Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций

Охлупина, Ольга Валентиновна

Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Охлупина, Ольга Валентиновна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Брянск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций»

Автореферат диссертации на тему "Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций"

На правах рукописи

Охлупина Ольга Валентиновна

ПОТЕНЦИАЛЫ ТИПА ГРИНА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

1 С ['' р

Саратов 2012

005042748

Работа выполнена на кафедре математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Шамоян Файзо Агитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Григорян Сурен Аршакович

кандидат физико-математических наук, доцент Шевцов Владислав Иванович

Ведущая организация: Смоленский государственный университет

Защита состоится «21» мая 2012 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан ¿Д^^^у 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент ¿¿-^ИЬ В.В. Корпев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Субгармонические функции составляют один из важнейших классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.

Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф.Гартогса1.

Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с основополагающими работами Р.Неваилинны2, Ф.Рисса3, И.И.Привалова4 и других классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди „их отметим, прежде всего, У.Хеймана, Е.Д.Соломенцева, Н.С.Ландкофа, А.Ф.Гришина, Б.Я.Левина, В.С.Азарина, Р.С.Юлмухаметова, Б.Н.Хабибуллина,

К.Л.Аветисяна, А.М.Джрбашяна и др.

В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.

Пусть С - комплексная плоскость, £) = е С: < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, Г - единичная окружность с центром в начале коорди-

С. 345-376.

нат, С+ = [г 6 С: \тг > 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости, С;=феС:1т:г>р>0}.

Если С - некоторая область на комплексной плоскости, то через SIÍ(С) будем обозначать множество всех субгармонических функций в С,

В теории субгармонических функций важную роль играет следующая теорема Ф.Рисса3 о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.

Если и е 5Н(О), не равная тождественно —со, то в О существует единственная борелевская мера р., такая что допускает представление:

(1)

г2-£г

где ге Д,, Д. = :|г| < г|, /г(г) гармоническая в О. функция.

• Мера.// является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем сё назовём представляющей мерой субгармонической функции и.

" Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на субгармоническую функцию и представление вида (1) справедливо во всей области субгармоничности функции и.

Впервые такая задача была решена в работе Р.Неванлинны2 при условии г/(г) = 1й|/(2)| и И.И.Приваловым4 в общем случае.

' Для формулировки'этого результата введём понятие характеристики Не-ванлинны для субгармонической в £> функции. Пусть и е Л7/(0),

и* = тах(г/,0), тогда:

Т(г.и) -^-)и-(ге"}/<р.

■ ' -Л

Следуя И.И.Привалову, обозначим через А класс субгармонических в О функций и, для которых ;.

5ирГ(г,н)<+оо. (2)

Оо<1

Тогда справедливо следующее утверждение. Класс А совпадает с классом субгармонических в О функций, допускающих представление:

-. ^(о), (з)

1> 2л: • 1 -С2Г 2л"1 -2гсо$(в-<р) + г

где - произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге,

для которой

у/ - произвольная (функция конечной вариации на

В том случае, когда функция и имеет вид ы(г) = 1п|/(г)|, геО, где / -аналитическая в И функция, представление (3) совпадает с формулой Пуассо-на-Иенссла для функций ограниченного вида5.

Возникает задача о представлении субгармонических функций, для которых условие (2) не выполняется. То есть, вообще говоря, субгармонических функций и, не имеющих ограниченную характеристику, что равносильно отсутствию гармонической мажоранты.

Вопрос такого рода для случая, когда и имеет вид и(г) = 1п|/(г)|, / - голоморфная в О функция, впервые был рассмотрен Р.Неванлинной2.

Он рассмотрел классы Ма голоморфных в О функций /, для которых

характеристика Неванлинны Т{г,/) удовлетворяет условию:

|(1_г)аГ(г,/)с/г<+с». (4)

Им было установлено следующее утверждение.

Пусть /е А/а, а>-1, /(^) = 0, / тождественно не равна нулю, тогда

ХсЪиш У. Мероморфиые функции / У. Хейман. - М.: Мир, 1966. - 447 с.

-и»

Ю-

ыу+2 <+°°.

(5)

Полное описание корневых множеств и факторизационное представление этого класса функций были получены в работах М.М.Джрбашяна6 и Ф.А.Шамояна7. Приведём эти результаты.

М.М.Джрбашяном было установлено, что, если / <=Ыа, то / допускает представление

f{z)-Kaz"'7Ia{z,zk)<щ>ga(z), геО, (6)

где Ка - комплексная постоянная, т - порядок нуля функции / в начале координат,

г \ У 2 к /

ехр-

яа{г'г*) = Т\АЛг>гк)>

2(а

(V)

■И

(1-Я2)"1п

л ' -1

о Л (1 -ре4" г)

а+2 рс1рс}<р.

;-рс/рс/<р

о Л (\-ре*г)°

Произведение равномерно сходится на компактных подмноже-

ствах круга О тогда и только тогда, когда последовательность { ^} ^ удовлетворяет условию (5).

Отметим, что при а = -1 условие (5) совпадает с хорошо известным классическим условием Бляшке, а произведение (7) совпадает с произведением Бляшке.

ЦжрСктши М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбащян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. - 1948. - Выи. 2. - С. 3-35.

Шаиоян Ф.А. Факторюационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеричация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян7/ Известия АН Арм. ССР, математика,. - 'Г. 13, №5. - 1978. - С. 405-422.

Естественно возникает вопрос: пусть / е Ыа, тогда / допускает представление (6). Принадлежат ли сомножители па, ехр^'а классу Иа1

В 1977 году Ф.А. Шамоян установил, что существуют функции из Ыа, такие, что ни один из факторов в представлении (6), в отличие от факторизации функций ограниченного вида, не принадлежит классу Ма.

Но, тем не менее, если /е , то для произвольного р>а в представлении (6), написанном в классе Ир, каждый из факторов тгр(г,гк), ехрgp{z)

принадлежит классу Ыа.

Тем самым установлено, что необходимое условие (5), найденное Р. Не-вашшнной, для корневых множеств функций класса Ыа, является также достаточным.

В дальнейшем, Ф.А.Шамоян8 рассмотрел классы голоморфных в круге функций, для которых

где 0 < р < +оо, при некоторых ограничениях на весовую функцию со.

Распространение результатов Ф.А.Шамояна на классы субгармонических

Однако, применяемые им методы, не позволили ему получить аналогичные результаты в классах субгармонических в круге функций, характеристика которых принадлежит V' - весовым классам или имеет степенной рост при приближении к единичной окружности.

[®(1-г)Г'(г,/)б/г<+оо,

функций рассмотрел К.Л.Аветисян9 при р = 1.

круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский матем. Журнал. - 1 ли, гео. - - и«-,™.

Л№„тсш, К Л О представлениях неко торых классов субгармонических функций в единичном круге и в верх-

ей полуплоскости / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. - 1994. - Т.29,№ 1.

Цель работы.

1. Изучение свойств представляющих мер классов субгармонических в круге и в полуплоскости функций, характеристика Неванлшшы которых принадлежит весовым II - классам.

2. Построение параметрического представления классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост при приближении к границе области.

3. Обобщение классической теоремы Валирона на случай И' - классов суб. гармонических функций в комплексной плоскости.

Методика исследования. В работе применяются методы комплексного и функционального анализа. Существенную роль играют потенциалы типа Грина, построенные на основе бесконечных произведений, впервые введенные М.М.Джрбашяном ещё в 1945 году.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

- получено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности;

- получена полная характеристика представляющих мер классов субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым П' - пространствам (0 < р < +оо);

- построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых V' - пространств (0 < р < +со);

- получено обобщение классической теоремы Валирона на случай целых функций и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых И' - пространств (0 < р < +оо);

- получено интегральное представление субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным

весом.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в общей теории субгармонических функций, в комплексном анализе, гармоническом анализе, в теории потенциала и других смежных разделах комплексного анализа; а также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов работы. Результаты исследования докладывались на конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007, 2009), на Воронежской зимней и весенней математической школе (Воронеж, 2006, 2009), на конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010, 2012), а также неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [И], список которых приведен в конце автореферата. Работы [4], [10] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 118 страниц. Библиография содержит 52 наименова-

ния.

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы и кратко излагается содержание работы.

В первой главе установлено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи границы области и описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым V -Пространствам (0 < р< + при достаточно общих условиях па весовую функцию.

В §1.1 главы I введены основные обозначения и доказаны утверждения вспомогательного характера, применяемые в дальнейшем.

В этой главе диссертации существенную роль играют факторы бесконечного произведения М.М. Джрбашяна.

Для изложения результатов этой главы введём некоторые обозначения.

Пусть а> 0. Рассмотрим класс БНа(0) функций и, субгармонических в единичном круге £>, для которых справедлива следующая оценка

С,;1- некоторая положительная константа, зависящая только от и .

При а = 0 класс SH0(D) совпадает с классом функций и, допускающих в

единичном круге D представление (3)

При а > 0 метод, применяемый И.И. Приваловым при построении представления класса SH0{D), не проходит, так как функции класса SHn(D) могут не иметь граничных значений на единичной окружности. Подход, изложенный в работе Ф.А. Шамояна и Е.Н. Шубабко10, позволяет получить аналог вышеука-

10 Shawovan F.A.. Shitbubko E.N. Parametrical representations of some classes of holomorphic functions in the disk 1 F.A. Shamoyan, E.N. Shubabko // Operator Theory: Advanced and Applications. - Vol. 113. - 2000.

занпого представления класса 5Я0(о) на всю шкалу .?#„(£>) при всех а> 0. Для этого сначала введем хорошо известный класс О. Бесова В] "' на единичной окружности Г:

1 Г ! 'г1А>И I

ВТ [--т;л-]: < +СО

где А^(е1") = ^(е'{"+'))~2^(ею) + ^{е'{0"))> #е[-/г;/г], / е[0;1], 0<^<2.

Для фиксированных /?>-1 будем обозначать через

следующее выражение:

2(/? + 1)

1-1

V 1 1 / £

<4(0

(В)

Назовём его фактором в произведении М.М. Джрбашяна.

Основным результатом этого параграфа является теорема Теорема 1.1. Класс функций 57/„(о) совпадает с классом функций и, допускающих следующее представление в О:

I 1 "г у(еш)с1в

.геЭ,

где 1//(е'") - произвольная вещественнозначная функция из класса Р>а,

а>-1, //(4") - неотрицательная борелевская мера в О, удовлетворяющая ус-

„(г)<

С,

(1-г)"

п{г) = м{Ог).

Напомним, что £>,. = {г е С: |г| < г], 0 < г < 1.

В §1.2 главы I полностью описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым и' - пространствам (0 < р < -к»).

Пусть г = ге", |г| = г. О - множество измеримых положительных суммируемых функций со на (0;1), для которых существуют числа т,0. Мы, цы, причём е(0;1) удовлетворяют оценке

со(Яг) со(г)

ге( 0;1),Яе[9„;1].

Функция а)(() имеет вид: «(/) = схр (" , где -аы<е[х)< (5Ы,

0<ДЦ<1, 0 < < +оо.

Такие функции называют ещё медленно изменяющимися функциями". Важным частным случаем функции из С1 является степенная функция «(/) = /", а >-1.

Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:

SH£(D) =

MeStf(D): Jco{\-r)T°'{r,u)dr

<+оэ

, 0 < р < +СО.

L (D) - обычное весовое L!' - пространство, т.е.:

у/:

< +00

Шаиояп Ф.А., Шубабко E.H. Введение в теорию вссоных и -классов мероморфных функции / Ф.Л. Шамо-ян, E.H. Шубабко. - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.

В данном параграфе получено параметрическое представление класса функций и, вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Невап-лшшы Т(г,и), но, принадлежащих пространству £), т.е. класса функций

и для которых:

^Т"(г,и)со(1-г)с1г<+<х> ,0< р<+<ъ, со е£1. а

Теорема 1.2. Для того, чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу ЯН^ (О), 0 < р < +оо, со е О, необходимо и достаточно, чтобы в Б и допускала представление

«/(*)= М Л/((7,ф/(<Г) + Л(2), (9)

где Р - достаточно большое положительное число, зависящее только от. со:

+ $<а10< +оо, //(4")- произвольная борелевская неотрицательная

Р '

мера в О, для которой:

|ю(1-г)(1-г)''и'(г)</г<+00,

и(г) = //(Д), Д = [2:|г|<;-}, 0< г<\, И (г) - гармоническая функция в Э, удов-

летворяющая условию:

|й»(1 - г) \\ь(ге'")\с)ср

О Ч-л-

с/г < +СО.

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению параметрического представления класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Нсванлшшы из весовых Ь'' - пространств (0 < р < +со); проведению обобщения классической теоремы Ж.Вапирона о целых функциях на случай целых и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых и - пространств (0 < р< +ад); описанию прсдставляю-

щих мер субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.

В §2.1 построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых ¿'' -пространств (0 < р < +оо).

Пусть г=х + /у, 0<а< +°о, 0<р < +°о.

Введем в рассмотрение класс ) субгармонических в С' функций

и, для которых выполняются следующие условия:

1) ]ya-f]u*{x + iy)dx О V-*

dy < -ко;

2) sup J)/(x + 7>)|ifr<Cv. <+со, Vy() > 0;

3) lim sup_K«(/y)>0. Рассмотрим также следующие факторы, введенные А. М. Джрбашяном и

Г. В. Микаеляном12:

<Г) = ехр - } —— , (10)

[ о (г+ »4-к) ]

где берётся главная ветвь степенной функции, ^ е С+, -1 < /? < +оо. При /? = 0:

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема. Теорема 2.1. Для того, чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу БН ^ (С1()</>< -ко, 0<а<+со, необходимо и достаточно,

чтобы в С~ и допускала представление:

1 *>

' ЛжрСхшшп A.M.. Мнкаелян Г.В. О фаничных свойствах произведений типа Бляшке / A.M. Джрблшян, Г.В. Микае.тян Изв. Нац. АН Армении, Математика. - 1991. - Т.26. jNl1 5. - С. 435-442.

н(2)= ¡\п\арМ№£) + Ь(2)'

где Ь(г) - гармоническая функция в С*, удовлетворяющая условию:

о V-» >

- неотрицательная мера в С*, для которой ■ /

$у''уа-,п''(у)с1у<+ оо,

Л''

(¡V <+00,

гдеп(у) = р{С;\ /3>~- + \.

В §2.2 проведено обобщение хорошо известной теоремы Ж.Валирона'3 о целых функциях.

Пусть С - комплексная плоскость. II(С) - множество всех целых функций в С. Обозначим через <Лр класс положительных функций, определённых

на Л4 = (0;+оо), удовлетворяющих следующим условиям:

2) если Л,<-<Л2, то С,со(у) < <о(х) < С2со(у), где С,,С2 - положительные конУ

станты.

Если / е Н(С), то обозначим через п(г) - число нулей функции / в круге О , 0 < г < +°о. Введем в рассмотрение класс целых функций

},- о.,

где Л/(г,/) = тах|/(г)|, р - порядок целой функции, ()< р< +ос.

11 Вот ПР. ЕпНге Ншк'Нош / Я.Р. Воаз //АсасЫпс Рге85,1пс.. N6« Уогк, 1954.

Обозначим класс А]1р(С) через Лр{С).

Пусть - фактор произведения Вейерштрасса

п.

1 —

2 1 ехр<--н —

К 2

( V

+ ... + -

(12)

где 0<\г,.\<\гк+\, к = \,2,..., q - наибольшее целое число, для которо-

1-Х

ГО |г'ни(/)Л = +оо.

Ж.Валирон13 доказал следующее утверждение. Пусть целая функция / е Ар(С), / тождественно не равна нулю, и - по-

Ч У

следовательность нулей функции /, тогда '' <+оо.

При р<£2 верно и обратное: пусть {г, - последовательность чисел из С, для которых | р < +оо, тогда существует функция / е А (С), корневое

множество которой совпадает с последовательностью .

Теорема 2.2. Пусть 0< р < +со, / <=А%р(С), / тождественно

не равна нулю, {2к - последовательность нулей функции /. Тогда

Е -<+о°- (13)

Теорема 2.3. Пусть {гк} - последовательность комплексных чисел, 51^,1, к = 1,2,..., к ->+оо, при этом

(М)

О < Р<+оо, <£ . Тогда можно построить функцию / б А''р (С), такую, что Р

[(г1.) = 0, /с = 1,2,..., / тождественно не равна нулю.

В §2.3 вводится следующий класс субгармонических функций

-е5Я(С):

-с1>- < +СО

где р> О, 0 < р < +со.

В случае = 1 для простоты введём обозначение: Ш ^ (С) = 5Я; (С).

сю

Пусть £( = - произведение Вейерштрасса, где

4.-1

1'Л

¿Г* О, д - наибольшее целое число, для которого = +<», <?>0,

и(/) = //(Ц), где, как и прежде, £>, = {г е С: [г| <г}.

Теорема 2.4. /7>'с«н, 0 < /7 < +со, /э>0, удовлетворяет

неравенству

7ог0я Л/7Я6-С функций БН^С) совпадает с классом функций и, допускающих представление:

"(2)= ¿[¿я]

(15)

где - гармоническая функция в С, удовлетворяющая условию:

//(/-) =//(Д.), О<г<+да.

Теорема 2.5. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса 5(С), 0</><+оо, р(С) - неотрицательная борелевская мера,

//(Д.) = "('"), О<г< +оо, шеПр. Тогда

В §2.4 изучаются представляющие меры субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых суммируема с экспоненциальным весом.

Пусть сг>0, аг > 0. Обозначим через 57/^ДС) - класс субгармонических

[а] - целая часть числа а, а е Я.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.6. Пусть функция и принадлежит классу 5Яягт(С). Тогда

представляющая мера // функции и удовлетворяет соотношению

в С функций и, для которых

Обозначим фактор Вейерштрасса, как и выше:

где ¿Г*О, £>(|С|) определяется из равенства /7(|^|) = тахГсг|^[",1],

Г(/)е""'<//<+ 00, (16)

л><7) = //(Д), |г|<л

Обратно: если // - некоторая борелевская неотрицательная мера в С, ()ля которой выполняется (16), то можно построить в явном виде субгармоническую функцию из класса SHaa.(C), где а'= ст'(а)> а, такую, что // является представляющей мерой этой функции.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Охлупнпа О.В. Параметрическое представление некоторых классов субгармонических функций в единичном круге [Текст] / О.В. Охлупина // Вклад ученых и специалистов в нац. экономику: сборник научных трудов / БГИТА, под общ. ред. E.H. Самошкина. - Брянск, 2006. - С. 260-263.

[2] Охлупина О.В. О параметрическом представлении одного класса субгармонических в круге функций [Текст] / О.В. Охлупина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы / Воронеж: ОАО «Центрально-Чернозёмное книжное изд-во. - 2006. -

С. 126-127. - ■ '

[3] Охлупина О.В. О параметрическом представлении некоторых весовых классов субгармонических в круге функций [Текст] ' / О.В. Охлупина // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы междунар. копф. / Мин-во образования и науки РФ; Смоленский гос. университет.- Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007.-Вып. 8. - С. 1-70-171. !! -

[4] Охлупина O.B. Описание класса субгармонических в единичном круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым V'-пространствам [Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Самарского ГУ. - Самара: изд. СамГУ, 2008. - Вып.9/1(59). С. 108-120.

[5] Охлупина О.В, О представлении класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым LP -пространствам [Текст] / О.В. Охлупина // Вклад ученых и специалистов в нац. экономику: сборник научных трудов / БГИТА, под общ. ред. E.H. Самошкипа. - Брянск, 2008. - С. 336-339.

[6] Охлупина О.В. Описание класса субгармонических в полуплоскости функций с неограниченной характеристикой Неванлинны [Текст] / О.В. Охлупина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы / Воронеж: ОАО «Центральночернозёмное книжное изд-во. - 2009. - С. 131-133.

[7] Охлупина О.В. О характеризации субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи граничной окружности [Текст] / О.В. Охлупина // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы 10-й междунар. конф. / Мин-во образования и науки РФ; Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. - Вып. 10. - С. 199-201.

[8] Охлупина О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности [Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета / Брянск: РИО БГУ. - 4(2009). - 2009. - С. 61-73.

[9] Охлупина О.В. Распределение корней в весовых пространствах целых функций [Текст] / О.В. Охлупина II Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 15-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во Саратовского университета, 2010. - С. 135-136.

[10] Охлупина О.В. Параметрическое представление классов субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой из U -весовых пространств

[Текст] / O.B. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета: точные и естественные науки / Брянск: РИО БГУ. - 4(2010). - 2010 - С. 24-36.

[И] Охлупина О.В. О некоторых оценках в классах субгармонических функций па комплексной плоскости [Текст] / О.В. Охлупина // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во Саратовского университета, 2012 - С. 127-129.

Охлупина Ольга Валентиновна

ПОТЕНЦИАЛЫ ТИПА ГРИНА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 16 апреля 2012 года Формат 60x84 '/ц Бумага офсетная. Объем 1,0 пл. Тираж 100 экч. Закоч №110-Т

Отпечатано втииофафии СГ'У г. Саратов ул. R. Казачья, 112а Тел.: (8452) 27-33-85

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Охлупина, Ольга Валентиновна, Брянск

61 12-1/1036

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика И.Г. Петровского

На правах рукописи УДК 517.53+517.54

ОХЛУПИНА ОЛЬГА ВАЛЕНТИНОВНА

ПОТЕНЦИАЛЫ ТИПА ГРИНА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Ф.А. ШАМОЯН

Брянск 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................3

ГЛАВА I. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕСОВЫМ Ьр ПРОСТРАНСТВАМ (0 < р < +оо)........................................................19

§1.1. Описание классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности

...................................................................................................19

§1.2. Классы субгармонических в единичном круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Ьр - пространствам (0<р<+оэ)....................................................................................42

ГЛАВА II. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В ПОЛУПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕСОВЫМ II - ПРОСТРАНСТВАМ (0 < р < +оо).................................59

§2.1. Обобщение теоремы Неванлинны о представлении классов субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Ьр - пространств (0 < р < +со)..................................................59

§2.2. Обобщение одной теоремы Валирона на случай целых функций

....................................................................................................79

§2.3. Обобщение теоремы Валирона на случай субгармонических функций

....................................................................................................91

§2.4. Описание субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным

весом.............................................................................................105

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ....................................113

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Субгармонические функции составляют один из важных классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.

Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф.Гартогса [45].

Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с основополагающими работами И.И.Привалова [27], [28], Ф.Рисса [50], Р.Неванлинны [15], М.Брело [3] и других классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди них отметим, прежде всего, работы У.Хеймана [36], [46], Е.Д.Соломенцева [33], Н.С.Ландкофа [12], А.Ф.Гришина [6], Б.Я.Левина [13], В.С.Азарина [2], [42], Р.С.Юлмухаметова [41], Б.Н.Хабибуллина [48], К.Л.Аветисяна [1], А.М.Джрбашяна [47] и др.

В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий таких авторов, как У. Хейман [36], [46], B.C. Азарин [42], A.M. Джрбашян [47]. Поэтому можно сказать, что тематика диссертационной работы весьма актуальна.

Пусть С - комплексная плоскость, D = jz е С: |z| < lj - единичный круг на комплексной плоскости, Г - единичная окружность с центром в начале координат, С+ = {z е С: Imz > 0} - верхняя полуплоскость комплексной

плоскости, С^ = [z е С: Im z > р > 0}.

Если G - некоторая область на комплексной плоскости, то через SH{G) будем обозначать множество всех субгармонических функций в G.

В теории субгармонических функций важную роль играет следующая теорема Ф.Рисса о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.

Если и е 8Н(Ц), не равная тождественно -оо, то в £> существует единственная борелевская мера ¡л, такая что и [г) допускает представление:

= 11п

»г

где геОг, Бг - : \г\ < /г(г) гармоническая в Д. функция (см., например, [36]).

Мера /и является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем её назовём представляющей мерой субгармонической функции и .

Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на субгармоническую функцию и представление вида (0.1) справедливо во всей области субгармоничности функции и.

Впервые такая задача была решена в работах Р.Неванлинны [15] при условии и(г) = 1п|/(2)| и И.И.Приваловым [28] в общем случае.

Для формулировки этого результата введём понятие характеристики Неванлинны для субгармонической в И функции. Пусть и е 8Н(П),

и+ = тах(м,0), тогда:

1 я

Т{г,и) = — | и+ {гещ^1(р. 2 тс

-ж

Следуя И.И.Привалову, обозначим через А класс субгармонических в I) функций и , для которых

Бир Т(г,и) < +оо . (0.2)

0<г<1

Следующее утверждение установлено в работе [28]. Класс А совпадает с классом субгармонических в И функций, допускающих представление:

(0.1)

|1п + -1- } 1 Г2 2а¥(в), (0.3)

1 — С-2Г 2к : \-2rzos\Q-ф\ + г

' 2л; - 2г со$(в - ср) + г'

где - произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге,

для которой

у/ - произвольная функция конечной вариации на [—я";я"].

В том случае, когда функция и имеет вид и(г) = 1п|/(г)|, г еБ, где / -

аналитическая в £) функция, представление (0.3) совпадает с формулой Пуассона-Иенсена для функций ограниченного вида (см. [35]).

Возникает задача о представлении субгармонических функций, для которых условие (0.2) не выполняется. То есть, вообще говоря, субгармонических функций и, не имеющих ограниченную характеристику, что равносильно отсутствию гармонической мажоранты.

Вопрос такого рода для случая, когда и имеет вид и(г) = 1п/ -

голоморфная в £) функция, впервые был рассмотрен Р.Неванлинной в монографии [15].

Он рассмотрел классы Ыа голоморфных в В функций /, для которых

характеристика Неванлинны Г(г,/) удовлетворяет условию:

|(1-г)аГ(г,/)^г<+оо. (0.4)

Им было установлено следующее утверждение.

Пусть / а>-1, = / тождественно не равна нулю, тогда

с-ы

к=1

Полное описание корневых множеств и факторизационное представление этого класса функций были получены в работах М.М.Джрбашяна [8], [9] и Ф.А.Шамояна [37]. Приведём эти результаты.

М.М.Джрбашяном было установлено, что, если / еЛ^, то / допускает представление

= рВа(г), 2еО, (0.6)

где Ка - комплексная постоянная, т - порядок нуля функции / в начале координат,

+00

(0.7)

к=1

4 (*>**) =

1--

V у

ехр

(1-р2)в1п

ре

ир

0 -л-

рс1рс1(р

рс1рс1(р.

0 -я

Произведение равномерно сходится на компактных

подмножествах круга £) тогда и только тогда, когда последовательность удовлетворяет условию (0.5).

Отметим, что при а--1 условие (0.5) совпадает с хорошо известным классическим условием Бляшке, а произведение (0.7) совпадает с произведением Бляшке.

Естественно возникает вопрос: если / допускает представление (0.6), то

принадлежат ли факторы ехрклассу Ыа ?

В 1977 году Ф.А. Шамоян установил, что существуют функции из Ыа, такие, что ни один из факторов в представлении (0.6), в отличие от факторизации функций ограниченного вида, не принадлежит классу Л^ .

Но, тем не менее, если / е Иа, то для произвольного (5>а в представлении (0.6), написанном в классе Л^, каждый из факторов тгД^,^), ехр^Дг) принадлежит классу Л^.

Тем самым установлена необходимость условия Р. Неванлинны (0.5) для корневых множеств функций класса Ыа, которое является также достаточным.

В дальнейшем Ф.А.Шамоян рассмотрел классы голоморфных в круге функций, для которых

\со(\-г)Тр {г,

0 < р < +оо, (см. [38]) при достаточно общих условиях на весовую функцию.

Распространение результатов Ф.А.Шамояна на классы субгармонических функций провёл К.Л.Аветисян [1] при р = 1.

Однако, применяемые им методы, не позволили ему получить аналогичные результаты в классах субгармонических в круге функций, характеристика которых принадлежит Ьр - весовым классам или имеет степенной рост при приближении к единичной окружности.

Цель работы.

1. Изучение представляющих мер классов субгармонических в круге и в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым И - классам; изучение представляющих мер субгармонических функций из класса 5На а (С).

2. Построение параметрического представления классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет заданный рост при приближении к границе области.

3. Обобщение классической теоремы Валирона на случай II - классов субгармонических функций в комплексной плоскости.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

- получена полная характеристика представляющих мер классов субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит Ьр - весовым пространствам (0< /?<+оо);

- построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из Ьр - весовых пространств (0 < р < +оо);

- получено обобщение классической теоремы Валирона на случай целых и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых Ьр - пространств (0 < р < +оо);

- получено аналитическое представление субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.

неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Публикации. Результаты исследования нашли отражение в 11 печатных работах: [16]-[26]. Работы [19], [25] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Перейдём к обзору основных результатов диссертации по главам.

В первой главе установлено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи границы области и описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Ьр - пространствам (0 < р < +<х>) при достаточно общих условиях на весовую функцию.

В этой главе диссертации существенную роль играют факторы бесконечного произведения М.М. Джрбашяна, введенные им еще в 1945 году в работе [8]. Свойства этих бесконечных произведений приведены в монографии [39]. Для изложения результатов этой главы введём некоторые обозначения.

Пусть а > О. Рассмотрим класс БНа (£>) функций и, субгармонических в единичном круге I), для которых справедлива следующая оценка

Содержание диссертации.

Си - некоторая положительная константа, зависящая только от и .

При а = 0 по классическому результату И.И. Привалова класс 5770(£>) совпадает с классом функций и, допускающих в единичном круге О представление (0.3)

При а > 0 метод, применяемый И.И. Приваловым при доказательстве представления класса £//„(£)), не проходит, так как функции класса БНа(О) могут не иметь граничных значений на единичной окружности. Потребовалось строить новый аппарат для дальнейшего исследования. Подход, применяемый в работе [37], позволяет получить аналог вышеуказанного представления класса на всю шкалу 8На(В) при всех а> 0. Для этого сначала введем

хорошо известный класс О. Бесова В1^ на единичной окружности Г:

вТ =

¡.|д,У

-Л < +00

где = + в е I е [0;1], 0<*<2.

Для фиксированных г,(еД /3>-1 будем обозначать через

следующее выражение:

V ь У

ехр<

2(^ + 1)

1-Й 1п

1-1

¿Г

(1-Й)

- \/?+2

с1тг (?)

(0.8)

Назовём его фактором в произведении М.М. Джрбашяна. Основным результатом этого параграфа является теорема

Теорема 1.1. Класс функъ^ий 8На{р) совпадает с классом функций и, допускающих следующее представление в И:

у/[е>е)ав

1 л

2 п 1

Л -гв

(1-е 2)

где г&И, ^(е'6) - произвольная вещественнозначная функция из класса /3>а, а>-1, - неотрицательная борелевская мера в £>,

удовлетворяющая условию:

п(г)< С>

а+1

(1-0

где п{г) = //(Д.).

Напомним, что £). = е С: |г| < , 0 < г < 1.

В §1.2 главы I полностью описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Ьр{0< р< +со) - пространствам.

Пусть 2 = гё", \г\ = г. множество измеримых положительных суммируемых функций со на (0;1), для которых существуют числа та, М0, причём тю,цт е(0;1) удовлетворяют оценке

со{Хг)

т„ <

со

Функция со(У) имеет вид: &>(?) = ехр|*^Х^, где -аа <б(х) <

0<^<1,0<аа<+сс.

Такие функции называют ещё медленно изменяющимися функциями. Важным частным случаем функции из О является степенная функция со^) = е,а>-\ (см. [39]).

Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:

и е

\-я

<+оо

, 0 < р < +00 .

1ра(0) - обычное весовое II- пространство, т.е.:

у:

1 ж

\<а{\-г) | у/[ге1(р)а(р

\-к

В данном параграфе мы получим параметрическое представление класса функций и, вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Неванлинны Т(г,и), но, принадлежащих пространству £ (£)), т.е. класса

функций и для которых:

(г,и)со(1 -г)с1г < +оо , 0<р< + оо, соеО.

Теорема 1.2. Для того, чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу БН^ (-0), 0 < р < +оо, со е О, необходимо и достаточно, чтобы в И и допускала представление

и(2) = \ъ\Ар{2,ф^) + к{2), (0.9)

где [5 - достаточно большое положительное число, зависящее только от со: а

/?>Н——, 0 < ат < +оС', ¿¿(С)- произвольная борелевская неотрицательная Р

мера в I), для которой:

^со{\-г)(\-г)Р пр (г)& <+00 ,

(г) = //(Д ), Д = : [г| < г|, 0 <г < I, гармоническая функция в И,

удовлетворяющая условию:

1 Г Ж у

\со(\-г)\ £

¿/г < +00.

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению параметрического представления класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из Ьр - весовых пространств

(0< р < +оо); проведению обобщения теоремы Ж.Валирона о целых функциях

на случай субгармонических функций; получению описания субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.

В §2.1 построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из Ьр - весовых пространств (0 < р < +оо).

Пусть г = х + 1у, 0 <а< +оо, 0 < р < +оо.

Введем в рассмотрение класс (С+) субгармонических в С+ функций

и, для которых выполняются следующие условия:

\р

dy < +GO;

+00 / +00

1) ju+(x + iy)dx

2) sup J |w(x + iy)\dx < Cyo < +oo, Vy0 > 0;

У>Уо -00

3) lim supyu(iy) > 0.

^->+00

Рассмотрим также следующие факторы, введенные А. М. Джрбашяном и Г. В. Микаеляном (см. [7]):

aß{z>C)-QXV

_J rßdr

(0.10)

(г + ¿¿Г - 12)Р+Х

где берётся главная ветвь степенной функции, ^еС+,-1</?< +со. При /3 = 0 :

а,

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема. Теорема 2.1. Для того, чтобы субгармоническая функция и

принадлежала классу 0<р<+со, 0<а<+оо, необходимо и

достаточно, чтобы в С+ и допускала представление:

с+

где - гармоническая функция в С+, удовлетворяющая условию:

+00 ( +00

йу < +00,

\\к(х + 1у)\ск

- неотрицательная мера в С+, для которой

+00

\уруа~'пр(у)с1у<+ю,

где п(у) = ц{с;), ¡3>~± + \.

В §2.2 проведено обобщение хорошо известной теоремы Ж.Валирона (см. [43]) о целых функциях.

Пусть С - комплексная плоскость. Н(С) - множество всех целых функций в С. Обозначим через £1р класс положительных функций, определённых на Я+ = (0;+оо), удовлетворяющих следующим условиям:

,(х)

+оо

со

ч Г Ш\ Л I 1) ]

1 *

2) если Л1< — <Л2, то С1а>(у)<а>(х)<С2а>(у), где СХ,С2 - положительные константы.

Если / еЯ(С), то обозначим через п(г) - число нулей функции / в круге Д., О < г < +оо . Введем в рассмотрение класс целых функций

, ч [ , Ч +г(1п М(г,/)Усо(г)

< +оо

(0.11)

где М(г,/) = тах|/(г)|, р - порядок целой функции, 0<р<+сс. Обозначим класс Л,1 (С) через Ар(С).

Пусть Ач(г,2к)

фактор произве�