Асимптотика δ-субгармонических функций и их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты систем экспонент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004618830

На правах рукописи

Румянцева Алла Александровна

Асимптотика 5- субгармонических функций и их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты систем экспонент

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ч 3 8НВ23»?

Уфа - 2010

004618880

Работа выполнена на кафедре программирования и экономической информатики ГОУ ВПО „Башкирский государственный университет"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Юлмухаметов Ринад Салаватович

доктор физико-математических наук, профессор

Гайсин Ахтяр Магазович

кандидат физико-математических наук, доцент

Исаев Константин Петрович

ГОУ ВПО „Сыктывкарский государственный университет"

Защита состоится 21 января 2011 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д002.057.01 в Учреждении российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан 3 декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию связи между асимптотическим поведением разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер, а также применению полученных результатов к вопросам полноты систем экспонент. Разность двух субгармонических функций будем называть ¿-субгармонической функцией.

Частным случаем задачи о связи между асимптотикой в бесконечности разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер являются задачи построения целых функций с заданным поведением в бесконечности, а также задача об изменении поведения целой функции при сдвигах ее нулей. В диссертации используется представление Рисса для субгармонических функций: если и — функция, субгармоническая в области G, то в G существует неотрицательная борелевская мера /¿ такая, что в любой ограниченной области Gi, G\ С G, имеет место представление Рисса

u(z) — I ln\z — w\dfj,(w) + h(z) JGi

с функцией h, гармонической в Gi. Мера fi называется мерой, ассоциированной cuno Риссу (ассоциированной мерой). В частности, субгармоническими являются функции вида 1п |/|, где / — аналитическая функция.

Исследования по указанным темам проводили В.С. Азарин, А.Ф. Гришин, И.Ф. Красичков-Терновский, С.Ю. Фаворов, Б.Н. Хабибуллин, Р.С. Юлмухаметов, D. Drasin, J. Korevaar, Yu. Lyubarskii, Ortega-Cerda, К. Seip, M.L. Sodin и другие.

Задача о полноте систем экспонент в различных функциональных пространствах является классической.

С историей и современным состоянием дел в задаче о полноте систем экспонент в пространствах функций, определенных и аналитических в плоской области, можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина, М.А. Евграфова, Й.И. Ибрагимова, А.Ф. Леонтьева.

Исследования полноты систем экспонент в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторых авторов: Н. Винер, Р. Пэли, Н. Левинсон, М.М. Джарбашян, Л. Шварц, Р.М. Янг, П. Кусис, В.П. Хавин, Б. Ерикке, А.М. Седлецкий, Б.Н. Хабибуллин.

Цель работы.

Исследовать асимптотическое поведение разности двух субгармонических функций и асимптотическое поведение разности их ассоциированных мер. Исследовать связь между ними. Применить полученные результаты к вопросам полноты систем экспонент.

Методика исследования.

В работе используются методы функционального анализа и аналитические методы из теории целых и субгармонических функций, свойства выпуклых функций и приемы выпуклого анализа.

Содержание основных результатов и их новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и соответствуют проблематике данного раздела анализа. Они состоят в следующем:

1. Введено новое понятие множеств класса С7.

2. Доказаны различные свойства множеств класса С7.

3. Доказаны теоремы о связи роста ¿-субгармонической функции и ассоциированных мер вне исключительных множеств степенной малости.

4. Доказана теорема о сведении (редукции) проблемы полноты систем экспонент в пространстве H(D) к соответствующей задаче в круге.

5. Доказаны новые теоремы о неполноте систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и дополняют исследования задач об асимптотике разности субгармонических функций и задач о полноте систем экспонент B.C. Азарина, P.C. Юлмухаметова, A.M. Седлецкого. Разработанные методы могут быть использованы для дальнейших исследований в данной области. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, Башкирском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете, Казанском государственном университете, Сыктывкарском государственном университете.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН под руководством член-корреспондента В.В. Напалкова; на семинарах в Башкирском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора P.C. Юлмухаметова; на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (2008 г.); на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего в Московском государственном университете (2009 г.); на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (2009 г.); на Международной конференции "Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" в университете г. Севилья (Испания, 2009 г.); на Международной конференции "Ломоносов-2010" в Московском государственном университете (2010 г.); на 19-ой летней конференции по математическому анализу в Международном математическом институте им. JI. Эйлера (2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2], [3]. Работы [1], [2], [3] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается задача о связи между асимптотическим поведением ¿-субгармонической функции и асимптотическим поведением разности ассоциированных мер.

В диссертации введено новое понятие — множества класса С7: для заданного числа 7 € R множество А на плоскости называется множеством класса С7, если существует покрытие множества А кругами B(:j, Vj) = {- : |cj — < fj}, j = 1,2,..., так. что ныиолняетси условие

ri = о(Д7+1), Л —> оо.

RJ2<\zj\<2R

Доказаны различные свойства множеств класса С7:

1. Множество А принадлежит классу Су тогда и только тогда, когда существует покрытие этого множества кругами B(zj,rj) так, что выполняется условие

1. Если 7 > —1, то

= Д—> со.

М<я

2. Если 7 < —1, то

Tj = о(Д7+1), Я —> 00.

1ч1>д

Следующее свойство является удобным при использовании множеств класса С7.

2. Пусть 7 < 0 u A G С7. Тогда для любого положительного ■число ç > 0 ('если 7 = 0, mo q < и для всех z G С с достаточно большим \z\ найдется t G (g; 2g) такое, что окружность C(z,t) = {w : \w — z\ = f|z|7+1} не пересекается с множеством А.

Также установлена связь между классами С7 и их пересечением C = f]CT 1

3. Пусть u(z) — некоторая вещественнозначная функция на плоскости, v(t) — неотрицательная функция на (0, +оо). Тогда если для любого 7 € R найдутся множество Ау G С7 и постоянная Л/7 такие, что выполняется соотношение

u{z) < M7v(|z|), z ^ Ay,

то для любой положительной монотонно возрастающей до +оо функции x(i) на (0, +оо) найдется множество Л G С так, что выполняется соотношение

Ф) < "(N)x(M), ziA.

В начале первой главы систематизированы свойства функций, используемых в диссертации для оценок.

Через k{t) обозначаются функции на (0, +оо), используемые для характеристики роста ¿-субгармонических функций и ассоциированных мер. Общие требования к этим функциям:

К1) функция k(t) > 0 и монотонно неубывающая и

lni = 0(k(t)).

К2) для некоторой константы К и для всех £ > 0 верно

к{еЬ) < КЩ).

Для функции к(Ь), удовлетворяющей условиям К1), К2), выполняются также следующие условия:

1. Для всех Ь>е имеет место неравенство

Щ < к{е)Ьык,

в частности,

г—юо 1п£

2. Если = [а\ — целая часть а, то: а) функция

кЧУ-> - I Тд+1

удовлетворяет условияю К1) и при Ь>е— условию К2):

кч{е1) < {К + еч)кч{Ь)-,

б) функция

и Г ( Г Нт)йт\ йг

асл

т / г .2

удовлетворяет условияю К1) и при £ > е2 — условию К2):

л-оо и < (К + 2)к00Ц)-в) если интеграл сходится, то функция

к(т)дт

- Г°

МО = ^ ]

Г'Л-2

при Ь 2 0 Обладает свойствами К1), К2):

\{е1) <

г) если функцию ¿оо(^) продолжить на отрезок {0,1] нулем, то функция &оо(И) субгармонична на плоскости, причем

ДЫИ) = *(М)И"2, гее.

Для борелевской меры /1 (не обязательно положительной) на плоскости через I) будем обозначать /х-меру круга В(г, ¿) = {ии : |ги — г\ < £} и положим

М(и)(г) = тах

Д<|г|/2

[

J о

Функция М([г) (г) в диссертации используется для характеристики асимптотического поведения меры ц.

Определение. Будем говорить, что некоторое асимптотическое соотношение выполняется вне множеств степенной малости, если для любого 7 найдется множество А1 € С7, вне которого это соотношение выполняется.

Основным результатом первой главы диссертации являются следующие две теоремы. Теорема 1.

Пусть щ,и2 — субгармонические функции на плоскости, имеющие конечный порядок роста, /XI, /х2 — ассоциированные по Риссу меры этих функций и функция к(¿) удовлетворяет условиям К1), К2). Тогда если соотношение

\щ(г)-и2(г)\=0(Щ2\)), \г\ —» оо, выполняется вне множеств степенной малости, то соотношение

тоже выполняется вне множеств степенной малости. Теорема 2. Пусть

-г—1п т а — 11т ——— г—>оо 1п í

и Я ~ М ~~ целая часть о. Если соотношение

М(^-/х2)(2) = 0№|)),И—>00, (1)

выполняется вне множеств степенной малости, то существует гармоническая на всей плоскости функция Н(г) так, что соотношение

\u1(z)-U2(z) + H(z)\ = OU^ ^

k(r)dr\ dt

т / t

где x(0) = О и xio) = ^ при Q > 0> выполняется вне множеств степенной малости.

Доказательство первой теоремы заметно проще доказательства второй теоремы и по существу сводится к следущей лемме:

Лемма 1.2. Пусть и — субгармоническая функция tía плоскости, име-ющяя конечный порядок роста, то есть для некоторых 5, р

u{z)<6\z\f', |г|>1,

и А — открытое множество на плоскости. Тогда существует постоянная С, не зависящая от множества А, такая, что для всех w 6 С, |ш| > 1, и R £ ^0, выполняется оценка

L

C{w,R)r\A

\u(0\ds(0 < C\w\»s(C(w, R) p| А) ln епл),

где ds(() — элемент длины дуги окружности C(w,R) = {z:\w-z\ = R}.

Из этой леммы следует, что для множеств А степенной малости интегралы

/ КОИС)

JC(w,R)Г\A

также имеют малый рост и для доказательства теоремы 1 остается воспользоваться формулой Привалова:

Пусть и — субгармоническая функция в области ц — ассоциированная мера. Если в точке г в(г) > -оо, то

Г2ТТ гг

/ u(z + ге1ф)дф = u{z) + Jo Jo

dn{t)

Здесь n(t) обозначает д-меру круга B(z,t).

Доказательство второй теоремы сначала проводится при более жестком условии на ассоциированные меры: мы предполагаем, что соотношение (1) выполняется всюду. При этом жестком условии выполняется утверждение.

Лемма 1.7. Пусть ui,u2 — субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры (¿1,^2 удовлетворяют условию (1) всюду. Положим fj, = Ц\ — Ц2, и = Щ — U2 U

и(0 = J u(C + ^Cz)a(z)dm(z), С е С. Тогда имеют место оценки

\Ч0-и(0\<т\), Се С, |АЖ)1 < МВДКГ2, С ее,

где М — 4Kcti(2 + irao) и ao,Qi — некоторые постоянные, определяемые функцией а(х).

Заключительным этапом доказательства теоремы 2 при жестком условии на ассоциированные меры является следующая лемма.

Лемма 1.8. Пусть функция k(t) удовлетворяет условиям Kl), К2) и, кроме того,

—ln*(i) Urn = а.

t—^oo In t

Положим q = [и] и пусть

Gq(z) = (1 -

— первичный множитель, а непрерывная функция a(w) удовлетворяет оценке

|а(и>)| < ЛОДКИ2+ 1)-1, г 6С.

Тогда функция

u(z) = / ln|z - w\a{w)dm(w) + / InGq(—)a(w)dm(w) ./И<1 •>M>i w

при [z\ > 2 удовлетворяет оценке

KOI < 2яЛ'4^{q + 2) (k00{\z\) + ^M + x{q)kq{\z\) + +

+A7rfc(l)ln|4

Эта лемма доказывается на основе известной теоремы о множителях Вейерштрасса.

Теорема В. Предположим, что д — неотрицательная борелевская мера в С, и пусть — мера круга В(0, £), /х(0) = 0 и функция

N(r)= [ J о

'г*

принадлежит классу сходимости порядка не выше q + 1, то есть

N(r)dr

Г

< 00.

г9+2

Тогда интеграл

v(z) = [ In Gq(-)d[i(w). JH>i w

сходится абсолютно в окрестности оо и равномерно для \z\ < R при любом фиксированном положительном R. Кроме того, если \z\ > 1, то

Доказательство теоремы в сформулированном виде теперь вытекает из следующих двух лемм.

Лемма 1.9. Пусть ассоциированные меры /xi, /¿2 субгармонических функций U\,U2 удовлетворяют условию (1) и функциищ, j — 1,2 определены как в лемме 1.7:

й;(0 = j Wj(C + \cz)a(z)dm(z), ( € С

Тогда вне множеств степенной малости выполняется соотношение

|u{z) - и{г)\ = 0{k(]z\)),

где и = щ — U2, и = ui — u-i- Кроме того, если функции Uj имеют конечный тип при порядке р, то

|grad й(г)| < M{a)\z\p~\ \z\ > 1.

Лемма 1.10. Ассоциированные меры Дь Дг субгармонических функций их, йъ удовлетворяют, условию (1) всюду в комплексной плоскости.

Вторая глава диссертации посвящена применению результатов первой главы к вопросам полноты системы экспонент в различных линейных топологических пространствах.

Пусть X — некоторое линейное топологическое пространство. Мы имеем в виду следующие случаи:

a) пространство X является подпространством пространства аналитических функций Я (С?) на некоторой области С комплексной плоскости;

b) пространство X является подпространством пространства локально интегрируемых функций на интервале вещественной оси.

Задача о полноте системы экспонент еХ|12, к = 1,2,..., в пространстве X состоит в выяснении условий на последовательность показателей А ь при которых система еХк2 полна в пространстве X. Поскольку рассматривать такого рода задачу имеет смысл лишь в том случае, когда система всех экспонент еАг, лежащих в X полна в X, то естественно для решения использовать преобразование Фурье-Лапласа.

Если £> — линейный непрерывный функционал на пространстве X, то преобразованием Фурье-Лапласа Б этого функционала называется функция

5(А) — 5(еАг).

Если считать, что в пространстве X лежат все экспоненты, то преобразование Фурье-Лапласа оказывается целой функцией. Тем самым пространство

X = {5, 5 € X*}

оказывается подпространством пространства целых функций Я(С). В результате с помощью описанной конструкции вопрос о полноте системы экспонент еА*2 в пространстве X сводится к вопросу о существовании ненулевой целой функции в пространстве X, обращающейся в нуль в точках А к-

Обычно пространство X выделяется посредством различных ограничений на рост функций. Поэтому вопрос о полноте системы экспонент сводится к вопросу существования целой функции с нулями в точках Хк и с некоторыми ограничениями на рост. Так, например, задача о полноте системы экспонент в пространстве #(£>), где И — ограниченная выпуклая область на плоскости, эквивалентна задаче (не)существования ненулевой целой функции, обращающейся в нуль в показателях системы и имеющей индикатрису роста строго меньше опорной функции об-

ласти D. Более точно, система eXkZ полна в пространстве H(D) лишь тогда, когда не существует ненулевой целой функции L(X), которая бы обращалась в нуль в точках Xk и удовлетворяла условию

|£(А)| < ЛеС,

здесь

Hd{ А) = шах Re \z

z£D

— опорная функция области D, £¿ — некоторая положительная константа. Классические теоремы теории целых функций о связи роста функции и распределения ее корней, например, теорема Линделефа, имеют дело с радиальными характеристиками роста. Переход к радиальным условиям мы обеспечим с помощью следующей теоремы Юлмухаметова P.C.:

Теорема А. Пусть и субгармонична на всей плоскости и имеет конечный порядок роста р. Тогда существует целая функция L такая, что для любого 7 > р

\u(z) -ln|L(z)|| < с71п|г|,

причем исключительное множество Е7 может быть покрыто кругами {z : \z — Zj| < Tj} так, что

г^о^), R->cx>.

Ы>я

Исходя из этого факта, в первом параграфе второй главы доказывается теорема о сведении (редукции) проблемы полноты систем экспонент в пространстве H(D) к соответствующей задаче в круге.

Пусть D — ограниченная выпуклая область, ее опорная функция

h(w) = шах eitpz = r-lHD(rei{fi) z£D

дважды дифференцируема и

М - max {h"(<p) + h(<p)) < оо.

V€[0;27r]

Тогда функция

u{reiv) = MR - h((p)r

субгармонична на всей плоскости. По теореме А существует целая функция I/, которая вне множества степенной малости удовлетворяет соотношению

Через Л0 обозначим множество нулей функции Ь. Систему экспонент с множеством показателей Л = {А*} обозначим через ехрЛ.

Теорема 2.1. Система экспонент ехрЛ не полна в пространстве Н{Б) тогда и только тогда, когда существует ненулевая целая функция С (г), которая обращается в нуль в точках А Е Л и Л0 и для некоторого е > О удовлетворяет условию

т.е. G(z) — целая функция экспоненциального типа меньшего М.

Во втором параграфе второй главы задача о полноте систем экспонент изучается в весовых протранствах на вещественной оси.

Пусть а > 0, а G (1; 2] и £2(Ш., a|£|Q) — гильбертово пространство локально-интегрируемых функций / на вещественной оси с нормой

Для реализации описанной выше схемы использования преобразования Фурье-Лапласа применяется следующая теорема:

Теорема Е'. Целые функции Р, удовлетворяющие условиям

|u(A) - In |L(A)|| = О (In )А|), |А| —> оо.

/00 ■oo

\F(x + iy)\ <CFeW\x\^r, x + iyeC,

и только такие функции допускают представление

с функцией д, удовлетворяющей условию

Из этой теоремы по теореме Банаха немедленно получаем следующий результат.

Теорема 2.2. Система экспонент eAfcX, к = 1,2,..., полна в пространстве Ь2(Ж,а\х\а) тогда и только тогда, когда не существует ненулевой целой функции F( Л), которая обращается в нуль в точках А к, к = 1,2,..., и удовлетворяет условиям предыдущей теоремы.

С помощью несложных выкладок интегральные условия можно заменить на равномерные условия на рост функций.

Теорема 2.3. 1. Если система экспонент eXiX, к = 1,2,..., не полна в пространстве ¿2(К,а|х|в), где а € (1;2], то существует ненулевая целая функция F(Л), которая обращается в нуль в точках А*, к = 1,2,..., и удовлетворяет условию

\F{x + iy)\<CFeb^\xf^, x + iye С. (3)

2. Если существует ненулевая целая функция F(А), которая обращается в нуль в точках At, k = 1,2,..., и еще в n = [ß] точках zi,..., zn (здесь [ß] — целая часть ß) и удовлетворяет оценке (3), то система экспонент eAtX, к — 1,2,... не полна в пространстве L2(К, а|гг|а).

И в заключение обоснован переход к радиальным равномерным условиям на рост функций.

Теорема 2.4. 1. Если система экспонент ехрЛ не полна в пространстве L2(R,a\x\a), где а € (1;2], то существует ненулевая целая функция G(А), которая обращается в нуль в точках А € Л U Л0 и удовлетворяет условию

№|<Се^|2|<¥ ze С. (4)

2. Если существует ненулевая целая функция G(А), которая обращается в нуль в точках А € AoIJA, и еще в двух "дополнительных" наборах точек z\,...,zn, п = [ß], Ci>—,Слг> N = [ß] + [С] (здесь \ß] — целая часть ß и С — некоторая константа), а также удовлетворяет оценке (4), то система экспонент ехрЛ не полна в пространстве

Автор выражает благодарность своему научному руководителю P.C. Юлмухаметову за неоценимую помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Напалков В.В., Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // ДАН, 2009. Т. 429, № 2, С. 155-158.

[2] Напалков В.В., Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 1, С. 97-109.

[3] Румянцева A.A. Асимптотика 8-субгармонических функций и их ассоциированных мер // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 3, С. 83107.

[4] Напалков В.В., Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Об условиях полноты систем экспонент в весовом гильбертовом пространстве на вещественной оси // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2008, вып. 1, С. 173-184.

[5] Румянцева A.A. О полноте систем экспонент в пространстве функций аналитических в выпуклой области // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ Садовничего В.А., 2009, С. 92.

РУМЯНЦЕВА Алла Александровна

Асимптотика ¿-субгармонических функций п их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты системы экспонент

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 01.12.2010 г. Формат 60x84/16. Усл. печ.л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,20. Тираж 100 экз. Заказ 893.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Введение

1 Связь асимптотического поведения ¿-субгармонических функций и их ассоциированных мер

1.1 Исключительные множества степенной малости.

1.2 Предварительные сведения и формулировки основных утверждений.

1.3 Асимптотическое поведение ассоциированных мер. Доказательство теоремы 1.

1.4 Асимптотическое поведение ¿-субгармонических функций. Доказательство теоремы 2.

2 Взаимосвязь задач о полноте систем экспонент в различных пространствах

2.1 Редукция задачи о полноте систем экспонент в выпуклой области на случай круга.

2.2 Полнота систем экспонент в весовых пространствах на интервале вещественной оси.

Диссертация посвящена исследованию связи между асимптотическим поведением разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированивгх мер, а также применениям полученных результатов к вопросам полноты систем экспонент.

Частным случаем задачи о связи между асимптотикой в бесконечности разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер являются задачи построения целых функций с заданным поведением в бесконечности, а также задача об изменении поведения целой функции при сдвигах ее нулей.

Исследования по указанным тема.м проводили В.С. Азарин ([1]), А.Ф. Гришин ([9]), И.Ф. Красичков-Терновский ([14], [15]), С.Ю. Фа-воров ([38]), Б.Н. Хабибуллип ([39], [58]), Р.С. Юлмухаметов ([3], [42], [43], [44], [45], [46]), D. Drasin ([54]), J. Korevaar ([59]), Yu. Lyubarskii ([26], [63]), Ortega-Cerda и К. Seip ([64]), M.L. Sodin ([26]), I.E. Chyzhikov ([52]), A. Goldberg ([55]) и другие.

Задача о полноте систем экспонент в различных функциональных пространствах является классической. С историей и современным состоянием дел в задаче о полноте систем экспонент в пространствах функций, определенных и аналитических в плоской области, можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина ([17]), М.А. Евграфова ([12]), И.И. Ибрагимова ([13]), А.Ф. Леонтьева ([20],[21]).

Исследования полноты систем экспонент в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторых авторов: B.C. Азарин ([2]), А.Ф. Леонтьев ([18], [19]), Б.В. Винницкий ([4], [5], [6]), Н. Винер и Р. Пэли ([69]), Н. Левинсон ([62]), М.М. Джрбашян ([11]), Л. Шварц ([68]), P.M. Янг ([70]), П. Кусис ([60], [61]), В.П. Хавин и Б. Ериккс ([57]), A.M. Сед-лецкий ([34], [35], [36]), Б.Н. Хабибуллин ([40]), В.Н. Логвиненко ([23]), A. Boivin ([51]), G.T. Deng ([53]), R.M. Redheffer ([65], [66]).

Напомним определения некоторых понятий, используемых в диссертации:

Определение. Пусть Е — множество в С. Функция / : Е —[—сю, сю) называется полунепрерывной сверху (пн. св.), если для любого числа а множество открыто в J5, то есть найдется открытое множество Q С С такое, пн. сн.), если функция — д пн.св. или, что то же самое, для любого числа а множество {г € Е : д(г) > а} открыто в Е.

Определение. Функция и : С —> [—оо; +оо) называется субгармонической в области если она полунепрерывна сверху и для любой точки го € С найдется положительное число г[го) так, что для всех положительных г < г (го) будет выполняться неравенство

Ef(a) = {zeE : f(z) < а} что Ef(a) = Çlf)E.

Функция g : Е —» (—оо,оо] называется полунепрерывной снизу

В диссертации используется представление Рисса для субгармонических функций: Если и — функция, субгармоническая в области С, то в О существует неотрицательная борелевская мера ¡1 такая, что в любой ограниченной области 0-[, С С?, имеет место представление Рисса и(г) = I 1п|2г — гп^^ги) + }г(г) с функцией к, гармонической в Сь Мера ¡л называется мерой, ассоциированной с и по Риссу. Мы будем ее коротко называть ассоциированной мерой. В частности, субгармоническими являются функции вида 1п |/|, где / — аналитическая функция.

Важными инструментами для нас являются формулы Привалова, Грина (см. [37]) и принцип максимума для субгармонических функций.

Формула Привалова. Пусть и — субгармоническая функция в области (3, ¡1 — ассоциированная мера. Если в точке г и{г) > — оо, то 2 [\{г + ге{ф)(1ф = и{г) + Г ^¿Й. ]о ]о Ь

Здесь обозначает \1-меру круга В(г^).

Формула Грина. Пусть функция и субгармонична в круге В(0, г), ¡1 — ассоциированная мера. Тогда r(z — w) г2 — zw dji(w).

Как уже упоминалось, субгармоническими являются функции вида In |/|, где / — аналитическая функция. Насколько "много" таких функций специального вида в классе всех субгармонических функций? Некоторым ответом на этот вопрос явилась теорема B.C. Азарина ([1]).

Пусть и — функция, субгармоническая на всей плоскости и удо-влетворющая условию: найдутся числа р, а > 0 так, что выполняется оценка u(z) < а(1 + \z\)p, zeC так называемые функции конечного порядка роста). Тогда существует целая функция /, для которой выполняется соотношение u{z)-\n\f{z)\\=o{\z\P), И—> оо, z£E.

Исключительное множество Е является Со-множеством, то есть допускает покрытие кругами B(z3, /у) так, что

У^ rj = o(R), R —> оо. Ы<п

Заметным усилением этого утверждения стала теорема P.C. Юлму-хаметова ([44]):

Теорема А. Пусть и субгармопична на. всей плоскости и имеет конечный порядок роста р. Тогда существует целая функция f такая, что для любого 7 > р u(z) - In |/(г)|| <c,lnH, причем исключительное множество Е^ может быть покрыто кругами {z : \z — Zj\ < rj} так, что

Y^ Tj = o(i?p~7), R —>00.

В этих утверждениях, в сущности, рассматривается асимптотика в окрестности бесконечности разности двух субгармонических функций, или так называемых ¿-субгармонических функций.

В диссертации рассматривается задача о связи между асимптотическим поведением ¿-субгармонической функции и асимптотическим поведением разности ассоциированных мер.

Как видно из теорем, приведенных выше, при этом возникают некоторые исключительные множества.

В диссертации введено новое понятие — множества класса С7: для заданного числа 7 G Ж множество А на плоскости называется множеством класса С7, ссли существует покрытие множества А кругами B(zj,rj) — {z : |zj — z| < г,}, j = 1,2,., так,что выполняется условие r3 = o(i?7+1), R —>00.

R/2<\z3\<2R

Следующие свойства этих классов очевидны:

1. Всякое ограниченное множество принадлежит любому классу C'y

2. Объединение конечного набора множеств класса С7 принадлежит классу С7.

3. Если 7i >72, то C7l D С72.

4. Множества класса Cq являются Со-множествами в классическом (см. [17]) смысле.

5. При 7 > 0 класс С7 содержит всю плоскость, значит, любое подмножество С.

Доказаны менее очевидные свойства:

1. Множество А принадлежит классу С7 тогда и только тогда, когда существует покрытие этого множества кругами B(zj,rj) так, что выполняется условие

Введение

1. Если 7 > — 1, то

2. Если 7 < — 1, то

Следующее свойство является удобным при использовании множеств класса С7.

2. Пусть 7 < 0 « A G С7. Тогда для любого положительного числа q > 0 fecAu 7 = 0, то g < и для всех z £ С с достаточно большим \z\ найдется t Е (g; 2g) такое, что окружность C(z,t) = {w; : |го — z\ = t\z\1+l} не пересекается с множеством А.

Также установлена связь между классами С7 и их пересечением

С = Паг 7

3. Пусть u(z) — некоторая вещественнозначная функция на плоскости. u(t) — неотрицательная функция на (0, +оо). Тогда если для любого 7 6 M найдутся множество А1 £ С7 и постоянная, М7 такие, что выполняется соотношение u(z) < M7v(\z\), z £ то для любой положительной монотонно возрастающей до +оо функции x(t) на (0, +оо) найдет,ся множество A G С так, что выполняется соотношение o(K/+l), R—> оо. o(R?+l), R —► оо. u(z)<v(\z\)x(\z\), А.

В начале первой главы систематизированы свойства функций, используемых в диссертации для оценок.

Через k(t) обозначаются функции на (0, +ob), используемые для характеристики роста ¿-субгармонических функций и ассоциированных мер. Общие требования к этим функциям:

К1) функция k(t) > 0 и монотонно неубывающая и

In t = 0(k{t)).

К2) для некоторой константы К и для всех t > 0 верно k(et) < Kk(t).

Для функции kit), удовлетворяющей условиям Kl), К2), выполняются также следующие условия:

1. Для всех t > е имеет место неравенство kit) < k(e)thlK, в частности, lim , v ' = ex < In А . t—>00 In t

2. Если q — [cr] — целая часть а, то а) функция

1 k(r)dr kq(t) = J r<?+i удовлетворяет условияю Kl) и при при t > е — условию К2): kq(et) < (К + eQ)kq(t)\ б) функция k(r)dr\ dr

Mt)=L (/' r J г 2 удовлетворяет условияю Kl) и при t > е — условию К2): koo(et) < (A + 2)fc0o(i); в) если интеграл сходит,ся, то функция при t > 0 обладает свойствами К1), К2): г) если функцию Агоо(0 продолжить на отрезок [0,1] нулем, то функция /соо(М) субгармонична на плоскость, причем

Для борелевской меры ¡л (не обязательно положительной) на плоскости через /¿(-г^) будем обозначать /¿-меру круга В (г, ¿) = {ги : |ги — < и положим

Функция М([1)(г) в диссертации используется для характеристики асимптотического поведения меры ц.

Определение. Будем говорить, что некоторое асимптотическое соотношение выполняется вне множеств степенной малости, если для любого 7 найдется множество А7 6 С7, вне которого это соотношение выполняется.

Содержанием первой главы диссертации являются следующие две теоремы.

Теорема 1.

Пусть — субгармонические функции на плоскости, имеющие конечный порядок роста, /¿ь/£2 ассоциированные по Риссу меры этих функций и функция к({) удовлетворяет условиям. К1), К2). Тогда если соотношение щ{г)-и2^)\= 0{к{\г\)), \г\—► оо, выполняется вне множеств степенной малости, то соотношение

- &){-) = 0(к(\г\)), \г\ —> оо, тоже выполняется вне множеств степенной малости. Теорема 2. Пусть

-1п Щ) о- = lim t—»oo In t u Я — M ~~ Целая часть а. Если соотношение

- &)(*) = 0(*(М)), \z\ —> оо, (*) выполняется вне лтожеств степенной малости, то существует гармоническая на всей плоскости функция H(z) так:, что соотношение где х(0) = 0 и х(о) — \ пРи Я > 0; выполняется вне лтожеств степенной малости.

Доказательство первой теоремы заметно проще доказательства второй теоремы и по сзтцеству сводится к следущей лемме:

Лемма 1.2. Пусть и — субгармоническая функция на плоскости, имеющяя конечный порядок роста, то есть для некоторых ö, р u(z) < 5\z\<\ \z\ > 1, и А — открытое множество на плоскости. Тогда существует постоянная С, не зависящая от множества А, такая, что для всех ■и) £ С, |и>| > 1, и й 6 ^0, выполняется оценка КС)|*(С) < где с1з(0 — элемент длины дуги окружности С(и],К) = {г : \w-zl = К}.

Из этой леммы следует, что для множеств А степенной малости интегралы

НСШО

JO\ также имеют малый рост и для доказательства теоремы 1 остается воспользоваться формулой Привалова.

Доказательство второй теоремы сначала проводится при более жестком условии на ассоциированные меры: мы предполагаем, что соотношение (*) выполняется всюду. При этом жестком условии выполняется утверждение.

Лемма 1.7. Пусть ui,il2 — субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры fi\: ¡14 удовлетворяют условию (*) всюду. Положим fi = fii — fi2, и = щ — U2 а

40 = J ЦС + \çz)a{z)dm{z), С G С.

Тогда им,еют место оценки и(С)-и(С)\ < fc(ICI), С е С, |Дад|<МА;(|С|)|СГ2, CGC, где M = 4à'û!i(2 + 7га:о) и ао, ai — некоторые постоянные, определяемые функцией а(х).

Заключительным этапом доказательства теоремы 2 при жестком условии на ассоциированные меры является следующая лемма.

Лемма 1.8. Пусть функция к(Ь) удовлетворяет условиям К1), К2) и кроме того,

Нт —--= а. г—>оо ш t

Положим д = [а] и пусть

- (1 первичный множитель (см. [17], стр.16), а непрерывная функция а(и;) удовлетворяет оценке о(ш)| < Ак{\х\)(\г\2 + 1)'\ геС.

Тогда функция и(х) = I 1п\г — ь)\а('ш)(1т(и)) + / )а('ш)Фп(ю)

J\w\<l Ю при \г\ > 2 удовлетворяет оценке и{г)\ < 2ттА'4.<1+2(д+2) («Н) + + х(<?)*9(И) + ^М) +

V Я -г I 9 + 1 /

-\-Акк(1) 1п \г\.

Эта лемма доказывается на основе известной теоремы о множителях Вейерштрасса.

Теорема В. Предположим, что рь — неотрицательная борелев-ская мера в С, и пусть /¿(¿) — мера круга В{0, ¿), /¿(0) = 0 и функция т = Г

J о ^ принадлежит классу сходимости порядка не выше д + 1, то есть У

Тогда интеграл

У|ш|>1 и* сходится абсолютно в окрестности оо и равномерно для < П при любом фиксированном положительном В. Кроме того, если N > 1, то

Ф) < ^+2) а®* + (9+ц„г £ Щ.

Доказательство теоремы в сформулированном виде теперь вытекает из следующих двух лемм.

Лемма 1.9. Пусть ассоциированные меры субгармонических функций их, у2 удовлетворяют условию (*) и функции и7-, = 1,2 определены как в лемме 1.7, то есть

40 = ! + С е С.

Тогда вне множеств степенной малости выполняется соотношение и{г)-и{г)\ = 0{к{\г\)\ где и = й\ — щ, и = щ — г¿2. Кроме того, если функции и^ имеют конечный тип при порядке р, то гас! и{г)| < М(а)\г\р~\ \г\ > 1.

Лемма 1.10. Ассоциированные Л1еры /¿1, /¡2 субгармонических функций щ^щ удовлетворяют условию (*) всюду в комплексной •плоскости.

Вторая глава диссертации посвящена применению результатов первой главы к вопросам полноты системы экспонент в различных линейных топологических пространствах.

Пусть X — некоторое линейное топологическое пространство. Мы имеем в виду следующие случаи: a) пространство X является подпространством пространства аналитических функций Н{0) на некоторой области С комплексной плоскости; b) пространство X является подпространством пространства локально интегрируемых функций на интервале вещественной оси.

Задача о полноте системы экспонент еХкг, к = 1,2,., в пространстве X состоит в выяснении условий па последовательность показателей Л^, при которых система еХкг полна в пространстве X. Поскольку рассматривать такого рода задачу имеет смысл лишь в том случае, когда система всех экспонент еХг, лежащих в X полна в X, то естественно для решения использовать преобразование Фурье-Лапласа.

Если й* — линейный непрерывный функционал на пространстве X, то преобразованием Фурье-Лапласа £ этого функционала называется функция

А) = 5(ел*).

Если считать, что в пространстве X лежат все экспоненты, то преобразование Фурье-Лапласа оказывается целой функцией. Тем самым пространство

X = {5, 5 6 Г} оказывается подпространством пространства целых функций Н{С). В результате с помощью описанной конструкции вопрос о полноте системы экспонент еХк* в пространстве X сводится к вопросу о существовании ненулевой целой функции в пространстве X, обращающейся в нуль в точках \к

Обычно пространство X выделяется посредством различных ограничений на рост функций. Поэтому вопрос о полноте системы экспонент сводится к вопросу существования целой функции с нулями в точках Л*- и с некоторыми ограничениями на рос г. Так, например, задача о полноте системы экспонент в пространстве H{D)) где D — ограниченная выпуклая область на плоскости, эквивалентна задача (не) существования ненулевой целой функции, обращающейся в нуль в показателях системы и имеющей индикатрису роста строго меньше опорной функции области D. Более точно, система eXkZ полна в пространстве H{D) лишь тогда, когда не существует ненулевой целой функции Ь(А), которая бы обращалась в нуль в точках Ад и удовлетворяла условию

L{\)\ < cLeHDW-£l'W, АеС, здесь

HdM = max Re Az zeD опорная функция области D, — некоторая положительная константа. Классические теоремы теории целых функций о связи роста функции и распределения ее корней, например, теорема Линделе-фа, имеют дело с радиальными характеристиками роста. Исходя из этого факта, в первом параграфе второй главы доказывается теорема о сведении (редукции) проблемы полноты систем экспонент в пространстве H{D) к соответствующей задаче в круге.

Пусть D — ограниченная выпуклая область, ее опорная функция h{ip) = max ejtpz = г1Я^(ге^) z(E.D

-дважды дифференцируема и

М = шах (К (ср) + h(cp)) < оо. б[0;2тг]

Тогда функция и(гег(р) = MR - h(ip)r субгармонична на всей плоскости. По теореме А существует целая функция Ь, которая вне множества степенной малости удовлетворяет соотношению

Через Ло обозначим множество нулей функции L. Систему экспонент с множеством показателей Л — {Л^} обозначим через ехрЛ.

Теорема 2.1. Система экспонент ехрЛ не полна в'пространстве H(D) тогда и только тогда, когда существует ненулевая целая функция G(z), которая обращается в пуль в точках А £ A(JAo и для некоторого £ > 0 удовлетворяет условию т.е. С{х) — целая функция экспоненциального типа меньшего М.

Во втором параграфе второй главы задача о полноте систем экспонент изучается в весовых протранствах на вещественной оси.

Пусть а > 0, а £ (1; 2] и а\Ь\а) — гильбертово пространство локально-интегрируемых функций / на вещественной оси с нормой

Для реализации описанной выше схемы использования преобразования Фурье-Лапласа применяется следующая теорема. и{\) -ln|L(A)|| = 0(ln|Aj), |А| —> оо.

G(re^)\ < e(M~£)r

Теорема Е'. Целые функции F, удовлетворяющие условиям \F{x + гу)\ <СРеъ^3х + гу G С,

ОО ООО |F(> + ^¿М/ < ОО

•оо J —ОО и только такие функции допускают представление оо eXi-2aWg{t) dt оо с функцией д, удовлетворяющей условию g(t)\2e~2a^dt < оо.

ОО

•оо оо

Из этой теоремы по теореме Банаха немедленно получаем следующий результат.

Теорема 2.2. Система экспонент еХкХ, к = 1,2,., полна в пространстве 1/2(М, тогда и только тогда, когда не существует ненулевой целой функции /?(Л); которая обращается в нуль в точках Л а-,, к = 1,2,., и удовлетворяет условия .м предыдущей теоремы.

С помощью несложных выкладок интегральные условия можно заменить на равномерные условия на рост функций.

Теорема 2.3. 1. Если система экспонент еХкХ, к = 1,2,., не полна в пространстве 1/2(К, о\х\а), где а £ (1; 2], то существует ненулевая целая функция Е(Х), которая обращается в пуль в точках А&, к = 1,2,., и удовлетворяет условию

Е(х + гу)| < я + гу € С. (* * *)

Если существует ненулевая целая функция Е(Х), которая обращается в нуль в точках АА; = 1,2,., м ег^е в п = [/?] точках

Zi,., zn (здесь [ß] — целая часть ß) и удовлетворяет оценке (***), то система экспонент eXkX, к = 1,2,. не полна в пространстве

И в заключении обоснован переход к радиальным равномерным условиям на рост функций.

Теорема 2.4. 1. Если система экспонент ехр Л не полна в пространстве Ь>2(Ш, а\х\а), где а 6 (1;2]. то существует ненулевая целая функция G(\), которая обращается в нуль в точках А е Л U А0 и удовлетворяет условию

G(z)\<Ce«Mß\z\^, zeC. (****)

2. Если существует ненулевая целая функция G(X), которая обращается в нуль в точках А G Ло (J А, и еще в двух "дополнительных" наборах точек zi,.,zn, п— [ß], Съ Cn, N = [/3] + [С] (здесь [ß] — целая часть ß и С — некоторая константа), а также удовлетворяет оценке (* ***), то система экспонент ехр Л не полна в пространстве 1/2(М, а\х\а).

Автор выражает искреннюю благодарность руководителю Юлмухаметову P.C. за неоценимую помощь в работе.

1. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб., 79(1969), № 4. С. 463-476.

2. Азарин B.C., Гинер В.Б. О полноте систем экспонент в выпуклых областях // ДАН СССР. 1989. Т. 305, № 1. С. 11-14.

3. Башмаков P.A., Путинцева A.A., Юлмухаметов P.C. Целые функции типа синуса и их применение // Алгебра и Анализ. 2010. Т. 22, № 5. С. 80-96.

4. Винницкий Б.В, Шаповаловский A.B. О полноте систем экспонент с весом // Укр. матем. журн. 1989. Т. 41, № 12. С. 16951700.

5. Винницкий Б.В. Аппроксимационные свойства систем экспонент в одном пространстве аналитических функций // Укр. матем. журн. 1996. Т. 48, № 2. С. 168-183.

6. Винницький Б.В., Шаповаловьский A.B. Зауваження 'про пов-ноту систем експонент з вагою в Ь2(Ш) // Укр. матем. журн. 2000. Т. 52, № 7. С. 875-880.

7. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М: Мир. 1986.

8. Гольдберг A.A., Островский И.В. Распределение значений ме-роморфных функций. М.: Наука, 1970, 591 с.

9. Гришин А.Ф., Шуиги А. Различные виды сходимости последовательностей 6-субгармонических функций // Матсм. сб. 199:6 (2008). С. 27—48.

10. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М. 1968. 618 с.

11. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966.

12. Евграфов М.А. Асимптотическме оценки и целые функции. М.: Наука. 1979.

13. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука. 1971.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Оценки для субгармонической разности субгармонических функций. I // Матем. сб. 102(144):2. 1977. С. 216—247.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Оценки для субгармонической разности субгармонических фунщий. II / / Матем. сб. 103(145):1(5). 1977. С. 69—111.

16. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966, 516 с.

17. Левин Б.Я. Распеределение корней це^шх функций. Гос. изд.-во тех.-теор. лит. М: 1956. 632с.

18. Леонтьев А.Ф. О полноте системы показательных функций в криволинейной'полосе // Матем. сб.-1955. Т. 39, № 4. С. 555-568.

19. Леонтьев А.Ф. О полноте системы eXkZ в замкнутой полосе // ДАН СССР. 1963. Т. 152, № 2. С. 266-268.

20. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. Издательство "Наука", Главная редакция физ.-мат. лит. М.: 1976. 535 с.

21. Леонтьев А.Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980.

22. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 175 с.

23. Логвиненко В.Н., Фаворов С.Ю. Теоремы типа теоремы Кар-трайт и вещественные множества единственности для целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1993. Т. 53, вып. 3. С. 72-79.

24. Луценко В.И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства //' Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 79-85.

25. Луценко В.И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэл,и,-Винера на весовые пространства // Математ. заметки. Т. 48, вып 5. 1990. С. 80-85.

26. Любарский Ю.И., Содин М.Л. Аналоги функций типа синуса для выпуклых областей. Препринт №17. Харьков: Физико-технического института низких температур АН УССР. 1986. 42 с.

27. Напалков В.В., Башмаков P.A., Юлмухаметов P.C. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // ДАН, 2007. Т. 413, № 1, С. 20-22.

28. Напалков В.В, Румянцева А.А, Юлмухаметов P.C. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // ДАН, 2009. Т. 429, № 2, С. 155-158.

29. Напалков В.В, Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Об условиях полноты систем, экспонент в весовом гильбертовом прост,ранет,ее на вещественной оси // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2008, вып. 1, С. 173-184.

30. Напалков В.В., Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Полмота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 1, С. 97-109.

31. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.:Наука, 1971.

32. Румянцева A.A. Асимптотика ö-субгармонических функций и их ассоциированных мер // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 3, С. 83-107.

33. Седлецкий A.M. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I // Современная математика. Фз'ндаментальные направления. Т. 5. М.: МАИ. 2003.

34. Седлецкий A.M. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. II // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6. М.: МАИ. 2003.

35. Седлецкий A.M. Классы а?шлитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит. 2005. 504 с.

36. Уэрмер Дж. Теория потенциала. Издательство "Мир". М.: 1980. 156 с.

37. Фаворов С.Ю. О множествах понижения роста для целых и субгармонических функций // Матем. заметки. 40:4. 1986. С. 460-467.

38. Хабибуллин Б.Н. О росте вдоль прямой целых функций экспоненциального типа с заданными нулялш // Analysis Mathematics 17:3. 1991. С. 239-256.

39. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа. РИЦ БашГУ. 2006. 171 с.

40. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Изд.-во "Мир". М.: 1980. 304 с.

41. Юлмухаметов P.C. Асимптотическая аппроксимация, субгармонических функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264, № 4.

42. Юлмухаметов P.C. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // Сиб. мат. ж. 1985. Т. 26, № 4. С. 159175.

43. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica, 1985. Т. 11. С.257-282.

44. Юлмухаметов P.C. Асимптотика разности субгармонических функций // Математические заметки, 1987. Т. 41, № 3. С. 348355.

45. Юлмухаметов P.C. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа // Сб. "Исследования по теории приближений". Институт математики с ВЦ БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1989. 151 с.

46. Юлмухаметов P.C., Напалков В.В. Полнота систем экспонент в пространстве с весом // ДАН. Т. 415. № 4. 2007. С. 1-3.

47. A. Baillette, J. Siddiqi, Approximation de fonctions par des sommes d'exponentielles sur un arc rectifiable // J. d'Analyse Math. 1981. V. 40. P. 263-268.

48. B.J.C. Baxter, A. Iserles, On approximation by exponentials //' Annals of Num. Maths. 1997. V. 4. P. 39-54.

49. L. Bernai-Gonzalez, A note on approximation of holomorphiv functions by exponentials // Indian Jour, of Pure and Applied Math. 2000. V. 31, № 6. P. 573-582.

50. A. Boivin, Ch. Zhu, On the L2-completeness of the system zrn // J. Approx. Theory. 2002. V. 118. P. 1-19.

51. I.E. Chyzhikov, Approximation of subharmonic functions jf slow growth // Matem. fiz., analiz, geom. 2002. V. 9, № 3. P. 509-520.

52. G.T. Deng, Weighted exponential polynomial approximation // Science in China. Series A. 2003. V. 46, № 2. P. 280-287.

53. D. Drasin, Approximation of subharmonic functions with applications. Preprint. Monreal, 2000.

54. V.P. Havin, B. Joricke The uncertainly principle in harmonic analysis. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. 1994.

55. B.N. Khabibullin, E.G. Kudasheva. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 3:1. 2007. P. 61—94.

56. J. Korevaar and M.A. Monterie, Approximation of the equilibrium distribution by distributions of equal point charges with minimal energy // TYans. Amer. Math. Soc. 350 (1998). P. 2329-2348.

57. P. Koosis, The logarithmic integral. V. I. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1988.

58. P. Koosis, The logarithmic integral. V. II. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1992.

59. N. Levinson, Gap and Density Theorem /'/ Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. V.26. N.Y.:AMS. 1940.

60. Y. Lyubarskii, E. Malinnikova, On approximation of subharmonic functions // J. Anal. Math. 83 (2001). P. 121-149.

61. Ortega-Cerda and K. Seip, Multipliers for entire functions and an interpolation problem of Beurling //J. Funct. Anal. 162 (1999). P. 400-415.

62. R.M. Redhefïer , Elementary remarks on completeness // Duke Math. J. 1968. V. 35. P. 103-116.

63. R.M. Redheffer, Completeness of sets of complex exponentials // Adv. in Math. 1977. V 24. P. 1-62.

64. S. Saitoh, Fourier-Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domaines // MaT.BecT. 1987. T. 38, № 4. C. 571-586.

65. L. Schwartz, Erude des sommes d'exponentielles // Actualités, scient, et industr. №959. Paris: Hermann. 1943.

66. N. Wiener, R. Paley, Fourier transform in the complex domain. AMS. N.Y. 1934.

67. R.M. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series. N.Y.: Academic Press. 1980.