Метрические и топологические овойства квазисимметрических и свободно квазисимметрических вложений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■ Б ОД

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

Новосибирский Государственный университет

На правах рукописи УДК 617.54

Шалагинов Андрей Анатольевич

Метрические и топологические свойства квазисимметрических и свободно квазисишетричеоких вложений

01.01.01-катеыатический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Диссертация выполнена в Новосибирской государственном техническом университете

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущее учреждение

доктор физико-математи ческих наук,профессор В.В.Асеев

доктор физико-математи ческих наук,профессор А.В.Сычев

кандидат физико-матема тических наук,доцент А.Ю.Васильев

Томский государственный университет

Защита состоится » /V и '¡¿¿ОНА^ 19Э4 г. в часов на заседании специализированного совета

К.063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г.Новосибирск-90, ул.Пирогова 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан риСиЯ—1994 р.

Ученый секретарь совета

д.ф.-и.н. Б.В.Шелухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений, основы которой были заложены в 30-х годах в работах М.А.Лаврентьева. Внутренние потребности данной теории привели к необходимости введения классов отображений, которые совпадали бы о квазиконформными гомеоморфизмами в евклидовом пространстве ив то же время могли быть использованы для изучения отображений на множествах, где понятие квазиконформного отображения или на определимо или несодержательно. Таким требованиям удовлетворяет класс квааисимметрических вложений, введенный П.Тюкиа и Ю.Вяйсяля , как обобщение понятия .квааисимметрического отображения на действительной прямой на случай произвольных метрических пространств.

При изучении квааисимметрических отображений на прямой румынским математиком Д.Ивашку был виделен класс гомеоморфизмов, подчиняющихся более жесткому метрическому условию, чем условие квааисимметричности, которые были названы им свободно квазисишетрическими. Представляется интересным изучение свойств класса отображений, полученного путем обобщения понятия " свободной квазисимметричности " в соответствии с моделью, предложенной П.Тюкиа и Ю.Вяйсяля.

Цель работы. Показать, что введенный класс однородных отображений не совпадает в общем случае ни с одним из известных классов и дает интересные эффекты при изучении его на множествах, обладающих "геометрической

однородностью " - самоподобных фракталах.

Методика последовали я. В диссертации используются методы " математического анализа, разработанные в связи о изучением ' классов квазиконформных и квазисимметрических отображений. При доказательстве результатов, связанных о кривизнами пространственных кривых, использовалась теория групп Ли.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Доказано существование однородного отображения отрезка действительной прямой на кривую Коха. Для случая метрических пространств установлено, что однородные отображения сохраняют свойство множества быть самоподобным, а также, что прямое произведение однородного отображения на себя является однородным отображением. Получен критерий однородности гомеоморфизма в терминах квазисимметричности его прямого произведения на себя. Доказано, что однородное отображение метрического пространства на себя является Силипшицевым. Получено необходимое и достаточное условие постоянства кривизн произвольной пространственной кривой.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, результаты диссертации могут быть использованы при изучении квазиконформных и квазисимметрических отображений, а также при изучении самоподобных фракталов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по математическим моделям сплошной среды в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН ( 1991 г.), на Второй международной школе "Теория потенциала" (Кацивели.1993 г.) и на семинарах лаборатории теории функций Института математики СО РАН.

Публикации . Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1/ , /2/.

Объем работы. Диссертация наложена на 65 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 25 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

В 1978 г. в работе румынского математика Д.Ивашку было введено понятие свободно квазисимметрического отображения.

Определение. Пусть ^: Ц-» Я. - возрастающий гомеоморфизм. Мы говорим, что отображение является свободно -квазисимметрическим, "Ц ^ 1 , если выполняется следующее условие:

^ - и*)

для любых х^^-ц. 6 Я. таких, что ос ф у. .

В первой главе научаются свойства классов свободно квазисимметрических и однородных вложений, определяемых на подмножествах евклидова пространства К. .

В § 1 приведены основные обозначения, определения и утверждения, используемые в- дальнейшем. Здесь собраны необходимые сведения из теории пространственных отображений и пространственных кривых с постоянными кривизнами. Основными определениями являются:

Определение 1.9. Пусть 1 . Топологическое

вложение ЯЛ подмножества 2 с К. называется

свободно - квазисимметрическим, если

, | Н*) ~ 1 ^

для любых а^^гцог е 2 таких, чю|х-у.|=|-и--V") , ос^у.

Определение 1.10. Функцией искажения называется любая числовая функция . осуществляющая гомеоморфизм

числовой полуоси [ о, <х>) на себя". Топологическое вложение * подмножества 2 ^ И называется -однородным, если 1

и с*) - н*)\ ^ /

- в -

для любых rc^u^v е S таких, что и. ^ -и" .

Термин "свободная квазисимметричнооть" заменен в последнем определении термином "однородность" во избежание излишней сложности в обозначениях. Кроме того, на наш взгляд, "однородность" более точно отражает свойство этих отображений "бить одинаково хорошо или одинаково плохо устроенными " во всех точках своей области определения.

В § 2 рассматриваются ситуации при которых класс свободно квазисимметрических вложений совпадает о классом билипшицевых отображений. Это имеет место при отображениях областей в R, и при отображении отрезка числовой прямой на спрямляемую пространственную дугу. Основными результатами параграфа являются теоремы о связи свободно 1-квазисимметрических отображений и пространственных кривых о постоянными кривизнами.

Теорема 2.6. Пусть R.^ - произвольная кривая и

отображение -f : R- Ot является свободно

1-квазисимметрическкм. Тогда -кривая с постоянными

кривизнами.

Отметим, что в. формулировке теоремы 2.6 не предполагается спрямляемость кривой ^С . При

доказательстве теоремы использовалась теория групп Ли. Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 2.8. Пусть R. -кривая с постоянными

кривизнами. Тогда существует свободно 1-квааисимметрическое отображение f; R_ —»■ Sf

Таким образом устанавливается, что необходимым и достаточным условием постоянства • всех кривизн пространственной кривой является существование свободно 1-квазисимметрического отображения действительной прямой на эту кривую.

В § 3 приведены основные результаты первой главы. Доказывается существование однородного отображения отрезка на кривую Коха ^РС. д» , являющуюся классическим примером неспрямляемой кривой. Это позволяет утверждать, что класс однородных вложений не совпадает в общем случае с классом билипшицевых отображений.

1 4

Теорема 3.1. Для каждого зе , < зе С , существует ^ -однородное отображение ^ : C0.ll С^ге • где функция искажения еависиг лишь от параметра ~эе.

С использованием вспомогательной леммы 3.10 доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.13. Существует однопараметрическая группа билипшицевых гомеоморфизмов кривой УС. эе на себя, изоморфная группе всех переносов на прямой & . Константа билипшицевости & зависит только от параметра «

В формулировке теоремы 3.13 обозначает образ

числовой прямой при периодическом продолжении на нее однородного отображения ^ С 0,13 —• Уь-. .

* сС

Глава 2 состоит из трех параграфов и содержит результаты исследования однородных отображений произвольных

метрических пространств. В ' § 4 определение однородного отображения переносится на случай метрического пространства.

Определение 4.1. Пусть X . У -метрические пространства и ^ : С 0, оо) СО, со) -гомеоморфизм, топологическое вложение $ ' X У называется ^ "

однородным, а гомеоморфизм ^С^) "вго фун1сцией искажения, если

ДЛЯ любых ОС, б X , ч. & V

Основные результаты главы 1 были связаны с кривой Коха, которая является самоподобным фракталом в смысле классического определения, данного Б.Мандельбротом. Понятие самоподобного множества было в дальнейшем перенесено на произвольные метрические пространства.

Определение 4.8. Пусть X , V -метрические пространства. Сжимающим отображением называется |.,-липшцево отображение ¥: X У о постоянной Липшица

Определение 4.9. Метрическое пространство X называется самоподобным, если существует конечный набор сжимающих отображений X Ч^СХ) , -= 1,... , к , к,

такой, что

X = и ^(Х) .

л. =1

Класс однородных отображений обладает всеми свойствами квазисимметрических вложений и поэтому в §4 главы 2 собраны наиболее ваянные иэ этих" свойств. В § б доказывается, что необходимым и достаточным условием однородности гомеоморфизма : X ~~' У является

квазисимметричносгь его прямого произведения на себя .

Более того, имеют место следующие теоремы:

Теорема 6.1. Пусть X и У -метрические пространства. Если прямое произведение

топологических вложений f : X -*У и ^ : Х~* У является -квазисимметрическим, тогда вложение -С и

вложение д. суть -однородные с той же функцией

искажения ^ (-Ь) . Кроме того 1; , где

»^.(К) есть 1^(1)-билипшицево отображение.

Теорема 5.5. Пусть i-itZ,...¡ к и £ : X У ^ -однородное отображение. Пусть ^ = 0 ^ . гДе г< - Ц -билилшицево отображение. Тогда отображение & - f1 * fг * • • • х f*. является -однородным,

где |_,т/1+ ( к-О Ь2 ' ^С^) иди в менее точном но

более компактном виде (-ь) = 1_.2 т/Г1 ) , Ь = та* -

Таким образом прямое произведение однородного гомеоморфиама ^ : X —» У на себя является не только квазисимметрическим, но более того - однородным. Заметим, что так как прямое произведение квазисимметрических вложений не обязано быть квазисимметрическим, класс однородных вложении не совпадает с классом квазисимметрических вложений.

В § 6 изучается связь между однородными

отображениями и свойством множества быть самоподобным. Доказывается основная теорема параграфа.

Теорема 6.2. Если X -самоподобное метрическое

пространство, то для любого однородного вложения $ его образ С X ) также является самоподобным метрическом пространством.

Следующий результат устанавливает, в каком случае нет различия между понятиями "однородность " и "билипшицевость".

Теорема 6.4. Любое . ^ -однородное отображение метрического континуума на себя является и -билипшицевш с константой билипшицевости

I б 4

то/*

1/^1),

Из теоремы 6.4 следует, что однородный гомеоморфизм метрических континуумов ( если он существует ) единственен с точностью до бшшпшицева автоморфизма одного из этих континуумов.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н, .профессору В.В.Асееву за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шалагинов A.A. Об отображениях самоподобных кривых // Сиб.мат.журн.-1993.-Т.34,N 6.-С.210-215.

2. Асеев В.В., Шалагинов A.A. Отображения,' ограниченно искажающие отношения расстояний // ДАН PAH-1994.-T.335.N2.

Подписаао в печать 4.05.94 Тираж 100 экз.

формат 60 х 84 /16 ^ Объем 0,8 п.л.

Заказ й 235 .. ..

Участок оперативной полиграфии НГУ 630090»Новосибирск - 90 ,ул. Пирогова, 2