Инвариантные меры самоподобных фракталов и метрические свойства самоаффинных кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

КРАВЧЕНКО Алексей Станиславович

ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ САМОПОДОБНЫХ ФРАКТАЛОВ И МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА САМОАФФИННЫХ КРИВЫХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена на кафедре теории функций Новосибирского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Асеев В. В.

Официальные оппонеты: доктор физико-математических наук,

доцент Чуешев В. В.,

кандидат физико-матетических наук, доцент Малютина А. Н.

Ведущая организация Тюменский государственный

университет

Защита состоится "¿1" апреля 2006 г. в часов на за-

седании диссертационного совета Д 212.174.02 в Новосибирском государственном университете по адресу 630090 г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан марта 2006 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета, , -^у/у .

доктор физико-математических нау^уУ'^—Макаренко Н. И.

aooCfr

<b&S7 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хотя геометрическая теория множеств целой и дробной размерности развивалась с начала прошлого века, но бурное развитие её развитие началось после публикации Мандельброта 1975 г., впервые применившего эти множества для описания широкого круга научных явлений от молекулярных до астрономических, например: броуновское движение частиц, турбулентность в жидкостях, рост растений, география побережий и горных поверхностей, распределение галактик во вселенной и скачки цен на фондовой бирже. Множества дробной размерности встречаются во многих областях математики, таких как теория чисел и нелинейные дифференциальные уравнения. Современная теория фракталов имеет такие важные приложения, как сжатие изображений, моделирование трафика в компьютерных сетях; применяется в экономике при анализе колебаний курса валют.

Введённый Мандельбротом термин «фрактал» происходит от латинских слов fractus — дробный и frangere — ломать, что отражает суть фрактала, как «изломанного», нерегулярного множества. Мандельброт дал «пробное» определение фрактала как множества, Хаусдорфова размерность которого строго больше топологической размерности. Но Мандельброт также указал, что данное определение неудовлетворительно и не включает некоторые нерегулярные множества, которые необходимо рассматривать как фракталы.

Одним из крупнейших разделов фрактальной геометрии является теория самоподобных фракталов, берущая своё начало со статьи Дж. Хатчинсона «Fractals and Self Similarity» (1981) и превратившаяся сегодня в обширный раздел математики с множеством ответвлений и приложений. Хатчинсон ввёл понятие инвариантного множества в полном метрическом пространстве как компактного множества, составленного из своих образов под действием некоторого конечного набора сжимающих отображений данного метрического пространства в себя. Такие наборы сжи-

мающих отображений принято называть системами итерируемых функций (IFS), а их инвариантные множества аттракторами. Аттрактор системы сжимающих подобий называется самоподобным множеством, и, аналогично, аттрактор системы сжимающих аффинных отображений в банаховом пространстве называется самоаффинным множеством.

Хатчинсоном было предложено условие открытого множества (OSC), выделяющее в классе самоподобных множеств такие, которые имеют ненулевую конечную меру Хаусдорфа. Для множеств удовлетворяющих OSC размерность Хаусдорфа совпадает с размерностью подобия, вычисляемой по простой формуле. Обобщения' OSC, названные условиями отделимости, исследовались Бан-дтом (1992), Шифом (1994), Зернером (1996). Шифом была также установлена связь между различными условиями отделимости. Для систем аффинных отображений Фалконером была введена аффинная размерность, совпадающая в случае выполнения OSC с размерностью Хаусдорфа инвариантного множества.

Для более детального изучения аттракторов IFS Хатчинсон предложил рассматривать меры на фракталах и ввёл инвариантные меры системы сжимающих отображений, называемые также самоподобными мерами. Изучению самоподобных мер посвящено большое число статей, в частности, Бандта, Графа, Фалконера, Морана и Рейя и др.

Некоторые из инвариантых множеств являются непрерывными кривыми. Достаточное условие, когда аттрактор IFS является непрерывной кривой, было предложено Хатчинсоном. Первые примеры самоподобных кривых были построены Кохом (1904) и Леви (1938). Самоподобные и самоаффинные кривые изучались Астала, Бедфордом, Асеевым, Шалагиновым.

Одним из наиболее интересных классов фракталов являются самоподобные и самоаффинные тайлы, изучавшиеся Бандтом, Лагариасом и Вангом, Дуваллом и др. Самоподобное (самоаффинное) множество, имеющее внутренность и удовлетворяющее OSC, называется самоподобным (самоаффинным) тайлом (от англ. tile — черепица). Известно, что образами любого самоподобного

тайла под действием отображений подобия можно покрыть всю плоскость К2 так, чтобы внутренности отдельных образов тайла не пересекались и их минимальный диаметр был строго больше нуля.

Известны различные обобщения IFS, такие как бесконечные системы итерируемых функций (IIFS), конформные системы итерируемых функций. Среди различных обобщений особо стоит отметить богатую теорию графоориентированных систем итерируемых функций (Digraph IFS), развиваемую Маулдином, Виллиам-сом, Дасом, Нгаи, Едгаром и др.

Методы фрактальной геометрии широко применяются в компьютерной графике, математическом моделировании, при построении новых разделов анализа, решении дифференциальных уравнений. В частности, самоподобные кривые используются для аппроксимации жордановых кривых и границ областей. В этом свете результаты работы представляются актуальными.

Цель работы. Исправить пробел в доказательстве теоремы Хатчинсона о существовании инвариантной меры системы сжимающих отображений и распространить эту теорему на случай счётных систем сжимающих отображений. Получить достаточные условия ограниченности кривизны самоподобных жордановых кривых. Ввести и описать класс гладких самоаффинных кривых.

Методика исследований основана на общих методах теории меры, метрической топологии, теории функций и фрактальной геометрии.

Научная новизна. В диссертации усилен результат Канторовича-Рубинштейна о полноте пространства мер в метрике Канторовича, имеющий приложения в теории самопсдобных фракталов. Исследованы самоподобные жордановые кривые на плоскости с ранее не рассматривавшейся точки зрения ограниченности кривизны их аттрактора. Введено новое понятие гладких самоаффинных кривых. Получено необходимое и достаточное условие гладкости самоаффинных кривых на плоскости.

Теоретическая и практическая значимость. Работа име-

ет теоретическое значение в теории отображений и во фрактальной геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре лаборатории геометрической теории функций под руководством профессора А. В. Сычева в Институте математики им. С. JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук; на семинаре под руководством профессора А. Д. Медных в ИМ СО РАН; на семинаре под руководством профессора С. К. Водопьянова в ИМ СО РАН; на семинаре под руководством академика РАН В. Н. Монахова и чл.-корр. РАН П. И. Плотникова в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН; на семинаре кафедры математического анализа Омского государственного университета под руководством профессора Ю. Ф. Стругова; на семинаре кафедры математического анализа Горно-Алтайского государственного университета под руководством к.ф.-м.н. A.B. Тетенова; на Международной конференции по геометрии и топологии трехмерных многообразий (Алтай, пос. Артыбаш, 2005 г.); на Пятой сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» Института гидродинамики СО РАН (2001 г.); XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»; на Четвёртом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-6], список которых приведён в конце автореферата. Вклад соавторов в результаты работы [1] равный.

Структура и объём диссертации. Диссертация содержит 82 страницы и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 46 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изучается свойство полноты пространства се-парабельных вероятностных мер в метрике Канторовича-Рубин-

штейна, также известной как «расстояние Хатчинсона». Первая глава состоит из четырёх параграфов. В §1 вводятся основные определения.

Для любого отображения S : Xi —» Лг метрических пространств {X\,p\)i (Л2,Р2) константой липшицевости называется число

LipS = sup{p2(S(x),S(y))/pi{x,y) : х,у € Льх Ф у}.

Отображение S называется липшицевым, если Lip S < 00, и называется сжимающим, если Lip S < 1.

Пусть {Х,р) — метрическое пространство. Будем обозначать lip — пространство всех вещественных липшицевых ограниченных функций на X, и Сь{Х) — пространство всех вещественных непрерывных ограниченных функций на X.

Определение 1 Пусть метрическое пространство (X, р) полно и пусть S = {Si,..., Sn} — конечная система сжимающих отображений пространства X в себя. Инвариантным множеством или аттрактором системы S называется такое компактное множество К С X, что выполняется равенство

п

K=\JSi(K).

1=1

Мерой на метрическом пространстве (X, р) будем называть вещественную неотрицательную счётно-аддитивную функцию, удовлетворяющую равенству f(0) = 0, заданную на сг-алгебре В(Х) всех борелевских подмножеств пространства X. Мера р называется сепарабельной, если существует борелевское сепарабельное множество А С X такое, что р(Х \ А) = 0. Мера р называется конечной, если р(Х) < +оо. Пространство М(Х) определяется как множество всех сепарабельных мер и, заданных на борелев-ской <7-алгебре В{Х) и удовлетворяющих свойствам и{Х) = 1 и

р(хо, х) du < ос для некоторой точки xq € X. На пространстве М(Х) задаётся метрика Канторовича-Рубинштейна по формуле

H{v,p) = sup I^J^fdu- jfJ dp :/elip(X), Lip/<lJ.

В §2 изучается связь метрики Канторовича-Рубинштейна со слабой сходимостью мер.

Последовательность конечных мер ц/- называется слабо сходящейся к конечной мере /л, если /х —> fd.fi при к —> оо для любой функции / € С'ь(Х). Последовательность мер {г/т,}^! называется слабо фундаментальной, если для любой функции / е СЬ(Х) фундаментальна последовательность $х$йип. Множество мер П называется слабо полным, если любая слабо фундаментальная последовательность мер {ип} из этого множества слабо сходится к некоторой мере из П.

Теорема 1 Сходимость в метрике Н сильнее слабой сходимости. Если сЦат X < оо, то сходимость в метрике Н и слабая сходимость эквивалентны.

В процессе доказательства данной теоремы доказаны следующие утверждения.

Лемма 2 Для любой функции / е Сь(Х) существует последовательность {</?„} функций из Нр°(Х), такая что <рп I / на X.

Векторной решёткой называется частично упорядоченное векторное пространство (с отношением порядка, согласованным с векторной структурой), если каждое его непустое конечное подмножество имеет свою точную верхнюю и нижнюю грань. Линейный функционал F : V —► К на векторной решётке V называется секвенциально о-непрерывным или секвенциально порядко-во непрерывным, если для любой монотонно убывающей последовательности ип элементов V такой, что т!' ип = 0, выполняется Р{ип) —» 0 при п —* оо.

Лемма 3 Пусть V — векторная решётка, и Уц такое подмножество V, что для любого элемента V £ V найдётся убывающая последовательность элементов щ € Уц, к = 1,2...., такая что М иь = v. Если последовательность линейных секвенциально о-непрерывных положительных функционалов ■ V —> К,

п = 0,1,... поточечно сходится к на множестве Рр, то последовательность поточечно сходится к ^ и на всём V.

Следствие 4 Пусть последовательность конечных мер {д„} и конечная мера ц таковы, что для любой функции / 6 Ир выполняется /х / с1/хп —> /х / ¿д тогда последовательность {цп} слабо сходится к мере /г.

В §3 формулируются и доказываются критерии полноты и слабой полноты пространства М{Х).

Теорема 5 Если пространство X полно, то пространство конечных сепарабельных мер на X слабо полно.

Основной результат первой главы формулируется в следующей теореме.

Теорема 6 Пространство М(Х) полно в метрике Н тогда и только тогда, когда полно пространство X.

В §4 рассматриваются приложения теоремы б в теории самоподобных фракталов.

Обозначим М*(Х) пространство всех сепарабельных внешних мер V на X, удовлетворяющих условиям у(Х) = 1 и /х р(хо, х) (1и < оо для некоторой точки хо € X. Для пространства М*{Х) доказан аналог теоремы 6

Теорема 7 Пространство М*{Х) полно в метрике Н тогда и только тогда, когда полно пространство X.

Носитель меры и есть множество

ер! V = X \ и {А с X : А открыто и и(А) = 0}.

Пространство всех внешних мер и € М*(Х) с ограниченным носителем обозначим М1ос(Х).

Рассмотрим вектор р = (ръ • • ■ ,рп) такой, что р € (0,1) и ~ 1- Определим отображение (Ф,р) : М1ос (X) -» М,0С(Х), задаваемое следующей формулой для любой меры и € М^Х) и любого множества А е В{Х)

(Ф ,р)(»/)СА) = ¿^С^гЧА)).

¿=1

Положим (Ф,р)°(и) = 1/и (Ф,р)к(1/) = (Ф,р)((Ф,р)'г~1(1/)) для всех

Теорема (Хатчинсона).

(¡) (Ф,р) : МЬс(Х) —» М1ос(Х) является сжимающим отображением в метрике Н.

(И) Существует единственая мера р, 6 Мьс(Х) такая, что (Фур)р, = /1. Если V е Мьс(Х), тогда (Ф,р)кг/ —» р в метрике Н и, таким образом, в топологии сходимости относительно непрерывных функций с компактным носителем.

Меру ц, инвариантную относительно отображения (Ф,р), принято называть инвариантной мерой (иногда используют термин самоподобная мера). В доказательстве данной теоремы сказано, что (11) непосредственно следует из (1). Имеется ввиду, что необходимо применить теорему Банаха о неподвижной точке, требующую полноту пространства М10С(Х). В то же время, доказательство полноты М1ос(Х) Хатчинсоном предоставлено не было. Более того, в §1 доказывается, что в общем случае пространство М]ос(ЛГ) не полно.

Замена пространства М10С(Л") на более широкое М*(Х) и применение теоремы 7 позволяет исправить доказательство теоремы Хатчинсона.

Следующая теорема усиливает результат Хатчинсона, распространяя его на случай счётных систем сжимающих отображений.

Теорема 8 В полном метрическом пространстве {X, р), для любой счётной системы S = сжимающих отображений

(Si : X —* X, Lip Si < 1 для i е N) с неподвижными точками ж, и для любого вероятностного вектора р = (р\. р2, • • •) СС,еN Р» ~ 1,р, ^ 0 для г 6 N), удовлетворяющего условию SieN Р«Р(жь xi) < оо, существует единственная мера v е М(Х), такая что

оо

1/(Л) = для всех г/ — измеримых AC X.

i=X

Глава 2 посвящена изучению свойств жордановых самоподобных кривых и состоит из четырёх параграфов. В §1 вводится понятие циппера.

Определение 2 Циппером называется конечная система Si,.... Sv сжимающих отображений полного метрического пространства X, удовлетворяющая следующему условию сцепленно-сти: «для некоторого множества {жо,..., Jn} точек пространства X, называемых вершинами, и бинарного вектора (sj...., sn), называемого сигнатурой, пара {ж0,хр} переводится отображением

Sj (j = 1,----п) либо в пару {xj-i, xj} (если Sj = 0), либо в пару

{xj,xj_\} (если Sj — I)».

Доказывается, что аттрактор любого циппера является непрерывной кривой.

Лемма 9 Для любого циппера S = {5ь ..., 5П} с вершинами {хо,____х„} и сигнатурой (si,..., sn) в полном метрическом пространстве (X, р и для любого набора точек 0 = to < t\ < ■ ■ ■ < tn = 1 на отрезке J — [0,1] С R1 существует единственное отображение 7 : J —> K(S), при котором 7(i8) — хь и Si о 7 = 7 о Т, для каждого i = 1,... ,п, где Tt(t) = i,_i(l — t) + t,t при s, = О и Tt(t) — t%-\t + it(l - i) при st -- 1. При этом отображение 7 непрерывно по Гёльдеру и 7(./) = К(S).

Отображения 7, построенные в лемме 9 для разных наборов точек 0 < t\ < ... < 1, называются структурными параметризациями аттрактора циппера S.

Системе S = {S\,..., Sn] из n сжимающих отображений сопоставляется множество I — {1.....п}, называемое алфавитом.

Элементы декартова произведения Ik — П£=1 ^ ДЛЯ к £ N называются словами длины к и записываются как i = i¡'¡2 ■ Ч-Определим множество всех слов конечной длины I* = UkeN^-Множество слов бесконечной длины 7°° — ^ называется индексным пространством. Для любых к € N и i = г 1 ¿2 • - • € 7°° определяется операция срезки i\k = Мг • --Ч £ Ik- Для любого слова i = ¿1... ik G Ik определим Si = 5n о • • - о и аналогично для произвольной полугруппы, порождённой элементами {Li,.,., Ln}, определим Li = L^ - ■ • L%n.

Циппер S называется жордановым в том и только том случае, когда одна из структурных параметризаций его аттрактора осуществляет гомеоморфизм отрезка J = [0,1] на К(S). В §1 приводится пример, показывающий, что в общем случае аттрактор циппера не является жордановой дугой, и доказывается достаточное условие его жордановости.

Теорема 10 Пусть циппер S = {Si, •.., Sn} с вершинами {хо, Х\,..., х„} в полном метрическом пространстве (X. р) таков, что все сжимающие отображения Sj : X —> X являются инъективны-ми. Если для любых i, j € I множество A',(S) П Kj{S) является пустым при \i - j\ > 1 и одноточечным при \г — j\ = 1, то любая структурная параметризация 7 : [0,1] —> К(S) его аттрактора является гомеоморфизмом, а К{S) — жордановой дугой с концами в точках хо и х„.

В §2 установлено, что если аттрактор жорданова циппера имеет ограниченное искривление, то он является множеством конечной ненулевой а-мерной меры Хаусдорфа, где a - размерность подобия системы S, которая в этом случае совпадает с хаусдор-фовой размерностью аттрактора.

Класс с-ВТ (с е [1, оо)) метрических пространств (Х.р) с ограниченным искривлением определяется следующим условием: любую пару точек a,b € X можно соединить континуумом Г С А", у

которого diam(r) = sup р{х,у) < с ■ р{а, Ь). х,у€ г

Циппер S = {5i,..., £„} будем называть самоподобным, если отображения Si : (X, р) —* (X, р) являются подобиями с коэффициентами тг € (О,1) (т.е. р(5г(х), Sj(y)) = г, • р(х, у) для всех х, у £

Л"). При этом единственное решение а уравнения rf-1-----Ьг® — 1

называется размерностью подобия системы S.

Для а. > 0 символом На обозначаем обычную а-мерную меру Хаусдорфа на ет-кольце всех борелевских множеств в пространстве Rd, а через dim# — хаусдорфову размерность борелевского множества в М'1.

Теорема 11 Если аттрактор К = К{S) самоподобного жор-данова циппера S в пространстве Rd имеет ограниченое искривление и a — размерность подобия системы S, то 0 < 'На{К) < 4-ос и, следовательно, dim#(-fO =

В §2 на плоскости построен пример жорданова циппера, аттрактор которого не является дугой с ограниченным искривлением.

Параграф 3 содержит несколько технических утверждений. В §4 описаны те ситуации на плоскости, когда аттрактор жорданова циппера является дугой с ограниченным искривлением, т.е. квазиконформным образом отрезка прямой.

Теорема 12 Пусть S •= {Si,.. , Sn] самоподобный жорда-нов циппер на плоскости К2 с вершинами ... ,zn. Если число

Ln \zj - zq\ - Ln \zn - ¿o| Ln |zn - zn-1| - Ln |zn - z01

рационально, то аттрактор К — К{S) имеет ограниченное искривление.

Дня самоподобного жорданова циппера S = {Si,...,Sn} на плоскости R2 с вершинами xq, ..., хп и сигнатурой (si,..., sn) введём следуюп1ую классификацию: вершину хр (р 6 {1,...,«- 1}) назовём вершиной первого типа, если sp = sp+1 и si = sn = 0; во всех остальных случаях считаем хр вершиной второго типа.

Теорема 13 Если самоподобный жорданов циппер на плоскости К2 не имеет вершин первого типа, то его аттрактор К = К (Я) является дугой с ограниченным искривлением.

Частными случаями теоремы 13 являются два следующих утверждения.

Теорема 14 Если самоподобный жорданов циппер в = {¿х,

..., 5П} на плоскости имеет сигнатуру (й! ,..., вп) такую, что в] + зп ^ 1, то его аттрактор является дугой с ограниченным искривлением.

Теорема 15 Если самоподобный жорданов циппер в = {5ь ..., .5,,.} на плоскости К2 имеет чередующуюся сигнатуру, т.е. Эр Ф зр+1 для всех р = 1,..., те - 1, то его аттрактор является дугой с ограниченным искривлением.

В главе 3 строится теория гладких (т.е. непрерывно дифференцируемых) самоаффинных кривых на плоскости. Эта глава состоит из трёх параграфов.

В §1 формулируется и доказывается критерий того, что полугруппа, порождённая заданным набором линейных операторов, действующих на плоскости, сжимает угол раствора заданного конуса.

Непустое множество С/ С ®т" называется выпуклым конусом, если А^! 4- \2ii2 € и для всех АьАг ^ 0 и «¡.«г € и. Угол между ненулевыми векторами гп, щ 6 К"' обозначается и/г/г-Углом раствора выпуклого конуса 17 С Кт называется число

в{и) = зир{г1]>2 : щ, и2 € V \ {0}}.

Выпуклый конус и в Мт называется острым, если он не содержит ни одной прямой (не обязательно проходящей через 0), что эквивалентно условию в(11) < тт. Для любого линейного оператора Ь € £(К2) и острого выпуклого конуса (7 С К2 будем обозначать

17) = #{у е и : ||г>|| = 1,г) — собств. вектор оператора Ь}, где символ обозначает число элементов множества.

Теорема 16 Пусть заданы непустой острый замкнутый выпуклый конус и С К2 и набор линейных операторов Ьь ..., Ьп £ £(М2), такой что Ьх11 С II для всех г е I и Ь-, Ф 0 для всех „/£/*. Тогда следующие два условия эквивалентны:

0) = 1 для любых е I.

(И) Для любого I € выполняется Шщ^ос в(Ь^к(1) = 0.

В §2 определяется класс самоаффинных непрерывно дифференцируемых кривых — гладких ципперов. Основной результат — критерий гладкости ципперов в К2 — сформулирован в следующей теореме.

Теорема 17 Пусть Б = {$1,..., £>„} невырожденный самоаффинный циппер с вершинами хо, ■ ■, хп и сигнатурой (йь ..., зп). И пусть = (-1)*' ■ для всех г = 1,2,..., п. Циппер в

является гладким тогда и только тогда, когда существует острый замкнутый выпуклый конус II, удовлетворяющий следующим четырём условиям:

(¡) (хп - х0) € 17;

(И) Ь+и С и для всех г = 1,2,..., п;

(Ш) существует набор векторов {70,. ., 7п } С V такой, что для всех г — 1,2,... ,п выполнены условия:

£,+70 ТТ Ъ-1+8, И ТТ 7г-а,, если кегЬ£ = 0, 71-ь Ъ € Ь+и, если кег Ь^ = 0.

(XV) Nv(L.f • £+. и) = 1 для всех 1,3 - 1,2,..., те.

Параграф 3 посвящен применению критерия гладкости к конкретным примерам.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Асеев В. В., Тетенов А. В., Кравченко А. С. О самоподобных жордановых кривых на плоскости // Сиб.Мат.Журнал, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2003. Том 44. № 3. С. 481-492.

2. Кравченко А. С. Полнота пространства сепарабельных мер в метрике Канторовича-Хатчинсона // Сиб.Мат.Журнал, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. Том 47. Л* 1. С. 85-96.

3. Кравченко А. С. Гладкие самоаффинные кривые // Препринт № 161, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. 26 с.

4. Кравченко А. С. Полнота пространства мер в метрике Канторовича // 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), поев, памяти М. А. Лаврентьева: Тез. докл. Новисибирск: ИМ СО РАН, 2000. Ч. 1. С. 153.

5. Кравченко А. С. Полнота пространства вероятностных мер // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Математика. Новосибирск: НГУ, 1999. С. 82

6. Кравченко А. С. Гладкие самоаффинные кривые // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 127

Отпечатано в Издательстве СО РАН 630090 Новосибирск, Морской проспект, 2 Тираж 100 экз. Заказ № 118

г

I í

i

г

£s>57

6857

Введение

1 Полнота пространства сепарабельных мер в метрике Канторовича-Рубинштейна

§1. Основные определения.

§2. Метризация пространства мер.

§3. Основные теоремы о полноте пространства мер.

История вопроса. Основные направления. Хотя геометрическая теория множеств целой и дробной размерности размииа. iaci> с начала прошлого века, но бурное развитие её развитие началось после публикации Маидельброта 1975 г. (см. [39]), впервые применившего эти множества для описания широкого круга научных явлений от молекулярных до астрономических, например: броуновское движение частиц, турбулентность в жидкостях, рост растений, география побережий и горных поверхностей, распределение галактик во вселенной и скачки цен на фондовой бирже. Множества дробной размерности встречаются во многих областях математики, таких как теория чисел и нелинейные дифференциальные уравнения.

Введённый Мандельбротом термин «фрактал» происходит от латинских слов fractns дробный и frangere ломать, что отражает суть фрактала, как «изломанного», нерегулярного множества. Мандельброт дал «пробное» определение фрактала как множества, Хаусдорфова размерность которого строго больше топологической размерности. Но Мандельброт также указал, что данное определение неудовлетворительно и не включает некоторые нерегулярные множества, которые необходимо рассматривать как фракталы.

Одним из крупнейших разделов фрактальной геометрии является теория самоподобных фракталов, берущая своё начало со статьи Дж. Хатчинсона «Fractals and Self Similarity» (см. [34]), и превратившаяся сегодня в обширный раздел математики с множеством ответвлений и приложений. Хатчинсон ввёл понятие инвариантного множества в полном метрическом пространстве как компактного множества, составленного из своих образов под действием некоторого конечного набора сжимающих отображений данного метрического пространства в себя. Такие наборы сжимающих отображений принято называть системами итерируемых функций (IFS), а их инвариантные множества аттракторами (см. рис. 5 G). Аттрактор системы сжимающих подобий называется самоподобным множеством, и, аналогично, аттрактор системы сжимающих аффинных отображений в банаховом пространстве называется самоаффинным множеством.

Хатчинсоном было предложено условие открытого множества (OSC), выделяющее в классе самоподобных множеств такие, которые имеют ненулевую конечную меру Хаусдорфа. Для множеств удовлетворяющих OSC размерность Хаусдорфа совпадает с размерностью подобия, нымисляомой по простом формуле. Обобщения OSC, названные условиями отделимости, исследовались Бапдтом (см. [20]), Шифом (см. [42],[43]), Зернером (см. [46]). Шифом 6i>uia также; установлена связь между различными условиями отделимости. Для систем аффинных отображений Фалконером была введена аффинная размерность, совпадающая в случае выполнения OSC с размерностью Хаусдорфа инвариантного множества.

Для более детального изучения аттракторов IFS Хатчинсон предложил рассматривать меры на фракталах и ввёл инвариантные меры системы сжимающих отображений, называемые также самоподобными мерами. Изучению самоподобных мер посвящено большое число статей, в частности, Бандта, Графа, Фалконе-ра, Мораиа и Рейя и др.

Некоторые из инвариантах множеств являются непрерывными кривыми (см. рис. 7). Достаточное условие, когда аттрактор IFS является непрерывной кривой, было предложено Хатчинсоном. Первые примеры самоподобных кривых были построены Кохом (1904) и Леви (1938). Самоподобные и самоаффипиыс кривые изучались Астала, Бедфордом, Асеевым, Шалагиновым.

Одним из наиболее интересных классов фракталов являются самоподобные и самоаффинные тайлы, изучавшиеся Бандтом (см. [21],[22],[23]), Лагариасом и Байтом (см. [35],[36[,[37]), Дуваллом (см. [29]) и др. Самоподобное (самоаффинное) множество, имеющее внутренность и удовлетворяющее OSC, называется самоподобным (самоаффинным) тайлом (от англ. tile — черепица) (см. рис. 8). Известно, что образами любого самоподобного тайла под действием отображений подобия можно покрыть всю плоскость R2 'i-aк, чтобы внутренности отдельных образов тайла не пересекались и их минимальный диаметр был строго больше нуля.

Известны различные обобщения IFS, такие как бесконечные системы итерируемых функций (IIFS) (см. [33]), конформные системы итерируемых функций. Среди различных обобщений особо стоит отметить богатую теорию графоориенти-рованных систем итерируемых функций (Digraph IFS), развиваемую Маулдином и Виллиамсом (см. [41]), Дасом, Нгаи, Эдгаром (см. [27],[28]) и др.

Методы фрактальной геометрии широко применяются в компьютерной графике, математическом моделировании, при построении новых разделов анализа, решении дифференциальных уравнений. В частности, самоподобные кривые используются для аппроксимации жордановых кривых и границ областей. Современная теория фракталов имеет такие важные приложения, как сжатие изображений, моделирование трафика в компьютерных сетях; применяется в экономике при анализе колебаний курса валют.

О содержании диссертации

Диссертация выполнена в издательской системе ЬМ^Х, содержит 82 страницы и состоит из введения, трёх глав и списка используемой литературы. Иллюстрации созданы с помощью оригинальной программы IFS Builder 3d, написанной автором совместно с выпускником НГУ Мехопцевым Д. Ю.

1. Асеев В. В. Критерий регулярности аттрактора системы сжимающих подобий в полном метрическом пространстве // Математические проблемы механики сплошных сред. Новосибирск: Пн-т гидродинамики СО РАН, 2002. С. 3-7. (Динамика сплошной среды; выи. 120)

2. Асеев В. В., Тетспов А. В., Кравченко А. С. О самоподобных жордановых кривых на плоскости // Сиб.Мат.Журнал Новосибирск: ИМ СО РАН, 2003. Том 44. т. С. 481-492.

3. Биллипгсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977.

4. Кравченко А. С. Гладкие самоаффинные кривые // Препринт JY? 161, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. 26 с.

5. Кравченко А. С. Полнота пространства сепарабельпых мер в метрике Канторовича-Хатчинсона // Сиб.Мат.Журнал, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. Том 47. № 1. С. 85-96.

6. Кравченко А. С. Полнота пространства вероятностных мер // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Математика. Новосибирск:НГУ, 1999. С. 82.

7. Кравченко А. С. Полнота пространства мер в метрике Канторовича // 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), поев, памяти М. А. Лаврентьева: Тез. докл. Новисибирск:ИМ СО РАН, 2000. 4.1. С. 153.

8. Кроповср М. Р. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000.

9. Куратовскпй К. Топология. М.:Мир, 1966. Т.1.

10. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. Новосибирск:Наука, 1983.

11. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.:Мир, 1969.

12. Сакс. С. Теория интеграла. М.:ИЛ, 1949.

13. Форстер О. Римановы поверхности. М.: Мир, 1980.

14. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

15. Akerlund-Bistrom, Cecilia A generalization of Hutchinson distance and applications // Random and Comput. Dyn., 1997, 5, No. 2-3, P. 159 176.

16. Astala K. Selfsimilar zippers // Holomorpliic functions and moduli: Proc. Workshop, March 13-19, 1986. New York etc., 1988, V. 1, P. 61 73.

17. Bandt. Cli., Graf S. Self-similar sets 7. A characteriation of self-similar fractals with positive Hausdorff measure // Proc. Arrier. Math. Soc. 1992, V. 114, N 4, P. 995-1001.

18. Bandt Ch. Self-similar sets 5: Integer matrices and tilings of Ed // Proc. Amer. Math. Soc. 112 (1991), P. 549-562

19. Bandt Ch., Gelbrich G. Classification of self-affine lattice tilings // J. London Math. Soc. (2), 50, (1994), P. 581-593.

20. Bandt Ch. Disk-Like Self-Affine Tiles in E2 // Discrete Comput. Geom., 26 (2001), P. 591-601.

21. Bedford T. Holder Exponents and Box Dimension for Self-Affine Fractal Functions. Constructive Approximation 5, 1989, P. 33 48.

22. Bedford T. The Box dimension of self-affine graphs and repellers // Nonlinearity, No. 2, 1989, P. 53-71.

23. Brandt J., Cabrelli C., Molter U. An algorithm for the computation of the Hutchinson distance. // Inf. Process. Lett. 40, No.2, (1991), P. 113-117

24. Das M., Ngai S. M. Graph-directed iterated function systems with overlaps // Indiana Univ. Math. J. 59 (2004), P. 109-134

25. Das M, Edgar G. A. Separation Properties for Graph-Directed Self-Similar Fractals // Topology Appl. 152, No.l 2, (2005), P. 138 15G

26. Duvall P., Kecsling J., Vinco A. The Hausdorff dimension of the boundary of a self-similar tile // J. London Math. Soc. 2000, Gl, P. 649-760.

27. Falconer K. Fractal geometry: mathematical foundations and applications // Wiley, Chichester. New York, 1990.

28. Falconcr K. The geometry of fractal sets // Cambridge Cambridgeshire]; New York: Cambridge University, 1985.

29. Feclerer H. Geometric Measure Theory // Springer-Verlag, New York, 1996.

30. Fernaii Ii. Infinite Iterated Function Systems // Math. Nachr., 170. 1994. P. 79-91.

31. Hutchinson J. Fractals and Self Similarity 11 Indiana Univ. Math. Journal, Vol. 30, No. 5, 1981. P. 713-747.

32. Lagarias J. C., Wang Y. Self-affine tiles in Rn // Advances in Math. 121 (1996), P. 21-49.

33. Lagarias J. C., Wang Y. Integral self-affine tiles in Rn. I. Standard and nonstandard digit sets // J. London Math. Soc.54 (1996), P. 161-179

34. Lagarias J. C., Wang Y. Integral self-affine tiles in Rn. II. Lattice tilings // J. Fourier Anal. Appl. 3 (1997), P. 83-101

35. Lehto ()., Virtanen K. Quasikonforme Abbildungen // Berlin, New York, SpringerVerlag, 1965.

36. Mandelbrot B. Les objets fractals: forme hasard et, dimension // Paris, Flamrnarion, 1975.

37. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature // San Francisco: Freeman. 1977.

38. Mauldin R. D., Williams S. C. Hausdorff dimension in graph directed constructions // Trans. Amer. Math. Soc 1988, V 309, N 2.

39. Schief A. Separation properties of self-similar sets / / Proc. Arner. Math. Soc. 1994. V. 112, N 1. P. 111-115.

40. Schief A. Self-similar sets in complete metric spaces // Proc. Arner. Math. Soc. 199G. V. 124, P. 481-490.

41. Tukia P., Väisälä J. Quasisymmetric embeddings of metric spaces // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. 1980. V. 5. P. 97-114.

42. Tsuji M. Potential Theory in modern function theory. // Maruzen Co., LTD, Tokyo, 1959.

43. Zerner M. P. W. Weak separation properties for self-similar sets // Proc. Airier. Math. Soc, V. 124, N 11, 1996.