Классы субгармонических функций, интегрируемых с весом в круге и в полуплоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ч V)

^ ^ д^д ^ь-зилшъ ^и.иишигаъ

^игьъ шгь^ь ичьэьиоаъ

итр^агиоъь^ ъсиъадьиъьгъ ТЛШЬР егаиъгыг ъч ^ьии<.аг0п1®оо1ъп1о"

01.01.01 - иГшрМиигф^ш^шЬ шЪшфч ф^ЭДш-^шрЬсГштМшЦшй д^ттр^тЫЛрф рЫ|1ш1&пф

оиараьг

ЪРЬЧи'Ь - 1996

чг^ш-чаш ц^^'уц&цюл"^^ '.'у^ч

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Аветисян Карен Ларикович

КЛАССЫ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ С ВЕСОМ В КРУГЕ И В ПОЛУПЛОСКОСТИ

Специальность 0.1.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1996

Работа выполнена в Институте математики Национальной Академии наук Армении.

Официальные оппоненты: — доктор физико-математических

наук, профессор

, Г. М. АЙРАПЕТЯН

— кандидат физико-математических

наук А. О. КАРАПЕТЯН Ведущая организация — Московский инженерно-строительный

институт

Научные руководители — доктор физико-математических наук,

профессор Ф. А. ШАМОЯН — кандидат физико-математических

наук А. М. ДЖРБАШЯН

Защита диссертации состоится 19 ноября 1996 г. в 15°° часов на заседании специализированного Совета 050 при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, г. Ереван - 49, ул. Алека Манукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан 18 октября 1996 г.

Ученый секретарь Т. Н. АРУТЮНЯН

специализированного Совета ^_д/ (__/_

кандидат фмз.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории субгармонических функций и их приложениях существенную роль играет фундаментальная теорема Ф. Рисса (1926, 1930) о локальной представимости субгармоническом функции в виде суммы потенциала и некоторой гармонической функции. Эта теорема является обобщением классической формулы представления Пуассона-Кенсена. Литтлвуд (1927) показал, что для субгармонических функций ограниченного вида в круге представление Рисса имеет место глобально во леем круге, а И. И. Привалов и Е. Д. Соломен-цев распространили этот результат на многомерный случай и обобщили его. М. М. Джрбашян (1965) указал на возможность новых глобальных представлений типа Рисса для широких классов субгармонических функций, быстро растущих вблизи границы круга.

Следует отметить, что такие представления функций, субгармонических в различных канонических областях комплексной плоскости, обобщают классические результаты Кард и, Ф. Рисса, Литтлвуда, Р. Неванлинны, В. И. Смирнова, В. И. Крылова, М. М. Джрбашяна, Б. Я. Левина н других о факторизации классов голоморфных и мероморфных функций.

Глобальные представления типа Рисса для субгармонических функций дают возможность исследовать поведение последних вблизи границы области. Такие результаты имеют многочисленные применения в различных областях одномерного и многомерного анализа - в теории потенциала, теории линейных операторов, гармоническом анализе и т. д..

Результаты о представлениях, граничных и асимптотических свойствах голоморфных, мероморфных, субгармонических и ^-субгармонических фунхций был и получены многими армянскими математиками. Настоящая работа является продолжением и развитием результатов, полученных в этой области М. М. Джрбашяном, В. С. Захаряном, Ф. А. Шамояном, А. М. Джр-башяном, А. Э. Джрбашяном, А. О. Каралетяном и другими.

В силу сказанного представляется актуальным получение новых представлений типа Рнсса для широких, весовых классов функций, субгармонических в круге и в полуплоскости.

Цель работы. 1) Изучить структуру весовых классов S£(a > 0) субгармонических функций в круге и в полуплоскости и установить для них параметрические представления типа Рнсса. Для последних найти аналоги формулы обращения Стил-тьеса.

2) Ввести в рассмотрение широкий класс потенциалов типа Грина в круге и в полуплоскости. Изучить первообразные дробного порядка этих потенциалов и вопрос об их принадлежности классам

3) Провести исследование расширенных классов Л£0,р,г О. В. Бесова, необходимость в котором возникает в связи с найденными представлениями классов Исследовать действие преобразования Гильберта в классах Л£0,р,г.

Общая методика исследования. > В диссертации в основном использованы методы классического комплексного и гармонического анализа, теории классов ^арди, (|

Научная новизна м практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в задачах теории функций одной и многих комплексных переменных, в теории операторов, в теории потенциала, в гармоническом анализе и т. д..

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по комплексному анализу в Институте математики HAH Армении а также на международной конференции по теории функций и приложениям (Амберд, 1995 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора; список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем работы - 107 страниц текста, набранного на ЭВМ. Список литературы содержит 35 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем некоторые обозначения. Пусть ГО = {г € С : \г\ < 1} - единичный круг, а = (г € С : 1т г > 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Элементарные факторы М. М. Джрбашяна образца 1945 года и из его монографии 1966 г. имеют, соответственно, вид

ЛаО.С) = ехр

-I

(1 - 1)а сП

(0<|<|<1), (1)

^(а-с^-1)^1

(0 < |<| < 1). (2)

Элементарные факторы типа Бляшке, введенные А. М. башяном и Г. В. Микаеляном, имеют вид

Джр-

[ /-21т С

= ехр |-

та с1т

(г + г'С -

С € (3)

В диссертационной работе рассмотрены потенциалы типа Грина, построенные посредством элементарных факторов типа Бляшке Аа(г,() и аа(.г,С), установлен ряд их свойств. Эти свойства необходимы для получения параметрических представлений определенных ниже классов субгармонических функций и Дана полная характеристика мер Рисса, ассоции-

рованных с функциями классов 5* (Ю) и (Сг+), а затем для этих классов установлены параметрические представления двух типов: с интегралом по линейной лебеговой мере и с интегралом Лебега-Стилтьеса. Во всех этих представлениях использованы вещественные функциональные классы О. В. Бесова на

единичной окружности или на вещественной оси. Использование классов О. В. Бесова позволяет с применением операторов интегроднфференцирования получить формулы обращения, аналогичные формулам обращения Стилтьеса. Отметим значительно более сложный характер получения представлений в по-луплоркости по сравнению со случаем круга.,, Э;го ,объясняется, в частности, тем, что обычные пространства Бесова оказались недостаточными для характеристики представляющих мер. Это приводит к необходимости привлечения несколько более широких классов и исследования ряда их свойств. Примененные методы позволили также получить новые параметрические представления классов #¿(30) М. М. Джрбашяна (1945) и аналогичных классов в верхней полуплоскости, которые будут опре-

делены ниже. Представления для круга и для полуплоскости выводятся независимо друг от друга - сначала для круга в главе I, а затем для полуплоскости в главе II.

В первом параграфе главы I определены потенциалы типа Грина для круга и найдены условия их существования. А именно, доказана

Теорема 1.1. Пусть — 1 < а < оо, и v - неотрицательная борелевская мера в ГО. Тогда потенциал типа Грина

Va{z) = Va{z,V) = jJ\og\Aa{zX)\dv{Cl *еГО, (4)

ID

является субгармонической в ГО функцией, не равной тождественно —оо, в том и только в том случае, когда

II(1 - 1С1Г+1 dv(С) + II log щ <МС) < +«>• (S) ■Ц> 1С1<1/а

I

В этом случае мера Рисса, ассоциированная с Va{z)> совпадает с и.

Во втором параграфе главы I исследованы свойства факторов Aà(z, £) M. М. Джрбашяна и потенциалов типа Грина (4), выраженные посредством оператора дробного интегродифферен-цированиа D~a Римана-Лиувилля. Приведем определение оператора D~a. С этой целью для измеримой в Ю функции f(z) формально положим

B-af{reis)= -Ц Г (г -

1 (») Jo f6)

пп ^ '

D°№ = /(*), D*J(z) = _!)-(*-«)/(*), z = reie,

где 0<c*<oo, an- целое число, определяемое из неравенств п — 1 < а < п.

Третий параграф главы I посвящен изучению основных свойств вводимых ниже классов 5*(2D) субгармонических функций и вопросов принадлежности потенциалов типа Грина этим классам.

Определение 1. Введем в рассмотрение классы S£(1D) (0 < a < оо) субгармонических в единичном круге ID функций u{z) ф —оо, удовлетворяющих условию

II(1 - ИГ"1«^) dm,(г) < +оо, (7)

ш

где, как обычно, u+ ~ max{w, 0}, и m-j - мера Лебега на плоскости. Заметим, что классы 5^(Ю) являются обобщением классов Л*(Ш) M. М. Джрбашяна (1945), так как совпадают с ними после подстановки u(z) = log|/(z)|, где f{z) - голоморфная в Ж) функция. Условие (7) накладывает ограничение на рост функции u(z) вблизи границы круга. Это оказывается достаточным, чтобы убывание функции u(z) удовлетворяло такому же ограничению, а мера Рисса v, ассоциированная с w(z), подчинялась естественному условию роста.

В следующей теореме содержится полная характеристика мер Рисса, ассоциированных с функциями класса 5* (ID), дается ответ на вопрос о принадлежности потенциалов типа Грина классам ££(Ю).

Теорема 1.5. Пусть 0 < а < со. Тогда справедливы следующие утверждения:

1°, Если неотрицательная бор еле в екая мера v удовлетворяет условию (5), то

va{^)<Ga JJllf^Z МО, seiD,

v, Vfi(z, v) e S£(]D) для всех /? > а.

2°. Если неотрицательная борелевсхая мера v удовлетворяет условию

//(1-К1)а+11оег~-^Н<)+ И bg jij- dv(C) < +оо,

ID 1(|<1/2

mo Va(z,v)eSl{JD).

3°, Существует неотрицательная борелевсхая мера v, удовлетворяющая условию (5), такав, что £ S*(ID).

Четвертый параграф главы I посвящен доказательствам основных теорем о представлениях в круге. Предварительно введем в рассмотрение ряд известных функциональных классов. Пусть Н* ~ Я£(Ю) (0 < а < оо(0 <<р < оа) - класс М. М.'Джр-башяна голоморфных в ID функций f(z), подчиненных условию

ч 1/Р

Класс вещественных гармонических функций Л(г), для которых ||h||Pla < +оо, обозначим через /i^(ID). Для формулировки

ll/lka = 11/11

- //

\ID

полученных в работе результатов, относящихся к представлениям классов 7/^ и приведем общее определение классов О. В. Бесова на единичной окружности. Пусть А(0 < а < 2, 1 < р, <} < оо) - класс, вообще говоря, комплекснозначных функций /(0) на [—х, х] с конечной нормой

№.... = 1!/11А- =

11/11? + ( Л, Г1-"'11/(* + 0 + № -О- ,

1 < д < оо,

1!/||р + в«Р|ц>0 + 0 + /(* - 0 - 2/(?)11г>

ч — °°>

где || • ||р = || • ||/,р - лебегова норма функций в тг, тг]. В случае любого а > 0 вышеприведенная норма заменяется на

11/11™,« = 11/11*5" =

= 1 < ? < оо,

I 11/11, + вир0<г<1(1 - тГ-«||гГ»«||„ 9 = оо,

где и = м(ге*') - интеграл Пуассона функции /(#) в Ю, тп -целое число, большее, чем а, а 0ти - произвольная смешанная частная производная функции и(те%(>) по переменным т и 0 суммарного порядка то. Отметим, что норма || ■ ||Р>г,а не зависит (с точностью до эквивалентиости) от выбора то > а и порядков дифференцирований но г и б в производной д^и. Основные результаты работы, относящиеся х представлениям в круге, даны в нижеприводимых двух теоремах.

Теорема 1°. Класс (0 < а < оо) совпадает с

множеством функций д(г), пуедставимых в виде

д{2) ^££±1) £ [ д _ ^ ^ ^ + ^ ^ е ш>

где Im С = О,/? > a,,a <p(e,S) ~ прррзволррaif ^еще^тпв^нцазнач-ная функция, принадлежащая классу А^а.

2°. Функция <р(ехв) из (8) может быть определена почти для всех 0 6 (—из соотношения

<p(ei9) = Km г-'Д-^Ие g(reie)

(9)

3°. Класс //¿(Ю) (0 < а < оо) совпадает с множеством функциИ g(z), пред ставимых в виде

„ы - г(" +*) Г f_L

9{z)~——J_r [(1=7=18

-1

dV(^) + »'С, ¿ею, (ю)

где Гт С = 0,^(0) - произвольная веществениозначная {/¡унхг^и» конечной вариации на [—w,к], принадлежащая классу Л^'1.

4°. Функция ф(0) из (10) может быть определена из соотношения

Гв

ф{0)~ lim / r-aD-aRe3{reu)dtt 0 6 [-*,*]. (11) r—i-o Jo

Теорема 1.7. 1°. Класс 5*(Ю)(0 < а < оо) совпадает с множеством функций u(z), представимых в Ю по любой из следующих формул

и{2) = JJ\oS\a;(2>0\ «И0+ /[ iog|^(z,0l <40+ T(fl + l) J*

ICK« +

2*

Re

2

V(e«) d0, (12)

u(z)=JJlos\A;(z,C)\d»(0+ ff log|4»(*.C)l«H0+

ICI<«

+

Г(а +1) Г

2* J_

«<ICI<1 2

Re — Л (1 — e~tez)a+l

- 1

#(/?), (13)

где с и ß(Q < с < l,ß > а) - любые -числа, - произволь-

ная не отрицательная борелевская мера в ГО, удовлетворяющая условию

(1 - |С1Г+1 <40 < +00, (14)

1D

Aß{z,C) u Aß(-2> С) - факторы, представленные, еоответствен-« о, в (1)% (2), <р{е*в) - произвольная вещественноэначная функция, принадлежащая классу Ф{0) ~ произвольная веще-ственнозначн&я функция конечной вариации на [— т,тг], принадлежащая А^'1.

2°. Если гi(z) представима в виде (12) или (13), то мера Рисса, ассоциированная с u(z), совпадает с v. Кроме того, функции tp(etS) и ip(0) могут быть найдены, соответственно, из следующих формул обращения:

vU9)- lim r-ßD~ßu(reil>)+ lim Фй(ге<в), л.в. О G [—*,*], ' Т-.1.-0 г—г-о

(15)

Щ)^ lim I т~а JD~c*u(reit)dt 4- lim [ 9aß(re{t)dty

(iß)

где Фр и Уaß - некоторые функции из гармонического класса Харди Л1 (ГО).

G. В первом параграфе главы ÏI определены потенциалы типа Грина для полуплоскости и найдены условия их существования. А именно, доказана

Теорема 2.1. Пусть — 1 < а < оо, и ¡1 - неотрицательная борелевская мера в Cr*", удовлетворяющая условию

JJ(lm0a-¥ldß(0<+oo. (17)

G+

Тогда для любого ß > а потенциал типа Грина

iß{z) = Iß{z,ß) = If\oB\ap{zX)\ МО (1&)

G+ 11

//

является субгармонической функцией в не равной тождественно —оо. Кроме того, мера Рисса, ассоциированная с 1р, совпадает с р..

Во втором параграфе главы II установлены параметрические представления класса В. И. Крылова состоящего из субгармонических в функций «(я), удовлетворяющих» условию

/+оо

¡ы(а? + гу)< +оо.

■оо

Ниже приведем основной результат второго параграфа главы II.

Теорема 2.2. Класс Б™ совпадает с множеством функций и(х), представимых при г = х + гу € а виде

«М = II +1 /Г ' (18>

где /*(£) - неотрицательная борелевская мера в удовлетворяющая условию

а+

а <р(1) - произвольная функция коне\ной вариации на оси Ш. = (—оо, оо),

В третьем параграфе главы II исследованы некоторые свойства факторов С) (см- (3)) и потенциалов типа Грина

(18), выраженные посредством оператора дробного интегродиф-ференцироваиия Вейля. Полагая, что /(г) — /(ж + гу) -

измеримая в функция, определим оператор ннтегродиффе-ренцированмя Вейля по переменной у:

1 г+°° , I

УГУ(») = Ж-« Я*) = рГТ / С - у)в_1/(® + ¿0*.

* ) Л (20)

. и^д*) =/00, =

где 0 < а < оо, те - целое, г» — 1 < а < п.

В четвертом параграфе главы II первообразные дробного порядка потенциалов типа Грина (18) исследованы на принадлежность классу В. Л. Крылова S™.

В пятом параграфе главы II установлена одна важная для дальнейшего изложения оценка модуля потенциала типа Грина Ia(z).

Теорема 2.6. Пусть 0 < а < оо, и /г - неотрицательная борелевсхая мера в G^, удовлетворяющая условию

J J (lm С)а+1М <)<+«>.

о+

Тогда для любого /3 > а неравенство

М» + nr)l < —ft /[(Im 0e+l МО, х е т.,

G+

справедливо для всех у > 1, за исключением, некоторого открытого множества Е С [1,+со) -конечной логарифмической длины, т. е. такого, что J^7 < +оо.

Шестой параграф главы II посвящен изучению основных свойств вводимых классов 5* (С+) субгармонических функций и вопросов принадлежности потенциалов типа Грина Ia{z) этим классам.

Определение 2. Пусть S* (G+) (0 < а < оо) - класс субгармонических в G+ функций «(г), удовлетворяющих следующим трем условиям:

JJ(Im г)л_1и+(г) dm2(z) < +оо, (22)

/+оо

|u(® -f »2/) | «¿а < Су0 < +оо для любого уо > 0, (23)

•оо

limsupyu(ij/) > 0. (24)

У-.+СЮ

Заметим, что условие (22) является точным аналогом условия (7), но в отличие от случая круга само лишь условие (22) не обеспечивает такого же ограничения на рост и~ (г) (и- = и—и+), т. е. при (22) соотношение

(1т «)в-1|и(*)| Ж»,(*) < +оо, (25)

вообще говоря, не верно. Например, любая отрицательная постоянная или обычный потенциал Грина в полуплоскости удовлетворяют (22), но не удовлетворяют (25). Тем не менее, в работе доказано, что условия (22) - (24) в сумме обеспечивают выполнение (25), а также и естественное ограничение на меру Рисса /х, ассоциированное с и(г). Именно, имеет место следующая

Теорема 2.7. Если О < а < оо, и(х) 6 £*(6'+), то и(г) ■удовлетворяет условию (25), а мера Рисса ц, ассоциированная с и(х), удовлетворяет условию (17). Кроме того, справедлива формула 1

И(1т = //(Ьп С)в+1 МО-

о+ а+

В следующих двух теоремах установлены "формулы равновесия" и две оценки для потенциалов типа Грина /а(г), на основе которых дан ответ на основной вопрос параграфа - о принадлежности потенциалов тина Грина классам 5*

Теорема 2.8. Пусть О < а < оо, и ¡1 - неотрицательная борелевсхая мера в О^, удовлетворяющая условию (17). Тогда для любого /3 > а справедливы следующие соотношения:

/;; + ч)\*х < 11(1т СГ+1 МО, V > о,

00

2 г+°° г+00

— ^ 1р(я + {у)Лх = - у (I - у)<1»(*), У > О,

\C-z\W

с+

■ Теорема 2.9. Пусть 0 < а < оо( и ft ~ неотрицательная борелевсхая мера в удовлетворяющая условию (17). Тогда

справедливы следуюъ^ие утверждения: 1°.

уа~Ыу f°°ia{x+iy)dx=//(im cr+i

°° G+

Т. Если ß>a, то Iß(z) G и

// V<"1Iß{x + iv)dxdy = //(1Ш °a+l МС)-

G+ G+

3°. Существует неотрицательная борелевская мера v, удовлетворяющая условию

JJ(Im С)а+1 dn(Q < +оо,

G+

такая, -что Ia(z,v) 5*(G+).

В седьмом параграфе главы П доказаны еще две теоремы, необходимые для дальнейших целей и, одновременно, представляющие самостоятельный интерес. Для формулировки этих теорем введем в рассмотрение классы О. В. Бесова на вещественной оси Ж = (—оо, +оо). Для любых чисел р, д, а (1 < Р,Я оо,0 < а < 2) и функции /(ж), определенной на Ж, введем величину

Щ'^Ш' + 0 + /(» - <) - 2/WIIIЛ) ™P|t|>o Н~а!1/0 + 0 + /(* - <) - 2/(®)||Р1

q — оо,

а для произвольных чисел p,q,a (1, <, р, д < со, 0 < а < оо) и функции и = и(ху у), заданной в - величину

ФМ = ( (fo+0° »(л-в)«-1||«ж»Н^1г)1/9. 1 < i < 00,

, 1виру>оУт-а||^||р> д = <х>,

где тп > а,т £ 7L+, а дти - смешанная частная производная функции и(х, у) по переменным х и у произвольного суммарного порядка т. Величины B%9(f) и L%q(u) не являются нормами. Однако ниже их эквивалентность будем понимать в обычном для норм смысле, т. е., что их отношение ограничено сверху и снизу положительными постоянными. Далее, определим следующие классы функций, которые несколько шире обычных классов О. В. Бесова:

К0*'" = {/(*) •• 11/11,0 + W/) < +<»}> 1 < РО < ОО, 0 < а < 2,

LBMO,P,q = {}{х). „/||вмо + < +СХ)}> о < а < 2,

где || • Цвдго есть норма в пространстве с ограниченным средним колебанием на Ш. Для произвольных а > 0 определим

AV0M = {/(в) . j|yj|po + < +схз}) 1 < ро < оо,

ЛBMO,v>q = {f{x) . Швмо + ^ (u) < +оо}>

где и = и(х,у) - интеграл Пуассона функции /(») в G+. Классы А™'1 есть обычные пространства Бесова. Для удобства обозначим = А.%,,1,1)Л£йло = AfA,°,1,i. В седьмом параграфе главы II доказана эквивалентность двух норм в классах О. В. Бесова, м затем - свойство "сохранения гладкости" классов Бесова при преобразовании Гильберта.

Теорема 2.10. Пусть 0 < а < 2, 1 < p,q < оо - любые числа, f{t) - любая функция такая, что f(t) <Е L1 (dt/(l + t2)),

тп- е• J-™ 1/(01^/(1 + < +°°> а и = u(x>v) ~ интеграл Пуассона функции /(f) в G*, т. е.

■ s ■.: t iii I 11 t ....., ' 1

1G

Тогда величины и эквивалентны.

Введем в рассмотрение сопряженную функцию (т. е. преобразование Гильберта), определяемую как

= lim Li Щ,

если ф{1) в Lp(dt) (1 < р < оо),

ф(х) = lim - [ (—+ —Щ ^(0А ,

если V(<) € ¿°°(Ж) или ^(t) G ВЛГО(ГО.).

Теорема 2.11. Пусть 0 < а < оо, 1 < р, q < со, 1 < ро < оо - любые числа. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если € ЛР°,Р1«,то ф<Е

i) если то

в) если Ф{г) <Е к™0™,™ фе

В восьмом параграфе главы П установлено правило, по которому ограниченно действует оператор Вейля в общеизвестных весовых классах = /i£(G+) (0 < а < оо, 0 < р < оо) при р = 1. Напомним, что по определению Hfx(G~^) (0 < а. < со, 0 < у < оо) есть множество голоморфных в G+ функций f(z), у которых конечна норма

li/IU = 11/11*5 = (//(Im zy-M/OOr •

Класс„ветественных гармонических функций /¿(-г), для которых ll^llp,« < +оо, обозначим через = hva(G^~).

Наряду с оператором интегродифференцирования Вейля W~a относительно переменной у, мы будем рассматривать также оператор Вейля W~a относительно переменной х (z = х + iy):

1

W

1 /Ч-оо

КщП*) = т, w:i±)f(2) = (±1 )*!>;£,-">/(*),

где 0 < а < оо, п - целое, п — 1 < а < п.

Теорема 2.12. Пусть функции,/(г) д(х)лЪРЛмморфцы в Тогда как для левосторонних, так и для правосторонних операторов Вейля справедливы следующие неравенства:

Н^Г/Ня^ < <К«,/3)||/||я' (0 < а < /?),

< с(а,Р)\\9\\щ_а (0 < а < /?),

\\wxaf\\ul_a < c(atß)\\f\\u> (0 < а < 1,0 < а < ß), WraWnl < (о < а < 1,0< а </?).

Девятый параграф главы EL посвящен доказательствам следующих двух основных теорем о представлениях в полуплоскости.

Теорема 2.13. 1°. Класс //¿(G+) (0 < а < оо) совпадает с множеством функций g{z), представимых в виде

»

где ß > а - любое число, <p(i) = Vßit) ~ произвольная вегце-ственнозначная, к раз дифференцируемая па Ж (k 6

2Z+, k < ß — а < к + 1) такая, что

6 A£_a-fc Для некоторого р, 1 < р < оо. (27)

2°. Если g(z) пред ставима в виде (26) - (27) с ß £ (а,а + 1), то почти для всех ж € Ж имеет место формула обращения

<p{z) = lim W-fRe g{x + iy).

Л—4-0 »

3°. Класс (0 < а < оо) совпадает с множеством

функций g(z), пред ставимых в виде

„Ы - Г(" + !) /+С° «WO 2 ~ с+ S(Z)-~~^~~J-00 (Й - iz)^' ' (28)

где - произвольная вещественнозначная функция конечной вариации на Ш, такая, что i/j(t) Е

4°. Функция из (28) может быть найдена из соотношения ,

, ........#е)= lim / W17aRcä{t + w)dti х 6Ж.

V—-WJ о

Теорема 2.14. 1°. Класс 5'*(<7+)(0 < а < оо) совпадает с множеством функций u(z), пред ставимых в виде любой из следующих формул

«М = JJW;M*.OI <WO-

IfclirL '

* L (»«-»»у

dt, z € G+,(29)

«(*) = JJ )oSMz,0\dfi(C)+

G+

Г(* + 1) /-+00 r 1

7Г J-oo L (»t-»«)e+l.

¿VW, г 6 G+, (30)

где 0 > <х - любое число, ~ факторы, представленные в

(3), /х(С) ~ произвольная неотрицательная борелевская мера в О"1", удовлетворяющая условию (17), <р(1) = - произволь-

ная вещественнозначная, к раз дифференцируемая функция на Ш (к € 25+ < ¡3 — а < к + \) такая, что

€ ^¡з-а-к ЛЛЯ некоторого р, 1 < р < оо,

а ^(0 - произвольная вещественнозначная функция конечной вариации на Ж такая, что -ф(1) 6

2°. Если и(г) представима в виде (29) или (30), то мера Рисса, ассоциированная с и(г), совпадает с р. Кроме того,

функция <р(э;) из (29) (в случае /3 € (а, at + 1)J и функция из (80) (в случае нецелого /3 6 {а, а -f- 1)^ могут быть найдены из соотношении

<р(х) = lim W~^v(x -hiy) + lim ФяГг-Ну), п.в. x 6 JR.,

i>(x)= lim / W"ay(i-f iy)dt-h lim / pit + iy)di, x 6 Ж, v-*+°J о V—+ojo

г<?е Фр - неотрицательная гармоническая функция в G^, а Ф«,/? - некоторая функция из гармонического класса Харди hl{G^~).

В заключение выражаю благодарность моим научным руководителям Ф. Л. Шамояну и А. М. Джрбашяну за постановку задач и постоянное внимание при выполнении настоящей работы. li 'lis '¡'111 II Л " I II, I '

м

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. К. JI. Аветисян, "О параметрическом представлении некото-

рых классов функций, голоморфных в полуплоскости", Ден. в Арм. НИИНТК, N 3, стр. 2, N 5, 14 октября 1992.

2. К. JL Аветисян, "О представлениях некоторых классов суб-

гармонических функций в единичном круге и в верхней полуплоскости", Изв. Над. АН Армении, Математика, том 29, N 1, 1994.

3. К. L. Avetisian, "Green type potentials and representability of

some weighted classes of subharmonic functions", Theory of Functions and Applications, Collections of works dedicated to the memory of M. M. Djrbashian, Louys, Yerevan, 1995, pp. 11 - 16.

4. K. JI. Аветисян, "Потенциалы типа Грина и представимость

весовых классов субгармонических функций", Изв. Нац. АН Армении, Математика, том 30, N 2, стр. 3 - 34, 1995.

I' ■ I

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Получены параметрические представления тина Рисса весовых классов 5* (а > 0) субгармонических функций в круге и в полуплоскости. Для этих представлений найдены аналоги формулы обращения Стилтьеса.

2. Введены в рассмотрение и исследованы потенциалы типа Грина в круге и в полуплоскости. Установлен ряд свойств этих потенциалов и их первообразных дробного порядка. Получен ответ на вопрос о принадлежности классам 5* рассматриваемых потенциалов.

3. В связи с представлениями классов исследованы расширенные хлассы О. В. Бесова. Выяснено, как действует преобразование Гильберта в классах Л£0,р,?.

ц и- Ф Л Ф £11 и"

г. ишшд1|ш5 Ы! ^шшЬшррш^шЪ Л»?

итр!1шр|Гп1ф11 фптЫцфшЫ^ф 0<«<+а> цшрииШлр^д 1р1ф1-!12пи1^>11 цшиЦф Пфшф ифиф ирпргшШтрифиП! Т|Ьр1{Ш]ш<1Ш|П|к{1 РЬши^шЬ цшиЬр!! 1фр

шгнГинГр: Ч]1) Ы.р^ипшушй'Ыатф ЬинГшр ишшац{ш& 2Рр1ГшЪ ршЪшАЬЬр, ЬшгГш1кГш1] ОифцпЬи^ рш11шА1ф11:

2. Ъ>ф11ш(!)1(шЬ ^[ф^ф (л ¡1111)1 Ъпр и|пт1.1гу|ш1[Т|Кр 2Р?ш1нтГ и ЭДшшЬшрр-шр^пПтиГ: «ЦЬшшцптфлд Ы1 пр-рщЪд Цптпрш Цш^Ъ 1шфЛ|ш1рпШ.р11: иш&фиб I; ищ и}пш!д1)д[1Ш }1а!«р11 ицшп^шМфшррл!! ^иТпфрр ц}ппшр1р[п!\

3. Ъир^ицшдшиЫф итшуинГр ^шщЬи 1)|нХ1к|ш^ I; О.

Ц. РЬитЦ! гцн иЬр I» приз рЪцЬиЛфшдпнДЛр!! ЪЬр^тй-

1Гш1[ 1| ЬЬтинршпирзш!!, ^Ь^щЦа ТнлЬ <ф[рЬриф АЬшфп-

]ии11<^шТ| пшпиИиАпфршррнй |[1мн Пф1 1]ши1.[шиГ: г

21