Операторы композиции в пространствах Соболева на группе Карно тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Евсеев Никита Александрович

Операторы композиции в пространствах Соболева на

группе Карно

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 В ОКТ 2015

Новосибирск — 2015

005563740

005563740

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирском национальном исследовательском государственном университете».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

Клячин Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет», заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики института математики и информационных технологий;

Шлапунов Александр Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», профессор кафедры теории функций института математики и фундаментальной информатики.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов».

Защита состоится 10 декабря 2015 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. СЛ. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, расположенного по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. СЛ. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru/.

Автореферат разослан « «К б^таз^А2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению операторов композиции в пространствах Соболева на группах Карно. Напомним, что оператор композиции определяется отображением <р : Ю —» £>' следующим образом: <£*(/) = /о<р для любой функции / : ТУ —> К. Для пространств Соболева мы изучаем оператор композиции следующего вида

^:Ь1(0')ПСХ(0')^Ь\(0), ?*(/) =/°¥>> / € ДО П Г (О')-

Решаются следующие две задачи. 1) Описание операторов композиции весовых пространств Соболева на группах Карно. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых измеримое отображение индуцирует ограниченный оператор в весовых пространствах Соболева. В отличие от предыдущих работ по данной теме, мы отказываемся от каких-либо априорных предположений о регулярности отображения.

2) Описание изоморфизмов пространств Соболева, порожденных измеримыми отображениями групп Карно. Доказано, что такое отображение можно переопределить на множестве меры нуль так, что оно будет либо квазиконформным, когда показатель суммируемости совпадает с хаусдорфовой размерностью группы, либо квазиизометрическпм в противном случае.

Изучение операторов композиции в пространствах Соболева восходит к работе С. Л. Соболева 1941 г. [1], где решается задача об описании группы преобразований, сохраняющих некоторый класс функций. Теорема из [1] для классов Соболева с первыми обобщенными производными имеет следующий вид (см. [2]). Пространство Соболева Ь* сохраняется при преобразованиях группы <3, состоящей из таких диффеоморфизмов </? € С1, для которых выполняются условия

\Юр\{х)<Ь и 0 < а < \Т{х,!р)\ (1)

для всех х. Заметим, что (1) эквивалентно квазиизометричности отображения ¡р. В заключительной части работы [1] С. Л. Соболев высказывает предположение «Весьма вероятно, что группа 65 есть группа всех преобразований, сохраняющих Из работы В. Г. Мазьп [3] 1961 г. можно вывести (см. [2]) частичную справедливость этой гипотезы: В категории С1-диффеоморфизмов только квазиизометрии (квазиконформные отображения) сохраняют пространство Соболева Т}р при р отличным от (равным) размерности пространства. Из работы Ф. Геринга 1971 г. [4] можно вывести, что этот результат распространяется и на категорию гомеоморфизмов: Гомеоморфизм с/? :£>-»£>', Д £>' С М", п > 2, индуцирует изоморфизм (р* : Ьр(Ю') —> Ьр(-О) пространств Соболева, тогда и только тогда, когда он квазиизометричен при р ф п (квазиконформен при р = п ).

В 1968 г. на Первом донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений Ю. Г. Решетняком был поставлен вопрос: охарактеризо-

з

ватъ все изоморфизмы пространств L\, порожденные квазиконформными гомеоморфизмами (см. также [5]). Здесь стоит отметить, что в работах [6, 7] a priori не предполагается существование какого-либо отображения ip, индуцирующего оператор <р*. Это обстоятельство свидетельствует о том, что изначальная формулировка задач в работах [6, 7] была мотивированна теоремой Банаха - Стоуна и ее последующими модификациями: Пусть Н : C(S) С(Т) — изоморфизм, тогда существует гомеоморфизм h :Т —> S такой, что

сHf)(t) = f(h(t)), íe г, feC(S).

Изоморфность оператора Н : C(S) —> С(Т) означает, что на C(S) и С(Т) задана некоторая структура, которую и сохраняет оператор Н. Оригинальная теорема для компактных метрических пространств была получена С. Банахом в 1932 г. Затем, в 1937 г. М. Стоун распространил эту теорему на компактные хаусдорфовы пространства. Близкие результаты имеются у С. Эйленбер-га (1942 г.), Р. Аренса и Д. Келли (1947 г.) и Э. Хыоита (1950 г.). И. М. Гель-фанд и А. Н. Колмогоров (1939 г.) доказали, что кольцо C(S) определяет S. Также М. Стоун (1937 г.) показал, что C(S) как структурно упорядоченная группа определяет S. Более полное изложение данного вопроса можно найти в [8,9].

Затем, в 1960 г. и 1971 г. М. Накаи [10] и Л. Льюис [11] установили, что изоморфность алгебр Ройдена равносильна квазиконформной эквивалентности областей определения. Напомним, что алгеброй Ройдена называется алгебра ограниченных непрерывных функций, имеющих обобщенные производные суммируемые в степени п. Для восстановления гомеоморфизма используется тот же метод, что и для непрерывных функций. Основную сложность представляет доказательство квазиконформности полученного гомеоморфизма.

Несмотря на схожую форму с теоремами типа Банаха - Стоуна, доказательства в [6,7] базировались на принципиально других рассуждениях (в частности, в силу того, что функции из L^{G) не обязаны быть непрерывными, восстановление гомеоморфизма становится значительно более трудной задачей).

В рамках найденного в [6] подхода возникла следующая задача: какие метрические и аналитические свойства имеет измеримое отображение ip, индуцирующее изоморфизм <р* по правилу <p*{f) = / ° <р, / G L)v Варьируя функциональное пространство, мы каждый раз приходим к новой задаче: пространства Соболева Wp, р > п, рассмотрены в работе [7], однородные пространства Бесова blp(Rn), п > 1, 1р = п, — в [12] при р = п + 1 и в [13] при р > п + 1, пространства Соболева Wp, п — 1 < р < п, — в [14], пространства риссовых и бессолевых потенциалов — в [15], трехиндексные шкалы пространств Никольского — Бесова и Лизоркина — Трибеля (и их анизотроп-

4

ные аналоги) — в [16], пространства Соболева на областях многомерных евклидовых областей, 1 < р < оо, р ф п, — в [17] (новое сравнительно с работами [7,15[ доказательство). В [18] к задаче замены переменной в пространствах Соболева применена теория мультипликаторов.

Вывод работ [6,7,12-18] состоит в том, что изоморфность оператора <р* влечет в зависимости от соотношения между показателями гладкости, суммируемости и размерностью пространства свойство отображения быть квазиконформным или квазиизометрическим в метрике области определения, адекватной геометрии функционального пространства.

Аналитические и метрические свойства гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств Соболева Ь^, изучались в [3,1923]. В [19,20] получено аналитическое описание таких гомеоморфизмов без каких-либо априорных предположений: гомеоморфизм : .О —» между областями Б, Б' С 1ЙП, п > 2 индуцирует ограниченный оператор <р* : Ьр(О') —> Ьр(-О), 1 < р < оо, по правилу <£*(/) = / ° тогда и только тогда, когда отображение <р принадлежит классу И^^-О) и \0(р\р(х) < К\Т(х,р)\ почти всюду в Б. При р = п этот класс отображений совпадает с классом квазиконформных отображений. При р = 1 такие отображения названы В. Г. Мазьей субареальными и применены к разрешимости задачи Неймана (см. [21]). Квазиконформное отображение может быть определено через метрические термины как гомеоморфизм, обладающий ограниченным искажением ([24-26]). Аналог метрического определения для гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор (р* : Ьр(О') —>• Ьр(И) при п — 1 < р < оо и р ф тг, получен в [27]. В работах [2,28,29] изучался класс гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор <р* : Ь^Б') —> Ь1Ч(0) при 1 < д < р < оо. Основы теории (р, д)-квазиконформных гомеоморфизмов на группах Кар но заложены в [29].

Работа [30] посвящена изучению измеримых отображений областей евклидова пространства, индуцирующих ограниченный оператор <р* : Ьр(О') —> Ь1Ч(0) при 1<д<р<оо. В [31] решается аналогичная задача на группе Карно (в предположении, что отображение (р принадлежит классу АСЬ). В работах [28-31] естественно возникает квазнаддитивная функция множеств, ассоциированная с оператором композиции.

В [32] понятие оператора композиции обобщается на пространство дифференциальных Ьр-форм на римановых многообразиях. Исследуется ограниченный оператор переноса /* : £,Р(М',Л*) —» £,Р(М,Л*), порожденный аппроксимативно дифференцируемым отображением /: М —> М'. В качестве следствия получено, что гомеоморфизм класса АСЬ(М), для которого оператор переноса дифференциальных форм с Ьр-нормой является изоморфизмом, неизбежно будет либо квазиконформным, либо квазиизометричным.

Отображения, порождающие ограниченный оператор композиции в весовых пространствах Соболева, полностью описаны в [33] для случая евклидова

5

пространства. Таковыми являются отображения, имеющее конечное искажение и суммируемую в некоторой степени весовую функцию искажения. На группе Карно аналогичное описание получено в [34] при условии, что отображение <р — гомеоморфизм.

Свойства ограниченного оператора композиции на пространствах Бесова кроме работы [13] изучались также в [35,36]. Квазиконформная эквивалентность классов Лизоркина — Трибеля исследована в [37,38]. В [39] исследуются гомеоморфизмы, порождающие оператор композиции пространств Соболева — Лоренца. В [40] изучаются свойства (^-квазиконформных отображений, порождающих операторы композиции в пространствах Соболева — Орлича. В работе [41], близкой по содержанию к [28], рассматриваются гомеоморфизмы с конечным искажением, индуцирующие оператор композиции пространств Соболева (см. также [42]).

Цели и задачи. Цель диссертационной работы — исследование свойств тех измеримых отображений, которые порождают изоморфизмы либо ограниченные операторы пространств Соболева на группах Карно. Основные положения, выносимые на защиту.

• Получены необходимые и достаточные условия, при которых измеримое отображение индуцирует ограниченный оператор в весовых пространствах Соболева на группе Карно (теоремы 2.2, 2.3, 2.4).

• Полностью описаны измеримые отображения, порождающие изоморфизмы пространств Соболева на группе Карно. Таковыми являются отображения, которые почти всюду являются квазиизометрическими при р ^ г/, либо квазиконформными при р = V (теоремы 3.1 и 3.3).

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Теорема 3.3 об изоморфизме является новой и для евклидовых пространств в случае неограниченного образа. В диссертации также были использованы оригинальные подходы, которые могут быть полезны в дальнейших исследованиях.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях анализа, геометрии и уравнений в частных производных. Результаты диссертационного исследования могут быть применены в образовательном процессе при организации спецкурсов по анализу на суб-римановых пространствах, предназначенных для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:

• ХЬУШ международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2010.

• Школа-конфсрснция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2012.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. Новосибирск, 2012.

• Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория прииближений», посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск, 2013.

• Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология». Барнаул, 2013.

• Международная молодежная конференция «Геометрия и управление». Москва, 2014.

• Школа-конференция молодых ученых по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2014.

• Международная конференция «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах». Турбаза «Кумуткан», о. Байкал, 2014.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2014», посвященная 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. Новосибирск, 2014.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2015», Новосибирск, 2015.

• Семинар по геометрическому анализу, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор С. К. Водопьянов.

• Семинар лаборатории геометрической теории управления, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор А. А. Аграчев.

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 10 печатных изданиях [А1-А10], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [А1-А4], 6 — в тезисах докладов и материалах конференций [А5-А10]. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты главы 2 получены автором самостоятельно. Результаты глав 1 и 3 были получены совместно с научным руководителем С. К. Водопьяновым, которому принадлежат формулировки задач и общее руководство работой. В остальном вклад авторов в совместные работы равноправен и неделим.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 70 наименований и приведен в порядке цитирования. Общий объем диссертации: 128 страниц.

Содержание работы

Для удобства читателя используется та же нумерация утверждений и определений, что и в тексте диссертации.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы и приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме.

В главе 1 вводятся основные понятия и доказываются вспомогательные утверждения. Параграф 1.1 содержит необходимые определения связанные с группой Карно С. Определения различных классов Соболева на группе Карно ЩБ), Ц(0,и), И^1ос(£>; С) вводятся в параграфе 1.2. В

параграфе 1.3 доказывается справедливость уравнения эйконала на группах Карно: = 1 п. в. Параграф 1.4 посвящен аппроксимации функций класса Соболева на группе Карно. В параграфе 1.5 приведены определение и некоторые свойства областей Джона, неравенства Пуанкаре. В параграфе 1.6 показано, что областью определения отображения <р можно считать множество Оотх ¡р = \JTic, где С £> возрастающая последовательность компактов, на каждом из которых ¡р непрерывно и \Б \ и = 0. В параграфе 1.7 приводятся необходимые свойства функции множеств. Различные понятия емкости вводятся в параграфе 1.8. Результаты главы опубликованы в [А1-АЗ].

В главе 2 исследуется задача 1, то есть изучаются свойства измеримых отображений </? : Ю —¥ индуцирующих по правилу замены переменных ограниченный оператор весовых пространств Соболева на группе Карно:

¥>*(/) = /<>¥>, / е ¿¿(Я» П С0°°(Л')-

Здесь и далее О, £>' — области на группе Карно С. В параграфе 2.1 доказываются некоторые свойства непрерывности и дифференцируемости отображения (р. Приводимое понятие кусочной абсолютной непрерывности на почти всех линиях, обусловлено спецификой задачи и является ослаблением АСЬ-свойства. Впоследствии это свойство обеспечит принадлежность композиции /о ^ классу АСЬ(В) при / £ у) Л С^ (£>').

Определение 2.1. Отображение <р \ И —ь Г? кусочно абсолютно непрерывно на почти всех линиях ( <р € АСЬря1Ь(0) ), если на почти каждой интегральной линии 7 горизонтального поля Xj (] = 1,... ,п) существует открытое множество С 7 полной меры на 7 такое, что для любого отрезка [а,/3] С ш7 отображение <р абсолютно непрерывно на [а,0\ и

Ит сИз1;(<р(:г),дБ') = 0 или Пт р((р(х)) = оо для всех а е

Основные результаты главы приведены в параграфе 2.2.

Определение 2.2. Отображение <р : Б —>• Б' класса АС Ь-р.лЛ{Б) имеет конечное (и,у)-весовое искажение, если Бь(р(х)и(х) = 0 почти всюду на множестве = {х Е Б \ 3(х,'р)у{'р{х)) = 0}.

Определение 2.3. Весовая функция искажения для /р определяется как Б'э у^ Щ-1'(у) = .

(у) ( Е

О, =0.

Определение. Индикатриса Банаха М{у,ф) = #{х £ Б \ </?(х) = у} — это число прообразов у. Если число прообразов бесконечно, то Ы(у,<р) = оо.

Для случая <? = р найдены необходимые условия.

Теорема 2.2. Пусть функция Ы(у,/р)у{у) & Ь\\Ж{Б'), а вес иТ^(х) ё ЬХЛос{Б), 1 < р < оо. Пусть измеримое отображение (р : Б —> Б' индуцирует ограниченный оператор композиции <р>* : Ьр(Б', у)ПС^(Б') —» Ь1р{Б,и) весовых пространств Соболева. Тогда выполнены свойства:

1) <р принадлежит классу АСЬря11(Б),

2) имеет конечное (и,у)-весовое искажение,

3) функция искажения Яр'"(-) е ЬХ(Б'). При этом ||Яр-"(-) | ЬХ(Б')|| < С||<р*||.

Достаточные условия получены для общей ситуации 1 < д < р < оо.

Теорема 2.3. Пусть 1 < д < р < оо. Если отображение /р : Б Б' обладает следующими свойствами:

1) <р принадлежит классу АСЬр^Б),

2) <р имеет конечное (и,у)-весовое искажение,

3) функция искажения Нр'у(-) £ ЬК{Б'), где ^ = ^ —

тогда отображение <р индуцирует ограниченный оператор композиции : Ьр(Б',у) ПС(5с(£>') —> Ь^(Б,и) весовых пространств Соболева. При этом < ||Я™(-) | ЬХ{Б')]\.

При (д = р = р) необходимые условия совпадают с достаточными:

Теорема 2.4. Пусть V е Ь\^\ос{0'), и^ 6 ¿1,1 Пс(Б) и у о < и п. в. на Б. Измеримое отображение <р : Б —¥ Б' индуцирует ограниченный оператор композиции ¡р* : ¿1(Б',у) П С^(Б') —» Ьхи{Б,и) весовых пространств Соболева тогда и только тогда, когда

1) (р принадлежит классу АСЬря11(Б),

2) <р имеет конечное (и,у)-весовое искажение,

3) функция искажения Нр-У(-) 6 ЬХ(Б').

При этом С\\НрЛ(-) | ЬХ(Б>)|| < |И| < ||Яр"-»(-) | ЬХ(Б')\\.

Результаты главы 2 опубликованы в [А4].

Глава 3 посвящена решению задачи 2: исследованию метрических и аналитических свойств измеримых отображений <р, индуцирующих изоморфизм пространств Соболева ¡р* по правилу <р*(/) = / ° <Л / ё В параграфе 3.1 вводится основной объект исследования — класс

Определение. Пусть В, В' — области на группе Карно С. Измеримое отображение (р : В В' принадлежит классу 1Ьр, если ср индуцирует оператор композиции пространств Соболева

¥>*(/) = /°¥>, (2)

такой, что

1) для любой функции / £ Ьр(В') П С0°(В') справедливы неравенства К-1]]/ I ЩВ')\\ < II¥>*(/) I ЩЩ < К\\/ I ЩВ% где постоянная

К не зависит от выбора от выбора функции /,

2) образ р* (Ь^(В') П СХ(В')) всюду плотен в Ь\{В).

Оператор (2) можно продолжить по непрерывности на Ьр(В').

Лемма 3.6. Пусть р 6 1Ь1р. Тогда оператор ¡р* : Ь1р(ГУ) П СХ{В') -> ЩВ) продолжается по непрерывности до оператора <р* : Ьр(В') —>■ Ьр(В) и обладает следующими свойствами:

1) значение оператора <р* : Ьр(В') —> Тр(В) на классах [/] £ Т>р(В') можно найти по формуле:

~~*([/]) \ ° ^ ^ ~ ^ _ произвольный представитель класса

1 / о <р при р > V, где / — непрерывный представитель класса

2) £"41/ | Ц(В')\\ < |И/) | Ь\{В)|| < К\\/ | Ь\{Щ\;

3) <р* : Ьхр(В') —> Ь1р(В) — изоморфизм.

В параграфе 3.2 изучаются свойства отображений на группе Карно, индуцирующих по правилу замены переменной изоморфизмы пространств Соболева в случае р ф V. Доказывается, что такое отображение совпадает почти всюду с некоторой квазиизометрией.

Определение 3.1. Гомеоморфизм Ф : В —>■ В' двух открытых множеств называется квазиизометрией, если выполнены условия

ш«*ЫМ*))<м и о)

УуТо Ууе6' ^

для всех х £ В и г £ В', М — некоторая константа, не зависящая от выбора точек х £ В и г £ В', <1 — метрика Карно - Каратеодори на группе С.

Основной результат главы в случае р Ф V составляет следующая

ю

Теорема 3.1. Пусть р > 1, р ф и, и D, D' — области на группе Карно G (здесь и — хаусдорфова размерность G). Измеримое отображение ip: D —» D' принадлежит классу ILj, тогда и только тогда, когда </? совпадает п. в. с некоторой квазиизометрией Ф: D —» Ф(D), для которой области Ф(Т>) и D' (1 ,р)-эквивалентны.

Доказательство теоремы 3.1 разбивается на два основных случая. Первый р > V. По существу, он сводится к ситуации, когда измеримое отображение биективно, и базируется на том, что емкость двух точек х и у в пространстве Lj,(G) сравнима с d(x,yY~p. Тогда изоморфность оператора (р* равносильна соотношениям M~1d(x,y) < d(ip(x),tp(y)) < Md(x,y).

Второй случай 1 < р < и — значительно более деликатный:

Лемма 3.16. Пусть р < v, а отображение <р : D —ь D' принадлежит классу ILp. Тогда отображение <р совпадает с квазиизометрическим гомеоморфизмом почти всюду.

Этой лемме предшествуют многошаговые рассуждения, целью которых является удаление на каждом шаге некоторого множества нулевой меры, чтобы получить в конце концов суженную область определения Domo <р С D измеримого отображения <р, |D \ Dornet = 0, на которой <р обладает рядом замечательных свойств таких, как биективность, ЛГ-свойство Лузина и Л/*_1-свойство Лузина. Эти свойства дают возможность доказать аппроксимативную дифференцируемость отображения ip вдоль горизонтальных векторных полей. Последнее — это основа для применения аналитических методов исследования отображения <р. Оказывается, что прямое отображение ip аппроксимативно дифференцируемо, и его аппроксимативный дифференциал Dcp(x) и якобиан J(x,tp) = det Dip(x) удовлетворяют соотношениям

\Dtp\(x) < L < оо, |J(x,<p)| > ai > 0 п. в. в D.

Здесь же мы доказываем аналогичные соотношения для аппроксимативного дифференциала Оф(у) обратного отображения ф =

\Dip\(y) < L' < оо, \J{y,*p)\ > а > 0 п. в. в D'.

С помощью этих соотношений и условий на оператор ip* мы сводим исследование метрических свойств отображения ip к первому случаю.

В параграфе 3.3 устанавливается, что отображение класса IL\ совпадает почти всюду с некоторым квазиконформным гомеоморфизмом.

Определение 3.6. Гомеоморфизм Ф \ D —t D1 класса И^1ос называется квазиконформным, если существует постоянная К такая, что

|£>Ф(х)Г < K\J(x&)\ п. в. в D, где £>Ф(х) — аппроксимативный дифференциал Ф, а J(x,Ф) = det£^(x).

Ii

Теорема 3.3. Пусть D, D' — области на группе Карно G, где v — хаусдор-фова размерность группы G. Измеримое отображение ip\ D —> D' принадлежит классу IL], тогда и только тогда, когда <р совпадает почти всюду с некоторым квазиконформным отображением Ф: D \ {хо} —>■ G, для которого области Ф(D \ {хо}) и ГУ (1,^-эквивалентны, где хо € G — некоторая точка (здесь G — одноточечная компактификация G).

Доказательство разбивается на серию утверждений, целью которых является уточнение свойств регулярности отображения. Сначала показываем (лемма 3.23), что отображение <р совпадает почти всюду с некоторым квазинепрерывным отображение <ра, для которого выполнена оценка Сар(<£>о(-В)) < КСар(В). Затем для отображения 950 устанавливаем тот факт, что для почти всех х £ D образы шаров с уменьшающимися радиусами <ро(В(х,г)) стягиваются к единственной точке z £ ТУ (следствие 3.6). Это позволяет продолжить отображение <ро до непрерывного (предложение 3.9) и затем доказать его гомеоморфность (предложение 3.11). Окончательно, в предложении 3.16 доказывается квазиконформность отображения ípQ.

Результаты главы 3 опубликованы в [Al—A3].

В заключении диссертации приведены итоговые результаты и перспективы дальнейшего развития.

Список литературы

1. Соболев С. Л. О некоторых группах преобразований n-мерного пространства // Докл. АН. - 1941. - Т. 32, № 6. - С. 380-382.

2. Водопьянов С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Матем. сб. - 2012. - Т. 203, № 10. - С. 3-32.

3. Мазья В. Г. Классы множеств и теоремы вложения функциональных классов. Некоторые проблемы теории эллиптических операторов: дне. ... канд. физ.-мат. наук. — JL: Ленинградский госуниверситет, 1961.

4. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the p-capacity of rings in n-space // Advances in the theory of Riemann surfaces (Proc. Conf., Stony Brook, N.Y., 1969). — Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1971. — Pp. 175-193. Ann. of Math. Studies, No. 66.

5. Poleckii E. A. Quasiconformal homeomorphisms and orthogonal isomorphisms // Metric questions of the theory of functions and mappings, No. V (Russian). — Izdat. "Naukova Dumka", Kiev, 1974. — Pp. 120-127.

6. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Структурные изоморфизмы пространств н квазиконформные отображения // Сиб. мат. журн. — 1975. - Т. 16, № 2. - С. 224-246.

7. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Функциональные характеристики квазиизометрических отображений // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 4. - С. 768-773.

8. Данфорд Н. Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.

9. Garrido М. I. Jaramillo J. A. Variations on the Banach-Stone Theorem // Extracta Mathematicae. — 2002. — Vol. 17, no. 3. - Pp. 351-383.

10. Nakai M. Algebraic criterion on quasiconformal equivalence of Riemann surfaces // Nagoya Math. J. - 1960. - Vol. 16. - Pp. 157-184.

11. Lewis L. G. Quasiconformal mappings and Royden algebras in space // Trans. Amer. Math. Soc. - 1971. - Vol. 158, no. 2. - Pp. 481-492.

12. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Новый функциональный инвариант для квазиконформных отображений // Некоторые вопросы современной теории функций: Материалы конф. — Новосибирск, 1976. — С. 18-20.

13. Водопьянов С. К. Отображения однородных групп и вложения функциональных пространств // Сиб. мат. журн. — 1989. — Т. 30, № 5. — С. 25-41.

14. Гольдштейн В. М. Романов А. С. Об отображениях, сохраняющих пространства Соболева // Сиб. мат. журн. — 1984. — Т. 25, № 3. — С. 55-61.

15. Романов А. С. О замене переменной в пространствах потенциалов Бесселя и Рисса // Функциональный анализ и математическая физика: Сб. научных трудов / АН ССР. Сиб. отд-ние. — Новосибирск: Ин-т математики, 1985. - С. 117-133.

16. Водопьянов С. К. Lp-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа. - Новосибирск: Наука, 1989. - С. 45-89.

17. Vodopyanov S.K. Composition operators on Sobolev spaces. // Complex analysis and dynamical systems II. Proceedings of the 2nd conference in honor of Professor Lawrence Zalcman's sixtieth birthday, Nahariya, Israel, June 9-12, 2003. — Providence, RI: American Mathematical Society (AMS); Ramat Gan: Bar-Ilan University, 2005. - Pp. 401-415.

18. Мазья В. Г. Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.

19. Водопьянов С. К. Формула Тейлора и функциональные пространства. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1988.

20. Водопьянов С. К. Геометрические аспекты пространств обобщенно-дифференцируемых функций: дис. ... д-ра. физ.-мат. наук. — Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева, 1992.

21. Мазья В. Г. О слабых решениях задач Дирихле и Неймана // Тр. ММО.

- 1969. - Vol. 20. - Pp. 137-172.

22. belong-Ferrand J. Etude d'une classe d'applications liées à des homomor-phismes d'algèbres de fonctions, et généralisant les quasi conformes // Duke Math. J. - 1973. - Vol. 40. - Pp. 163-186.

23. Reimann H. M. Über harmonische Kapazität und quasikonforme Abbildungen im Raum // Comment. Math. Helv. — 1969. — Vol. 44. — Pp. 284-307.

24. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. — Новосибирск: Наука, 1982.

25. Martio О., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I No. - 1969. - Vol. 448. - P. 40.

26. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 229. — Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971. — Pp. xiv+144.

27. Goldshteïn V., Gurov L., Romanov A. Homeomorphisms that induce monomorphisms of Sobolev spaces // Israel J. Math. — 1995. — Vol. 91, no. 1-3. - Pp. 31-60. http://dx.doi.org/10.1007/BF02761638.

28. Ухлов А. Д. Отображения, порождающие вложения пространств Соболева // Сиб. мат. журн. - 1993. - Т. 34, № 1. - С. 185-192.

29. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Пространства Соболева и (P,Q)-квазиконформные отображения групп Карно // Сиб. мат. журн. — 1998.

- Т. 39, № 4. - С. 776-795.

30. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Известия вузов. Математика. — 2002. — № 10. — С. 11-33.

31. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I // Матем. тр. — 2004. — Т. 6, № 2. - С. 14-65.

32. Водопьянов С. К. Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением // Изв. РАН. Сер. матем. — 2010. — Т. 74, № 4. - С. 5-32.

33. Ukhlov A. Vodopyanov S. К. Mappings associated with weighted Sobolev spaces // Complex analysis and dynamical systems III. — Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008. - Vol. 455 of Contemp. Math. - Pp. 369-382. http ://dx.doi.org/10.1090/conm/455/08868.

14

34. Ukhlov A. Composition operators in weighted Sobolev spaces on Carnot groups 11 Acta Math. Hungar. - 2011. - Vol. 133, no. 1-2. - Pp. 103127. http://dx.doi.org/10.1007/sl0474-011-0104-4.

35. Bourdaud G. Sickel G. Changes of variable in Besov spaces // Math. Nachr. - 1999. - Vol. 198. - Pp. 19-39.

36. Koch H. Koskela P. Saksman E. Soto T. Bounded compositions on scaling invariant Besov spaces // J. Funct. Anal. — 2014. — Vol. 266, no. 5. — Pp. 2765-2788.

37. Koskela P. Yang D. Zhou Y. Pointwise characterizations of Besov and Triebel-Lizorkin spaces and quasiconformal mappings // Adv. Math. — 2011. — Vol. 226, no. 4. - Pp. 3579-3621.

38. Hencl S. Koskela P. Composition of quasiconformal mappings and functions in Triebel-Lizorkin spaces // Math. Nachr. - 2013. - Vol. 286, no. 7. -Pp. 669-678. http://dx.doi.org/10.1002/mana.201100130.

39. Hencl S. Kleprlik L. Maly J. Composition operator and Sobolev-Lorentz spaces WLn-q // Studia Math. - 2014. - Vol. 221, no. 3. - Pp. 197-208. http://dx.doi.org/10.4064/sm221-3-1.

40. Hencl S. Kleprlik L. Composition of ç-quasiconformal mappings and functions in Orlicz-Sobolev spaccs // Illinois J. Math. — 2012. — Vol. 56, no. 3. — Pp.931-955. http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1391178556.

41. Kleprlik L. Mappings of finite signed distortion: Sobolev spaccs and composition of mappings // J. Math. Anal. Appl. — 2012. — Vol. 386, no. 2. — Pp. 870-881. http://dx.doi.Org/10.1016/j.jmaa.2011.08.045.

42. Kleprlik L. Composition operators on WlX are necessarily induced by quasiconformal mappings // Cent. Eur. J. Math. — 2014. — Vol. 12, no. 8. — Pp. 1229-1238. http://dx.doi.org/10.2478/sll533-013-0392-8.

Публикации автора по теме диссертации

[Al] Водопьянов, С. К. Изоморфизмы соболсвских пространств на группах Карно н квазиизометрические отображения. / С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев// Сибирский математический журнал. — 2014. — Т. 55, № 5. - С. 1001-1039.

[А2] Водопьянов С. К. Изоморфизмы соболсвских пространств на группах Карно н квазиконформные отображения. / С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев // Сибирский математический журнал. — 2015. — Т. 56, № 5. — С. 989-1029.

[A3] Водопьянов С. К. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений. / С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 464, № 2. — С. 131-135.

[А4] Евсеев Н. А. Об операторах замены переменной в весовых пространствах Соболева на группе Карно. / Н. А. Евсеев // Сибирский журнал чистой и прикладной математики (старое название: Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика). — 2015. — Т. 15, № 3. — С. 63-70.

[А5] Евсеев Н. А. Инвариантность весовых пространств Соболева на группе Карно // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — Новосибирск: НГУ, 2010. - С. 83.

[А6] Евсеев Н. А. Инвариантность весовых пространств Соболева // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. — РИО ГАГУ, Горно-Алтайск, 2012. — С. 21-22.

[А7] Водопьянов С. К. Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиизометрические отображения // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения Функциональные пространства Теория приближений», посвященной 105-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. — Новосибирск, 2013. - С. 372.

[А8] Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. — РИО ГАГУ, Горно-Алтайск, 2014. - С. 10-11.

[А9] Evseev N. A. Composition operators on Sobolev spaces in a Carnot group and metric properties of mappings // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2014», посвященной 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. — Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2014. — С. 96.

[А10] Evseev N. A. Composition operators on weighted Sobolev spaces on a Carnot group // Тезисы международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2015». — Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2015. - С. 79-80.

Евсеев Никита Александрович

Операторы композиции в пространствах Соболева на группе Карно

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 6.10.2015 г. Офсетная печать. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 284.

Отпечатано в ИП Малыгин A.M. пр. Ак. Лаврентьева, 6/1, оф. 104, Новосибирск 630090