О базисности собственных функций спектральной задачи штурма-лиувилля с индефинитным весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РГб он

На правах рукописи

2 < Ш!1 1305

ЗЯБ ЛОВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

УДК 517.984.4

О БАЗИСНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ИНДЕФИНИТНЫМ ВЕСОМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г

МОСКВА 1996 ^

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Шкаликов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. А. Дубинский кандидат физико-математических наук А. С. Осипов

Ведущая организация - Институт математики Башкирии

Защита диссертации состоится «У/ 1996 г. в

16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ, Главное здание, 14 этаж.

Автореферат разослан 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д.053.05.04 при МГУ

доктор физико-математических

наук, профессор Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В последнее время появилось немало работ (см. [1], [2], [3], а также имеющуюся там библиографию), посвященных рассмотрению задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве Н:

здесь А = А* - положительно определенный оператор, а спектр самосопряженного оператора Т имеет как положительную, так и отрицательную часть. В качестве Н может выступать пространство Ьо на области П, А может быть дифференциальным оператором с самосопряженными условиями, а Т - оператором умножения на функцию И, принимающую как положительные, так и отрицательные значения. Если к не меняет знак, то задача (1) с Ти = ки сводится к самосопряженной в гильбертовом пространстве функций со скалярным произведением, порожденным весом Н:

Более сложной представляетсязадача, когда к меняет знак. Именно этот случай является предметом исследования настоящей работы.

[1] Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness // J. of defferential equations. 1985, v. 56, p. 391-407;

[2] Пятков С. Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / / Сибирский математический журнал. 1989, т. 30, № 4, с. 110-124;

[3] Curgus В., Langer Н. A krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. of differential equations. 1989, v. 79, p. 31-61.

Au = \Tu.

(1)

(u,V)T = (|T|u, w).

(2)

Такие задачи возникают, в частности, в теории переноса или в статистической физике. При выполнении надлежащих условий несложно показать, что система собственных векторов задачи (1) образует базис Рисса в гильбертовом пространстве гладких функций На со скалярным произведением

= (Аи, и).

(3)

Введем следующее обозначение:

Г2± = {х € П | Цх) ^ 0}, (4)

тогда вопрос, являющийся предметом интереса авторов работ [1], [2], [3] может быть сформулирован так: при каких условиях система {Ук}?° ({Ут}?3); состоящая из собственных векторов, отвечающих положительным собственным значениям задачи (1) (или отрицательным) , образует базис Рисса в подпространстве ¿2 |/1|) (соответственно, ¿2(^-7 Н)) с весом |/г|.

Введем в ¿2(0,|/г|) ортопроекторы на подпространстве 12(А±,|/г|):

и(х), если к(х) ^ О,

<㱫(*) = (5)

0, если к{х) ^ 0.

Вопрос о базисности Рисса систем {2/^)1° и в этих подпро-

странствах (т.е. вопрос о "половинной базисности", если следовать терминологии автора [1]) тесно связан с вопросами существования и единственности решений краевых задач для уравнения

о

Au(t) + Tu't't(t) = 0

(6)

в гильбертовом пространстве Н, и^) £ Н, с краевыми условиями, в записи которых участвуют ортопроекторы С}± \ нас будут интересовать условия на отрезке [0,1] следующего вида:

|J«(t) - ti0j|A о

||Q+u't(i)-ui||r-K)

(i -» 0), (7)

(t -> 0), (8) (t-»l), (9)

здесь || • Цу и (| ¡1 а отвечают скалярным произведениям (2) и (3); мы будем рассматривать как задачу на полуоси (0, оо): (б), (7), (8) с условием

И*)||А <с<со (10)

невозрастания на бесконечности, так и задачу (б), (7), (8), (9) на отрезке [0,1].

К рассмотрению таких задач возможен подход с использованием результатов теории полугрупп. Так, в работе [4], где рассматривается уравнение смешанного типа первого порядка:

Au(t)+Tu't(t) = 0, (11)

[4] Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and seattering // J. of functional analysis. 1979, v. 34, p. 1-20.

сперва с помощью полугрупп были записаны решения для полуосей с краевыми условиями

||g+it(t)-u0|| ->0 (t->0)

и

u||Q_u(f)-«/o||-*0 (i-> 1),

а также условиями невозрастания на -foo (соответственно, на —оо для случая полуоси (—со, 1)), а затем автор перешел к задаче на отрезке с краевыми условиями в нуле и в единице.

Аналогичным подход возможен и к уравнению второго порядка, но перед этим необходимо (и в этом разница между уравнением первого порядка производнойпо t от уравнений более высокого порядка) сделать еше один шаг: нужно установить изоморфизм между пространством начальных условий, которым должно удовлетворять рассматриваемое уравнение второго порядка и некоторым специальным пространством начальных условий, которым должно удовлетворять решение соответствующей системы уравнений первого порядка (в этом специальном пространстве получающаяся система решается с помощью теории полугрупп). Оказывается, что для построения такого изоморфизма возможно использовать тот же аппарат, что и при доказательстве половинной базисности. Когда же изоморфизм построен, можно записать решение Ù(t) линеаризованного уравнения в виде полугруппы, а одна из координат й - функции, принимающей значения в пространстве копий,

Щ = (ui(t), a2(i)) е НА х НА Vf, будет решением исходного уравнения (6).

Вопрос перехода от задач на полуосях к задаче на отрезке в случае уравнения второго порядка также значительно сложнее, и требуется некоторая техническая работа для его решения.

Цель работы. В работе дается доказательство теоремы "о половинной базисности" для случая, когда функция /г имеет степенной подход к точке поворота, причем с разными показателями степени при подходе с разных сторон. В последней главе диссертации с помощью развитого для доказательства этого результата аппарата доказываются теоремы существования и единственности для задач (6), (7), (8), (10) наполуосии (6), (7), (8), (9) -наотрезке.

Методика исследований. В работе используются результаты теории функций и функционального анализа, теории полугрупп, спектральной теории операторов, теории о бобщенных функций и пространств Соболева, а также асимптотические методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные новые результаты можно коротко сформулировать следующим образом:

1. Для задачи

= ХНи(х)

(12)

с самосопряженными условиями и (— 1) = и(1) = 0 для — и функцией Н вида:

' С1хад{х), х > 0:

к(х) = <

(13)

. -С2\х\0д(х), г < 0,

где д(х) ~ непрерывная и принимает положительные значения, доказана половинная базисность. При этом продемонстрирована возможность использования как асимптотических методов (в процессе получения оценок функции Грина, нужных для доказательства ба-зисности), так и методов функционального анализа и теории операторов.

2. Для уравнения (6) в случае выполнения условия эквивалентности нормы || ||г специальной норме || ||я, порожденной модулем оператора 5 = А—1Т в пространстве На'-

(и,у)3 = (|%1У)Л,

доказана теорема существования и единственности решения для задачи (6), (7), (8), (10). Заметим, что выполнение условия теоремы можно проверить в ряде конкретных случаев задач смешанного типа, в частности, оно выполнено, если есть половинная базисность. Отметим также, что здесь, вообше говоря, не предполагается, что спектр задачи дискретен.

3. Для случал дискретного спектра доказана теорема существования и единственности задачи (6), (7), (8), (9) на отрезке [0,1].

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений, при рассмотрении соответствующих краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации доказывались и обсуждались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по спектральной теории под руководством профессора Костюченко А. Г., профессора Шкаликова А. А., и на совместных

заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 26 наименований. Общий объем диссертации 83 страницы.

Краткое содержание диссертации. Во введении даны некоторые предварительные сведения, показана актуальность темы, приведены постановки задач и сформулированы основные результаты.

В главе 1 рассматривается модельная задача:

-и"(х) = \к(х)и(.х), и{-1) = и(1) = О, где функция к имеет вид:

ха, х > О,

И(х) = ■

, -Ы13, х < 0.

В основной теореме главы 1 утверждается, что система собственных функций этой задачи образует базис Рисса в весовом пространстве ¿2 (—1,1; В процессе доказательства применяется техника,

[5] Шкаликов А. А. О базисное™ собственных функций задачи об антип-

лоских колебаниях цилиндра с внешним трением // Математическиезаметки.

1993, т. 53, вып. 2, с. 145-160.

используемая в статье [5]. Работал с асимптотическими формулами, мы получаем асимптотику собственных значений. Она затем используется для получения оценок функции Грина, которые, в свою очередь, нужны при доказательстве бесселевости системы собственных функции задачи и сопряженной к ней системы в весовом пространстве Ьа (—1,1, |Л|). А отсюда, по теореме Бари будет следовать базис-ность Рисса этой системы.

Глава 2 посвящена доказательству половинной базисности системы собственных функций задачи (12) с весом ¡г, описываемым (13). Доказывается следующая теорема:

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть {2/^} - система собственных векторов задачи (12), Ь задается (13). Тогда система {ф^у^} (соответственно, образует базис Рисса в подпространстве + ((¿-Нт, соответственно) в смысле нормы || Цр.

При доказательстве существенно используется аппарат, развитый в [1]. Его применение для случая степенного поведения с разными показателями степени при подходе и точке поворота с разных сторон делается возможным после доказательства одной вспомогательной леммы "о продолжении" (некоторого факта типа теорем о продолжении в теории пространств Соболева), которое также приведено в главе 2.

Глава 3 посвящена вопросам существования и единственности решений для краевых задач(б), (7), (8), (9) на (0, оо) и (6), (7), (8), (10) на отрезке [0,1].

Доказываются следующие теоремы о разрешимости задач для уравнения (6) на полуоси (0, оо) и отрезке [0,1].

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть норлщ^ Из и II ||г> определяемые скалярными произведениями (-)т, (-)5> эквивалентны. Тогда для любых ио 6 Па, € С^+(Нт) существует и, притом, единст-

венное решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям (7),

Теорема 3.2. Пусть нормы || Ц^ и || определяемые скалярными произведениями (• и {-)т, эквивалентны, и пусть А~1Т - компактный оператор в На- Тогда для любых и о £ На, и1 € Щ € (¿-{Н?) существует и, притом, единствен-

ное решение задачи (6), (7), (8), (9) на отрезке [0,1].

Основная идея доказательства этих теорем состоит в следующем: Уравнение (6) эквивалентно уравнению:

(8), (10).

(14)

где 5 = А~1Т;

|5| = 5(Р+-Р_) = 5+-5_.

Это уравнение допускает факторизацию:

и все его решения являются решениями уравнении:

(15)

Уравнения (15), (16) в сравнении с уравнением (14) обладают тем преимуществом, что коэффициенты при старших производных в них суть неотрицательные операторы.

Утверждения о существовании и единственности решений задач Коши для этих уравнении получаются с помощью результата Главы 2 и теории полугрупп. Задача на отрезке для уравнения (6) более сложная. Доказательство ее разрешимости основано на возможности представления произвольного решения (14) на отрезке в виде суммы решений уравнений (15), (16) на полуосях (0,оо) и (—оо, 1), соответственно.

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю профессору А. А. Шкаликову за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Зяблов A.A. О свойствах базисности и собственных функций одной модельной задачи с индексным весом // Матем. заметки. 1993, т. 54, № 4, с. 126.

2. Зяблов A.A. Задача Коши для уравнения смешанного типа//УМН. 1994, т. 49, № 4, с. 149-151.