Структурные теоремы в теории самоподобных фракталов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На пы ^писи

Тетенов Андрей Викторович

СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИИ САМОПОДОБНЫХ ФРАКТАЛОВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 7 ЯН В 2011

Новосибирск - 2010

4842935

Работа выполнена на кафедре математического анализа Горно-Алтайского государственного университета Научный консультант:

Защита состоится 20 января 2011 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики имени С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад.Коптюга, 4, ауд. 417.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 3 декабря 2010 г.

доктор физико-математических наук, профессор Асеев Владислав Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Берестовский Валерий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент Коробков Михаил Вячеславович, доктор физико-математических наук, профессор Ландо Сергей Константинович

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

1 Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена ключевым аспектам в структурной теории самоподобных множеств.

Актуальность проблемы.

Бурное развитие в последние десятилетия фрактальной геометрии и фрактального анализа, выявившее роль этих разделов математики как одного из главных факторов ее роста на рубеже 20 и 21 веков, продиктовано логикой развития математики и имеет целый ряд причин, которые уместно перечислить.

С одной стороны, идея внутреннего подобия объектов прослеживается в истории научной и философской мысли человечества с древнейших времен. С другой - это развитие было вызвано новыми требованиями к математическому инструментарию, возникшими в разных сферах приложения математики. Наконец, важнейшим фактором развития фрактальной геометрии и анализа является то, что их возникновение и рост проистекали из естественных закономерностей развития математического анализа и его непосредственных нужд.

Первые предпосылки изучения самоподобных объектов были заложены в 17 веке основателем математического анализа Г. В. Ф. Лейбницем (1646—1716). Но математическому анализу предстояло двухвековое развитие, прежде чем эти предпосылки реализовались в виде первых нетривиальных конструкций.

Более века те задачи и методы, которые рассматривались математическим анализом, исходили из предположения о гладкости и непрерывности рассматриваемых объектов. Аппарат и основные конструкции анализа разрабатывались в рамках представлений о гладкости и континуальности, а изолированные нарушения последних хотя и допускались, но воспринимались как помехи, вносящие дополнительные технические трудности. С течением времени вопрос о включении в рассмотрение и об исследовании объектов, не являющихся гладкими и непрерывными, стал все чаще возникать в разных разделах анализа; сначала это были отдельные примеры, затем на повестку дня встал вопрос об исследовании некоторых классов таких нестандартных объектов; впоследствии обозначилось, что как правило, граница области применимости суще-

ствующих методов анализа пролегает в области объектов, обладающих некоторой общностью свойств, и эти же свойства адекватно отвечают запросам приложений; пока, наконец, не стало ясно, что область применения методов анализа может и должна быть распространена на более широкий диапазон объектов, не являющихся гладкими, но обладающих некоторой регулярной структурой, более общей, чем гладкая.

В 1829 году Дирихле, рассматривая сходимость тригонометрических рядов, строит пример всюду разрывной функции. В 1831-34 годах первые попытки построить нигде не дифференцируемые непрерывные функции делает В. Вольцано (1781- 1848). Первый полностью обоснованный пример нигде не дифференцируемой функции был построен в 1872 г. Вейерштрассом (1815-1897). Этот пример считается первой конструкцией нетривиальной фрактальной кривой в истории математики.

В 1884 году в своем письме в журнал Acta Mathematica Г. Кантор строит совершенное нигде не плотное подмножество прямой, равномощ-ное отрезку и предлагает конструкцию монотонной непрерывной непостоянной функции на отрезке [0,1], производная которой почти всюду равна нулю.

Другим важным с точки зрения развития фрактальной геометрии событием этого периода является создание в 1880-84 гг. А. Пуанкаре, Ф. Клейном, Л. Фуксом и М. Кёбе теории клейновых групп, предельные множества которых являются мебиусово самоподобными множествами.

В 1904 году Хельге фон Кох строит непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной из своих точек. Эта конструкция, в отличие от функции Вейерштрасса, носит чисто геометрический характер. В 1905 году Э. Чезаро указывает на ее самоподобие.

В феврале 1915 года В. Серпинский публикует свою заметку о кривой, каждая из точек которой есть ее точка ветвления. В ней впервые появляется один из важнейших объектов фрактальной геометрии — треугольник Серпинского. В статье приведен способ построения этого множества, как предела последовательности ломаных, каждая из которых получается из предыдущей заменой каждого ее звена на уменьшенную копию первой ломаной в последовательности.

В 1914 году К. Каратеодори вводит понятие внешней меры и на ос-

нове своей конструкции определяет ^-мерную меру подмножества в п-мерном пространстве. Основываясь на работе Каратеодори, в 1918 году Ф. Хаусдорф определяет меру с нецелым показателем и дробную размерность и доказывает, что хаусдорфова размерность капторова множества равна к^32.

На эти же годы (1918 - 1922) приходится создание теории итераций аналитических преобразований в работах Г. Жюлиа, П. Фату и — независимо от них — Дж. Ригта.

Крупнейший вклад в исследование множеств, имеющих дробную размерность, был сделан А. С. Везиковичем. В его серии работ 1926 - 1939 гг. им был построен тонкий и нетривиальный аппарат для исследования геометрических свойств множеств дробной хаусдорфовой размерности и иррегулярных множеств целой размерности.

В 1938 году П. Леви публикует исследование свойств самоподобных кривых. Он показывает, что построение кривой Коха может быть обобщено и рассматривает кривые, состоящие из п подобных частей; во второй части своей работы он строит примеры симметричных кривых на плоскости, имеющих размерность 2 и являющихся первыми примерами тайлов, т.е. самоподобных множеств, которыми можно замостить всю плоскость.

В 1935 году X. Уитни строит пример неспрямляемой кривой у, множество особых точек которой есть канторово множество на плоскости, и вещественной функции /(х,у) класса С1, непостоянной на 7 и такой, что все ее частные производные обращаются в нуль на 7. Замечательно, что кривая 7, как будет показано в гл.2, является аттрактором граф-ориентированной системы, которую мы назовем мультициппером. Но еще более знаменательпо, что исследование примеров таких функций привело к выявлению в 1986 г. А.Нортоном в работе [14] взаимосвязи между хаусдорфовой размерностью критического множества 7 функции / в Л" и гельдеровым классом т + а гладкости этой функции, гарантирующей постоянство функции / на множестве 7.

Осознание того, что изучение фрактальных объектов является цельной областью математических исследований, имеющих широкий спектр приложений, пришло на заре эпохи компьютерных вычислений, с появ-

лением, начиная с 1967 года, работ Б. Мандельброта.

Четкая математическая основа для построения и исследования самоподобных множеств была задана основополагающей работой Дж. Хатчинсона [7] "Фракталы и самоподобие"(1981), за которой последовал ряд работ, в которых формулировались ключевые методы и конструкции теории. В 1988 году Р. Маулдин к С. Уильяме [13] ввели понятие граф-ориентированной системы, существенно расширив подход, предложенный Дж. Хатчинсоном.

Одним из важнейших вопросов теории самоподобных множеств, служащим побудительным стимулом многих работ и по сей день, является вопрос о вычислении хаусдорфовой размерности самоподобного множества. Основой таких вычислений служило сформулированное Дж. Хатчинсоном условие открытого множества (OSC), обеспечивающее совпадение размерности подобия и размерности Хаусдорфа. В работе К. Банд-та [1] это условие заменялось алгебраическим условием, требующим, чтобы замыкание ассоциированного семейства подобий ÎF = G'1 • G не содержало И. В дальнейшем это привело к полученному М. Цернером [19] слабому условию отделимости Id 4- G"1 ■ G \ {Id}, являющемуся основным критерием положительности хаусдорфовой меры и вычислимости хаусдорфовой размерности.

Потребности приложений продиктовали развитие таких направлений исследований, как исследование случайных процессов на фракталах [4],[2], анализ на фракталах, разрабатываемый Дж. Кигами [8], исследование дифференциальных операторов и дифференциальных уравнений на фракталах ( Р. Стричартц)[18], изучение топологических пространств, моделируемых фракталами — фрактафолдов (А. Тепляев), построение геометрической теории интегрирования, позволяющая доказывать основные формулы интегрирования для широкого класса объектов, включающего фракталы (Дж. Харрисон)[б]. В цикле работ С. Пономарева [15,16] исследовались интегралы типа Коши на семействе кривых Коха, имеющие приложение к краевым задачам математической физики. Р. Григор-чуком [5] разработана теория самоподобных групп. Важной областью исследований является теория самоаффинных замощений — тайлов и муль-титайлов, отраженная в многочисленных работах К. Бандта. И. Вон-

га, и др. В работах М.В. Коробкова исследованы случаи, когда множества значений производных дифференцирумых функций имеют фрактальную структуру (см. [10] для случая дифференцируемой (негладкой) вектор-функции одной переменпой и [11] для случая вещественпозпач-ной С1-гладкой фупкции двух переменных).

Цель работы.

Получение топологических аналогов самоподобных структур, как инвариантных множеств полугрупп действующих на компактах или полных метрических пространствах. Получение структурных теорем и теорем жесткости для самоподобных жордановых континуумов. Нахождение хаусдорфовой размерности и хаусдорфовой меры множества крайних точек самоподобного множества. Доказательство теорем конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств.

Методы исследования. В диссертации используются топологические и геометрические методы, обычно применяемые в теории самоподобных мпожеств. При построении топологических аналогов самоподобных структур используются методы общей топологии и теории гиперпространств. Исследование самоподобных жордановых дуг опирается на методы, воервые примененные К. Бандтом и основанные на анализе свойств ассоциированного семейства полугруппы сжимающих подобий. Исследование выпуклых оболочек самоподобных множеств опирается на методы выпуклого анализа и дискретных динамических систем.

Основные результаты работы.

Первая группа результатов относится к определению самоподобных структур на компактных топологических пространствах, описанию мор-физмов этих структур а также основных свойств топологических самоподобных структур.

Напомпим, что классическое определение самоподобных фракталов формулируется в терминах сжимающих отображений для полных метрических пространств, а основная теорема существования — теорема Хатчинсона - справедлива для полных метрических пространств.

В диссертации, для общего случая хаусдорфовых топологических пространств, введен новый класс действующих на этих пространствах полугрупп непрерывных инъективных отображений или полугрупп, удо-

влетворякяцих условию (Р). Эти полугруппы являются аналогом полугрупп сжимающих отображений в полных метрических пространствах, но определяются условиями не требующими ни метризуемости, ни полноты.

С помощью этого класса полугрупп определяется понятие самопо-добяой структуры на компактном топологическом пространстве. Такое определение близко к определению Дж. Кигами [8], но, как показано в первой главе диссертации, имеет по сравнению с последним ряд преимуществ.

Для систем отображений из указанных полугрупп, удовлетворяющих условию (Р), доказан аналог теоремы Хатчинсона, справедливый для произвольных хаусдорфовых топологических пространств.

Изучено действие операторов Хатчинсона в гипсрпрострапстве и доказана теорема о полугруппах, порожденных операторами Хатчинсона, описывающая многообразия случайных фракталов, или фрактальные расслоения, как аттракторы таких полугрупп.

Вторая группа результатов связана с построением и исследованием конструкций циппера и мультициппера, идея которых восходит к работам X. Коха [9] и П. Леви [12]. Получены условия представимости самоподобного континуума в виде аттрактора циппера и мультициппера. Получены критерии жордановости аттрактора циппера и ограниченности искривления аттрактора жорданова циппера. Доказана теорема о существовании линейной параметризации циппера и мультициппера и о гельдеровости такой параметризации. Доказана теорема об условиях ограниченности искривления аттрактора, пз которой следует формула для хаусдорфовой размерности аттрактора.

Третья группа результатов относится к исследованию самоподобных жордановых континуумов. Доказана теорема о жесткости самоподобных жордановых дуг. Согласно этой теореме, всякая отличная от прямолинейного отрезка жорданова самоподобная дуга является компонентой аттрактора самоподобного мультициппера. Из этой теоремы следует, что если такая дуга имеет ограниченное искривление, то она удовлетворяет сильному условию открытого множества, что дает алгоритм вычисления хаусдорфовой размерности самоподобной жордановой дуги. Доказа-

на теорема о жесткости самоподобных одномерных структур, не удовлетворяющих слабому условию отделимости.

Четвертая группа результатов относится к исследованию выпуклых оболочек самоподобпых множеств. Получено описание динамики действия обратного оператора Хатчинсона на границе выпуклой оболочки самоподобного множества. Доказана теорема о равенстве нулю хаусдо-фовой размерности множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобных множеств на плоскости, удовлетворяющих условию открытого выпуклого множества. Доказана теорема конечности для выпуклых оболочек самоподобпых множеств в банаховых пространствах, указывающая условия, при которых такая оболочка является конечным полиэдром. Доказана теорема о том, что лебегова одномерная мера множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости равна нулю.

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

Все основные результаты диссертации являются новыми, снабжены доказательствами и своевременно опубликованы. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития как фрактальной геометрии, так и взаимодействующих с ней областей математики: теории квазиконформных отображений, теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений и в естественнонаучных приложениях, опирающихся на модели фрактального анализа.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях:

"Математические проблемы в механике сплошных сред" (г.Новосибирск 1999, 2000).

6-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS-2002 (June 24-30, 2002), Novosibirsk.

Школа-конференция по геометрии и анализу, посвященная памяти А. Д. Александрова, Новосибирск, Академгородок, 9-20 сентября 2002г.

Международная конференция "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященная 100-летию Л. В. Келдыш, (24-28 августа 2004 г.), Москва.

Международная конференция "Геометрия и топология трехмерных многообразий", Новосибирск, 23-28 августа 2005 г.

Всероссийская научная конференция "Математика. Механика. Информатика." Челябинский государственный университет. Математический факультет. 19-22 сентября 2006 г.

Конференция, посвященная 50-летию Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева, 17-23 сентября 2007 г., Новосибирск.

Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений," посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева, 5-12 октября 2008, Новосибирск.

Международная конференция "Современные проблемы анализа и геометрии," 14-20 сентября 2009, Новосибирск.

Международный математический конгресс 1СМ-2010, Хайдарабад, Индия.

Результаты диссертация доложены' также на семинарах :

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика В. Н. Монахова , чл.-корр. РАН П. И. Плотникова (2004, 2005),

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева А. В. (2006).

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, отдела отделом геометрии и анализа под руководством акад. Ю.Г.Решетняка (2006).

Семинар кафедры дифференциальной геометрии и топологии МГУ под рук-вом акад. А. Т. Фоменко (2006).

Семинар по дифференциальной геометрии ИМ СО РАН под рук-вом И. А. Тайманова (2009).

Семинар по фрактальной геометрии в Институте математики и информатики Грайфсвальдского Университета (Германия) под рук-вом проф. К. Баддта (2009).

Семинар по фрактальной геометрии и стохастике Йенского Уиивер-

ситета (Германия) под рук-вом М. Залле и В. С. Матвеева (2009).

Семинар по топологии в Варвикском университете (Великобритания) под рук-вом К. Серяес (2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых па параграфы и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

Общий объем диссертации составляет 216 страниц машинописного текста, библиография содержит 139 наименований.

2 Содержание работы.

Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы. Во втором и третьем параграфах введения излагается ряд определений и вспомогательных утверждений, используемых в работе: вводится небходимое для определения граф-ориеитяровашгых самоподобвых структур понятие вектор-множества и псевдоцолугруппы, действующей на вектор-множестве.

Вектор-множеством X с множеством индексов V и компонентами Xv будем называть сумму семейства множеств {-X„;i> е V}. Отображением f : X —* Y вектор-множества X = {Xv,v £ V} в вектор-множество Y = {Yu, и & U} назовем семейство отображений {ip, {/vj^gv}, где ip есть отображение множества индексов V в U, а для каждого о € V, /„ есть отображение Х„ в Yv(vy Мы будем записывать ХсY, если VcU и для любого у 6 V выполняется включение XvcYv.

Пусть X — вектор-множество с компонентами Хи,и € V. Псевдополугруппой, действующей на вектор-множестве X, назовем семейство G, элементами которого являются тройки (g, и, v) (где и, v £ V, а g : Xv —» Хи — непрерывное отображение), удовлетворяющие условию: если (g, и, v), (h, v, w) € G, mo (g, u, v) ■ (h, v, w) = (g • h, u, w) 6 G.

Глава I посвящена изложению основных понятий теории самоподобных множеств. Излагаются основные теоремы о самоподобных множествах и строится топологическое понятие самоподобной структуры, ко-

торое рассматривается как в классической так и в граф-ориентированной постановке.

В §1.1 дается классическое определение самоподобного множества, оператора Хатчинсона, индексного пространства Iе0 как универсального самоподобного множества и индексной параметризации -к : 1°° —> К самоподобного множества (пп.1.1.1 и 1.1.2).

Исходя из этого, в пункте 1.1.3 вводится определение самоподобной структуры на метрическом компакте:

Определение 1.1.8. Говорят что на компактном метрическом пространстве К задана самоподобпая структура, если на К действует конечно порожденная полугруппа G инъективпых сжимающих отображений, такая что G(K) — К.

Оно служит отправной точкой для топологического определения самоподобных структур.

Для этого вводится топологический аналог полугрупп сжимающих отображений.

Определение 1.1.9. Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство, a G — полугруппа непрерывных отображений g : X —► X. Говорят, что G удовлетворяет условию (Р), если существует такое подмножество РсХ, что

1. для любого g € G, g(P)cP

2. для любой последовательности gi,gi,.. € G последовательность подмножеств gi ■ ■... ■ gn{P) сходится к одноточечному множеству.

3. для любого компакта КСХ существует такое т, что для любой последовательности д\,дг,.. € G подмножество gi ■ <?2 • -■• ■ Ят{К) содержится в множестве Р.

Конечно порожденные полугруппы сжимающих отображений в полных метрических пространствах удовлетворяют условию (Р). С другой стороны, как доказывается в пункте 1.1.3, конечно порожденные полугруппы, удовлетворяющие условию (Р), обладают свойствами, аналогичными свойствам полугрупп сжимающих отображений в полных метрических пространствах: они не содержат единицы и взаимно обратных элементов и для них однозначно определен минимальный набор порождающих (Предложение 1.1.13).

В пупкте 1.4 доказывается аналог теоремы Хатчинсона для общего случая хаусдорфовых топологических пространств. В отличие от классической постановки, доказанная нами теорема не требует ни полноты, ни наличия метрики, ни компактности; тем не менее получаемое в теореме инвариантное множество оказывается компактным:

Теорема 1.1.17, Пусть X - хаусдорфово топологическое пространство. Пусть G - конечнопорожденная полугруппа инъективных непрерывных отображений g : X —» X с набором порождающих S — {Si, ...,Sm}, удовлетворяющая условию (Р).

Тогда оператор Т в пространстве С(Х) всех непустых компактов

m

в X, задаваемый равенством Т(А) = (J £¡(¿4), имеет единственную

¡=1

неподвижную точку К € С(Х), а для любого непустого компактного подмножества АсХ, последовательность Тп(А) сходится к топологическому пределу К.

При этом множество К есть единственное непустое компактное подмножество в X такое, что G(K) = К.

В пункте 1.1.4 приводятся нетривиальные примеры полугрупп в немет-ризуемых топологических пространствах, удовлетворяющих условию (Р). Инвариантные множества K(G), описываемые теоремой 1.1.17, мы называем топологически самоподобными множествами, а топологические самоподобные структуры определяются как пары (К, G):

Определение 1.1.11. Говорят, что на компактном топологическом пространстве К задана самоподобная структура, если на К действует обладающая свойством (Р) конечно порожденная полугруппа G непрерывных инъективных отображений g : К —> К такая, что G{K) = К.

В пункте 1.1.5 для топологических самоподобных множеств доказывается существование индексной параметризации и метризуемость таких множеств.

В пункте 1.1.7 определяются морфизмы самоподобных структур как согласованные пары отображений / : К\ —» К2, /* : G\ —» G2, рассматривается их классификация и примеры и свойства неприводимых самоподобных структур.

В пункте 1.1.8 доказывается, что каноническое продолжение S —> S

действия полугрупп, обладающих свойством (Р), в гиперпрострапство X = С(Х) приводит к полугруппам, также обладающим свойством (Р):

Теорема 1.1.28. Пусть X — компактное топологическое пространство, а б — конечно порожденная полугруппа непрерывных отображений д : X —* X с конечным набором порождающих § = {¿>1, удовлетворяющая условию (Р).

Тогда С = 6 6} является полугруппой непрерывных отображений в гиперпространстве X с набором порождающих § = {£1,..., 5т}, удовлетворяющей условию (Р). При этом инвариантным множеством

_ __т ^ _

оператора Т(А) — У является % — образ инвариантного мно-

•=1

жества К системы {Би..., относительно канонической инъекции <р:Х->Х.

Более того, конечные наборы операторов Хатчинсона также порождают действующие в пространстве С(Х) полугруппы, обладающие свойством (Р).

Теорема 1.1.37. Пусть X — колтактное топологическое пространство, а <3 — полугруппа преобразований пространства X, удовлетворяющая условию (Р). Пусть 7 = {Г!,..., Тт} — конечный набор операторов Хатчинсона, подчиненных полугруппе <3. Тогда порожденная операторами Тг полугруппа Оу есть полугруппа непрерывных преобразований пространства X, удовлетворяющая условию (Р).

Инвариантные множества полугрупп, фигурирующих в Теореме 1.1.37, являются топологическим аналогом суперфракталов Барнсли и Хатчинсона [3] и обладают структурой фрактального расслоения в пространстве С{Х) х X (п.1.9.4).

В §1.2 вводится более широкий класс самоподобных структур — граф-ориентированные самоподобные структуры. Для таких структур формулируются и доказываются основные положения, полученные в параграфе 1.1 для одновершинного случая, то есть, для обычных самоподобных структур.

Мы исходим из определения граф-ориентированных систем итерированных функций, впервые введенных Маулдином и Вильямсом (см.[13]):

Пусть Г = ([V., Е) — ориентированный мулътиграф с множеством вершин V и множеством ребер Е. Пусть для каждого и, V е V, Еи„ С

Е обозначает множество ребер, идущих из и в V.

Для каждого и & V возьмем метрическое пространство Хи. Для каждого е 6 Еи„ зададим инъективное отображение 5е : ЛТ„ —> Хи, с константой Липшица де = 1лр(5е) :

Путем а в графе Г будем называть такое слово а = е^е^.-.е^, где е; € Е, что для любого г = 1 ,...,к — 1, = а^е^). Для пути а = е]е2 . •. ек будем записывать = ■ ■... ■ и д«, = Глр^).

Потребуем, чтобы для любого циклического пути а в (3 выполнялось неравенство 0 < qa < 1.

Определенное таким образом семейство Б = е £ Е} назовем граф-ориентированной системой с образующим графом Г.

Рассматривая набор пространств Хи, и 6 V как вектор-множество X, а отображения е 6 Е - как порождающие псевдополугруппы (3, действующей на X, мы приходим к следующему определению аттрактора системы §:

Пусть Г = (V, Е) — ориентированный мультиграф, а 8 — граф-ориентированная система с образующим графом Г. Вектор-множество К = {К„, V е К}, удовлетворяющее равенству

к» = и и ^к•)-

называется аттрактором или инвариантным множеством системы §, а Ки — компонентами аттрактора.

Оператор Хатчинсона Т : Сг —» Сг для граф-ориентированной системы Б задается формулой

па), = и и

Мы формулируем свойство (Р) для псевдополугрупп, действующих па хаусдорфовых топологических вектор-множествах:

Определение 1.2.12. Пусть X —топологическое вектор-множество, а й — конечно порожденная псевдополугруппа непрерывных отображений д : Хи —> Х„. Говорят, что С? обладает свойством (Р), если существует такое вектор-множество РсХ, что:

1. для любого д ё : Хи! выполняется включение д(Р„)<^Ри

2.для любой допустимой последовательности 51,52, •• £ С последовательность подмножеств д\-дг-...■ дп{Ри(дп)) сходится к одноточечному множеству {х},х е

3. для любого компактного вектор-множества. КсХ существует такое т., что для любой допустимой последовательности 51,52, •• £ С подмножество 51 • 52 •... • 5т(Лш(А„)) содержится в множестве Ра(д1).

Для этого случая мы также доказываем аналог теоремы Хатчинсона: Теорема 1.2.19. Пусть X — хаусдорфово топологическое вектор-множество. Пусть в — конечнопорожденная псевдополугруппа инпек-тивных непрерывных отображений д : X,, —> Хи с набором порождающих 8 = {Бе,е £ Е}, удовлетворяющая условию (Р).

Тогда оператор Т : С г —► Сг, который определяется равенством Т(А)и = У 5е(А„) имеет единственную неподвижную точку К 6

Сг, и для любого компактного АСХ, последовательность Т"(А) сходится к топологическому пределу К.

При этом множество К есть единственное компактное вектор-множество в X такое, что С (К) = К.

Далее мы получаем граф-ориентированную версию теоремы о связности компонент аттрактора, принадлежащей Кигами [8]:

Теорема 1.2.25. Пусть X — хаусдорфово топологическое вектор-множество. Пусть С7 — конечно порожденная псевдополугрупппа, удовлетворяющая условию (Р) и действующая на X. Пусть & — система порождающих псевдополугруппы С, а К — ее аттрактор. Следующие условия эквивалентны:

1. Каждая из компонент Ки аттрактора связна.

2. Каждая из компонент Ки аттрактора линейно связна.

3. Для любого и е V и для любых х, у 6 Ки существуют такие отображения 51,52, —,дп 6 С?цПс>, что х е К91! у е К9п, и для любого г < п,

При выполнении любого из этих условий множества Ки локально связны и локально линейно связны.

В §1.3 рассматриваются свойства граф-ориентированных систем, компоненты аттрактора которых — жордановы дуги. Доказывается Предложение 1.3.2, из которого вытекает, что определение самоподобной жор-дановой дуги как дуги ■у, каждая точка которой обладает окрестностью, являющейся образом некоторой поддуги 7'С7 относительно некоторого сжимающего отображения, означает, что 7 является компонентой инва^ риантного множества граф-ориентированпой системы сжимающих отображений с жордановым аттрактором.

В §1.4 приводятся классические определения и теоремы, связанные с вычислением хаусдорфовой размерности аттрактора систем сжимающих подобий в К": условие открытого множества (ОЭС), слабое условие отделимости (\УБР), определение ассоциировашгого семейства подобий теорема Вандта-Графа об условиях положительности хаусдорфовой меры аттрактора.

Определение 1.4.4. Пусть 8 — система сжгьмающих подобий в пространстве Ш.т, а С? — порожденная этим семейством полугруппа. Ассоциированным семейством подобий З^Э) системы § называется множество {к*1 ■ д; д, к £ О, д ^

Определение 1.4.7. Пусть § — регулярная граф-ориентированная система сжимающих подобий в К" с образующим графом Г, множеством вершин V и множеством ребер Е. Для каждой из вершин и £ V рассмотрим, семейство подобий $ии = {¿'¿Г1^; сг, г 6 Е„и}. Будем говорить, что граф-ориентированная система § удовлетворяет слабому условию отделимости (^УБР), если для некоторого и £ V отображение Их„ является изолированной точкой в семействе

Глава II. Во второй главе рассматриваются конструкции циппера и мультициппера, задающие самоцодобцые структуры для широкого класса линейно связных континуумов.

Первым в истории примером применения такой конструкции служит построение кривой Коха, при котором каждый из отрезков ломаной за-

1 Здесь К3 = д(Ку), где V = ш(д).

меняется на уменьшенную копию всей ломаной.

Часть результатов главы формулируется в общем случае полугрупп, действующих в хаусдорфовом топологическом пространстве и удовлетворяющих условию (Р); остальные справедливы только для систем сжимающих подобий в евклидовом пространстве или на плоскости.

Определение 2.1.1. Пусть X - хаусдорфово топологическое пространство. Пусть G — конечнопорожденная полугруппа инъективных непрерывных отображений g : X —> X с набором порождающих S = {Si,..., Sm}, удовлетворяющая условию (Р). Систему S = {Si,..., Sm} отображений Si € G мы будем называть циппером с вершинами {Zq,..., Zm} и сигнатурой е = (е1,...,ет), если для набора точек {z0,...,zm} С X и вектора (ei, ...,ет) е {0,1}т, выполняются равенства Sj(zo) = и

Sj{zm) = Zj-ej при всех j е I.

Аттрактор всякого циппера линейно связен и локально линейно связен (Предложение 2.1.2.)

Простейшим и универсальным объектов в классе ципперов является линейный циппер, порожденный разбиением отрезка J = [0,1] на т частей. Морфизм самоподобных структур (/,/*) : (J,H) —» (K,G), где / : J —» К — непрерывная сюрьекция, а /*://—+ G — изоморфизм полугрупп, называется линейной параметризацией циппера. Следующая теорема показывает существование линейной параметризации, а в случае систем сжимающих отображений в полных метрических пространствах — ее непрерывность по Гёльдеру.

Предложение 2.1.3. Для любого циппера S = {Si,..., Sm} с вершинами {хо,...,хт} и сигнатурой (£i,...,em) в хаусдорфовом топологическом пространстве X и для любого набора точек 0 = f0 < ti < ... < tm = 1 на отрезке J = [0,1] С -ft1 существует единственное сюръектив-ное отображение <р : J —► K(S), при котором ip(U) = Xi и S; • tp = ip ■ Т4 для каждого г е {1,...,т}, где Ti(t) - ii_i(l - t) +Ut при st = 0 и Ti(t) = U-it + ti( 1 - t) при Si = 1.

При этом, если X — полное метрическое пространство, то отображение <р непрерывно по Гёльдеру.

Мы называем циппер S жордановым, если его аттрактор К — жор-данова дуга, а линейная параметризация задается гомеоморфизмом / :

3 —> К. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие жордановости ципнера

Теорема 2.1.5. Пусть Б — циппер с вершинами {хо, ..., хт } в хау-сдорфовом топологическом пространстве X, а К(§) — его аттрактор.

Любая линейная параметризация <р : [0,1] —♦ К(Б) аттрактора циппе-ра § является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда для любых г^ = 1,..., т множество А'Д§)ПА^(8) является 2 пустим при |г—] \ > 1 и одноточечным при |г — Л = 1.

При выполнении этих условий К(В) является жордановой дугой с концами в точках х0 и хп.

В случае, когда циппер § есть система подобий в евклидовом пространстве, мы формулируем условия, при которых хаусдорфова размерность его аттрактора равна размерности а подобия системы, задаваемой формулой Мораиа qf + ... + = 1.

Теорема 2.1.8. Если аттрактор К = АГ(8) самоподобного жордано-ва циппера Б в пространстве Я1' имеет ограниченное искривление, то система § удовлетворяет сильному условию открытого множества.

Следствие 2.1.9. Пусть аттрактор К — А"(§) самоподобного жор-данова циппера § в пространстве имеет ограниченное искривление, а а — его размерность подобия. Тогда сИтн(А) = а и О < Ма(К) < +оо.

Условия при котором циппер имеет ограниченное искривление, выражаются в терминах отношений расстояний между вершинами и сигнатуры этого циппера:

Теорема 2.1.13. Пусть Б = {5],..., £„} - самоподобный жорданов циппер на плоскости Я2 с вершинами г0, ...,г„. Если число

- 2р| - 1п|гп - 2р| 1п \гп - гп_1| - 1п {гп - 2о|

рационально, или если самоподобный жорданов циппер § па плоскости Л2 не имеет вершин первого типа,3 то его аттрактор К = является дугой с ограниченным искривлением.

2 Для всякого множества АсХ и индекса г или мультиндекса I = гг-гь, мы обозначаем Ai = 54(Л), A^ = = ¿'¡„.¿„(А).

3Вершипа хр (ре {1,..., п -1}) называется вершиной первого типа, если гр = £р+1 и £1 = £„ = 0.

Граф-ориентированный аналог конструкции циппера задается следующим образом:

Пусть X = {Хи,и £ V} — вектор-множество, все компоненты которого — хаусдорфовы топологические пространства. В каждом из пространств Хи зададим конечный набор точек где

Ши = #Еи\ ти > 2. Рассматривая множество V как множество вершин вновь образуемого ориентированного мулътиграфа Г = (V, Е), каждому из индексов к — 1,...,ти поставим в соответствие вершину V — и(и, к) е V, направленное ребро е = е(и, к) идущее из и в V и значение е(и,к), равное 0 или 1. С каждым из таких ребер свяжем инъективное непрерывное отображение Бе € переводящее точ-

ки е Х„ о точки £ Хи при е(и,к) = 0 и в точки

хк^>х*к-1 е при е(и,к) = 1. Полученную граф-ориентированную систему подобий % = {.5'е} назовем мультициппером с узловыми точками Д"' и сигнатурой ё = {{у(и, к),е(и, к)),и е V, к — 1, ...,ш„}.

Компоненты Ки,и е V всякого мультнциппера линейно связны и локально линейно связны. Мы называем линейным мультициппер £ = {Те,е е Е}, порожденный набором конечных разбиений 0 — < < — < = 1 единичных промежутков Зи,и е V. Всякий мультициппер обладает линейной параметризацией, непрерывной по Гельдеру в случае, когда Хи - полные метрические пространства.

Предложение 2.2.2. Пусть X = {Хи,и £ V} — вектор-множество, компоненты которого — хаусдорфовы топологические пространства.

Пусть 2 = {5е} — мультициппер с узловыми точками хи сигнатурой е = {{и(и,к),е(и,к)),и € У,к = 1,...,ти} на вектор-множестве X.

Для линейного мультициппера £ = {Те} с такой же сигнатурой с и при любом выборе узловых точек 0 = ^ < ¿1"' < ... < Ьт\ = 1 на отрезках Зи, существует единственное непрерывное сюргективное отображение / : 3 —> К(5), при котором для любой вершины и е V и любого индекса г е {1,...,ти} и задаваемого ими ребра е — е{и,г) выполняются соотношения

= х\и) и • /ы(е) = /а(е) • Те.

При этом, если все компоненты Хи вектор-множества, X — полные метрические пространства, а 5е — сжимающие отображения, то отображения /„ непрерывны по Гёльдеру.

В п.2.2 мы доказываем критерий жордановости компонент аттрактора мультициппера.

Теорема 2.2.4. Пусть 2, = {5£, с € Е} — мулыпициппер с узловыми точками хи сигнатурой ё ~ {(и(м, к), е(и, к)), и £ V, к — 1,..., ти] на вектор-множестве X, а К(%) — его аттрактор. Если для любого и 6 V и любых г= 1,..., ти множество П К^является пустым при |г — Л > 1 и одноточечным при |г — Л = I, то любая линейная параметризация / : J —» К{%) аттрактора этого мультициппера является гомеоморфизмом, а каждая из его компонент Ки является жордановой дугой с концами в точках х^ ^ и £'т1.

Как и в одновершинном случае, из ограниченности искривления компонент аттрактора мультициппера следует выполнение сильного условия открытого множества.

Теорема 2.2.6. Если аттрактор К = К(Х) самоподобного жор-данова мультициппера Ъ в пространстве имеет ограниченное искривление, то систелш Ъ удовлетворяет сильному условию открытого множества.

Условия при которых жорданов мультициппер имеет ограниченное искривление, выражаются следующей теоремой

Теорема 2.2.10. Пусть Ъ = (5е, с 6 Е} — самоподобный жорданов мультициппер в К2, а и £ V, 0 < г < т^ ~ его узловая точка. Пусть и (р+,<р+) — главные коэффициенты подобия дуг

и в точках (х^) и соответственно. Тогда

<£+ _ Ьр+

1п р_

Если для каждой из узловых точек х\и\и € V, 0 < г < ти число рационально, то каждая из компонент Ки аттрактора 2. — дуга

т р_

с ограниченным искривлением.

В параграфе 2.3 мы формулируем условия, при которых самоподобный континуум может быть представлен в виде аттрактора некоторого

мультициппера:

Определение 2.3.1. Пусть G, S - граф-ориентированная система подобий, а К ее аттрактор. Пусть А = (A„)ogi/, Av С Kv - вектор-множество. А называется субинвариантным, если для всякой пары вершин u,v £ V и для всякого ребра е £ Euv, S~1(AU) Л Kv С Av.

Определение 2.3.2. Пусть К = {Ки,и £ V} - аттрактор граф-ориентированной системы сжимающих отображений S. Пусть А = {Аи, и &V} — субинвариантное подмножество А С К. А-графом компоненты Ки назовем граф, вершины которого соответствуют подко-пиям {Se(Kw(e));a(e) = и} первого порядка в Ки, а ребра соединяют пару вершин лишь в том случае, когда пересечение соответствующих подкопий содержит точку из множества Д,.

Предложение 2.3.3. Пусть К = {Ки,и € V} — аттрактор граф-ориентированной системы S сжимающих подобий в R^, все компоненты которого являются континуумами. Пусть существует такое конечное субинвариантное множество А С К, что для любой компоненты Ки ее А—граф связен.

Тогда существует такой мультициппер Z, что (1) каждая из компонент аттрактора Z изометрична одному из множеств Ки,и £ V и (2) каждое из множеств Ки изометрично одной из компонент аттрактора Z. При этом каждое из подобий мультициппера Z совпадает с одним из подобий системы 8.

Глава III. Цель главы III — описание строения самоподобных жор-дановых дуг.

Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены исследованию этого вопроса для обычных (одновершинных) систем сжимающих подобий в Rn с жорда-новым аттрактором. В теореме 3.1.1. для жордановых дуг в требуется дополнительное условие существования линейной параметризации системы §:

Теорема 3.1.1. Пусть жорданова дуга 7 £ является аттрактором неприводимой системы S = (SL,...., Sm} сжимающих подобий в обладающей линейной параметризацией Пусть 9"(СГ) - ассоции-

рованное семейство системы Т.

Тогда имеет место одна из следующих возможностей.

1. Тождественное отображение Id не принадлежит замыканию ассоциированного семейства 3"(Т). Тогда система S (при надлежащем переупорядочении) является жордановым циппером.

2. Тождественное отображение Id является предельной точкой для семейства У(Т). Тогда дуга у есть отрезок прямой;

3. Тождественное отображение Id является изолированной точкой о семействе З'(Т).

Как показывается в параграфе 3.2, для жордаповых дуг на плоскости условие существования линейной параметризации можно опустить:

Теорема 3.2.1. Пусть жорданова дуга 7 G К2 является аттрактором неприводимой системы S = {5i,..., Sm} сжимающих подобий в R2. Пусть !?(§) - ассоциированное семейство системы S.

Тогда имеет место одна из следующих возможностей.

1. Тождественное отображение Id не принадлежит замыканию ассоциированного семейства 3^8). Тогда система S (при надлежащем переупорядочении) является жордановым циппером.

2. Тождественное отображение Id является предельной точкой для семейства З^З). Тогда дуга 7 есть отрезок прямой;

3. Тождественное отображение Id является изолированной точкой в семействе ^(S)

В каждой из предыдущих теорем доказательство опирается на тот факт, что если ассоциированное семейство подобий 5 = G~l ■ G системы S содержит стремящуюся к Id последовательность дп такую, что дуги 9п(у) и 7 имеют правильное пересечение (Определение 3.3.1), то 7 — отрезок прямой. Эта идея позволяет решить вопрос о строении самоподобных жордановых дуг в классе граф-ориентироваиных систем сжимающих подобий в Rd. В случае, когда самоподобная жорданова дуга пе является отрезком прямой, задающую ее граф-ориентированную систему можно заменить мультициппером, являющимся измельчением этой системы.

Теорема 3.3.4. Пусть S — регулярная граф-ориентированная система подобий в Кd с жордановым аттрактором у. Если компоненты уи аттрактора у не являются отрезками прямой, то существует мультициппер Z, множество компонент аттрактора которого содержит каждую из дуг 7„.

Заметим, что для жорданова мультициппера, аттрактор которого не является линейным, его линейная параметризация является изоморфизмом граф-ориентированных самоподобных структур, индуцированным отображением, которое не является подобием. В параграфе 3.4 доказывается, что при нарушении слабого условия отделимости всякий изоморфизм самоподобных структур на отрезке индуцируется линейным отображением одного отрезка на другой. Таким образом, в то время, как для линейных ципперов на отрезке [0,1] с т порождающими пространство всех деформаций их самоподобной структуры имеет размерность тп— 1, при нарушении слабого условия отделимости (ХУБР) это пространство является одноточечным. В этом состоит феномен жесткости самоподобных структур.

Теорема 3.4.1. Пусть самоподобные структуры (7, £(§)),(./, (?(Т)) на отрезке 7 = [0,1] задаются системами сжимающих подобий § = {¿>ь ..., 5т}, Т = {Г!,..., Тт}. Пусть у> : 3 —> 3 — гомеоморфизм, согласованный с отображениями системы § и Т — <£*(§). Если система Б не удовлетворяет условию ЪУБР, а 0) = 0, то (р(х) = х, а 8 = Т.

Глава 4 посвящена исследованию свойств выпуклых оболочек самоподобных множеств в евклидовых конечномерных и банаховых пространствах. Применение методов выпуклого анализа и выпуклой геометрии в фрактальной геометрии является многообещающим, но малоразра-ботанным направлением исследований. В диссертации рассматриваются вопросы конечности и оценки хаусдорфовой меры и размерности множества крайних точек выпуклых оболочек инвариантных множеств систем сжимающих подобий в евклидовых и банаховых пространствах.

В §4.1 доказывается, что выпуклая оболочка Н(К) аттрактора К системы § сжимающих подобий в банаховом пространстве X также является аттрактором некоторого сжимающего оператора Т в пространстве выпуклых подмножеств Conv(X), а обратное действие оператора Т на множестве ^ крайних точек множества Н(К) задает дискретную динамическую систему на Р. В параграфе 4.2 из свойств этой динамической системы выводится достаточное условие для того, чтобы выпуклая оболочка Н(К) аттрактора системы 8 сжимающих подобий в банаховом пространстве X являлась многогранником с конечным числом вершин.

Представляя всякое сжимающее подобие в банаховом пространстве как композицию = г(^)(х — Ь) + Ь, где 0 < г < 1, Ь — неподвижная точка подобия 5, а С} — унитарное преобразование банахова пространства X, мы накладываем условие па унитарные части С}а подобий составляющих псевдополугруппу С(§). Мы формулируем и доказываем эту теорему для общего случая граф-ориентарованных систем подобий; мы обозначаем символом Н(К) вектор-множество, компоненты Н(К)и которого суть выпуклые оболочки компонент Ки инвариантного множества К.

Теорема 4.2.7. Пусть X = {Хи,и 6 У} — вектор-множество, все компоненты Хи которого — попарно изоморфные банаховы пространства. Пусть 8 - регулярная граф-ориентированная система сжимающих подобий в X, а С?(8) - порожденная ей псевдополугруппа.

Если для некоторого и е V множество &ии = {(¡сг',^ 6 есть конечная полугруппато каждая из компонент множества Н(К) является конечным выпуклым многогранником.

Ь) Если ми для какого и £ V множество Сии не содержит Ых^, то множество F крайних точек не содержит вершин5 и никакая компонента Н(Ки) множества Н(К) не является конечным выпуклым многогранником .

В случае, когда множество крайних точек бесконечно, мы даем оценку меры и размерности множества крайних точек.

Для этого в параграфе 4.3 мы вводим условие открытого выпуклого множества (ОСБС).

Определение 4.3.1. Граф-ориентированная система 8 удовлетворяет условию открытого выпуклого множества (ОСБС), если существует открытое вектор-множество О = {Ои,и е V}, все компоненты которого выпуклы и удовлетворяют условиям (г) для любых «,»6У, и любого е 6 ЕиУ, С Ои

(И) для любых 6 V, ех £ Ет ие2 6 ЕиЬ2, 5е1(С1.1) П 5е2(б'„2) = 0.

Для систем сжимающих подобий на плоскости, удовлетворяющих это-

4это равносильно тому, что 6и„ - конечная группа.

5Гранвчная точка х выпуклого множества А называется вершиной, если пересечение всех опорных гиперплоскостей в точке х есть одноточечное множество.

му условию, мы доказываем, что число компонент пересечения пред-фрактала Тп(Н(К)) с краем множества Н(К) имеет полиномиальный рост. Для систем сжимающих подобий на плоскости, удовлетворяющих условию открытого выпуклого множества, это позволяет получить равенство нулю ящичной, а вместе с ней и хаусдорфовой, размерности множества F крайних точек выпуклого аттрактора И {К).

Теорема 4.3.7. Если граф-ориентированная система S удовлетворяет условию (OCSC), то хаусдорфова размерность множества F крайних точек выпуклой оболочки Н(К) аттрактора системы S равна нулю.

Хотя условие открытого выпуклого множества имеет естественный характер, оно достаточно ограничительно.

Избавляясь от этого условия, для произвольных систем § сжимающих подобий па плоскости, в §4.4 доказывается теорема о равенстве нулю одномерной хаусдорфовой меры для множества крайних точек F выпуклой оболочки Н(К).

В этом случае, пользуясь коммутативностью группы поворотов на плоскости, также удается получить разбиение множества F на части, число которых растет как полином от п, а диаметры убывают как qn. Это и дает равенство нулю одномерной меры Хаусдорфа множества F.

Теорема 4.4.2. Пусть S = {Si,..., Sm} - система сжимающих подобий в R2, о II(К) - выпуклая оболочка ее аттрактора. Тогда одномерная хаусдорфова мера 3{l(F) множества F крайних точек множества Н(К) равна нулю, а для любого положительного А либо JiA(F) = О, либо ?CA(F) = оо.

Автор выражает благодарность В.В.Асееву за помощь и многочисленные плодотворные обсуждения.

Список литературы

[1] С. Bandt, S. Graf. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive HausdorfT measure. // Proc. Amer. Math. Soc., 1992, 114, No 4, P.995-1001.

[2] С. Bandt, S. Graf, and M. Zahle. Fractal Geometry and Stochastlcs. Birkhauser. 1995

[3] M. F. Barnsley. Superfractals, Cambridge University Press, 2006.

[4] K. J. Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. J. Wiley and Sons, New York, 1990.

[5] L. Bartholdi, R. I. Grigorchuk, V. V. Nekrashevych. From fractal groups to fractal sets// Arxiv.org preprint math.GR/0202001, 2002

[6] J. Harrison, Lectures on chainlet geometry - new topological methods in geometric measure theory// http://arxiv.org/abs/math-ph/0505063

[7] J. Hutchinson : Fractals and self-similarity. // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30, No 5„ P. 713-747.

|8] J. Kigami, Analysis on fractals. Cambridge Tracts in Mathematics 143, Cambridge University Press, 2001.

¡9] H. von Koch. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire. //Archiv for Matemat., Astron. och itys. 1904. 1, P. 681-702.

[10] M. В. Коробков. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сиб. матем. журнал. 2000. Т. 41, № 1. С. 118-133.

[11] М. В. Коробков. Пример С1-гладкой функции, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касательной ни в одной точке // Сиб. матем. журнал. 2008. Т. 49, № 1. С. 134-144.

[12] P. Levy. Les courbes planes ou gauches et les surfaces composees de parties semblables au tout. // J. Ecole Polytechn., III. Ser. 1938. V.144, P. 227-247 et 249-291.

[13] R. D. Mauldin, S. C. Williams. Hausdorff dimension in graph directed constructions.// Trans. Amer. Math. Soc. 1988, 309, P. 811-829.

[14] A. Norton. A critical set with nonnull image has large Hausdorff dimension.// Trans. Amer. Math. Soc. 1986. 296, No.l, P. 367-376.

[15] С. П. Пономарев. О некоторых свойствах кривых Ван Коха.// Сиб. матем. журнал. 2007. Т. 48, N. 6. С. 1305-1321.

[16] С. П. Пономарев. "О логарифмическом потенциале, определяемом кривой Ван Коха.// Сиб. матем. журнал. 2009. Т. 50, N. 5. С.1137— 1147.

[17] A. Schief. Separation properties for self-similar sets. // Proc. Amer. Math. Soc., 1994, 112, No 1, pp.111-115.

[18] R. Strichartz. Differential equations on fractals: a tutorial. Princeton University Press, 2006.

[19] M. P. W. Zerner. Weak separation properties for self-similar sets.// Proc. Amer. Math. Soc. 1996, 124, N. 11, P.3529-3539.

Работы автора по теме диссертации

[20] А. В. Тетенов. Хауедорфова размерность множества крайних точек самоподобных множеств на плоскости. // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 53-59.

[21] В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. С. Кравченко. О самоподобных жорда-новых кривых на плоскости// Сиб. матем. журнал. 2003, Т.44, N.3, С.481-492.

[22] А. В. Тетенов. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий.// Сиб. матем. журнал. 2006. Т. 47, N. 5. С.1147-1153.

[23] Б. Н. Апанасов, А. В. Тетенов. Деформации гиперболических структур и квазифуксовы группы, порожденные отражениями. // Доклады РАН, 2006, Т.409, N.2, С. 583-585.

[24] А. В. Тетенов. On the rigidity of one-dimensional systems of contraction similitudes.// Сибирские электронные математические известия. 2006. Т.З, С.342-345.

[25] В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. О квазиконформном продолжении с семейства плоских областей специального вида. //Доклады РАН, 2003, Т.389, N.6, С.727-729

[26] В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Обобщенные углы и оценки их обратного искажения при квазимероморфных отображениях. //Доклады РАН, 2004, т.395, N.3, стр.295-298.

[27] В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Мебиусово-инвариантные метрики и обобщенные углы в птолемеевых пространствах.// Сиб. матем. журнал. 2005, Т. 46, N. 2, С. 243-263.

[28] В. В. Асеев, А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах, допускающих структурную параметризацию.// Сиб. матем. журнал. 2005. Т. 46, N. 4, С. 733-748.

[29] А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных датах на плоскости.// Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. т.7, N.3, С. 148-155.

[30] В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. П. Максимова. Обобщенная метрика Помпейю в проблеме изометрии гиперпространств.// Математические заметки. 2005. Т. 78, вып. 2, С. 163-170.

[31] А. В. Тетенов, И. Б. Давыдкия. О выпуклых оболочках самоподобных множеств. // Вестник Новосибирского государственного университета Серия «Математика, механика, информатика». 2005. Т. V. Вып. 2. С. 21-27

[32] И. Б. Давыдкин, О. Пуревдорж, А. В. Тетенов. Достаточные условия выпуклости самоподобных множеств //Сб. пауч. раб. каф. мат. анализа ГАГУ. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2009. С. 26-31.

[33] О. Purevdorj, А. V. Tetenov. A self-similar continuum which is not the attractor of any zipper.// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 510-513.

[34] A. V. Tetenov. On the length of the set of extreme points for self-similar sets in R2-// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 542-545.

Тетенов Андрей Викторович

Структурные теоремы в теории самоподобных фракталов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать ормат 60*84 1/16.

Усл.печ. л.-1,9. Заказ №.§|бтираж 120 экз.

РИО Горно-Алтайского госуниверситета 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д.1.

Отпечатано полиграфическим отделом Горно-Алтайского госуниверситета 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д.1.

Введение

§1. Общая характеристика работы.

1°. Актуальность проблемы.

2°. Цель работы.

3°. Научная новизна.

§2. Определения и обозначения.

1°. Компактные пространства.

2°. Сжимающие отображения.

3°. Вектор-множества и псевдополугруппы.

§3. Сжимающие подобия вК^.

1°. Осевые подпространства.,.

2°. Локсодромы, порожденные подобиями в Кт.

Глава 1. Общие вопросы теории самоподобных множеств.

§1. Самоподобные множества.

1°. Инвариантные множества систем сжимающих отображений.

2°. Шифт-пространство и индексная параметризация аттрактора.

3°. Самоподобные структуры — метрические и топологические.

4°. Теорема Хатчинсона для топологических самоподобных структур.

5°. Метризуемость топологически самоподобных множеств.

6°. Пример, показывающий существенность условия (Р).

7°. Морфизмы самоподобных структур.

8°. Самоподобные множества в гиперпространстве.

9°. Самоподобные множества в X, порожденные операторами Хатчинсона.

§2. Граф-ориентированные системы.

Io. Постановка вопроса.

2°. Ориентированные графы.

3°. Граф-ориептированные системы сжимающих отображений.

4°. Каноническая граф-ориентированная система графа Г.

5°. Индексная параметризация К.

6°. Самоподобные структуры на вектор-множествах и граф-ориентированные системы.

7°. Морфизмы граф-ориентированных самоподобных структур. . 90 8°. Связность компонент аттрактора граф-ориентированной системы.

§3. Системы с жордановыми аттракторами.

Io. Системы с жордановыми аттракторами.

2°. Линейная параметризация.

§4. Хаусдорфова размерность аттрактора.

Io. Размерность подобия.

2°. Условие открытого множества.

3°. Ассоциированное семейство. Слабое условие отделимости.

Глава 2. Ципперы и мультиципперы.

§1. Ципперы.

Io. Линейная параметризация.

2°. Жордановы ципперы с ограниченным искривлением.

3°. Теоремы об искривлении самоподобных жордановых цшшеров. . 126 4°. Существование самоподобных множеств, не представимых в виде аттрактора циппера.

§2. Мультиципперы.

Io. Определение мультициппера.

2°. Жордановы мультиципперы с ограниченным искривлением.

§3. Представление континуумов мультиципперами.

Глава 3. Теоремы о строении самоподобных жордановых дуг.

§1. Жесткость самоподобных жордановых дуг, обладающих линейной параметризацией.

1°. Вспомогательные утверждения.

2°. Построение £-сети и доказательство теоремы 3.1.

3°. Пример, реализующий случай (3) Теоремы 3.1.1.

§2. Самоподобные жордаиовы дуги на плоскости.

1°. Леммы о плоских жордановых дугах.

2°. Доказательство основных утверждений.

§3. Представление жордановых дуг в виде аттракторов мультиципперов.

1°. Леммы о накоплении поддуг.

2°. Разбиение на элементарные подцуги.

3°. Доказательство Теоремы 3.3.1.

§4. Теорема о жесткости одномерных самоподобных структур.

Глава 4. Выпуклые оболочки самоподобных множеств.

§1. Выпуклый аттрактор системы подобий.

1°. Выпуклые оболочки.

2°. Выпуклый оператор Хатчинсона.

§2. Множество крайних точек.

1°. Множество крайних точек и его субинвариантность.

§3. Условие открытого выпуклого множества и равенство нулю Хаусдорфовой размерности множества крайних точек.

1°. Условие открытого выпуклого множества (OCSC) и его следствия

2°. Оценки числа граничных компонент.

3°. Теорема о размерности множества крайних точек.

§4. Равенство нулю одномерной меры Лебега множества крайних точек.

1°. Лемма о разбиении.

2°. Теорема об одномерной мере множества крайних точек.

1. Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена ключевым аспектам в структурной теории самонодоб-ных множеств.

1.1°. Актуальность проблемы. Бурное развитие в последние десятилетия фрактальной геометрии и фрактального анализа, выявившее роль этих разделов математики как одного из главных факторов ее роста на рубеже 20 и 21 веков, продиктовано логикой развития математики и имеет целый ряд причин, которые уместно перечислить.

С одной стороны, среди стимулов развития этой области математики мы видим глубинные течения философской и эстетической мысли. С другой - это развитие было вызвано новыми требованиями к математическому инструментарию, возникшими в разных сферах приложения математики. Наконец, важнейшим фактором развития фрактальной геометрии и анализа является то, что их возникновение и рост проистекали из естественных закономерностей развития математического анализа и его непосредственных нужд.

Идея внутреннего подобия объектов прослеживается в истории научной и философской мысли человечества с древнейших времен, восходя к античным и древнеегипетским источникам. Принцип подобия мы находим в герметических формулах: "Микрокосм подобен макрокосму" и "Как наверху, так и внизу" , — выражающих представление о подобии разных уровней и масштабов Вселенной.

Канон гармонических пропорций основывается на золотом сечении, при котором целое представляется как сумма двух частей, соотношение между которыми равно отношению между целым и большей из этих двух частей. Создатели лучших творений классического искусства — живописи, скульптуры и архитектуры

- опирались на этот принцип.

В многочисленных произведениях мировой литературы — художественных и научных, мы встречаем мысли о подобии малых атомов — планетным и звездным системам, микроскопических существ с их жизнью - окружающим нас существам, уподобления больших периодов времени для планеты — малым промежуткам времени в человеческой жизни.

Таким образом, изучение самоподобных объектов, помимо интеллектуальных стимулов, имеет также мощные эмоциональные и эстетические составляющие, влиянием которых на развитие этой области нельзя пренебрегать.

При всей распространенности идей самоподобия в мировой культуре, математическое ее воплощение до 19 столетия сводилось лишь к однородным объектам.

Первые предпосылки изучения самоподобных объектов были заложены в 17 веке основателем математического анализа Г. В. Ф. Лейбницем (1646 - 1716) . При построении основ математического анализа Лейбниц исходил из развиваемых им фундаментальных философских принципов. В работе "О первичной материи " (1670) Лейбниц писал о бесконечной делимости и бесконечной вложенности материи. В своей "Монадологии" (1714) Лейбниц представлял мир состоящим из монад, каждая из которых, в свою очередь, отражает весь мир. Будучи неотличимы по своей сути, монады различаются своим положением и, тем самым, теми отражениями мира, которые они несут в себе. Лейбницу также приписывается идея рекурсивного самоподобия. В течение своей жизни Лейбниц разрабатывал принципы устройств для механических вычислений и средств проверки математических рассуждений, создав прототип арифмометра и впервые прибегнув к двоичной системе счисления.

Но анализу предстояло двухвековое развитие, прежде чем эти предпосылки реализовались в виде первых нетривиальных конструкций.

Более века те задачи и методы, которые рассматривались математическим анализом, исходили из предположения о гладкости и непрерывности рассматриваемых объектов. Аппарат и основные конструкции анализа разрабатывались в рамках представлений о гладкости и континуальности, а изолированные нарушения последних хотя и допускались, но воспринимались как помехи, вносящие дополнительные технические трудности. С течением времени вопрос о включении в рассмотрение и исследовании объектов, не являющихся гладкими и непрерывными стал все чаще возникать в разных разделах анализа; сначала это были отдельные примеры, затем на повестку дня встал вопрос об исследовании некоторых классов таких нестандартных объектов; впоследствии обозначилось, что как правило, граница области применимости существующих методов анализа пролегает в области объектов, обладающих некоторой общностью свойств, и эти же свойства адекватно отвечают запросам приложений; пока, наконец, не стало ясно, что область применения методов анализа может и должна быть распространена на более широкий диапазон объектов, не являющихся гладкими, но обладающих некоторой регулярной структурой, более общей, чем гладкая.

В 1829 году Дирихле, рассматривая сходимость тригонометрических рядов, строит пример всюду разрывной функции. В 1831 - 34 годах первые попытки построить нигде не дифференцируемые непрерывные функции делает Б. Больцано (1781 - 1848). В 1854 году Б. Риман (1826 - 1866) начинает систематический поиск таких патологических примеров, как интегрируемая функция со всюду плотным множеством скачков. Однако, пример Больцано не был снабжен удовлетворительным доказательством, а примеры Римана и Целерье (1860) давали только функции, недифференцируемые на некотором счетном всюду плотном подмножестве. Первый полностью обоснованный пример нигде не дифференцируемой функции был построен в 1872 г. Вейерштрассом (1815 - 1897), и опубликован в 1875 его учеником дю Буа-Реймоном (1831 - 1889). Этот пример считается первой конструкцией нетривиальной фрактальной кривой в истории математики. Вейер-штрасс доказал, что для нечетного натурального а > 0 и постоянной 0 < b < 1 оо такой, что ab достаточно велико, функция /(.т) = Y1 Ьп соа{а71хтт) непрерывна но п=О нигде не дифференцируема. Харди (1916) уточнил условие на ab до ab > 1.

В 1884 году в своем письме в журнал Acta Mathematica Георг Кантор строит совершенное нигде не плотное подмножество прямой, равномощное отрезку и предлагает конструкцию монотонной непрерывной непостоянной функции на отрезке [0,1], производная которой почти всюду равна нулю. Отметим, что канто-рово множество в различных построениях, преимущественно как элемент контрпримеров в теории интегрирования, ранее появлялось в работах Г. Смита [112] (1875), П. дю Буа-Реймона (1880) и В. Вольтерра (1881).

Другим важным с точки зрения развития фрактальной геометрии событием этого периода является создание в 1880 - 84 гг. Пуанкаре, Клейном, Фуксом и Кёбе теории клейновых групп, предельные множества которых являются мебиусово самоподобиыми множествами. Для Пуанкаре основным побудительным мотивом к созданию теории были задачи из теории дифференциальных уравнений.

В мартовском выпуске Mathematische Annalen 1890 года Дж. Пеано (1858 -1932) публикует статью Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane с примером кривой, заполняющей всю плоскость [ЮЗ] .

В 1904 году в своей работе "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire" [75] Хельге фон Кох строит непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной из своих точек. Эта конструкция, в отличие от функции Вейерштрасса, носит чисто геометрический характер. В 1905 году Чезаро [37] указывает на ее самоподобие.

В феврале 1915 года В.Серпинский представляет в Les Comptes rendus de l'Academie des sciences свою заметку "Sur une courbe dont tout point est un point de ramification" [110] о кривой, каждая из точек которой есть ее точка ветвления. В ней впервые появляется один из важнейших объектов фрактальной геометрии — треугольник Серпинского. В статье приведен способ построения этого множества, как предела последовательности ломаных, каждая из которых получается из предыдущей заменой каждого ее звена на умерьшенную копию первой ломаной в последовательности.

В 1914 году К. Каратеодори вводит понятие внешней меры и на основе своей конструкции определяет /г-мерную меру подмножества в п- мерном пространстве. Основываясь на работе К. Каратеодори, в 1918 году Ф. Хаусдорф [69] определяет меру с нецелым показателем и дробную размерность и доказывает, что хаусдор-фова размерность канторова множества равна log32.

IIa эти же годы (1918 - 1922) приходится создание в работах Г. Жюлиа [71], П. Фату [52, 53, 54] и — независимо от них— Ритта [107[ теории итераций аналитических преобразований, тесно переплетающейся с фрактальной геометрией. В этих работах, в частности были введены понятия аттрактора и репеллера; построены и описаны множества Жюлиа и Мандельброта, сыгравшие важную роль в становлении фрактальной геометрии. Возможность детально изучить структуру этих множеств представилась лишь через полвека, с появлением компьютеров. Теория итераций аналитических преобразований прошла 50-летнюю полосу застоя и затем пережила бурное возрождение в начале 1980-х годов.

Крупнейший вклад в исследование множеств, имеющих дробную размерность, был сделан А. С. Безиковичем. В его серии [17] — [30] работ 1926 - 1939 гг. им был построен тонкий и нетривиальный аппарат для исследования геометрических свойств множеств дробной хаусдорфовой размерности и иррегулярных множеств целой размерности. Им были изучены мера и размерность ряда исключительных множеств, возникающих в классических задачах анализа; получены оценки, связывающие гельдерову константу непрерывной вещественной функции и хаусдор-фову размерность ее графика; хаусдорфова мера была применена к определению s—производной вещественной функции; были детально исследованы свойства линейно измеримых множеств. A.C. Безикович постоянно возвращался к этим вопросам вплоть до 1968 года.

В 1938 году Поль Леви публикует исследование свойства самоподобия кривых [94]. Он показывает, что построение кривой Коха может быть обобщено и рассматривает кривые, состоящие из р подобных частей; во второй части своей работы он строит примеры симметричных кривых на плоскости, имеющих размерность 2 и являющихся первыми примерами тайлов, т.е. самоподобных множеств, которыми можно замостить всю плоскость. В третьей части он распространяет свои результаты на самоподобные поверхности.

В 1935 году Хасслер Уитни [119] строит пример неспрямляемой кривой 7, множество особых точек которой есть канторово множество на плоскости, и вещественной функции f(x,y) класса С1, непостоянной на 7 и такой, что все ее частные производные обращаются в нуль на 7. Замечательно, что кривая 7, как будет показано в гл.2, является аттрактором граф-ориентированнной системы, которую мы назовем мультиципнером. Но еще более знаменательно, что исследование примеров таких функций привело к выявлению в 1986 г. А. Нортоном в работе [101] взаимосвязи между хаусдорфовой размерностью критического множества 7 функции / в Я" и гельдеровым классом т + а гладкости этой функции, гарантирующей постоянство функции / на множестве 7.

Осознание того, что изучение фрактальных объектов является цельной областью математических исследований, имеющих широкий спектр приложений, пришло на заре эпохи компьютерных вычислений, с появлением, начиная с 1967 года, работ Б. Мандельброта [95, 96, 97].

Четкая математическая канва для построения и исследования самоподобных множеств была задана основополагающей работой Дж. Хатчинсона [70] "Фракталы и самоподобие"(1981), за которой последовал ряд работ, в которых формулировались ключевые методы и конструкции теории. В 1988 году Маулдин и Уильяме [98] ввели понятие граф-ориентированнной системы, существенно расширив подход, предложенный Хатчинсоном.

Одним из важнейших вопросов теории самоподобных множеств, служащим побудительным стимулом многих работ и по сей день, является вопрос о вычислении хаусдорфовой размерности самоподобного множества. Основой для таких вычислений служило сформулированное Хатчинсоном условие открытого множества, обеспечивающее выполнение формулы Морана. В работе К. Бандта [9] это условие заменялось алгебраическим условием, требующим, чтобы замыкание ассоциированного семейства подобий 3" = 0~1 ■ С не содержало 1(1. В дальнейшем это привело к полученному Мартином Цернером [122] слабому условию отделимости И ф. С-1 • С \ {Ы}, являющемуся основным критерием положительности хаусдорфовой меры и вычислимости хаусдорфовой размерности.

Потребности приложений продиктовали развитие таких направлений исследований, как исследование случайных процессов на фракталах [51],[10], анализ на фракталах, разрабатываемый Дж. Кигами [74], исследование дифференциальных операторов и дифференциальных уравнений на фракталах ( Р. Стричартц)[113], изучение топологических пространств, моделируемых фракталами — фрактафол-дов (А. Теиляев), построение геометрической теории интегрирования, позволяющая доказывать основные формулы интегрирования для широкого класса объектов, включающего фракталы (Дж. Харрисон)[62|—[67]. М.В. Коробков построил [77] пример всюду дифференцируемо!-! (негладкой) функции / : [0,1] —М2, множество значений производной которой является вполне несвязным самоподобным фрактальным множеством. В работах [78]-[81] были исследованы вещественные С ^гладкие функции / двух переменных, множество значений градиента которых не содержит внутренних точек. Оказалось, что для таких функций выполнено утверждение классической теоремы Морса-Сарда о равенстве нулю меры образа критических точек; в частности, для таких функций невозможно построить кривые типа Уитни (см. выше). С другой стороны, в указанном случае множество значений градиента функции / может иметь фрактальную природу: оно может являться вполне неспрямляемой дугой (см. [80]), хотя его двумерная мера Лебега всегда равна нулю (см. [81]). В цикле работ С. Пономарева [104, 105] исследовались интегралы типа Коши на семействе кривых Коха, имеющие приложение к краевым задачам математической физики. Р. Григорчуком [59] разработана теория самоподобных групп. Важной областью исследований является теория самоаффинных замощений — тайлов и мультитайлов, отраженная в многочисленных работах Баидта. Вонга, Кеньона, Ли и др.

1.2°. Цель работы. Получение топологических аналогов самоподобных структур, как инвариантных множеств полугрупп действующих на компактах или полных метрических пространствах. Получение структурных теорем и теорем жесткости для самоподобных жордановых континуумов. Получение оценок хаусдор-фовой меры и размерности множества крайних точек самоподобного множества и доказательство теорем конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств.

Методы исследования. В диссертации используются топологические и геометрические методы, обычно применяемые в теории самоподобных множеств. При построении топологических аналогов самоподобных структур используются методы общей топологии и теории гиперпространств. Исследование самоподобных жордановых дуг опирается на методы, впервые примененные К. Бандтом и основанные на анализе свойств ассоциированного семейства полугруппы сжимающих подобий. Исследование выпуклых оболочек самоподобных множеств опирается на методы выпуклого анализа и дискретных динамических систем.

1.3°. Научная новизна.

Работа содержит ряд новых результатов, которые либо не имеют аналогов в мировой литературе, либо существенно расширяют существующие результаты.

Первая группа результатов относится к определению самоподобных структур на компактных топологических пространствах, описанию морфизмов этих структур и основным теоремам о свойствах топологических самоподобных структур.

Напомним, что классическое определение самоподобных фракталов формулируется в терминах сжимающих отображений для полных метрических пространств, а основная теорема существования — теорема Хатчинсона - справедлива для полных метрических пространств.

В диссертации, для общего случая хаусдорфовых топологических пространств, введен новый класс действующих на этих пространствах полугрупп непрерывных ипъективных отображений или полугрупп, удовлетворяющих условию (Р). Эти полугруппы являются топологическим аналогом полугрупп сжимающих отображений в метрических пространствах.

С помощью этого класса полугрупп определяется понятие самоподобной структуры на компактном топологическом пространстве. Такое определение близко к определению Дж. Кигами [74], но, как показано в первой главе диссертации, имеет ио сравнению с последним ряд преимуществ.

Для систем отображений из указанных полугрупп, удовлетворяющих условию (Р), доказан аналог теоремы Хатчинсона, справедливый для произвольных хау-сдорфовых топологических пространств.

Изучено действие операторов Хатчинсона в гиперпространстве и доказана теорема о полугруппах, порожденных операторами Хатчинсона, описывающая многообразия случайных фракталов, или фрактальные расслоения, как аттракторы таких полугрупп.

Вторая группа результатов связана с построением и исследованием конструкций циппера и мультициииера. Получены условия представимости самоподобного континуума в виде аттрактора циппера и мультициппера. Получены'критерии жордановости аттрактора циппера и ограниченности искривления аттрактора жорданова циппера. Доказана теорема о существовании линейной параметризации и о гельдеровости такой параметризации. Описано пространство деформаций самоподобных ципперов.

Третья группа результатов относится к исследованию самоиодобных жорда-новых континуумов. Доказана теорема о жесткости самоподобных жордановых дуг. Согласно этой теореме, всякая отличная от прямолинейного отрезка жорданова самоподобная дуга является компонентой аттрактора самоподобпого мультициппера. Из этой теоремы следует, что если такая дуга имеет ограниченное искривление, то она удовлетворяет сильному условию открытого множества, что дает алгоритм вычисления хаусдорфовой размерности самоподобной жордановой дуги. Доказана теорема о жесткости самоподобных одномерных структур, не удовлетворяющих слабому условию отделимости.

Четвертая группа результатов относится к исследованию выпуклых оболочек самоподобных множеств. Получено описание динамики действия шифт-онератора на границе выпуклой оболочки самоподобного множества. Доказана теорема о равенстве нулю хаусдофовой размерности множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобных множеств на плоскости, удовлетворяющих условию открытого выпуклого множества. Доказана теорема конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств в банаховых пространствах, указывающая условия, при которых такая оболочка является конечным полиэдром. Доказана теорема о том, что лебегова одномерная мера множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости равна нулю.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития как фрактальной геометрии, так и взаимодействующих с ней обласхей математики: теории квазиконформных отображений, теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений и в естественнонаучных приложениях, опирающихся на модели фрактального анализа.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях:

Математические проблемы в механике сплошных сред" (г. Новосибирск 1999, 2000).

6-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS-2002 (June 24 - 30, 2002), Novosibirsk.

Школа-конференция по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова, Новосибирск, Академгородок, 9-20 сентября 2002 г.

Международная конференция "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященная 100-летию JI.B. Келдыш, (24 - 28 августа 2004 г.), Москва.

Международная конференция "Геометрия и топология трехмерных многообразий", Новосибирск, 23 - 28 августа 2005 г.

Всероссийская научная конференция "Математика. Механика. Информатика." Челябинский государственный университет. Математический факультет. 19 - 22 сентября 2006 г.

Конференция, посвященная 50-летию Института математики СО РАН им.

С.Л.Соболева, 17-23 сентября 2007 г., Новосибирск.

Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений," посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, 5-12 октября 2008, Новосибирск.

Международная конференция "Современные проблемы анализа и геометрии," 14 - 20 сентября 2009, Новосибирск.

Международный математический конгресс ICM-2010, Хайдерабад, Индия.

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П.И. (2004, 2005),

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В.В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева A.B. (2006).

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, отдела математического анализа под руководством акад. Ю. Г. Регаетняка (2006).

Семинар кафедры дифференциальной геометрии и МГУ под рук-вом акад. А. Т. Фоменко (2006).

Семинар по дифференциальной геометрии ИМ СО РАН под рук-вом И. А. Тайма-нова (2009).

Семинар но фрактальной геометрии в Институте математики и информатики Грейфсвальдского Университета (Германия) под рук-вом проф. К. Бандта (2009).

Семинар по фрактальной геометрии и стохастике Иенского Университета (Германия) под рук-вом М. Залле и В. С. Матвеева (2009).

Семинар по топологии в Варвикском университете (Великобритания) под рук-вом К. Сериес (2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

1. М. Arbeiter, М. Patzschke. Random self-similar multifractals.// Math. Nachr, 1996, V. 181, p. 5-42.

2. F. G. Arenas, M. A. Sánchez-Granero: S1 is a self-similar symbolic space.// Topology Atlas Preprint No. 283, 1997, http://at.yorku.ca/

3. Aseev V.V. : On the regularity of self-similar zippers-Materials of the 6-th Russian-Korean Int. Symp. on Science and Technology, KORUS-2002 (June 24-30, 2002. Novosibirsk State Techn. Univ., Russia Part 3, (Abstracts), p. 167.

4. Асеев В.В. Критерий регулярности аттрактора системы сжимающих подобий в полном метрическом пространстве. //"Математические проблемы механики сплошных сред"(Динамика сплошной среды, вып. 120), Ин-т гидродинамики СО РАН, 2002, с.3-7.

5. Astala К.: Self-similar zippers. // Holomorph.funct. and Moduli: Proc.Workshop, March 13-19, 1986, Vol.1- New York, 1988, pp. 61-73.

6. Ch. Bandt, Self-similar sets 1. Markov shifts and mixed self-similar sets.// Math. Nachr., 1989, V. 142, pp. 107-123.

7. Ch. Bandt. Self-similar sets 5: Integer matrices and tilings of Rd.// Proc. Amer. Math. Soc., 1991, V. 112, pp. 549-562.

8. Ch. Bandt and T.Retta, Topological spaces admitting a unique fractal structure. //Fund. Math., 1992, V. 141, pp. 257-268.

9. Ch. Bandt, S. Graf. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure. // Proc. Amer. Math. Soc., 1992, V. 114, No. 4, pp. 995-1001.

10. Ch. Bandt, S. Graf, M. Zahle, Fractal Geometry and Stochastics. Birkhauser, 1995.

11. Ch. Bandt, G. Gelbrich, Classification of self-afime lattice tilings. //J. London Math. Soc., 1994,(2), 50, P. 581 -593.

12. Ch. Bandt, Disk-Like Self-Affine Tiles in R2.// Discrete Comput. Geom., 2001, V. 26, P. 591-601.

13. M. F. Barnsley,, Fractals Everywhere, Academic Press, 1988

14. M. F. Barnsley, Superfractals, Cambridge University Press, 2006

15. T. Bedford, Holder Exponents and Box Dimension for Self-Affine Fractal Functions.// Constructive Approximation, 1989.

16. T. Bedford, The Box dimension of self-affine graphs and repellers // Nonlinearity, No. 2, 1989. P. 53-71.

17. A. S. Besicovitch. Sur les propriétés geometriques fondamentales des ensembles plans de points linéairement mesurables.// C.R. Acad. Sci. Paris, 1926, 183, p. 553-556.

18. A. S. Besicovitch, Fundamental geometric properties of linearly measurable plane sets of points.// Bull. Amer. Math. Soc. 1927, 33, p.652.

19. A. S. Besicovitch, On the fundamental geometrical properties of linearly measurable plane sets of points.// Math. Ann., 1928, 98, p.422--464.

20. A. S. Besicovitch, On linear sets of points of fractional dimension. Math. Ann. 1929, 101, p.161-193.

21. A. S. Besicovitch, Walker G., On the density of irregular linearly measurable sets of points. Proc. Lond. Math. Soc. (2), 1931, 32, p. 142-153.

22. A. S. Besicovitch, Concentrated and rarified sets of points. Acta Math. 1933, 62, p.289-300.

23. A. S. Besicovitch, On tangents to general sets of points. Fund. Math., 1934, 22, p. 49-53

24. W. J. Charatonik, A. Dilks Dye and J. Reed, Self-homeomorphic star figures, Continuum Theory and Dynamical Systems, Thelma West (editor), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, V. 149, Dekker, 1993, p. 283-290.

25. M. Das , S. M. Ngai. Graph-directed iterated function systems with overlaps // Indiana Univ. Math. J. 2004, V. 59, P. 109-134.

26. И. Б. Давыдкин, Пример выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости, имеющей бесконечное число сторон.// Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. с. 22-25.

27. F. М. Dekking, Recurrent sets// Adv. Math., 1982, V. 44, p. 78-104.

28. T. Driscoll, L. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping. Cambridge University Press, 2002. (

29. P. Duvall, J. Keesling, A. Vince. The Hausdorff dimension of the boundary of a self-similar tile // J. London Math. Soc. 2000, V. 61, P. 649-760.

30. G. A. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer-Verlag, 1990.

31. G. A. Edgar , M. Das. Separation properties for graph-directed self-similar fractals// Top. appl. ,2005, V.152, p.138-156.

32. G. A. Edgar , J. Golds. A fractal dimension estimate for a graph-directed IFS of non-similarities.// Indiana Univ. Math. J., 1999, V. 48, pp. 429-448

33. G. A. Edgar , R. D. Mauldin. Multifractal decompositions of digraph recursive fractals.// Proc. London Math. Soc. 1992, V. 65. p. 604-628.

34. K. J. Falconer. The geometry of fractal sets. Cambridge Cambridgeshire]; New York: Cambridge University, 1985.

35. K. J. Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications . -J. Wiley and Sons, New York, 1990.

36. P. Fatou. Sur les equations fonctionnelles// Bui. Soc. Math.Prance. 1919, T. 47. P. 161—271.

37. P. Fatou. Sur les equations fonctionnelles//Bul. Soc. Math. France. 1920. T. 48, P. 33—94.

38. P. Fatou. Sur les equations fonctionnelles//Bul. Soc. Math. France. 1920. T. 48. P. 208—314.

39. H. Federer. Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, New York, 1996.

40. H. Fernau Infinite Iterated Function Systems // Math. Nachr. 1994, V. 170, P. 7991.

41. О. Форстер. Римановы поверхности. M., Мир, 1980, 248 с.

42. Graham, Groetschel, Lovasz (eds.). Vol. 1. Handbook of combinatorics (Elsevier, 1995) (ISBN 0444823468)

43. Bartholdi, L. and Grigorchuk, R. I. and Nekrashevych, V. V. , From fractal groups to fractal sets, Arxiv.org preprint math.GR/0202001,2002

44. P. M. Gruber, The space of compact subsets of Ed //Geom. Dedicata. 1980. V. 9. P. 87-90.

45. P. M. Gruber, G. Letti, Isometries of the space of compact subsets of Ed //Studia Sci. Math. Hungarica. 1979. V. 14. P. 169-181.

46. Harrison, Jenny, Stokes theorem on nonsmooth chains,// Bulletin AMS, October 1993.

47. Harrison, Jenny, Continuity of the Integral as a Function of the Domain,// Journal of Geometric Analysis, 1998, V. 8, no. 5, p. 769—795

48. Harrison, Jenny, Isomorphisms differential forms and cochains,// Journal of Geometric Analysis, 1998, V. 8, no. 5, p. 797-807.

49. Harrison, Jenny, Lectures on chainlet geometry new topological methods in geometric measure theory - http://arxiv.org/abs/math-ph/0505063

50. Harrison, Jenny and Norton, Alec, Geometric integration on fractal curves in the plane,// Indiana Univ. Math. J., 1991, V. 40, p. 567-594.

51. Harrison, Jenny and Norton, Alec, The Gauss-Green theorem for fractal boundaries// Duke Journal of Mathematics, 1992, V. 67, p. 575-588.

52. M. Ilata, On the structure of Self-Similar Sets// Japan J. Appl. Math., 1985, V. 2, p. 381-414.

53. F. Hausdorff, Dimension und äußeres Maß// Math. Ann., 1918, V. 79, pp. 157179.

54. J. Hutchinson. Fractals and self-similarity. // Indiana Univ. Math. J., 1981, V. 30, No. 5, pp. 713-747.

55. G. Julia. Memoire sur l'iteration des fonctions rationnelles // J.- Math. Pure Appl, 1918. T. 8. p. 47—245.

56. A. Kameyama, Self-Similar Sets from the Topological Point of View // Japan J. Indust. Appl. Math., 1993, V. 10, pp. 85-95.

57. J. Kigami. Harmonic calculus on p.c.f, self-similar sets. //Trans. Am. Math. Soc. 1993, V. 335, No. 2, pp. 721-755.

58. J. Kigami, Analysis on fractals. Cambridge Tracts in Mathematics 143, Cambridge University Press, 2001.

59. H. von Koch, Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique element aire.// Archiv for Matemat., Astron. och Fys., 1904, V. 1, p. 681-702.

60. Koch, H. von. Une methode geometrique elementaire pour l'etude de certaines questions de la theorie des courbes planes.// Acta Math., 1906, V. 30, p. 145-174.

61. M. В. Коробков. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 118-133.

62. М. В. Коробков, Е.Ю. Панов. О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента С1-гладкой функции // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 789-810.

63. М. В. Коробков. Свойства СЯ-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 6. С. 1272-1284.

64. М. В. Коробков. Пример С1-гладкой функции, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касательной ни в одной точке // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 134-144.

65. М. В. Коробков. Свойства С^-гладких функций, множество значений градиента которых топологически одномерно // Доклады РАН. 2010. Т. 430, № 1. С. 18-20.

66. А. С. Кравченко , Гладкие самоаффинные цииперы. Препринт No. ИМ СО РАН, Новосибирск, 2005.

67. М. Р. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М., Постмар-кет, 2000, 352 с.

68. К. Куратовский : Топология,т. 1,2 М.,Мир,1966,1969.

69. K.-S. Lau, S.-M. Ngai : Multifractal measures and weak separation condition.// Adv.Math., 1999, V. 141, pp. 45-96.

70. J. C. Lagarias, Y. Wang, Self-affine tiles in Mn // Advances in Math. 1996, V. 121, P. 21-49.

71. J. C. Lagarias, Y. Wang, Integral self-affine tiles in Mn. I. Standard and nonstandard digit sets // J. London Math. Soc., 1996, V. 54, pp. 161-179.

72. J. C. Lagarias, Y. Wang, Integral self-affine tiles in II. Lattice tilings //J. Fourier Anal. Appl. 1997, V.3, pp. 83-101.

73. A. Lasota, J. Myjak, Markov operators and Fractals.// Bull, of the Polish Acad. Sci. Mathematics, 1997, Vol. 45, No. 2, pp. 197-210.

74. A. Lasota, J. Myjak, Semifractals on Polish Spaces. // Bull, of the Polish Acad. Sci. Mathematics, 1998, Vol. 46, No. 2, pp. 179-196.

75. A. Lasota, J. Myjak, Fractals, Multifunctions and Markov Operators.// Threads in Mathematics: Fractals in Graz 2001, pp. 197-210

76. К. Лейхтвейсс, Выпуклые множества,M., Наука, Гл.ред. физ.-мат.лит-ры, 1985.

77. О. Lehto, К. Virtanen, Quasikonforme Abbildungen // Berlin, New York, Springer- Verlag, 1965.

78. P. Levy. Les courbes planes ou gauches et les surfaces composées de parties semblables au tout. // J. Ecole Polytechn., III. Ser. 1938. V. 144, P. 227-247 et 249-291

79. B. Mandelbrot, How long is the coast of Britain? Statistical self- similarity and fractional dimension.// Science. 1967, V. 155, pp. 636-638.

80. B. Mandelbrot, Les objets fractals: forme hasard et dimension // Paris, Flammarion, 1975.

81. В. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature // San Francisco: Freeman. 1977. 81

82. R. D. Mauldin, S. C. Williams, Hausdorff dimension in graph directed constructions.// Trans. Amer. Math. Soc. 1988, V. 309. pp. 811-829.

83. E. Michael, Topologies on spaces of subsets// Trans. Amer. Math. Soc. 1951, V. 71, pp. 152-182

84. P. A. P. Moran, Additive functions of intervals and Hausdorff measure// Proc. Camb. Phil. Soc. 1946, V. 42, pp. 15-23.

85. A. Norton, A critical set with nonnull image has large Hausdorff dimension// Transactions of the AMS, 1986, V. 296, No. 1, pp. 367-376

86. A. Norton, Functions not constant on fractal quasi-arcs of critical points// Proc AMS, 1989, V. 106, pp. 397-406

87. G. Peano, Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane// Mathematische Annalen, 1890, V. 36(1), pp. 157—160.

88. С. П. Пономарев, О некоторых свойствах кривых Ван Коха, Сиб. матем. журн., 48:6 (2007), 1305-1321

89. J. F. Ritt. On the iteration of rational functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1920. Vol. 21, pp. 348—356.

90. A. Schief. Separation properties for self-similar sets.// Proc. Amer. Math. Soc., 1994, V. 112, No. 1, pp. 111-115.

91. A. Schiéf. Self-similar sets in complete metric spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1996, V. 124, P. 481-490.

92. W. Sierpinski. Sur une courbe dont tout point est un point de ramification// Compt. Rendus Acad. Sci. Paris, 1915, V. 160, pp. 302-305.

93. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ. M., Наука, 1969, 576 с.

94. H. J. S. Smith, On The Integration Of Discontinuous Functions// Proceedings of the London Mathematical Society, 1875, V. VI, pp. 140-153.

95. R. Strichartz, Differential equations on fractals:a tutorial. Princeton University Press, 2006

96. R. Strichartz, Y. Wang, Geometry of self-afiine tiles I// Indiana Univ. Math. J., 1999, V. 48, pp. 1-24.

97. W. P. Thurston, Zippers and univalent functions, // "The Bieberbach Conjecture,"Math Surveys No. 21, Amer. Math. Soc, Providence, 1986, pp. 185197.

98. M. Tsuji, Potential Theory in modern function theory. Maruzen Co., LTD, Tokyo, 1959.

99. P. Tukia. Hausdorff dimension and quasiconformal embeddings.// Math. Scand., 1989, V. 65, pp. 152-160.

100. P. Tukia , J. Vaisâlâ : Quasisymmetric embeddings of metric spaces.// Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al Math., 1980, V. 5, pp. 97-114.

101. H. Whitney, A function not constant on a connected set of critical points.// Duke Math. J., 1935, V. 1, pp. 514-517.

102. S. Winter , Curvature measures and fractals.// Diss. Math., 2008, V. 453, 66pp.

103. M. Zahle, Curvature densities of self-similar sets, Workshop on Fractals and Tilings. 2009

104. M. P. W. Zerner, Weak separation properties for self-similar sets.// Proc.Amer.Math.Soc. 1996, V. 124, No. 11, pp. 3529-3539.Публикации автора

105. А. В, Тетенов. Хаусдорфова размерность множества крайних точек самоподобных множеств на плоскости. // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 53-59.

106. В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. С. Кравченко. О самоподобных жордановых кривых на плоскости// Сиб. матем. журнал. 2003, Т.44, N.3, С.481-492.

107. А. В. Тетенов. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий.// Сиб. матем. журнал. 2006. Т. 47, N. 5. С.1147-1153.

108. Б. Н. Апанасов, А. В. Тетенов. Деформации гиперболических структур и квазифуксовы группы, порожденные отражениями. // Доклады РАН, 2006, Т.409, N.2, С. 583-585.

109. А. В. Тетенов. On the rigidity of one-dimensional systems of contraction similitudes.// Сибирские электронные математические известия. 2006. Т.З, С.342-345.

110. В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. О квазиконформном продолжении с семейства плоских областей специального вида. //Доклады РАН, 2003, Т.389, N.6, С.727-729

111. В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Обобщенные углы и оценки их обратного искажения при квазимероморфных отображениях. //Доклады РАН,2004, т.395, N.3, стр.295-298.

112. В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Мебиусово-инвариантные метрики и обобщенные углы в птолемеевых пространствах.// Сиб. матем. журнал.2005, Т. 46, N. 2, С. 243-263.

113. В. В. Асеев, А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах, допускающих структурную параметризацию.// Сиб. матем. журнал. 2005. Т. 46, N. 4, С. 733-748.

114. А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах на плоскости.// Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. т.7, N.3, С. 148-155.

115. В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. П. Максимова. Обобщенная метрика Помпейю в проблеме изометрии гиперпространств.// Математические заметки. 2005. Т. 78, вып. 2, С. 163-170.

116. А. В. Тетенов, И. Б. Давыдкин. О выпуклых оболочках самоподобных множеств. // Вестник Новосибирского государственного университета Серия «Математика, механика, информатика». 2005. Т. V. Вып. 2. С. 21-27

117. И. Б. Давыдкин, О. Пуревдорж, А. В. Тетенов. Достаточные условия выпуклости самоподобных множеств //Сб. науч. раб. каф. мат. анализа ГАГУ. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2009. С. 26-31.

118. О. Purevdorj, А. V. Tetenov. A self-similar continuum which is not the attractor of any zipper.// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 510-513.

119. A. V. Tetenov. On the length of the set of extreme points for self-similar sets in R2.// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 542-545.