Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Шейпак, Игорь Анатольевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет
На правах рукописи 517.518+517.984
005052»*'
Шейпак Игорь Анатольевич
Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный
анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2012
о 4 он!
005052927
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Раис Сальманович Исмагилов, Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, профессор
доктор физико-математических наук, профессор Сергей Николаевич Набоко, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор
доктор физико-математических наук, профессор Владимир Юрьевич Протасов, кафедра общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, профессор
Ведущая организация: Российский университет дружбы народов
им. П.Лумумбы
Защита состоится 9 ноября 2012 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, 27, сектор А, 8-й этаж).
Автореферат разослан 11 сентября 2012 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.S5 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Предметом исследования настоящей диссертации являются самоподобные функции и их свойства в различных функциональных пространствах, самоподобные меры и их приложения к спектральной теории операторов.
Самоподобной мы называем функцию /, которая является неподвижной точкой аффинного оператора G. Точнее, пусть фиксировано натуральное число п > 1, и пусть вещественные числа ак G (0,1), где к = 1,..., п, таковы, что
п
y^gfc = 1-к=1 fc-1
Определим числа о^ = 0, о^ = ah гДе & = 2,..., n + 1.
з=i
Введём также числа ск > 0, dt и ßk (пока произвольные) и также булевский вектор {ек} (к = 1,..., п) и определим семейство аффинных преобразований отрезка [0,1]
Sk(x) = акх + ак, ек = 0; Sk(x) = -акх + ak+i, ек = 1.
Данному набору чисел можно сопоставить в соответствие аффинный оператор G : Lp[0,1] Lp[0,1] вида
п
[G(f)№ = J2(dk-f (ЗкЩ + ckS¿\t) + ßk) . XK,a4+1). (1)
k=1
где через Х(с,0 обозначена характеристическая функция интервала (£, £), рассматриваемая как элемент пространства Z/p[0,1].
При определённых условиях на параметры {ак}, {dk} оператор G является сжимающим в пространстве Lp\0,1]. Чтобы этот оператор был сжимающим в пространстве непрерывных функций необходимо также наложить условия на параметры {ßk}-
Неподвижная точка такого оператора в соответствующем пространстве называется самоподобной функцией. Числа {a*}, {dk}, {ßk} и {е^} называются параметрами самоподобия.
Фрактальные множества и связанные с ними функции исследовались ранее.1,2
1 Julia G., Memoire sur itération des fonctions rationelles//J. Math. Pure Appl., 1918, 8, 47-245.
2Fatou P.,Sur les solutions uniformes de certaines équations fonctionnelle, C.R.Acad. Sei. Paris, 1906, 143, 546-548.
Достаточно общий подход к конструкции самоподобных мер и множеств изложен в работах 3'4.
Одним из важных классов самоподобных объектов являются фрактальные кривые. Их теория получила большой толчок к развитию после того, как обнаружилась её связь с теорией всплесков (вейвлетов) и масштабирующих функций5. В частности, определённый интерес представляет исследование гладкости решений масштабирующих уравнений в различных функциональных пространствах. Например, в работе6 были получены оценки сверху на показатель Гёльдера этих решений в пространстве С[О,1]. В. Ю. Протасовым7 были получены критерии таких свойств решений масштабирующих уравнений, как абсолютная непрерывность, сингулярная непрерывность, ограниченность вариации.
Расширением понятий самоподобных мер и непрерывных функций являются самоподобные функции из пространств Lp. В связи с этим необходимо упомянуть о введённых В.Ю. Протасовым8 суммируемых фрактальных кривых. В этой работе были получены критерии существования фрактальной кривой и принадлежности её классам Lp в терминах спектральных р-радиусов рр (см. также 9). Кроме того, там же были выведены формулы для показателей гладкости в различных функциональных пространствах.
Применением свойств различных самоподобных объектов к спектральной теории операторов занимались многие авторы. Распределением собственных значений оператора Лапласа в областях с фрактальной границей занимались М. Берри10'11, Лапидус М. Л.12-13, Левитин М., Ва-
3Hutchinson J., Fractals and Self-similatity //Indiana University Math. J., 30 (1981), 713-741.
4M. Barnsley, Fractals everywere//Academic Press, 1988.
5Daubechies I.,Lagañas J.,Two scale difference equations. I. Existence and global regularity of solutions//SIAM. J. Anal., 22:5 (1991), 1388-1410.
6Daubechies I.,Lagarias J., Two scale difference equations. I. Local regularity, infinite products of matrices and fractals//SIAM. J. Anal., 23:4 (1992), pp. 1031-1079.
7Protasov V., Refinement equations with nonnegative coefficients//J. Fourier Anal. Appl., 6:1, (2000), 55—78.
8B. Ю. Протасов Фрактальные кривые и всплески//Изв.РАН. Серия матем.,70:5 (2006), 105-145.
LauK.S., Wang J., Characterization of Lp-solutions for two-scale dilation equations//SIAM J Math
Anal., 26:4, (1995), 1018-1046.
10Berry M. v., Distribution of modes in fractal resonators, structural stability in physics(\V. Giittinger and H. Eikemeier, eds.)// Springer-Verlag, Berlin, 1979, 51-53.
!1Berry M. V., Some geometric aspects of wave motion: wavefront dislocations, diffraction catastrophes, diffractals//Geometry of Laplas Operator, Proc. Sympos. Pure Math., vol.36, Amer. Math. Soc Providence, R.I., 1980, 13-38.
Lapidus M. L., Fractal drum, inverse spectral problems for elliptic operators and a partial resolution of the Weyl-Berry conjecture//Trans. Amer.Math.Soc., 325, 1991, pp. 465-529.
13Kigami J., Lapidus M.L., Weyl's problem for the spectral distributions of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals / / Comm. Math. Phys. 158 (1993), 93—125.
сильев Д.14
Большое значение самоподобные веса приобрели при изучении колебаний струны. Уравнению колебания струны
с надлежащими граничными условиями посвящены работы многих авторов. Наиболее важные результаты были получены в работах М. Г. Крейна.15,16,17,18 В частности им была получена формула
из которой следует, что при наличии абсолютно непрерывной части у неубывающей функции Р собственные значения удовлетворяют асимптотике
Кроме того, в работе М. С. Бирмана и М. 3. Соломяка19 показано, что если Р содержит абсолютно непрерывную компоненту, то её сингулярная составляющая не влияет на главный член асимптотики. Таким образом, особый интерес при определении спектральных асимптотик представляют функции Р, не содержащие абсолютно непрерывную компоненту.
Дальнейшие результаты в этой области связаны с самоподобными син-2(1
гулярными мерами .
В частности, М.Соломяком и Е. Вербицким для задачи колебания струны с самоподобной сингулярной мерой р в качестве веса при спектральном параметре получены асимптотические формулы для считающей функции собственных значений
14Levitin М., Vassiliev D., Spectral asymptotics, renewal theorem, and the Berry conjecture for a class of fractals//Proc. Lond. Math. Soc., 72(1996), 188-214.
15M. Г. Крейн, Определение плотности неоднородной симметричной струны//ДЛИ СССР, 1951, т. 76, №3, 345-348.
16М. Г. Крейн, Об обратных задачах для неоднородной струны//ДАН СССР, 1952, т. 82, №5, 669672.
17М. Г. Крейн, Об одном обобщении исследований Стилтъеса//ДАН СССР, 1952, т. 87, №6, 881884.
18М. Г. Крейн, О некоторых случаях эффективного определения плотности неоднородной струны по её спектральной функции//ДАН СССР, 1953, т. 93, №4, 617-620.
19М. С. Бирман, М. 3. Соломяк, Асимптотика спектра слабо полярных интегральных операторов/ / Изв. АН СССР, матем., 34 (1970), N6, 1143-1158.
20SoIomyak М., Verbitsky Е., On a spectral problem related to self-similar measures//Bull. London Math. Soc., 27(1995), 242-248.
-y" = aP'y
N(X) = A"°(s(lnA) + o(l))
в случае арифметического самоподобия. Функция я в данном случае является периодической. В случае неарифметического самоподобия функция в является постоянной. Показатель Б в случае мер принимает значение в промежутке (0,1/2). Случай дискретных мер ими не исследовался, равно как и случай знакопеременных весов.
Исследованием различных свойств дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами занимались многие авторы. В частности, различные (но эквивалентные) подходы к определению оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями даны в работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова21 Исследование различных свойств этих операторов, решение обратной задачи получено в 22,23.
Асимптотическое распределение собственных значений для самоподобной сингулярной непрерывной меры и дифференциального оператора высокого порядка изучено в работе А. И. Назарова24. Для различных приложений, в частности в теории малых уклонений случайных процессов, возникает необходимость изучения дифференциальных операторов высокого порядка с дискретной мерой (точнее с её плотностью) в качестве коэффициента при спектральном параметре. Ранее такие задачи не изучались даже в случае дифференциального оператора второго порядка.
Задача Штурма-Лиувилля с самоподобным дискретным весом может быть применена к установлению асимптотического поведения собственных значений оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными коэффициентами. Спектральные свойства двухдиагональных операторов Якоби с быстро убывающими (экспоненциально и сверхэкспоненциально) матричными элементами изучены Э. А. Туром25 и Р. В. Кожаном26.
21 А. М. Савчук, А. А.,Шкаликов, Операторы Штурма-Лиувилля с поте нциалами-распределениями//Труды Моск. матем. общества, 64, 2003, 159-212.
А.М.Савчук, А.А.,Шкаликов, О свойствах отображений, связанных с обратной задачей Штурма-Лиувилля// Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, Т. 260, 2008, 227-247.
23А.М.Савчук, А.А.,Шкаликов, Метод отображений в обратных задачах Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, т. 261, 2008, 243-248.
24А. И. Назаров,Логарифмическая асимптотика малых уклонений для некоторых гауссовских процессов в Ь2-норме относительно самоподобной леры//3аписки науч. семинаров ПОМИ 311 2004, 190-213.
25Э. А. Тур Асимптотика собственных значений для одного класса матриц Якоби с предельным точечным спектром// Матем. заметки, т.73, вып.З, 2003, 449-462.
Р.В.Кожан Асимптотика собственных значений двухдиагональных матриц Якоби//Матем. заметки, т.77, вып. 2, 2005, 313-316.
Цель работы. Описание конструкции самоподобных функций в различных функциональных пространствах. Установление критерия принадлежности самоподобных функций пространствам Ьр\0,1] (р ^ 1), С[0,1]. Получение асимптотических формул для считающей функции собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весом. При этом изучаются веса, являющиеся обобщёнными производными самоподобных функций положительного спектрального порядка и самоподобных функций нулевого спектрального порядка. Исследование поведения собственных значений дифференциального оператора высокого порядка с дискретной самоподобной мерой. Применение спектральных свойств задачи Штурма-Лиувилля с вырожденно самоподобным весом к изучению асимптотического поведения собственных значений оператора Якоби (в том числе и в пространстве с индефинитной метрикой) с экспоненциально растущими матричными элементами.
Методы исследования. В работе используются свойства сжимающих отображений в различных функциональных пространствах, свойства самоподобных функций и мер, методы спектральной теории операторных пучков в гильбертовых пространствах, вариационные методы, асимптотические методы, методы теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.
1. Дана конструкция самоподобных функций в пространствах Ьр[0,1], С[0,1]. Получен критерий сжимаемости оператора (1) в этих пространствах. Найдены условия, при которых самоподобная функция является непрерывной. Получены достаточные условия монотонности самоподобной функции положительного спектрального порядка. Для функций нулевого спектрального порядка (так называемых функций с вырожденным самоподобием) получены критерии монотонности и ограниченности вариации. Рассмотрены неаффинно-самоподобные функции.
2. Получены асимптотические формулы для считающей функции собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с самоподобным сингулярным индефинитным весом в случаях:
а) арифметического самоподобия;
б) неарифметического самоподобия;
в) вырожденного арифметического самоподобия;
г) дискретного самоподобного веса (вырожденного самоподобия). В этом случае получены более тонкие результаты об асимптотическом поведении собственных значений: показано, что собственные значения можно разбить на серии, для каждой из которых получены асимптотические формулы.
3. Получены асимптотические формулы для считающей функции собственных значений самосопряжённого дифференциального оператора высокого порядка с дискретной самоподобной мерой.
4. Обнаружена связь между задачей Штурма-Лиувилля с двучленными дискретными самоподобными весами и оператором Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами. Исследованы спектральные свойства оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами. Рассмотрены матрицы Якоби, задающие самосопряжённый оператор как в гильбертовом пространстве, так и в пространстве Крейна.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы специалистами в области теории функций, теории самоподобных функций и мер, а также в спектральной теории операторов, теории малых уклонений случайных процессов.
Апробация диссертации. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:
• Научный семинар по операторным моделям в математической физике механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством профессоров А. Г. Костюченко, А А. Шкаликова, (2001— 2011гг.).
• Научный семинар по дифференциальным уравнениям кафедры теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством профессора В В Жукова (2006).
• Семинар им. В.И.Смирнова по математической физике Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова под руководством профессоров С.И.Репина, Н.Н.Уральцевой (2011).
• Научный семинар по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН В. А. Садовничего (2011).
• Научно-исследовательский семинар по теории функций под руководством академика РАН Б. С. Кашина, профессоров М. И. Дьяченко, Б. И. Голубева, член-корреспондента РАН, профессора С.В.Конягина (2012).
• Научный семинар РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора A. JI. Скубачевского (2012).
Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих научных конференциях:
• Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения», Воронеж, 2006, 2008.
• Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные вопросы», Воронеж, 2006.
• International Workshop on Krein Spaces, Берлин, 2006, 2007, 2008.
• Международная конференция «Спектральные задачи и их приложения», МГУ имени М.В.Ломоносова, Москва, 2009.
• 15-ая Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и смежные вопросы», Саратов, СГУ им. Н. Г. Чернышевского, 2010.
• Международная конференция «Дифференциальные вопросы и смежные вопросы» (г. Москва, 2001, 2004, 2007, 2010 гг.).
• Международная конференция, посвященная 100-летию академика С. М. Никольского (г. Москва, 2005).
• Ломоносовские Чтения в МГУ им. М.В.Ломоносова (2010г.).
• Международная конференция «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященная 105-летию академика С.М.Никольского (г. Москва, 2010).
• International Workshop on Operator Theory and Applications (Международная конференция по теории операторов и приложениям), IWOTA-
2010, г. Берлин, Германия.
• Международной конференция «Теория операторов и краевые задачи» (г. Орсе, Франция, 2011).
• Международной конференция «Спектральная теория операторов и её приложениям (г. Уфа, 2011).
• International Workshop on Operator Theory and Applications (Международная конференция по теории операторов и приложениям), IWOTA-
2011, г. Севилья, Испания.
Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах (из них 12 из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы. Текст диссертации изложен на 203 страницах. Список литературы содержит 114 наименований. В работе имеется 11 поясняющих иллюстраций и 3 таблицы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение. Во введении приводится краткий исторический обзор исследований, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.
Глава 1. В первой главе дана общая конструкция самоподобных функций в пространствах Lp{0,1], CÍO, 1], получены условия сжимаемости оператора подобия G в этих пространствах. Получены необходимые условия монотонности, ограниченности вариации самоподобных функций положительного спектрального порядка. Доказана непрерывная зависимость самоподобной функции от параметров самоподобия. Получены критерии ограниченности вариации, монотонности для самоподобных функций нулевого спектрального порядка.
Доказаны следующие утверждения.
Теорема 1 (1.1.1.). Оператор подобия Є (1) является сжимающим в Ьр[0,1] в том и только том случае, когда справедливы неравенства
п
]Га*|<4Г<1 (1<р<+оо), (2)
Л-=1
тах |4| <1 (р = +оо). (3)
Теорема 2 (1.1.2.). Если справедливо неравенство (2) (1 ^ р < +оо), или (3) (р = то существует и единственна функция
/ Є Ьр[0,1], удовлетворяющая уравнению (?(/) = /.
Функции, заданные условием б(/) = / с некоторым аффинным сжимающим оператором подобия С, будем называть аффинно-самоподобными или просто самоподобными. Числа {с/;;}, {4}, {е^} и к — 1, 2,... ,п будем называть параметрами самоподобия.
Теорема 3 (1.1.5.). Самоподобная функция, являющаяся неподвижной точкой сжимающего отображения, непрерывно зависит от параметров самоподобия, а именно, если Ск —> ёк, 4 —ё!к и /Зк —> ¡З'к, к = 1,2,..., п, то []/ - 5Іир[о,і] ->• 0.
Исследование свойств непрерывных самоподобных функций опирается на следующую лемму
Лемма 1 (1.2.1.). Значения /(ак + 0) и /(ак — 0) определяются следующим образом:
I. ек = 0, ек-і = О
До* + 0) = 4/(0) + рк\ Дак - 0) = 4-і/(1) + /3+
II. ек = 0, ек-і = 1
До* + 0) = 4/(0) + До* - 0) = 4-і/(0) +
III. ек = 1, ек-і = 1
/{ак + 0) = 4/(1) + Рк + ск; ¡(ак - 0) = 4-і/(0) +
IV. ек = 1, ек_і = 0
/(о* + 0) = 4/(1) + & + с*; Да* - 0) = 4-і/(1) + Рк-1 + Рк-ь
На основании леммы 1 определим следующие числа Л* := /К + 0) - /(а* - 0) =
Теорема 4 (1.2.1.). Сжимающий оператор подобия С? задает непрерывную функцию тогда и только тогда, когда выполнены два условия 1)
2) Все величины Нк = 0, к = 2,
, п.
Во многих приложениях представляют интерес самоподобные меры. Конструкция самоподобных функций является более общей. Неубывающие самоподобные функции с ограниченной вариацией порождают самоподобные меры.
Рассмотрим ограниченные самоподобные функции, нормированные условиями /(0) = 0, /(1) = 1. В этом случае /Зх = 0. Также удобно положить /Зп+1 = 1. Положим также ек = 1, к = 1,..., п.
Теорема 5 (1.3.1.). Чтобы самоподобная непрерывная слева ограниченная функция / была неубывающей, необходимо, чтобы для всех к = 1,2,..., п выполнялись условия
1) ск + йк> 0;
2) 0к <
Чтобы самоподобная непрерывная слева ограниченная функция / была неубывающей, достаточно, чтобы для всех к, = 1,2,... ,п выполнялись условия
1) ск ^ 0,<1к> 0;
2) (Зк < /Зк+1;
3) ск + (1к + /Зк < рк+1.
Теорема 6 (1.3.2.). Самоподобная непрерывная функция / с параметрами самоподобия {а^}, {ск}, {¿к}, {¡Зк}, удовлетворяющая условиям /(0) = 1, /(1) = 1, ск = 0 к = 1,2,...,п, имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда В ^ 1.
По непрерывной слева неубывающей функции /, имеющей ограниченную вариацию, определим меру fif следующим образом:
AV(M)) = /(b)-/(a).
Эти меры будут самоподобными в смысле работы27при условии невырожденного самоподобия, а именно, если функция f непрерывна.
В связи с этим рассмотрим следующую классификацию самоподобных функций.
Особое место среди самоподобных функций занимают функции, для которых существуют параметры самоподобия со следующими свойствами:
1. среди чисел dk, где к = 1,..., тг, не менее двух отличны от нуля;
2. среди чисел Рк, где к = 1 ,...,п, по меньшей мере одно отлично от нуля.
Такие самоподобные функции будут называться самоподобными функциями положительного спектрального порядка. Смысл условия (2) состоит в исключении тривиального случая / = 0.
Лемма 2 (1.4.1.). Пусть f —самоподобная функция, и пусть п, ak и dk, где к = 1,...,п, — её параметры самоподобия. Пусть при этом среди чисел dk не менее двух отличны от нуля. Тогда существует и единственно положительное решение D уравнения
¿KKI)D = 1. (5)
fc=i
При этом D < 1 (при условии, что f G Lv[0,1}).
Самоподобные по Хатчинсону меры ¡ij порождаются непрерывными функциями / положительного спектрального порядка.
Как будет показано во второй главе, решение D уравнения (5) представляет собой порядок асимптотики спектра задачи колебания струны с весом, являющимся обобщенной производной самоподобной функции положительного спектрального порядка.
Далее в первой главе изучаются самоподобные функции нулевого спектрального порядка.
Заметим, что если для всех к = 1,2,..., п выполнено Д = 0, то оператор подобия G имеет только тривиальную неподвижную точку / = 0, поэтому в дальнейшем будем предполагать, что выполнено условие
"Hutchinson J., Fractals and Self-similarity//Indiana University Math. J., 30 (1981), 713-741.
(В) среди чисел /Зк, где к = 1,... ,п, по меньшей мере одно отлично от
нуля.
Среди самоподобных функций, удовлетворяющих условию В, выделим следующие классы, для которых параметры самоподобия соответственно обладают свойствами:
(А)) <4 = 0 для всех к=1,...,щ
(£>1) среди чисел ¿к, где к = 1,..., п, ровно одно отлично от нуля;
(£)2) среди чисел ¿к, где к = 1,..., п, не менее двух отличны от нуля;
Для самоподобных функций класса А уравнение (5) имеет только тривиальное решение Б — 0. В связи с этим дадим следующее
Определение 1. Самоподобные функции класса будем называть самоподобными функциями нулевого спектрального порядка.
Получены следующие результаты, касающиеся свойств самоподобных функций нулевого спектрального порядка.
Теорема 7 (1.4.1.). Самоподобная функция нулевого спектрального порядка является кусочно-постоянной и принимает не более чем счётное число значений. Все точки разрыва являются точками разрыва 1-го рода, кроме, быть может, одной точки.
Точку, указанную в теореме 7, будем называть особой. В случае, когда Ч ~ 0, координаты этой точки можно вычислить по формуле
а1
* = ~~, (6) 1 - Ч К '
где к — номер того единственного преобразования подобия, для которого ¿к ф 0.
Для самоподобной функции нулевого спектрального порядка можно сформулировать критерий монотонности в терминах параметров самоподобия (случай е^ = 0).
Теорема 8 (1.4.3.). Самоподобная функция / е £>х является неубывающей тогда и только тогда, когда её параметры самоподобия удовлетворяют условиям:
1) дк > 0;
2) А 5 ... ^ /3^ < <1фх + /% < ¿фп + & < р-к+1... ^ (Зп при 1 < к < п.
При к = п условие 2) меняется на неравенства:
01 < . . . < Рп-1 ^ Рп-1 < 4- Д,-
77ри к = 1 условие 2) меняется на неравенства:
<1фп + & < Р2 < ■ ■ ■ < А,-
Чтобы функция / не возрастала, неравенства 2) надо поменять на противоположные.
В том случае, когда ег. = 1, координата особой точки х вычисляется по формуле
а г.
£ = (7)
Отметим, что в этом случае, независимо от значения к особая точка х не может совпасть с концами отрезка [0,1]. Формулы (6) и (7) можно объединить в одну:
В случае, когда е-к = 1, теорему 8 необходимо модифицировать.
Теорема 9 (1.5.1.). Самоподобная функция / Є Их, заданная таким оператором подобия, у которого Ок меняет ориентацию отрезка [а^,, является неубывающей тогда и только тогда, когда её пара-
метры самоподобия удовлетворяют условиям: 1) < 0;
2) Рі ^ Рг < • ■ • < ^ ¿кРп + Рк < ¿фх + Р-к ^ ■ ■ ■ < Рп при 1 < к < п.
При к = п условие 2) примет вид: /Зі ^ /Зг ^ • ■ • ^ Рп-1 ^ Рп и
Рп-х < ¿пРп + Аг-
При к = 1 условие 2) примет вид: /Зі ^ /Зг ^ .. ■ ^ /Зп-і ^ Рп и
¿х/Зі+Рі < /32-
С самоподобной неубывающей непрерывной слева функцией /, имеющей ограниченную вариацию, также можно связать меру
мм) - т - по-
Так как такая мера не является самоподобной по Хатчинсону, будем говорить, что они обладают вырожденным самоподобием.
Для спектральных задач полезна также другая классификация самоподобных функций.
Определение 2. Пусть функция / е Ь2[0,1] такова, что для неё найдутся такие параметры самоподобия, что при некотором и > О будет, справедливо условие
Уке{1,...,п}31кеП Ы<4|)-Ы4|-е-^) = о. (9)
Тогда такой набор параметров самоподобия будет называться арифметически самоподобным, а сама функция / — арифметически самоподобной. Если для некоторых параметров самоподобия число V является максимальным среди чисел V со свойством (9), то такое число V будет называться шагом самоподобия функции / (или точнее, шагом самоподобия параметров самоподобия функции /).
Функция / 6 1>2[0,1], для которой найдутся такие параметры самоподобия, что при любом V > О условие (9) будет нарушено, будет называться неарифметически самоподобной функцией, а её параметры самоподобия — неарифметическими.
В силу того, что линейные функции одновременно являются арифметически и неарифметически самоподобными, корректнее говорить об арифметичности или неарифметичности именно параметров самоподобия функции.
Арифметически самоподобные функции, в свою очередь, можно разделить на два класса, согласно следующему
Определение 3. Пусть / 6 Ь2[0,1] — арифметически самоподобная функция с шагом и, имеющая положительный спектральный порядок Б. Пусть при этом найдётся номер к ^ п, для которого выполнено одно из следующих условий:
• Справедливо неравенство <4 > О, и отношение
1пК Ш) ^
нечётно.
• Справедливо неравенство ¿к < 0, и отношение (10) четно.
В этом случае функция f называется арифметически невырожденной самоподобной функцией.
Определение 4. Пусть / е Ь2[0,1] - арифметически самоподобная функция с шагом и, имеющая положительный спектральный порядок Б. Пусть при этом справедливы следующие условия
о
• Обобщённая производная /' € И^Ч0» 1] функции / отлична от нуля.
• Для любого номера к ^ п со свойством йк > 0 отношение
Ца^ 141)
V
является чётным.
• Для любого номера к < п со свойством (4 < О отношение (11) является нечётным.
Тогда функция / называется арифметически вырожденной самоподобной функцией.
Глава 2. В этой главе получены асимптотические формулы считающей функции собственных значений для задачи Штурма-Лиувилля с самоподобным сингулярным весом. А именно, рассматривается задача
-у" - Ару = 0, (12)
2/(0) = 2/(1) — 0> г (13)
О
где р есть функция из пространства ТУ21[0,1], имеющая самоподобную первообразную Р е ¿2(0,1].
Через 3[у,г\, где у 6 # и 2 € будет обозначаться полуторалиней-ная форма, являющаяся продолжением по непрерывности формы
1
Уу € Ь2[0,1] Чг € Я 3[у, г] = J угйх.
о
Как несложно проверить, любой функции Р 6 Ь2[0,1] можно поставить в соответствие однозначно определённую функцию р е Я со свойством
VI/3[р,у} = -I Ру><1х.
Такая функция р будет называться производной от функции Р. Легко проследить связь введённого определения с известным в теории обобщённых функций понятием обобщённой производной.
В соответствии с мультипликаторной трактовкой задач Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами (см., например, 28), выберем в качестве операторной модели для задачи (12), (13) линейный пучок Тр : f) —> Sj' ограниченных операторов, удовлетворяющий тождеству
і
VA eCWy,zeSj 3[Тр(Х)у, z} = j y4'dx-\- 3[p, yz]. (14)
o
В случае, когда вес р представляет собой производную функции Р є ¿2 [0,1], последнее тождество переписывается в виде
1
VA є С Vy,zef> 3{Tp(\)y,z} = J{y'¿ + \P-(y'z + y¿)}dx. (15)
о
Несложно убедиться, что в регулярном случае р Є С[0,1] уравнение ТР{\)у = 0 эквивалентно задаче (12), (13), понимаемой обычным образом. Очевидна также справедливость тождества
Vj/ЄЯ 3[Tp(0)y,y} = \\y\\l. (16)
Теорема 10 (2.1.1.). Спектр пучка Тр чисто дискретен, и все его собственные значения являются простыми.
Все собственные значения пучка Тр, расположенные правее нуля, имеют положительный тип, а все собственные значения пучка Тр, расположенные левее нуля, имеют отрицательный тип. Для любого А > 0 число собственных значений пучка Тр, принадлежащих интервалу (О, А), совпадает с индексом инерции іікіТДА) оператора Тр(А). Аналогично, для любого А < 0 число собственных значений пучка Тр, принадлежащих интервалу (А, 0), совпадает с индексом инерции indT/3(A) оператора Тр(А).
Определим считающие функции собственных значений задачи (12), (13)
N±(X) := #{А„ | 0 < ±An ^ А}.
В случае арифметического самоподобия функции Р (р = Р') справедлива следующая теорема.
28 А. М.Савчук, А. А.,Шкаликов, Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями/ /Труды Моск. матем. общества, 64, 2003, 159-212.
Теорема 11 (2.2.2.). Пусть Р Є L2[0,1] - арифметически самоподобная функция с шагом и, имеющая положительный спектральный порядок D. Пусть при этом найдётся номер k ^ п, для которого выполнено одно из следующих условий:
• Справедливо неравенство dk > 0, и отношение
ln(afc \dk\) ^
v
нечётно.
• Справедливо неравенство dk <0, и отношение (17) четно. Тогда для пучка (15) справедливы следующие утверждения.
1. Существуют такие непрерывные на Ж. неотрицательные I-периодические функции s±, что при А ±оо справедливы асимптотические представления
N±{\) = |Л|° +"(!))■ (18)
2. Если при некоторых i,j Є {1,.. •, n} имеют место неравенства di < О, dj > О, то справедливо тождество
Vi Є М s+(t) = s-{t). (19)
3. Если для некоторой функции у Є Sj имеет место неравенство
\У?\ > т0 Функция s+ положительна и отделена от нуля. Аналогично, если для некоторой функции у Є Sj имеет место неравенство 3[р, \у\2] < 0, то функция S- положительна и отделена от нуля.
Теорема 12 (2.3.2.). Пусть Р Є Ь2[0,1] - неарифметически самоподобная функция, имеющая положительный спектральный порядок
О
D. Пусть также р Є W¡:1 [0,1] — обобщённая производная функции Р. Тогда имеют место следующие факты:
1. существуют такие неотрицательные числа s±, что при А —> ±оо справедливы асимптотические представления
N±(\) = |A|D • (s± + о(1));
2. если при некотором г е {1,... ,п} имеет место неравенство с^ < О, то справедливо тождество =
о
3. если для некоторой функции у € IV 21 [О, 1] имеет место неравенство <р, М2> > о, то число я.)- положительно. Аналогично, если для неко-
о
торой функции у 6 IV1] имеет место неравенство (р, \у\2) < О, то число в- положительно.
Теорема 13 (2.4.2.). Пусть Р е Ь2[0,1] —арифметически самоподобная с шагом V функция, имеющая положительный спектральный порядок О. Пусть при этом справедливы следующие условия:
о
1. обобщённая производная р £ И^ГО, 1] функции Р отлична от нуля;
2. для любого номера к ^ гг со свойством с4 > 0 отношение
ь&М (20)
является чётным;
3. для любого номера к ^ п со свойством <4 < 0 отношение (20) является нечётным.
Тогда существует такая непрерывная положительная 2-периодическая функция в, что при А —» +оо справедливо асимптотическое представление
а при А —> —оо справедливо асимптотическое представление
В §2.5 задача 12, 13 рассматривается с дискретным самоподобным весом. В этом случае среди чисел {4} ровно одно отлично от нуля. Через т мы будем обозначать тот индекс, для которого выполнено неравенство 4/0.
Техника, развитая при исследовании спектральной задачи 12, 13 с весом, являющимся обобщённой производной самоподобной функции положительного порядка, оказалась неприменима для дискретных самоподобных весов.
Рассмотрим величины Сь где к = 2,... п, имеющие вид
{Рт - Рт-1 + ¿тР 1 ПРИ к = ГП, Рт+1 -0т~ ¿тРп ПРИ к = ТП + 1, Рк - Рк-1 иначе.
Обозначим также через Ъ± две величины
Ъ± :=#{/с € [2,гг] | ±й > 0}.
В случае дискретного самоподобного веса установлены следующие три утверждения.
Теорема 14 (2.5.1.). Пусть выполняются соотношения йт > 0, Ъ+ > 0 и Ъ+ + = п - 1. Тогда существуют вещественные числа щ > 0, где I = 1 для которых последовательность {А*}^
занумерованных в порядке возрастания положительных собственных значений задачи (12), (13) удовлетворяет при к -> оо асимптотикам
= № • {ат(1т)~к ■ (1 + о(1)).
Теорема 15 (2.5.2.). Пусть выполняются соотношения йт > О, > 0 и + г. = п - 1. Тогда существуют вещественные числа ¡11 > 0, где I = 1,... Ъ-, для которых последовательность {А-^}^ занумерованных в порядке убывания отрицательных собственных значений задачи (12), (13) удовлетворяет при к -» оо асимптотикам
А-(1+кг.) = ~т • {ат<1т)~к • (1 + о(1)).
Теорема 16 (2.5.3.). Пусть выполняются соотношения ¿т < 0 и Ъ+ + Ъ- =п— 1. Тогда существуют вещественные числа /ц > 0, где I = 1,... и — 1, для которых последовательность занумерованных
в порядке возрастания положительных собственных значений задачи (12), (13) удовлетворяет при к —> со асимптотикам
Аг+к(п-1) = № ' (аш\дт\У2к ■ (1 + о(1)),
а последовательность {\-к}Т=1 занумерованных в порядке убывания отрицательных собственных значений задачи (12), (13) удовлетворяет при к —>■ оо асимптотикам
А_(г+2,+Мп-1)) = ~т ■ {ат\(1т\у2к-1 ■ (1 +о(1)). 19
Глава 3. В этой главе исследуются спектральные свойства дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярным дискретным весом.
Точнее нас интересует асимптотическое поведение собственных значений следующий задачи
А Су = цу, (21)
где д — вероятностная самоподобная дискретная мера (или так называемая мера с вырожденным самоподобием, а С — самосопряжённый, положительно определённый оператор, порождаемый дифференциальным выражением
Су ЕЕ (-1)У*> + (рг_1У«-«) + . . . + РоУ с подходящими граничными условиями. Здесь Pi 6 Li(0,1) i =
Техника, развитая при исследовании задачи (12), (13) с дискретным самоподобным весом, не переносится напрямую на дифференциальные выражения высокого порядка. Это потребовало достаточно тонкой работы с различными подпространствами в области определения оператора С.
Обозначим через Sj энергетическое пространство оператора С:
i
S3 = w{{0,1); [у, 2/Ь = Qz(iЛ у) = j
о
Как и в §2.5, индекс m обозначает номер того единственного преобразования, для которого dm ф 0.
Определим в Sj подпространства
Sji — {У € Sj : y(t) = 0 при t Е [ат, ат+1], у(о*) = 0, к = 2,...,п}; := {у е Sj : y{t) = 0 при t £ [ccm, am+i]}.
Пусть теперь [71,72] — какой-нибудь отрезок, лежащий в интервале (am,am+1) и содержащий supp(/x)n (am,am+i). Можно, например, взять
7i = «m + amai+em(n-i)\ 72 = am+i - aman_em(n_!).
Нам понадобится подпространство Sj С Sj, состоящее из полиномиальных сплайнов порядка 2£ с п + 3 узлами а*, к — 1,..., п + 1, 71 и 72,
тождественно равных нулю на [71,72] и имеющих в узлах ат, ат+ь 71 и 72 непрерывные производные до порядка I — 1, а в остальных узлах — до порядка 2£ — 2. Легко видеть, что <іітіз = п — 1 + А, где
Д = 1{1 — 1) при тф\,п\ Д = £ — 1 при ш = 1 или т — п.
Несложно также проверить, что із = Ф (£>2 + із)-
Разложим в свокмэчередь пространство із в ортогональную сумму подпространств із = ІЗі © І)2> где
= {У Є^ : УК) =0, к = 2,... ,п}.
Легко видеть, что
сіітізі = А; сіітізг — п — 1. (22)
Квадратичная форма |у(і)|2(і/і(і) определяет на із компактный самосопряженный оператор Л, собственные числа которого, естественно,
совпадают с А*- .
Асимптотические формулы для собственных значений получены с помощью следующего блочно-операторного представления задачи (21).
Через В и С соответственно обозначим сужения оператора Л на подпространства І32 и І32 (очевидно, в силу свойств самоподобной меры /X, сужение этого оператора на І31 и Ьі тривиально). Тогда задача (21) при разложении пространства із = ІЗі Ф (І32 + (Ьі Ф ІЗ2)) представляется в матричном виде так:
(1 0
0 I
0 Гг \0
0
VI 1 о
0\
Ті
о
ч
(и\
х У
V/
/о о о о\
о в о о
0 0 0 0
\о о о с)
(и\
X
У
V/
(23)
ІЗг,
где и € 5э1, х € ^2, у € $)и г 6 а Р, — ортопроекторы #2 г = 1,2.
Отсюда следует, что асимптотику функции Nл(Л) можно получить, рассматривая задачу (21) только на пространстве У]2 + -$32В обозначениях главы 2 (§ 2.5) справедлива
Теорема 17 (З.2.1.). Для заданной вероятностной А1еры р. с вырожденным самоподобиел1 имеем
ЛМА)~(п-1)
НяУ
А -> +0,
(24)
где д =
сі ■ а21-1
> 1.
/о /3 0 0 ... 0 Л
7 ад 0 ... 0
0 79 ад2 Рд2 ... 0
0 0 0 7дп-1 адп /Здп 0
V- ...
Глава 4. В последней главе получены асимптотические формулы для собственных значений оператора Якоби, заданного трёхдиагональ-ной матрицей с экспоненциально растущими матричными элементами.
Исследуется задача на собственные значения трёхдиагональной яко-биевой матрицы вида
(25)
где д > 1.
Пусть функция Р является неподвижной точкой отображения Є, заданного формулой
С(Л(х) = А. Х[0,!-„)(*) + (V / + + /32) ■ Х(1-а,1]И, (26)
где /Зі, /?2 — произвольные действительные числа. Условие асі2 < 1 гарантирует сжимаемость оператора Є в Ь2 [0,1].
Определим ц = —. Из условия сжимаемости оператора <3 следует, что > 1.
Показано, что задача (12), (13) с весом р, являющимся обобщённой производной указанной функции Р, сводится к задаче вида
Ав — ХтВв,
рассматриваемой в пространстве последовательностей {5/ь}?(1і. таких,
ЕОО ]с — 1 9 «1'
й=1а < оо и удовлетворяющих условию
оо
(27)
к=1
Операторы А и В определяются матрицами
/1 О О
-1 1 О
0 -1
1
о о
о о о
0 0 0 0 1 -1 0
V
в =
/1
сI
сР
о
¿а с12а
¿к-1 ¿к-\а
\......
При этом положено
о
О
(¿а)2 ¿к~1а2
О О О
о о о
.Л
(йа
\к—1
г = (1-а){<1р1 + Р2-Р1-
Рассмотрим вещественное число V) ф 0. Обозначим пространство последовательностей {зд}^, удовлетворяющих условию
£
к= 1
и>к < СО,
через г2>ш- Скалярное произведение в этом пространстве определяется как {ук,ик)-ш ~ ¿¡^ и)к~1укик. Если го > 0, то пространство 12гильбертово, если IV < 0, то скалярное произведение индефинитно и, соответственно, пространство ¿2,ш является пространством Крейна.
Определим в пространстве оператор Ь, заданный матрицей АВ~ . Область определения оператора Ь задаётся соотношениями
00 1 2
+ + + <оо (28)
fc=2
Иш ^т = о.
п-юо ап
(29)
Если т > 0, то оператор Ь является самосопряжённым. При условии гю < 0, оператор Ь является /-самосопряжённым, где J = Р+ — Р~,
а операторы ортогонального проектирования Р+, Р_ определены в пространстве ¿2,і/<і следующим образом:
Р+:ек-^ек, к = 1,3,... ,2п - 1,.. Р+:ек->0, к = 2, 4,..., 2п,...;
О, А; = 1,3,..., 2п — 1,..., Р-:ек->ек, к = 2,4,...,2п,...пє№.
Теорема 18 (4.З.1.). Спектральная задача
Ав — \rEis
в пространстве последовательностей {зд:}^, таких, что < оо и удовлетворяющих условию (27) эквивалента задаче
Ьи = А ти
в пространстве її,і/й с условием (28), (29) на последовательность и = (их, 42,...), где и = Вв.
Матрица оператора Ь имеет вид (25), её элементы заданы соотношениями а = 1 + (ід = 1-І—, /3 = — 7 = —ск[ = —.
а а
Теорема 19 (4.З.2.). Пусть <1 > 0. Существует такое положительное число с, что для собственных значений оператора Ь, занумерованных в порядке возрастания, справедлива асимптотическая формула при к —^ оо
А* = сд*(1 + о(1)). (30)
Теорема 20 (4.З.З.). Пусть сі < 0. Тогда существует такое число с > 0, что для положительных собственных значений опера-
тора Ь, занумерованных в порядке возрастания, справедлива асимптотическая формула
\к+1 = сд2к(1+о(1)),
а для отрицательных собственных значений оператора Ь, за-
нумерованных в порядке возрастания, справедлива асимптотическая формула
^-(/=+1) = —сд2к+1(1 + о(1)).
В заключение автор выражает благодарность профессору Андрею
Андреевичу Шпаликову за полезные советы и постоянное внимание к
работе, профессору Александру Ильичу Назарову и Антону Алексеевичу Владимирову за полезные обсуждения.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
(Из официального перечня ВАК).
1. И. А. Шейпак, О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах Lp[0,1]//Матем. заметки, 81:6, 2007, 924938.
2. И. А. Шейпак, Особые точки самоподобной функции нулевого спектрального порядка. Самоподобная струна Стилтъеса, Матем. заметки, 88:2, 2010, N2, 303-316.
3. А.А.Владимиров, И.А.Шейпак, Самоподобные функции в пространстве Ь2[0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным весом// Матем. сборник, т.197(11), 2006, 13-30. (И. А. Шейпаку принадлежит параграф 3, пункт 5.1 §5, А.А.Владимирову принадлежат теоремы 2.1, 2.2 параграфа 2, §4 и пункт 5.2 §5).
4. А. А. Владимиров, И. А. Шейпак, Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова, т. 255, 2006, 88-98 (А. А. Владимирову принадлежат теорема 2.1, теорема 4.1, Шейпаку Игорю Анатольевичу принадлежат остальные результаты.).
5. И. А. Шейпак Нетривиальные фракталы на плоскости и линейные операторы с совместным спектральным радиусом единица//ЪК&теи. заметки, 1998, т.63, вып.5, с. 797-800.
6. Шейпак И. А., Спектральный анализ несимметрично-возмущенного течения Куэтта и связанные с ним вопросы гидродинамической устойчивости//Математические заметки, 1995, т. 57 вып. 2, 278-282.
7. А.А.Владимиров, И.А.Шейпак Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом/ /Матем. заметки, 2010, т. 88, вып. 5, 662-672. (И А. Шейпаку принадлежит параграф 2 и основная идея получения результатов §§3-4, А.А.Владимирову принадлежит теорема 4.1 §4).
8. Nazarov A. I., Sheipak I. A., Degenerate self-similar measures, spectral asymptotics and small ball deviations of gaussian processes//Bulletin of the London Mathematical Society, 44 (2012) 12— 24; (doi:10.1112/blms/bdr056). (И.А. Шейпаку принадлежит параграф 2 и часть доказательства теоремы 3.1 §3, А. И. Назарову принадлежат доказательство неравенств (3.10), (3.11) §3; параграфы 1, 4 и приложение).
9. И. А. Шейпак, О спектре оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами//Вестник МГУ, Серия 1. Математика. Механика (2011), N.6, 16-21.
10. Шейпак И. А., О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтря-ггша//Математические заметки, 1995, т. 57, вып. 6, 937-940.
11. Н.В.Гаганов, И.А.Шейпак, Критерий ограниченности вариации самоподобных функций// Сибирский математический журнал, Январь, февраль, 2012, т. 53, Л-1, 68-88. (И.А. Шейпаку принадлежат параграфы 1,2,3 и 5, Н. В. Гаганову принадлежит §4).
12. Шейпак И. А., О базисных свойствах системы собственных функций одной задачи гидродинамики//Математические заметки, 1995, т. 58, вып. 5, 790-794.
(Примыкающие к основным публикациям).
13. И. А. Шейпак Нетривиальные фракталы и операторы с совместным единичным спектральным радиусом//Успехи матем. наук, 1998, т.53, вып.4, 201.
14. Sheipak I. A., On the spectrum of some class of Jacobi operators in a Krein space//Operator Theory: Advances and Applications, 2012, Vol. 221, 619628, Springer Basel AG.
15. Шейпак И. А., К теории устойчивости движения жидкости в кольцевом канале в присутствии магнитного поля и связанные спектральные задачи// Фундаментальная и прикладная математика 2001, т. 7, вып. 2, 583-596.
16. Sheipak I. A., Fractal invariant sets and linear operators with joint spectral radius which is equal to one//Proceedings of VII Crimean Autumn
Mathematical School-Symposium on Spectral and evolutionary problems, Simferopol, Crimea, 1998, vol. 8, Taurida National V.Vernadsky University Publishers
17. И. А. Шейпак, Критерии ограниченности вариации самоподобных функций//Материалы 15-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложений», СГУ, 2010,188.
18. А. А. Владимиров, И. А. Шейпак О двух случаях самоподобия функций в пространстве Ь2\0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным индефинитным весом//Тезисы докладов Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С. М. Никольского, Москва, 2005, 70. (И. А.Шейпаку принадлежит основная идея построения самоподобных функций, лемма 1, лемма 2, А.А.Владимирову — теоремы 3 и
4)-
19. Sheipak I.A., Indefinite Sturm-Liouville operators with singular self-similar weights// Proceedings of б Workshop on Operator Theory in Krein Spaces and Differential Equations, Berlin, 2006, Technische Universität Berlin Publisher, 23.
20. Sheipak I.A., Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом// Proceedings of 7 Workshop on Operator Theory in Krein Spaces and Differential Equations, Berlin, Technische Universität Berlin Publishers, 2007, 19.
21. А. А. Владимиров, И. А. Шейпак О собственных частотах колебания струны с точечным распределением масс//Тезисы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященная 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского. Сборник тезисов, Москва, 2007, 331. (ИА.Шейпаку принадлежит основная идея доказательства теоремы 1).
22. И. А. Шейпак О спектре задачи Штурма-Лиувилля с дискретным индефинитным весом// Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач. Понтрягин-ские чтения XIX Воронеж, 2008, с. 63-64.
23. Sheipak I.A., On spectrum of operator Jacobi with exponentially increasing matrix elements //Proceedings of 8 Workshop on Operator Theory in Krein
Spaces and Differential Equations, Berlin, 2008 (международная конференция), Technische Universität Berlin Publishers, 2008, 22.
Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.
Подписано в печать 42. о9.20 <2, Формат 60x90 1/16. Объем 2,0 Заказ Тираж 120 экз.
Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ г. Москва, Ленинские горы.
Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета
1 Общая конструкция самоподобных функций в различных функциональных пространствах
1.1 Самоподобные функции в пространстве Ьр[0,1]
1.1.1 Операторы подобия в пространстве Ьр [0,1]
1.1.2 Неравенства, оценивающие нормы самоподобных функций / Є Ьр[0,1] через параметры самоподобия
1.1.3 Непрерывная зависимость неподвижной точки сжимающего отображения от параметров самоподобия.
1.2 Непрерывные самоподобные функции.
1.3 Связь самоподобных функций из Ьр[0,1] и самоподобных мер
1.3.1 Непрерывные самоподобные функции с неограниченной вариацией.
1.4 Типы самоподобия.
1.4.1 Самоподобные функции положительного спектрального порядка.
1.4.2 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка.
1.4.3 Спектральный порядок.
1.5 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка, задаваемые оператором подобия, меняющего ориентацию отрезка.
1.5.1 Формулы для приближений самоподобной функции
1.5.2 Координаты особой точки.
1.5.3 Условия неубывания функции в случае ск ~ 1.
1.6 Примеры.
1.6.1 Некоторые конкретные самоподобные функции.
1.6.2 Неаффинно самоподобные функции
1.7 Типы самоподобия самоподобных функций положительного спектрального параметра
2 Колебания струны с самоподобным сингулярным весом
2.1 Операторная модель задачи. Случай произвольного веса р Є И^О, 1].
2.2 Случай арифметического невырожденного самоподобия веса.
2.3 Случай неарифметического самоподобия веса
2.4 Случай вырожденного арифметического самоподобия веса.
2.4.1 Примеры.
2.5 Случай дискретного самоподобного веса
2.5.1 Самоподобные функции в 1/2[0,1] и их спектральные порядки.
2.5.2 Основные результаты.
2.5.3 Примеры.
3 Спектральные свойства дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярным дискретным весом
3.1 Самоподобная мера с вырожденным самоподобием
3.2 Спектральная задача для дифференциального оператора высшего порядка с дискретной самоподобной мерой.
4 Применение задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом к якобиевым матрицам
4.1 Введение.
4.2 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка.
4.3 Задача Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весом.
4.3.1 Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщённой производной функции нулевого спектрального порядка.
4.3.2 Индефинитный случай.
1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С .Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М., 1986.
2. Ахиезер Н. И., Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею// М., Физмат-гиз., 1961
3. Бирман М.С., Соломяк М.З., Асимптотика спектра слабо полярных интегральных операторов// Изв. АН СССР, матем., 34 (1970), N6, 1143-1158.
4. Бирман М.С., Соломяк М.З., Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве// Изд. ЛГУ, Л., 1980.
5. Бирман М.С., Соломяк М.З., Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории// Десятая математическая школа. Ю.А. Митропольский и А.Ф. Шестопал (Ред.), 1974. 5189.
6. Божокин С. В., Паршин Д. А., Фракталы и мультифрак-талы//КС Dynamics, Москва-Ижевск, 2001.
7. Борозов В. В., О количественных характеристиках сингулярной меры//Проблемы математической физики, т.4, Изд-во ЛГУ, 1970, 42-47.
8. Борозов В. В., О спектре сингулярной струны/ /Известия ВУЗов, т.7(170), 1976, 3-10.
9. Владимиров A.A., О вычислении собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с фрактальным индефинитным весом//Журнал выч. матем. и матем. физики, 2007, т. 47, вып. 8, 1350-1355.
10. А. А. Владимиров, И. А. Шейпак. Особенности условий Неймана в задаче Штурма-Лиувилля с сингулярным весом/ / Междунар. конф. «Дифф. уравнения и смежные вопросы», посвящённая 103-летию И. Г. Петровского. Сборник тезисов. М.: МГУ, 2004, 238-239.
11. Владимиров A.A., Шейпак И. А., Самоподобные функции в пространстве 1/2 0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным весом// Матем. сборник, т. 197(11), 2006, 13-30.
12. Владимиров A.A., Шейпак И. А., Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова, т.255, 2006, 88-98.
13. Владимиров A.A., Шейпак И. А., Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом/¡Математ. заметки, 2010, т. 88, вып. 5, 662-672.
14. Владимиров A.A., Шейпак И.А., Асимптотика собственных значений задачи высшего чётного порядка с дискретным самоподобным весом//Алгебра и анализ, т.24, №2, 2012, 104-119.
15. Владимиров A.A., Шейпак И. А., О задаче Неймана для уравнения Штурма-Лиувилля с самоподобным весом канторовского ти?ш//Функциональный анализ, 2012, (принято к печати).
16. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем/ /ГИТТJI, Москва, Ленинград, 1950.
17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом прострнастве и её приложения// М.: Наука, 1967. 508 с.
18. Дерфель Г. А., Вероятностные методы для одного класса функционально-разностных уравнений//Укр. матем. журн., 41:10 (1989), 1137-1141.
19. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, том 1, М., Мир, 1965.
20. Иврий В. Я., О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с краем//Функц. анализ и его прил., 14:2 (1980), 25—34.
21. Кац И. С., Крейн М. Г., О спектральных функциях струны. В кн.: Аткинсон Ф., Дискретные и непрерывные граничные задачи. М., 1968, 648-733.
22. Кожан Р. В., Асимптотика собственных значений двух-диагональных матриц Якоби//Матем. заметки, т.77, вып. 2, 2005, 313-316.
23. Крейн М.Г., Определение плотности неоднородной симметричной струны//ДАН СССР, 1951, т. 76, №3, 345348.
24. Крейн М.Г., Об обратных задачах для неоднородной струны//ДАН СССР, 1952, т. 82, №5, 669-672.
25. Крейн М.Г., Об одном обобщении исследований Стил-тъеш//ДАН СССР, 1952, т. 87, №6, 881-884.
26. Крейн М. Г., О некоторых случаях эффективного определения плотности неоднородной струны по её спектральной функции//ДАН СССР, 1953, т. 93, №4, 617-620.
27. Маркус A.C., Мацаев В. И., Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики/ /Труды ММО, т.45, 1982, 133-181.
28. Назаров А. И., О точной константе в асимптотике малых уклонений в Ь2~норме для некоторых гауссовских процессов// Нелин. задачи и теор. функ. (ПМА. Вып. 26). Новосибирск, Т. Рожковская. 2003. 179-214.
29. Назаров А. И., Логарифмическая асимптотика малых уклонений для некоторых гауссовских процессов в L^-норме относительно самоподобной меры//Записки науч. семинаров ПОМИ 311, 2004, 190-213.
30. Назаров А. И., Никитин Я. Ю., Логарифмическая асимптотика малых уклонений в Ь2~норме для некоторых дробных гауссовских процессов// Теор. Вер. Прим., 49 (2004), N4, 695-711.
31. Назаров А. И., Пусев P.C., Точная асимптотика малых уклонений в Ь2~норме с весом для некоторых гауссовских процессов// Вероятность и статистика. ЗНС ПОМИ, 364 (2009), 166-199.
32. Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы. 2 изд., Наука, 1969.
33. Натансон И. П., Теория функций вещественной перемьен-ной//М.: Наука, 1974.
34. Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов// Матем. заметки, 1999, т. 66, вып. 5, 723—733.
35. Никитин П. П., Хаусдорфова размерность гармонической меры на кривой де Рама//Зап. науч. семинара ПОМИ, 283 (2001), 206-223.
36. Протасов В.Ю., Фрактальные кривые и всплес-ки//Изв.РАН. Серия матем., 70:5 (2006), стр.105-145.
37. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу. М., 1979.
38. Розенблюм Г. В. Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов / / ДАН СССР, т. 202, № 5, 1972, 101-1015.
39. Савчук A.M., Шкаликов A.A., Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями/ /Труды Моск. матем. общества, 64, 2003, 159-212.
40. Савчук A.M., Шкаликов A.A., О свойствах отображений, связанных с обратной задачей Штурма-Лиувилля// Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, Т. 260, 2008, 227-247.
41. Савчук A.M., Шкаликов A.A., Метод отображений в обратных задачах Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, т. 261, 2008, 243-248.
42. Сытая Г. Н., О некоторых асимптотических представлениях гауссовской меры в гильбертовом пространстве// Теория случайных процессов, вып. 2 (1974), 93104.
43. Э. А. Тур Асимптотика собственных значений для одного класса матриц Якоби с предельным точечным спектром/ / Матем. заметки, т.73, вып.З, 2003, 449-462.
44. Федер Е., Фракталы//М.\ Мир, 1991.
45. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, Т. 2. М., 1967.
46. Шейпак И. А., Нетривиальные фракталы на плоскости и линейные операторы с совместным спектральным радиусом единица//Матем. заметки, 1998, т.63, вып.5, 797800.
47. Шейпак И. А., Нетривиальные фракталы и операторы с совместным единичным спектральным радиусом/ /Успехи матем. наук, 1998, т.53, вып.4, 201.
48. Шейпак И. А., О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах Ьр0,1]//Матем. заметки, 81:6, 2007, стр. 924-938.
49. Шейпак И. А., Особые точки самоподобной функции нулевого спектрального порядка. Самоподобная струна Стилтьеса// Матем. заметки, 88:2, 2010, 303-316.
50. Шейпак И. А., О спектре оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами//Вестник МГУ, Серия 1. Математика. Механика (2011), N.6, 16-21.
51. Шейпак И. А., Спектральный анализ несимметрично-возмущенного течения Куэтта и связанныес ним вопросы гидродинамической устойчивости/ /Математические заметки, 1995, т. 57 вып. 2, 278-282.
52. Шейпак И. А., О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина//Математические заметки, 1995, т. 57, вып. 6, 937-940.
53. Шейпак И. А., О базисных свойствах системы собственных функций одной задачи гидродинамики/ /Математические заметки, 1995, т. 58, вып. 5, 790-794.
54. Шейпак И. А., К теории устойчивости движения жидкости в кольцевом канале в присутствии магнитного поля и связанные спектральные задачи// Фундаментальная и прикладная математика 2001, т. 7, вып. 2, 583-596.
55. Шкаликов А. А., Как определить оператор Орра-Зоммерфельда?// Вестник МГУ. серия Математика. Механика, вып.4, 1998, 36-43.
56. Atkinson F. V., Mingarelli А. В., Asymptotic of the number of zeros and of the eigenvalues of general weighted Sturm-Liouville problems// J. reine und angew. Math., 1987. 375, pp. 380-393.
57. Barnsley M., Fractals everywere//Academic Press, 1988.
58. Berry M. V. Distribution of modes in fractal resonators, structural stability in physics (W. Giittinger and
59. Daubechies I., Lagarias J., Two scale difference equations. I. Local regularity, infinite products of matrices and fractals//SIAM. J. Anal., 23:4 (1992), pp. 1031-1079.
60. Dunker T., Lifshits M. A., Linde W., Small deviations of sums of independent variables// In: Proc. Conf. High Dimensional Probab., Ser. Progress in Probability, Birkhàuser, 43 (1998), 59-74.
61. Fatou P.,Sur les solutions uniformes de certaines équations fonctionnelle, C.R.Acad. Sci. Paris, 1906, 143, 546-548.
62. Fatou P.,Sur les équations fonctionnelles, Bull. Soc. math. France, 1919, 47, 161-271; 1920, 48, 33-94: 208-314.
63. Fatou P.,Sur l'itération des fonctions transcendantes entières, Acta Math., 1926, 47, 337-370.
64. K. Falconer Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications //Wiley, 2003.
65. U. Freiberg Analytical properties of measure geometric Krein-Feller operators on the real line//Math. Nachr., 260, 2003, 34-47, DOI 10.1002/mana.200310102.
66. U. Freiberg, J.-U. Lôbus Zeroesof eigenfunctions of a class of generalized second order differential operators on the Cantor setMath. Nachr., 265, 2004, 3-14, DOI 10.1002/mana.200310133.
67. U. Freiberg Prilfer angle methods in spectral analysis of Krein-Feller-operators / / Research Institute for Mathematical Science, Kyoto Iniversity, 2006, 1-15.
68. U. Freiberg Refinement of the spectral asymptotics of generalized Krein Feller operators//Forum Mathematicum, 23, 2011, 427-445, DOI 10.1515/Form.2011.017.
69. Fujita T., A fractional dimension, self-similarity and a generalized diffusion operator// Taniguchi Symp. PMMP. Katata, 1985, 83-90.
70. Gao F., Hannig J., Lee T.-Y., Torcaso F., Laplace transforms via Hadamard factorization with applications to small ball probabilities//El. J. Probab. 8(13) (2003), 1-20.
71. Gao F., Hannig J., Lee T.-Y., Torcaso F., Exact L?-small balls of Gaussian processes// J. of Theor. Prob., 17 (2004), 503-520.
72. Hutchinson J., Fractals and Self-similarity//Indiana University Math. J., 30, 1981, 713-741.
73. Julia G., Memoire sur iteration des fonctions rationelles//J. Math. Pure Appl., 8, 1918, 47-245.
74. Kigami J. Lapidus M.L., WeyVs problem for the spectral distributions of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals// Comm. Math. Phys. 158, 1993, 93—125.
75. Lancaster P., Shkalikov A., Qiang Ye. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space//Integr. Equat. Oper. Th., 1993, V. 17, 338-360.
76. Lapidus M.L., Fractal drum, inverse spectral problems for elliptic operators and a partial resolution of the Weyl-Berry conjecture//Trans. Amer.Math.Soc., 325, 1991, 465-529.
77. Lau K.-S., Wang J., Characterization of Lp-solutions for two-scale dilation equations//SIAM. J. Math. Anal., 26:4, (1995), 1018-1046.
78. Levitin M., Vassiliev D., Spectral asymptotics, renewal theorem, and the Berry conjecture for a class of fractals//Proc. Lond. Math. Soc., 72(1996), 188-214.
79. Li W. V., Comparison results for the lower tail of Gaussian seminorms// J. Theor. Probab., 5 (1992), 1-31.
80. Lifshits M. A., Asymptotic behavior of small ball probabilities// Probab. Theory and Math. Stat., 1999.B.Grigelionis et al. (Eds), Proc. VII International Vilnius Conference (1998), VSP/TEV, 453-468.
81. Li W. V., Shao Q. M., Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities and applications// Stochastic Processes: Theory and Methods. Handbook of Statistics, 19 (2001),C.R.Rao and D.Shanbhag (Eds), 533-597.
82. Mandelbrot B. B., How long is the coast of Britain? Statistical self- similarity and fractional dimension//Science. 1967, 155, 636-638.
83. Mandelbrot B. B., The fractal geometry of nature//Freeman, San Francisco, 1982.
84. Mingarelli A. B., Characterizing degenerate Sturm-Liouville problems// Electronic Journal of Differenial Equations, 2004, No. 130, 1-8.
85. Minkowski H., Verhandlungen des /////Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, Berlin, 1904.
86. Molchanov S., Vainberg B., On spectral asymptotics for domain with fractal boundariesCommun. Math. Phys. 183, 1997, 85-117.
87. Nazarov A. I. , Exact L2~Small Ball Asymptotics of Gaussian Processes and the Spectrum of Boundary-Value Problems// J. Theor. Probab. 22 (2009), N3, 640-665.
88. Nazarov A. I., Log-level comparison principle for small ball probabilities// Stat. & Prob. Letters, 79, 2009, N4, 481-486.
89. Nazarov A. I., Nikitin Ya.Yu., Exact L2~small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral asymptotics of boundary value problems// Probab. Theory and Rel. Fields, 129, 2004, 469-494.
90. Nazarov A. I., Sheipak I.A., Degenerate self-similar measures, spectral asymptotics and small ball deviations of gaussian processes//Bulletin of the London Mathematical Society, 44, 2012, 12-24. (doi: 10.1112/blms/bdr056).
91. Pham The Lai, Meilleures estimations asymtotiques des restes de la fonction spectrale et des valeur propres relatifs au laplacien/ZMath. Scand., 48, 1981, 5-38.
92. Protasov V., Refinement equations with nonnegatwe coefficientsZ/J. Fourier Anal. Appl., 6:1, 2000, 55-78.
93. De Rham G., Une peu de mathématique à propos d'une courbe plane Z Z Rev. de math, elemetaires, 2:4,5, 1947, 73-76, 89-97.
94. De Rham G., Sur une courbe plane// J. Math. Pures Appl. (9), 35 (1956), 25-42.
95. De Rham G., Sur les courbes limités de polygones obtenus par trisection Z/Enseign. Math., (2), 5 (1959), 29-43.
96. Salem R., On Some Singular Monotone Functions which Are Strictly Increasing//Trans. Amer. Math. Soc. 53, 1943, 427-439.
97. Seeley R. T., A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of R//Adv. in Math. 102, 1980, 244-269.
98. Sierpinski W., Sur une courbe dont tout point est un point de ramification Z Z Comptes Rendus (Paris). 1915, 160, 302.
99. Sierpinski W., Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnee//Comptes Rendus (Paris). 1916, 162, 629.
100. Sierpinski W., Oeuvres choisies//Ed. S.Hartman et al. Warsaw: Editions scientifiques, 1974.
101. Sheipak I.A., On the spectrum of some class of Jacobi operators in a Krein space//Operator Theory: Advances and Applications, 2012, Vol. 221, 619-628, Springer Basel AG.
102. Solomyak M., Verbitsky E., On a spectral problem related to self-similar measures//Bull. London Math. Soc., 27, 1995, 242-248.
103. Striliartz R. S., Self-similar measures and their Fourier transform, /// Indiana University Math.J., 39, 1990, 797817.
104. Triebel H., Fractals and Spectra//Series: Modern Birkha"user Classics, 1997, VIII, 271 p.
105. Uno T., Hong I., Some consideration of asymptoticdistribution of eigenvalues for the equation d?u-—- + Xpu = 0//Japan Journal of Mathematics, 29, dx1959, 152-164.
106. H. Weyl, Das asymptotische Verteilung sg es et z der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen / / Math. Arm.71, 1912, 441-479.114. http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/smalldev/
