Спектральные асимптотики для индефинитной задачи Штурма-Лиувилля и задачи Орра-Зоммерфельда тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Спектр индефинитной задачи Штурма-Лиувилля

1.1 Решения уравнения в случае f(x) = х.

1.2 Решения уравнения в случае одной точки поворота.

1.3 Собственные значения в случае одной или двух точек поворота

1.4 Собственные значения в случае конечного числа точек поворота

1.5 Осцилляционные свойства собственных функций.

2 Модельная задача для уравнения Орра—Зоммерфельда

2.1 Решение модельного уравнения.

2.2 Собственные значения на луче [——гоо).

2.3 Собственные значения в окрестности отрезка [—1, — щ].

2.4 Функция распределения собственных значений.

3 Спектр задачи Орра-Зоммерфельда с линейным профилем

3.1 Решение уравнения Орра-Зоммерфельда.

3.2 Собственные значения в окрестности отрезка [—1,

3.3 Собственные значения на луче [——гоо).

Многие задачи математической физики в ходе своего решения приводят к краевым задачам вида

Здесь Л — спектральный параметр, а краевые условия могут варьироваться в зависимости от конкретной задачи. В простейшей ситуации весовая функция г(х) положительна или даже равна 1, и тогда мы приходим к обычной спектральной задаче Штурма-Лиувилля. Однако во многих прикладных областях, например, в квантовой механике, возникает необходимость в рассмотрении весовых функций, изменяющих знак на отрезке [а,Ь]. При этом свойства спектра этой задачи во многом сохраняются. Спектр по-прежнему состоит из бесконечного числа собственных значений, не имеющих конечных точек накопления. Особенностью индефинитной задачи является возможное присутствие невещественных собственных значений, однако их количество всегда конечно. Впервые это было замечено еще в работах Ричардсона [52], [53]. Детальное описание невещественной части спектра можно найти в работе Мингарелли [47].

Перечисленные авторы использовали классические методы анализа и, разумеется, делали предположения о гладкости коэффициентов. Однако более эффективным при исследовании спектра таких задач оказывается абстрактный операторный подход. Задача может быть сведена к изучению линейного операторного пучка типа Lи — АВи, где L в данном случае — дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, а В — оператор домножения на функцию. Тогда свойства спектра данной задачи выводятся из общих свойств J -диссипативных операторов в пространствах Крейна. Этот подход был развит в работах Пяткова [16]-[21], где также изучались свойства собственных функций, в частности, вопрос о базисности по Риссу.

Естественным образом возникает вопрос об асимптотическом поведении спектра на бесконечности. Формулы для главного члена асимптотики собственных значений этой и более общих задач с положительным весом были известны давно (см., например, обзорную статью [2] и имеющуюся там бибу" + q(?)y = Ar{x)y, а ^ х < 6; у (a) cos а — у'(a) sin а = О, у(Ъ) cos(3 + у'(b) sin/? = 0.

1) (2) (3) лиографию):

СfaVrdx)

В индефинитном случае, т. е. когда ь j y/r±dx > 0, где r± = max{±r, 0} а задача имеет положительную и отрицательную серии собственных значений, асимптотка каждой из которых дается похожей формулой:

В наиболее общей формулировке (в предположении интегрируемости коэффициентов) эта формула доказана в работе Аткинсона и Мингарелли [31].

Для исследования асимптотики спектра в задачах подобного рода используются различные методы. В многомерных задачах обычно применяется какой-либо вариант вариационного или тауберова метода. Вариационная методика восходит к классическим работам Вейля [58], [59], а также Куранта и других. Среди его преимуществ — малая чувствительность к гладкости данных задачи. Тауберова техника восходит к знаменитой работе Карлемана [36]. Эта техника основана на асимптотическом изучении ядра резольвенты (или иной подходящей функции рассматриваемого оператора) с последующим использованием тауберовых теорем. Важное преимущество тауберовых методов — применимость к несамосопряженным задачам.

Однако, как вариационные, так и тауберовы методы позволяют получить только первые члены в асимптотиках собственных значений. Более чувствительными оказываются асимптотические методы. Применительно к нашей задаче наиболее известным является так называемый метод фазовых интегралов или метод ВКБ. В общем случае он используется для исследования уравнений типа w" + h2q(z, h)w = 0, где h — большой параметр. При некоторых условиях на q приближенные решения этого уравнения имеют вид где 0(l/h) равномерно по z, лежащему в некоторых определенных областях плоскости z. Нули функции q(z) называются точками поворота. Ясно, что формулы (4) перестают быть верными вблизи точки поворота, поскольку множитель д-1/4 имеет особенность в этой точке. Формулы (4) называются часто ВКБ-приближениями по именам создателей метода ВКБ: Вентцель, Крамере и Бриллюэн (1926). Однако вкладом этих авторов было не построение приближения (которое уже было известно), а установление формул, связывающих экспоненциальное и осцилляторное решения в точках поворота на действительной оси. Кроме того, необходимо отметить, что эти формулы фактически были получены ранее Джеффрисом (1924). Сами же приближения (4) были, по-видимому, впервые использованы Лиувиллем (1837) и Грином (1837), поэтому их также называют приближениями Лиувилля-Грина. Справедливости ради надо отметить, что первые применения этих приближений были весьма сумбурными. Систематически они начали использоваться только после появления работ Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна. Метод фазовых интегралов был впервые систематически изложен в монографии Хединга [27].

Стоке впервые заметил, что произвольные постоянные, входящие в асимптотические решения, изменяются скачком при переходе через некоторые линии, которые теперь называются линиями Стокса. Он изучал уравнение w" - 9zw = 0 (5) в комплексной плоскости z. В настоящее время множитель 9 обычно опускают и называют (5) уравнением Эйри. Стоке нашел интегральные представления для решений этого уравнения и получил асимптотические разложения при больших \z\ для двух линейно независимых решений. Он заметил, что если в некоторой области изменения arg z решение является произвольной линейной комбинацией двух основных асимптотических решений, то в соседней области изменения arg z коэффициенты линейной комбинации могут быть совсем другими. Эта тематика (формулы связи) получила дальнейшее развитие во многих работах в области математической физики и квантовой механики. Достаточно полное освещение этого вопроса можно найти в [25].

Следует отметить, что сам метод ВКБ позволяет выписывать только главный член асимптотики решений. Основой для математического исследования асимптотических рядов, связанных с решениями дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр, послужила работа Хорна [45]. Шлезингер, Биркгоф, Тамаркин, Территин и другие построили асимптотические решения линейных дифференциальных уравнений в областях, не содержащих точек поворота. Уравнениями, имеющими точки поворота, занимались Р. Е. Лангер, Ф. В. Олвер и их современники. Монография Олвера [50] содержит последовательное и систематическое изложение теории асимптотических разложений и специальных функций. Важную роль в исследованиях Олвера играет преобразование Лиувилля, позволяющее перейти от произвольной функции q(x) к модельной, например, q(x) = х в случае одной точки поворота. Однако Лиувилль (1837) использовал только частный вид этого преобразования. Лангер (1931, 1935) первым использовал более общий вид для построения равномерных приближений. Поэтому мы в дальнейшем ссылаемся на него как на преобразование Лангера.

Ясно, что имея асимптотические разложения для пары независимых решений уравнения, можно искать асимптотику собственных значений соответствующей краевой задачи. Случай одной точки поворота детально изучен в работе Дородницына [8]. В ней получены первые три члена асимтотического разложения решений и, соответственно, выписаны первые три члена асимптотики л/Хп с точностью о(1/п). Аналогичный метод для простой точки поворота излагается также в монографии Олвера [50].

В последние годы задачи рассматриваемого типа исследовались в работах Блехера [35], Косыгина, Минасова, Синая [13], Воробца [4]. Отметим, что в последних двух работах рассматривается весовая функция вида f(x) = U(x) — с, где с — изменяющийся параметр. Наиболее полные результаты для такой задачи (асимптотики, равномерные по параметру с) получены в недавней работе Д. А. Попова (частное сообщение, см. [15]).

Осцилляционная теория для задачи Штурма-Лиувилля вида

-(ру'У + qy = An/ с некоторыми краевыми условиями на конечном интервале восходит к классическим работам Штурма, который накладывал условия гладкости и положительности на обе функции р и г. В дальнейшем его результаты подвергались многочисленным обобщениям. В книге Аткинсона [30] содержится изложение соответствующих результатов для интегрируемых коэффициентов. В работе [43] ограничения на коэффициенты еще более ослаблены: допускается обнуление весовой функции г на множестве положительной меры. Дальнейшие обобщения были связаны с индефинитной задачей, когда одна из функций риг является знакопеременной (если изменяют знак обе эти функции одновременно, спектр не обязан быть дискретным, в частности, он может совпадать со всей комплексной плоскостью — см. [31], [38]). Для г > 0 первые результаты были получены в [57]. Там были разобраны некоторые примеры, когда функция р имеет конечное число смен знаков на рассматриваемом интервале. Уравнение с произвольной интегрируемой функцией р обсуждается в работах [48], [60] и достаточно детально изучено Байндингом и Фолкмером [34]. Случай р > 0 подвергался анализу еще в начале прошлого века (см. [46]). Соответствующие результаты для интегрируемых коэффициентов, вероятно, известны специалистам, но до последнего времени в литературе не существовало последовательного изложения осцилляционной теории для этого случая. Лишь в недавней работе [34] доказаны некоторые результаты для р > 0 в терминах угла Прюфера. Отметим также статьи [32], [33], в которых строится осцилляционная теория для задач с краевыми условиями, зависящими от параметра.

В первой главе диссертации сначала уточнена асимптотика собственных значений для задачи Штурма-Лиувилля с одной точкой поворота, найденная Дородницыным [8]. Попутно доказано, что асимптотические формулы могут быть выписаны с произвольным числом членов в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения. После этого с помощью метода склейки показано, что в случае двух точек поворота асимптотику можно выписать с точностью до трех членов либо разбить множество собственных значений на две серии, асимптотика каждой из которых выписывается с произвольным числом членов. В случае произвольного конечного числа точек поворота методом склейки задача о нахождении асимптотики собственных значений сведена к двум рассмотренным случаям. Наконец, установлена связь между номером положительного собственного значения и числом нулей отвечающей ему собственной функции.

Итак, изучается индефинитная спектральная задача Штурма-Лиувилля где функции f(x), q(x) вещественны и интегрируемы на [А, В], причем

-у" + [Л 2f(x) + q{x)]y — 0, А^х^В] кА • у(А) + н'А • у\А) = 0; • у(В) + *>в • у'{В) = 0,

6) (Г) (8) в А а к а > ^а 1 нв 1 ~~ вещественные числа.

Сначала рассмотрен случай одной точки поворота f(x) - ±(х - х^Цх), h(x) > 0.

9)

Пусть х меняется на отрезке А = [а, Ъ], если представление (9) выполнено со знаком « + », и на отрезке А = [6, а), если со знаком « — », а точка поворота х± лежит внутри отрезка А. Тогда в обоих случаях имеем /(а) < 0 и f(b)> 0. Это обстоятельство позволяет в дальнейшем написать единообразные формулы, которые годятся при любом выборе знака в (9). Далее удобно положить А = Д+ U А, где А+ (Д) — отрезок, на котором f(x) ^ О о).

Теорема 1.1. Если f £ Ср+4, qeCp при р= ' ЗП + 1 1, (10) то уравнение (6) при условии (9) имеет пару независимых решений и(х) = и(х:Х,п) и v(x) = v(x,\,n), для которых справедливы следующие соотношения: и± где

Ъ) = е~^хМ±, й^Ъ) = v±(b) = C±, v±(b) = A£±, w±(a) - Refc^G*), ^(a) - ARe^Q*),

-y±(a) - e-^ARe(eiaA7?±), и* (a) = Xe~px Re(eiaA^>±),

P = f VUdx, <* = J yfjldx,

А Д а буквами С, Л4, V, Q обозначены функции параметра А, имеющие при Л —У +оо асимптотические разложения

Коэффициенты в этих разложениях можно найти явно, пользуясь рекуррентными соотношениями.

Теорема 1.2 (Спектр задачи с одной точкой поворота). Последовательность положительных собственных значений {Am}jf задачи (6)-(8) при условиях (9), (10) допускает асимптотическое разложение по степеням 1 /т с точностью до 0(1/тп+1). В частности, при / Е С6, q Е С2 имеем г /^5/72 1 \ 1

В этих формулах то — некоторое целое число,

J = -J dx' (12)

If yffldt, х£[х~,а\, p (13)

-^■"(ш-з)' выбор знака « ± » соответствует (9). Отметим, что отдельные слагаемые под интегралом для выражения J имеют неинтегрируемые особенности, но при сложении они дают интегрируемую функцию.

Далее рассмотрен случай двух точек поворота f(x) = (х - х~)(х - x+)h(x), h(x)> 0, Ьо^х^Ьг, (14) где 6о < х~ < х+ < •

Теорема 1.3 (Спектр задачи с двумя точками поворота). Положительные собственные значения {Ат}о° задачи (6)-(8) при условиях (14), (10) можно расположить в две серии , каждая из которых допускает асимптотическое разложение по степеням 1 /т с точностью до 0(l/mn+l). В частности, при f £ CQ, q 6 С2 имеем:

Если ограничиться только тремя членами разложения, то обе серии склеиваются в одну: т2 тг 1 /5/18 1 Л 1 ^

Здесь m3Q, trq — некоторые целые числа, а величины X, J вычисляются по формулам (12), причем в определении (13) функции ((х) точка а £ Д — СС j сс +] выбирается так, чтобы х+

J = J y/fld: х =: а.

Далее рассмотрен случай конечного числа точек поворота. Предположим для определенности, что f(A) < 0, f(B) > 0. Это ограничение несущественно, так как другие возможные случаи рассматриваются аналогично и приводят к тому же результату. Пусть г f(x) = (х- 4) • Ц[{х - хъ)(х - 4)] • h(x), h{x) >0, А^х^В, к=1 где А < Xq < < < . < х~ < xf < br = В.

Выберем точки && € (xtixk+i)>'k = 0,1,.,г — 1. Тогда /(Ь&) > 0 и весь отрезок [А, В] разобьется на отрезки , & = 0,1,.,г,на каждом из которых, за исключением первого отрезка До — [А,&о], функция /(ж) имеет две точки поворота. (При других предположениях о значениях функции /(ж) в концах отрезка первый и последний отрезки могут содержать как одну, так и две точки поворота.)

Теорема 1.4 (Спектр задачи с конечным числом точек поворота).

Если Ak,m ~~ собственные значения задач на отрезках Ak в предположении, что в точках Ъ& берутся условия Дирихле, а в концевых точках А и В — прежние условия (7), (8), то при выполнении условий гладкости (10) множество собственных значений задачи на всем отрезке можно разбить на г + 1 серий, асимптотики которых совпадают с \k,m, к — 0,1,. ,г .

С учетом теоремы 1.3 множество собственных значений задачи можно разбить на 2r + 1 серий, допускающих асимптотическое разложение по степеням 1 /га с точностью до 0(1/тп+1). Если же ограничиться только тремя членами асимптотики, то серии, отвечающие отрезкам Ak — [bk~i,bk]} к = 1 склеиваются и общее число серий сокращается до г + 1.

Замечание 1.1. Даже для двух точек поворота, когда функция fix) отрицательна в концах отрезка, положительную часть спектра в общем случае нельзя описать формулой вида cim + со + 0(1/т) , так как асимптотические разложения разных серий могут различаться уже в главном члене.

Замечание 1.2. Асимптотика каждой серии собственных значений зависит только от поведения функций f(x), q(x) на соответствующем отрезке А- С Ak, где f(x) ^ 0 .

Замечание 1.3. Описанный метод позволяет находить и собственные значения вида \ = i\, А > 0. Для этого следует лишь сделать замену f(x) = —f(x). В этом случае решающую роль играют участки, на которых f(x)^ 0.

В последующих двух теоремах устанавливается связь между номером положительного собственного значения и числом нулей отвечающей ему собственной функции для краевой задачи Дирихле (— — 0). Пронумеруем положительные собственные значения

О < Л0 < Ai < Л2 < . и отвечающие им собственные функции зл)(я)> 2/1м, 2/2w, • • •

Обозначим (jo{\n) — количество нулей уп(х) внутри интервала (А, В).

Теорема 1.5. Предположим, что выражение —у" + q{x)y вместе с краевыми условиями Дирихле у (А) = у {В) = 0 определяет положительный оператор в L2[A, В]. Тогда собственная функция уп(х) имеет ровно п нулей внутри интервала (Л, В) : ш(Хп) = п.

При этом собственные функции обладают свойством перемежаемости нулей: между любыми двумя нулями уп лежит ровно один нуль уп+\.

От ограничения на функцию q(x) можно отказаться и тогда справедливо более слабое утверждение.

Теорема 1.6. Существует число щ, такое, что при n ^ щ ш(Хп) = ш(ХПо) + (п - щ).

В следующей главе изучается еще один несамосопряженный вариант классической спектральной задачи Штурма-Лиувилля:

-еу" + q(x)y = Ху, (15) у(-1) = у(1) = 0. (16)

Предполагается, что входящий в уравнение дополнительный параметр е мал и лежит на отрицательной мнимой полуоси. Задача (15), (16) является моделью для хорошо известной в гидромеханике спектральной задачи Орра-Зоммерфельда

D2 - а2)2 - iaR[q(x)(D2 - а2) - q"{x)]}y = -X(D2 - а2)у, (17) у(-1) = у'(-1)=у(1) = у'(1) = 0. (18)

Здесь D = d/dx, а — волновое число, R — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, a q(x) — профиль скорости течения жидкости в канале \х\ < 1. Эта задача получается после линеаризации уравнений Навье-Стокса для плоскопараллельных течений между двумя фиксированными стенками.

Хорошо известно, что спектр задачи Орра-Зоммерфельда на конечном интервале дискретен. Важной является задача изучения поведения собственных значений при больших числах Рейнольдса R, что соответствует малой вязкости жидкости. Наибольший интерес представляют два стационарных профиля скорости: q(x) = х и q{x) = х2. Первый называется профилем Куэтта, второй — профилем Пуазейля.

Задача Орра-Зоммерфельда изучалась многими авторами. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в обзоре Редди, Хеннингсона и Шмидта [51], монографиях Драйзина и Рида [39], Дикого [7], а также в работах Гейзенберга, Вазова, Лина и др. (см. библиографию в [39]).

Однако, описание портрета поведения собственных значений этой задачи при е —у 0 (т. е. R —¥ оо) не было проведено полностью. В этой связи укажем важную работу Моравец [49], где показано, что при q(x) = х собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков [—1, — , [1, и луча [——гоо), хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается. Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в [49] только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра-Зоммерфельда — Гейзенбергом. В диссертации же получена информация обо всех мнимых собственных значениях вплоть до узловой точки, что требует существенно более тонкой техники.

Компьютерные программы для вычисления собственных значений задачи Орра-Зоммерфельда реализовывались Редди, Хеннингсоном и Шмидтом [51], Трефезеном [55], Нейманом-заде и Шкаликовым [14], Чапманом (персональное сообщение, см. [37]). В двух последних работах было понятно, что, в отличие от модельной задачи, собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда с линейным профилем локализуются вдоль двух пар линий снизу и сверху от отрезков [±1, — , каждая из которых при росте числа Рейнольдса приближается к соответствующему отрезку. Однако, аналитической формы этих линий и явных формул для собственных значений (или функций распределения) выписано не было. Все это: форма линий и формулы для собственных значений, — будет найдено в третьей главе диссертации.

Необходимо отметить, что многие авторы рассматривали задачу Орра

Зоммерфельда в связи с вопросом об устойчивости течения жидкости, что эквивалентно отсутствию собственных значений в верхней полуплоскости. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта «почти» доказана в работе [22]. При R —¥ оо в ней используется аппарат специальных функций (функций Эйри), а при малых значениях числа Рейнольдса применяются численные расчеты на компьютере. Вопрос об устойчивости для уравнения Орра-Зоммерфельда рассмотрен и в книге [12], где используются асимптотические методы для нахождения решений.

Модельная задача (15), (16) с линейным профилем рассматривалась в работах Трефезена [55] и Редди, Хеннингсона, Шмидта [51]. Аналитическое объяснение портрета собственных значений этой задачи при е —> 0 было проведено в [28], а именно, было доказано, что при q(x) = х собственные значения модельной задачи (15), (16) локализуются вдоль луча [——гоо) и двух отрезков [—1, — , [1, — , а также найдена асимптотика собственных значений в окрестности указанных отрезков. Более частный результат о локализации собственных значений вблизи отрезков [—1,—[1, — был получен Степиным [23].

Во второй главе диссертации дано описание спектра модельной задачи в случае q(x) = х. Найдена асимптотика собственных значений на луче [— —гоо), сделано уточнение асимптотики [28] на отрезках [±1, — , вычислена функция распределения собственных значений вне окрестности узловой точки — и дана оценка количества собственных значений в круге малого радиуса с центром — .

Итак, в случае q(x) = х модельная задача имеет вид:

-геу" = (х- А)у, (19) у(-1) = у(1) = 0, (20) где А — спектральный параметр, а е > 0 — малый параметр.

Рассмотрим функцию X

А) = J e-^y/x^Xdx.

Она вещественна и строго возрастает на луче [——гоо), поэтому нули уравнения

А) = пке1!2 образуют монотонную последовательность —грь на этом луче:

4 < Рк0 < Рк0+1 <

Здесь d£ = —г ^^ + г1/2 In, где 9 > |(3/4)3/4 — фиксированное число.

Теорема 2.1. При достаточно малых £ > 0 все собственные значения задачи (19), (20), лежащие в некоторой окрестности луча [d£, — гоо), являются простыми и образуют монотонную последовательность чисел на отрицательной мнимой оси. При этом на интервале (d£, —i(pk0 + О(е))) может находиться не более двух собственных значений, а все остальные собственные значения имеют вид к = ~г{рк + к = к0 + 1, к0 + 2, .

Асимптотика собственных значений вблизи отрезков [±1, — была получена в [28]. В следующей теореме приведены уточненные формулы.

Теорема 2.2. Собственные значения задачи (19), (20) симметричны относительно мнимой оси и в окрестности отрезка [—1, — имеют асимптотику

Л, = (е-% - 1) (l + o(e-"""*«)),

V(t) = jRe(2e-i-tf2, где tf~ — нули функции Эйри Ai(—£~11Ч) = 0 . При этом г-у%={т{к-\)Т+оШ'k=h2.^ где число к\ подбирается так, чтобы все % при 1 ^ k ^ к\ принадлежали полуинтервалу 0, — £1/2\пе~9^ , а точка t^+i лежала вне него.

Замечание 2.1. В [28] вместо условия tk G 0, — e^lne-^ ошибочно фигурирует условие tk 6 0, — сг1^ . Кроме того, здесь мы уточняем, что нумерация нулей в (21) начинается при k = 1, а не при некотором к = .

Предельное множество концентрации собственных значений

Т = названо в [28] «спектральным галстуком». Функцию iV(A, е), определенную при ЛЕТ, назовем функцией распределения собственных значений задачи

19), (20), если для всех Ai, А2, принадлежащих любой связной компоненте множества Т (узел — исключается), число собственных значений на отрезке [Ai,Л2] (или в малом прямоугольнике, стороны которого проходят через Ai и А2) равно |iV(A2, е) — 7V(Ai, е)|.

Теорема 2.3. Функция распределения собственных значений задачи (19),

20) при £ —У 0 на полуинтервалах [±1, — имеет вид ±1 e-l/2 f

N(\,e) = ±- / у/х~—~Х dx + О (1), л а на луче —гоо) е-1/2 }

N(А,е) =- / е~^\/^Ас£г + 0(1),

-1 где через O(l) мы обозначаем функцию А и е, ограниченную при е —У 0 равномерно по всем А Е Т.

Замечание 2.2. Теорема 2.3 была получена автором в 1998 году, а впоследствии обобщена на случай, когда вместо q{x) = х участвует функция q(x) = х2 или аналитическая монотонная функция (см. Туманов, Шкаликов [24], Шкаликов [54])

Теорема 2.4. Количество собственных значений задачи (19), (20) в круге малого радиуса 5 с центром в точке-узле — равно (при г —V 0)

В круге уменьшающегося радиуса при фиксированном 9 >

3/4)3/4, число собственных значений равно

21/23З/4

NeW]ne-°(£) = -Ins-*+ 0(1), £->0.

7Г

В третьей главе диссертации дано описание спектра задачи Орра-Зоммерфельда в случае q(x) = х. Показано, что на луче [——гоо) собственные значения асимптотически ведут себя точно так же, как и в модельной задаче. Однако в окрестности отрезка [—1, — картина принципиально иная: собственные значения лежат на двух кривых, находящихся по разные стороны от этого отрезка и отстоящих от него на расстояние порядка £1'2\\пе\.

Итак, задача Орра-Зоммерфельда с линейным профилем q{x) = х имеет вид i£(w" — a2w) = (х + ieX)w, w = у" — а2 у, (22) у(± 1) = ^(±1) - 0. (23)

Здесь в = 1/aR, А — спектральный параметр, R — число Рейнольдса, а — волновое число. Для дальнейших рассмотрений удобно ввести другой спектральный параметр: А = ie{a2 — А).

Для вычисления собственных значений в окрестности отрезка [— 1, — выберем на нем точки d\ и g^ > которые при £ 0 приближаются к концам отрезка -1 и так, что л/3

-d

З\3/4

Рассмотрим область , являющуюся частью полуполосы — 1 ^ Re А ^ 0, Im А ^ 0, которая отделена от точки — 1 дугой окружности с центром — 1, проходящей через точку d\, и ограничена снизу прямой, проходящей через точки с?2 и 1. Отрезок [—1,—^=] разбивает Qe на две части: верхнюю и нижнюю Q,2.

Введем для удобства прямоугольную систему координат (£, 7) на комплексной А-плоскости. Начало координат расположим в точке А = — 1, а ось t направим вдоль отрезка [—1, — В этих координатах области ,

Г22 располагаются соответственно в верхней и нижней полуплоскостях, а разделяющий их отрезок [di, имеет следующее координатное представление: где Т\{е) и Т2(е) выбираются произвольно, но подчинены условиям

1 /ЯЛ 3/4

-1/3Ti(£) +оо, Т2(е) = 2е1'2Ые-\ 9 > .

Обозначим П

А=(*,7): Ti(e)<<<-^=-r2(e), -оо < 7 <+оо|.

Зададим в области 0,£ П П£ две кривые по формулам

Ч , 1 Ф)*®/4 / Л о [«(2 - I

Л | А | | ч | I ] и выберем на них точки А^ = (tk , 7^), к = , + 1,., kf , так, что Л/3

2/3

37r i =р ^ ((Зтг^1/2^)2/3) 4 ' где вещественная функция ip(t) вычисляется явно: 1

4>{t) = г^ argsh [а{2 - е~1Ч)] , причем в этой формуле выбирается любая непрерывная ветвь аргумента. Числа при достаточно малых в образуют возрастающую последователь „ U± „т т„т, „п^тт m tti^TI ность, а и fcf выбираются так, чтобы все точки Щ = (£&,7аг) при к0 ^ к ^ /с-^ находились в области ^еППе, а точки А^±+1 находились вне нее.

Обозначим круг с центром А^ и радиусом Сpe[if ), где ft(t) =

Теорема 3.1. Найдется число С > 0 такое, что при достаточно малых е каждое собственное значение из области Г2е П Пе лежит в одном из непересекающихся кругов , причем каждый круг Вк содержит в точности одно собственное значение. Исключение составляют лишь крайние круги В%, В^±, которые могут не содержать собственных значений, если они не лежат целиком в области 0,£ П П£.

Функция распределения собственных значений для каждой из кривых 7+ > равна половине соответствующей функции распределения для модельной задачи на интервале (—1, — : -1

Р-1/2 г , jV±(A,e) = -V- / e^VaT=~Ad® + 0(l),

27г J А где че^ез O(l) лш обозначаем функцию А и е, ограниченную при е —У О равномерно по всем A £ (—1, —

Для собственных значений на луче (——гоо) имеет место следующий аналог теоремы 2.1.

Теорема 3.2. При достаточно малых е > 0 все собственные значения задачи (22), (23), лежащие в некоторой окрестности луча [de, — гоо), являются простыми и образуют монотонную последовательность чисел на отрицательной мнимой оси. При этом на интервале (d£, —i(pk0 + может находиться не более двух собственных значений, а все остальные собственные значения имеют вид

А к = -г(рк + 0(e)) ^ к = ко + 1, к0 + 2, .

Функция распределения собственных значений на луче (—^д, —гоо) совпадает с соответствующей функцией распределения для модельной задачи

-i/2 } i

N(А,е) = -- / e'^V^Xdx + 0(1),

-1 где через 0(1) мы обозначаем функцию А и е, ограниченную при е —> О равномерно по всем A Е (——гоо).

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2001 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

• «Несамосопряженные операторы», руководители — профессор А. Г. Ко-стюченко и профессор А. А. Шкаликов,

1. Афендиков А. Л., Бабенко К. И. О возможности возникновения автоколебательных режимов в плоском течении Куэтта// ДАН СССР. 252, № 1 (1980). 65-68.

2. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Математический анализ. 14(1977). 5-59.

3. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения// М.: Наука. 1967.

4. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы/ / Л.: Гидрометеоиздат. 1973.

5. Дородницын А. А. Асимптотические законы -распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка// Успехи матем. наук. 7, № 6(1952). 3-96.

6. Дьяченко А. В. Асимптотика собственных значений индефинитной задачи Штурма-Лиувилля// Мат. заметки. 68, JV^ 1(2000). 139-143.

7. Жук В. И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны// М.: Наука. 2001.

8. Косыгин Д. В., Минасов А. А., Синай Я. Г. Статистические свойства спектров операторов Лапласа-Бельтрами на поверхностях Лиувилля// Успехи матем. наук. 48, № 4(1993). 3-130.

9. Нейман-заде М. И., Шкаликов А. А. О вычислении собственных значений задачи Орра-Зоммерфельда// Фундаментальная и прикладная математика. 10, № 2(2002).

10. Попов Д. А. Равномерная асимптотика спектра периодической задачиШтурма-Лиувилля с двумя точками поворота// Мат. сборник (сдано в печать).

11. Пятков Г. О свойствах собственных функций одной спектральнойзадачи и их приложения// Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск. 1984. 115-130.

12. Пятков Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков// Сиб. мат. журн. 30, № 4(1989). 111-124.

13. Пятков Г. О некоторых свойствах собственных функций линейныхпучков// Мат. заметки. 51, JV^ 1 (1992). 141-148.

14. Пятков Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных сопряженных пучков// Матем. сб. 185, № 3(1994). 93-116.

15. Пятков Г. Индефинитные эллиптические и спектральные задачи//Сиб. мат. журн. 39, № 2(1998). 409-426.

16. Романов В. А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта//Функциональный анализ и его приложения. 7, № 2(1973). 62-73. Литература 84

17. Степин А. Модель перехода от дискретного спектра к непрерывномув сингулярной теории возмущений// Фундаментальная и прикладная математика. 3, № 4(1997). 1199-1227.

18. Туманов Н., Шкаликов А. А. О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда с профилем Пуазейля// Известия РАН. 66, № 4(2002).

19. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенныхдифференциальных уравнений// М.: Наука. 1983.

20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения// М.: Мир.1970.

21. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ)// М.:Мир. 1965.

22. Шкаликов А. А. О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи// Мат. заметки. 62, JV^ 6 (1997). 950-953.

23. Шкаликов А. А. Линии Стокса и «спектральный галстук» в проблемеОрра-Зоммерфельда// УМН. 53, №- 4 (1998). 140.

24. Atkinson F. V. Discrete and Continuous Boundary Value Problems// N. Y.:Academic Press. 1964.

25. Atkinson F. v., Mingarelli A. B. Asymptotic of the number of zeros and ofthe eigenvalues of general weighted Sturm-Liouville problems// J. reine und angew. Math. 375(1987). 380-393.

26. Binding P. A., Browne P. J. Oscillation theory for indefinite Sturm-Liouvilleproblems with eigenparameter-dependent boundary conditions// Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 127, JV^ 6(1997). 1123-1136.

27. Binding P. A., Browne P. J. Left-definite Sturm-Liouville Problems witheigenparameter dependent boundary conditions// Diff. Int. Equ. 12(1999). 167-182.

28. Binding P., Volkmer H. Oscillation theory for Sturm-Liouville problems withindefinite coefficients// Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 131. 989-1002. Литература 85

29. Bieber P. M. Quasi-classical expansions and the problem of quantum chaos//1.ct. Notes Math. 1469 (1991). 60-89.

30. Carleman T. Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales desmembranes vibrantes// C. R. 8-éme Congr. des Math. Scand. Stockholm. 1934. 34-44.

31. Chapman S. J. Subcritical transition in channel flows// J. Fluid Mech. Toappear.

32. Curgus B., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinarydifferential operators with an indefinite weight functions// J. Differential Equations. 79(1989). 31-61.

33. Drazin R. C , Reid W. H. Hydrodynamic Stability// Cambridge. 1981.

34. Dyachenko A. V. Oscillation theorem for eigenfunctions of the indefiniteSturm-Liouville problem// International conference «Differential Equations and Related Topics». Book of abstracts. Moscow. 2001. P. 115.

35. Dyachenko A. V., Shkalikov A. A. On the Orr-Sommerfeld Equation with1.near Profile// Electronic archive http://arXiv.org/abs/math.FA/0212127 (2002).

36. Eastham M. S. P. Theory of ordinary differential equations// London. 1970.

37. Everitt W. N., Kwong M. K., Zettl A. Oscillation of eigenf unctions ofweighted regular Sturm-Liouville problems// J. London Math. Soc. 27, JT^ 2(1983). 106-120.

38. Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen/ / N. Y.: Chelsea. 1953.

39. Horn J. Ueber eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einemwillkürlichen Parameter// Math. Ann. 52(1899). 271-292.

40. Ince E. L. Ordinary Differential Equations// 1926.

41. MingarelH A. B. Indefinite Sturm-Liouville problems// Lect. Notes Math.964(1982). 519-528.

42. Moeller M. On the unboundedness below of the Sturm-Lioville operator// Toappear in Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Литература 86

43. Morawetz C. S. The Eigenvalues of Some Stability Problems InvolvingViscosity// J. Rat. Mech. Anal. 1 (1952). 579-603.

44. Olver F. W. Asymptotic and special functions / / N. Y. : Academic Press. 1974.

45. Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S. Pseudospectra of the OrrSommerfeld operator// SIAM J. Appl. Math. 53, № 1 (1993). 15-47.

46. Richardson R. G. D. Theorems of oscillation for two linear differentialequations of the second order with two parameters// Trans. Amer. Math. Soc. 13, № 1 (1912). 22-34.

47. Richardson R. G. D. Contributions to the study of oscillation properties ofthe solutions of linear differential equations of the second order// Amer. J. Math. 40, № 1 (1918). 283-316.

48. Shkahkov A. A. Quasi-classical eigenvalue distribution for a non-self adjointSturm-Liouville operators// In book Spectral analysis of differential and difference operators. Stephan-Banach international mathematical center, Warsaw. 2001. 37-40.

49. Trefethen L. N. Pseudospectra of linear operators// ISIAM 95: Proceedingof the Third Int. Congress on Industrial and Appl. Math. Academic Varlag. Berlin. 1996. 401-434.

50. Tumanov S. N. Model problem for Poiseile profile. Critical spectrum curve1.ternational conference «Differential Equations and Related Topics». Book of abstracts. Moscow. 2001. 413-414.

51. Weidmann J. Spectral Theory of Ordinary Differential Operators// Led.Notes Math. 1258(1987).

52. Weyl H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen// Math. Ann. 71 (1912). 441-479.

53. Weyl H. Über die Abhängigkeit der Eigenschwingungen einer Membran vender Begrenzung// J. Reine Angew. Math. 141(1912). 1-11.

54. Zettl A. Sturm-Liouville problems, in Spectral Theory and ComputationalMethods of Sturm-Liouville Problems// Lecture Notes in Pure and Apphed Math. 191(1997).