Квазисимметрические отображения прямой и плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Предварительные сведения

§1. Основные обозначения и определения

§2. Квазиконформность и квазисимметричность

§3. Ограниченное искривление, однородная вполне ограниченность и псевдовыпуклость

§4. Квазимебиусовы вложения. Нормальные и компактные семейства

Глава II. Точная функция искажения

§1. Свойство полумультипликативности

§2. Условие Келингоса

§3. Теорема о непрерывности точной функции искажения

§4. Случай гомеоморфизма прямой на себя

§5. Однородная точная функция искажения

§6. Сильная квазиаддитивность функции

Глава III. Континуумы с ограниченным искривлением

§1. Условие (N, г)-цепей

§2. Ограниченность искривления графика функции

§3. Инфинитезимальная связность

§4. Инфинитезимальная жордановость

Глава IV. Достаточные условия квазисимметричности

§1. Внутреннее условие середин

§2. Внешнее условие середин

§3. Критерий квазисимметричности

§4. Однородное условие (N, г)-цепей

§5. Условие квазисимметричности в малом

§6. Достаточность условия Келингоса для квазисимметричности

§7. Условие диагонали

Важное место в современных геометрической теории функций и метрической топологии до сих пор занимает теория квазиконформных отображений, возникшая еще в конце 20-х годов XX века в работах Х.Греча. Благодаря хорошо разработанному аппарату комплексного анализа эта теория получила наибольшее развитие для плоскости, найдя многочисленные применения для решения различных задач динамики сплошных сред. Для n-мерного евклидова пространства (п > 2) квазиконформные отображения были введены в известной работе М.А.Лаврентьева [18] в 1938 г., и это послужило новым толчком для разработки новых методов теории в рамках как прикладной, так и чистой математики.

Квазиконформные отображения в размерностях п = 2 и п > 2 имеют ряд общих свойств, но в то же время между ними существует глубокое различие. Природа различия состоит в том, что, с одной стороны, класс конформных отображений на плоскости, согласно теореме Римана, достаточно богат, а с другой — все конформные отображения в пространстве сводятся к группе Мебиуса, т.е. являются композициями инверсий (теорема Лиувилля). Основные сведения по теории квазиконформных отображений для плоскости имеются в работе О.Лехто и К.Виртанена [42], для пространства — в монографиях А.В.Сычева [21], Ю.Г.Решетняка [19] и Ю.Вяйсяля [50].

Поскольку определение квазиконформного отображения имеет смысл только для областей пространства Rn (п > 2), существовало множество попыток обобщить это понятие для произвольных подмножеств в Rn или в любом другом метрическом пространстве, причем не все эти попытки можно считать удачными. Например, формальное обобщение так называемого метрического определения квазиконформности без наложения каких-либо дифференциальных свойств на рассматриваемое отображение метрических пространств не сохраняет основных свойств пространственных квазиконформных отображений.

Наиболее же удачной и законченной следует признать конструкцию, предложенную в 1980 г. финскими математиками П.Тукиа и Ю.Вяйсяля в ставшей уже классической статье [49], где было введено определение квазисимметрических вложений метрических пространств. Идея квазисимметричности тесно связана с одной из наиболее важных проблем теории квазиконформных отображений — задачей о граничном соответствии. В рамках этой проблематики А.Берлингом и Л.Альфорсом в 1956 г. рассмотрены вопросы о продолжении гомеоморфизма / прямой R1 на себя до квазиконформного автоморфизма верхней полуплоскости [31]. Полученное при этом необходимое и достаточное условие на функцию / легло в основу определения квазисимметрических функций, введенных Дж.А.Келингосом в 1966 г. и изученных им в работе [40]. В плоском случае первые разработки в теории квазисимметрических отображений принадлежат Г.Ренггли [45], который рассмотрел отображения, удовлетворяющие условию ограниченности искажения треугольника (1971 г.). П.Тукиа и Ю.Вяйсяля заметили, что определение, предложенное Г.Ренггли, можно напрямую перенести и на случай произвольных метрических пространств; это позволило выделить класс слабо квазисимметрических и более широкий, вообще говоря, класс ту-квазисимметрических вложений метрических пространств.

Вложение / : Rn —Rn является /^-квазиконформным тогда и только тогда, когда оно ?7-квазисимметрично; при этом коэффициент квазиконформности К и функция искажения г/ связаны взаимными оценками [51]. Если G — область в Rn, то квазисимметрическое вложение / : G Rn является квазиконформным, но обратное неверно. Например, мебиусово преобразование шара в полупространство, являющееся даже конформным, не квазисимметрично, так как квазисимметрические отображения переводят ограниченные множества в ограниченные. Однако в этом случае эквивалентными уже оказываются понятия "локальная квазиконформность" и "локальная квазисимметричность".

Очень существенно, что в широком классе метрических пространств 77-ква-зисимметрические вложения оказываются т/-квазисимметрическими с функцией искажения ?/, имеющей степенной вид: r)'{t) = С • max{ta, t1/01}, что позволяет, в частности, получить бигельдеровы оценки роста рассматриваемых вложений. Полное описание такого рода пространств получено Д.А.Троценко и Ю.Вяйсяля [47].

В общем случае концепция ?у-квазисимметричности выглядит более естественной, чем слабая квазисимметричность. Например, т)-квазисимметричес-кие вложения, как и квазиконформные отображения, образуют категорию, но композиция двух слабо квазисимметрических вложений не обязана быть слабо квазисимметрической. Однако в некоторых важных специальных случаях, например для подмножеств евклидова пространства, понятия слабой квазисимметричности и 77-квазисимметричности эквивалентны. В [49] доказан более общий результат, утверждающий, что такая эквивалентность имеет место для вложений псевдовыпуклого пространства Д^ в однородно вполне ограниченное пространство У. В этой же статье доказано, что псевдовыпуклость пространства следует из его ограниченности искривления и однородной вполне ограниченности. Таким образом, поскольку евклидово пространство является однородно вполне ограниченным, подмножества пространства Rn с ограниченным искривлением формируют удобный для теории квазисимметрических отображений класс множеств, так как он замкнут относительно квазисимметрий и в нем нет отличия между квазисимметричностью и слабой квазисимметричностью. В частности, для отображений интервала / С Я1 в й1 определение квазисимметричности эквивалентно обычному (в смысле Келингоса), за несущественным исключением того, что в [40] рассматривались только возрастающие функции.

На плоскости понятие ограниченности искривления кривой (или дуги) известно давно, причем существует довольно много эквивалентных определений. В [2] эти кривые определяются как удовлетворяющие так называемому М-условию Альфорса. Там же показано, что класс таких кривых совпадает с классом квазиокружностей, т.е. кривых, являющихся образами окружности при квазиконформных автоморфизмах плоскости. С.Рикман в [44] определил характеристику R(xi, хз,х4) тетрады и показал, что если эта характеристика ограничена для любых последовательно расположенных на кривой точек xi, x<ii Х3, Х4, то эта кривая является квазиокружностью. По сравнению с определением Л.Аль форса, преимущество этого определения состоит в том, что характеристика R(x\, х2, Ж3, х4) является мебиусово инвариантной, что, несомненно, более удобно в техническом плане. Т.Эркама в [33] показал, что кривая на плоскости является квазиокружностью тогда и только тогда, когда она является квазиконформно однородной. Наконец, П.Тукиа и Ю.Вяйсяля в [49] перенесли термин "ограниченное искривление" для произвольных связных подмножеств метрического пространства, в частности, для континуумов в пространстве Rn, и выявили возникающие при этом связи с теорией квазисимметрических и квазиконформных отображений.

Стоит также отметить, что расширение класса квазисимметрических вложений до класса, инвариантного относительно мебиусовых преобразований, привело к определению квазимебиусовых вложений, введенному Ю.Вяйсяля и В.В.Асеевым на основе конструкции, аналогичной схеме Тукиа-Вяйсяля (т.е. с помощью функций искажения).

В диссертации рассматриваются различные вопросы из перечисленных областей теории квазисимметрических вложений. В частности, изучаются свойства точной функции искажения, устанавливаются критерии ограниченности искривления континуумов в Rn или любом другом метрическом пространстве и, наконец, доказывается достаточность некоторых геометрических условий для квазисимметричности вложения.

О содержании диссертации.

Диссертация выполнена в издательской среде содержит 90 журнальных страниц и состоит из введения, четырех глав и списка используемой литературы.

Первая глава носит вспомогательный характер, содержит необходимые в дальнейшем результаты других авторов и состоит из четырех параграфов.

В §1 приведены основные обозначения и определения.

В §2 собраны общие сведения о квазиконформных и квазисимметрических отображениях.

В §3 даны определения псевдовыпуклых, однородно вполне ограниченных пространств, а также пространств с ограниченным искривлением. Приведены примеры, поясняющие эти определения. Формулируется ряд теорем, связывающих эти понятия друг с другом, а также с теорией квазисимметрических вложений.

В §4 приводятся определение и основные свойства квазимебиусовых вложений, а также ряд результатов о нормальных и компактных семействах.

Вторая глава состоит из шести параграфов. В ней изучаются свойства точной функции искажения, преимущественно, для отображений интервала / С R1 в метрическое пространство X.

В §1 дано определение точной функции искажения.

2.1.1. Определение. Для гомеоморфного вложения / : X —> У метрического континуума X в метрическое пространство У точная функция искажения r]f : [0, + оо) —У [0, +оо], определяется равенством где точная верхняя грань берется по всем попарно различным точкам x,y,z € X таким, что \х — у\/\х — z\ = t.

Приведены примеры вычисления точной функции искажения для некоторых гомеоморфных вложений.

Одним из важнейших свойств точной функции искажения является следующая

2.1.3. Теорема. Пусть / : X —> У — вложение метрического континуума X в метрическое пространство У. Тогда точная функция искажения rjj обладает следующим свойством полу мультипликативности

Отметим, что свойства полумультипликативности, аналогичные приведенным в теореме 2.1.3, были доказаны для некоторых специальных функций теории квазиконформных отображений ([43], [29]). Это свойство, в частности, дает

2.1.5) возможность получить связь между точной функцией искажения и классом полуаддитивных функций, что, в свою очередь, позволяет доказать следующий результат.

2.1.13. Следствие. Пусть f : R1 —Rn — гомеоморфное вложение, причем существует1о £ (0,1) такое, 4mor]j{t0) < +00. Тогда либо rjf(i) = +оо почти всюду, либо отображение f является квазисимметрическим.

Следующее условие (ti, £2)-квазисимметричности можно рассматривать как обобщение условия слабой ff-квазисимметричности. В случае отображений прямой в евклидово пространство справедливым оказывается аналог результата из [49].

2.1.14. Определение. Пусть X, У — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфное вложение f : X У удовлетворяет условию (thh)-квазисимметричности с t2 > t\ > 0, если существует такая постоянная М > 0, что для любой тройки попарно различных точек x,y,z Е X таких, что ti < \х — у\/\х — z\ < выполняется оценка

2.1.15. Теорема. Если гомеоморфное вложение f : R} —> Rn удовлетворяет условию (11,12)-квазисимметричности с t\ < 1, то f является квазисимметрическим.

В §2 мы рассматриваем условие Келингоса, являющееся обобщением условия квазисимметричности отображений прямой на себя для случая произвольных метрических пространств.

2.2.1. Определение. Пусть X, У — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфное вложение / : X —У удовлетворяет условию Келингоса с константой Н > 1 (сокращенно, УК(Н)), если выполняется неравенство для любой тройки попарно различных точек x,y,z (Е X таких, что \х — у\ = \х — z\.

Построен важный пример отображения прямой в пространство Rn (п > 2), показывающий, что условие Келингоса, вообще говоря, не является достаточным для квазисимметричности:. Однако справедлив следующий результат.

2.2.10. Теорема. Пусть / : R1 —X — гомеоморфное вложение прямой R1 в метрическое пространство X и rjj — его точная функция искажения.

1/(*)-/(у) I м.

Тогда если f удовлетворяет условию Келингоса на R1, то

T]f(k) < -foo для всех натуральных к.

Доказана также теорема, являющаяся аналогом следствия 2.1.13.

2.2.15. Теорема. Пусть f : R1 —> Rn — гомеоморфное вложение, удовлетворяющее условию Келингоса УК(Н) на R1. Тогда либо rjj(t) = +00 почти всюду, либо отображение f является квазисимметрическим.

Доказательству следующей теоремы посвящен §3.

2.3.1. Теорема. Точная функция искажения г/-квазисимметрического вложения f : R1 —Rn является непрерывной на [0, +оо).

В §4 мы изучаем свойства точной функции искажения для гомеоморфизмов / : R1 -> R1.

2.4.1. Теорема. Гомеоморфизм / : R1 —R1 является квазисимметрическим в том и только в том случае, когда rjf(t) < +00 для некоторого значения t > 0.

Помимо непрерывности, доказанной в теореме 2.3.1 в более общем случае, для квазисимметрических отображений прямой на себя точная функция искажения является строго возрастающей (для отображений / : R1 —У Rn вопрос о монотонности точной функции искажения остается открытым). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

2.4.6. Теорема. Точная функция искажения r)j квазисимметрического гомеоморфизма f : R1 —> R1 является гомеоморфизмом R1^ на себя.

С использованием вспомогательных оценок доказан следующий результат.

2.4.10. Теорема. Точная функция искажения квазисимметрического гомеоморфизма f : R1 —Rx является бигельдеровой на любом отрезке [а,Ь} С (О, +оо).

В §5 мы даем определение однородной точной функции искажения и изучаем ее простейшие свойства.

Наконец, в §6 мы доказываем справедливость гипотезы, сформулированной в [29], о том, что специальная функция г}к>п, имеющая важное значение в теории квазиконформных отображений, является сильно квазиаддитивной для коэффициентов квазиконформности А', близких к единице, и произвольной размерности пространства п > 3.

Третья глава посвящена изучению континуумов с ограниченным искривлением.

В §1 мы рассматриваем условие (N, г)-цепей.

3.1.1. Определение. Пусть X — метрическое пространство. Будем говорить, что множество A <Z X удовлетворяет условию (N, г)-цепей с натуральным N и положительным г < 1, если для любой пары различных точек а, Ъ £ А существует цепь а = ао, а*,., ат = b точек в А такая, что т < N и

Oj — Oj-i| < r|a — Ь| для всех j = 1,., т.

В [49] установлено, что все континуумы с ограниченным искривлением в Rn являются псевдовыпуклыми. В диссертации показывается, что верно и обратное утверждение. Введенное условие цепей, формально более слабое, чем условие псевдовыпуклости из [49], является достаточным для ограниченности искривления в любом полном метрическом пространстве и равносильно условию псевдовыпуклости для подмножеств пространства Rn.

3.1.4. Теорема. Любое замкнутое подмножество А полного метрического пространства X, удовлетворяющее условию (N\ г)-цепей с натуральным N и г £ (0,1); является континуумом с ограниченным искривлением, т.е. А £ с-ВТ, где с зависит лишь от г и N.

3.1.6. Теорема. Континуум А в полном метрическом пространстве класса k-НТВ имеет ограниченное искривление, т.е. А £ с—ВТ, тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию (N\г)-цепей с некоторыми натуральным N иг £ (0,1). При этом параметры с и (N,r) имеют взаимные оценки.

3.1.7. Следствие. Для континуумов в полных метрических пространствах класса НТВ условия псевдовыпуклости и ограниченности искривления эквивалентны.

В качестве приложения теоремы 3.1.4 в §2 устанавливается критерий ограниченности искривления графика непрерывной вещественной функции в терминах внутреннего условия середин.

3.2.1. Определение. Будем говорить, что гомеоморфное вложение / : J —> X выпуклого множества J С Rn в метрическое пространство X удовлетворяет внутреннему условию середин (сокращенно, УСш (Н)) с параметром Н > 0, если для любых х,у £ J выполняется оценка: f(~1)-m\<H-\f(x)-f(y) |.

3.2.2. Теорема. Пусть непрерывная вещественная функция ip : J —» R1, заданная на интервале J С R1, имеет график Г С й2. Гомеоморфное вложение fit) = (t,y>(t)) : J —> Г удовлетворяет внутреннему условию середин VCmt (Н) тогда и только тогда, когда Г имеет ограниченное искривление с константой с > 1. При этом параметры с и Н имеют взаимные оценки.

3.2.7. Теорема. Пусть непрерывная вещественная функция <р(х) задана на интервале J С Я1. Для rj-квазисимметричности вложения f(x) = (х7<р(х)) : J —>• R2 необходимо и достаточно, чтобы f удовлетворяло YCint (Н) и УК(Н'). При этом функция искажения rj и пара констант Н, Н' имеют взаимные оценки.

3.2.8. Теорема. Пусть непрерывная вещественная функция <р{х), заданная на выпуклом множестве J С Rn, имеет график Г С Rn+1. Если гомеоморфное вложение f(x) = (ж,</з(ж)) : J —v Rn+1 удовлетворяет внутреннему условию середин УСш (Н), то Г имеет ограниченное искривление с константой с, зависящей лишь от Н.

В §3 доказывается эквивалентность ограниченности искривления континуума в Rn и его инфинитезимальной связности.

3.3.1. Определение. Пусть F — компактное множество в Rn. Микроскопом на F назовем любую последовательность растяжений {fik(x) = а к + гк(х — вк)} с центрами а^ £ F и коэффициентами г^ —оо при к —> оо. Микроскоп {р,к} называем сходящимся в точке а £ F, если ctk —У а при к —> оо и последовательность компактных множеств Fk — цk{F) сходится в пространстве Comp (Rn). Предел dF =Lim Fk называем инфинитезимальным элементом множества F в точке а.

3.3.3. Определение. Континуум F С Rn называется инфипитезимально связным в точке a £ F, если для любого его инфинитезимального элемента dF £ DF(a) множество dF\{оо} связно.

3.3.4. Теорема. Континуум F С Rn имеет ограниченное искривление тогда и только тогда, когда он инфипитезимально связен во всех своих точках.

В §4 мы рассматриваем инфинитезимально жордановые континуумы.

3.4.5. Определение. Континуум F С Rn называется инфинитезимально жордановым, если любой его инфинитезимальный элемент — жорданова кривая в Rn.

3.4.6. Теорема. Континуум F С Rn инфинитезимально жорданов в том и только в том случае, когда он является жордановой дугой (или жордановой кривой) с ограниченным искривлением.

Четвертая глава посвящена нахождению достаточных метрических условий квазисимметричности.

В §1, в частности, показывается, что условие УСint (г), введенное в определении 3.2.1, с константой г < 1 достаточно для квазисимметричности го-меоморфного вложения интервала действительной прямой в метрическое к-НТВ пространство. Установлена нижняя оценка для параметра из внутреннего условия середин и рассмотрен предельный случай.

4.1.5. Теорема. Любое гомеоморфное вложение f : I —X интервала I С R1 в метрическое k-НТВ пространство X, удовлетворяющее внутреннему условию середин УСint (г) с некоторым г < 1; является г)-квазисимметрическим с функцией искажения rj, зависящей лишь от к и г.

4.1.6. Утверждение. Константа М из внутреннего условия середин всегда удовлетворяет неравенству М > 1/2.

4.1.11. Теорема. Гомеоморфное вложение f : I —t X сегмента I С R1 удовлетворяет внутреннему условию середин yCint (1/2) тогда и только тогда, когда оно является композицией f = j о g аффинного g : / —> Rl и изометрического j : g(I) —У X вложений.

В §2 мы вводим внешнее условие середин и изучаем его связь с другими метрическими условиями.

В §3 с использованием результатов главы III доказывается полезный критерий квазисимметричности вложений интервала прямой в полное метрическое пространство.

4.3.1. Определение. Пусть / : / X — гомеоморфное вложение интервала / С R1 в метрическое пространство X. Будем говорить, что / удовлетворяет условию (N, г)-цепей с натуральным N и положительным г < 1, если для любой пары различных точек a,b £ I найдется цепь а = Со < С\ < . < сдг = Ь такая, что выполняется неравенство f(ct)-f(c^)\<r-\f(b)-f(a)\. для каждого г — 1,., N.

4.3.5. Теорема. Гомеоморфное вложение f : I —X интервала I С R1 в полное метрическое пространство X класса НТВ является rj-квазисимметрическим тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одновременно условию Келингоса УК(Ь) и условию (N,г)-цепей с некоторыми константами L > 1, г £ (0,1) и натуральным N.

В качестве приложения этой теоремы в §4 доказывается необходимость и достаточность однородного условия цепей для квазисимметричности вложения числового интервала в полное метрическое пространство.

4.4.1. Определенеие. Будем говорить, что гомеоморфное вложение / : / -> X интервала / С R1 в метрическое пространство X удовлетворяет однородному условию (iV, г)-цепей с натуральным N > 2 и положительным г < 1, если для любых a,b Е I (а < Ъ) выполняются оценки аг) - /(а401 < г ' I№ - f(a)|, г = 1, .,7V, где

Ъ — а . а{ = —— ■ г + а.

4.4.2. Теорема. Гомеоморфное вложение f : I X интервала I С R1 в полное метрическое пространство X класса НТВ является г/-квазисимметрическим тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет однородному условию (N, г)-цепей с натуральным N >2 и положительным г < 1. При этом функция искажения г/ и пара констант (N,r) имеют взаимные оценки.

В §5 мы рассматриваем гомеоморфные вложения метрических пространств, удовлетворяющие условию квазисимметричности в малом.

4.5.1. Определение. Пусть X, У — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфное вложение / : X —> У удовлетворяет условию квазисимметричности в малом, если существует такие постоянные е (Е (0,1) и М > 0, что f(x)-f(z)\<M-\f(y)-f(z)\ для всех попарно различных точек x,y,z £ X таких, что \х — z\ < е • \у — z\.

Приведенное условие является формально более слабым, чем условие слабой квазисимметричности. Тем не менее, справедлив следующий результат.

4.5.2. Теорема. Пусть X является k-НТВ и с-ВТ метрическим пространством, У — k'-НТВ пространством, и пусть гомеоморфное вложение f : X —» У удовлетворяет условию квазисимметричности в малом с константами е £ (0,1), М > 0. Тогда / является г)-квазисимметрическим с функцией искажения rj, зависящей лишь от к, к', с, М и е.

Эта теорема, в частности, показывает, что в случае отображения fc-HTB пространства с ограниченным искривлением в fc'-HTB пространство утверждение ([49], Th. 3.10, р.107) остается справедливым при значительно более слабых посылках.

В примере 2.2.5 построено гомеоморфное вложение, удовлетворяющее условию Келингоса, но не являющееся квазисимметрическим. В §6 вводится достаточно широкий класс метрических пространств, в которых выполнение условия Келингоса уже оказывается достаточным для квазисимметричности.

4.6.1. Определение. Будем говорить, что метрическое пространство X удовлетворяет условию сфер, если для любых различных точек ж, у € X и любого г > \х — у\ выполняется одна из следующих двух ситуаций:

1). s(x,r) = q>.

2). S(s,r)nS(y,r)^0.

Допускается, что для одного г выполняется ситуация (1), а для другого — ситуация (2)).

4.6.2. Теорема. Пусть метрическое пространство X является С-псевдовыпуклым и удовлетворяет условию сфер, а У является метрическим к-НТВ пространством. Тогда всякое гомеоморфное вложение f : X —> У, удовлетворяющее условию Келингоса УК(Н) на X, является rj-квазисимметрическим с функцией искажения г/, зависящей лишь от С, к и Н.

И наконец, в §7 рассматриваются гомеоморфизмы плоскости на себя, удовлетворяющие условию диагонали.

4.7.1. Определение. Направлением квадрата на плоскости будем называть угол а £ [0,7г/4] между его стороной и координатной осью.

4.7.2. Определение. Будем говорить, что гомеоморфное вложение плоскости /' : R2 —> Rn удовлетворяет условию диагонали с константой а > 0 в направлении а £ [0,7г/4] (сокращенно, УД(а, <т)), если для любого квадрата Q с направлением а выполняется оценка

0-/(02)1 1/Ы-/Ы1 при любой последовательной нумерации его вершин Q — 01020304.

4.7.27. Теорема. Если гомеоморфизм f : R? —R2 удовлетворяет условию диагонали УД(тт/8,сг) с константой а < 1, то f является со1-квазисим-метрическим с функцией искажения сoi, зависящей лишь от а.

В частности, УД(7г/8,ст) с о < 1 можно рассматривать как достаточное геометрическое условие дифференцируемости / почти всюду (следствие квазиконформности /). Эта теорема также представляет интерес в связи с проблемой Геринга-Вяйсяля ([35], р.24) и ее различными модификациями ([11], [27], [28]).

В заключение приводится список используемой литературы, содержащий 56 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Изложенные в диссертации результаты неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре лаборатории геометрической теории функций ИМ СО

РАН под руководством профессора А.В.Сычева и профессора В.В.Асеева, а также на нескольких конференциях.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [13], [14], [15], [16] и [41].

учному руководителю профессору Асееву В.В. и профессору Сычеву A . B . з а неоценимую помощь при подготовке диссертации.

1. Александрян З.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология.— М.: Высш. шк-1979.

2. Алъфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям.- М.: Мир,- 1969.

3. Асеев В.В. Квазисимметрические вложения и отображения, ограниченно искажающие модули. // Ред. Сиб. Мат. Журн., Новосибирск.- 1984.- Деп. в ВИНИТИ No 7190-84,- 30 С.

4. Асеев В.В. Нормальные семейства топологических вложений. // Динамика сплошной среды, Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР.- 1986.-Вып.76,- С.32-42.

5. Асеев В.В. О сходимости и устойчивости отображений, ограниченно искажающих модули. // Сиб. Мат. Журн.- 1984.- Т.25, No 1,- С.19-29.

6. Асеев В.В., Кузин Д.Г. Достаточные условия квазисимметричности отображений прямой и плоскости. // Сиб. Мат. Журн.- 1998.- Т.39, No 6.-С.1225-1235.

7. Асеев В.В., Кузин Д.Г, Континуумы с ограниченным искривлением: условия цепей и инфинитезимальной связности. // Сиб. Мат. Журн.- 2000.— Т.41, No 5.- С.984-996.

8. Асеев В.В., Троценко Д.А. Квазисимметрические вложения, четверки точек и искажение модулей. // Сиб. Мат. Журн,- 1987.- Т.28, No 4.- С.32-38.

9. Асеев В.В., Шалагинов А.А. Отображения, ограниченно искажающие отношения расстояний. // Доклады РАН,- 1994.- Т.335, No 2.- С.133-134.

10. Вурбаки. Общая топология.~ М.: Наука.- 1969.

11. Жабборов Н.М. Условие квадрата и квазиконформность. // Математический анализ и дифференциальные уравнения, Межвуз. сб. науч. тр., Новосибирск. ун-т, Новосибирск.- 1991.- С.67-72.

12. Aseev V.V. Distortion of moduli of cubes and quasiconformality. // Siberian Adv. Math. (SIBAM).- 1993.- Vol.3, No 4,- P.l-7.

13. Aseev V. V. The geometrical definition of quasiconformality and plane labyrinths. // Научные мат.чтения памяти М.Я.Суслина (3-я Суслинская конф. Тез.докл.) Россия, Саратов,- 1994,- С.17.

14. Aseev V.V., Vamanamurthy М.К. and Vuorinen М. Quasiadditive properties and bilipschitz conditions. // Aequations Math.- 1998.- Vol.56.- P.98-K0.

15. Assouad P. Etude d'une diemension metrique Нее a la possibilite de plonge-ments dans Rn. // C. R. Acad. Sci. Paris, AB 288,- 1979.- No 15.- P.731-734.

16. Beurling A. and Ahlfors L. The boundary correspondence under quasiconformal mappings. // Acta Math.- 1956.- Vol.96.- P.125-142.

17. Blumenthal M.L. Theory and applications of distance geometry.— Oxford, Clarendon Press.- 1953.- 368 P.

18. Erkama T. Quasiconformally homogeneous curves. // Michigan Math. J.-1977.- Vol.24.- P.157-159.

19. Falkoner K.J. The geometry of fractal sets.— Cambridge, Cambridge Univ. Press (Cambridge tracts in Math.; 85).- 1985.

20. Gehring F. W. and Vaisala J. On the geometric definition for quasiconformal mappings, // Comment. Math. Helv 1961.- Vol.36, No 1.- P. 13-32.

21. Ghamsari M. and Herron D.A. Bilipschitz homogeneous Jordan curves. // TAMS.- 1999.- Vol.351, No 8,- P.3197-3216.

22. Hayman W.K. and Hinkkanen A. Distortion estimates for quasisymmetricfunctions. // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodovska Sect. A.36-37.- 1982-1983 (Published 1985).- P.51-67.

23. Hinkkanen A. Asymptotic extremal growth of quasisymmetric functions. // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math.- 1986.- Vol.11.- P.295-319.

24. Ivascu D. Remarks on a class of quasisymmetric transformations. // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.- 1978.- Vol.23, No 5.- P.745-750.

25. Kelingos J.A. Boundary correspondence under quasiconformal mappings. // Michigan Math. J.- 1966.- Vol.13.- P.235-249.

26. Kuzin D.G. The precise distortion function and qusisymmetric mappings. // The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (KORUS'99), Abstracts, Novosibirsk, NSTU.- 1999.- Vol.2.- P.563.

27. Lehto О. and Virtanen K.I. Quasiconformal mappings in the plane. / / 2nd ed. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Band 126, Springer-Verlag, New York Heidelberg - Berlin.- 1973.

28. Qiu S.-L. and Vuorinen M. Quasimultiplicative properties for the //-distortion function. // Complex Variables Theory Appl 1996.- Vol.30.- P.77-96.

29. Rickman S. Characterization of quasiconformal arcs. // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math.- 1966.- Vol.395.- P.l-30.

30. Renggli H. On triangular dilatation. // Proceedings of the Romanian-Finnish Seminar on Teichmiiller Spaces and Quasiconformal Mappings, Brasov.- 1969, Publ. House of the Acad, of the Soc. Rep. Romania, Bucharest.- 1971.- P.255-259.

31. Thurston W.P. Zippers and univalent functions. // The Bieberbach conjecture. Proc. of the Sympos. on the Occasion of the Proof (Math, surveys and monogr., No 21). Amer. Math. Soc.- 1986.- P.185-197.

32. Trotsenko D.A. and Vaisala J. Upper sets and quasisymmetric maps. // Univ. of Helsinki, Preprint 152,- 1997,- 24 P.

33. Tukia P. Spaces and arcs of bounded turning. // Michigan Math. J.- 1996.-Vol.43, No 3.- P.559-584.

34. Tukia P. and Vaisala J. Quasisymmetric embeddings of metric spaces. // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math.- 1980.- Vol.5.- P.97-114.

35. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings. // Lect. Notes in Math.- 1971.- Vol.299.- P.l-144.

36. Vaisala J. Quasisymmetric embeddings in Euclidean spaces. // Trans. Amer. Math. Soc.— 1981,- Vol.264, No 1,- P.191-204.

37. Vaisala J. Quasimdbius maps. // J. Anal. Math.- 1984/1985.- Vol.44.- P.218-234.

38. Vaisala J. Invariants for quasisymmetric, quasimobius and bilipschitz maps. // J. d'Anal Math.- 1988,- Vol.50.- P.201-233.

39. Vaisala J., Vuorinen M. and Wallin H. Thick sets and quasisymmetric maps. 11 Nagoya Math. J.- 1994,- Vol.135.- P.121-148.

40. Vamanamurthy M.K. and Vuorinen M. Functional inequalities, Jacobi products, and qusiconformal maps. // Illinois J. Math.- 1994.- Vol.38.- P.394-419.

41. Vuorinen M. Quadruples and spatial quasiconformal mappings. // Math. Z. -1990,- Vol.205.- P.617-628.