О гомеоморфизмах класса Соболева с ограничениями по мере на дилатацию тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ. АЩЕМИЯ НАУК УКРлИШ ИНСТИТУТ ПРМЛАЛНОл МАТКдШГМКИ И ШнНМИ

На цравах рукописи

Потемкин Владимир Леоницович

О ГО.УШЮР^ИЬМАХ КЛАССА СОБОЛЕВА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО МЕРЕ НА ДОлТАцШ

01 »01.Ох. - матедаткчесюта анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Донецк - 1996

Работа выполнена в отделе уравнений в частных производных Института прикладной математики и механики НАЛ Украины

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук ,

црофессор В.И,Крутиков .

кандидат физико-математических наук А.А.довгошей .

Ведущая организация : Шститут математики HAK Украины

Ьащита состоится " " Мй-Я_¿996 г. в

на заседании специализированного Совета Д 06.Ох.01 по присуждению ученой степени кандидата фкзико-математически наук в Институте прикладной математики и механики HAH Украин по адресу : 34DII4 , Донецк , ул. Розы Люксембург , 74 .

С диссертацией, можно ознакомиться в околиотеке Института црикладнок математики и механики Hall Украины

Автореферат разослан " 44 " _IS'sS г

Ученый секретарь специализированного Совета

кандидат физико-математических наук^| ^^^А^Ш^ковский

ОТ-иЦАЯ /лРАЙГлР'ДЛЖА PALOTa

Актуальность темы . Основы теории квазиконформных отоора-женш на плоскости Оыли заложены в ¿0-JQ-e годы Гречем Г. и Лаврентьевым М.л.. В настоящее время эта теория представляет сооой одну из наиболее интенсивно развивающихся областей современной геометрической теория функции комплексного переменного .

Альфорс Ji., Lepe Ji., Jiexro 0., Геринг ■¿'.У., Векуа ta.H., Боярский Б.В., Лаврентьев М.А., Еелинскид U.U., Решетняк Ю.Г. и другие авторы изучали в своих работах фундаментальные свойства квазиконформных отображении и некоторых их обобщении , ими были обнаружены интересные приложения этих результатов ко многим разделам современного анализа .

В IS88 году Гк Давидом была доказана новая теорема существования и единственности для уравнения ::елътрами . Она придала новый импульс дальнеаюш исследованиям общих гомеоморфизмов плоскости . Вопросы компактности классов давица начали изучаться в работе Тукиа П. (1991/ .

В.И.Рязанов в своей докторской диссертации (I994) с исчерпывающей полнотой изучил проблемы сходимости , компактности и замыкания для гомеоморфизмов давида с ограничениями на цилата-цет общего интегрального и георетико-ыно^ественного видов .

Аналитический подход к исследованию топологических отображении связан с изучением эллиптических систем уравнений . В ¿том отношении уникальное положение в геометрической теории дифференциальных уравнений занимает комплексное уравнение Бельтрами , которому удовлетворяет люоои сохраняющий ориентацию гомеоморфизм плоскости с обобщенными производными . Поатому многие свойства квазиконформных, отображений и их обобщений могут быть получены , исходя из теории дифференциальных уравнении .

Впервые (1667) это уравнение в вещественной форме появилось в работе Бельтрами Е. в связи с изучением аналитических функций на поверхностях . Аналитическое определение квазиконформного отображения , как гомеоморфного обобщенного решения

уравнения Бельтрами , фактически содержалось в одно/, из работ Морри К., опубликованной в го1;у вне всякой связи с существовавшей уже тогда теорией квазиконформных отображений . Полная эквивалентность этого определения геометрическому определению квазиконформных отображении была установлена позже , олахо-даря раоотш Мори а., Берса Л., Щлюгера л., Аехто 0. и других авторов , к концу 50-х - началу 60-х годов .

При аналитическом походе к изучению топологических отображении шюскости с обоощенными производными центральным является вопрос о взаимосвязи коэффициента уравнения Бельтрами с его решением . Поведение этой характеристики при локально равномерной сходимости отооражений имеет очень сложную природу . Это ооусло влено тем , что решение уравнения Бельтрами связано с комплексной характеристикой посредством нелинейного преобразования , в котором к тому же задействован сингулярный интегральный оператор тала 1'йльдерона-йишунда - так называемое , комплексное преобразование Гильберта .

Кроме того , если в случае классических квазиконформных ото сражении мы имеем дело с равномерно эллиптическими системами дифференциальных уравнений , то находясь в условиях теоремы существования Давида , мы сталкиваемся с вырождением эллиптичности . При этом , вырождение может наблюдаться сразу во всех окрестностях любой точки из области определения , а не только при подходе к границе . Специалистам по дифференциальным уравнениям известно , с какого рода трудностями связано исследование таких систем .

Вопросы сходимости и компактности всегда занимали одно из центральных мест в теории квазиконформных отображений . Среди наиболее известных результатов в этом направлении следует отметить теоремы сходимости Штребеля и Ьерса-Ьоярского , а также теоремы компактности Шнффера-Шобера и Песина .

Одним из важных приложений теорем компактности является теория вариационного метода . Дело в том , что в секвенциально компактных классах всегда гарантируется существование экстремальных отображений для любых непрерывных , в том числе , нелинейных функционалов . Иначе , как отмечалось , в сравнительно недавно вышедшей монографии Крушкаля С„.й. и Кюнау Р., вопрос о

существовании экстремали становится чрезвычайно трудным . До-атому масса интересных необходимых условий экстремума , которые могли быть использованы для доказательства теорем существования и представления решений различных уравнений , повисает в воздухе . Кроме того , в компактных классах множества комплексных характеристик оказываются выпуклыми , что значительно облегчает построение вариации и получение необходимых условий ькстремума .

Вариационный метод исследования экстремальны* задач для квазиконформных отображений был впервые применен Белинским П.П., Зтот метод получил свое дальнейшее развитие в работах Ниффе-ра ¡А., Шобера Г., Кшау Р., гаушкаля С «.Со, Гутлянского З.Я., Рязанова В.И. и многих других .

цель работы . доказательство критерия компактности классов гомеоморфизмов с ограничениями по мере общего вица ча дилата-цию . Следствием этого критерия является некомпактность классов Давида . Доказательство теорем об инвариантности относительно вращений и выпуклости множеств комплексных характеристик замчканкй некомпактных классов с ограничениями по мере „ Лсстросние вариаций в указанных классах и доказательство теоремы о вариационном принципе максимума »

Оби'?е методы исследования . Используются метотда теории квазиконформных отображений на плоскости , геометрической теории функций комплексного переменного , а также вариационные методы исследования зкетрекальных задач для квазиконформных отображений .

Научная новизна . Получены необходимые и достаточные условия компактности классов гомеоморфизмов с ограничениями по мере общего вида на дилатацию . Показано , что ни один из классов Давида не является секвенциально компактным классом . Доказан принцип подчинения и инвариантности относительно вращений для множеств комплексных характеристик замыканий некомпактных классов с ограничениями по мере . Доказана выпуклость этого множества . На основании зтого построены вариации в указанных классах и сформулирован вариационный принцип максимума .

Теоретическая и практическая ценность работы . Результаты диссертации и развитые в ней методы могут быть использованы

при дальнейшем изучении вопросов компактности идя классов гомеоморфизмов с ограничениями общего вида на дилатацюо , при исследовании вопросов о замыкании некомпактных классов и построении вариаций в указанных классах .

Апробация работы . Результаты диссертации докладывались ка научном семинаре отдела уравнений в частных производных Института прикладной математики и механики НАН Украины ( рук. доктор физ.-мат, наук , профессор В.Я.Гутлякский ) , а также на научном семинаре по теории функций Донецкого государственного университета ( рук. доктор физ.-мат. наук , профессор З.И.йруг-ликов ) .

Публикации . Результаты диссертации опубликованы автором в работах [1] - [з] . Из них две работы выполнены в соавторстве с В.И.Рязановым .

Структура и обьем работы <, Диссертация состоит из введения , четырех глав и списка литературы ( х!0 наименований ; . Общий объем диссертации составляет страницы »

3 разделе л представлены общие свойства классов гомеоморфизмов с ограничениями по мере на дилатацию и их связи с другими классами . Получено каноническое представление таких классов в терминах , так называемой , регулярной замены , изучены вопросы о нетривиальности и метцности классов , об их связи с классами , имеющими ограничения на дилатацию интегрального вида .

Поцразцел 1.1 включает в себя основные определения и предложение о каноническом представлении исследуемых классов ,

Известно , что любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм плоскости ^: <£ с обобщенными производными в смысле

Соболева удовлетворяет уравнению Бельтрами

СОдЕРлГОГа

/<■ : С —С

гце м. : - некоторая измеримая функция с

/уиГ2)1 ^ ^

и , как обычно ,

¡4 =

2 = X + I ^ . [¡слагая

=0

ГЮИ

(2)

(л)

(4)

и/

(6)

мы устраняем связанную с эт»м случаем неопределенность . функцию у^-Съ) принято называть комплексной характеристикой , а велЕчину

р(ъ)= 1 " (7,

г \-\jium

- ц и л а т а ц и е и отображения ^

В частности , если рСн} ^ почти всюду 1фи некотором О-&[,{,о*) , то гомеоморфизм £ называется (2 -квазиконформным отображением .

3 дальнейшем через сЗ^} обозначается класс всех О. -квазиконформных отображений расширенной комплексной плоскости на себя , нормированных следующим образом

лласс является секвенциально

компактным относительно локально равномерной схо-

димости . Также хорошо известна теорема существования и единственности идя отображений класса

В 19Я8 году Ги Давид доказал новую теорему существования и единственности нормированных (8) гомеоморфных решений £ : (£ —, С ~Си£°°} > класса Соболева ^ для

уравнения Еельтрами с коэффициентом уи-Ся) , удовлетворяющим ограничениям по мере следующего вица :

-гк

пъелЫеС : е £ (9)

для всех £ £ £0 ; £0 £ (о, Д , с, С0> О .

Для удобства условие (5.- переписываем в ¡эквивалентной фор-?ле в виде ограничений по мере ькепоненциально-г о типа на дилатацию :

теб [ъеС: ^С (Ш

для всех Ь Т , где параметры с, об , Са связана с параметрами Т . К , С по соответствующим формулам .

Давид Г. установил локальную равностепенную ограниченность, непрерывность к открытость таких гомеоморфизмов . Таким образом ', ввиду известно! теоремы Арцела-Асколи , указанный класс гомеоморфизмов является предкомпактньм в пространстве Н всех гомеоморфизмов плоскости относительно локально равномерной сходимости .

Тукиа П. удалось установить только , что локально равномерные пределы гомеоморфизмов Давида с ограничениями (10) также являются гомеоморфизмами Давида , но , вообще говоря , с другими постоянными Т , Г и С . Таким ооразом , проблема секвенциальной компактности и замкнутости классов Давида оставалась нерешенной до самого последнего времени .

В этой связи естественным ооразом возник вопрос о секвенциальной компактности классов с ограничениями по мере общего вида на дилатацию :

теъЫеС: ¿.Ш), (11)

где У : I -—, I ,- произвольная

функция .

В дальнейшем через Н(V)_обозначается класс всех гомеоморфизмов плоскости ^ : С —сохраняющих ориентацию , класса Соболева ¿^ с нормировками (8) и с ограничениями на дилатацию вица (II) .

Отметим следующее важное замечание , которое доказано в подразделе 1.1 .

Замечание 1,1.1. Класс НМ заведомо не пуст , поскольку всегда содержит тождественное отображение . Класс нетривиален , т.е. содержит отображения отличные от тождественного , в том и только в том случае , когда

(¿т. ¿пг У(Ь') Ф о и?)

¿—г

¿ля дальнейшего , вакно отметить , что в (П) всегда можно заменить на функцию , обладающую дополнительными свойствами , с сохранением класса . Точнее , имеет место следующее утверждение о регулярной замене.

Пред л о жение 1.1.1. для любой функции <Р : I —, I .существует и

единственна невозрастающая непрерывная справа функция : I —> такая , что

= . аз;

При этом ,

= Г(со1 , <14)

для всех с — 1

Предложение 1.1.1 значительно облегчает процесс доказательства соответствующих теорем для Н(Ч^) • При необходимости , сначала сформулировав л доказав тот или иной результат для регулярной замены , его всегда можно цростой переформулировкой перевести на язык исходной функции ввиду наличия

il)

их конструктивной связи (14) .

Далее , в подразделе 1.2 изучен вопрос о мошности классов fK<p) . \

Будем говорить , что функция W :Еэкспоненциально убывает на бесконечности , если

—ХЬ

? СО ^се (i5)

при для некоторых постоянных , С и

В этом случае через yJci1^) мы будем обозначать множество всех измеримых функций yt-cfë) : С —^С , if-te")} ¿a Î , для которых при всех <=-=) заполнено (И) .

В силу результатов Ги Давида мы имеем следующую теорему существования и единственности для классов H (V) . _

Предложение 1.2,1. Пусть f произвольная функция , которая экспонеьциально убывает на бесконечности . Тогда лля любой функция у-с 6 существует и единственно отображение ^ класса H(f) с комплексной характеристикой , __

В случае , когда функция f : [OjO0)-*'!^. не является экспоненциально убывающей на бесконечности , через ~Cfft 6f) мы условимся обозначать множество всех комплексных характеристик отображений класса Н(*р) . Тогда имеет место следующее утверждение . _

Предложение 1.2.2. Пусть ф ¡[о,«**)-*-^ -произвольная функция , удовлетворяющая условию (12) . Тогда мощность класса tDhtV) совпадает с мощностью класса.всех измеримых (функции Y : С —"»• С , или , что то Ее самое , с мощностью класса всех измеримых функций ^Л-(Н) ;

(£ —Д . г*е Л ={'Н€(С •' tel ^ ¿} - открытый единичный круг в комплексной плоскости .

В подразделе 1.3 рассмоарен вопрос о связи классов H(f) с интегральными классами .

Раздел 2 является центральным разделом диссертации . В нем получены необходимые и достаточные условия компактности классов Н(ч>) .

Подраздел 2.1 содержит формулировки критерия компактности

и следствий из него . _

Теорема 2.1,1. Пусть функция Ч3 :1-- не возрастает и непрерызна справа . Тогда для компактности класса Н6?) необходимо и достаточно , чтобы Ч* имела вид :

о , ь^а.

(16)

.для некоторого I ¿а О. ^ е=5°

Отсюда , в частности , имеем :

Следствие 2.1,1. Ни один из классов Давида не является секвенциально компактным классом .

Используя конструктивную связь (14) регулярной замены Ч^ с исходной функцией Ч* , из теоремы 2.1.1 получаем и более универсальный критерий .

Теорема 2.1.2 произвольная Функция . Тогда для секвенциальной компактности класса необходимо и достаточно , чтобы

ГЬ'оть Ч> :

(2 = СП^ Ь «С «=*> (17)

и

{¿ГЪ ¿пЛ ¥(€) — О (18)

-ь—о. г

Мя сравнения , в докторской диссертации Рязанова В. И, (19Ь4) был дан критерии компактности классов Н , нор-

мированных гомеоморфизмов плоскости , выделяемых интегральными ограничениями вида

Я <Р(р(^)с1хс1^ {} (19)

где Ч? :[1,<=к>] - произвольная пункция с экс-

поненциальным ростом на бесконечности . Заметим , что для непустоты классов ¡-¡^ необходимо и достаточно , чтобы

иуТ = 0

(20)

н

<Р

При этом , критерий компактности П состоял в том , что цня этого необходимо и достаточно , чтобы функция <"Р_была неубывающей , выпуклой (вниз) и непрерывной в смысле слева в точке

Для таких

(2 = ^ф £

иг/

имеет место очевидное включение

Н¥ <= НО),

(¿2)

где

(23;

Однако как показывают приведенные критерии компактности , такие классы ке могут совпасть .

В подразделе 2.к сформулирована и доказана вспомогательная лемма , и на ее основе в подразделе ¿-,.3 проведено доказательство критерия компактности „

В разделе о речь ьдет о залыкакии некомпактных классов ГнЧу. В подразделе 3.1 показано , что замыкание классов Н('Р) не может быть описано в терминах интегральных ограничений или в терминах ограничений по мере на дилатацшо .

_Тем не менее удается установить целый ряд свойств замыкания

(-|(|р) , полезных в теории вариационного метода .

В подразделе З.л доказаны утверждения о сохранении цринципа подчинения и инвариантности относительно вращений для множества

комплексных характеристик СПЪ(Ч^) замыкания_Н(*Р)

Теорема 3.2.1. Если и :

С —С ~ произвольная измеримая функция , такая что

(уК-г/н)! ^ п.в. , (.¿4)

то

еШч)

(25)

Здесь f :[0,<pc')~*'¡f¿~i~ - ъхстюншщапъво убывает на бесконечности . . -—

Предложение 3.2.1. Пусть Т ;[о>оо)-»^4" - экспоненциально убывает на оесконечности . ЕслиiJObOf) и 9Ы) : € - произвольная измеримая функция ,

то

^Ы) (■£) е еЗЛ(г) .

3 подразделе 5.3 доказана выпуклость jOÍCf^) . Точнее

доказана следующая теоре.уа . _

Теорема о . 3.1. líycTb f :[{,«>)— произвольная пункция с экспоненциальным убиванием на бесконечности . Тогна множество

Д71 (f) инвариантно выцукло . (V) казн-зактся и к в а р и а н т

Ьиьаь ;.ш.-'Кесгво jOlOiу

но выпуклым , если все множастаа iíjiZ/JtVf)) ЯБ~

ляытся шаукдыни пля любого (f из группы / всех црсо-но-данеших ото^ччеиж/. единичного круга

Д={уи.еС : i}

на сзбя . В частности , при тождественном отображении мы имеем выпуклость самого мчо <~ства 'OTL (Ф)

йа нее получается слецуздее следствие : _

Следствие 3.3.1. Дусть :[l}c>0)-J~'jf¿'t' -произвольная функция с экспоненциальным усыванкем на бесконечности . Тогда множество ОТЦУ) выпукло .

Но используемые нами методы позволяют доказать более сильное утверждение , чем , то которое содержится в теореме 3.3.1. Именно , доказано следующее предложение , которое имеет , по-видимому , к самостоятельный интерес .

Предложение 3.3.1. В условиях теоремы 3.3.1 пусть - произвольная измери-

/ >

мая функция и : , Н^С , произволь-

ное семейство функции из группы Г , измеримое по тара-метру 2 . Тогда ъдя любой дары функций ул.^ ^¿бЗЛСф) функция ) оцределяемая соотношением

также принадлежит классу ♦

3 последнем разделе 4 приведены некоторые приложения полученных результатов к теориии вариационного метода .

В частности , в подразделе 4.1 сформулирован принцип редукции , позволяющий при решении вкстречадьных задач переходить в классы Н((Р) . в которых С01,(¥) являются выпуклыми . __ Предложение 4,1.1. Пусть *Р :[о;>оо)->Й+

- произвольная функция , которая ькспоненцкально убывает на бесконечности . Тогда для люоого непрерывного %нкционада

£1 :

шр £1ф = (29,

/еЩ. ^Н(ч>)

где Н - пространство всех гомеоморфизмов расширенной комплексной плоскости на себя с нормировками (Ь) , нацеленное топологиеи локально равномерной сходимости .

ото позволяет в 4.2 провести построение вариаций по универсальной схеме , предложенной в свое время профессором Гутлян-

сккм Вм. . _

Предложение 4.^,1. Пусть V ¿О,00)-*!!^

- произвольная 'функция , которая ¿ксишенцяально убывает на бесконечности . Далее , пусть М- € ~У)Ъ(ф) - комплексная характеристика отооракения ^ € И(^) , а функция V ^ЗТЬС1?) такова , что

принадлежит классу (^С') • Тогда существует вариация отображения £ в классе Н(<Р) вида

(31)

с

где

1<г' - А

' (-иг-^О и* Лиг— ^

Наконец , в 4.3 на основе приведенной вариационной формулы и принципа редукции мы получаем вариационный принцип максимума . -

Зункциолаи .СХ : И (?) является д и ф ф е -

р е н ц и р у е м к м по Г а т о нь* Н(Ч*) , «ел::

+0СЕЪ (зз)

для любой вариации

А - / ^ (;;47

отображения ££ Н(Ч) в классе Н(1?) , где -

некоторая конечная комплексная боралевская мера с компактным носителегл . другими словами , существует непрерывный и линейный по первой переменкой функционал • такой , что

. (35)

Ниже также предполагается , что локально

интегрируемо .для любого Н(Ч') относительно произведения мер с^/Пу.® &ЭеС^) , где ¿с> - ядро из (Л), ПЬ - плоская мера ¿еоега , и почти всюду

Яы)/ф)^(36)

3 этом случае говорим , что дифференцируем по

Гато без вырождения на Н(У)

Теорема 4.3.1. (вариационны й_

принцип максимума) . Пусть - произвольная яевозрастающая непрерывная справа функция , которая экспоненциально убывает на бесконечности , и пусть непрерывный функционал -О : Ш—И дифференцируем по Гато без вырождения на И (V)

Тогда для любого отображения ££ Н(¥) • на котором достигается ШАХ по классу Нбр) . дилатация удовлетворяет равенствам :

тль [ге С: ¡>(ъ) ±} ~ Ш)

сразу для всех

Основные результаты диссертации :

1. Теоремы компактности - теорема '¿.1. о критерии компактности классов гомеоморфизмов с ограничениями по мере общего вида на дилатацию , следствие 2.1.1 - о некомпактности классов Давида .

2. Теоремы замыкания - предложение 3.2.1 и теорема 3.2.1 об инвариантности относительно вращений и выпуклости множеств комплексных характеристик замыканий некомпактных классов с ограничениями по мере .

3. Следствия к теории вариационного мет.о да в указанных классах - предложение 4.2.1 о построении вариации и теорема 4.3.1 о вариационном принципе максимума .

ТСШНЫВ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОЛУШИШАШ

В СЛЕ,11УЮЩИХ- РАБОТАХ :

1. Потемкин З.Л» , Рязанов В„И. О гомеоморфизмах класса Соболева с ограничениями по мере на дилатаци» // Допов1д1 HAH УкраХни , 1996 , № , С„8-П .

2. Потемкин З.Л, , Рязанов В.й» О критерии компактности доя класса отображений с ограничениями по мере Донецк , 1995 .- 27 с. - ( Препринт / HAH Украины . Ш-т прикладной математики и механики ; 95.05 ) ,

3. Потемкин В.Л„ 0 вариациях для отображений с ограничениями по мере на дилатацшо Донецк , 1Э36 .- 19 с, -

( Препринт J Ня11 Украины . Ия-т прикладной математики и механики ; 96.Ш ) .

Потемкин 3„Л. О гомеоморфизмах класса Соболева с ограничениями по мере на дилатацию (рукопись) .

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, по специальности 0i.UI.0i - математический анализ , Мн-т цряклацной математики к механики НАН Украины , Донецк , 1996 .

Защищается 3 работы , содержащие теоретические исследования о гомеоморфизмах класса Соболева с ограничениями по мере на дилатацию о Доказаны теоремы компактности для таких классов , следствием которых является некомпактность классов Давида „ Дано эффективное описание замыкания некомпактных классов , доказано , что множество комплексных характеристик замыкания является выпуклым множеством . На основании этого удается провести построение вариаций по универсальной схеме и , используя полученную вариационную формулу и принцип редукции доказать вариационный принцип максимума .

Supporting of a il-.r^ tl.ujiu oontain theoretical гэ^оаг-;:: hoof class ¿obolov .vith res trictio;: for dilatation, on . In tnis thesis proved theorem.;: compactness for

ooniKon claasos and non-compactness David's classes ; nada effective description circuit non-compactness classes , proved that nultitwd^s of corr.rlc^x characteristics c^rcu^t i^ the со**.— vex multitude . Proceed from this т-.ade variations on universal soherce ; proved variational principe aaximurp. with used variational formula end prinoipe of reduction .

Ключов! слова : простори Соболева , класи Дав1да , мХра , ком-пактн!сть , замикання , вар!ац1йшш метод , принцип максимуму .