функции произвольного конечного порядка р. В качестве обобщения условия (3) предложена сходимость ряда вида

Отталкиваясь от представленных результатов исследований Б.Н. Хабибуллина, автором диссертации получены новые результаты в оценке изменения роста субгармонической функции (Теорема 2). Для этого используется более общий подход, основанный на технике Г-сдвига ее меры Рисса, предложенной B.C. Азариным. При этом условия (3), (4) заменяются на интегральные ограничения трансформации ее меры Рисса для функции произвольного порядка р.

(3)

|log|g(z)|-log|/(2)||<f\z\ длявсех 2GС \Ее.

Напомним понятие Т - сдвига борелевской меры. Пусть отображение

'Г :С->С измеримо по Борелю и для любого ограниченного в С

подмножества В его прообраз Т~1В также ограничен в С. Для меры V ее Т- сдвиг Уг определяется по правилу

УТ(В) := у(Т~1В), В а С - борелевское множество.

Теорема 2. Пусть V- положительная борелевская мера конечного типа при порядке р > 0, а Т - такое измеримое по Борелю отображение

С в С, что прообраз каждого ограниченного множества при этом отображении ограничен. Если выполнены два условия

2-* оо 2

Г '

с\о

1С1Р

1-Я £

dv{Q < +00,

то для любой субгармонической функции и с мерой Рисса V найдется субгармоническая функция UT с мерой Рисса VT, для которой при любом числе £ > О существует такое множество Е£ С С верхней линейной плотности < £, что

| иТ (z) - u(z) |< £ | z \р для всех zeC\Ee.

В частности, при любом £ > 0 с некоторой const, выполнены оценки

щ (z) < sup + £ I z |" 4-const., u(z) < sup иТ(4") + e\z\p +constr

\(-z\<s\A

При этом если и - функция конечного типа при порядке р, то функция ИТ такая же, а индикаторы роста функций и и UT совпадают.

В заключение четвертой главы, в Теореме 3, сформулирован и приведен аналогичный результат на языке целых функций.

Теорема 3. Пусть /- целая функция с последовательностью нулей Хего( — (Л/,) конечной верхней плотности при порядке р и Г = С С, к € N - заданная последовательность. Из сходимости ряда

У

I 1 IP 1

и условия

lim inf

оО

(5)

следует существование целой функции g с последовательностью нулей 2его? = (/V), для которой при любом числе £>0 существует такое множество Ее С С верхней линейной плотности < ¿г, что

При этом если f конечного типа при порядке р, то функция g такая же, а индикаторы роста функций fug совпадают.

Заметим, что из сходимости ряда (4) можно вывести условие

если исключить определенные несущественные подпоследовательности точек из (Ак) и (ук).

Условие (5) Теремы 3 можно исключить при р = 1, т.к. сходимость ряда (6) является в точности условием (3). Следовательно этот результат является прямым обобщением аппроксимационной теоремы Б.Н. Хаби-буллина.

В последней главе 5 рассмотрен вопрос о сдвигах нулей целых функций, оценивается скорость приближения целых функций целыми функциями с простыми нулями (Теорема 4). Достигнута близость порядка

|log I g(z) I -log I f(z) \\<£\z\p длявсех ze€\E£.

(6)

o( i/M2).

и

Теорема 4. Пусть f — целая функция с последовательностью нулей Zero ! = (Лк), к—1,2,— Для каждой убывающей функции Р : [0,-Ко) —> (0,+эо) и любого числа С > 0 найдется последовательность (tk) с (0,+со), увязанная с (Лк), и целая функция g с последовательностью только простых нулей Zero^, — (yk) такие, что

1) при Лк ^ Àki круги D(Àk,tk) и D(Àk',tt<) не пересекаются, при

всех г >0 выполнена оценка ^ tk < (i{r), и, наконец, \ yk — Лк \ <tk при

\Як\>г

всех к ;

2) имеет место неравенство

СО

¡log I g(z) I-log I f(z) j < ~ при всех z eC\ [J D(.nk,tk).

И k=i

Этот результат нельзя улучшить, т. е. невозможно добиться асимптотической аппроксимации порядка 0(l/|z|a), где а> 2, вне малого исключительного множества. Можно отметить, что работа с целыми функциями с простыми нулями, как правило, облегчает исследования в задачах аппроксимации, интерполяции и др.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических профессору Б.Н. Хабибуллину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Кудашева Е.Г. О близости целых функций с быстро сближающимися нулями // Сборник трудов VI региональной школы-конференции по математике, физике и химии. - Т.2. - Уфа: РИЦ БашГУ. -2006. - С. 57-64.

[2] Кудашева Е.Г., Хабибуллин Б.Н. О близости целых функций с близкими последовательностями нулями // Материалы международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В.Ефимова. - Абрау-Дюрсо: МГУ, РГУ. - 2006. - С. 2-3.

[3] Khabibullm B.N., Kudasheva E.G. Variations of entire (subharmonic) function under perturbations of its zero set (Riesz measure) // Abstracts of the Conference dedicated to the centennial of B. Ya Levin. - Ukraine, Kharkov. -August 14-17,2006.-P. 20-21.

[4] Kudasheva E.G., Khabibullin B.N. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - V. 3. - № 1. - Ukraine, Kharkov. - 2007. - P. 61-94.

[5] Кудашева Е.Г. О близости субгармонических функций // Сборник Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А. Ф. Леонтьева. - Уфа: Институт Математики с вычислительным центром УНЦ РАН. - 2007. - С. 26-27.

[6] Кудашева Е.Г. (Под) последовательности нулей для пространств голоморфных функций в круге // Материалы Всероссийской школы-конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании".

- Уфа: РИЦ БашГУ. - 2007. - С.5.

[7] Кудашева Е.Г. Асимптотическая близость субгармонических и целых функций // Сборник "Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики - Пенза: Межвузовский сборник научных трудов.-2007,- С. 18-21.

[8] Кудашева Е.Г. Последовательности нулей голоморфных функций // Сборник "Научное обеспечение устойчивого функционирования и развития АПК", Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием в рамках IX международной выставки "Агро-Комплекс - 2009". - Уфа. - 2009,- С. 94-95.

[9] Кудашева Е.Г., Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей голоморфных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций // Математический сборник. -Т. 200. - № 9. - 2009.

- С. 95-126.

[10] Кудашева Е.Г. Последовательности нулей в круге // Материалы международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100-летию Башкирского государственного университета. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2009. - С.6.

Подписано в печать 13.10.2010. Формат бумаги 60х84'Аб Усл. печ. л. 0,98. Бумага офсетная. Печать трафаретная Гарнитура «Тайме». Заказ 561. Тираж 100 экз.

Типография ФГОУ ВПО «Башкирский государственный аграрный университет» 450001, г. Уфа, ул. 50-летия Октября, 34

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения к теоремам Неванлинны.

Глава 2. Не положительные нерадиальные вариации теорем Р. Неванлинны.

Глава 3. Исторический обзор результатов о сдвигах нулей целых функций.

Глава 4. Изменение поведния субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса и целой при сдвиге ее нулей.

Глава 5. Аппроксимация целой функции другой целой функцией с простыми нулями.

В общей теории аналитических и субгармонических функций одно из центральных мест занимают вопросы распределения нулей голоморфных функций и их асимптотического поведения.

Особый интерес вызывает исследование распределения нулей голоморфных функций в единичном круге И комплексной плоскости С и их асимптотического поведения вблизи границ области определения. Полученные результаты представляют интерес не только как внутренние вопросы теории распределения значений голоморфных функций, но и как необходимый этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.

Работу условно можно разделить на две части, связанные между собой тем, что они опираются на вопросы распределения нулей функций.

Первая посвящена изучению распределения нулей голоморфных функций в единичном круге /) комплексной плоскости С и представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных.

В качестве основной отправной точки этого исследования можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны, опубликованный в работах [26], [27] (1939, 1941гг.). Развитие этой тематики продолжено в работах: М.М. Джрбашяна [13], [14], [15] (1945, 1969, 1973гг.), А.Г. Нафталевича [23], [24] (1953, 1961 гг.), М. Цудзи [78] - [80] (1956, 1959, 1975гг.), Б. Коренб-люма [66], (1975г.), Т. Гамелина [57] (1978г.), Ф.А. Шамояна [44] (1983г.), Р. Коулвела [56] (1985г.), Д. Паскуаса [71] (1988г.), С. Горовица [60], [61] (1974, 1995гг.), Е. Беллера [48], [49] (1977, 1994гг.), П. Кусиса [19] (1984г.), Дж. Гарнета [6] (1984г.), Г. Бомаша [50] (1992г.), Д. Бруна и К. Массанеда [52] (1995г.), К. Сейпа [75] - [77] (1994, 1995гг.), Д. Льюкинга [67] (1996г.), А. Боричева и Г. Хеденмальма [51] (1997г.). Актуальность данной тематики видна в работах последних лет. Значительные результаты в этой области получены Г. Хеденмальмом, Б. Коренблюмом и К. Жу [59] (2000г.), A.A. Кондратюком и Я.В. Васильковым [65] (2001г.), В .Я. Эйдерманом и Маттс Эссеном [46] (2002г.), С. Сандбергом [74] (2002г.), О. Бласко, А. Кукуряка и М. Новаком [53] (2004г.), Б.Н. Хабибуллиным [29] - [32], [39] (2003, 2004, 2007, 2009 гг.) и др.

Приведем объединенные формулировки теорем Р. Неванлинны о распределении нулей и о функциях ограниченной характеристики, следуя [30]. Обозначим через D(z, t) открытый круг на комплексной плоскости С с центром в точке zeС радиуса t > 0, D := Z)(0,1) — единичный круг, 3D— единичная окружность. Через Zeroу последовательность нулей

А = {Лк}, к G N функции f в единичном круге D, перенумерованную с учетом кратности.

Теорема Неванлинны (о нулях). Попарно эквивалентны следующие утверждения:

1. Последовательность А = {Лк}, k е N — последовательность нулей ограниченной голоморфной в D функции.

2. Для любой функции fA, голоморфной на единичном круге, с последовательностью нулей Zero г —К — {Лк} выполнено условие

0.1)

3. А = {Äk} = ZerOf последовательность нулей для некоторой голоа морфной на единичном круге функции fA удовлетворяющей условию (0.1).

4. Выполнено соотношение ^ --<+оо. к=1 I \ I

00

5. Выполнено соотношение ^ (1 — \Як |)< +°о.

Г га<1

6. Выполнено соотношение I п™ {t)dt < +со где (г) — считающая функция последовательности А — {Я^}.

7. Л = {Хк}, к е N — подпоследовательность нулей для некоторой ограниченной голоморфной в 2) функции.

Приведем близкую по идее теорему того же автора о представлении мероморфной функции.

Теорема Неванлинны (о функциях ограниченной характеристики). Если для мероморфной в единичном круге £) функции f, представленной в виде отношения голоморфных функций / — £/с[, причем шах{| £"(0) |,| д(0) |} ^ 0, выполнено условие зирГ(г;/)<+оо, г< 1 или голоморфные функции g и # ограничены в I), то найдутся ограниченные голоморфные функции и в единичном круге 2) без общих нулей такие, что справедливо представление / = g0/qQ на 1У. Где Т(г ; /")—характеристика Неванлинны мероморфной функции /.

В* первой части данной работы, главах 1 и 2, получены результаты об описании последовательностей нулей определенных классов голоморфных функций в единичном круге 2). Этот класс функций выделен ограничением на, рост функций вблизи границы круга посредством весовых функций умеренного роста. Весовые функции:,, определяющие этот, класс субгармонические, возможно нерадиальные и не обязательно всюду положительные. Приведены новые результаты и для радиальных ограничений. Эти результаты являются обобщением классических .теорем Р. Неванлинны.

Будем исследовать представленные теоремы Неванлинны в классах пространства Но1(£1;.М) — пространства всех голоморфных в области Г2 функций У таких, что

Но1(П;М):= Бир < +оо схрМ(г) где М: П —> (—оо,+оо) — функция-мажоранта, порождающая этот, весовой класс, субгармоническая, возможно нерадиальная и не обязательно всюду положительная.

В главе 1 диссертационной работы приведен обзор результатов исследований Б.Н. Хабибуллина [30] о распределении нулей для этих весовых классов голоморфных функций и о представлении мероморфных функций в ? терминах функции Грина и гармонических мер. Эти результаты являются основой для изучения новых версий теорем Р. Неванлинны для области П — 2).

В главе 2 сформулирована и доказана не положительная нерадиальная вариация теорем Р. Неванлинны в единичном круге (Теорема 1).

Радиальной назовем такую функцию М: /) —> (—00,+°°) , для; которой — М{\ z |). для каждой, точки z е 2). Не положительной — функцию, если существуют точки г е в которых М(г) < 0.

В Теореме 1' рассматриваются классы пространств (0.2) для; области С1 = /). Получены описания последовательностей? нулей голоморфных функций из этих классов, определенных субгармонической, нерадиальной и не обязательно всюду положительной функцией-мажорантой Ми Более того она может достаточно быстро стремиться к — оо при приближений к точкам окружности дО по некасательным направлениям: В этой главе приводятся примеры, подтверждающие нетривиальность подобных классов функций.

Также в этой теореме установлены новые представления мероморфных функций в виде отношения голоморфных функций, с ограниченичением на> рост вблизи границы единичного круга посредством весовых функций М.

Для борелевской меры у на С (или в I)) полагаем

Для субгармонической функции М в области П мера Рисса определяется равенством

1 2 ж, где оператор Лапласа А действует в смысле теории обобщенных функций, или теории распределений! . '

Для подмножества £0 <ё /) , обозначим через 178 совокупность всевозможных связных объединений £> о б'о конечного числа кругов D{Zjr>tj)шDi / = 1 исключая те области в дополнении которых есть изолированные точки. Через СО^г,-) обозначим гармоническую меру в точке г относительно области П ^С, через gD(•,z)-продолженную функцию Грина для И с полюсом вге!).

Для г = гев, 0 < г < 1, где в е 08., и числа а > О введем в рассмотрение "полярный прямоугольник" относительного размера а

П(2; а) := {с = 1е1ЦГ: (г - 1 - г2 )+ < I < 1, | - в) |< я л/1 - г2 } и функцию 1 qM(Z):= I а-\с\)dvM(a

1 — Z ■£•(-;«) где функция М определена выше. Приведем сокращенный вариант Теоремы 1.

Теорема 1'. Пусть М — субгармоническая функция такая, что М{ 0) > -оо и 2/г sup— ^M(rew)dO < +оо. r< 1 27Г 0

Пусть А = — последовательность точек м 0 0 А, а /л - некоторая голоморфная в ТУ функция с последовательностью нулей

2его1к =Л = Ш

Тогда если выполнено условие на единичном круге I) sup

Dei/ so Л

2>д|А>0Ь \M{z)dmD{z) k D J oo, (0.3) то для любых 6 £ (0,1) и а> 1 последовательность А — последователъ

Условие (0.3) этой теоремы является аналогом 4 соотношения теоремы Р. Неванлинны о нулях, в которой речь шла лишь о постоянных функциях-мажорантах М = 0 на D.

В Следствии из Теоремы 1 приведены модификации полученных результатов для случая, когда сужение на отдельные сектора в единичном круге D мажоранты М радиально.

Результаты второй главы были сформулированы и доказаны в совместной работе с научным руководителем Б.Н. Хабибуллиным [20], где автором диссертации доказывается результат касающийся обобщению теорем Р. Неванлинны, а Б.Н. Хабибуллиным исследуется ситуация умеренного роста функций.

Другой актуальный вопрос, исследуемый в данной работе, это изменение поведения целой функции при сдвиге ее нулей или более общий - изменение поведения субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса. Основополагающие результаты в этой области получены в работах Б .Я. Левина [21] (1956г.), A.A. Гольдберга [7] (1965г.), И.Ф. Красичкова -Тер-новского [16] - [18] (1966, 1967, 1972гг.), B.C. Азарина [1] - [3] (1969, 1973, 1979 гг.), А.Ф. Гришина [10] (1969г.), В.В. Напалкова и М.И. Соломеща [22], [28] (1995г.), Б.Н. Хабибуллина [33] - [38] (1984, 1985, 1989, 1993гг.). Исследования по этой теме проводятся и в последние годы. В этом направлении работают А.Ф. Гришин и Т.И. Малютинина [11] (2005г.), Т. ностъ нулей функций класса Но1 2), А^ Ч--> постоянная СЕ

2-я зависит только от £, и

Рансфорд [72], [73] (1995, 2001гг.); Б.Н. Хабибуллин [29] - [32] (2006, 2008, 2009гг.) и др.

В диссертации изучается изменение поведения целой функции при глобальном' изменении расположения нулей, задаваемого через специальные суммы сдвигов, а также поведения субгармонической функции при интегральной оценке трансформации ее меры Рисса.

Детальный исторический обзор результатов о сдвигах нулей приведен-в главе 3. Эти результаты явились отправной точкой данного исследования.

К числу первых утверждений, отражающих изменения поведения целой функции при сдвиге ее нулей, относятся результаты, приведенные в книге Б.Я. Левина [21] ( лемма 1, с.130, лемма 4, с 143). В его фундаментальной монографии при построении теории целых функций вполне регулярного роста важнейшую роль сыграли результаты об оценках изменения роста целой функции конечного порядка при сдвиге ее нулей по аргументам. Он рассмотрел отображение Т :С—>С такое, что

ТХк\ = \Як\, \ж§>ТЯк -digÄk\<d, к = 1,2,., где d > 0 положительное число. Эти утверждения вошли в основной аппарат теории целых функций конечного типа и послужили основой создания теории- целых функций вполне регулярного роста.

Как показал A.A. Гольдберг [7, § 6, Лемма], указанные результаты Б.Я: Левина справедливы и тогда, когда последовательность нулей — последовательность лишь конечной верхней плотности при порядке р, или при уточненном порядке. A.A. Гольдберг уточнил оценки роста целых функций по таким же сдвигам.

Результаты Б.Я. Левина и A.A. Гольдберга были усилены в работах[16], [17] И.Ф: Красичкова - Терновского в предположении, что нули целой функции сдвигаются в произвольных направлениях при нецелом и целом порядке функций. В [16] предполагалось, что нули Хк сдвигаются в произвольных направлениях:

1 -b-<d<\, где Г(Я,) = г4.

Лъ. Z при всех достаточно больших к. Дальнейшие более общие количественные результаты были им установлены в применинии их к задачам спектрального синтеза и к вопросам полноты систем экспонент [16]. Из теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского легко вытекает теорема Б.Я. Левина. Формулировки всех перечисленных теорем дана в третьей главе. Дальнейшее развитие теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского было приведено впоследствии в [33, Теорема А] Б.Н. Хабибуллиным.

В [1] B.C. Азарин вервые дал общую субгармоническую интерпретацию для концепции сдвигов нулей целой функции. Он получил результат, использованный им для асимптотической аппроксимации субгармонических функций логарифмами модуля целой функции, для построения целой функции вполне регулярного роста на произвольной заданной замкнутой системе лучей, для расщепления целой функции на произведение целых функций с заданным ростом на бесконечности [2]. Еще один результат B.C. Азарина [3, вариационная теорема], относящийся к рассматриваемым здесь вопросам, формулируется в терминах сходимости в пространствах обобщенных функций, или на языке теории предельных множеств в смысле B.C. Азарина. Для убывающей функции d : [0,+оо) —> (0,+оо), где lim sup —< -fco он рассмотрел отображение Т : (С —>С такое, что г d(2t)

В своих работах B.C. Азарин использовал понятие Т- сдвига борелев-ской меры: пусть отображение ТС —» С измеримо по Борелю и, кроме того, для любого ограниченного в С подмножества В его прообраз Т~1В также ограничен в С.

Для меры V ее Т -сдвиг VT определяется по правилу vT{B) := v(T~lB), В с:С - борелевское множество.

Новые методы для изучения асимптотического поведения приращения субгармонических функций при сдвиге использовал в своей работе А.Ф. Гришин [10]. Он рассмотрел асимптотики | u(z + hz) — u(z) | при z —> со в зависимости от величины сдвига hz. Эти результаты также можно интерпретировать как влияние на изменение субгармонической функции специального варьирования ее меры Рисса, порожденного преобразованием плоскости вида Т : z l—> z + hz, z е(С, при фиксированном h. Рассмотренный им метод может быть полезен при исследовании изменения поведения субгармонической функции при достаточно произвольном варьировании ее меры Рисса.

Наиболее детально вопрос Т -сдвига рассматривался в работах Б.Н. Хабибуллина [35], [36]. В главе 3 приведены его улучшенные оценки для субгармонических функций.

Далее в этой главе представлены совместные результаты В.В. Напалкова и М.И. Соломеща [22], прямо вписывающийся в рассматриваемую здесь тематику. Ими рассмотрен случай целых функций произвольного роста. Показано, что при достаточно малых сдвигах нулей разность логарифмов модулей целой функции / и полученной с новыми нулями, отличается на константу вне некоторого малого исключительного множества.

В главе 4 сформулирована аппроксимационная теорема- Б.Н. Хабибуллина [39] для целых функций экспоненциального типа. Где для функции ф 0 из сходимости рядаS

Гк'Ч*0

1 1 л п

0.4) следует существование другой целой функций экспоненциального типа g ф0, где Zero j = (Лк), Zerog—{yk) последовательности нулей этих функций.

В данной работе этот результат будет распространен на целые функции произвольного конечного порядка р. На роль обобщения условия (0.4) предложена сходимость ряда вида

Я^о I /ьк L

Гк

Л*

0.5)

Отталкиваясь от представленных исследований Б.Н. Хабибуллина, автором диссертации получены новые результаты в оценке изменения роста субгармонической функции (Теорема 2). Для этого используется более общий подход, основанный на технике Т -сдвига ее меры Рисса, предложенной B.C. Азариным. При этом условия (0.4), (0.5) заменяются на интегральные ограничения изменения меры Рисса для функции произвольного порядка р.

Далее в Теореме 3 сформулирован и доказан аналогичный результат на языке целых функций.

Теорема 3. Пусть / — целая функция с последовательностью нулей — конечной верхней плотности при порядке р и Г = О^) сС, к е N —заданная последовательность. Из сходимости ряда (0.5) и условия lim inf \yk\! W\> (0.6)

А—>оо следует существование целой функции g с последовательностью нулей Zerog = k), для которой при любом числе £>0 существует такое множество Е£ С С верхней линейной плотности < Б, что log|g-(z)|-log|/(z)||<^|z|p длявсех z еС \Е£.

При этом если f конечного типа при порядке р, то функция g такая CI индикаторы роста функций fug совпадают. Заметим, что из сходимости ряда (0.5) можно вывести условие

Е — м и Гк-Лк*olAfc I

1 1

1 4 п

00, (0.7) если исключить определенные несущественные подпоследовательности точек из (Лк) и (ук).

Условие (0.6) Теремы 3 можно исключить при р — 1, т.к. сходимость ряда (0.7) является в точности условием (0.4). Следовательно этот результат является прямым обобщением аппроксимационной теоремы Б.Н. Хабибуллина.

В конце, в главе 5, рассматривается вопрос о сдвигах нулей целых функций, найдена оценка скорости приближения целых функций целыми функциями с простыми нулями (Теорема 4). Достигнута близость порядка

0(1/1 z | )вне малого исключительного множества. Показано, что этот результат нельзя улучшить, то есть не возможно добиться асимптотической аппроксимации порядка 0( 1/ \z\a), где ОС >1. Можно отметить, что работа с простыми нулями, как правило, облегчает исследования в ряде зада^ аппроксимации и интерполяции.

Приведем сокращенный вариант Теоремы 4.

Теорема 4\ Пусть f — целая функция с последовательностью нулей Zero^ = (ЛА). Для любой открытой окрестности G последовательности А = } найдется целая функция g с последовательностью только простых нулей Zerog = (yk ) такая, что верна оценка log|g(z)|-log|/(^)|| = 0 1 ^ чМ2, при всех z е С \ G, z —» оо.

Полученные результаты диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований по математике, носят теоретический характер. Они могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория аппроксимации, задачи спектрального анализа и синтеза. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в ИМВЦ УНЦ РАН, Башкирском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете, Казанском государственном университете, Институте математики и механики при КГУ, Брянском государственном педагогическом,, университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Украина, США, Испания, Норвегия, Израиль, Швеция, Китай и др.) научных центрах.

Основная часть результатов диссертации опубликована в работах [20] и [62]. Совместные с научным руководителем Б.Н. Хабибуллиным работы объединяют различные результаты обоих авторов. В статье [20] автором диссертации доказывается результат, касающийся обобщения теорем Неванлинны (§ 2), а Б.Н. Хабибуллиным исследуются другие классы функций умеренного роста (§§ 3 — 6). В работе [62], как указано в ее аннотации, научному руководителю принадлежит исторический обзор данной тематики (§§ 1, 2), а все новые результаты о вариации субгармонических и целых функций доказаны Е.Г. Кудашевой (§§ 3, 4). Таким образом, в диссертацию вошли только те результаты, которые доказаны лично автором. Указанные работы входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

1. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб. -1969. - Т. 79(121). - С. 463-476.

2. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост // Матем. сб. —1973. — Т. 90(132). С. 225-230.

3. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка // Матем. сб. -1979. — Т. 108(150). — С. 147—167.

4. Васильюв Я.В., Процик Ю.С. Каношчный штеграл Вейерштрасса для субгармоншних функцш несюнченного порядку // Bicronc Харювсього нащонального ушвеситету. Сер. Матем., прикл. Матем., мех. — 542:51. —2002. -С. 118-130.

5. Викарук АЛ. Аналоги теорем Неванлинны для минимальных поверхностей // Матем.сб. Т. 100(142) :4(8). -1976. - С. 555-579.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции // Мир, М. -1984.

7. Голъдберг A.A. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения. IV // Матем. сб. 1965. - Т. 66(108). - С. 411- 457.

8. Голъдберг A.A., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундам. напр. -Т.85. ВИНИТИ. -М. - 1991.- С. 5-185.

9. Григорян A.C. Обобщенные аналитические функции // УМН. — 49:2.1994. — С. 3-42; англ.пер.: S.A. Grigoryan. Generalized analytic fanctions // Russian Math. Surveys. 49:2. - 1994. - P. 1^0.

10. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1968. — вып. 6.- С. 3-29; 1969. вып. 7,- С. 59-84; 1969. - вып. 8. - С. 32-48.

11. Гришин А.Ф., Малютина Т.И. Новые формулы для индикаторов субгармонических функций // Математическая физика, анализ, геометрия. — 2005.-Т. 12, 1.-С. 25-72.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы // Общая теория, ИЛ, М. 1962; пер.с англ. N. Dunfort, J.T. Schwartz Linear operators // I. General theory, Interscience Publ. — New York, London. — 1958.

13. Джрбашян M.M. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге // Докл. АН Арм ССР. -1945. Т.З. -№1. - С. 3-9.

14. Джрбашян М.М. Теория факторизации функций, мероморфных в круге // Матем. сб. 1969. - Т.79(121). - №4(8). - С. 517-615.

15. Джрбашян М.М. Теория факторизации и граничных свойств функций, мероморфных в круге // УМН. 1973. — Т. 28. -вып. 4(172). - С. 314.

16. Красичков-Терновский] И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней // Матем. сб. — 1966. —Т. 70(112). С. 198-230; Матем. сб. - 1966. -Т. 71(113). - С. 405^-19.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I, П. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. -Т. 87(129). -№4. - С. 459-489; Матем. сб. - 1972. - Т. 88(130).-№1.-С. 3-30.

18. Красичков-Терновский И.Ф. О свойствах однородности целых функций конечного порядка // Матем. сб. — 1967. — Т. 72(114). С. 412-419.

19. Кудашева Е.Г., Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей голоморфных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций // Математический сборник. — Т.200. — №9. — 2009. -С. 95-126.

20. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций // Физматгиз. -Москва. 1956. - 632 с.

21. Нафталевич А.Г. об интерполировании функций, мероморфных в единичном круге // Лит. Мат. сб. 1961. - Т. 1. - №1-2. - С 159-180.

22. Неванлинна Р. О распределении значений однозначных аналитических функций // УМЫ. 1939. - №6. - С. 183-221.

23. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции // ОГИЗ, М. -Л.-1941.

24. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций // ГИТТЛ, М. -Л. 1950.

25. Соломещ М.И. Операторы типа свертки в некоторых пространствах аналитических функций // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Уфа. —1995. — 110 с.

26. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Матем. сб. — 200:2. 2009. - С. 129-158.

27. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты // Матем. сб. 198:2. - 2007. - С. 121-160.

28. Хабибуллин Б.Н. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. ж. 4:4. -2003. -С. 905-925.

29. Хабибуллин Б.Н., Хабибуллин Ф.Б., Чередникова Л.Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, ихустойчивость и энтропия линейной связности. П'// Алгебра« и анализ. — 20:1 (2008). С. 190-236.

30. Хабибуллин Б.Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций // Сб.: Исследования по теории аппроксимации функций, Башкирский филиал АН СССР. Уфа. -1984. - С. 148—159i

31. Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей целых функций и выметание // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Харьков. -1993. — 322 с.

32. Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей целых функций и выметание // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Уфа. —1993. — 18 с.

33. Хабибуллин Б.Н. Сравнение субгармонических функций по их ассоциированным мерам // Матем. сб. -1984. Т. 125(167), 4(12). - С. 522538.

34. Хабибуллин Б.Н. Наилучшая-аппроксимация целой функции целой функцией с простыми нулями // Сб.: Тезисы докладов конференции молодых ученых, Башкирский филиал АН СССР. Уфа. -1985. — С. 177.

35. Хабибуллин Б.Н. Аппроксимационная теорема для целых функций экспоненциального типа и устойчивость нуль-последовательностей // Матем. сб.-2004.-Т. 195, 1. — С. 143—156.

36. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции // Мир, Москва. -1980.-304 с.

37. Хейман У. Мероморфные функции // Мир, М. — 1966. — 287с.

38. Чередникова Л.Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге // Матем. заметки. — 77: 5. -2005. С. 775-787.

39. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм.ССР. Математика. — ХШ:5-6. -1978. С. 405-422.

40. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи гранцы // Изв. АН Арм.ССР. Математика. 1983. - Т. XVIII. - №1. -С. 15-27.

41. Шварц Л. Анализ. Т. I // Наука, Москва. -1967. 824 с.

42. Эйдерман В .Я., Маттс Эсса'н Теоремы единственности для аналитических и субгармонических функций // Алгебра и анализ. 14:6. — 2002. - С. 1-88.

43. Axler S., Bourdon Р., Ramey W. Harmonie funetion theory // SpringerVerlag. New York. -1992.

44. Beller E., Horowitz C. Zero sets and random zero sets in certain function spaces // J. Analyse Math. V.64. -1994. - P. 203-217.

45. Beller E. Factorization for non-Nevanlinna classes of analytic functions // Israel J. Math. V. 27. - № 3-4. - 1977. - P. 320-330.

46. Bomash G. A Blashke-type product and random zero sets for Bergman spaces // Arkiv far Math. V. 30. -1992. - P. 45-60.

47. Borichev A., Hedenmalm H. Harmonic functions of maximal growth: invertibility and cyclicity in Bergman spaces // J.Amer. Math. Soc. — 1997. -10:4 (1997). P. 761-796.

48. Bruna J., Massaneda X. Zero sets of holomorphic functions in the unit ball with slow growth // J. Analyse Math. 66 (1995). - P. 217-252.

49. Blasco O., Kukuryka A., Nowak M. Luecking's condition for zeros of analytic functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect A. — Lublin — Polonia, LVHI:A. —2004. — P. 1-15.

50. Cole B.J., Ransford T.J. Subgarmonicity without Upper Semicontinuity // J. Funct. Anal. 147. -1997. - P. 420 - 442.

51. Cole B.J., Ransford T.J. Jensen measures and harmonic measures // J. reine und angew. Math. 541. -2001. - P. 29-53.

52. Colwell P. Blaschke Products // Bounded Analytic Functions, Ann Arbor. The University of Michigan Press. — 1985.

53. Gamelin T.W. Uniform algebras and Jensen measures // Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1978.

54. Hayman W.K. Subgarmonic functions. V. II. // London: Academic Press. -1989.

55. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces // Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics. — 199. — New York. — 2000.

56. Horowitz C. Zeros of functions in the Bergman spaces // Duke Math. — 41 (1974).-P. 693-710.

57. Horowitz C. Zero sets and radial zero sets in function spaces // J. Analyse Math. (1995). Y.65. -P. 145-159.

58. Khabibullin B.N., Kudasheva E.G. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. Ukraine, Kharkov. - V. 3. - № 1. - 2007. - P. 61-94.

59. Klimek M. Plurepotential theory // Clarendon Press. Oxford. 1991.

60. Kondratyuk A.A., Vasyl'kiv Ya.V. Growth majorants and quotient representations of meromorphic functions // Comput. Metods Funct. Theory. — 1:2. -2001.-P. 595-606.

61. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory I I Acta Math. V. 135.-1975.-P. 187-219.

62. Luecking D. Zero sequences for Bergman spaces I I Complex Variables Theory Appl. 30:4. -1996. - P. 345-362.

63. Lyubarskii Yu. I., Seip K. A uniqueness theorem for bounded analytic functions // Bull. London Math. Soc. 29. -1997. - P. 49-52.

64. Nevanlinna R. Uber beschrankte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen // Ann. Acad. Sei. Fenn. A. — 13. —1920. P.l— 71.

65. Nevanlinna R. Uber beschrankte analytische Funktionen // Ann. Acad. Sei. Fenn. A. 32. -1929. № 7.

66. Pascuas D. Zeros interpolaciy en espais de funcions holomorfes del disc unitat // Tesi doctoral. — Universität Autynoma de Barcelona. — 1988.

67. Ransford T.J. Potential Theory in the Complex Plane // Cambridge Univ. Press, Cambridge. -1995. 232 p.

68. Ransford T.J. Jensen measures // Approximation, Complex Analysis and Potential Theoiy (Montreal, Qs, 2000). -NATO Sei. Ser. IL Math-Phys-Chem. 37. Dordrecht: Kluwer. 2001. - P. 221-237.

69. Sundberg C. Measures induced by analytic functional and a problem of Walter Rudin // J. Amer. Math. Soc. 2002. - V. 16. - № 1 . - P. 69-90.

70. Seip K. On a theorem of Korenblum // Ark. Math. 32. -1994. - P. 237-243.

71. Seip K. On Korenblum's density condition for the zero sequences of A ~a // J. Analyse Math. 67. -1995. - P. 307-322.

72. Seip K. An extention of the Blaschke condition // J. London Math. Soc. 51.-1995.-P. 545-558.

73. Tsuji M. Potential theory in modern function theory // Chelsea Publ. Co. New York. — 1975.

74. Tsuji M. Canonical product for meromorphic function in a unit circle // J. Math. Soc. Jap. 1956. - V. 8. - № 1. - P. 7- 21.

75. Tsuji M. Potential theory in modern fanctional theory // Tokyo: Maruzen Co. 1959.