Гомеоморфизмы с заданным поведением локальных характеристик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

рг в од

п

¿ИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ . РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСМШРСКИЙ ГОСУДАРСТВШНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи <Щ 1 УДК 517.54

ЧЕИЮВ Юрий Кузьмич

ГОМЕОМОРФИЗМЫ С ЗАДАННЫМ ПОВВДЕЕйГШ ЛОКАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

OI.OI.OI - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1593

Работа выполнена в лаборатории теории функций Инотитута математики Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: доктор физ.-маг. наук,

проф. Сычев A.B.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

проф. Куфарев Б.П.

кандидат физ.-мат. наук, доцент Стругов Ю.Ф.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

Дальневосточного отделения РАН.

Защита диссертации состоится " д " ¿-¿-¿О¿и1993 г. в ■■ час> на заседании Специализированного совета К.063.98.04 в Новосибирском государстенном университете по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Пирогова 2, ауд. 317.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан " $ " рЛ-С &й!.-^- 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-маг. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В современной геометрической теории ¡ункций многих переменных важное место занимает теория про-транственных квазиконформных отображений и их обобщений.

Теория плоских квазиконформных отображений, берущая на-ало в известных работах Г.Греча, М.А.Лаврентьева, Л.Адьфро-а составляет ванную часть теории функций комплексного пере-енного и имеет многочисленные приложения к задачам механи-и и математики.

Изучение пространственных квазиконформных отображений; веденных М.А.Лаврентьевым в 1938 г., интенсивно продолка-осъ, начиная с 1960-х годов, в работах отечественных и за-убежных математиков, таких как Б.В.Шабат, II.И.Белинский, .Г.Решетняк, В.А.Зорич, Г.Д.Суворов, А.В.Сычев, В.М.Гольд-гейн, В.В.Асеев, Б.П.Куфарев, А.II.Копылов, С.К.Водопьянов, .Вяйсяля, Ф.Геринг, О.Мартио, С.Рикман, Р.Някки, М.Вуори-зн и др.

К настоящему времени теория пространственных квазиконфоп-шх отображений оформилась в самостоятельный раздел теории жкцш1 многих переменных, имеющий установившиеся плодотворные ;вязи с такими областями математики, как теория дискретных Й'пп, униформизация а топология многообразий, фуикционапь-ш пространства и дифференциальные операторы, теория приб-гасенкй н др.

В 1968 г. В.А.Зоричем был установлен допустимый порядок роста характеристики квазиконформности в теореме М.А.Лаврентьева, что послужило толчком к развитию теории квазиконформных в среднем пространственных отображений. В работах И.Н.Пе-сина, В.И.Кругликова, Ю.Ф.Стругова, В.С.Кудьявина и др. вводятся ограничения интегрального типа на поведение характеристики квазиконформности отображения. Гомеоморфизмы о характеристиками квазиконформности, удовлетворяющими этим ограничениям - в зависимости от типа накладываемых ограничений - имеют многие внутренние и граничные свойства, характерные для пространственных квазиконформных отображений.

В связи с этим при рассмотрении какого-либо набора свойств пространственных квазиконформных отображений естественно возникает задача определения такого поведения характеристики квазиконформности отображения, которое выделяло бы возможно более широкий класс неквазиконформных, вообще говоря, отоб ражений, обладающих этим же набором свойств.

Характерным граничным свойством квазиконформных отображений пространственных областей с гладкими границами является квазиконформность индуцированного на границе этих областей отображения. Представляет интерес выделение классов гомеоморфизмов, обладающих аналогичными граничными свойствами. Естественно потребовать, чтобы ограничения на поведение характеристики квазиконформности, выделяющие такой класс, были заданы лишь в окрестности точек границы и носили предельный хара] тер.

Цель работы. I. Определенно ограничена на поведение характеристики квазиконформности отображения вблизи граница, эбеЬпечивающих квазиконформность или квазисимметричность инду-дированного на границе отображения.

2. Исследование свойств гомеоморфизмов с характеристиками квазиконформности, удовлетворяющими этим ограничениям.

Методика исследования основана на общих методах геометри-jecKofi теории функций и, в частности, теории модулей семейст давых и конформней ёмкости и законах их искажения при рассматриваемых отображениях.

Научная новизна. Введено I - условие на поведение характеристики квазиконформности отображения. Определены условия ia геометрию областей, обеспечивающие продолжимость гомеоморфизмов, удовлетворяющих I- условию на границе, до гомеоморфиз-юэ замыканий. Введено свойство псевдоквазиконформности отображения на границе. Показано, что квазиконформный на границе гомеоморфизм областей с гладкими жордановыми границами инду-дарует квазиконформное отображение границ. Введено свойство равномерной псевдоквазиконформности и показано, что след рав-1 юмерно псевдоквазлконформного на континууме автоморфизма [лоскости является квазисимметрией этого континуума. Показано, [то равномерно псевдоквазиконформный на границе гомеоморфизм iapa на ограниченную жордавову Q Е D -область индуцирует звазисимметри» границы. Для некоторого класса плоских кривых (оказана непродолжимость квазисимметрии между кривыми этого ;ласса до равномерно псевдоквазиконформного на отображаемой ;ривой автоморфизма плоскости.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы в смежрых облаотях геометрической теории функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Ново-оибирок, 1988 г.), всесоюзной школе-семинаре по комплексному анализу (Ташкент, 1989 г.), на оеминарах лаборатории теории функций Института математики СО РАН и на семинаре по математическим моделям оплошной среды в Институте гидродинамики им. Ы.А.Лаврентьева СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [I -

4] .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из. введения, двух глав и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 91 страница, спиоок литературы.содержит 25 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ . .

В первой главе для гомеоморфизмов пространственных областей, принадлежащих вместе о обратным отображением классу АС вводится I -условие на поведение интегральных характеристик в окрестности граничной точки. Исследуется вопрос о том, при каких ограничениях на геометрию границ отображаемых областей гомеоморфизмы, удовлетворяющие I-условию в граничных точках, продолжаются на границу.

В § I приведены обозначения, одр-деления и утверждения, используемые в дальнейшем изложении. Здесь собраны необходи-

мне сведения из теории модулей ммейотв кривых, теории пространственных отображений и их граничного продолжения.

h.

• Определение. Пусть х: Ф -» - гомеоморфизм области £> с: IR , дифференцируемый почти всюду в X . Для точки X€D в которой J дифференцируемо с якобианом 3 (ас,-J") > о через обозначим величину

где £!(х) - минимальная полуось эллипсоида, в который перево-дитоя единичный шар линейным отображением 1)xj: .

В § 2 для гомеоморфизма, заданного в пространственной области, вводится I- условие в граничной точке.

а

Определение 2.1. Будем говорить, что гомеоморфизм j: ¡D-^IR удовлетворяет I -условию в точке р е 3D , если J вмеоте о обратным отображением принадлежит ACL и найдутся числа M,R>0 и борелевская функция <=с("Ь), ос : (.0,со) такие, что:

1) f^C-t) & M°U-t) для почти всех г е .

R.

2) [ oci±)cL-fc = о (2ц*1 5 ) при х — о.

г г

ft.

3) J об Щ d--t < оо.

Результаты этого параграфа доказаны о использованием следующей леммы, характеризующей искажение модулей некоторых семейств кривых.

Лемма 2,2. Пусть - гомеоморфизм, удовлетворяю-

щий I - условию в граничной точке р . Пусть А - континуум в Э , и Г - семейство кривых, соединяющих А и S(p,x) по 3) . Тогда

MUrWo.

г-» о J

Основным результатом параграфа шляется следующее утверждение.

Теорема 2.5. Цусть - гомеоморфизм, Ф - огра-

ниченная область, локально связная на границе и ъ' - область имеющая свойство Р^ на границе. Если ^ удовлетворяет I -условию на границе, то продолжается до непрерывного отображения замыканий JT; D —г ф'

Б § 3 вводивоя уоловие cap .-регулярности в граничной точке пространственной области Э

Определение 3.1. Пусть г? о и cj : (о,т.] Со,»")

- непрерывная функция.такая, что

5 (f.(-t)cL-t = со. . о

к ■ ■

Будем говорить, что облаоть является ('г.Ц1 ) - cap

- регулярной, если для воех i. е (о,т]

mj ■ Cap^ CDnS^Cp,^)-» ijtt).

aJeXmS^Cp,*) K

Приводятся примеры Cap - регулярных и не cap -регулярных областей, и доказывается, что гомеоморфизм класса ВL (ф) продолжается на границу по непрерывности,

еоли - жордановы области и область Э сар - регуляр-

на на границе. Отсюда вытекает следующее утверждение.

Теорема ЗЛ2, Пусть ^; 3) -»3)' - гомеоморфизм, Л) и 3)' - ограниченные яорцановы области, гомеоморфнне шару, и область Ъ1 обладает свойством Р2 и «хр - регулярна на границе. Если ^ удовлетворяет I - условию на границе, то ^ продолжается до гомеоморфизма замыканий : 3) я/.

Глава 2 состоит из четырех параграфов и содержит основные результаты диссертации.

В § 4 приводятся классические утверждения о свойствах продолжения на границу отображения, квазиконформного внутри области. Так, согласно^У ], еоли Э1,1>2 - области в (п.>3) с гладкими жопдановыми границами, М -'Эи

- 2Т>г , а - квазиконформное отображение,

то продолжается до гомеоморфизма замыканий ^ : Т>

3) и • При этом индуцированный на границе гомеоморфизм : И^-^М^ является квазиконформным как отображение гладких многообразий М, и М- .

В этом параграфе также приводятся основные сведения о квазисимметрических отображениях, введенных в[ТЛГ ]как обобщение на произвольные метрические пространства квазиконформных отображений. Понятие квазисимметрии позволяет описать метрические свойства отображений, индуцированных квазиконфорлными гомеоморфизмами на множествах, более сложных по своей структуре,

чем гладкие многообразия. В частности, если £ - квазшсонфорл-Н. 0 к

ный автоморфизм !й и А произвольный континуум в К , то ^I - кваэисиыметрия.

В § 5 вводится свойство псевдоквазиконформности в точке и на множестве.

к

Определение 5.1. Пусть : Т> -»■ - гомеоморфизм и р - конечная точка Э . Отображение. называется К -псевдоквазиконформным (±4 £ оо) в,точке . р , если ^ } ■j- - клаоса АCL и найдется множество Е с. R. такое, что пг^ ( Е) = 0 и

—- { HT(x,f)d5 $ К;

t-o mh (S(p,-fc)nD) „

Будем говорить, что § — К - псевдоквазиконформно на множестве f\cD I еоли ^ - К - псевдоквазиконформно в каждой точке множества А

В замечании 5.5 показано, что отображение, псевдоквазиконформное на области определения, будет квазиконформным в этой области. В лемме 5.6 доказано, что псевдоквазиконформное в граничной точке р отображение удовлетворяет I-условив, введенному в § 2.

Исследование свойотв псевдоквазиконформных на границе

отображений оояовано на законе искажения модулей некоторых

семейств кривых, установленном в лемме 5.II.

п. _ п.

Лемма 5. II. Пусть ^ ; -г 1)с+ - гомеоморфизм, К -поевдоквазиконформный в граничной точке ре 3 . Тогда длл любого сколь угодно малого £>0 найдется R.>0 такое, что для всех Г11Д2,€ (0,ß.) 5 га< га справедливо:

мси^Лььр,

1

где Г* - образ при отображении £ семейства кривых Г , соединяющих множества ЗСр^^и 3(p,t;>) по + .

Основным результатом параграфа является

Теорема 5.14. Пуоть ; 8*-* В - гомеоморфизм, псевдоквазиконформный на границе шара. Тогда ^ продолжается до гомеоморфизма замыканий J: В^-^бЛ . и это продолжение -- j Л t -, : S^"1'"' 1 является квазиконформным автоморфизмом граничной сферы.

Обобщая теорему 5.14. на случай гомеоморфизма жордановых областей о гладкими границами, получаем результат, являющийся аналогом теоремы 4.2.для клаоса псевдоквазиконформных на границе отображений.

Теорема 5,19. Пусть З^,!*,, с (j-c - жордановы области о замыканиями, даффеоморфными замкнутому шару и гомеоморфизм jf : CD^ —' И>2 является К. - псевдоквазиконфорлным на И±~ ЭЗ^. Тогда:

1. § продолжается до гомеоморфизма J : DtU Mt 1>г U М^

2. Отображение . является квазиконформным с ^ К0 . где К0 зависит только от К и К .

Пример 5.18 показывает, что класс отображений, псевдоквазиконформных на границе, не совпадает с классом квазиконформных в окрестности границы отобранений.

В § 6 введено свойство равномерной псевдоквазнконформнос-ти, более сильное, чем псевдоквазиконформност^,

Определение 6.1. Пусть ^ : D - гомеоморфизм.

Отображение -С называется равномерно К - псевдоквлпикон-

5. Чернов Ю.К. Квазисимметричность следа для одного класса пространственных гомеоморфизмов/ Межвуз. сб. науч.тр./ Под редакцией М.М.Лаврентьева: Новосиб. ун-т, Новосибирск. -6с. (в печати).

ИТЕРАТУРА

CGM] G-ekxLncj P. IV. ,Mattio 0. QuasleacttemaE distance domains Oud extwuioa Oj <j,uasiconjotmaii mappings li Л. AnaCipe fflaik. - 1985.- V. P. 181-E06.

C.GV] Gekxlncj P. W., ValsaCoL 3. Tkt coe-Jjitlehls of cj^asicon-^orLmaEitij ^ domains in space // Acta ttlatk. - 1965.-V. Ш,- P. 1-30.

[TV] Tulia. P.^ValsdEa 3. Qu-asLs^mmeitic em.feddi.n_gs * naeiue spaces // Ann.. Acad. Scl. Решг. Зег. AT . iTlatK. -1980. - V.5. - P. 9?-114.

где Р'- образ при отображении ^ семейства кривых Г7 , соединяющих множества Й^г^и ЗфЛг) по (й^ .

Основным результатом параграфа является

п. и.

Теорема 5.14. Пуоть ^; В -'В - гомеоморфизм, псевдоквазиконформный на границе шара. Тогда ^ продолжается до гомеоморфизма замыканий ЕЛ-» В*1" . и это продолжение ~ $ I л 1X • З^"1-* 1 является квазиконформным автоморфизмом граничной оферы.

Обобщая теорему 5.14. на случай гомеоморфизма жордановых областей о гладкими границами, получаем результат, являющийся аналогом теоремы 4.2.для клаоса псевдоквазиконформных на границе отображений.

к

Теорема 5.19. Пусть Ф1ТЭгс К, - жордановы области о замыканиями, диффеоморфньми замкнутому шару и гомеоморфизм

является К. - псевдоквазиконформным на М^ЭЗ^.

Тогда:

1. X продолжается до гомеоморфизма ^Т^М^Э^иМ^

2. Отображение является квазиконформным с ^ К0 » гДе К0 зависит только от К и 1г .

Пример 5.18 показывает, что класс отображений, исевдоква-зиконформных на границе, не совпадает с классом квазиконформных в окрестности границы отображений.

В § 6 введено свойство равномерной псевдоквазиконформности, более сильное, чем псевдоквазиконформност^,

Определение ,6.1. Пусть ^ ; X) - гомеоморфизм.

Отображение ^ называется равномерно К - псевдоквяпикон-

_ -1 п.

формным на множестве А<=-1> , воли - класса' АС¿.

и для любой последовательности сфер , {3^= 3

где р^ € А , > О и ■ 0 , рк-т р € А

при К — оо тлеем

—-- $ н^х^й^к««.

Следующий результат описывает свойства отображения, ин^-

дудированного на континууме автоморфизмом пространства.'

п. ь.

Теорема 6,4. Пусть ^ : К. -*• К - гомесморфизм, равномерно псевдоквазиконформный на континууме Дс К*1 . Тогда

- квазисимметрия.

А

Для гомеоморфизма шара на корданову 0.ЕЭ - область по-• лучен результат, обобщающий на класс равномерно псевдоквазиконформных на границе отображений ослабленную версию теоремы, доказанной в [СМ] для квазиконформных отображений.

Теорема 6.11. Пусть Э - ограниченная (ЗЕЭ - область . с кордановой границей, -гомеоморфизм, равномер-

но псевдоквазиконформный на Э Ё> . Тогда ^ продолжается до гомеоморфизма.В^-^З) , и. ^ |- квазисишетрия.

Доказательство этих результатов основано на оценке искажения модулей некоторых семейств кривых, полученной в лемме 6.2.

В примере 6.14 построено К - псевдоквазиконформное на кривой отображение плоскости на себя, не являющееся квазиоим-метрией на этой кривой, что показывает существенность свойства равномерной псевдоквазиконфорыности. Этот ке пример показывает несовпадение класса равномерно псевдоквазиконформных на

континууме автоморфизмов плоскости с классом квазиконформных в окреотности континуума автоморфизмов плоокости.

Исследованию вопроса о продолжимости квазисимметрий плоских кривых до автоморфизма плоокости, равномерно псевдоквазиконформного на отображаемой кривой, посвящен § 7. Показано, что квазисимметрия кривой с двумя пиками, направленными в одну оторону, на кривую с двумя пиками, направленными в разные стороны, не продолжается до такого автоморфизма плоскости.

ПУБЛИКАЦИИ 110 ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чернов Ю.К. Об одном граничном свойстве гомеоморфизмов/ Всесоюзная конференция по геометрической теории функций: Тез. докл. - Новосибирск, 1988.

2. Чернов Ю.К. Квазисимметричность гомеоморфизмов о заданным поведением характеристики квазиконформности//Актуальные вопросы комплексного анализа: Тез. докл./ У Всесоюзная школа-семинар по комплексному анализу, Ташкент, июнь 1989. - Ташкент, 1989.

3. Чернов Ю.К. О некоторых граничных свойствах гомеоморфизмов/ Математич. анализ и дискретная математика: Меквуз.сб. науч.тр./ Под редакцией М.М.Лаврентьева: Новосиб. ун-т, Новосибирск, 1989. - С. 34-38.

4. Чернов Ю.К. Граничные свойства одного класса гомеоморфизмов/' Механика современных материалов и конструкций (Динамика сплошной среды. - Вып. 98), Ин-т гидродинамики, Новосибирск, - 1990. - С. 80 - 97.

5. Чернов Ю.К. Квазисимметричность следа для одного класса пространственных гомеоморфизмов/Межвуз. сб. науч.тр./ Под редакцией М.М.Лаврентьева: Новооиб. ун-т, Новосибирск. -6с. (в печати).

ЛИТЕРАТУРА

С&М] (гекг1ис| Р №/., Маг^о 0. Оиаз'ьехЫтаб ¿¿Ьасе сЬтсиг^ О-т! ех'ипыоа о^ ^иа5йсоа^01т.0.£ таррт^р Н 0. Апа&ре ИШЬ.. -1985.- V. ^5".- р. 181-гоб.

СбУ] йекгт^ Г. \У.) УсИ^аСа 0. Тке сое^Сие^Б о^ с^иаа'юлп-^агтабиЬ ^ с1ота1п5 ш spo.ce // Ас1а ПМк. - 1965". -У.144.- Р. 1-ЧО.

[Т\Г] Та^а Р.,Уа1зс1^а 3. Йай&^тте1йс ет&сШа^" те1йс зрсм^ Н А пи. АсаА. бсЬ. Гепд.. Зег. Ат . УГМк. -1950.- Р.

Подписано к печати 22.04.93 Объем I п.л.

Формат 60x84, 1/16 Тираж 100 экз. Заказ к? 247

Ротапринт НГУ, 630090, Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2