Гомеоморфизмы, ограниченно искажающие модули, и квазиконформные отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДРЛШЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ,

____Институт-матечаТйкп имени В И. Романовскою

од

На правах рукописи ВЛРИСОВ АЗИЗДЖАН КИНДЖЛЕЛСВИЧ

ГОМЕОМОРФИЗМЫ ОГРАНИЧЕННО ИСКАЖАЮЩИЕ ЛЮД У Л И И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Специальность: 01.01.01 — математический анализ

А 15 Г О Р Г Ф I Р А I

д иссср: ,ч ¡1 я и на соискание ученой сгеиени доктора физико-математических наук

Ташкент — 1995

Работа выполнена на' кафедре математического анализа Ташкентского государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Миклюков В. М.

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РУз профессор Ходжиев Дж. X.

доктор физико-математических наук, профессор Медных А. Д.

Ведущая организация: Институт математики

АН Украины

Защита диссертации состоится « 6 ЪШЭлЛ 1995 г. в « /-V» часов на заседании специализированного совета Д.015.17.21 при Институте математики АН РУз по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РУз.

Автореферат разослан « X » 1995 Г-

Ученый секретарь У)

специализированного совета / *л )// доктор физико-математических \Улу\и М"/Ж(\йт\топ Ш. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность гемы. Таория квазиконформных отображений

плоских областей, восходящая еще ;с работам Г.Греча, была затеи систематически.исследована фу вдаив шальными работами М,А.Лаврентьева. Л.Альфорсв, О.Тейхнюляера. За годи своего существования эта теория стала хорошо разработанной областью гвоимтричеонэй теории фуодций'нэвплвксвого переменного. Достаточно полное изложение этой теории дэио з монографиях Л.Альфор-са.П.П.Белинсного, Л.й.Волиовноного, О.Лехга, Н.Внртанана, : С.А.Киушкаля и лп.

¡¿¿ааниинфаршши Ьтэйраканин многомерных областей вперши •были введены М.А.Лаврентьевым, А.И.Маркушевичем и М.А.Крейнесом в 1938 - 1941 гг. Особенно интенсивное развитие теории пространственных квазиконформных отображений началось с 1959 года в исследованиях советских, америкавоних, финоких,-румынских и других математиков.

Ряд свойств пространственных квазиконформных отображений

аналогичен ооответсхвующии свойствам плоских квазиконформных отображении. Однако'имеются существенные различия, обусловленное, главиыц образом, тец, что для пространства не имеет место аналог известной теоремы Рииава о конформном отображении одвв-свяаных облпстей. Отметин, что по теореме Лиувилля конформные отображения в пространстве описываются преобразованиями Цоби-уса, т.е. суперпозициями инверсии, растяжения, параллельного переноса и ортогонального отображения.

Мощный импульсом, обеспечившим продвижение в решении авдач теории многомерных отображений, послужило активное использовя- ' нив цетодав, связанных с изучением искажения конформных инвариантов. Один из них - истод модулей семейств кривых разработан в работах Г.Гроча и успешно применялся в теории конформных и квваикон-ьэршшх отображений на плоскости. Распространенной затем на ияогзмерннй случай в работах В.Л.Шабатэ, В.А.Эорича и А.3.Сычева этот метод стал элективным аппаратом в теории пространственных отображений.

- * -

Начиная о 60-х гэдоз*В.Г.Райатаякои и era учвниквми бурно развивалась теория неоднолистных отображений - отображений о ограниченным искажением.

Математический вппареи, созданный в рамках квэаиконформных отображений, вффантивйо используется 8 задачах прикладного характере и получил веобмов призвание специалистов в области гидродинамики, газовой дивемики, теории упругости в Других разделов механика сплоаной среды. , ' .

Предлагаемая диссертация посвяшана теории плоских и прзот-рэнственных йвааинонформных отображений. В ней исследуются интенсивно развивающиеся разделы} Теория граничны* свойств непрерывных отображений и вопросы квазиконформной продолишасти.

Цель работы, Установление связей меаду клвооами нвазиаоа-формных отображений » ОИИ - гомеоморфизмов; научение вопросов непрерывного продолжения не границу отображений, ограниченно ас кажапщих модули; опиоеякв функция иаквжения от модуля плоских топологических вложений; ваучевиево8можнооти квмиковформвой продолжимости о квазиконформного многоугольника ввавимёбиусов) вложений.; . *

QAWMmW* МРЩШМЬ В диссертации испоадзуотоя методы геометрйчеокой теории фувкцийиомплексяого переменного и теория каааиконформвых отображений; общие овайства модулей свмвййгв кривых; метрические свойства компактных подмножеств и отображений.

Цдзгчнмядовиаар. Основными рваультатем?, полученвыми в диссертация* rbsrdtok: :

- Описание свойств ОИИ - гомеоморфизмов ( в смысле П.П.) пинского) Ш честности, докваатвльс»во кввзйкевформностн ОИМ • гоцеоморфкаме Гладких ( класса С* ) поверхностей, получе ние точной оцейки коаффициеме кваакконформноо^к;

- решение ввдвчи о продолжении отображений, ограниченно искажающих модули, на границу облаоти определения}

- получение теоремы шесткооти для функция искажения из; плоских топояогичеоких вложений, ограниченно искожапцих мо«

- решение звдзчи о квазиконформной випуклости Н -ква-зиконфоршшх ъ - угольников}

- получение теоремц о квазиконформно» продолжении квазииёбиусовых вложений с квааиконфориного И - угопышка на вою плоскость.

Все перечисленные результата* являются новыин и снабжены подробными дэкезагельсгвами. Она ногу? нейви прниеивйно з те-и отдбоа*яний, в задачах гаометшш и «апологии.

/троения помоги. Роаудь^ь, цзг.;ийцш;с з дцсссргзц:;::, . докладывались овторои в течввиа ряда пег ва цаучно-исслодова-гельаких семинарах огделя гаарии функций йиотитуга математика СО РАН{ не городском сециивре по гаомэтрлческой теории фувкапЛ при ТайГУ| не саийядре 4-Й ролы по теории операторов 8 фувк-ционапЫ'их проотренатвак (Новааибирйк,- н& Донецкой .

колпвквиуне по теории функций а отобрацвййй в 1962 г.; на неядунэроа'!»* нпнфэрйнйаях по квиалвазао!!? анализу и прилгаеки-пн в 198г:- г. (Галле), в ТЭВ5 г.(Бэрнэ), ''■:■> г^зсцэнипх обцесояэ-ных нли йереациях по комплексному анализу 1937 пду (Москва) з 1988 г. (Ноьисибирск), в 1969 ?. (¡[овс-р.пбироч), ь 1939 г. (Ташкент), з .1993 г! (Ургс,;ч),

Публикации. Основные результата дисовртшт опубльковаяI

з работах /1/ - /1£>/, список которых !.ривэд;и в конце аг-^орафн-

рЭМ,

Структура а объём диссертации. Дк'осерщьцка 00011111 »и зиеден:!Я и трех глч?! Спчопк литопятурм содержит 87 изннаяо-аанкй робоа советских а з8рубзг.шк азгоров, ОЗъён диооортвщи4. сОО стрвниц ываинопкоаого гоксии.

Содераанаа диссертации. Как извести, квазиконформное отображение полностью характеризуется соотношением

мокду модулями семейств кривых Г л цодулпни их образов , наличие константы # , о ноторой для всех земеИств Г виполноио двойное неравенство

- б -

тяУ-* кмсг) {1)

определяет п/*к.гк,КВ83И1Т0Яф9рм89б отображение. В частности, если je6itriia%MB^tfi'orp8li4eBiie;';,:";S^ - квазиконформного отображения пространства. М* на некотором континууме ^Г ♦ то для любой^пзры'кмтиауум'ов.)',;^ , per J2L. двойное неравенство.^!): выполняется, для..семейства Г всех кривых в /ч*.,' ¡соединяющих ,кзгануу»у и р" , Тот факт, что

"образ" такЬго''семёйсиз& -при Отображении -г (это семейство. . Г* всех кривцх в ^соединяющих континуумы

; .-fiCEJi : и ..норрекхно определен и в том случае,

когда гзиео!.'Эрфнов отображение ^ задано лишь на континуума .^Т '.', позволяет рассмотреть кпэсс гомаоморфяых отобра-некий-континуума в : /£ , для которых неравенство (I)

выполняется при любой выборе ййдйснтиьуумов £Г , F . В этом класса, в 'частности,"содержатся ограничения на всё): . - квазиконформных, ^'рбрэжений пространства йвучопие :отображений из ^том.гклаоса, которые мы называем ОИМ - гомеоморфизмами (т.е. гомеоморфизмами, ограниченно иска-квщих "модули)/, представляет интерес, прежде всего, в связи с задачей О,продолжении гомеоморфизма с контииуумэ до

квазиконформного отобреаония всего, пространства R .

Первоначальная идея рэссмйтрения гомеоморфизмов, определенных не континуумах и ограниченно искажающих модули, принадлежит П.П* Белинскому. . • '

Предложенный'П.П.Белинским метод эоноваи на изучении овойств топологических влотаний', ограниченно искажающих модули и имеющих в качестве областей определения рэзлианвз лодчножест-

ва пространство /3 . Гибкость метода П.П.Белинского состоит в гом, что в этой класса топологических вменений олоз-иллп ««дач« яврХКруСГСЯ Б и;;ьоких ппя"»"«»

зависимости от метрико-топологических свойств сблзстей определена рассматриваемого класса отабрахен'Щ.

Имеются простые примеры, кг>гда 01Ш - гомеоморфизмы континуума невозмоано продолжить квазиконфорш-ым образом иа только аа все пространство , но даже на окрестность континуума ~ . Я аьнвх с зт.та изучение ОИМ - гсаеоморфнз-мов приьоратоот самостоятельны!! интерес.

В первой главе, состоящей ¡к; лп^л пзрз.'ра^оь, деемся оиисаниз свойств СИМ - гоиаоаор^кгшов, Содержательный центром 8той тпаьи является теорема п кчазикон^ррнироти ОЙМ - геаеоиор-физиа с коэффициентом квазчкпнйормности се прзвосходящем коэффициента искажения СИ!! - гомеоморфизм.

В § I приведены точные формулировки сснопиь-" лэиясий: модуля семейства крив:«, квашгезн^лр.унзго отображения и С ХМ ~ гомеоморфизма.

Метрика рС*) называется допустимой для семейства Г дуг в 1 если для лыбоИ спрямляемой дуги Г вы-

полняется оценке

У

(Здесь интегрирование производится по длине дуги). Величине

я"-

- в -

где интегрирование производится по uepo Лебега в fi4, , j

in 4 беретоя no boom метрикам j&toej , допустимы« для Г" -называется модулам семейства Г (Определение 1.1Л).

Для области и пары йомпвктных множеств £Г ,

рс обозначим символом 'Н СЁ, Fj И) , модуль семейств йсех дуг в ¡Ц* , соедпнящих множестве £"• и р и лежащих в области 0 » Вопи 0* R , то эту величину обозначаем символом М FJ • При необходимости в этих обозначениях указывается также размерность пространства Й*1 » в котором лежит указанное семейство в виде нижнего индекса у символа М »

Гомэомо,,фн<;0 отображение связного подмножества XCR"" в ЙЛ называется ограниченно искажающим модули ( »ли ОИМ -гомеоморфизмом), если имеется константе Н>0 таквп, что неравенство ' '

• F) * MCflSh iCFj)^ (¿М(ЕЛ Ю.

t t ' выполняется для любой пары непересекающихся континуумов £ , per 2.', Наименьшая из всех таких ковстэнт // называется коэффициентом искажения гомеоморфизма .

Во втором параграфе по аналогии с введением Тамразовым II» поивтнем внутреннего диаметра множества, вводится понятие внутреннего радиуса?^ - связности множества. В терминах отношения внутренних радиусов связности множества 'к их расотояикй ( » смысле Хаусдорфова) до предельного множества £Г вводится понятие сильной сходимости F "np* i , Приводится теореме» устанавливающая свойство

непрерывности модуля М , }

при наличии сильной сходимости £ и ^ ^ Р

(теореме 1.2.1, принадлежащая Апе^зу 5.5.).

В ?ретьац пврагрвф? устанавливается (тесреив 1.3.2), что, если $: 2Г —* 21 ОйИ - гоцвоиорфиви поверхностей, (классе С* ) в с коэффициентом йскваачия $

fo о» является И - квазиконформным о . Эта

геораыв является основной в главе.I, *

В четвертой параграфе дано. определение - вложения,

ПуСЗЬ ^ СГ Ц П И й) • Ьа) —> Га,* - гоивоыор-физм. Тспологлчасиов влояеняе 21 —> называемся

и)п к -влоаесиеи, если для любой пары чапересекакщихся КОНТИНУУМОВ В' В^ ^ ВЦПОЛВЯвТСЯ соотношение

со'СМп (Еь * М* ■

В случае И^п- и линейной фушции й> , вла-

н-зыио называется твкже ОНЫ - гомеоыорфизиок.

Одной из трудных проблем теории пространственных квази-конфорцных отображений, привлекающей внимание специалистов, является проблема устранимости, которая состоит б следующем. Пусть - область в /? " и л) - заикнутоо отно-

сительно $ множество. Спрашивается, в какой олучвв «йбов квазиконфориное отображение • ' '

{>. 7)\ Е

■' 1

иож&т быть продоляопо до кавэикрн^срмного ОТЧбрЗЯОЙИП : /

$ 1 Если такое продолжение оуиватаует,

то множество £ называется устранимым множеством в плесов таких отображений. Аналогичные задачи для отобраявниЯ, ограниченно истекающих модули, имеют следующие возмоЁныв постановки.

Во-первых, следует описать-ситуацию, когда топологические вдонения $ : 21—>12 , ограниченно искажающие модули, продолзаются по непрерывности до топологического ьлокоиня . ^ —д. Ц* . Во-вторыя, следует выяснить, когда продолженное отобракенио также ограниченно иска-

пает модули. ¡Мретьих, установить, в каких случаях иродолна-нив 4 Л - вложения -•{- такке будет ^ - влокением.

В этом параграфе рассматриваются аэдачн о продолзовии влскаиий по непрерывности в греаичиыо точки области определения.

Мнокоства .21 С £ называется локально дугообразно связным б точке р & 21 , если любая окрестность Ур*— й точки р содержит окрестность С [}р етоЛ гочки такую, что ннсяество дугвобразио связно, т.о. любые две ого точки мояно соединить континуумом, лежащим в

В нечеле параграфе рассматривается задача об устранимости в классе ОИМ - гомооморфизмов, когда множество Е является локально .дугообразно овязным.

Интересной оказалась ситуация:' если множество с сг Я локально дугообразно, связно в каждой точке своего замыкания, то любой континуум Е* СГ 21 является пределом последовательности континуумов \ ВК\С21 (лвмыа 1.'*Л).

В этом скучав вопрос об устранимости рассмотрен В.В.Асе-

-п-ч

евым, Им доказано, что, если множество 31 <С Р."' локальна^ дугообразно связно в каждой точке своего замыкания , то любой ОИМ - гомеоморфизм $ 2С. продолжается до

I*. «я» " "

ОИМ - гомео«эр§язна К с тем ко коэффициентом искаже-

ния, что и у 4- (теорема 1.4.1),

Отсюда следует, что,если SZ.cz локально связный континуум, - его замкнутое подмножество, не имеющее

внутренних точек в Ж~ и локально дугообрвзно

связно в.каждой точке множества ВТ. , то является устранимым для ОИМ - гомеоморфизмов (теорема 1.4.2).

Множество называется лолуконтинууыэа,

если любые две точки ого можно соединить континуумом в .

Объединение ео (" ^ 2) всех полуконтинуумоз .содер-

жащих ос. , называется конституантой точки ^ в .21 .

Пусть точке .

ре называется

а) граничной точкой первого, типе, если дли некоторой окрестности 1/рсг точки р существует

такое, что Й'хСа11)> Бр Д1Ш всах се е

б) грвничной точкой второго типа, если

при -ж- —*■ Р и существует окрестность Я точкир

такая, что ре С а: ^ при аг <= А

■ £} обозначим множество воех

граничных вочек ^ -типа. Доказала

Iо>I,>ТЙОРЕКА. Если ЗЁ! \ 2 = 2Е. II ^^ ,то любоо , злохе'ние $ '■ & продолжается до топояр-

Г К -

.ического вложения ЗГ —*

*** Л.

В частности, условия теоремы выполняются, если Ж'С- & является объединением конечного числа невырожденных полуков-тинууиов. Если вое точки р являются гравичвыни точ-

ками первого типа, то любое - вложение £

продолжается до * - вложения о тем же самым .

Существввнооть условий, которые мы накладываем на характер граничной точки в теореме 1.4.1, показав в примере, когда точка р X не является граничной точкой перво-

го или второго типе и ^ не продолжается по непрерывности в точку р ,

Одна ив важнейших эадач теории пространственных квазиконформных отображении - описать всеми возможными способами те области из Ц*" , которые'можно квазиконформно

отобразить вв единичный шэр 0*1* в Я .

В настоящее время известны два таких критерия, однако отсутствует чисто гаоматричесний критерий, аналогичный творе ме Римана. Простые примеры показывают, что не может быть удов летвэрительного описания областей квазиконформно вквивалант-нйХ шару в терминах гладкости их границ»

Пятый пврагрвф данной главы посвящен этим вопросам. Тем приведены некоторые паталогичвские примеры областей кваэ! конформно эквивалентные шару. В частности, содержится пример области , квазиконформно эквивалентной шару ,

граница которой имеет трехмерную положительную меру.

Вторая Глена посвящена гипотезе П.П.Белинского о плоски топологических вложениях, ограниченно искажающих модули.

В этой главе, состоящей из пяти параграфов, рассматриваются -----влокения на плоскости. Ряд задач по изучению' вложений, ограниченно искажающих модули и заданных на различных подмножествах в /с , был поставлен проф.П.П.Белинским. Ему также принадлежит гипотеза о том, что по крайней мере на континуумах всякое -влоаааие являема ОИУ - гомеоморфизмом, т.е. имеет место мопем? г.зс2аос?и для функции искзге-зая. > (Она д5Л~нз быть,в виде> Основным в этой главе является результат, подтверждающий эту гипотезу 88 ПЛОСКОСТИ.

В параграфе I приведены необходимые определения и утверждения.

Упорядочевнвя четверке попарно различных точек 7"= 9с.ч I й называется тетрадой, 8 конформно

иивариантная величина

её характеристикой. Здесь символ'ом обозначено сфери-

ческое расстояние между точками ос , «

Для подмножестве 21с: ¡Ц* и гомеоморфизма

топологическое вложение 51—> Я*1" называется о> -квази-мёбиусовым, если для всех невырожденных тетрад ¿Е.

выполняется оценке

ъС4ст)У * лсьст^

Упорядоченная тройка точек называется триадой, воли

• . ( зти точки попарно различны, то триаде «взывается невырожденной»

Для невырожденной триады Т^ $ "вводим характеристику

Для подмножества Й »г гомеоморфизма

топологическое вложение 21-* называется -квази-симметричеоким, если для всех невырожденных триад Т^ выполняется оценю

а>С*ст))

Клесс квазисимметричеоких, квазимёбиусовых и топологических вложени, .ограниченно искажащих модули, связывают следующими утверждениями.

Для /п *■ А- и гомеоморфизма из; Й+ суцест-

вует гомеоморфизм со: такой, что для любого£

из - кввзиеимметричности вложения 2Г-* следует его ¿25 - квавимёбиусовость (утв.' 2,1.15).

Любое Ф - квзвимёбиусово вложение £| Я.

подмножестве Л5Г £ является -вложением,

где ¿о зависит лишь от , и £> .

Для /? , '/я <2 и гомеоморфизма существует гомеоморфизм •' ' * такой, что любое сОя)т- вложение 6 полуконтинуума

является ¿2» - квазимо'биусовым (утв.2.1.18).

Параграф' второй посвящон доказательству вышеупомянутой гипотезы в случае, когда областью определения ^ -вложения является "букот" - квазиконфомрчых дуг. Иными словами

континуумы .27 <= йГ такие, у которых оуществует точка

р е .21 такая, что \ { р] распадается в объединение попарно непересекающихся - квазиконформных дуг (открыты* ияи.пояуеткратаг). 'Ззквзаав

2.2.2.ТЕОРЕМА. Пусть континуум € содержит точку р такую, что ЛГ \ 1р} распадается в объединение попарно непересекающихся ^ - квазиконформных дуг (открытых или полуоткрытых). Тогда любое сл> - вложение $ является ОЙМ - гомеоморфизмом с Н ** - , где ¿р зевисш лишь от и с£>

3 этом же'параграфе устоновлена устранимость точки р в классе ОИМ -гомеоморфизмов, т.е. доказана следующая

2.2.3.ТЕОРЕМ. Пусть континуум С содержит точку р такую, что \ {я} ~ ,21' ость объединения попарно непересекающихся £ - квазиконформных дуг (открытых или полуоткрытых). Тогда любое <Л> - вложаяяе С продолжается до ОЙМ - гомеоморфизма £ '• 21-* Е с /е.и & где зависит только лишь от Н. и ^ .

Цель параграфа 3 показать: будет ли в условиях теоремы 2.213 продолжение ОЙМ - гомеоморфизме, имеющего тот же самый коэффициент искажения? Рассмотрен пример, показывающий, что это не так.

Четвертый'параграф содержит основной результат данной главы: любое (л) - вложенио 22-* £ континуума является ОИМ ~ гомеоморфизмом с 6Щ ,где (2 за-

висит от !*> (2,4.2. теорема).

В параграфе пятом изучены гомеоморфизмы * - мерных сфер и их продолжение но пространство больно размерности.

лом обозначается модуль кольцевой области

Топологическое вложение 21-* 4Г множества -ЗГсг С называется сохраняющим модули, если

для любой пера .непересекающихся континуумов ¿г ,

2.5.2.ТЕОРЕМА. Если компактное множество 2Гсг £ имеет положительную рввмернзсть э кэждой своей точке, то любое сохраняющее модули топологическое вложение ф С продолжается до мёбиусова отображения всей плоскости С .

Как обобщение теоремы 1.3.2'в случае, когда размерности гладких поверхностей Ж- и «Л равны , , при-

ведена следующая теорема

2.5.3,ТЕОРЕМА. Ълял 4'• 30-+'ОИМ - гомеоморфизм гладких поверхностей размерности К , г< И п, с коэффициентом искажения $ , го ов является ^ - квазиконформ-

8Ш С //'й

Верив также теорема о продолжении квазиконформных отображений, в именно:

всякое квазиконформное отображение $ Д.*" продолжается до квазиконформного отображения : р."'*1

Для /£з2 этот результат был доказан Л.Альфорсом, для й.=3, во для квазиконформных отображений, близких к конформный Р.Седо и А.В.Сычевым, /1=3 - Л.Карлесоном, для произвольного ЬъЗ П.Твка.

В случае, когда коэффициент искажения ОИМ - гомеоморфизма

Оказалось, что поведение пространственных модулей при отображении поверхности даёт несколько большую информацию о нем, чем поведение поверхностных модулей. Тёк, например, йзометрия плоскости в пространство яд границе дву-

гранного угла сохраняет поверхностные модули, но не сохраняет в общем случае пространственные модули. Условия сохранения пространственных модулей обеспечивает не только - квазиконформность отображения плоскости на поверхность, но и его яйбиусовость в пространстве. Результаты в атом направлении принадлежат В.В.Йсееву и они демонстрируют еще раз эффективность идеи П.ГГ.Белинского.

Пусть ЗИ есть А -мерная сфера в , ^ «4Л-,д

^: 21-**21* т гомеоморфное отображение, звданное не XI

Будем говорить, что сохраняет пространственные

модули, если для любых двух непересекающихся континуумов

ррс.Ж. и их образов , 21' выполняется

• ^ м

равенство

М( Р», ^ ) ~ Ю-

2.5.1.ТЕОРЕМА. Всякий гомеоморфизм ЗС-^ЗГ к- мер— и

ной сферы Д , сохраняющий пространственные модули,

является ограничением на Р2. мёбиусовв отображения всего пространства.

Эта теорема имеет место в более общей ситуации. Приведенный вариант имеет целью наглядности. Особенно ярко выглядит теорема в случае /г =2.

Для непересекающихся континуумов £ , симво-.

- 1В -

близка к единице имеет место следующее

СЛЕДСТВИЕ 2.5.1. Если гомеоморфизм плоскостей * размерности к , н * * п., 4• является ОИМ -

гомеоморфизмом с к.и. «ь , » он продолжается до

- квазиконформного отображения Р £

о 1С + ;

Третья глава диссертации посвящена квааиконфорыныы продолжениям гомеоморфизмов плоских областей.

Пусть 'фР и "70"* жор да новы области в'расширенной комплексной плоскости и есть гомеоморфизм их границ,

сохраняющий .ориентации относительно этих областей. Классическая задача о квазиконформной продолжении граничного соответствия формулируемся в виде, вопроса: Когда существует квазикон- . формное отображение области не "* , совпадающее

на границе с заданный гомеоморфизмом?

Впервые 8?э вадачв была рассмотрена и решена Альфорсом и Берлингом в 1956 году для случвя, когда и *

полуплоскооти. Они получили необходимое и достаточное условия для существования квазиконформного продолжения. Это условие, названное ими £ -условием, состояло в наличии равномерной оценки искажения для отношения взаимных расстояний упорядоченных троек точек на.действительной оси. Далее это условие названо "условием квааисимметричиости". Наиболее общее определение квазисимиетричности было предложено в работах Тунина II. н Вясяля Ю. Целью втих авторов имелось построение аналога квазиконформности в более общей ситуации. Это привело их к рассмотрение каависимметрических вложений произвольных метрических пространств.

Метрическая характеристика троек точек, участвующая в определении кввзисимметричности, на является конформным пнвяри-пптой'. В связи с этим, В.В.Асеевым было предложено воспогьзо-ваться конформно инвариантной ивтрическоД хероктеопоти»«»'уг* рядочвавых ;ич.т - ЗТЙПтян-'»? ЗЗЗМУННХ рзссто-

ччяй ',;аг.ду ними. Этот конформный инвариант успешно применялся рзнее для описания некоторых свойств плоских квазиконформных отображений и естественно приводит к выделении класса топологических- влоаений, ограниченно искажающих указанную метрическую характеристику четверок точек - кввзимёбиуоовыа вложением. Чуть поэга Вясяяя и-ззвгисиао ввэл в рассмотрение с гот к:хсс топологических злот.сзнлП п также предлоялл назпзхь кх квазпмобиусовьми, Геисвию ряда замечательных согоч ч лом направлении посвящены рсботы 3,И.Асеева и ого учеников.

Ип?,:зстон слодурциГ критерий кказг.кочфораноЯ продллкгмости. изкодазяниЯ т моиог^афия Лохто и Глртелзнз. Если пс граччце области отметить упорядоченную чотверку Т попарно различных точен» то область стпиовитеп криволинейным чп'^рех-уггпькикса, кэтар-:й обозначаем екгкэяэи — ' обооипчеет конформный модуль этого четырехугольника. Теорема у Лохто-Виртзиеиа утверждает, что граничное соответствия с^ продолжается до (( - квазиконформного отображения областей г. том и только в том случай, когда для любой ~Г яа граница модули соответствующего четырехугольника изменяются но более, чем в ¡4. раз.

Еще одно известное достаточное условие квазиконформной продолжимости имеется у Рикмонз. Ойо получено им в 1969 году в терминах модулей ангармонического отношения чатзерок точек*

Собственно Рикман рассматривал задачу о квазиквяформном продолжении на всю плоскость.

Настоящая глава состоит ив четырех параграфов и посвяцвнв & - квааимёбиусовым вложениям плоских жордановых областей. Изучается класс жордановых областей, обладающих свойством квазиконформной продолжимости: любое и> -кввзимёбиусово вложение, сохраняющее ориентацию, продолжается до (С - квазиконформного отображения всей плоскости с коэффициентом квазиконформности ' (С , зависящим лишь и й ,

В.В.Асеевым сшшан класс областей с квазиконформной продолжимостью в виде модифицированного свойства выпуклости. В связи с этим им было высказана гипотеза о ?ом, что нриволинйй-ные П- - угольники, сторонами которых являются № - квазиконформные дуги, должны ооладзть этим свойством выпуклости! Данная глава позвшценв решению этого вопросе.

В первом параграфе приведены известные критерии квазиконформной продолжимости гомеоморфизмов.

Область 7>с К называется // - квазиконформно выпуклой, если любые две точки -2, , -2* е. можно соединить (£ - квазиконформной дугой либо з 2) , либо ъСЪ Второй параграф посвящен доказательству теоремы В.В.Асеева, которая формулируется в следующем виде.

Есл» жорданова область "7*«с ¡С- /^квазиконформно выпукла, то любое сохраняющее ориентацию а> -квазимёби- ; уссвз вложение продолжается до -

квазиконформного отображения сферы £ * на себя, где Ц* зависит только от /£ и с*> ,

Параграф третий посвящай квазиконформно выпуклы» областям в $ . Жордзиова область Я ,на границе

которой отмечены попарно разяичййх точек ^ О*,...;

Называется Д - уголипкоз,* Точкй ¿^ Л"

я?зиззп1С;1 ого версяпоми, Множество'"^ * £».>•••,» является объединением /1 жордаасвых дуг, замыкания которых З1«- будем называть сторонами этого ириволивейного ' И - угольника. Криволинейна» Я - угольник вазнвэбтоя К - квазиконформным, если каждая йэ его сторон является № - квазиконформной дугой, В атом параграфа дока-эепа следующая'

3.3.¿.Теорема. Любой // - квазиконформный двуугольник является ~ квазиконформно выпуклым, где зависит только лишь от Эта теорема подтверждает гипотезу 3.В.Асеева в случав, когда 2 . Приводится пример, кокааывавдй, чи в олучае, когда Ц (/. „¿а ПППЗПфОрУный (I -угольник, Ни 3 //- квазиконрормноя выпуклость области наруааотся» Четвертый параграф посвящая продолжении Ф усових вложений о квазиконформного /г г угольника. Доказано то, область является /¿. - квазиконформным

/2 - угольником, достаточно для того, чтобы любое сохранявшее ориентацию Ф - квэзимёбиусово вложение $ 1> Д* допускало квазиконформное продолжение на вся /¡)г , •

хотя свойства ¡{ -квазиконформной выпуклости области отсутствуют при Л* £ (теорема ЗЖ3)^

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Варисов А.К. О продолжении пространственных КЕэзикоифоршшх отображений.- Докл..АН СССР, 1977 г.,т.234, № 4, с.740-742.

2. Асеев В.В.,Варисов А.К. Об одной признаке квазиконформности

отображений кладких поверхностей,- Докл.All СССР, 1977 г. т. 2 34, № 5, C.I00I-IG03.

3. Варисов А.К. Об одном признаке квазиконформности отображений гладких мйогорбрвзий, Новосибирск, 1979 г.препринт.

ИМ СО АН СССР, с.16.

4. Варисов А.К. Отображения, ограниченно искажающие модули. Изд-во ТашГУ, 1985, '27с.

5. ê*-êzMon fif ¿»fP&pt'caê £»>&cc/c/<#f£

¡f.mtfiU û*t/ ¿-t* Off&taéHcH -ér» fffi-éiQ? i£iènût . jzgt/o" t - ¿яé-te^i. & ni уел* ¿-¿я à , "br^fi J ^

6. Варисов A.K, 0 продолжении топологических вложений.-

_ е.е е>л ceœrf/kx

VtU»«.; 5—Ii, 1985, p.II

7. Асеев В.В.,Варисов A.K. О продолжении - вложений. ДАН УзССР, 1985, К? 4, с.5-6.

8. Асеев В.В.,Варисов А.К, 0 продолжении топологических вложений, ограниченно искажающих модули. Изв. АН УзССР, Сер. физ.мат.наук, 1985, te 5, с,3-В.

£>. Асеев В.В,, Варисов А,К. Об одной гипотезе для плоских топологических вложений, ограниченно искажающих модули. Докл. АН УзССР, 1988, К? 7, с.8-9.

10. Асеев В.В. ,Взрисов А.К. Об устранимых особенностях плоских топологических вложений, ограниченно искажающих модули. Изв. АН УзССР, Сер.физ.мат.наук, 19В8 г. № 4,пЛМ?.

IX. Рврисов А.К, Об одной гипотезе Я.П.Есдшгскаго о плоских топологических вложениях, ограниченно искажающих модули. В кн. "Всесоюзная конференция по геометрической теории функций", Новосибирск ИМ СО АН СССР, 1988 г. с.19.

12. Варисов А.К. Об областях, с которых квэзимёбиусовы.; вложения.! продолжаются до квазиконформного отображения плоскости. В кн. "Всесоюзный семинар полодых ученых". "Актуальные

- вопросы комплексного шпяизз", 19В9 г,Ташкент,с.27.

13. Варисов А.К. О квазимёбиусовых вложениях с квазиконформны» продолжением па плоскости. Докл. АН УзССР, 1989 г., № 9, с.11-12.

!■'). Варисов А.К. О квазиконформном продолжении плоских кввэи-мЬ'биусовнх вложений. Докл. АН УзССР, 1950г., II? с.5-6.

15. Вприспч А.Кг 0 плоских топологическая: влзкониях, ограниченно искажающих модули. Докл. АН ¿¿з, 1994 г., № 2, с.10-'*

16. Варисов А.К. О квазиконформном продолжении гоче^орфиз^ор ппогн.н «блпетвй. Труды института математики СОРДИ, 19?1

г. I -О.

АННОТАЦИЯ

Диссертация уч бобдан ибора!' булиб, унда функциялар наза-риясининг асосий ыуаиыоларидан - чегаравий хоссалар хайда те-кислик ва фаз ода квазиконформ давои эттириш ыасалалари урга-нилгвн..Модулларни чекли холда узгартирувчи гомоморфизылар син-фи киритилиб, уларшшг хоссалари Урганилган. Жуй л а дан бундай гомоморфизылар учун внкцлвмт сохаси силдиц сирт булган ^олдц уэгариш коэффициентидан квазиконформлик коэффициентининг ошиас-лиги исботланган. Модулларни чекли *олда узгартирувчи гомоморфизилар синфийи урганиш ва унга оид цатор цуакиолар П.П.Белин-скийга мансубдир. Хусусан иодулнинг функцияси учун ^уйидаги ма-сала цайд зтилагн: •

Агар модулларни чекли.холда узгартирувчи топологик жойла-шшликларнинг внимании сохаси континууцдан иборат булса, иодулнинг функцияси чизири б^тчши шарт.

Диссертацияда бу касала текисликда ижобий ¡(ал этилган.

Бу фактларга асосданган нолда иахсусликлардан кутилиш ыасалалари ечилган. Иу бадан бирга давом эттириш нат»шасида узга-риш коэффициентини; ■ с&]{ланкш ёни сацланиаслик саволларига жа-воб берилган.

Квазиконформ акслантиришлар назариясининг асосий масалала-ридан бири - давои эттириш иаселаси булиб, уни ц/йидагича ифо-далаш цумкин:

Нандай шартлар бажарилганда текисликдаги икки Йордан соха-лари орасидаги гомоморфизкни бутун тексликнинг квазиконформ ав-томорфизмигача давом эттириш ыумкин?

Бундай шартлардан бири Б.Асеев тоионидан киритилган булиб, у сохацинг квазиконформ куавариклиц тушунчаси билан боглик-дир. Текиоликда Жордан сохасининг квазиконформ цаваририги юро-рида цайд этилган. давои эттириш мавжудлиги учун етарли булиши В.В.Асеев томонидал исботланган. Шу ыуносабат билан текисликда . чекли ссндаги квазиконфори чизи1$лар билан чегаралекган згри чи-аИ1$ли купбурчак квазиконформ рвари^ булади деган мулохаза юза-га келди,

Диссертацияда бу цаеала урганилган ва текисликда иккита квааикокфора» чизиц билан чегараланган Лордан сохасининг квази*-конфорц чаьарн1{лиги исботланган. Уч ва ундан ортин квазиконфори чийи^лар билан че1арал:нгвн сьхаларни бундай х~>ссага. зга змаст

лигига ыипол к?чтйри.тган.. Ди^осртацияда урганилган ciwjwtтг гад-бики сифяг«пч квазиксиформ ^аьарицлик хоссаси прияли булмасада, чвкли сондаги квазиконфорк чизи^лар билаи" чегаралаяган эгри чи-эигрш гфпбурчаклар учун даиом эттириш касаласи ижобий $ал этил-ган. Соханинг бундай к^ринищда б^лиши юрорида г{айд этилган да-80М эттириш иавжуд булиши учун етарлилйги к^рсатилгая.

Abstract

in the dissertation, which consists of three chapters, ue study soae of the Bain probleas of the theory of functions: boundary properties-, probleas of quasiconforaaily extenssion in a plain and a space. He introduce a class of hoaeoBorphissS. uhich boundedly chancess aodules and study its properties. In particularly, it is shoun that for this hoaeoaorphisBS, uhen the doaain of definition is ssooth surface, the variation coeffisient is less than quasi invarianta coeffisient P.P. Belinskly suBBested to investigate a class of hoEeeoeorphiSBS, eodules of uhich variate boundedly, and put a nuaber of probleas. In particularly, he feraed the folleving hypothesis: If the doaain. of definition of topological uebeddlng, uhich variates ooduias boundedly, is centinius then the function of aodules has to be linear. In the fiissertation ue dive the positive ansuer to this problea in the plain. :Using these facts ue solve the probleas of eaancipation froa singularities, flaong this it is also shoun uhen the variation coeffitant changes and uhen it does not. One of the eain probleas of the theory of quasiconiora oappings is the problee of extension which can be formulate as follouinc: Under uhich condition one can extension a hoaoaorphisa between tuo Oordenian doaains up to a quasiconforaaily autoaorfisa of the «hole plain. One of this conditions uas given by U.U.Ascev and it «as conscted with a quasiconforaaily convexity of the doaain, U.U.Aseev proved that in the plain a quasiyconforaally convexity of a Jordanian doaain uas sufficient for existence of the above aentinnfiri extension. In this rnnertinn the following liypolhujiy arriueu:

In the plain a curvilinear rectangular bounded by a finite nuaber of quasiconiora linears is quasiconforaaily convex. In the dissertation ue study this problea and ue prove that in the plain a jordanian doaain bounded by tuo quasiconfora linears is quasiconforaaily convex.Hhen a doaain is bounded by three or йоге quasiconfora linears ue give an exaaple uhich shous that the above hypothesis fails..

fls a application of the class studied in the dissertation ue give a possitive ansuer to the problea of extension for a curvilinear rectangular bounded by a finfte nuaber of quasiconfora linears even it is not.quasiconforaaily convex. It is shoun that for existance oi an .ibove aentloned extension it is sufficient, that the doaain is of this fore.