О распределении сумм альфа-точек некоторых классов мероморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

/ 3 м^ЕВАН^КИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ .

на правах рукописи

МАРТИРОСЯН КАРИНЕ НОРАЙРОВНА

УДК 517.53

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СУММ а-ТОЧЕК НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

(01.01.01 - математический анализ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1993

Работа выполнена в Армпединституте им.Х.Абовяна.

Научный руководитель - доктор физ.-мат.наук

БАРСЕГЯН Г.А.

Официальные оппонента - член корр.АН Армении, доктор физ.-мат.

наук, профессор

ЗАКАРЯН B.C.

часов на заседании специализированного Ьовета к 055.01.12 при Ереванском Государственном университете по адресу:375049, Ереван-49, Мравяна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского Государогвенного университета.

Автореферат разослан " " 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета .

кандидат физ.-мат.наук, доцент КАРАХАНЯН М.И.

Ведущая организация

Государственный инженерный университет Армении

Защита состоится " 9 " 04 1993 г. в

кандидат физ.-мат. наук

Общая характеристика, работы

" Актуальность темы. После того, как в теориях Р.Неван-линны и Л.Альфорса были установлены результаты законченного характера о количествах О, -точек, мероморфных в © функций, (см. Р.Неванлинна*) очевидно, первостепенный интерес обретает вопрос о расположениях а-точек таких функций, т.е. вопрос об аргументах а--точек.

Однако общих результатов в этом направлении до последнего времени не было и это компенсировалось многочисленными исследованиями аргументов а-точек различных подклассов мероморфных функций. Из этих исследований отметим работы Л.Бибербах, Р.Неванлинны, А.Эдрея, В.фукса, С.Геллерштейна, А.А.Гольдберга, И.В.Островского.

В отмеченных работах поведение а,-точек сопоставляется с поведением нулей, полюсов, единиц функций, причем поведение последних определяется ограничениями на рассматриваемый класс функций.

В общем случае изучение аргументов а -точек удается "охватить" рассмотоением комплексных сумм

где .2-.(а) - а-точки функции ^(г) с учетом кратности.

В этих сушах в естественном сочетании фигурируют количества, модули и аргументы о--точек, поэтому исследование этих сумм - это исследование, в частности, поведения аргументов <г-то-чек.

с =1

1.Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции.М.1941.

Оказалось, что можно ввести аналогичные неванлинновским характеристики, в терминах которых выполняются аналоги основных теорем Р.Неванлинны для суш а -точек (Г.А.Барсегян2), которые справедливы для произвольных мероморфных в С функций и в которых уже отражается поведение аргументов а-точек.

Теперь, с оглядкой на. классическую теорию Р.Неванлинны можно ставить множество вопросов о сушах &~точек, актуальность которых обусловлена переходом от изучения количеств

й--точек к их расположениям. В частности, в последнее время во многих школах исследуется классическое распределение значений, мероморфных решений дифференциальных уравнений и было бы уместно рассмотреть также распределение сумм а--точек таких решений.

Целью работы является установление аналогов основных теорем о сушах о.-точек для мероморфных функций, заданных в некруговой области и исследование распределения значений суш а-точек мероморфных решений различных классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна и теоретическая ценность. Устанавливается

а) аналог первой основной теоремы о сушах а-точек для функций, заданных в односвязных областях с гладкой границей;

б) аналог тождества Картава для таких функций;

в) вводится аналог альфорсовской характеристической функция для суш си -точек и устанавливается ее связь с аналогом неванлин-новской характеристики для сумм а -точек.

г) устанавливается равенство в аналоге второй основной теоремы

о

Барсегян Г. А. О распределении суш а-точек мероморфных функций. ДАН СССР, 237,й 4.

ранением

для суш й--точек в сдучае, когда функция являетшТЧлишГйного дифференциального уравнения;

д) детально исследуются дефекты и индексы для сумм о, -точек мероморфных решений уравнения Ригасати;

е) получена оценка суммы дефектов сумм а,-точек для мероморфных решений одного нелинейного масса дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах в ЕГУ, Государственном инженерном университете, в Армпединституте, Институте математики АН Армении, на 3-й;Республиканской конференции аспирантов Армянской .ССР (1989г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 4 работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и .списка литературы, содержащего 33 наименований. Общий объем -71 страница.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

При изложении полагаем известными основные положения классической теории распределения значений Р.Неванлинны и теории поверхностей наложения Л.Альфорса (см.Р.Неванлинна"1-) и пользуемся стандартными обозначениями. В работе Г.А.Барсегяна^ былиуста-цовлены аналоги основных теорем Р.Неванлинны и Л.Альфорса, в которых роль количеств ц>-точек си ) выполняли суммы а -то-

дм -Г,>

\2;<4<1

где суммирование ведется с учетом кратности а-точек. Аналогом первой основнгой теоремы теории рпопрсдолшшп яппчепнй является! следующая

Теорема А Пусть "№'(2) мероморфная в С функция, С .

Тогда

ВМ+ ГйМ г-^оо, О)

где . ¡иг ¿г , .

том, ¡>)= Г 1 Л ■

о * .+ |УМ

Величину Р^) • естественно рассматривать как аналог неван-. линновской характеристики Т(*) , а величину "ЯНт,«)- как аналог неванлинновской функции приближения т(т,й.) .

Величина Ц^) выполняет роль несущественного остаточного члена в теории поверхностей наложения Л.Альфорса.

Очевидно, в соотношении (1) интересными являютвя только случаи, когда величины {Ь , *Я) , С , или хотя бы одна из них по модулю еущественно больше, чем ъ [¿к) . Однако эта ситуация встречается довольно часто. По теории Я.Алвфорса для "большинства" & и г выполняется

[>)< ) £ = ес«^ ^0;

Так что [¿(х) не будет выполнять роль несущественного остаточного члена в (1) ; лишь когда (/З^й)-О^^.а]]-1 + , что может быть лишь при очень равномерном распределении а -точек функции У/ по аргументам.

Приведем проинтегрированный вариант аналога первой основной теоремы для суш а -точек.

Теорема А' Песть \Vuje . Тогда для любого 0.6 С* и I

(0<к1<я'} г-* , I ; » \ -м!

ьч-гл)+пгы 111п(Ы)>

где (^/Ч*1»у -фиксировано),

ж^ф^и у ¿1,

¡тчм-аи

С-

Выше уже отмечалось, что информация о суммах а, гточек, является в то же время информацией о расположениях а -точек (в отличие от классических результатов, имеющих дело, преимущественно с описанием количеств а - точек). Поэтому актуальны следующие вопросы:

1) Имеют ли место аналоги первой и второй основных теорем для функций заданных в областях отличных от кругов?

2)Что можно сказать о сушах и- - точек мероморфных решений дифференциальных уравнений?

В диссертационной работе приводятся некоторые исследования в русле поставленных задач. В главе I устанавливается аналог первой основной теоремы для функций -мероморфных

в замыкании заданной односвязной области £> с гладкой границей. Более того вместо сумм а - точек мы рассматриваем более общие выражения ) (¿¿(о.)) ,где ^(г) —аналитична

в Л , а суммы берутся с учетом кратности й- - точек

Будем пользоваться обозначениями: у\_ - направление внешней нормали к границе Э'Л области 'Ь ; (а(г) -комплексное число с единичным модулем, налравленное по п ;

-элемент границы

Э* ; Ш) - выражение, модуль которого не превосходит ||| ; - длина ,

[_, (сЬ!)) - сферическая длина V/ — образа ; -

максимум модуля ^ на ^

Теорема I. Пусть и 6 (С . Тогда

где

АТ у

Где ^^Щ^Ь^-Аг,

Отметим

, что при ¿-{г^гИгЬ

так, что из (3) при вытекает

Соотношение (4) имеет более простой вид, однако соотношение (3) практичнее, ибо интеграл

хорошо увязывается с функцией приближения ^(Л, ч) ' ,а выражение гг {^Ук-№ 4-Г(Ь С функцией

+ [д и 4

л? г л"

которая фигурирует в следующем, установленном Г.А.Барсегяном

« а

аналоге первой основной теоремы для мероморфной в С функции У/(?) и в-6 С имеет место

¿Ь^Н-аЛ* ^ + ОМ, 1 —,

где

щ

- характеристика Л.Альфорса. Величину Су(л) . очевидно, можно рассматривать как аналог неванлинновской характеристики

. Интересно, что

для . величин ^ Ц) и в полном объеме выполняется

аналог тождества Картана: для- мероморфной в С функции

Именно справедлива.

Теорема 2. Пусть £ И (й). ■Тогда

¿г

Естественен следующий вопрос. Какая величина выполняет г рассмотрениях величин </3^(До) роль, аналогичную роли аль-фоосовской характеристики

сферической площади V/— образа круга М\ < Ч, , с учетов* кратности покрытия. Из геометрической интерпретации усматриваем

сферическая площадь элемента сферы. В качестве искомого аналой величины ^(V рассмотрим величину

Связь между величинами

устанавливает следующая

Теорема 3. Пусть I-Тогда

Л^)-С, 0(& 1Щ , г0

В главе П исследуется задача обращения второй основной теоремы для сумм (Х- - точек некоторых классов мероморфных функций.

Ясно, что для комплексных характеристических функций нел! зя получить соответствующий аналог второй основной теоремы Р.-Не ванжнны

" т(%а,) + Щ < 1Т(ъ) + о(Т(г)/ г

в э^ом виде, поскольку комплексные величины можно упорядочивав лишь по модулю.

Однако, если рассматривать задачу обращения второй основн теоремы (т.е. задачу выяонения случаев, когда во второй основнс

теореме Р.Неванлинны имеет место равенство), то эту задачу можно отлпитт, тпкжо дли 1сома;|(!К(;ии:< с.умм О тпчгмс.

Задача обращения второй основной теоремы (в неванлиннов-ском и альфорсовском вариантах) изучалась Р.Неванлинной, Л.Аль-форсом, О.Тейхмшлером, Э.Коллингвудом, Г.Сельбергом, Г.Витти-хом, Г.Шубартом.

В частности, равенство во второй основной теореме выполняется для мероморфных в 1г1 функций , удовлетворяющих линейному дифференциальному уравнению ( Г. 0игтих3),

В параграфе I главы П устанавливается, что л^роморфных решений линейного дифференциального уравнения в аналоге второй основной теоремы для указанных комплексных суш имеет место равенство.

Именно справедлива следующая

Теорема 4. Пусть Ш(.г) мероморфное решение линейного дифференциального уравнения

1 гл. 'т-( с

притом

Г* Г*

Тогда при чей , где L множество плот-

1, выполняется

6^¿înMJ-iCw-t- СЫп\)

ности 1, выполняется

А. .. ... (,j

V =1

где

С№= ВЫ^г,-). - nu M

' с t

В работе Г.Виттиха^ изучается задача "обращения" для ме-роморфных решений дифференциальных уравнений Риккати.

В параграфе 2 главы П устанавливается теорема обращения для сумм сь- точек мероморфных в С решений уравнения Риккати W'^aujWiyW + ctaW' ,где aie), foj со) - полиномы.

Теоремы 5. Пусть WU) мероморфное в С решение уравнения

W ' = й(4)+ 4а W 1- ciawv

где aCï), - полиномы, йь flj

попарно различные комплексные числа и ^ £

тогда WV,) - 1С%) = 0 W

d 1-1

При этом если критических точек нет, тогда i

и

если имеется одна критическая точка К1 ,то Ч Wittich M. 2т ThecUe о/* Ricciùschtn DitfcuntiU-Mai h. Ann. Ш, (49Я), НдЗ-ННО.

Vf h) = c%) * OUnln), aj = Olks), a*

= CVOIW; г — ,

если имеются две критические точки Kt и к^ , то

В параграфе 3 главы П исследуется поведение алгебраических сумм а- точек мероморфных функций W(z), удовлетворяющих условию

W'u)

где

Подобное условие выполняется, если W является решением широкого класса нелинейных дифференцировалных уравнений.

Следующий результат устанавливает суммарную оценку разностей сумм и точек функций, удовлетворяющих (9):

+•••+ iP^wjjlW'^ (9)

...J р функции от ги

Теорема 6. Пусть мероморфная в С функция, удовлетворяющая

(9), где иг) •■ — полиномы от Ъ и 10</ ,

со старшей степенью Р^ над 2- $у£ С •

попарно различны.

Тогда ^ | 13Ст» О - ¿у) = 1

В заключение выражаю свою признательность моему научному )уководителю Г.А.Барсегяну за постановку задач и руководство >аботой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Мартиросян К.Н. (совместно с Барсегяном Г.А.)

"О значениях аналитических функций на множествах & - точек мезоморфной в заданной области функции". Изв. АН Арм.ССР, 1989, сер. "Математика", 1989, т.24, й 3, стр. 248-258.

2. Мартиросян К.Н. "О суммах а - точек мероморфных решений линейных дифференциальных уравнений .• с полиномиальными коэффициэнтами АрмНИИНТИ; й 25-£р 89, Деп. 1989.

3. Мартиросян К.Н. "О распределении сумм а-- точек мероморфных решений ураввений Риккати". АрмНИИНТИ, 1992 г.,

а 3, 14 с., Деп. 24- Ар 92.

4. Мартиросян К.Н."О суммах точек мероморфных решений линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффи циентами". Тезисы докладов 3-й Республиканской конференции аспирантов Армянской ССР. 15-17 марта 1989 г.

у—