Параметрические представления и оценки роста для некоторых классов мероморфных и голоморфных функций в n-связных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

ФУНКЦИЙ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ.

§ I. Параметрические представления классов m (С) и $ w0,.,<om(G}

§ 2. Параметрические представления классов

§ 3. Об одной факторизации мероморфных функций в многосвязной области

ГЛАВА II. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В ЕДИНИЧНОМ

КРУГЕ И НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ.

§ I. Представления функций класса и одна интерполяционная задача в нем.

§ 2. Оценка роста произведений М.М.Джрбашяна

57^2, и

§ 3. Оценка роста функций с конечным интегралом типа Дирихле.

В настоящее время хорошо известны исследования Ф.Рисса [I], Р.Неванлинны [2], И.Привалова [3], М.Джрбашяна [4,5], Л.Карле-сона [б] и других авторов, посвященные изучению определенных классов голоморфных и мероморфных функций в единичном круге, их представлениям и другим важным вопросам.

В исследованиях М.М.Джрбашяна для этих целей приводится построение новых операторов, являющееся существенным обобщением оператора дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувиля.

Это делается так. Условимся говорить, что функция CJ(x) принадлежат классу XL , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) СО(х) неотрицательна и непрерывна на [0,l), причем

С0(0)-1 , Jo)(x)dx<too (I) о

2) Дяя любого г ( О j(j(x)dx>0 ■ (2) г функция СО(х)е оГс .0. » если она в окрестности точки Х-0 удовлетворяет условию Липшица.

Пусть 0(z)eil • К классу отнесена любая функция р(г) , представимая в виде 4

P(0M, pcrhrj^jx rc-(oj] (3) г

При О(х)ей и fio введен в рассмотрение оператор l^M^MVncfpm} «м (4)

Предполагая, что в надлежащем классе допустимых функций ip(x) , определенных на (0,l), правая часть существует хотя бы почти всюду.

В классе функций Ц)(х) , непрерывных на [0,1] и обладающих на [0,lj непрерывной производной vy'(x) , оператор допускает следующее представление: Л

L(WJ)QfCa3 - ЧЧО) + xj 4>'(xT)uJ(T)clr = о х (5) о х

В работе М.М.Джрбашяна [4] с помощью этих операторов устанавливаются принципиально новые аналоги классических формул Коши, Шварца и Пуассона для представления аналитических и гармонических функций внутри круга 12Я . Доказано, что, если функция ге*) = £ ак(ге*)к (6) k-q голоморфна в круге , (О(аг)е-Л. , Jp(r)eP<o » т0

1°. Функция голоморфна в том же круге 12-lfl .

2°. Для любого f(o^f^-i) справедливы интегральные формулы: он*), (8) о

-Мч+ёШе'У^кШ*)*.

1>П (9) где

V 2К и\<-1) , (10)

II) и

Д0=1 , дк- kJx*"1 u>(x)clx (12) о

В том случае, если 1/(2) гармоническая функция в круге , тогда им же доказывается [4], что функция гармонична в том же круге , причем для любого f справедлива интегральная формула

21Г О

Формулы (8), (9), (13) являются естественными обобщениями формул Коши, Шварца и Пуассона, ассоциированными с данной функцией o(x)eSL , совпадающие с ними при cj(x)=i .

Посредством указанных формул дается полное структурное представление для ассоциированных с построенными операторами li^ широких классов гармонических и аналитических функций.

Класс Uco гармонических в круге функций определяется как множество функций 1Н2) , для которых конечна величина где Р(ч>,г,ю) = Яе£(ге^). + оо (14)

- б

Г iff

Ьир |Пи<ге*)]|а.

В случае tO(x)=l класс Um совпадает с множеством функций, допускающих представление в виде интеграла Пуассона-Стильтьеса

3].

В следующей важной теореме дается представление класса Uu, в случае произвольной порождающей его функции co(x)e.Q, , а также сравнение классов Uu> с классом {J^ , при различных предположениях относительно СО (*) (см. [4] , стр.1095-1099). Теорема Класс совпадает с множеством функций предетавимых в виде интеграла

II(Ы*(°-r*0, (15) о где \jj(9) - произвольная вещественная функция с конечным полным изменением на [o,2fiJ .

2°. В представлении (15) данной функции 11(1)б[/и) соответ"" ствующая функция ч[>(0) может быть определена с помощью предела

9 о где j\tl - некоторая возрастающая последовательность.

3°. Класс UJcUco гармонических в круге izf^l функций, для которых iLOOso совпадает с множеством функций, представимых в виде (15), где функция vJ/(Q) не убывает на [Ьд*г] . Дальше показывается, что

1°. Если функция co(oc)eSl не убывает на [0,l) при ГЦ , то

2°. Если функция СдСх)е£1 не возрастает на [0,1) и исхцц при xtl , то со

18)

3°. В соответствующих условиях оба включения (17) и (18) строгие. Функция P(%r)tU при условиях I уже не входит в JJш , а при условиях 2° функция PCf,f,U))e Uco 1 но не ВХ0ДИ,Г в класс U .

Далее определяются классы С^ , R^ , аналитических в круге №1 функций |(г) соответственно посредством условий:

19) и о- F

5up ШеГМИ*

О^Г^.1 to

Д+ОО

20)

В случае эти классы были введены Герглотцом [7] и Риссом [8], установившими формулы для их представления.

В следующей теореме М.М.Джрбашяна дается представление классов Ссо и T\uj в случае произвольной функции (см,

4], стр.ПОО).

Теорема II. 1°. Класс Си, совпадает с множеством функций представимых в виде

Хп

И + (ш) (21) где JmCzO , ^(в) - произвольная неубывающая ограниченная функция на [0,Ы) .

2°. Класс Ци совпадает с множеством функций, представимых в виде (21), где ф(в) - вещественная функция с конечным изменением на [0,29}] .

3°. Далее в работе [5] М.М.Джрбашяна вводится основная формула типа классической формулы Иенсена-Неванлинна. Формула эта имеет вид looFw=it^doofi-Z ШЩ-L 1оЛМЬ jl it

22) где /ЛI - кратность возможного нуля (при Лг1 ) либо кратность полюса (при Aiz-jL ) функции FU) в точке 2-Q, С- вещественная постоянная, определенная с точностью до слагаемого вида

Vnim '(т-0,+1,~)

Ti/l^dx , о а функция определяется следующим образом:

2 \ ^(М) (24) где

ZS

О '

Как в теории Неванлинны, так и в данном случае при Ъ-0 формула (22) естественным образом привела к определениям функций ft n^oobn^ool^Ajclt+nlO.cojfto^Kj (27) и посредством их к определению функции

X(r.F)3mM(r.F)+H£,(r,F) (turd) (28) названнойCaJ -характеристической. При этом устанавливается важное тождество xfr'f)- ^onsi +%(r,f) (ocr^i) (29)

В случае, когда CJU)=1, функции ID^ChF)» Ло(ПР) и X(r,F) переходят в известные функции П1(г, F) » Л/"(г,Р) и Т(ПР) . Другой значительно более общий случай, когда

GJ(X) = (1-Х У* (-КоU+oo} тоже был исследован М.М.Джрбашяном [9].

В работе [5] М.М.Джрбашяна с помощью со -характеристической функции (г, f ) дается определение класса как множества мероморфных в круге 12UJ функций F(2) , подчиненных условию

SupT, (r,f) ^ +

1(0v/./-.oo (30) о <-r.il где функция cj с х) е JTif в окрестности точки удовлетворяет условию Липшица,

Далее устанавливается основная теорема о параметрическом представлении класса . Эта теорема, содержащая в себе в качестве специальных случаев как теорему Р.Неванлинны относительно класса jY , так и теорему относительно , (-l^oU + oo) , гласит:

Теорема III. Класс УУ*{ со J совпадает с множеством функций которые в круге \ъU4 допускают представление вида

F(*)= eir+ ЛКшz l^r? ехр ±]ь(еЧФ>I (31)

Вш (z,<y о где ^((Э) - вещественная функция на [0,2fi] , с конечным полным изменением, Лцелое число, jf - вещественное число, Ви^2'^' сходящиеся произведения вида со г,гк)--ПАы(г,2к) (32) нули которых подчинены условиям CO(3C)dx< + DO И ^Г cj(x)clx 4.+ со (f) IQjul (»))

Наконец, определяется формулой (23).

Исчерпывающий характер этой теоремы для теории факторизации мероморфных функций в круге заключается в утверждении, что любая функция F(2) , мероморфная в круге 12U1 и не входящая в класс JV Р.Неванлинны, входит в некоторый класс Л/^uJ и таким образом допускает факторизацию вида (31), с порождающей функцией с (см. [5], стр.594).

В работе [10] Г.У.Матевосяна строится аналог классов jV{cj] М.М.Джрбашяна для кругового кольца и получено представление этого класса, аналогичное (31).

3°. Следуя работе flj] М.М.Джрбашяна, обозначим л Я . . f^iC

0 0 i- ?ei9r п=1 '

00 vol+Z где числа £к удовлетворяют условию 2L (1-12*1) ,

При 121*1, СК1Ш1 установлено [II], что

2.

1 нг п-1 7 О jtf?) «>-Х). (34)

Далее в работе [il] М.М.Джрбашяна введен класс функций ИР(Л) (P>0;oL>-l) голоморфных в единичном круге I2U1 , для которых интеграл

•00 (35) г оъ существует. Этот класс функции является обобщением класса Ир Ф.Рисса голоморфных в единичном круге функций (см. i] и [3]) и совпадает с этим классом, если интеграл (35) равномерно ограничен при d.

Функции класса HpW) обладают следующими свойствами: 1°. Если отличен от тождественного нуля, и числовая функция Неванлинны функции -fe) , то 1

J(i-r)iemncfr• (36) о

•>0

2°. Если |(<0eHpU) и l j а-г)Аетг)с1г =+<*> о?) Q тогда -f(2.)= О .

В частном случае условия (37) выполняются, если числовая функция Л (г) нулей функции -fc2j удовлетворяет условию (см. [II], стр.7) а> 'iifn (4-rjn(r) - 'Eim (l-otpjn > ^тр- , . <38>

6) fo^ П(г) n > £ ig (39)

В той же работе [il] М.М.Джрбашяна, при помощи функции J 1^(2,путем существенного обобщения формулы Иенсена-Неван-линны, была установлена факторизационная теорема для мероморф-ных в круге 121*1 функций F(2) , для которых 1

I< l-rf % (г) clr * + (40)

IF О где ТрСП- характеристическая функция FfeJ Р.Неванлинны.

Далее в работе К.М.Фишмана [12], заменой функции плотности (l-rf1 любой монотонно убывающей функцией (?(г) при помощи метода Джрбашяна получена аналогичная факторизационная теорема. В работе [13] Р.С.Галояна введено бесконечное произведение ТО-2'^) следующим образом

Со" со где

IH1 и доказано, что если последовательность комплексных чисел г h х o^|ZK|A|ZK+a.|-£.l) удовлетворяет условию

DO -Г v-Л J

43)

44) тогда бесконечное произведение (41) абсолютно и равномерно сходится в каждой замкнутой части единичного круга, представляя аналитическую функцию, обращающуюся в нуль лишь на последовательности •

В частном случае, если GXz)g£L не возрастает на [0,l), а последовательность удовлетворяет условию к-ц то имеет место представление 2Я*

JLt^O^CiBft^tiplsjSlze^Jdfe) ■ где ^i-J^JhZ,3> Ыык) функция Бляшке, а ч|/(0) - неубывающая ограниченная функция на .

4°. В случае кругового кольца и г)-связной круговой области вопросами представления гармонических, аналитических и мероморф-ных функций занимались В.А.Зморович [14], С.А.Касьянук [15], М.Е.Дундученко [1б] , П.М.Тамразов [17] , И.А.Александров и А.С. Сорокин [18] .

Особый интерес представляет случай произвольной конечносвяз-ной области. В этом направлении отметим, прежде всего, работы Г.Ц.Тумаркина и С.Я.Хавинсона [19], Д.Хавинсона [20*) , Т.С.Кузиной [2l] и др. В упомянутых работах исследованы различные классы функций гармонических и аналитических в конечносвязных областях и были получены параметрические представления функций классов Неванлинны J\f , В.И.Смирнова JV* , классов Hp , Ер и других.

В настоящей диссертации изучены в П-связной круговой области классы гармонических, аналитических и мероморфных функций

UW0i.|tom (G) . ftcje,.icorn(G) , ^{(Jei.,u)m,c} , представляющие собой распространение на многосвязные круговые области известных классов Uco > псо и

И М.М .Джрбашяна и получены параметрические представления этих классов.

5°. Первая глава диссертации посвящена изучению классов функции в (m+JL )-связной области G , граница которой суть окружности: К-ОЛг'/Ш

На этом пути в § I с помощью оператора и*0 -М.М.Джрбашяна получены формулы (1.9), (I.IO), (I.13) типа Коши, Шварца и Пуассона.

Построен класс гармонических в G функций Uu^,.^^ (с) типа классов Uoj -М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется одно из эквивалентных условий (I.13) или (I.I3 ) или (I.I4) и (I.I4 ) или (I.I6) и (I.I6 ) или w fcfi

Жг)4 (РММ^Й JPK-®.

0 к*1 0 где P(e,r,(J)-^€§(re10) , a к,"°г,>гп' вещественные функции с конечным полным изменением на [ОД?*] .

Далее построен класс функций Ки>0,.-,и>т L^) » аналитических в G и удовлетворяющих условию (1.22) или (1.23). -Функции этого класса представляются в виде (1.24).

Далее в § 2 доказывается теорема типа Иенсена-Неванлинны (теорема 2.1°), строится класс n/V^IcJc-^iO^g} или мероморфных в (flft+i)-связной области G функций, аналогичный классам или JV/'-fw},М.М.Джрбашяна, как класс функций, для которых выполняется условие

Гк rflecjot0! или tJ0e--Q. , cjKe Q. , K-1,.-Vm , а функция T fe которую назовем cJ0)---;^т-характеристической функцией функции , определяется следующим образом:

Пусть

F(z)=Fo«)-F1(z)- Fro(2) , где функция Fk(2) , мероморфна в области С,к(2к,Як):

Обозначим Fo*(ur) = F0(20+RoiLr); F*(ur)= F* U

CO - характеристическая функция функций

F.T (иг) Обозначим m

47) к

IC-0

Из определения (47) видно, что характеристическая функция Tujjj,.,^ в °^ласти G обладает всеми свойствами, которые имеют место для U) -характеристической функции М.М.Джрбашяна в области |аг|д1 .

Далее приводятся эквивалентные (46) определения класса ide/'jiO^F^ . Показано, что класс • >сОт,с| не зависит от того, какие именно функции мы взяли в качестве функций

Доказано, что F(2) 6 л/*-[и)е/./От>с} тогда и только тогда, когда в области С имеет место

Pi а"'-Ц П Pi ( К R» г . jwuu /г-гл" иь>Л ' Ro I Li^i-i* x

U 1 p. fir. /Rk ^ Rk \ (48) exp, где BJtt^K.) " произведение М.М.Джрбашяна, К-Ог-,т вещественные функции на [ОДЯ] , Д^р натуральное, ^ -вещественное число, Kw определяется формулой (27). Притом любую функцию F(2) , мероморфную в G , можно представить в виде (48) с порождающими функциями Оос>--,и)

В § 3 главы I заменой функции плотности в (40) любой функцией cj(x)€-il. доказано, что

Если F(z) любая мероморфная функция в , и j cJ(r2)7^(r)c/r<co, то F(z) представима в виде о eipjlj^rtC^e^^lFfse^^fycle J , (49) где Jl (?ДП) получается из (33) заменой функции плотности на u(fz) .

Далее получено аналогичное представление для функций р(2) , мероморфных в многосвязной области G .

Вторая глава диссертации посвящена построению классов функций в ItUl и изучению их свойств.

В § I определен класс функций Н(Р^) , голоморфных в круге |2 |<-1 , для которых существует интеграл

Р 1 ^ Pit

О о

В этом классе по аналогии с формулами (36) и (37) М.М.Джрбашяна приведены теоремы единственности в классе Н(Р^) и теоремы о параметрическом представлении класса H(£,6j) . Доказано, что если Н(№) » то

С помощью неравенства (51) решены интерполяционные задачи в классах Н (р,d) и в классах Ц (Z,cj) .

При доказательстве неравенства (51) и в § 3 главы I важную роль играет лемма 3.1, которая позволяет всякую функцию, аналитическую в , представить в следующем виде w^jC'^fe^co)j^e f(?e'e) fdfcle. (52)

00

В § 2 получена оценка снизу и сверху для произведения М.М,Джрбашяна. Эти оценки достигаемы.

В § 3 главы П получены оценки для роста функций с конечным интегралом типа Дирихле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32] - [36] автора.

Автор приносит глубокую благодарность своему руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.С.Захаряну за постановку задач и руководство при выполнении диссертационной работы.

1. И.И.Привалов. Граничные свойства аналитических функций. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. М.М.Джрбашян. Обобщенный оператор Римана-Лиувилля и некоторые его применения. Известия АН СССР, серия математическая, 32 (1968), I075-IIII.

3. М.М.Джрбашян. Теория факторизации функций, мероморфных в круге. Математический сборник, т.29 (121), № 4 (8).1569

4. Kbavinson i>• Factoribflution theorems for <Ш*геп± Classes o# CUULtytiC. fu.ncti.on5 Ln madtlp^ Connected domains.v Pacii jMa-tV 19837 IPS ^22, 295-31*.

5. Г.Д.Левшина. Некоторые экстремальные и интерполяционные задачи для функций классов Нр(сО . Вестник МГУ, сер. матем. и мех., 4 (1979).

6. A-theorem Concerning TayEor's Series, Gtiuuri- j. Mctih, vol ЧЧ- MS,

7. V. Cowling А гетлгк on Sounded functions, Amer- maih. mon{£y, 66(1959), H9-12o.yam&shi-ta., Cow-tings theorem on a dirichte-6 4-Ln.de.ko&jmorpfii.G function in 0»e diSK, Amer- meUh. montti, (mo) J/sf, 553-552