Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517 55

БЕДНАЖ ВЕРА АРКАДЬЕВНА

ОПИСАНИЕ СЛЕДОВ, ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГЛАВНЫХ ЧАСТЕЙ В РАЗЛОЖЕНИИ ЛРРАНА КЛАССОВ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА РОСТ ХАРАКТЕРИСТИКИ Р НЕВАНЛИННЫ

Специальность 01 01 01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3175183

Санкт-Петербург - 2007

003175183

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета ГОУ ВПО Брянского государственного университета имени академика И Г Петровского

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор, Шамоян Файзо Агитович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор, Широков Николай Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Васин Андрей Васильевич

Ведущая организация

Смоленский государственный университет

Защита состоится « /4 » 2007года в _ на заседании

диссертационного совета К 212 199 02 по присуждению ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А И Герцен по адресу 191186, г Санкт - Петербург, наб Мойки, 48, корп 1, ауд_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного педагогического университета имени А И. Герцена

Автореферат разослан « Ь » е^>иасуь 5007г

Ученый секретарь

диссертационного совета, 0

к ф-м наук Емельянов А П

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В комплексном анализе особое место занимает теория мероморфных функций Систематическое построение этой теории связано с классическими работами Р Неванлинны Методы теории мероморфных функций имеют многочисленные приложения не только в теории функций, но и в других областях математики Поэтому открытие новых закономерностей справедливых для важных подклассов классов мероморфных функций является актуальной задачей современного комплексного анализа Ряд важных проблем в теории классов мероморфных функций сводится к решению интерполяционных задач в соответствующих классах голоморфных функций Теория интерполяции в классах голоморфных в круге функций интенсивно развивалась после основополагающей работы Л Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций В течение нескольких последних десятилетий удалось разрешить много задач такого рода как в более широких классах голоморфных функций, чем класс ограниченных аналитических функций, так и более узких классах классах аналитических в круге функций гладких вплоть до его границ Здесь, прежде всего, отметим фундаментальные работы Г Шапиро, А Шилдса, С А Виноградова, П Джонса, Е М Дынькина, Н А Широкова, А М Коточигова, К Сейпа Эти результаты изложены в хорошо известных обзорах С А Виноградова, В П Хавина, в монографиях К Гофмана, П Кусиса, Д Гарнетта, X Хеденмальма, Б Коренблюма и К Жу

Однако решение задач такого рода в классах функций с различными ограничениями на характеристику Р Неванлинны мало изучены

Объект и предмет исследования. Объектом исследования в диссертации являются классы аналитических и мероморфных в единичном круге функций Проводятся исследование свойств разложения в ряд Лорана в окрестности особых точек классов мероморфных функций, изучение следов аналитических функций указанных классов на множествах Л Карлесона

Цель работы. 1)Найти явное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида и в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип

2)Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.

3)Установить, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный положительный порядок и нормальный тип, в отличие от класса Р Неванлинны, инвариантен относительно оператора дифференцирования

4)Получить описание главных частей в разложении Лорана мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна

5)Описать главные части в разложении Лорана мероморфных в конечной плоскости функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа Важную роль играют факторизационные представления исследуемых классов

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты

- найдено в явном виде решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида,

- найдено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип,

- построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности,

- получена характеризация главных частей мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, а также в классах мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна,

- установлено, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, инвариантен относительно оператора дифференцирования,

- описаны главные части в разложении Лорана мероморфной функции конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек

Теоретическая значимость. В диссертации предложено конструктивное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида, а также в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип В данных классах рассматриваемая задача решается впервые Получен ответ на вопрос, при каких условиях на заданную последовательность рациональных функций существует мероморфная в единичном круге функция, имеющая вблизи единичной окружности положительный конечный порядок и нормальный тип, главные части которой совпадают с данной последовательностью Эти результаты могут иметь применение при исследовании классов мероморфных функций с различными ограничениями на характеристику Р Неванлинны

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в общей теории функций комплексного переменного и его приложениях

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании разложений мероморфных функций из различных классов в окрестности особых точек и вопросов интерполяции

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

- построение в явном виде решения задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида,

- построение решения задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип,

- построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности,

- доказательство того, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности положительный конечный порядок и нормальный тип, инвариантен относительно оператора дифференцирования,

- характеризация главных частей мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашя-на,

- описание главных частей в разложении Лорана мероморфной в конечной плоскости функции конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И Г Петровского (2001 - 2007 гг), на Воронежской зимней математической школе «Современные ме-

тоды теории краевых задач» (Воронеж, 2001 г), на научной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения акад И Г Петровского (Брянск, 2001 г), на международной конференции, посвященной 200-летию Казанского университета «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (Казань, 2002 г), на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007 гг), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-17» (Воронеж, 2006 г), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г)

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [11] Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 8 параграфов, и списка использованной литературы Работа занимает 116 страниц Библиография содержит 53 наименования

Содержание диссертации. Во введении приводится обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, а также краткое содержание диссертации

Пусть £) = {г |г|<1} - единичный круг на комплексной плоскости, Н (Э) -множество всех голоморфных в О функций, М(О) - множество всех меро-морфных в О функций, /бМ(й) Характеристикой Р Неванлинны функции / называется выражение

-ж

где ге (0,1), М(г^) = —-—^—-с1г - усредненная считающая о '

функция последовательности полюсов функции /, ={саг<1 Ьк, |^|<г],

Ь^ - полюса функции / в Э, п(0,°°) - кратность полюса / в начале координат

В классических работах Р Неванлинны и В И Смирнова были исследованы вопросы факторизации функций ограниченного вида Напомним, что функция / называется функцией ограниченного вида, если характеристика Р Неванлинны этой функции ограничена на интервале (0,1) Этот класс называют классом Р Неванлинны и обозначают символом N Из результатов Р Неванлинны следует, что класс N совпадает с классом мероморфных функций, являющихся отношением двух ограниченных аналитических в единичном круге функций

Одним из важных результатов теории мероморфных в единичном круге функций является построение факторизационных представлений класса мероморфных функций Ыа, си > —1, введенного Р Неванлинной в 40-х годах прошлого столетия Это класс мероморфных в О функций, для которых характеристика Г (г,/) подчинена ограничению

1

|(1 -г)°Т(г,/)«/г<+-

о

Каноническое представление этого класса было получено М М Джрбашяном (1948 г) В дальнейшем Ф А Шамоян (1978 г) охарактеризовал корневые множества и множество полюсов функции из класса построил параметрическое представление рассматриваемого класса Указанное факторизационное представление существенно используется при решении кратной интерполяционной задачи в классах Аа = Н(0)сл

Перейдем к постановке вышеуказанной интерполяционной задачи в классах Яр, Харди, 0 <р<+°° Пусть {ак}~ ,аке й,к = \,2, , и {ук- произвольные последовательности комплексных чисел и 5 > 1, у > 1, - кратность появления числа а] на отрезке {акУ Требуется выявить критерии для [ак}"и

обеспечивающие существование функции /еЯ', Харди, 0<р<+оо, удовлетворяющей интерполяционным условиям

1(ч'1){ак) = ГкЛ=1,2, , (0 1)

и построить аппарат для явного представления решений такого рода

Задача кратной интерполяции была поставлена и решена в работе М М Джрбашяна (1974) в классах Харди

В случае, когда, акеО,к = 1,2, , попарно различны (то есть

= 1, у > 1) эта задача сводится к классической интерполяционной задаче

/{ак) = гкЛ=и, , (0 2)

с простыми узлами {ак

Критерии существования решения задачи (0 2) в классе Н°° ограниченных в единичном круге функций либо в классах Нр, Харди, 0< были уста-

новлены в работах Л Карлесона, Д Ньюмана, Г Шапиро и А Шилдса, В Ка-байла

В цикле работ М М Джрбашяна, Ф А Шамояна, В М Мартиросяна было получено полное решение задачи (0 1) в классах Нр, Харди, в круге Явное построение решения интерполяционной задачи в случае простых узлов получено П Джонсом В классах голоморфных в круге функций гладких вплоть до границы задачи интерполяции получили полное решение в известных работах Е М Дынькина, Н А Широкова, А М Коточигова

В последнее время задача интерполяции в случае простых узлов была решена в классах голоморфных в круге функций, принадлежащих весовым классам Бергмана, и в классах голоморфных в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности Эти результаты подробно изложены в монографии X Хеденмальма, Б Коренблюма и К Жу

Перейдем к обзору основных результатов диссертации по главам В первой главе «Кратная интерполяции в некоторых классах аналитических в круге функций» в явном виде строится решение задачи кратной интерполяции при условии, что узлы интерполяции находятся в конечном числе углов Штольца и вместо известного условия Л Карлесона

п

J*k

<*]-<*к

1 -а}ак

= 5> 0

(0 3)

возникает менее ограничительное условие на узлы интерполяции

В § 1.1. главы I рассматриваемая задача решается в классах Ыд функций ограниченного вида, то есть

ж

NA=\feH(D) sup f ln+|/f re'^j d(p<+°° I

Кроме введенного параметра Sj > 1, j> 1, обозначим через p} кратность появления числа а] во всей последовательности {а^

Последовательность комплексных чисел {акиз единичного круга D,

подчиненная условию Бляшке принадлежит классу Др, если

выполняются условия

к=1

п

7=1

l-akaj

> ехр -

о-

а.

™Р{Рк} = Р<+оа к>\

Основной результат этого параграфа содержится в теореме 1 1

Теорема 1.1. Пусть последовательность комплексных чисел {«^"е Др, точки ак, к=1,2, , находятся в конечном числе углов Штольца Т(6т), т = 1,2, ,п, тогда для любой последовательности такой, что

0-KDJ

к=1,2, ,

можно построить в явном виде функцию /, / е NЛ, являющуюся решением интерполяционной задачи у^*"1' (ак ) = ук, к-1,2,

В § 1.2. главы I строится решение задачи кратной интерполяции в пространствах Хр аналитических в О функций /, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок р и нормальный тип, то есть существует константа с > 0 такая, что

|/(г)|<ехр-

(4*1)'

Справедлива следующая теорема

Теорема 1.2 Пусть последовательность {сск}™, аке О, к=1,2, ., удовле-

творяетусловию —< . точки ОСк, к=1,2, , находятся в конечном к= 1

числе углов Штольца Т{вт), т = 1,2, ,п,

п

.7=1 <х;*ак

1 -akctj

С

>ехр----,6> 0, (04)

(1-КГ

sup{pk} = р<+°°<

к> 1

тогда дчя проювочъной последовательности {й^}" такой, что

I I с(й>)

О-Ы)

можно построить в явном виде функцию /, / е Хр, являющуюся решением

интерполяционной задачи 1\ак) = щ , к=1,2,

В этом же параграфе устанавливается, что условие (0 4) в известном смысле является необходимым

В § 1.3. главы I построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности

Во второй главе «Характеризация главных частей в разложении Лорана мероморфных функций с ограничениями на характеристику Неванлинны», исходя из классических результатов о кратной интерполяции в единичном круге, дается полная характеристика главных частей мероморфных функций при условии, что особые точки мероморфных функций удовлетворяют условию Л Карлесона Отметим, что впервые задача такого рода для функций ограниченного вида в круге была поставлена и решена в работе А Г Нафталевича

В § 2.1 главы II получена характеризация главных частей мероморфных в V функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна (а> —1) Следуя Р Неванлинни, обозначим Ыа [а > -1) - класс мероморфных в Б функций /, для которых

1

|(1-Г2)а Т(г,/)с1г<+ оо о

Теорема 2.1. Пусть последовательность {г*}^ удовлетворяет условию Л Карлесона Тогда для того, чтобы существовала функция я(г)е Nи, ге О, с главными частями

и/ \ акп . ак,п-\ , , ак,1 , , Г,

Н(г,гк,ак) =--+-!—+-—, к = 1,2, ,

(г-г*) (г-гк) (г~гк)

необходимо и достаточно, чтобы

(1-кП

В § 2.2 главы II, используя параметрическое представление класса мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, , а > 0,

Л£=|/еМ(Я) Г(г,/)<^^,0<г<1|,

полученное в работе Ф А Шамояна и Е Н Шубабко, устанавливается следующий результат, который играет существенную роль при характеризации главных частей функций рассматриваемого класса

Теорема 2 3. Класс при любых а > 0 инвариантен относительно оператора дифференцирования

Интересно, что класс Р Неванлинны N = А^ не инвариантен относительно оператора дифференцирования Это было установлено еще в 40-х годах прошлого столетия О Фростманом

В § 2.3 главы II дается полная характеристика главных частей функций из класса , а > 0

Следуя М М Джрбашяну, введем бесконечное произведение

\Р

к=\

1 —

Ук

ехр

2(/? + l)'jj О-/5')

* o-Í(\-pe-,erk)

Р+2

1п

ре

Ук

pdpdO

которое равномерно сходится внутри D тогда и только тогда, когда

10-

к=\

/7+2

Теорема 2.4. Пусть последовательность удовлетворяет условию Л Карчесона Тогда дчя того, чтобы существовала функция ge Ы™ с главны-

ми частями

H{z,zk,ak) = -

ak,n

2k,n-1

ak 1

+ + , ' k = 1,2,

iz~zk)

(г-г*)" (гГ1

необходимо и достаточно, чтобы

Га+1,

к=1

В § 2.4 главы II изучаются свойства корневых множеств класса И И Привалова П(р), 0</?<1 Скажем, что функция /е Я(О) принадлежит классу ИИ Привалова П(р), если

Очевидно, что при р = 1, класс И И Привалова совпадает с классом Р Не-ванлинны Нетрудно доказать, что при р'> р П(//) с П(р) Поэтому, если р > 1, то корневые множества описываются условием Бляшке, но при р < 1 условии Бляшке уже не является необходимым условием для корневых множеств класса И И Привалова

Теорема 2.5 Если /еП(р), 0<р<1 и /(гк) = 0, £ = 1,2, . , то ряд

«э 1

У (\< при произвольном £>0 Обратно, существует /еП(/>) и к= 1

последовательность {гк}", гке Э, к=1,2, , такие, что f(zk) = 0, к = 1,2, * О, г^, ^ = 1,2, ,приэтом

1+е /

1

к=1 V

Для изложения результата, полученного в § 2.5 главы II, введем следующие обозначения Пусть М (С) - множество всех мероморфных в конечной плоскости С функций, М(/?,+°°) - множество всех функций /е М(С), имеющих конечный порядок р и нормальный тип, то есть тех, для которых характеристика Р Неванлинны удовлетворяет условию

Т(г,/)<сггр, г> 1, р> О В § 2.5 главы II получена характеризация главных частей в разложении Лорана в окрестности особых точек {г*}" функций класса М(р,+°о), при условии, что множество {г^}" является интерполяционным для класса целых функций конечного порядка р и нормального типа

Публикации по теме диссертации

1 Беднаж BAO кратной интерполяции в пространстве аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности // Современные методы теории функций и смежные проблемы Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы -Воронеж ВГУ -2001 -С 35-36 - 0,9 п л

2 Беднаж BAO кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида // Материалы научной конференции, посвященной 100 -летаю со дня рождения акад И Г Петровского - Брянск Изд-во БГПУ, 2001 - С 32-33 -0,12 п л

3 Беднаж В А , Шамоян Ф А Описание главных частей в разложении Лорана некоторых классов мероморфных в круге функций // Вестник Брянского государственного университета - № 4(2004) Естественные и точные науки -Брянск Изд-во Б ГУ, 2004 - С 84-92 - 0,54/0,27 п л

4 Беднаж В А О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу N^ Н Вестник Брянского государственного университета - № 4(2005) Естественные и точные науки - Брянск Изд-во БГУ, 2005 - С 153-159 - 0,42 п л

5 Беднаж BAO решении одной интерполяционной задачи в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип // Системы компьютерной математики и их приложения Материалы международной конференции - Смоленск - 2005 -С 114-115 -0,06 п л

6 Беднаж BAO характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа // Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягин-ские чтения-17» - Воронеж - 2006 - С 21 -22 - 0,06 п л

7 Беднаж В.А. О характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2007(июнь), (принята в печать в2006г). -Т. 345 - Исследования по линейным операторам и теории функций.35.- С. 51-54. - 0,24 пл.

8 Беднаж BAO кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип // Современные методы теории функций и смежные проблемы Материалы докладов Воронежской зимней математической школы - Воронеж ВГУ - 2001(январь) - С 22-23 -0,12 п л

9 Беднаж В А, Шамоян ФА Об инвариантности относительно оператора дифференцирования одного класса мероморфных в единичном круге функций // Системы компьютерной математики и их приложения Материалы международной конференции / Мин-во образования и науки РФ, Смоленский гос ун-т -Смоленск Изд-воСмолГУ-2007(май) -Вып 8 -С 136 -0,06/0,03 п л

10 Лаптева В А , Шамоян Ф А Об интерполяции в некоторых классах аналитических в круге функций // Труды математического центра имени H И Лобачевского -2002 -Т 13 -С 102-105 -0, 18/0,09 п л

11 Лаптева В А , Шамоян Ф А О характеризации главных частей некоторых классов мероморфных в круге функций // Деп в ВИНИТИ 29 01 2004 - №166-В2004 -30 с - 1,8/0,9 п л

Подписано в вечать 3 10 2007г Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать цифровая Уел печ л 8 25 Тираж 100 экз Отпечатано в ЦКЦ «Восстания-1» Санкт-Петербург, пл Восстания д 1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Кратная интерполяции в некоторых классах аналитических в круге функций.

§1.1.0 кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида.

§1.2. Решение задачи кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций конечного порядка и нормального типа вблизи единичной окружности.

§1.3. Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.

ГЛАВА И. Характеризация главных частей в разложении Лорана мероморфных функций с ограничениями на характеристику Неванлинны.

§2.1. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу

Неванлинны - Джрбашяна.

§2.2. Об инвариантности класса И™ относительно оператора дифференцирования.

§2.3. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу

§2.4. О некоторых задачах в классах И.И. Привалова.

§2.5. О характеризации главных частей функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Актуальность темы. В комплексном анализе особое место занимает теория мероморфных функций. Систематическое построение этой теории связано с классическими работами Р. Неванлинны. Методы теории мероморфных функций имеют многочисленные приложения не только в теории функций, но и в других областях математики. Поэтому открытие новых закономерностей справедливых для важных подклассов классов мероморфных функций является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ряд важных проблем в теории классов мероморфных функций сводится к решению интерполяционных задач в соответствующих классах голоморфных функций. Теория интерполяции в классах голоморфных в круге функций интенсивно развивалась после основополагающей работы Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций. В течение нескольких последних десятилетий удалось разрешить много задач такого рода как в более широких классах голоморфных функций, чем класс ограниченных аналитических функций, так и более узких классах: классах аналитических в круге функций гладких вплоть до его границ. Здесь, прежде всего, отметим фундаментальные работы Г.Шапиро, А. Шилдса (см.[53]), С.А. Виноградова, Е.М. Дынькина (см.[20]), H.A. Широкова (см.[37]), A.M. Коточигова (см.[21], [22]), К. Сейпа (см.[51]). Эти результаты изложены в хорошо известных обзорах С.А. Виноградова, В.П. Хавина (см.[12]), в монографиях К. Гофмана (см.[13]), П. Кусиса (см.[23]), Д. Гарнетта (см.[14]), X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу (см.[46]).

Однако решение задач такого рода в классах функций с различными ограничениями на характеристику Р. Неванлинны мало изучены.

Цель работы. 1)Найти явное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида и в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип.

2)Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.

3)Установить, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный положительный порядок и нормальный тип, в отличие от класса Р. Неванлинны, инвариантен относительно оператора дифференцирования.

4)Получить описание главных частей в разложении Лорана мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, а также в классах мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна.

5)Описать главные части в разложении Лорана мероморфных в конечной плоскости функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа. Важную роль играют факторизационные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

- найдено в явном виде решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида;

- найдено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип;

- построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности;

- получена характеризация главных частей мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна;

- установлено, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип инвариантен относительно оператора дифференцирования;

- описаны главные части в разложении Лорана мероморфных функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти приложение в общей теории функций комплексного переменного и его приложениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2001 - 2007 гг.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2001 г.); на научной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения акад. И.Г. Петровскому (Брянск, 2001 г.); на международной конференции, посвященной 200-летию Казанского университета «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (Казань, 2002 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-17» (Воронеж, 2006 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.).

Содержание диссертации.

Для изложения содержания диссертации вначале приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы. Пусть В = : \г\ < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, - множество всех голоморфных в В функций, М(£>) - множество всех мероморфных в Б функций, / еМ(£>). Характеристикой Р. Неванлинны функции / называется выражение

2тг

-к \ ( \ ГГП(^СО) ~ п(0,оо) где г е (ОД), А/"(г,/) = —------'-(И - усредненная считающая функция

• t о 1 последовательности полюсов функции /, я (г, со) = Ьк, < г|, Ь^ - полюса функции / в Э, л (0,оо) - кратность полюса / в начале координат.

В классических работах Р. Неванлинны и В.И. Смирнова были исследованы вопросы факторизации функций ограниченного вида. Напомним, что функция / называется функцией ограниченного вида, если характеристика Р. Неванлинны этой функции ограничена на интервале (ОД). Этот класс называют классом Р. Неванлинны и обозначают символом N. Из результатов Р. Неванлинны следует, что класс N совпадает с классом мероморфных функций, являющихся отношением двух ограниченных аналитических в единичном круге функций.

Одним из важных результатов теории мероморфных функций является построение факторизационных представлений класса мероморфных функций Ыа, а > -1, введенного Р. Неванлинной в 40-х годах прошлого столетия. Это класс мероморфных в £> функций, для которых характеристика Г (г,/) подчинена ограничению 1

1 - г)а Т(г,/)с1г < +оо. о

В дальнейшем Ф.А. Шамоян (1978 г.) охарактеризовал корневые множества и множество полюсов функции из класса Иа, построил параметрическое представление этого класса. Указанное факторизационное представление существенно используется при решении кратной интерполяционной задачи в классах

Перейдем к постановке вышеуказанной интерполяционной задачи в классах Нр, Харди, 0 < р <+оо. Пусть {ак}™ ,ак е Д & = 1,2,., и {/ь}™ - произвольные последовательности комплексных чисел и я - > 1, у > 1, - кратность появления числа а^ на отрезке {} ^. Требуется выявить критерии для [а^и ук , обеспечивающие существование функции / е Нр, Харди, 0 < р < +оо, удовлетворяющей интерполяционным условиям

У^"1\ак) = ук,к=1,2,., (0.1) и построить аппарат для явного представления решений такого рода.

Общая задача кратной интерполяции была поставлена и решена в классе гу

Харди, Н , в работе М.М. Джрбашана [18].

В случае, когда, {сск}™, сск е Д к = 1,2,., попарно различны (то есть =1, у > 1) эта задача сводится к интерполяционной задаче ак) = ук,к=1,2,., (0.2) с простыми узлами [оск]^.

Критерии существования решения задачи (0.2) в классе ограниченных в единичном круге функций либо в классах Нр, Харди, 0 < р < +оо, были установлены в работах Л. Карлесона, Д. Ньюмана, Г. Шапиро и А. Шилдса, В. Ка-байла; в классах гармонических в круге функций - в работе Дж. Гарнета (см. [44]).

В цикле работ М.М. Джрбашяна, Ф.А. Шамояна, В.М. Мартиросяна (см.[18], [19], [28], [35]).было получено полное решение задачи (0.1) в классах Нр в круге. Явное построение решения интерполяционной задачи в случае простых узлов {сск}™получено П. Джонсом (см.[23], [47]).

В последние десятилетия задача интерполяции в случае простых узлов была решена в классах голоморфных в круге функций, принадлежащих весовым классам Бергмана, и в классах голоморфных в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности. Эти результаты подробно изложены в монографии X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу (см.[46]). Перейдем к обзору основных результатов диссертации по главам. В первой главе диссертации в явном виде строится решение задачи кратной интерполяции при условии, что узлы интерполяции находятся в конечном числе углов Штольца и вместо известного условия Л. Карлесона а ;-аъ П j*k

1 -ajak ô> О

0.3) возникает совершенно другое.

В § 1.1. главы I рассматриваемая задача решается в классах функций ограниченного вида, то есть d(p < +оо e#(D):sup fin+ f(rei(p)

0<r<l i X '

L. —71

Кроме введенного параметра s • >1, j > 1, обозначим через pj кратность появления числа ctj во всей последовательности

Последовательность комплексных чисел {ак}™ из единичного круга D, оо подчинённая условию Бляшке ^(l - \ак < +оо, принадлежит классу Ар, если выполняются условия: к= 1 оо п

7=1 ccj*ak aj

1- akâj ехр

О-Ы) ё>0, к> 1

Основной результат этого параграфа содержится в теореме 1.1.

Теорема 1.1. Пусть последовательность комплексных чисел {<%к}™ е Ар, точки ак, к=1,2,., находятся в конечном числе углов Штольца Г(б^), 1,2,.,и; тогда для любой последовательности {ук]™ так°й, что m

Ы^ехр<

1-Ы) к=1,2,., можно построить в явном виде функцию /, / е NА, являющуюся решением интерполяционной задачи к (ак) = ук, к=1,2,.

В § 1.2. главы I строится решение задачи кратной интерполяции в пространствах Хр аналитических в Э функций /, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок р и нормальный тип, то есть существуют константы сх > 0, с2 > 0 такие, что

2)|-с1ехР

1-И)'

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть последовательность аке.В, к=1,2,., удовлеоо творяетусловию - \ак< +оо; точки ак, к=1,2,., находятся в конечном к=1 числе углов Штольца Г (вт), т = 1,2,., п;

С0 П

7=1 сс]*ак ак-а]

1 -ака] ехр

1-К1У

0.4) к> 1 тогда для произвольной последовательности {сок}™ такой, что

I I с(0))

С1"К1) можно построить в явном виде функцию /, / е Хр, являющуюся решением интерполяционной задачи ^ = 0)к, к=1,2,.

В этом же параграфе устанавливается, что условие (0.4) в известном смысле является необходимым.

В § 1.3. главы I построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности, то есть в классах Ат (£)) множества функций / е//(/)) таких, что с,

1/М1 т <еЯ,.

1-иг

Последовательность комплексных чисел {оск}™, удовлетворяющих условиям тГ к> 1 П

7=1 у

1- 8> 0, к> 1 отнесем к классу А р.

Теорема 1.4. Пусть последовательность комплексных чисел \аке Ар, тогда для любой последовательности {ук такой что п n

1-к1)

1П+Як

-р к 1,2, ряд / (г) = ^^ук0.к (г), г&Э, сходится абсолютно и равномерно внутри едик=1 ничного круга и определяет функцию / е Ат, удовлетворяющую интерполяционным условиям ^(ак)=:ук, к=1,2,. д. (г)| - специальная система аналитических в Э функций, построенная в явном виде и ассоцированная с последовательностью •

В случае, когда =1, к = 1,2,., задача в классах Ат решена в работе [51].

Во второй главе, исходя из результатов о кратной интерполяции в единичном круге, даётся полная характеристика главных частей мероморфных функций при условии, что особые точки мероморфных функций удовлетворяют условию Л. Карлесона. Отметим, что впервые задача такого рода в классе функций ограниченного вида была поставлена и решена, без явного построения решения, в работе А.Г. Нафталевича (см. [29]).

В § 2.1 главы II получена характеризация главных частей мероморфных в Б функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна Иа (а > -1).

Следуя Р. Неванлинни, обозначим Иа (а > -1) - класс мероморфных в В функций /, для которых 1

1-г2)а -Г(г,/)й?г<+оо. о

Теорема 2.1. Пусть последовательность {гудовлетворяет условию Л. Карлесона. Тогда для того, чтобы существовала функция е Ма, г е В, с главными частями

Н (г,гк,ак) =-!-+-!-Г + . + 7-—г, к = 1,2,., необходимо и достаточно, чтобы

Д1" Ы) 111 "Г---^-<+00,1 = 1,2,.,л. Ц-\2к\2

В § 2.2 главы II, используя параметрическое представление класса мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, А^, а > 0, а еМ(£):Г(г,/)<7-^7; 0<г<1

1 -Г)с полученное в работе [52], устанавливается следующий результат, который играет существенную роль при характеризации главных частей функций рассматриваемого класса.

Теорема 2.3. Класс при любых а > О инвариантен относительно оператора дифференцирования.

Интересно, что класс Р. Неванлинны N = не инвариантен относительно оператора дифференцирования. Проблема об инвариантности класса N относительно оператора дифференцирования была поставлена Р. Неванлинной в работе [48]. Указанная гипотеза была опровергнута в работе [43].

В § 2.3 главы II дается полная характеристика главных частей функций из класса А^, а > 0.

Следуя М.М. Джрбашяну, введем бесконечное произведение

Мг>п)=П к=1 12 V

Ук ехр<

10

1п 1 ре рйрйв >

Ук которое равномерно сходится внутри £) тогда и только тогда, когда

Р+2

ЕО-ЫГ

Теорема 2.4. Пусть последовательность {гк ]г|° удовлетворяет условию

Л. Карлесона. Тогда для того, чтобы существовала функция g е с главными частями тт( \ ак,п ак,п-\

Н{г,гк,ак) =-+ • - 2к Т (г-чГ] необходимо и достаточно, чтобы . + , акЛ ,, к = 1,2,., г~2кУ

00 а+1 I \

ЕО-ЫГ" 1п+<+с°>/=1,2,.,и. к=1

В § 2.4 главы II изучаются свойства корневых множеств класса И.И. Привалова П(р), 0 < р < 1. Рассматриваемый класс функций был впервые введен в работе [31]. Скажем, что функция / принадлежит классу И.И. Привалова П(/?), если

8ир ] (1п+1й<р + N(r,/) < -к».

0<г<1 Л,

Очевидно, что при р = 1, класс И.И. Привалова совпадает с классом Р. Не-ванлинны. Нетрудно доказать, что при р' > р П(//) с: П(/>). Поэтому, если оо р > 1, то корневые множества описаны условием Бляшке -< +оо, но к=1 при р < 1 условие Бляшке уже не является необходимым условием для корневых множеств класса И.И. Привалова.

Теорема 2.5. Если/еП (/?), 0</?<1 и /(гк) = 0, к = 1,2,., то ряд оо 1 оо при произвольном £ >0. Обратно, существует / е П(/>) и к=1 последовательность , гк еИ, к-1,2,., такие, что /(гк) = 0, к-1,2,., г ^ гк, к = 1,2,., при этом

ЛЧФ-ъ р к=\

1 ! n

V1 —1^1 V +00 .

В § 2.5 главы II получена характеризация главных частей мероморфной в конечной плоскости функции конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.

Пусть С - комплексная плоскость, М(С) - множество всех мероморфных функций на С, / е М{С), Т(г,/) - как и прежде характеристика Р. Неванлин-ны.

Функция / еМ(С) имеет конечный порядокр и нормальный тип, если существует су е я+ такая, что

Т(г,/)<С/гр, г>1, р > 0.

14

Множество таких функций обозначим через М(уС>;+оо), а класс целых функций конечного порядка/? и нормального типа - Н(р;+ оо).

Как следовало ожидать, такие задачи сводятся к соответствующей интерполяционной задаче в классе Н(р;+ оо). Полная характеризация интерполяционных множеств в этом классе получена в работах А.Ф. Леонтьева, A.B. Братищева, Ю.Ф. Коробейника (см.[11], [27]).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.6. Пусть последовательность [zk - интерполяционная в классе #(/?;+со). Тогда для того, чтобы существовала функция g еМ(р;+ оо) с главными частями а

1,1 а к, 2 .+

Я*.

Рк

-**) (z-zk)2 - (z-zkyb в окрестности точки z,, необходимо и достаточно, чтобы lim k-++оо

In а к л

4оо,/ = 1 ,рк.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

15

1. Беднаж В.А. О кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида // Тезисы докладов научной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения акад. И.Г. Петровского. Брянск: Изд-во БГПУ. -2001. - С.32-33.

2. Беднаж В.А., Шамоян Ф.А. Описание главных частей в разложении Лорана некоторых классов мероморфных в круге функций // Вестник Брянского государственного университета. № 4(2004): Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ. - С. 84-92.

3. Беднаж В.А. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу Ы™ // Вестник Брянского государственного университета. -№ 4(2005): Естественные и точные науки. Брянск: Изд-во БГУ. - С.153-159.

4. Беднаж В.А. О характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Пон-трягинские чтения-17». Воронеж. - 2006. - С. 21-22.

5. Беднаж В.А. О характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 345 - С. 51-54.

6. З.Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций- М.: Мир, 1963.

7. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. -469с.

8. Гольдберг A.A., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Мир, 1970.

9. Гришин А.Ф., РуссаковскийА.М. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функцион. анализ и их прил. 1985. - Вып.44.С. 32-42.

10. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. института математики и механики АН Арм.ССР. Вып. 2 1948.С.3-55.

11. Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н II Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1974. - Т.9. - № 5. с. 339-373.

12. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Нр в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. 1978. - Т.43. - № 6. - С. 1327 - 1384.

13. Дынькин Е.М. Множества свободной интерполяции в классах Гёльдера // Математический сборник. 1979.-Т. 109-№ 1. - С. 107-128.

14. Коточигов A.M. Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1976. - Т. 56. - С. 186-187.

15. Коточигов A.M., Широков H.A. Свободная интерполяция для классов Гельдера в жордановых областях // Проблемы математического анализа. -Т.1 -Изд-во СПбГУ, 1995. С.109-138.

16. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Волффа теоремы о короне М: Мир, 1984. - 368с.

17. Лаптева В.А., Шамоян Ф.А. Об интерполяции в некоторых классах аналитических в круге функций // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2002. - Т. 13. - С. 102-105.

18. Лаптева В.А., Шамоян Ф.А. О характеризации главных частей некоторых классов мероморфных в круге функций // Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004. -№166-В2004. 30 с.

19. Леонтьев А.Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

20. Леонтьев А.Ф.Разрешимость интерполяционной задачи в классе целых функций // ДАН СССР 1949. - Т. 66. - С. 33-34.

21. Мартиросян В.М. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности Я00// ДАН СССР 1982. - Т. 263. - С. 805 -808.

22. Нафталевич А.Г. Об интерполировании функций ограниченного вида // Ученые записки Вильнюсского университета. 1956 - С. 5-27.

23. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: Гостехиздат. 1941.

24. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.: Гостехиздат. 1937.

25. Привалов И.И. Граничные свойства однозначных аналитических функций- М.: Изд-во МГУ, 1941.

26. Фирсакова О.С. Некоторые вопросы интерполирования с помощью целых функций // ДАН СССР 1958. - Т. 120. - № 3. - С. 477-480.

27. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1978. - Т. 13. - №№ 5-6 - С. 405 -422.

28. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Нр II Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. -1976.-T.il -№2-С.124-131.

29. Шамоян Ф.А., Курсина И.С. Об инвариантности некоторых классов голоморфных функций относительно интегро- дифференциальных операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. - Т. 255. - С. 184-197.

30. Широков Н.А. Свободная интерполяция в пространствах СА * // Матемаг,сотический сборник. 1982 - Т. 117. - № 3. - С. 337-358.

31. Branges L. Hilbert spaces of entire functions. Prentice - Hall, Inc., Engle-wood Cliffs, N.J., 1968. - P.326.

32. Bruna J., Pascuas D. Interpolation in II bond. Math. Soc. 1989. - V. 40. -P. 452-466.

33. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math. 1958- V. 80. - P. 921-930.

34. Chalmers B.L. Some interpolation problems in Hilbert spaces // Mich. Math. J.- 1971-V. 18. № 3 - P. 41-50

35. Djrbashian M.M., Shamoyan F.A. Topics in the theory of A? spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988.-V.105. - P. 200.

36. Frostman O. On analytic functions with bounded characteristic // Bull. Amer. Math. Soc. 1946- V. 52. - № 8. - P. 694-699.

37. Garnet J. Interpolating sequences for bounded harmonic functions // Indiana Univ. Math. Journal 1971-V. 21. - P. 187-192.

38. Hahn L. On the Bloch Nevanlinna problem // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972— V. 32.-№ l.-P. 221-224.

39. Hedenmalm H., Korenblum and K. Zhu. Theory of Bergman Spaces. . Heidelberg, Sprenger - Verlag, 2000.

40. Jones P. JT estimates for the O - problem. Preprint, Dept. Math. Univ. Chicago, 1980.

41. Nevanlinna R. Le thoreme de Picard Borel et la functions meromorphes. -Paris: Gauthier - Villars, 1929 vii - P. 1799.

42. Rosenbaum J.T. Simultaneous interpolation inT // Mich. Math. J. 1967- V.14.-№ 1 P. 65-70.

43. Rosenbaum J.T. Simultaneous interpolation inH MI // Pacif. Math. J. 1967V. 27. № 3 - P. 607-610.

44. Shapiro H.S., Shields A. On some interpolation problems for analytic functions //Amer. J. Math. 1961-V. 83.-P. 513-532.