Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Неванлинны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Классы мероморфных в круге функций, характеристика Неванлиниы которых допускает степенной рост вблизи единичной окружности

§1.1. Доказательство вспомогательных утверждений.

§1.2. Характеризация полюсов и корневых множеств класса N(a, со).

§1.3. Параметрическое представление класса N(a,a>).

§ 1.4. О свойствах бесконечных произведений Bp(z,Ak).

§1.5. Параметрическое представление классов N(a).

§1.6. Оценки коэффициентов разложения функций класса А{а) и описание мультипликаторов.

§1.7. Параметрическое представление класса AQ(a,co) в односвязной области.

ГЛАВА II. Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым 1р пространствам

§2.1. Новое параметрическое представление класса A^(D) в единичном круге.

§2.2. Параметрическое представление и характеризация множеств нулей и полюсов класса N£(C) на конечной плоскости.

§2.3 Описание корневых множеств класса N(a,a,/3).

Актуальность темы. В теории мероморфных функций, как, впрочем, и во всем комплексном анализе, одним из важнейших направлений является изучение задач, связанных с характеристикой полюсов и корневых множеств и построением факторизационных представлений различных классов функций. Развитие этого направления началось со ставших классическими факторизационных теорем Вей-ерштрасса, Адамара и Бореля в теории целых функций конечного порядка, построения внешне - внутренней факторизации классов Харди и функций ограниченного вида в классических работах Р. Неванлинны и В. И. Смирнова. Эти результаты изложены в хорошо известных монографиях Р. Неванлинны [1-2], И. И. Привалова [3], Б. Я. Левина [4], М. М. Джрбашяна [5], А. А. Гольдберга и В. И. Островского [6], П. Кусиса [7], Д. Гарнетга [8], У. Хеймана [9], К. Гофмана [10]. Помимо того, что результаты, полученные в этой области, представляют самостоятельный интерес, они играют существенную роль в исследовании внутренних проблем комплексного анализа и его приложениях в других разделах математики.

Целесообразность применения все более широких классов функций в различных научных дисциплинах обуславливает необходимость дальнейшего развития аппарата представлений комплексного анализа и поиска новых факторизационных представлений, отвечающих особенностям вновь возникших задач.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является установление свойств множеств нулей и полюсов и факторизационных представлений весовых классов мероморфных в круге и на конечной плоскости функций.

Методы исследования. В работе применяются методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы теории интегро-дифференциальных операторов и теории функциональных пространств.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: - установлена полная характеризация множеств нулей и полюсов и построены параметрические представления классов мероморфных в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет мажоранту, допускающую степенной рост при приближении к граничной окружности;

- получены аналогичные результаты в односвязной области;

- найдены точные оценки коэффициентов и описано множество мультипликаторов из указанных классов;

- построено новое параметрическое представление классов мероморфных в круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым пространствам LP (0<р< +сс);

- получены аналогичные результаты для классов мероморфных на конечной плоскости функций;

- установлено описание множеств нулей и полюсов и построено параметрическое представление классов мероморфных на конечной плоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит пространству Ё с экспоненциальным весом.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в общей теории мероморфных функций, в теории операторов, гармоническом анализе.

Апробация работы. Результаты исследования нашли отражение в десяти печатных работах, докладывались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2001 г.), на XXIII Конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ (Москва, 2001 г.), на семинаре по пространствам голоморфных функций Брянского университета имени академика И. Г. Петровского (1996 - 2001 гг.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45 - 54].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 107 страниц. Библиография содержит 54 наименования.

1. Nevanlinna R. Le theoreme de Picard - Borel et la theorie des fonctions mero-morphes. - Paris, Conter-Villars, 1929.

2. Неванлинна P. Однозначные аналитические функции. M. : ГИТТЛ, 1941.

3. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.: ГИТТЛ, 1950.

4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

5. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. -М.: Наука, 1966. 672 с.

6. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций,-М.: Наука, 1979.

7. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Волффа теоремы о короне. -М.: Мир, 1984. 364 с.

8. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. -469 с.

9. Хейман У. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. - 447 с.

10. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. -М.: ИЛ, 1963.

11. Смирнов В. И. Sur les valeurs limites des fonctions, regulieres a rinterieur d'un cercle // Журнал Ленинград, физ.-мат. общ-ва. 1929 - 2:2. - С. 22-37.

12. Секефальви-Надь Б., Фойаш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970. - 431 с.

13. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. - 383 с.

14. Shirokov N. A. Analytic functions smooth in to the boundary // Lecture Notes in mathematics. Springer-Vorlag. 1988. - V. 1312. - P. 1-215.

15. Tsuji M. On Borel's directions of meromorphic functions of finite order // To-hoku Math. J. 1950 - v. 2. - №2. - P. 97-112.

16. Джрбашян M. M. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций // ДАН АрмССР. 1945. - Т. 3. - № 1. - С. 3-9.

17. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Ин-та математики и механики АН АрмССР. 1948- Вып. 2. - С.З-55.

18. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН АрмССР, Математика. 1978. - Т. 13. - № 5-6. - С. 405-422.

19. Djrbashian А. Е, Shamoyan F. A. Topics in the Theory of Apa Spaces // Teubner -Texte zur Math., Leipzig. 1988. - B. 105.

20. Шамоян Ф. А. О параметрическом представлении классов Неванлинны-Джрбашяна // ДАН АрмССР,-1990.-Т. 90.-№3.-С. 99-103.

21. Шамоян Ф. А. Некоторые замечания о параметрическом представлении классов Неваштинны-Джрбашяна // Мат. заметки 1992. - Т. 52. - № 1. - С. 128-140.

22. Джрбашян М.М. Теория факторизации функций, мероморфных в круге // Мат. сборник.-l 969.-Т. 79(121).-С. 517-615.

23. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. -1999.-Т. 40.-№6.-С. 1422-1440.

24. Кондратюк А. А. Ряды фурье и мероморфные функции. Львов: Вища школа, 1988. - 196 с.

25. Rubel L. A. A Fourier series method for entire functions // Duke Math. J. 1963. -v. 30.-P. 437-442.

26. Rubel L. A., Taylor B. A. . A Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Soc. Math. France. 1968. - v. 96. - P. 53-96.

27. Korenblum B. An extension of Nevanlinna theory // Acta math. 1975 - V. 135-№3—4-P. 187-219.

28. Seip K. An extension of the Blascke condition // J. London Math. Soc. 1995.— v. 2 (51).-P. 545-558.

29. Chern T.-Y. Value distribution of meromorphic functions with zero order // Hed-berg conf. in math, analysis and app. Linkoping, Sweden - 1996. - p. 64-67.

30. Крылов В. И. О функциях, регулярных в полуплоскости // Мат. сборник. -1939. Т. 6(48).-№ 1.-С. 95-138.

31. Джрбашян А. М. Параметрические представления некоторых классов меро-морфных функций с неограниченной характеристикой Цудзи // Изв. АН АрмССР, Математика. 1987. - Т. 22. -№ 5. - С. 451-422.

32. Джрбашян А. М. Соотношения равновесия и факторизационные теоремы для мероморфных в полуплоскости функций // Изв. АН АрмССР, Математика. 1986.-Т.21 ,-№3.-С.213-279.

33. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. - 141с.

34. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. - 480 с.

35. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. -М.: Мир, 1973.-342 с.

36. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986- 447 с.

37. Duren P. L. Theory of Нр Spaces. Academic Press, New York, 1970.

38. Ковальчук P. H. О некоторых свойствах интегрального модуля гладкости граничной функции класа Нр (р>1) // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Респ. межвед. научн. сборник,- Харьков: Вища школа 1968. - вып. 9.-е. 14-20.

39. Гольдберг А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения в теории целых функций. // Мат. Сборник. 1964. - № 65. - с. 414-453.

40. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: Наука, 1978, 431 с.

41. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2,- М., Наука, 1968.

42. Шамоян Ф. А. Характеристика скорости убывания коэффициентов Фурье функции ограниченного вида и класса аналитических функций с бесконечно дифференцируемыми граничными значениями. // Сибирский мат. журнал. -1995 т. 36. - № 4. - с. 943-953.

43. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1966.-628 с.

44. Бибербах J1. Аналитическое продолжение. М., Наука, 1967.

45. Shamoyan F. A., Shubabko Е. N. Parametrical representations of some classes of holomorphic functions in the disk. // Operator Theory: advances and applications.- v. 113 -2000 -Birkhauser Yerlag Basel Switzerland - p. 331-338.

46. Шамоян Ф. А., Шубабко E. H. Точные оценки коэффициентов одного класса голоморфных в круге функций. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов ВЗМШ. Воронеж: ВГУ, 2001 г. -с.286-287.

47. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Параметрическое представление одного класса голоморфных в круге функций. // Деп. в ВИНИТИ 07.12.2001 №2543-В2001, 12с.

48. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Об одном классе голоморфных в круге функций.// Зап. научн. сем. ПОМИ. 2001 г. - т. 282. - с. 244-255.

49. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Параметрическое представление одного класса голоморфных в круге функций. // Интегральные преобразования и специальные функции 2002 г. - т. 3. - вып. 1. - с. 50 - 63.

50. Шубабко Е. Н. О корневых множествах аналитических в круге функций, имеющих заданный порядок роста. // Деп. в ВИНИТИ 16.10.1998. №3009-В98.-7с.

51. Шубабко Е. Н. О параметрическом представлении и корневых множествах двух классов голоморфных функций бесконечного порядка. // Сборник научн. трудов Новозыбковского филиала БГПУ. — вып. 1. Брянск: изд. БГПУ,2001 г.-с. 47-49.

52. Шубабко Е. Н. О новом параметрическом представлении классов Неванлинны Джрбашяна. // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы V Казанской международной летней школы - конференции.- Казань: Изд. «ДАС», 2000 г. -с. 246-247.

53. Шубабко Е. Н. О параметрическом представлении одного класса голоморфных в круге функций // Труды XXIII Конференции молодых ученых механико математического факультета МГУ. - Москва: ЦПИ, 2001 г. - с. 192194.