Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Родикова Евгения Геннадьевна

Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций

01 01 01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ?::С'Н гам

Воронеж 2014

005550169

005550169

Работа выполнена в Брянском государственном университете имени академика И Г, Петровского

Научный руководитель! доктор физико-математических наук,

профессор Шамоян Файзо Агитович

Официальные опнонентьи Широков Николай Алексеевич,

доктор физико-математических наук, С ан кт- П етербу pre к и й государственный университет, кафедра математического анализа, заведующий;

Охлупина Ольга Валентиновна,

кандидат физико-математических наук, Брянская государственная инженерно-технологическая академия, кафедра математики, доцент

Ведущая организация! Санкт-Петербургское отделение

Математического института имени В. А Стеклова.

Защита диссертации состоится «16» сентября 2014 г в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212 038.22 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» по адресу 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета, а также на сайте ЬМр*//wmv.science.vsu.nl/dissertations/274/disser_Rodikova_EG.pdf

Автореферат разослан «/Л июня 2014 г

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Гликлих Ю Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важнейших направлений исследований в современном комплексном анализе является построение факторнза-ционных представлений весовых классов аналитических функций Помимо того, что результаты этих исследований имеют самостоятельный интерес, они также широко применяются при решении различных задач комплексного и функционального анализа! при изучении граничных свойств классов аналитических функций, в вопросах теории интерполяции, и задачах аппроксимации, в теории операторов и т.д. Истоки теории факторизации лежат в классических работах К Вейрштрасса. Ж Адамара. Ф Бореля, В В Голубева, посвященных факторизации целых функций, и в работах Р Неванлинны, В И Смирнова о представлении функций ограниченного вида и классов Харди Интерес к этим проблемам не иссякает и в настоящее время В последние десятилетия были написаны несколько монографий но этой тематике! М М Джрбашяном (1966 г), А Е Джрбашяном и ФА Шамояном (1988 г ), Г Хеденмальмом, Б Корепблюмом и К Жу (2000 г ), К Сейпом (2004 г), ФА Шамояном и ЕН Шубабко (2009 г) При построении факторпзационных представлении существенное значение имеет характеризация корневых множеств соответствующих классов аналитических функций По этой проблеме опубликованы многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых! У Хеймана, С Линдена. М Цудзи, ФА Шамояна, Н А Широкова. Б Н Хабпбуллипа, Б И Коренблюма, К, Сейпа, Г Хеденмальма, А Боричева, и др На основании вышеизложено-го можно заключить, что выбранная тема диссертационного исследования весьма актуальна

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы Для этого введём необходимые обозначения

Пусть £) — единичный круг па комплексной плоскости С, Н(0) — множество всех аналитических в Б функций Символом будем обозначать множество всех корней ненулевой функции /, п(£) — количество пулей функции / в круге \г\ < а+ = тах(а. 0), а € Е

В 20-е годы прошлого столетия в работах одного из классиков комплексного анализа Р Неванлинны было введено понятие характеристической функции, явившееся основопологающим для всей теории аналитических функций" Пусть / 6 II (И). характеристикой Р Неванлинны называется функция

7Г

где 0 < г < 1,

Классом Р, Неванлинны или классом функций ограниченного вида называется множество N функций / € H(D). для которых

sup T(r,f) < +00.

0<г<1

Р, Неванлинна построил факторизациоиное представление класса N> Класс N совпадает с множеством функций / е H{D), допускающих представление вида

f(z) = е'Ъ"В(2, zk) exp | J |,

+ОС

где B(z,zk) = Д -п*т ~ произведение Бляшке,{zk} — последователь-fc=i Zk

ность точек из D, удовлетворяющая условию Бляшке:

+ ЭО

^(1-Ы)<+00, (1)

fc=l

ф — вещественная функция ограниченной вариации на [0, 2тт], 7 € К, А е Z.

Этот результат нашел многочисленные приложения в ряде разделов комплексного, гармонического и функционального анализа В 1999 г Ф. А. Шамоян ввел в рассмотрение классы

I := |/ 6 H{D) : J(1 -r)aTp{r,f)dr < +00 j , а > -1,

которые обобщили известный класс Неванлинны-Джрбашяна Sa = S^, получил полное описание корневых множеств и построил факторизациоиное представление этих классов функций при всех 0 < р < +оо,

В 1964 г. М М. Джрбашяп поставил задачу обобщить теорию Р, Неванлинны. Им была введена новая характеристическая функция Та(г, /)■ для любой / е Я(Г>), а > —2

Л = £ (1У ~ ""We")id<) * dv'

где Г — функция Эйлера

В этой же работе М Джрбашяном введен класс Na аналитических в D функции с ограниченной а-характеристикой, охарактеризованы нулевые множества и получено параметрическое представление указанного класса функций.

На основании вышеизложенного, естественно определить класс

:= |/ 6 H{D) : J(1 - гУ7*(г, f)dr < +сю j , а > -1, 7 > -1-

Естественным образом возникает необходимость характ-еризации корневых множеств и построения факторизационного представления класса при всех 0 < р < +оо

В последние годы внимание ряда специалистов в области комплексного анализа приковано к проблеме описания корневых множеств весовых классов аналитических в единичном круге функций, растущих вблизи части его границы. Интерес к этой проблеме объясняется в том числе и важностью приложений этих результатов в спектральной теории линейных операторов, теории возмущений и др.

Пусть Е — конечное множество точек на единичной окружности Т, p(z,E) = dist(z,E) - расстояние от произвольной точки z 6 D до множества Е- Введем в рассмотрение класс

Щ(Е) = {/ € H(D) : 1п|/(я)| < cfV> (^щ).^ 6 D} '

где ip - монотонно возрастающая положительная функция на К+,

В том случае, когда Е состоит из одной точки и tp(t) = t4, 0 < q < 1, характеризация корневых множеств класса HV(E) была получена в работах М.М. Джрбашяна, X. Шапиро и А. Шилдса, Для случая Е = Т, ip(t) = lni результат окончательного характера был получен К. Сейпом Полное описание корневых множеств и факторизациопное представление класса Н9(Е), Е = Т, в случае более общих весов получено еще в 80-х гг. Ф А, Шамояном. Отметим также работы Б Н Хабибуллина и его соавторов в этом направлении.

В 2009 г. для случая, когда Е С Т — конечное множество точек на единичной окружности, в работе А. Боричева и его соавторов было установлено следующее утверждение!

Если / € Нр(Е), <p(t) = tq, q > 0, {.Jfc}^ - последовательность нулей

функции /, то сходится ряд:

+0С

где £ - сколь угодно малое положительное число.

В недавних работах Л, Голинского. С. Купина, С Фаворова последний результат был обобщен в различных направлениях. Однако полного описания корневых множеств класса Н9(Е) до сих пор не было получено Естественно возникает необходимость окончательного решения этой задачи

В начале 40-х годов прошлого века одним из классиков комплексного анализа И И, Приваловым был введен и рассмотрение класс Пр (0 < р < +оо) аналитических в единичном круге функций, для которых»

При 1 < р < +оо справедливо включение Пр С ЛГ и из свойств произведения Бляшке следует, что корневые множества характеризуются условием Бляшке (1)- Однако при 0 < р < 1 условие Бляшке уже не является необходимым, более того — нулевые множества классов Пр (0 < р < 1) существенно зависят от значения параметра р, как установлено в 2008 г в работе Ф А Шамояна и его соавторов. Вопрос получения полного описания корневых множеств указанного класса функций до сих пор остается открытым

Как было отмечено выше, факторизационные представления находят многочисленные приложения в решении различных проблем комплексного анализа Одной из них является задача интерполяции, Теория интерполяции в различных классах голоморфных функций стала интенсивно развиваться после основополагающей работы Л, Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических функций в круге Термин «свободная интерполяция» впервые был введен 1! работе С А Виноградова и В,П. Хавина (1974 г.) при решении интерполяционной задачи в подклассах классов N функций ограниченного вида Задача интерполяции в классах Р Неванлшшы и В И Смирнова была решена I! работах А Г Наф-талевича, А Хартмана и его соавторов, в классах Хардн и Бергмана - в работах X, Шапиро и А, Шилдса, К Сейпа Отметим, что изменение класса функций, в котором решается задача интерполяции, влечет существенные изменения в методах ее решения Ввиду прикладной значимости резуль-

татов п этой области исследований проблема описания следов различных классов аналитических функций остается весьма актуальной.

При исследовании вопросов интерполяции часто появляется необходимость в доказательстве теорем вложения- Впервые теоремы вложения в классах Харди были установлены Л Карлесоном. Доказательству теорем вложения в пространствах Бергмана посвящены работы отечественных математиков В Л: Олейника и Б С, Павлова Появление новых классов функций влечет за собой необходимость в доказательстве для них теорем вышеуказанного типа

Одной из классических задач в комплексном анализе является оценка скорости роста функции и коэффициентов ее разложения в ряд Тейлора, Она имеет существенные приложения в вопросах описания сопряженных пространств к пространствам аналитических функций, в теории теплице-вых операторов, при описании мультипликаторов и тд,

В середине прошлого столетия указанная задача в классе функций ограниченного вида была решена С, Н Мергеляном, Аналог этого результата в классе Неванлинны-Джрбашяна получил С В Шведенко в 1986 г Точных оценок модуля и коэффициентов разложения функции из класса введенного Ф.А. Шамояном( до сих пор не было получено, Цель работы.

1, Характеризация корневых множеств и построение факторизационных представлений весовых классов аналитических в круге и в полуплоскости функций,

2 Решение интерполяционной задачи, доказательство теорем вложения в весовых классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р, Неванлинны и описание коэффициентных мультипликаторов из классов аналитических в круге функций, характеристика Р Неванлинны которых принадлежит ¿/-весовым пространствам, в классы Харди,

Методы исследования. В работе применяются общие методы комплексного и функционального анализа, а также специальные методы, основанные на факторизационных и интегральных представлениях исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты!

1, Охарактеризованы корневые множества и построено факторизацион-ное представление весовых классов аналитических в круге функций, а

- характеристика которых принадлежит П' - весовым пространствам.

2 Получено полное описание корневых множеств весовых классов аналитических в единичном круге функции, допускающих рост вблизи конечного множества точек на граничной окружности

3. Получено необходимое условие на пули функций из класса II II Привалова Пр (0 < р < 1), близкое к достаточному.

4. Охарактеризованы корневые множества и построено факторизацион-ное представление весовых классов аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка.

5 В явном виде получено решение интерполяционной задачи в классе аналитических в круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны

6. Доказаны теоремы вложения для весовых классов аналитических в единичном круге функций, характеристика Р Неванлинны которых принадлежит - весовым пространствам.

7. Описаны коэффициентные мультипликаторы из весовых классов аналитических в единичном круге функций, характеристика Р. Неванлинны которых принадлежит И - весовым пространствам, в классы Харди.

Практическая и теоретическая значимость.

Диссертационная работа носит теоретический характер Результаты исследования могут быть использованы в общей теории аналитических функций, в теории операторов и функциональных пространств, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2011 г). «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2012 г.), «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013 г ), на Воронежской зимней математической школе (2013 г), на Саратовской зимней математической школе (Саратов, 2012 г , 2014 г), на Воронежской весенней математической школе (2014 г), а также неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И Г. Петровского

Часть исследований, результаты которых представлены в диссертации, поддержана грантом РФФИ (проект №13-01-97508)-Публикации.

Результаты исследований нашли отражение в работах» [1] -[14] Работы [1]-[5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мннобрнауки РФ В совместных работах [3, 5, 8, 10, 13] научному руководителю принадлежат постановка задачи и идея доказательства

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 8 параграфов, и списка использованной литературы- Работа занимает 121 страницу Библиография содержит 60 наименований Содержание диссертации.

Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы и кратко излагается содержание работы

Первая глава диссертационной работы посвящена вопросам факторизации и характеризации корневых множеств весовых классов аналитических функций,

Для формулировки основных результатов введем дополнительные обозначения Следуя М М Джрбашяну, введем бесконечное произведение 7Гp{z,ak)t 0 > —1, с нулями в точках последовательности С D>

= jf (l - —) схр(~Uô(z,ak)),

*=i ^ а*

где

Щ{г.ак) = I J dOpdp,

2(0+1) Г

к) =

а также функцию

Обозначим В\р — класс О Бесова на единичной окружности порядка а > 0 В первом параграфе первой главы получено полное описание корневых множеств класса. Л^7(а > -1,7 > -1) при всех 0 < р < +оо и построено факторпзацпонное представление указанного класса функций.

Теорема 1.1. Для того чтобы, поыедователъиость точек единичного круга являлась корневым множеством некоторой тождественно отличной от нуля функции / € (0 < р < +оо), необходимо

и достаточно, чтобы сходился ряд

v

■ <

к= 1

гдепа,к=па{ 1-^,/).

Теорема 1.2. Пусть 0 < р < +оо, а > -1, 7 > -1, /3 > 1 4-Следующие утверждения эквивалентны:

Î- f G

/(г) может быть представлена в виде:

*t л А / л ( 1 f 4>(eie)d9 \

f(z) = cxz 7T/](z, zk) exp I — J (1 _ I • 2 e A

где - произвольная последовательность точек из D, удо-

влетворяющая условию (2), itp{z,zk) - произведение M. Джрбашя-па с нулями в точках последовательности {zk}k^v ф € В[р, s = - (а + 1) - А £ Z, сд ё С.

Во втором параграфе первой главы получено полное описание корневых множеств весовых классов HV(E) аналитических в единичном круге функций, допускающих рост вблизи конечного множества точек Е = {е17*}^1 на его границе Установлены следующие результаты«

Теорема 1.3. Пусть <р - монотонно возрастающая положительная функция, <f 6 +00), такая что существует

tp'(x)x lim , , = aç.

х-И-оо (p(x)

Если f € HV(E) и Zj — rfl° для любого R > 1 справедлива оценка

Е (з)

¿<р(г„,£)<2 V 1 /

Обратно,

а) если а¡р ф ^ - произвольная последовательность точек из Т), удовлетворяющая условию (3),

б) если 6 \ {1}, ~ произвольная последовательность точек из £>, удовлетворяющая, наряду с условием (3), условию

тах

0<*<ш-1

i<p(z„,E)< 2

причем

вир ■—— < +оо;

х>\ <р(х)

тогда можно построить функцию д 6 Н^(Е). пули которой совпадают с точками последовательности

В теореме 1.4 получено необходимое и достаточное условие на мажоранту <р, при котором корневые множества функций из класса Н9(Е) удовлетворяют условию Бляшке

В третьем параграфе первой главы исследуются нулевые множества функций из класса И И Привалова В частности, доказано следующее утверждение!

Теорема 1.6. Если / — тождественно отличная от пуля функция из класса Пр (0 < р < 1). ¡{г^) =0, к = 1,2...., то

+ 00 / 1 \

при любом положительном, е > 0.

Как следует из вышеупомянутых результатов Ф А Шамояна и его соавторов (2008 г ), полученное условие близко к точному

Последующие параграфы первой главы посвящены описанию корневых множеств и построению факторизационного представления аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка

Пусть С+ — верхняя полуплоскость комплексной плоскости, </? — монотонно возрастающая положительная функция на К+, </? € С'(0,+оо). Если

(р'(х)х Ьш ^ , у. = +оо,

гг-Я-оо (р(Х)

то будем называть ср весовой

Введем в рассмотрение класс Х^(С+) аналитических в верхней полуплоскости функций, для которых

1п|/(г)| <АМВМ),геС+,

где А;, В/ - положительные постоянные, значения которых зависят только от функции /

В четвертом параграфе первой главы, в частности, установлена справедливость следующего утверждения!

Теорема 1.8. Пусть <р — весовая функция, 1п <р выпукла вниз. Следующие утверждения эквивалентны:

1- Ke'MiS = Zf,fG X?(C+) ; 2. 3ci>0: V 0 < Я < 1 справедливо

Esm0n у>(с2Д)

~r < 01 R ' о<р<г„<я Tn n

где константа ci зависит только от последовательности {zn}.

Первый параграф второй главы диссертационной работы посвящен приложению факторизационных представлений к решению задачи свободной интерполяции в классе 5cf, а > 0>

где Cf > 0, г е [0,1),

Хорошо известно, если / € то

M(r,/) = max|/(,)| < ехр|(1_С^+1|

при всех а > 0, с/ > 0

Поэтому если / € и {о^} — последовательность точек из единичного круга, то оператор R(f) = (/(сц),..., f(cnk), ••■) отображает класс в класс весовых последовательностей

1а = {7 = ШШ ■ Ы < ехр Л > °} •

Последовательность {а^}^ назовем интерполяционной последовательностью в классе если R(S^) = la,

Обозначим ГД0) — угол Штольца с вершиной в точке е'№ раствора 7ri, 0 < 5 < 1. ■

В первом параграфе второй главы установлен следующий результат! Теорема 2.1. Пусть — произвольная последовательность ком-

плексных чисе.1 из D, располоокепных в конечном числе углов Штольца:

п

{ak}c{jTs(9s), 5=1

при некотором 0 < S < Следующие утверждения, эквивалентны: 1. {afc}^ - интерполяционная поыедовательность в классе а > 0;

п(г) = {сагс1ак : < г} <

(1_г)«+1' для некоторого с > 0;

¡1/ \ 1 —М

Ма„, ак)| > ехр (1 _

для некоторого М > 0 и при всех ¡3 > а — 1.

Пусть Г2 - множество всех измеримых положительных функций на (0.1], для которых существуют числа тш, из (0,1], Ми такие что

щ* < < ми, г е (о, 1], А е 1].

Для всех 0 < р < +оо пшбЯ введем в рассмотрение класс функций!

Б? = |/ € #(£>) : ^(1 - г)Тр(г. /)(1г < +оо | .

Во втором параграфе второй главы доказаны теоремы вложения пространств ££ в весовые ^'-пространства при всех 0 < р < +оо

Для формулировки результата этого параграфа введем также следующие обозначения Пусть I 6 [0,1), в € [—тг, 7г], положим

Д«(0)

= € Г> : 1 — 1 < < 1, | ахег - < ,

то есть Д/(0) — прямоугольник Л- Карлесона Справедлива

Теорема 2.2. Пусть ц — конечная неотрицательная борелевская мера в единичном круге О, 1 < р < +оо. Тогда следующие утверждения равносильны:

1. / (1п+ |/(01)РФ(С) < С/Ш(1 - г)Тр(г, /)<1г, / е 5£, и о

2. < С1 ■ "(О ' /р+1> при всех в € [-тг, тг], I € (0,1).

При 0 < р < 1 характеризация мер имеет другой вид, как доказано в теореме 2.3

В третьем параграфе второй главы получены точные оценки максимума модуля и коэффициентов Тейлора функции из класса На основе этих оценок полностью описаны коэффициентные мультипликаторы из этого класса в классы Харди Нр

Пусть X — некоторый класс аналитических в единичном круге D функций. Последовательность комплексных чисел Л = {Ла-}^ назовем коэффициентным мультипликатором из класса в класс X,

+зо

если для произвольной функции / G f{z) = dkZkt функция

k=О

A(/)W=EWex.

k=0

Установлено следующее утверждение!

Теорема 2.6. Пусть X совпадает с одним из следующих классов: 1 < ¡3 < а) или Н" (0 < р < оо). Тогда для того чтобы последовательность комплексных чисел А = {А^}^ являлась коэффициентным мультипликатором из класса S? в класс X. необходимо и достаточно, чтобы

|Afc| = О (ехр (-с • Avi+S+т^ , с > ОД- -)■ +оо.

Автор выражает искреннюю благодарность своем,;/ научному руководителю профессору Ф,А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Роднкова, Е Г- Факторизациопное представление и описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка / Е.Г Родикова // Вестник Брянского государственного университета! точные и естественные пауки — Брянск- Изд, БГУ - 2011 - № - С 36-44.

2. Родикова, Е Г. О коэффициентных мультипликаторах в одном весовом пространстве аналитических в круге функций / Е Г Родикова //' Вестник Брянского государственного университета! точные и естественные науки - Брянск. Изд БГУ - 2012 - №. - С 61-69.

3. Родикова, Е.Г. //-оценки в классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р Неванлинны / Ф А Шамоян, Е Г Родикова // Вестник Брянского государственного университета! точные и естественные науки. — Брянск- Изд БГУ — 2012 — №4 — С 80-86

4. Родикова, Е Г Факторизациопное представление и описание корневых множеств одного класса аналитических в круге функций [Электронный ресурс] / Е Г. Родикова //' Сибирские электронные математические известия — 2014 — С 52-63 — Режим доступа- littpi/'/semr math nsc.ru

5 Rodikova, E G On interpolation in the class of analytic functions in the unit disk with power growth of the Nevaiilinna characteristic / FA Shamoyan, E G Rodikova /7 Журнал Сибирского федерального университета.: Сер Матем и физ - Красноярск. Изд. СФУ— 2014 - Т. 7 -Вып. 2 -С. 235243

6, Родикова. Е Г Вещественные корни для класса аналитических в правой полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка / Е Г Родикова //' Материалы XII международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» — Смоленск. СмолГУ - 2011 - Вып. 12 - С 250-252

7. Родикова, Е Г О нулях аналитических классов II И, Привалова / Е Г Родикова // Материалы Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения» -- Саратов" изд-во «Научная книга» - 2012 - С. 141-142

8 Родикова, Е.Г Свободная интерполяция в классах аналитических в круге функций с ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны / Е.Г Родикова, Ф А Шамоян /7 Материалы Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения» — Саратов! изд-во «Научная книга» — 2012 — С 139-141

9 Родикова, Е Г Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций / Е Г Родикова // Материалы VI Пс угрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» — Петрозаводск« ПетрГУ — 2012 — С 64-69

10 Родикова, Е Г. ХАоценки в классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р Неванлинны / Ф А Шамоян, Е.Г Родикова // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» — Воронеж! ВГУ - 2013 - С 280-281

11 Родикова, Е.Г О коэффициентных мультипликаторах в одном весовом пространстве аналитических в круге функций / Е Г Родикова /7 Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функции и смежные проблемы» — Воронеж! ВГУ — 2013. - С 205

12 Родикова, ЕГО нулях одного весового класса аналитических в круге функций / Е Г Родикова // Труды математического центра имени Н И Лобачевского! материалы международной XI Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» — Казаны Казан ун-т — 2013 — С 385-387

13 Родикова, Е Г Условие типа Бляшке для одного класса аналити-

ческих в круге функций / ФА Шамоян, Е Г Роднкова // Материалы 17-й международной Саратовской зимней математической школы «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященной 150-летию со дня рождения В А, Стеклова — Саратов" изд-во «Научная книга» — 2014. - С 295-296

14 Родикова, Е Г Факторизационное представление класса аналитических в круге функций с а - характеристикой из Ь" - пространств / Е.Г Родикова // Современные методы теории краевых задач, материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XXV» —Воронеж! изд центр «Научная книга» — 2014 — С 146-147

Работы [1]-[5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ

Родикова Евгения Геннадьевна

Факторизация, характеризацня корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать 17 06 2014 т Формат 00x84/10 Печать офсетная Бумага офсетная Усл. печ л, 1 Тираж 100 экз Заказ № 17/00 РИО Брянского государственного университета имени академика II Г Петровского,

241036, г Брянск, ул. Бежицкая, 20

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образовани я «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

04201460423 и

щмтх руК0Пиеи

Родикова Евгения Геннадьевна

Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций

01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-мачсматических наук

Н ау ч п ы й р у ко в од и те л ь

доктор физико-математических паук.

профессор Шамояп Файзо Агитович

Брянск 2014

Оглавление

Введение 3

1 Факторизационные представления и описание корневых

множеств весовых классов аналитических функций 19

1.1 Факторизациоиное представление и описание корневых множеств класса аналитических в круге функций с о - характеристикой из Ьр - весовых пространств...............19

1.2 (3 нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи конечного множества точек на границе................34

1.3 О нулях аналитических классов И. И. Привалова..........48

1.4 Факторизациоиное представление и описание корней классов аналитических в верхней полуплоскости функций с мажора той бесконечного порядка........................52

1.5 Характсризация вещественных корней аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечною порядка .... 05

2 Приложение факторизационных представлений к некоторым

задачам в классах аналитических в круге функций с

ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны 70

2.1 Об интерполяции в классах аналитических в круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны........70

2.2 /Аоценки в классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р. Неванлинны............83

2.3 О коэффициентных мультипликаторах из класса аналитических в круге функций с ограничением на характеристику Р. Неванлинны..............................94

Список литературы 113

Введение

Актуальность темы. Одним из важнейших направлений исследовании в современном комплексном анализе является построение факториза-ционпых представлений весовых классов аналитических функций. Помимо того, что результаты этих исследований имеют самостоятельный интерес, они также широко применяются при решении различных задач комплексного и функционального анализа: при изучении граничных свойств классов аналитических функций, в вопросах теории интерполяции, в задачах аппроксимации. в теории операторов и т.д. Истоки теории факторизации ложа! в классических работах К. Вейрштрасеа, Ж. Адамара. Ф. Бореля. В.В. Голубе-ва. посвященных факторизации целых функций, и в работах Р. Неваплиппы. В.И. Смирнова о представлении функций ограниченного вида и классов Хар-ди. Интерес к этим проблемам по иссякает и в настоящее время. В последние десятилетия были написаны несколько монографий по этой тематике: М.М. Джрбашяном (1966 г.). А.Е. Джрбашяном и Ф.А. Шамояном (1988 i.). Г. Хс-денмальмом, Б. Коренблюмом и К. Жу (2000 г.). К. Осипом (2004 г.). Ф.А Шамоятюм и E.H. Шубабко (2009 г.). При построении факторизациоппыч представлений существенное значение имеет характеризация корневых множеств соответствующих классов аналитических функций. По этой проблеме опубликованы многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых: У. Хеймана. 0. Линдсна. М. Цудзи. Ф.А. Шамояпа. H.A. Широкова. Б.Н. Ха-бибуллина, Б.И. Коренблюма, К. Сейпа. Г. Хеденмальма. А. Боричова. и др. На основании вышеизложеного можно заключить, что выбранная тома диссертационного исследования весьма актуальна.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.

Пусть D единичный круг на комплексной плоскости С. H(D) мпо-жест во всех аналитических в D функций, h{D) множество всех гармонических в D функций. Символом Zf будем обозначать множество всех корней ненулевой функции /, n(t) ~ количество нулей функции _/ в круге \z\ < L. а+ = шах(а, 0). а е К.

В 20-е годы прошлого столетия в работах одного из классиков комплексного анализа Р. Неваплиппы было введено понятие характерист ичс-

ской функции, явившееся оеновопологающим для всей теории аналитических функций: Пусть / £ H(D). характеристикой Р. Неваилиппы называется (функция

7Г

T(r,/) = ^i j ln+ \f{re'*)\d^,

— 7Г

где 0 < г < 1 (см. |17|).

Классом Р. Неванлинны или классом функций ограниченного вида называется множество N функций / £ H(D). для которых

sup Т(г. /) < +оо.

0<с<1

Р. Неванлинна построил факторизационное представление класса N: Класс N совпадает с множеством, функций f £ Н(D). допускающие; представление вида

{2тг h j

+ ОС

где B(z.zk) = Г1 jffjf^I^7 произведение Бляшке.{zh} последователь-к — 1

поспи) точек из D. удовлетворяющая условию Бляшке:

-4 оо

^Г(1-|<г*|) <+ос. (О.Г

г!) вещественная функция ограниченной вариации на [0. 2тг]. 7 € 1. А € Z.

Этот результат нашел многочисленные приложении в ряде разделов комплексного, гармонического и функционального анализа.

В своей монографии Р. Неванлинна ввел также более широкий класс

:= |/ е #(£>) : ~ г)аТ(г,/)с1г < оо| ,о- > -1.

и получил необходимое условие на нули функций из этого класса (см. |17|):

+ОС

- < +оо.

к=1

Каноническое представление класса 5а получено М.М. Джрбашяном в |7|. Достаточность найденного Р. Неванлинной условия была, доказана лишь в 1978 г. Ф.А. Шамояпом в работе [34].

В 1999 г. в работе [37] Ф.А. Шамоян обобщил классы Неванлинпы-Джрбашяпа в следующем направлении: он ввел в расс;мот}>ение классы

5'/; :=lfeH(D): j (1 - r)nTp(r, f)dr < +oo 1 ,

a

получил полное описание корневых множеств и построил факторизациоппое представление этих классов функций при всех 0 < р < +оо.

В 1964 г. М.М. Джрбашян поставил задачу обобщи гь 'теорию Р. Невап-линпы. В работе [8| им была введена новая характе])истическая функция Ta(r.f). Следуя М.М. Джрбашяну. назовем ее о-характеристикой: для лто-бой f G H(D), л > —2

Т"(r" « = 2,ГГ(а + 1) £ d(r " 1,1 UiteV)]dt) d* (0 2)

где Г функция Эйлера.

В этой же работе М. Джрбашяном введен класс Na аналитических в I) функций с ограниченной сс-характеристикой. охарактеризованы нулевые множества и получено параметрическое представление указанного класса функций. Эти результаты стали основополагающими для построения повой 'теории классов мероморфных функций (см. j 1 С)]). Отметим, что Sn С Nn. причем указанное включение - строгое (см. [8. 36]).

На основании вышеизложенного, естественно определить класс

К,-У ■■={!£ H(D) : 1(1- гУ'Т£(г, f)dr < +эо } . а > -1. 0 > -1.

Возникает1 необходимость характеризации корневых множеств и построения

факторизационного представления этого класса.

В последние годы внимание ряда специалистов в области комплексного анализа приковано к проблеме описания корневых множеств ¡весовых классов аналитических в единичном круге функций, растущих вблизи части ею границы. Интерес к этой проблеме объясняется в том числе и важностью приложений этих результатов в спектральной теории линейных операторов, 'теории возмущений и др. (см. [45, 52, 5-3, 54))

Пусть Е конечное множество точек на единичной окружности Т. p(z, Е) — dist{z, Е) расстояние от произвольной точки z £ D до множества Е. Введем в рассмотрение класс

IUE) = | fe H(D) : In \f(z)\ < cjip (-^y) ■ ~ e Z)| .

где ip - монотонно возрастающая положительная функция на Ж+.

В том случае, когда Е состоит из одной 'точки. p(t) — /Л О < q < 1. характеризация корневых множеств класса JIif(E) была получена в работах М.М. Джрбаптяна |7|. X. Шапиро и А. Шилдса |59|. Для случая Е = Т.

— ln£ результат окончательного характера был получен К. Сейпом (см. |55j). Полное описание корневых множеств и факторизациоппое представление класса Н^(Е). Е = Т, в случае более общих весов получено еще в 80-х гг. Ф.А. Шамояпом (см. [34, 35, 48]). Отметим также работы |14]. |26|. |27| Б.Н. Хабибуллина и его соавторов в этом направлении.

В 2009 г. для случая, когда Е С Т конечное множество 'точек на единичной окружности, в работе [45] было установлено следующее утверждение: Если, / G Н_р{Е). Lp{t) = tq, q > 0. последовательность нулей функ-

ции f. то сходится ряд:

+ОС к= i

где е сколь угодно .малое положительное число.

В недавних работах Л. Голинского. С. Купина. С. Фаворова, Л. Ралчепко последний результат был обобщен в различных направлениях (см. [52. 53. 54|). Однако полного описания корневых множеств класса Н.«{Е) до сих пор не было получено. Естественно возникает необходимость окончательного peine-

ни я -пой задачи.

В начале 40-х годов прошлого века одним из классиков комплексного анализа И. И. Приваловым (см. [21]) был введен в рассмотрение к. ¡асе Пр (0 < р < +оо) аналитических в единичном круге функций, для которых:

При 1 < р < +ос справедливо включение Пр С Лг. и из свойспз прои ведения Бляшке следует что корневые множества характеризуются условием Бляшке (0.1). Однако при 0 < р < 1 условие Бляшке уже не является необходимым. более того - нулевые множества классов (0 < р < 1) е\ шеетвеппо зависят от значения параметрар, как установлено в работе Ф. А. Шамояпа и ого соавторов |39|. Вопрос получения полного описания корневых множеств указанного класса функций до сих пор остается открытым.

Исследованию корневых множеств и построению факторизациопных представлений аналитических в полуплоскости функций конечного порядка, а также приложению этих результатов в теории краевых задач посвящена монография Н.В. Говорова [6|. В 1971 г. А.И. Хейфиц в 1971 г. в работе |31| получил представление для аналитических в полуплоскос ти функций с мажорантой бесконечного порядка. Одним из важных свойств фактори зационных представлений является принадлежность каждого сомножителя рассматриваемому классу. Однако в работе [31] указанное свойство не было установлено. Нерешенным также оставался вопрос характеризаци и корневых множеств аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка. Естественно возникает вопрос окончательного решения этих задач.

Как было отмечено выше, факторизационные представления находят многочисленные приложения в решении различных проблем комплексного анализа. Одной из них является задача интерполяции. Теория интерполяции в различных классах голоморфных функций стала интенсивно развиваться после основополагающей работы Л. Карлссона [46) о свободной интерполяции 15 классе ограниченных аналитических функций в крую. Термин «свободная интерполяция» впервые был введен в работе С.А. Виноградова и В.П Хавина |4| при решении интерполяционной задачи в подклассах классов А'г функций ограниченно!1© вида. Задача интерполяции в классах Р. Неванлиниы и В.И

Смирнова была решена в работах |16. 50|, в классах Хард и и Бергмана -в работах [58, 55]. Отметим, что изменение класса функций, в котором решается задача интерполяции, влечет существенные изменения в методах ее решения. Ввиду большой прикладной значимости результатов в этой области исследований, проблема описания следов различных классов аналитических функций остается весьма актуальной.

При исследовании вопросов интерполяции часто появляется необходимость в доказательстве теорем вложения. Впервые теоремы вложения в классах Харди были установлены Л. Карлесоном и применялись им в решении интерполяционной задачи в классе (см. [46]). Доказательству теорем вложения в пространствах Бергмана посвящены работы отечественных математиков В.Л. Олей пика и Б.С. Павлова (см. [19. 20]). Появление новых классов функций влечет за собой необходимость в доказательстве для них теорем вьп 11еу казан hoi ю ти п а.

Одной из классических задач в комплексном анализе является оценка скорости роста функции и коэффициентов ее разложения в ряд Тейлора. Она имеет существенные приложения в вопросах описания сопряженных пространств к пространствам аналитических функций, в теории теилицевых операторов, при описании мультипликаторов и т.д. В середине прошло! о столетия указанная задача в классе функций ограниченного вида была решена С.Н. Мергеляном (см.|22|). Аналог этого результата в классе Неваплипны-Джрбашяпа SQ получил С. В. Швсдснко (см. [44]). Точных оценок модуля и коэффициентов разложения функции из класса Sвведенного Ф.А. Шамо-япом в [37]. до сих пор не было получено.

Цель работы:

1. Характеризация корневых множеств и построение факторизациоппых представлений весовых классов аналитических в круге и в полуплоскости функций.

2. Решение интерполяционной задачи, доказательство теорем вложения в весовых классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р. Неванлинны и описание коэффициентных мультипликаторов из классов аналитических в круге функций, характеристика Р. Неванлинны которых принадлежит ¿^-весовым пространствам, в классы Харди.

Методы исследования: В работе применяются общие методы комплексного и функционального анализа, а также специальные методы, основанные па факторизациоштых и интегральных представлениях исследуемых классов.

Научная новизна: В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Охарактеризованы корневые множества и построено факторизационпое представление весовых классов аналитических в круге функций о - характеристика которых принадлежит V - весовым пространствам.

2. Получено полное1 описание корневых множеств весовых классов аналитических в единичном круге функций, допускающих рост вблизи конечного множества точек на граничной окружности.

3. Получено необходимое условие на нули функций из класса И.И. Привалова Пр (0 < р < 1). близкое к достаточному.

4. Охарактеризованы корневые множества и построено факторизационпое представление весовых классов аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка.

5. В явном виде получено решение интерполяционной задачи в классе аналитических в круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неван.-типны.

6. Доказаны теоремы вложения для весовых классов аналитических в единичном круге функций, характеристика Р. Неванлиппы которых принадлежит Ьр - весовым пространствам.

7. Описаны коэффициентные мультипликаторы из весовых классов аналитических в единичном круге функций, характерие 1 ика Р Неванлинны которых принадлежит V1 - весовым пространствам, в классы Харди.

Практическая и теоретическая значимость:

Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в общей теории аналитических функций, в теории операторов и функциональных пространств, а также могут быть

использованы при чтении спецкурсов для студентов математических снени-а л i л i остей у п и верситетов.

Апробация результатов диссертации: Основные результаты диссертации докладывались па международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2011 г.). «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск. 2012 г.). «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013 г.). на Воронежской зимней математической школе (2013 г.). на Саратовской зимней математической школе (Саратов, 2012 г.. 2014 г.). па Воронежской весенней математической школе (2014 г.). а также неоднократно ira семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского. Часть исследований, результаты которых представлены в диссертации, поддержана грантом РФФИ (проект №13-01-07508).

Публикации.

Результаты исследований нашли отражение в 14 работах: |61| |74|. Работы [61| |G5j входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мипобрпауки РФ. В совместных работах [G3, 65. 68, 70. 73] научному руководителю принадлежат' постановка задачи и идея доказательства.

Структура и объем диссертации. Работа состоит1 из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 8 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 121 страницу. Библиография содержит 60 наименований.

Содержание диссертации.

Первая глава диссертационной работы посвящена вопросам факторизации и характеризации корневых множеств весовых классов аналитических функций.

Для формулировки основных результатов введем дополнительные обозначения. Здесь и в дальнейшем, если не оговорено иное, мы будем обозначать через С. с, С\...., сп(а, ¡3,...) положительные константы, зависящие; от а. в. ...

Следуя М.М. Джрбашяну (см. [7]). введем бесконечное произведение тгз(г. О'а-); ¡3 > — 1. с нулями в точках последовательности {cv'/i;}^:

А,=1

где

тгл(2, а*) = Д - ехрси)). (0.3)

1 *

2(Р + 1) [ [(1-р2)Пп\1 ск

ак) = ^Г^ I ] (1-гре-^ СЮр(]р- ((и)

0 —7Г

Как установлено в [7|, произведение тгз(~, о^) сходится абсолют по и равномерно 13 О тогда и только тогда, когда сходится ряд

+оо

- <+оо. (0.5)

к=1

Введем также в рассмотрение класс О. Бесова на единичной окружности (см. [24. с. 179]). Функция -ф 6 ЬА(—7Г, 7г) принадлежит классу О. Бесова В\]Г если

IIVII <+оо. (0.6)

1 де 0 < р < +оо, 0 < я < 2, = - 2ф(е'°) + с{е<(°- п).

0 е [-7Г.7Г].

Если же я > 2, то я!^ £ В(р. в' = ,<? — [л], [б] полая часть числа ч В том случае, если р = оо, 0 < .9 < 2. суммируемая на единичной окружности функция ф принадлежит классу В\ ^ тогда и только тогда. ко1 да

0<4<1 I } НД ( 1

Следуя М.М. Джрбашяну (см. |9. с. 606]). определим также функцию Л _ гЧ"+1) 4\а+1 П(0)

Аг,> г.

+СС

где п(0) кратность пуля в точке 2 = 0. �