Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Башмаков Рустэм Абдрауфович

Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на М

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа — 2006

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Башкирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ринад Салаватович Юлмухлметов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Александр Сергеевич Кривошеее

кандидат физико-математических наук, доцент

Владимир Иванович Лудеико

Ведущая организация: Сыктывкарский государственный

университет

Защита состоится И.Р'ЯоЬ *Р 2006 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д'002.057.01. в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул.Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института маг-тематики с ВЦ УНЦ РАН .

Автореферат разослан

'2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат фнз.-мат. наук А C.B. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена проблеме разложения в ряды из экспонент элементов гильбертова пространства £/2(7,ехрЛ.), в частности вопросам существования базисов Рисса, вопросам полноты и минимальности систем экспонент.

Пусть I — интервал вещественной оси, Л,(г) — выпуклая функция на этом интервале и Ь2{1, ехрЛ) пространство локально интегрируемых функций на //удовлетворяющих условию

Определение. Семейство {еЛк<, к = 1,2,...} называется безусловным базисом в пространстве £г(/,ехрЛ), если 1) семейство {еА*(, к = 1,2,...} полно в пространстве

2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности а* € С справедлива двусторонняя оценка

<М^\ак\Це^\\К (2.1)

Задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления функций посредством рядов экспонент.

В диссертации показывается, что базисы Рисса из экспонент достаточно редкое явление. Приводятся необходимые условия ба-зисности систем экспонент в пространстве Ь2{1. ехрй), условия отсутствия базисов из экспонент и обсуждаются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в Ь2{1.ехрЛ).

Тема представления функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 1965 году работы А. Ф. Леонтьева, в которой было показано, что при некоторых А* можно указать области £>, в которых произвольные аналитические в замкнутой области В функции допускают разложение в ряд по системе экспонент ехр(А^г). За последующие два десятилетия А. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория

¡1/11== |/Юре-»ЮЛ<оо.

Ь2(/,ехрЛ);

к

представления рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы — теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам я хд.

С начала семидесятых годов под влиянием работ L. Ehrenpreis, В. А. Taylor, Р. Oliver, D. М. Schneider, В. В. Напалкова и др. в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства.

Еще одним следствием функционального подхода явилось распадение проблемы представления рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и построение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах комплексного анализа, они стали объектом самостоятельного интенсивного исследования. Применительно к пространствам счетно нормированного типа обе задачи получили законченное решение к концу восьмидесятых годов. Отметим в этой связи работы В. В. Напалкова , О. В. Епифанова , Р. С. Юлмухаметова ■ Последним из авторов в общей постановке получен окончательный результат по проблеме целых функций с заданной асимптотикой.

Таким , образом, к началу девяностых годов стала актуальной задача представления рядами экспонент функций из нормированных пространств. В пространствах нормированного типа более естественным оказалось не просто разложение в ряды экспонент, а изучение базисов Рисса из экспонент. А поскольку, как выяснилось, базисы Рнсса достаточно редкое явление, то изучение вопросов полноты и минимальности систем из экспонент.

Цель работы.

На основе изучения асимптотического поведения интегралов Лапласа исследование условий существования безусловных бази-

сов Рисса из экспонент в гильбертовом пространстве Ь2(/,ехр/г). Получение критериев полноты и минимальности систем из экспонент в рассматриваемом пространстве.

Методика исследования.

В работе используются методы функционального анализа и аналитические методы из теории целых и субгармонических функций, свойства выпуклых функций и приемы выпуклого анализа.

Содержание основных результатов и их новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и соответствуют проблематике данного раздела анализа. Они состоят в следующем:

1. Получена асимптотика интегралов Лапласа

1А(У) =

где Е — выпуклая область в пространстве Ж" и К — выпуклая функция в области Е, для х = (х1,ха,—У = (У1,Уи,—,Уп) использовано обозначение ху = Показана эквивалент-

ность используемых в математических исследованиях различных геометрических характеристик выпуклых функций.

2. Получена новая формулировка теоремы типа Пэли-Винера дня пространства Ь2(1,ехр Н), где I — интервал вещественной оси, Л — выпуклая функция на этом интервале.

3. Получены условия отсутствия базисов Рисса в пространстве Ь2(1,ехрЬ).

4. Построены функции типа синуса для некоторых классов выпуклых функций на прямой.

5. Получены критерии полноты и минимальности систем экспонент, построенных по нулям функций типа синуса.

6. Построены дискретные слабо достаточные множества на весовых пространствах функций аналитических на алгебраических многообразиях.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и дополняют исследования задач о безусловных базисах из экспонент, проводившиеся в работах Б. Я. Левина, Ю. И. Любарского, Р. С. Юлмухаметова, В. И. Луценко, К. П. Исаева.

Разработанные методы могут быть использованы для дальнейших исследований в данной области.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались на Уфимском городском семинаре по теории функций им. А. Ф. Леонтьева. Отдельные результаты докладывались также на международной научной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения " (Уфа, 2000) ,на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001) и на семинарах Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (6], [7], примыкающие к теме диссертации результаты — в [I] — [5].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Она изложена на 109 страницах, библиография содержит 63 наименования. Нумерация теорем, лемм и т. п. в каждой главе своя.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена изучению асимптотического поведения интегралов вида

Ь*(у) = /

где Е — выпуклая область в пространстве Еп и К — выпуклая функция в области В, для х = (х1,х2,...,хп), у — (УЬУ2, ...,Уп) использовано обозначение ху = ж^.

Доопределим при необходимости функцию Л, полагая Л(аг) = +оо для х £ Е, и будем считать, что функция Н определена и выпукла на всем пространтсве К". Функция

Л(у) = зир(ху - й(х)), у € ПГ,

х

называется сопряженной по Юнгу к функции К. Известно , что Л также выпуклая функция, причем сопряженная по Юнгу к функции Л совпадает с Л.

Введем необходимые обозначения и определения. Через будем обозначать п-мерный объем множества А С К". Пусть

Е — некоторая областьв Rn и х е Е. Определим по индукции по размерности пространства величину vd(x, Е), которую будем называть "объемным расстоянием". Если Е с К, то положим

vd(x, Е) = inf{lx — v| т у iE]

— обычное расстояние от точки х € Е до границы Е. Пусть величина vd(ar, Е) определена в пространстве R" и Е с Kn+1. Возьмем точку уо € дЕ, такую, что

bf{[x - у\: у g Е) = \х - уо).

Если таких точек на границе несколько, то возьмем любую из них. Через точку Уо проходит единственная опорная гиперплоскость, ортогональная отрезку, соединяющему точки х, у$. Пусть Р — гиперплоскость, параллельная этой опорной гиперплоскости и проходящая через точку х. Размерность выпуклого множества Ei — Р П Е равна п и х € Е\. По допущению индукции величина vd(x,£i) уже определена. Положим '

vd^jB) = vd(a:,£i)|a:-yol-

Теорема 1.1. Пусть

D = еРхГ : Л.(аг) + Л(у)-жу<Х}

и для у € Е" через Dv обозначим проекцию на сечения множества D:

Dv = {х е Еп : (ж, у) е D}.

Тогда

^ J e^-^dxiil+nO^DyJe^, у е Ё.

Теорема 1.2. Имеют место неравенства

_1 e^<Lh(y)<e4l + nl){2n)ne^ у её.

е(1 + n!) vd(y, Dv)6 - ifc W S vd(ytDv) ' V *

В этой же главе вводятся геометрические характеристики выпуклых функций в одномерном случае и доказывается их эквивалентность.

Пусть «(ж) — выпуклая функция на интервале / С Е. Возьмем положительное число р. В любой точке у е / существует хотя бы одна касательная к графику функции и. Предположим, что график линейной функции /(ж) является касательной в точке у. Возьмем интервал

Л((»У,Р) = : и(г) - 1(х) < р}

и расстояние от точки у до границы этого интервала обозначим через р!(и,у,р).

Для положительного числа р введем еще одну величину:

рг(щу,р) = Бир{* > 0 : / |и'0) - и'(у)|<*т < р>.

Jv-t

Или величину р2 — р2(**, у,р) можно определить из равенства

"(У ~ Р2) + "(У + Ра) _ ,л _ Р 2 2'

Пусть г — фиксированная точка на плоскости. Для любого положительного числа г > 0 через В (г, г) обозначим круг {ги : |и> — г\ < г} и для непрерывной в В(г}г) функции / положим

11/11,= тах |/(ш)|. ыеЩл.г)

Пусть г,г) — расстояние от функции / до подпространства гармонических в В(г,г) функций:

¿(/,2,г) = т£{|[/— #||г, Н — гармонична в В(г,г)}.

Если и (ж) — выпуклая функция на интервале / С К, то функция и(ш) = и(11е ю) является непрерывной функцией в вертикальной полосе I + Ш на плоскости. Для положительного числа р положим

т(и,г,р) = зчр{г : ¿(и, г, г) < р}.

Еще раз отметим, что введенные выше характеристики pi(u, у,р), р2(м,у,р), т(и,г,р) эквивалентны.

Основываясь на результатах параграфа, посвященного геометрическим характеристикам выпуклых функций и результатам P.C. Юлмухаметова и В.И. Луценко получаем удобный для работы вариант теоремы типа Пэли-Винера.

Теорема А'. Пусть h(t) — выпуклая функция «а интервале I и

К(х) = J^xt~2h^dt,

/1(1} = supfxi - h(t)), 1

J={«eR: h(x) < 00}.

Тогда функция F, аналитическая в полосе J + IM., предста-вима в виде

С функцией /, удовлетворяющей условию

jf |/{4)|2е-2Л№<Й < 00, тогда и лишь тогда, когда

при этом выполняются оценки

(™0"4l/ü< \\F\\ <(тге)||/||.

Эта теорема показывает, что преобразование Лапласа С : $ 1—► $ устанавливает изоморфизм пространства, сопряженного к L2(J, exp h), с гильбертовым пространством L2(/, expft.) функций F, аналитических в полосе J + tK, с указанной нормой.

В главе 2 доказываются необходимые условия существования безусловных базисов из экспонент в пространстве L2 (7, ехр Л).

Пусть система {еА*'} образует в пространстве Л2(/, екрЛ) безусловный базис.

Через Р обозначим тах(М, где М,тп — постоянные в соотношении (2.1). Необходимое условие существования базисов Рисса в пространстве I? {I, ехр Л) выглядит следующим образом:

Теорема 2.1. Если система {еЛк<} является безусловным базисом в пространстве £а(7,ехрЛ), то существует функция Ь, аналитическая в полосе 3 + Ш, с простыми нулями в точках А*, к = 1,2,..., для которой выполняется соотношение

Соотношение (2.3) позволяет выявить некоторые свойства распределения нулей функции £(А).

Для функции 1п К (А) и числа 1п(5Р), где Р — константа из соотношения (2.3) определим величину А,1п(5Р)). В даль-

нейшем ее будем обозначать просто через через т(А).

Теорема 2.2. Пусть ¿(А) — функция, аналитическая в по-лосеЗ + { К, с простыми нулями А*, Л = 1,2,при некотором Р удовлетворяющая двусторонней оценке

Тогда

1) В любом круге В(Х, 2т(А)) содержится хотя бы один нуль А к функции Ь. ■

8) Для любых п,к, пф к, выполняется неравенство

. , ^ таах(т(Ад,), т(Ап))

|Аь_Ап|--йр!-•

$) Для любого к в круге В(А*, справедливо соотноше-

ние 20р

№ 1 |Ь'(А*)12|А-А*|2

Теорема 2.3. Пусть Aj., к = 1,2,..., — нули функции L(A), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы. Тогда в любом ограниченном множестве В, содержащем хотя бы две из точек Xkt к — 1,2,..., найдется точка А„ так, что

V 1 , (213)

На основе теоремы 2.3. показано, что существование базисов Рнсса из экспонент в рассматриваемых пространствах скорее исключение, чем правило.

Теорема 2.4. Пусть 1 — произвольный интервал на ЕЕ, h(t)— выпуклая функция на этом интервале,

К(Х) = j( e2ße At-afc(t) K(x) < oo}.

Предположим, что для некоторого р > 0 существуют после* дователъностъ промежутков [am; 6m] и положительных чисел тт, тп = 1,2,..., так, что

1) для некоторого положительного числа ö и для всех х е

[«п.; Ьт]

&тт < т$пК(г),х,р) < rm, т = 1,2,...,

2) имеет место соотношение

Ьт — ат Jim -= оо.

т—юо Гт

Тогда в пространстве exp/i) не существует базиса Рисса из экспонент.

Данная теорема требует вычисления функции ЛГ(х), что не всегда просто. Оказывается можно обойтись вычислением функции h.

Теорема 2.4(а) Пусть I — произвольный интервал на К, h(t)— выпуклая функция на этом интервале,

h(x) = sup(xf - h(t)). tei

Предположим, что для некоторого р > 0 существуют последовательность промежутков [em; ti положительных чисел tm, m = 1,2,..., ток, что

1) для некоторого положительного числа S и для всех х е

[«mî

6tm <т{2И,х,р) <tm, т = 1,2,...,

2) имеет место соотношение

Ьт - От

Iim —--- оо.

т—юо tm

Тогда в пространстве Ьг(1,ехрН) не существует базиса Рисса из экспонент.

Теорема 2.4 (Ь) Пусть I — произвольный интервал на R, h(t)— выпуклая функция на этом интервале,

h(x) = sup(a;i — h(t)). tel

Предположим, что для некоторого р > 0 существуют последователь ность промежутков [dm ï и поло&сителъных чисел tm, т = 1,2,..., ток, что

1) для некоторого положительного числа 5 и для всех х 6

[ат;Ьт]

Stm < .< tm, m = 1,2,..., у h"(x)

2} имеет место соотношение

1лт —--— оо.

m—»-ее 1т

Тогда в пространстве L2(I,exp h) не существует базиса Рисса из экспонент.

Далее в этой главе приводятся примеры применения доказанных теорем к конкретным весовым пространствам.

Глава 3 посвящена вопросам полноты, минимальности систем экспонент в пространстве L2(I, exp/t).

В первых двух параграфах этой главы строятся функции, аналитические в веритихальной полосе I + »К, логарифм модуля которых асимптотически близок к и (Не г), где и — любая наперед заданная выпуклая функция на интервале I — так называемые, функции "типа синуса".

Определение. Пусть и непрерывная субгармоническая функция в полосе J+г®. Функцией типа синуса для функции и будем называть голоморфную в полосе 3 + Ш функцию Ь, удовлетворяющую условиям

1. Все нули г„, и б Н, функции £ простые и при некотором £ > 0 круги В(гп,ет(и,гп> 1)) , п € N. попарно не пересекаются.

2. При любом е > 0 вне множества кругов В(г„,ет(и>гп, 1)) , п € К, выполняется соотношение

Термин "функции типа синуса"по видимому впервые появился в работах Б. Я. Левина. Применительно к нашему определению в этой работе речь идет о функции типа синуса для опорной функции Ь,(х) = тахше^11е г-ш некоторого выпуклого многоугольника V. В работе Ю. И. Любарского понятие функции типа синуса обобщено для опорных функций выпуклых областей с гладкими границами. В данной работе отдельный параграф посвящен вопросу существования функции типа синуса для субгармонических функций вида «(Ие г).

Класс всех функций типа синуса для функции и будем обозначать через ¿>(и).

Третий и четвертый параграфы третьей главы посвящены вопросам полноты и минимальности систем экспонент. Кроме того там же приводятся ряд лемм о выпуклых функциях, представляющие самостоятельный интерес.

Пусть Л — некоторое множество точек на плоскости. Систему экспонент еА-, А € Л, будем обозначать через £(Л). Для голоморфной функции Ь через Л^ обозначим множество нулей функции Ь (без учета кратностей).

Следующие две теоремы дают удобные и простые критерии полноты.

Теорема 3.3. Пусть А — выпуклая функция на огранченном интервале I С Ж,

и,— выпуклая функция на К.. Пусть далее Ь е <5(и). Система экспонент £(Л/,) полна в пространстве 1^(1 ,ехрИ) тогда и только тогда, когда не существует нелинейной выпуклой функции v на К, которая удовлетворяет условию

Теорема 3.4. Пусть 1г ~ выпуклая функция на огранченном интервале I = (а; Ь), и — выпуклая функция на Ж. Пусть далее Ь € 5(и). Система экспонент £(Л&) полна в пространстве ¿2(/,ехрЛ) тогда и только тогда, когда

В следующей теореме приводятся условия, при которых полная система экспонент будет минимальной, т.е. такой, что она перестает бьт> полной при удалении хотя бы сщного элемента системы.

Теорема 3.5. Пусть ы — выпуклая функция на Е, £ € <?(и), Л — выпуклая функция на интервале I (ограниченном или неограниченном). Тогда система будет минимальной в пространстве £2(/,ехр Л) тогда и только тогда, когда выполняются условия

В Главе 4 обсуждаются вопросы, связанные с существованием дискретных достаточных и слабо достаточных множеств в

и(аг) + и(х) < Цх), Уж е П£.

Шп -г-г- + Нш > 6 - а.

весовых пространствах аналитических функций на алгебраических римановых поверхностях. Показаны способы их построения и приложение для интегрального представления по экспонентам решений дифференциальных уравнений.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю P.C. Юлмухаметову за неоценимую помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Башмаков P.A., Напалков В.В. Достаточные множества на римановых поверхностях. Доклады АН СССР. 1991.

[2] Башмаков P.A., Напалков В.В. О достаточных множествах на алгебраических римановых поверхностях. Сб. Вопросы аппроксимации в комплексных обласгях.-Нижний Новгород, 1992.- С. 3-8.

[3] Башмаков P.A., Напалков В.В. Слабо достаточные множества на римановых поверхностях. Доклады Академии Наук. М. 1999, Т. 366, №4, с.458-461.

[4] Башмаков P.A. О пространстве сопряженном к пространству Карлемана. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 1. Комплексный анализ. Уфа, 1996. С.10-15.

[5] Башмаков P.A. Квазианалитичность и полнота полиномов . Сб. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. - Казань, 1999. С.35-36.

[6] Башмаков Р.А, О свойстве некоторой функции с особенностями на отрезке. Сб. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. I. Комплексный анализ. Уфа, 2000. С. 9-13.

[7] Башмаков P.A., Исаев К.П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. Вестник Башкирского университета, 2006, №4, С. 3-6.

Введение

1 Геометрические характеристики выпуклых функций и асимптотика интегралов Лапласа

1.1 Асимптотика интегралов Лапласа.

1.2 Геометрические характеристики выпуклых функций и их свойства.

1.3 Преобразование Фурье-Лапласа и функция Бергмана

2 Базисы Рисса в пространстве L2(I,exph)

2.1 Необходимое условие базисности системы экспонент в пространстве L2(I, exp/i).

2.2 Условия отсутствия базисов Рисса из экспонент в пространстве L2(7, ехр/г).

3 Полнота и минимальность систем экспонент в пространстве L2(/,exp/i)

3.1 Целые функции с заданной асимптотикой.

3.2 Функции типа синуса.

3.3 Полнота системы экспонент в пространстве L2(/,exp/i)

3.4 Минимальность полной системы экспонент в пространстве Ь2(/,ехр/г).

4 Дискретные слабо достаточные множества

4.1 Основные факты и существование дискретного слабо достаточного множества.

Диссертация посвящена проблеме разложения в ряды из экспонент элементов гидьбертова пространства L2(I, exp/i), в частности вопросам существования базисов Рисса, вопросам полноты и минимальности систем экспонент.

Пусть / — интервал вещественной оси, h(t) — выпуклая функция на этом интервале и L2(/,exp/i) пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Определение. Семейство {eXkt, к = 1,2,.} называется безусловным базисом в пространстве L2(I,exp/i), если

1) семейство {eXkt, к = 1,2,.} полно в пространстве L2(I,exp/i);

2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности а* 6 С справедлива двусторонняя оценка mEklV'T^llE^II2 <M£klV*4l2. (2.1)

Мы здесь придерживаемся определения из работы [43]. Как отмечено в этой работе, если система {еЛ,с'} образует безусловный базис в пространстве L2(7, ехр/г), то любая функция / G L2(I, ехр/г) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе: к к к оо tel.

2.2)

Известно, что если система {eXkZ, к = 1,2,.} образует безусловный базис Рисса в пространстве X, то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент:

00 к=1

Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления функций посредством рядов экспонент.

В диссертации показывается, что базисы Рисса из экспонент достаточно редкое явление. Приводятся необходимые условия базисности систем экспонент в пространстве L2(/.exp/i), условия отсутствия базисов из ъкспонент и обсуждаются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в L2(I. exp/i).

Тема представления функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 19G5 году работы А. Ф. Леонтьева [26], в которой было показано, что при некоторых А* можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент ехр(А^,г). За последующие два десятилетия

A. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы - теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т.д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [25], [27]. [28].

С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Eh-renpreis ([59]), В. A. Taylor ([62]), P. Oliver ([60]), D. М. Schneider ([61]),

B. В. Напалков ([41], [42]). в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства. Еще одним следствием функционального подхода явилось распадение проблемы представления рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и построение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах комплексного анализа, они стали объектом самостоятельного интенсивного исследования. Применительно к пространствам счетно нормированного типа обе задачи получили законченное решение к концу восьмидесятых годов. По описанию сопряженных пространств в терминах преобразования Лапласа следует отметить работы [2], [16], [39]. По существу в этих работах получено описание сопряженного пространства к весовым пространствам, замкнутым относительно дифференцирования. По проблеме целых функций с заданной асимптотикой окончательный в общей постановке результат получен в работе [51]. Таким образом, к началу девяностых годов стала актуальной задача представления рядами экспонент функций из нормированных пространств. В пространствах нормированного типа более естественным оказалось не просто разложение в ряды экспонент, а изучение базисов Рисса из экспонент.

Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова на выпуклых многоугольниках были сконструированы в работе [24]. Напомним, что пространство Смирнова на области D — это пополнение пространства многочленов относительно нормы где ds(z) — элемент длины границы области D. Анализ работы [24] показывает, что и задача о безусловных базисах из экспонент распадается на две составляющие части: описание сопряженного пространства и построение целых функций с тонкими асимптотическими оценками. В указанной работе [24] доказано, что сопряженное пространство к пространству Смирнова E2{D), где D выпуклый многоугольник, в терминах преобразования Лапласа совпадает с пространством целых функций F(Л), удовлетворяющих условию

Здесь лучи rellfik, г > 0 перпендикулярны сторонам многоугольника D, a h(<p) — опорная функция этого многоугольника. Целая функция 5(A) с простыми нулями к = 1,2,., названа функцией типа синуса для области D, если она при некоторых положительных константах с,С, 5 удовлетворяет условию: круги {А : |А — А*| <5} попарно не пересекаются и вне этих кругов выполняется двусторонняя оценка

Ю. И. Любарский в статьях [34], [35] предпринял попытку обобщения результатов работы [24] на области более общего вида. В работе [34] потах c<\S{reiip)\e-hMr <С. лучено описание сопряженного пространства к пространству Смирнова в области D, при условии, что опорная функция h(<p) = max Re гещ zeD области D дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет оценке

При этом условии на опорную функцию сопряженное пространство к пространству Смирнова над областью D совпадает с пространством целых функций F с нормой

А в статье [35] введены функции типа синуса для областей, удовлетворяющих этому условию, и такие функции сконструированы. Как показано в этой же работе система ехр(Л^г), где А*, к = 1,2,., — нули целой функции типа синуса для области D, в отличии от случая многоугольника, не образует безусловный базис Рисса в пространстве Смирнова E2{D).

В работе [32] (более подробно в [33]) задача об описании сопряженного пространства к пространству Смирнова в терминах преобразования Лапласа получила решение в общем случае. Оказалось, что сопряженное пространство топологически изоморфно гильбертовому пространству целых функций F с нормой и h(<p) — опорная функция области D. Заметим, что если D — выпуклый многоугольник, то Д(<р) — кусочно постоянная функция со скачками в направлениях ipk, к = 1,2,.,п, перпендикулярных сторонам многоугольника D, и при некоторых постоянных т, М > 0 имеет место двусторонняя оценка +/г"(</>)> 0, ip G [0;7г]. здесь использованы обозначения т < K{re1^) < М, j = 1,2,.,п, г > 0.

Тем самым, в случае, когда D — многоугольник, результат из работы [32] совпадает с теоремой Б. Я. Левина и 10. И. Любарского. Если же опорная функция области D удовлетворяет условию из работы [18], то выполняются соотношения

Таким образом, и в этом случае теорема из статьи [16] повторяет теорему Ю. И. Любарского из [34].

В диссертации В.И. Луценко [33] на основе более детальной разработки методов работы [35] было показано, что если на границе области D имеется дуга, в любой точке которой кривизна границы существует и отлична от нуля, то безусловных базисов Рисса из экспонент в пространстве Смирнова на этой области не существует. Тем самым, было получено далеко идущее обобщение результата из работы [35].

С 1990 года началась разработка темы о безусловных базисах Рисса из экспонент в пространствах Бергмана.

Пространством Бергмана B2{D), где D - область на плоскости С, называется пространство функций, аналитических в D и интегрируемых с квадратом модуля по мере Лебега на D. Структура гильбертова пространства в B2(D) — определяется скалярным произведением где через m(z) обозначена плоская мера Лебега.

В диссертации Исаева К.П. [18] доказано утверждение о том, что если на границе области D имеется точка, в которой существует отличная от нуля кривизна, то в пространстве D не существует базисов Рисса из экспонент. Тем самым, безусловные базисы Рисса из экспонент могут существовать в пространствах Бергмана лишь на "обобщенных"выпуклых многоугольниках, то есть на выпуклых областях у которой кривизна в точках границы либо равна бесконечности, либо равна нулю. В качестве положительного результата сконструированы безусловные базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках.

С того же времени началось изучение представлений функций из пространства L2(I, exp/i) рядами экспонент. Так как основным инструментом является преобразование Лапласа, первоначально была изучена асимптотика интегралов Лапласа (см. [50]) и дано описание пространства e2rh(<p)

0 < а < А'(<р) < А < оо, tp Е [0; 2тг], r2 rh(<p)

- < К(ге%ч>) < В—tp е [0; 2тг], г > 0.

Ф ' сопряженного к L2(/,exp/i). В этой работе предложены геометрические характеристики выпуклых функций, позволяющие вести работу, в отличие от классического случая, не только в случае гладких функций веса.

Для функционала S на пространстве L2(I, exp h) его преобразованием Фурье-Лапласа называется функция

S{\) = S(eXt), ЛеС.

По известному общему виду функционалов на гильбертовых пространствах получаем, что преобразование Фурье-Лапласа непрерывного функционала имеет вид для некоторой функции / 6 L?(I, W).

В работе Луценко В. И. и Юлмухамстова Р. С. [29] доказана следующая теорема,дающая описание сопряженного пространства к L2(I, exp h)

Теорема А. Пусть W(t) — ограничена снизу положительной постоянной на ограниченном интервале I и ограничена сверху на каждом компактном подмножестве I. Положим h(x) = supfe/(x£ — In y/W(t)) — сопряженная no Юту к функции In yW(t) и определим р^{х) из условия гх+п ~ \ti(x)-ti{t)\dt = l. Jx-p-h

Тогда у*.

1. Обобщенное преобразование Лапласа S(z) = S(ezt) функционала S па L2(I,W) является целой функцией, удовлетворяющей условиям

S(z)\<Csexp(h(x)),

JR JR

2. Если lniy(i) — выпуклая функция, то имеют место и нижняя и верхняя оценки

П^Ц^Й^тгеИ.

Кроме того, в этом случае верно обратное утверждение: если F — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям

JrJR

F{z)\ < Cpexph(x), z = x + iy, |F{x + iy)\2e-2~hixVh{x)dh'{x)dy < oo, то существует функционал S € L2(I, W) такой, что

S(z) = F{z), zeC.

3. Если ros

W(t)= / e2xtd,i{x),

J 00 где n(t) — неотрицательная борелевская мера на R, то для любого функционала S = / [ \S(x + iy)\4fl(x)dy.

J R J R

В работе [30] эта теорема распространена на случай неограниченных интервалов I. Утверждение третьего пункта является одномерным случаем теоремы из работы [58].

В работе Луценко В.И. [31] показано отсутствие базисов Рисса в случае веса h(t) = A\t\a, а > 1. 'Этот результат в диссертации является следствием теоремы 2.4(b)

Перейдем к подробному обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соответствующих разделах.

1. Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы. // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.

2. Абузярова Н.Ф., Юлмухаметов Р.С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций. // Сиб. мат. ж. 2001. Т.42, т. С.3-17.

3. Башмаков Р.А., Напалков В.В. Достаточные множества на римановых поверхностях. // Доклады АН СССР. 1991.

4. Башмаков Р.А. О пространстве сопряженном к пространству Карлемана. // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 1. Комплексный анализ. Уфа, 1996. С.10-15.

5. Башмаков Р.А. Квазианалитичность и полнота полиномов . // Сб. Теория функций, се приложения и смежные вопросы. Казань, 1999. С.35-36.

6. Башмаков Р.А. О свойстве некоторой функции с особенностями на отрезке. // Сб. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. I. Комплексный анализ. Уфа, 2000. С. 9-13.

7. Башмаков Р.А., Исаев К.П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. // Вестник Башкирского университета, 2006, №4, С. 3-6.

8. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной плоскости. // М.: Мир, 1986.

9. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. // М., 1968. 618 е.

10. Державец Б.А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях С™ и имеющих заданное поведение вблизи границы. // Докл. АН СССР. 1984. Т.276. №6. С. 1297-1301.

11. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. // М.: Наука. 1979.

12. Епифанов О.В. . // Матем. заметки, 1990, 48, №5, С.83-87.

13. Епифанов О.В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций. // Изв. вузов. Матем. 1986, №7. С. 50-55 .

14. Епифанов О.В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста. // Докл. АН СССР. 1991. Т.319, №6. С. 1297-1300.

15. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразование Лапласа функционалов на пространствах Бергмана . // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988.

16. Исаев К.П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН РАН. 2004 г.

17. Коробейник Ю.Ф. О безусловных базисах в Гильбертовом пространстве. // Матем. заметки. 1976. Т. 19. В. 2. С. 259-266. .

18. Коробейник Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы. // Известия АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. № 3. С. 539-565. .

19. Курдюмов В.П. , Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования. II Матем. заметки, 2004, 76:1, 97-110.

20. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. // М. Наука. 1966, 516 е.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

22. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. Ж С. 657702.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. // М.Наука, 1976.

24. Леонтьев А. Ф. О представлении произвольных функций рядами Дирихле. // ДАН СССР, 164, N1, (1965), 40-42.

25. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. // М.: Наука, 1980.

26. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. // М.: Наука, 1981, 320с.

27. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли -Винера на весовые пространства). // Матем. заметки, 1990, 48, №5, С.83-87.

28. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале. // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С.'79-85.

29. Луценко В.И. Информационные всплески в весовых пространствах. // Вестник Башкирского университета, 2004, Xs 1, С. 3-6.

30. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Теорема Пэли-Винера в пространствах Смирнова. II Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1991. Т.200. С.245-254.

31. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ Уро РАН. 1992 г.

32. Любарский Ю.И. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств. // Изв. АН Арм. ССР. 1988. T.XXIII. №2. С.163-172.

33. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

34. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов . // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

35. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. // М., 1968. Т.2. 624 е.

36. Напалков В.В. . // Матем. заметки, 1990, 48, №5, С.83-87.

37. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т.51, №2. С. 287-305.

38. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций. // ДАН СССР. 1982. Т. 264, №4. С. 827-830.

39. Напалков В.В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах и,елых функций. // ДАН СССР. 1980. т.250, №4.

40. Напалков В.В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1981 . т.45, №5, с. 1088-1099.

41. Никольский Н.К., Павлов B.C., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. /. // Препринт ЛОМИ, Р-8-80. .

42. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. // М.: Наука. 1969.

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. // М.: Мир, 1973.

44. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. // М. 2005, 504 е.

45. Федорюк М.В. Метод перевала. // М.: Наука. 1977.

46. Эдварде Р. Функциональный анализ. // М. 1969. 1072 с.

47. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических фщнкций. II Сиб. мат. ж. 1985. Т.26. №4. С.159-175.

48. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа . // Сб. БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1989 .

49. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций. // Analysis Mathematica, 1985. T.ll, N3. С.257-282.

50. Юлмухаметов Р.С. Квазиапалитические классы функций в выпуклых областях . // Матем. сб. -1986. -Т. 11. 3. -С. 257-282.

51. Юлмухаметов Р.С. Однородные г)равнения свертки . // Док. АН СССР. -1991. -Т. 316. 2. -С. 312-315.

52. Юлмухаметов Р.С. Распределение целых функций с нулями в полосе. // Матем. сб. -1995. -Т. 186. 7. С. 148-160 .

53. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация целых функций. // ДАН СССР, т.264, №, 1982 .

54. Юлмухаметов Р.С. Достаточные множества в одном пространстве целых функций. // Математический сб. т. 116, JV53, 1981.

55. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels. // Transactions of the American Mathematical Society, 1950, 68, N3, P.337-404.

56. Saitoh S. Fourier Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains. // Мат. вести. 1987, 38, №4, C.571-586.

57. Ehrenpreis L. Fourier Analysis in Several Complex Variables. // New-York, 1970.

58. Oliver P. Sufficient sets for some spaces of entire functions. // Proc. London. Math. Soc. 1977. V.34, №1, p.155-172.

59. Schneider D Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions. // Trans. Am. Math. Soc. 1974. V.197, p.161-180.

60. Taylor B.A. Sufficient sets for spaces of entire functions. // Trans. Am. Math. Soc. 1972. V.163, p.207-209.

61. Taylor B.A. Some locally convex spaces of entire functions. // In:"AMS Summer Institute"; Proc. Symp. Pure Math. 1968. 11. p. 431-467.