Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга

Исангулова, Дарья Васильевна

Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Исангулова, Дарья Васильевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга»

Автореферат диссертации на тему "Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга"

На правах рукописи

«35-

Исангулова Дарья Васильевна

УСТОЙЧИВОСТЬ В ТЕОРЕМЕ ЛИУВИЛЛЯ НА ГРУППАХ ГЕЙЗЕНБЕРГА

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Сергей Константинович Водопьянов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Владимир Михайлович Миклюков,

доктор физико-математических наук Владимир Иосифович Семенов

Ведущая организация:

Казанский государственный университет, Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н. Г. Чеботарева

Защита диссертации состоится « 8 » сентября 2005 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630Й90 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

«Л » оА^упЗ-

Автореферат разослан «оО » сиалтлО- 2005 г.

Шп

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук (/I ИТ' ^ А.Е.Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории квазиконформных отображений важное место занимает возникшая в ее рамках теория устойчивости конформных отображений. Задача об устойчивости в теореме Лиувил-ля о конформных отображениях сформулирована М. А. Лаврентьевым и состоит в том, чтобы

1) показать, что при К, близком к единице, отображение с Х-ограни-ченным искажением приближается мёбиусовым,

2) оценить порядок отклонения отображения от мёбиусова в зависимости от величины К — 1.

Близость отображения к мёбиусовому можно рассматривать в различных топологиях: равномерной, интегральной, пространств Соболева

. Полное решение проблемы Лаврентьева в евклидовом пространстве получил Ю. Г. Решетняк [7].

Группы Гейзенберга Н" являются самым простым, модельным случаем групп Карно. Более того, это единственная неабелева группа Карно, где установлен аналог теоремы Лиувилля и известны все мёбиусовы преобразования [11], [10], [3], [6].

Цель работы. Доказать устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга и установить точные оценки близости в равномерной норме и в норме Соболева в областях Джона.

Основные результаты.

1) Для отображений с ограниченным искажением на областях Джона групп Гейзенберга Н", п > 1, получены явные оценки устойчивости в равномерной норме и в норме Соболева: всякое отображение с ограниченным искажением с коэффициентом искажения К, близким к 1, приближается конформным отображением с порядком близости \[К~—Т в равномерной норме и с порядком близости К — I в норме Соболева. ,--

'«»С. национальная

■• тцирнлль

ВИБЛИеТЕКД

2) На группах Гейзенберга Н", п > 1, получена оценка степени суммируемости частных производных отображений с ограниченным искажением по мере уменьшения коэффициента искажения.

3) Построены примеры, показывающие асимптотическую точность полученных результатов при К, близком к 1.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы анализа на метрических пространствах, квазиконформного анализа на группах Карно, теории пространств Соболева на группах Карно и геометрии пространств Карно — Каратеодори.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы в анализе на метрических пространствах, теории групп Ли, неголономной геометрии и смежных с ними разделах. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

- на семинаре «Геометрический анализ» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под рук. д.ф.-м.н. С. К. Водопьянова;

- на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю. Г. Решетника;

- на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика РАН Ю. Г. Решетника, проходившей в Новосибирске осенью 2004 г.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [15]-[19].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 98 страницах и состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разбита на параграфы. Библиография состоит из 54 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе устанавливается локальная качественная теорема устойчивости в норме Соболева на общих группах Карно. Здесь приведены также необходимые определения и вспомогательные факты из теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно.

Фиксируем далее группу Карно С с однородной квазиметрикой р и хаусдорфовой размерностью V.

Определение 1.2 ([4]). Пусть /: ¡7 С — отображение, определенное на открытом множестве V в <й. Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если

(а) / непрерывно открыто и дискретно,

(с) существует постоянная К ^ 1 такая, что горизонтальный дифференциал удовлетворяет неравенству \Оь,}{х)\" ^ К3(х, /) для почти всех х £ и. Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется (внешним) коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом Ко (/),

(с!) / гомеоморфно как только Ко(/) = 1.

Гомеоморфное отображение с ограниченным искажением называется квазиконформным, 1-квазиконформное — конформным. Примерами конформных отображений являются левые сдвиги тса: х а ■ х, а € С, и растяжения

Основным результатом первой главы диссертации является

Теорема 1.6. Для каждого фиксированного числа д 6 (0,1) существуют неубывающие функции (0, оо) -> К, ¿¿¿(^9) —»• 0 при £ —> О, г = 0,1, такие, что для любого отображения с ограниченным искажением /: В(а,г) С, В (а, г) с С существует конформное отображение в, для которого

Первое утверждение теоремы 1.6 — это устойчивость в равномерной норме, она доказана в [2]. Доказательство теоремы 1.6 основано на замкнутости класса отображений с ограниченным искажением, полунепрерывности снизу интеграла энергии и слабой сходимости якобианов. Все эти свойства установлены в [4].

Во второй главе на пространствах однородного типа (X, д., ц) вводится класс отображений с ограниченным удельным колебанием, обобщающий класс, введенный Л. Г. Гуровым и Ю. Г. Решетняком в евклидовом пространстве [5]. Доказывается результат об улучшении показателя суммируемости отображений данного класса.

(Ь) / е

р(в 1 О /(х),х) ^ гцо[Ко(1) - 1,д] для всех х е В(а,дг)-,

Шв-1 о /)(*) - 1\Чх ^ гМ 1 [К0и) -1,9].

Мы накладываем еще одно геометрическое условие на пространство: для любых шаров Вг и В2 таких, что х(В\) е £?г, r(Bj) ^ ^(Вг), существует шар В такой, что

В С В! П В2, г{В) > ®(Bi) е В. (2.1)

Здесь константа х ^ 1 не зависит от выбора шаров В\ и В2-

Заметим, что группы Карно являются пространствами однородного типа, удовлетворяющими условию (2.1).

Пусть U С X измеримое множество, fj(U) > 0, /: U -t M.d измеримая функция и р ^ 1. Обозначим

Определение 2.1. Рассмотрим определенный на шарах класс S такой, что S(B) есть некоторая совокупность непрерывных функций <р: В -У для любого шара В С X. Класс S называется допустимым, если выполнены следующие условия:

I. Если ip G S(B), то сужение ip на В принадлежит S(B) для любого шара В С В]

П. Существуют константы 0 < ai ^ 1 такие, что для каждого шара В и произвольной функции <р € S(B) верно a\M(ip,B) ^ |<£>(я)| ^ ci2M(tp,B) для всех х £ В\

Ш. Существует константа аз ^ 1 такая, что для любого шара В и произвольных 1р,ф € S(B) выполнено |¡р(х) — ф(х)\ ^ а3М(уз — ■ф, В) для всех х € В.

Функции, удовлетворяющие накладываемым на допустимый класс ограничениям, в некотором смысле мало отличаются от постоянных.

Определение 2.2. Отображение /: U Ш? называется отображением с ограниченным удельным колебанием в Lt относительно S (/ € BSOq(S)), q > 0, если существует константа а > 0 такая, что для любого шара В С U мы можем выбрать функцию ц>в € S(B), которая удовлетворяет неравенству

[ |/(*) - Ых)\9Мх) ^ V9 f IЫ*)1*Ф(*).

JB JB

Наименьшая константа ст для всех шаров В С U называется удельным колебанием } в смысле Lq относительно S и обозначается символом osc (f,q,S).

Для заданного шара В = В (а, г) определим шар В' = В(а, Основное свойство функций с ограниченным удельным колебанием формулируется в следующем утверждении.

Теорема 2.1. Пусть U — открытое множество в X, S — допустимый класс и f:U -» Предположим f € BSOq(S), ст - osc (f,q,S). Положим

EB(t) = {x€B\ | f(x) - ч>в,(х) | > t\4>B'{x)\)

для t > 0 и В' С U. Тогда существует число сто > 0 такое, что если ст < сто, то для всех t ^ ст/сто выполнено

Константа сто зависит только от q и а^ — аз.

Из теоремы 2.1 нетрудно установить улучшение показателя интегрируемости отображений с ограниченным удельным колебанием: пусть /: U Ed принадлежит классу BSOq(S) и ст = osc(/, q, S). Если ст < ст0, то / 6 LPtl0C(U) для всех р е [q,

Полученный результат об улучшении показателя суммируемости отображения с ограниченным удельным колебанием слабее результата в евклидовом случае в следующем смысле: если отображение / близко к <р на шаре В, то улучшение показателя суммируемости можно гарантировать только на меньшем шаре.

В третье главе рассматривается группа Мп мёбиусовых преобразований групп Гейзенберга И". Точки группы Гейзенберга И", п ^ 1, отождествляются с точками пространства R2n+1, хаусдорфова размерность v равна 2п + 2. Базис алгебры Ли образуют левоинвариантные векторные поля Xi,..., Xm+i • Для них имеют место только следующие нетривиальные коммутационные соотношения: [Xk,Xk+n] = —^X^n+i,

В явном виде вычислена алгебра Ли группы мёбиусовых преобразований; показано, что SM = {SM{B)}bcнп, где SM(B) = {D^tp |

<р € Mn, оо $ <р(§В)}, — допустимый класс в теории отображений с ограниченным удельным колебанием (см. определение 2.1); исследованы близкие к тождественному мёбиусовы отображения.

Лемма 3.10. Пусть <р € Мп, р(<р(р),р) < ет для всех р € В(а,г), е < 1/169 и 1 < s < Тогда существует, функция L(s) такая, что p(tp(p),p) < L{a)er для всех ре B(a,sr).

Лемма 3.10 является полным аналогом евклидового случая [7, лемма 2.10, глава 4]. На группах Гейзенберга Н. С. Даирбеков [6] доказал более слабое утверждение. А именно, р{<р(р),р) < ц(е,з)г для всех р G B(a,sr), где fi(e,s) -> 0 при е 0.

Лемма 3.11. Пусть ip € Мп, е < 1/169, /з(</?(р),р) < ет для всех р £ В(а,г). Тогда \Dh<p(p) - Л < {Ne)2 для всехр 6 В(а,г). Константа N не зависит от <р и В(а,г).

Лемма 3.11 показывает отличие структуры группы Гейзенберга от евклидова пространства: в евклидовом случае, если мёбиусово отображение близко к тождественному с порядком близости е, то дифференциал мёбиусова отображения будет близок к тождественному с порядком близости 0(е) (см. [7, лемма 4.1, глава 4]).

Основным результатом четвертой главы является устойчивость в теореме Лиувилля на областях Джона групп Гейзенберга.

Определение 4.3. Область (открытое связное множество) U С Н" называется областью Джона с внутренним радиусом а и внешним радиусом ¡3, или областью класса J[a, /3], 0 < а ^ fi < оо, если существует выделенная точка ро € U такая, что любая другая точка р € U может быть соединена в U с точкой ро спрямляемой кривой 7(s), 0 ^ s ^ I ^ /?, где s — длина дуги, для которой у(0) = р, y(i) = ро и

distft ($),(?[/] ^ у s для всех s € [О, I].

Число Ko{Jназывается (линейным) коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом K(f).

Теорема 4.7. Пусть U — область класса J(a, /?) в Hn, п > 1. Тогда существуют числа Di,D2,Dz > 0 такие, что для всякого отображения

с ограниченным искажением f:U -4 Н" существует отображение (¿> 6 Мп такое, что

1) если K(f) < 1 + Di(f )2, то

02.

0 /(аг),ат) ^ Ci^\/K(f) - 1 для всех х G 17;

2) еслиВД <1 + Р2(|)"+3 кр€ [1,гй=т(|)"+3), то

[ |° /)(*) ~ ^ C2pv(K(f) - 1)". Ju

Константа С\ зависит только от п. Константа зависит от д, пир.

Заметим, что показатель суммируемости отображения с ограниченным искажением асимптотически совпадает с известным результатом К. Асталы в R2. Отметим основное отличие теоремы 4.7 от результата Ю. Г. Решетняка, полученного в евклидовом пространстве [7, теорема 4.1, гл. 4]: Пусть U — область класса J(a,j3) в Rn, где п ^ 3. Тогда для любого р> п найдется число 6q = <5о(р), зависящее только от п и

р и такое, что, если f:U-> М" — отображение с ограниченным иска-

жением, K(f) ^ 1 + то существует мёбиусово преобразование <р

такое, что fD |D[ip-l°f){x)-I\*dat ^ C{K(f)~ 1)р(£)2р/?2". Применяя схему доказательства теоремы 4.7, можно показать, что в евклидовом случае в качестве 6о(р) можно взять 60(р) =

На областях Джона группы Н1 верна следующая

Теорема 4.8. Пусть U — область класса J(a,j3) в И1. Тогда существуют е = е(/?/а) > 0 и функция А: [0,е) [0,оо), A(i) 0 при t —> 0, такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением /: U Н1, К = K(f) < 1 + е, существует <р € М\, удовлетворяющее следующим соотношениям:

° /(«),») ^ Су^ у/\{К - 1) для всех хеи и

[ |Dh{ip~l о f)(x) - I\'dx ^ С2Р\\{К - 1))" J и

для всех р G [l, x(k~i) (f)7)- Константа C\ не зависит от а, 0 и f. Константа Ci зависит от j и р.

Оценка вида p{<p~l ° f{x),x) - 1) для всех х € U, где

р,(К — 1) —► 0 при К -»■ 1, на областях Джона групп Гейзенберга Н", п ^ 1, получена Н. С. Даирбековым [6].

Доказательство теоремы 4.7 развивает метод Ю. Г. Решетняка, разработанный в евклидовом случае [7]. Во-первых, доказательство использует дифференциальный оператор Q, «линеаризующий» оператор, определяющий конформные преобразования. На группе Гейзенберга горизонтальный дифференциал конформного отображения является общим ортогональным преобразованием и имеет дополнительную структуру: с точностью до множителя он является симплектическим преобразованием. Поэтому оператор Q состоит из двух частей. Одна отвечает за ортогональность, вторая — за симплектичность:

_ (\{Dhu + (Dku)*) " à tr{Dhu)l\ ( О Л

Wti"V \{Dhu + JDhuJ) )> J-\-I 0 )•

Здесь отображение и действует из Нп в М2п, а (2n х 2п)-матрица D^u равна {XiUj)itj=xt,„fin- (Заметим, что в евклидовом случае оператор Q состоит только лишь из первой части.)

Приведем определение (К'Я)-ориентации. Отображение с ограниченным искажением f:U-+ H™, U С Нп, почти всюду в U имеет формальный горизонтальный дифференциал Dhf, который определяет сохраняющий контактную структуру гомоморфизм алгебр Ли Df, при этом J[x>f) Ф 0 Для почти всех х € U [4]. Поэтому для почти всех х G U существует число А (ж, /) ф 0 такое, что

Df(x)X2 „+1 = X(x,f)X2n+1. Более того [12], Л {xj)n = det Dhf{x) и Л(а;,/)п+1 = J{x,f).

Определение 4.2. Отображение с ограниченным искажением f:U-ï H", U С Н™, сохраняет (соответственно, меняет) (KR)-ориентацию, если Л(ж, /) > 0 (соотв. А(я, /) < 0) для почти всех х 6 U.

В следующей лемме устанавливается основное неравенство для оператора Q.

Лемма 4.1. Пусть f: U Ш.п, U С Н", — отображение с К-ограниченным искажением, сохраняющее (КR)-ориентацию. Тогда для почти всех точек х £ U выполнено

\Qf(x)\ ^ С (К - 1)(| Dhf(x) ~I\ + l)+ РШ(х) - I), где (i{v) = 0{\v\3/2) при v -> 0 и @(v) ^ C\v\ для всех v.

Нетрудно показать, что близость отображения / к тождественному в норме Соболева означает, что / сохраняет (К"Д)-ориентацию.

если dim ker Q < оо, то для каждого шара В С 1" существует проектор Р: Wp(B,R2n) -> kerQ такой, что \\DhU - Dh{Pu)\\if^B) ^ C\\Qu\\LAm для всех и € Wp{B,К2п). Чтобы применить этот результат, надо найти ядро оператора Q.

Лемма 4.2. Ядро оператора Q на отображениях и е Wp loc(Hn, R2n), n ^ 2, р ^ 1, конечномерно. В явном виде: и G kerQ тогда и только тогда, когда

u{z, t) = а + (XI + K)z + (t + i\z\2)(az + b) + 2 i(z, b)z,

где A, a G K, a, b G С", К + К* = 0. На группе Н1 ядро оператора Q бесконечномерно.

Следовательно, в рамках данного подхода нет возможности применить коэрцитивные оценки при n = 1.

Принципиальное наблюдение состоит в том, что отображение из ядра оператора Q всегда можно расширить до элемента алгебры Ли мёбиусо-вых преобразований на группе Гейзенберга (см. главу 3). Это наблюдение дает возможность для всякого отображения / с if-ограниченным искажением найти мёбиусово отображение в такое, что Pg = id, где д = в~г of — тоже отображение с /^-ограниченным искажением. Из леммы 4.1 и коэрцитивных оценок мы получаем

\\Dhq - 7||Мв) ^ С(К - 1)(1|ЭДя) - I\\Lp{B) + \B\V*)

+ CMDhg(x)-I)\\Lp(B)

для всех р ^ V. Следовательно, нам надо получить оценку \\Р(Вьд(х) -Щьр(В) = 0(1)||-Оа5(ж) ~ Ц\ьр(в) при К 0. Для этого мы применяем теорию отображений с ограниченным удельным колебанием.

В силу теоремы 1.6 на любом шаре В С В мы найдем мёбиусово отображение <р такое, </з-1 од близко к тождественному в норме Соболева с порядком близости е, е —> 0 при К 1. С помощью теорем вложения мы получаем, что это влечет близость д к ¡р в норме Соболева с порядком близости е. Последнее означает, что Инд 6 5501//2(5М) и, следовательно, можно установить желаемую оценку для р = и/2.

Последний шаг доказательства теоремы 4.7 состоит в переходе от локальных оценок к глобальных. Для этого перехода мы используем близкие к тождественному мёбиусовы преобразования, специальное покрытие области Джона и следующее предложение, иллюстрирующее «регулярность» границы области Джона в некотором интегральном смысле.

Предложение 4.5. Пусть и 6 J(a,ft). Тогда

Предложение 4.5 обобщает теорему 1 работы [9].

В диссертационной работе построены также примеры, показывающие неулучшаемость полученных результатов. Первый пример показывает, что близость отображения с ограниченным искажением к конформному в норме Соболева и в равномерной норме в теореме 4.7 не может быть улучшена. Во втором примере построено отображение с ограниченным искажением, при котором достигается порядок сумми-

руемости производных: / £ И^]ос(1/,Мп), когдар >

Четвертая глава разбита на шесть параграфов. В первом параграфе приведены дополнительные ограничения, накладываемые на отображение с ограниченным искажением на группе Гейзенберга: условие контактности и система Бельтрами. Во втором параграфе вводится дифференциальный оператор первого порядка <5, вычисляется его ядро, строится проектор на ядро оператора ф и устанавливается предварительная теорема устойчивости. Третий параграф посвящен следствиям устойчивости в норме Соболева. В частности, показана связь производных отображений с ограниченным искажением и классом отображений

где 7 < С(§)". Константа С зависит только от и.

с ограниченным удельным колебанием. В четвертом и пятом параграфах доказана локальная и глобальная количественные теоремы устойчивости соответственно. Последний, шестой параграф, содержит два примера, показывающие точность полученных результатов.

Список литературы

[1] Водопьянов С. К. Геометрические свойства областей и отображений. Оценки снизу нормы оператора продолжения // Исследования по геометрии и математическому анализу / Решетняк Ю. Г. — Новосибирск, 1987. - С. 70-101.

[2] Водопьянов С. К., Кудрявцева Н. А. Нормальные семейства отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 2. - С. 273-286.

[3] Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1999. - Т. 40, Л"8 4. - С. 764г-804.

[4] Водопьянов С. К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажением групп Карно // Мат. труды — 2002. — Т. 5, № 2. - С. 92-137.

[5] Гуров Л. Г., Решетняк Ю. Г. Об одном аналоге понятия функции с ограниченным среднем колебанием // Сиб. мат. журн. — 1976.

- Т. 17, № 3. - С. 540-546.

[6] Даирбеков Н. С. Устойчивость отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, Л* 2. - С. 282-295.

[7] Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе.

- Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 424 с.

[8] Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга Н" // Алгебра и анализ - 2004. - Т. 16, Я« 2. — С. 82-119.

[9] Троценко Д. А. Свойства областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. - 1981. - Т. 22, 4. - С. 221-224.

[10] Capogna L. Regularity of quasilinear equations in the Heisenberg group // Comm. Pure Appl. Math. - 1997. - V. 50. - P. 867-889.

[11] Kordnyi A., Reimann H. M. Quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Invent. Math. - 1985. - V. 80. — P. 30&-338.

[12] Korânyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Adv. Math. — 1995. — V. Ill, № 1. - P. 1-87.

[13] Mostow G. D. Strong rigidity of locally symmetric spaces / Annals of Math. Studies; N 78. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1973. — 196 p.

[14] Pansu P. Métriques de Carnot — Carathéodory et quasiisométries des espaces symmétriques de rang un // Acta Math. — 1989. — V. 129, № 1. - P. 1-60.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[15] Грешнов А.В., Егоров А.А., Исангулова Д.В., Коробков

М.В. Пространства Соболева и устойчивость классов отображений на метрических структурах // Материалы III конференции молодых ученых, посвященной М. А. Лаврентьеву (Новосибирск, 1-3 декабря 2003 г.). — Новосибирск: РИЦ «Прайс-курьер», 2003. — С. 4-8.

[16] Исангулова Д. В. Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга // Новосибирск, 2005. — 84 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; К1 158).

[17] Isangulova D. V. Local stability of quasiconformal mappings in the Sobolev topology W* on Carnot groups // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004 г.): Тез. докл. - Новосибирск, 2004. - С. 115-116.

[18] Isangulova D. V. Stability in Liouville theorem on Heisenberg group // Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.): Тез.

докл. - М.: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2005. - С. 297.

[19] Исангулова Д. В. "Устойчивость в теореме Лиувилля на областях Джона групп Гейзенберга // Международная школа-конференция «Комплексный анализ и его приложения» (Краснодар, 11 - 17 сентября 2005 г.): Тез. докл. - 2005.

Подписано в печать 25.07.05. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1. Тираж 70 экз. Заказ Л1« 101.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» пр. Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск

Р14 4 7 2

РНБ Русский фонд

2006-4 10337

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Исангулова, Дарья Васильевна

Введение

1 Локальная теорема устойчивости в норме Соболева на группах Карно

1.1 Группы Карно.

1.2 Пространство Соболева.

1.3 Отображения с ограниченным искажением.

1.4 Локальная качественная теорема устойчивости в И^-норме

2 Отображения с ограниченным удельным колебанием

2.1 Пространство однородного типа.

2.2 Допустимый класс S: определение и примеры

2.3 Класс BSOq(S).

2.4 Лемма Зигмунда — Кальдерона

2.5 Доказательство теоремы 2.1 и ее следствия.

3 Свойства мёбиусовых преобразований групп Гейзенберга

3.1 Группа Гейзенберга.

3.2 Группа мёбиусовых преобразований и ее алгебра Ли.

3.3 Свойства производных мёбиусовых преобразований.

3.4 Мёбиусовы преобразования, близкие к тождественному

4 Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга

4.1 Контактная структура и система Бельтрами на группе Гейзенберга

4.2 Оператор Q.

4.2.1 Оператор Q, ядро оператора Q и проектор на ядро оператора Q.

4.2.2 Предварительная теорема устойчивости в теореме Лиувилля

4.3 Следствия локальной теоремы устойчивости в норме Соболева

4.3.1 Сохранение Я"#-ориентации.

4.3.2 Применение теорем вложения.

4.3.3 Отображения с ограниченным искажением и класс

В SO.

4.4 Локальная теорема устойчивости. Точный порядок отклонения от мёбиусовых преобразований.

4.5 Устойчивость в теореме Лиувилля «в целом».

4.5.1 Области Джона и области с равномерным внутрен

4.6 Примеры ним условием спирали.

4.5.2 Области Джона и Бомана.

4.5.3 Глобальная теорема устойчивости в теореме Лиувилля

Введение диссертация по математике, на тему "Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга"

Классическая теорема Лиувилля говорит о том, что всякое конформное отображение евклидова пространства Rn, п ^ 3, есть сужение некоторого мёбиусова преобразования всего пространства, т. е., сужение композиции конечного числа преобразований инверсии относительно сферы. Напомним, что отображение / называется конформным, если в каждой точке области определения матрица Якоби f'(x) — общее ортогональное преобразование. Наглядно отображение области n-мерного евклидова пространства конформно, если оно переводит всякую бесконечно малую сферу в бесконечно малую сферу.

Конформные отображения образуют группу преобразований, которая в отличие от плоскости является конечномерной группой Ли. Введение квазиконформных отображений мотивировано, в частности, желанием разнообразить класс допустимых объектов. Грубо говоря, квазиконформный гомеоморфизм характеризуется тем, что образ всякого бесконечно малого шара является эллипсоидом, у которого отношение наибольшей полуоси к наименьшей не превосходит некоторой постоянной К ^ 1. Если мы откажемся от условия гомеоморфности, то получим концепцию отображения с ограниченным искажением. В случае К — 1 отображение конформно.

Задача об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях состоит в том, чтобы

1) показать, что при К, близком к единице, отображение с /Г-ограничен-ным искажением приближается мёбиусовым,

2) оценить порядок отклонения отображения от мёбиусова в зависимости от величины К — 1.

Близость отображения с ограниченным искажением к мёбиусовому можно рассматривать в различных топологиях: равномерной, интегральной, пространств Соболева W

Проблема устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства была поставлена М. А. Лаврентьевым в 30-х годах прошлого столетия и им же были установлены первые теоремы устойчивости [18, 19]. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в основном благодаря работам П. П. Белинского [1, 2] и Ю. Г. Решетняка [20, 21, 22, 23, 24, 25]. Полное решение проблемы Лаврентьева получил Ю. Г. Решетняк [27]. Он установил теорему устойчивости в норме Соболева на областях Джона с порядком близости О {К — 1) и показал, что при К, близком к 1, частные производные отображения с /^-ограниченным искажением локально суммируемы в степени jfti

Отдельный интерес представляет нахождение конкретных значений постоянных в оценках устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. Например, В. И. Семенов оценил порядок близости отображения с ^-ограниченным искажением единичного шара пространства Mn, п ^ 3, к мёвкусовому преобразованию в равномерной норме как (2 + 0(^)){К - 1) [30, 31].

Исходная постановка М. А. Лаврентьева проблемы устойчивости относится не только к конформным отображениям, но также и к общим переопределенным системам. Вопросы устойчивости поведения физических систем и математических объектов относительно малых возмущений определяющих их параметров важны и интересны для приложений. Таким образом, проблема устойчивости в теореме Лиувилля является частным случаем большого числа задач об устойчивости классов отображений.

В качестве примера можно привести устойчивость изометрий в классе квазиизометрий, впервые рассмотренную Ф. Джоном [46]. Другой подход к исследованию устойчивости изометрий разработал Ю. Г. Решетняк [27]. Новый результат по устойчивости изометрий можно найти в работе Р. Д. Джеймса, С. Мюллера и Дж. Фриесеке [43], в которой они применяют устойчивость к теории упругости. Известна также устойчивость класса лоренцевых отображений [11].

А. П. Копылов разработал абстрактный принцип построения теории устойчивости классов отображений, обобщающий многие известные результаты. Он построил концепцию ^-устойчивости классов отображений в С-норме и показал, в частности, устойчивость голоморфных отображений нескольких комплексных переменных [17].

Квазиконформный анализ на группах Карно стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформных отображений и функциональных классов на однородных группах [3], а также жесткость типа Мостова гиперболических пространственных форм [51]. Это послужило стимулом к развитию квазиконформного анализа на группах Карно: связных односвязных нильпотентных группах Ли с градуированной алгеброй Ли. Обобщающая теория основана на круге идей и методов геометрической теории меры, неголономных пространств Соболева, квазилинейных уравнений субэллиптического типа и адекватной нелинейной теории потенциала. Исследование Мостова были продолжены П. Пансю [52], который предложил концепцию дифференцируемости на группах Карно.

В настоящее время теория квазиконформных отображений на группах Карно является активно развиваемой областью математики. Отметим работы 3. Балога, И. Холопайнена и Дж. Тайсона [34], А. Кораньи и X. М. Раймана [48, 49], Л. Капоньи [37], Л. Капоньи и П. Танга [38], Н. С. Даирбекова [13, 14] и С. К. Водопьянова [5, 7, 8, 9]. С. К. Водопьянов установил целый ряд свойств отображений с ограниченным искажением на группах Карно, аналогичных евклидовому случаю: гёльдеровость, замкнутость класса относительно равномерной сходимости и др. [5, 7, 9]. Также С. К. Водопьянов и Н. А. Кудрявцева доказали устойчивость конформных отображений в классе квазиконформных отображений в равномерной норме [4].

В данной работе доказывается устойчивость конформных отображений в норме пространства Соболева W* на группах Карно. Установлен точный порядок близости в теореме устойчивости в норме Соболева на областях Джона групп Гейзенберга Hn, п > 1: всякое отображение с ограниченным искажением с коэффициентом искажения К, близким к 1, приближается конформным отображением с порядком близости у/К — 1 в равномерной норме и с порядком близости К — 1 в норме Соболева.

Заметим, что уже в этом результате видно отличие от точного порядка близости в евклидовом случае: в евклидовом случае порядки близости в норме Соболева и в равномерной норме одинаковые [27].

Группы Гейзенберга Н" являются одним из самых простых, модельных случаев групп Карно. Более того, это единственная неабелева группа Карно, где удалось доказать аналог теоремы Лиувилля и известна группа мёбиусовых преобразований Мп. Теорию квазиконформных отображений на группах Гейзенберга развили А. Коранья и X. М. Райманн [49, 48]. Они показали, что квазиконформное отображение удовлетворяет системе

Бельтрами, и установили теорему Лиувилля для С4 -гладких квазиконформных отображений на группах Гейзенберга. Для квазиконформных отображений теорема Лиувилля была установлена Л. Капоньей [37], для общих отображений с ограниченным искажением теорему Лиувилля можно найти в работах С. К. Водопьянова [5] и Н. С. Даирбекова [13].

Доказательство основных результатов данной работы основывается на методе Ю. Г. Решетняка, разработанном в евклидовом случае, который можно разбить на три этапа [27]:

I) локальная качественная устойчивость в теореме Лиувилля в норме Соболева

II) локальная теорема устойчивости в норме Соболева Wс точным порядком отклонения от мёбиусовых преобразований и оценка степени локальной суммируемости частных производных по мере уменьшения коэффициента искажения;

III) устойчивость в теореме Лиувилля в «целом» в норме Wp.

Локальная качественная теорема устойчивости в первом этапе доказывается с помощью замкнутости класса отображений с ограниченным искажением.

Самым трудоемким является второй этап. Выделим основные шаги доказательства в евклидовом случае:

1) Построение дифференциального оператора первого порядка Q2, ядро которого совпадает с алгеброй Ли мёбиусовых преобразований. Грубо говоря, этот оператор является линеаризацией дифференциального оператора, определяющего конформные преобразования. Для оператора Q2 доказывается коэрцитивная оценка.

2) Теория отображений с ограниченным удельным колебанием в смысле Lq относительно допустимого класса S (BSOq(S)). Аналогично классу В МО для класса BSOq(S) верна теорема об улучшении показателя интегрируемости .

3) Применение теории отображений с ограниченным удельным колебанием. Проверяется, что производные мёбиусовых отображений удовлетворяют всем требованиям, накладываемым на допустимый класс в теории В SO, и, что дифференциалы отображений с ограниченным искажением близки к дифференциалам мёбиусовых отображений в норме Ln.

На последнем этапе доказывается устойчивость в областях, удовлетворяющих условию Джона. В доказательстве используются свойства почти тождественных мёбиусовых преобразований и специальное покрытие области Джона.

Приведем основные этапы настоящей работы, акцентируя внимание на преодолении трудностей, возникающих при обобщении метода Ю. Г. Ре-шетняка на группы.

I) Доказательство локальной качественной теоремы устойчивости в норме Соболева в евклидовом случае основано на замкнутости класса отображений с ограниченным искажением, полунепрерывности снизу интеграла энергии и слабой сходимости якобианов. Все эти факты установлены на общих группах Карно [7]. Поэтому мы можем доказать локальную качественную теорему устойчивости в норме Соболева не только на группах Гейзенберга, но и на общих группах Карно. Приведем определение отображения с ограниченным искажением и формулировку результата.

Напомним, что непрерывное отображение /: fi G, fi С G, называется открытым, если образ открытого множества открыт, и дискретным, если прообраз f~1{y) любой точки у £ состоит из изолированных точек.

Определение 1.2 ([7]). Пусть /: U —> G — отображение, определенное на открытом множестве U группы Карно G. Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если a) / непрерывно открыто и дискретно, b) / € Wj)loc(?7, G), v — размерность Хаусдорфа группы Карно G, c) существует постоянная К ^ 1 такая, что неравенство \Dhf(x)\v ^ KJ(x, /) выполняется почти всюду в U. Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется (внешним) коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом Ko(f), d) / гомеоморфно как только Ko{f) = 1.

Гомеоморфное отображение с ограниченным искажением называется квазиконформным, 1-квазиконформное — конформным. Примерами конформных отображений являются левые сдвиги жа: х i->■ а • ж, а G G, и растяжения St

Теорема 1.2. Для каждого фиксированного числа q 6 (0,1) существуют неубывающие функции (0,оо) М, /J-i{t,q) —>■ 0 при t —> 0, г —

0,1, такие, что для любого отображения с ограниченным искажением /: В(а,г) —)■ G, В(а,г) С G, существует конформное отображение в, для которого р(9~г о /("^ ^ ^ f \ 1 ri\ Аля лгрт т d П(п /тг);

JB(a,5-f) 9

II) Локальная теорема устойчивости в норме Соболева Wp с точным порядком отклонения от мёбиусовых преобразований и оценка степени локальной суммируемости частных производных по мере уменьшения коэффициента квазиконформности на группах Гейзенберга.

На группах Гейзенберга ЕР найдена группа конформных преобразований Мп, которую по аналогии с евклидовым случаем мы будем называть группой мёбиусовых преобразований, и установлен аналог теоремы Лиувилля. Очевидным следствием теоремы Лиувилля является выполнение требования п. (d) определения 1.2. На группах Гейзенберга известно также, что отображение с ограниченным искажением непрерывно, а если непостоянно, то открыто и дискретно [5, 9, 13]. Поэтому определение 1.2 отображения с ограниченным искажением можно переформулировать в следующем виде:

Определение 3.1. Пусть U — открытое множество группы Гейзенберга ЕР, /: U —У ЕР — непостоянное отображение класса W^oc(U,Mn). Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если существует постоянная К ^ 1 такая, что неравенство \Dhf(x)\v ^ KJ(x,f) выполняется почти всюду в U.

Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется внешним коэффициентом искажения отображения / и обозначается через Ko(f). Число Ко (/)"+* называется (линейным) коэффициентом искажения отображения / и обозначается через K(f).

Основной результат работы сформулирован в следующем утверждении.

Теорема 4.5. Существуют константы Dq,£o > 0 такие, что всякое отображение с ограниченным искажением f:U —> ЕР, п > 1, К = K(f) ^ 1+£(ь принадлежит W^loc(U, ЕР) для всехр Е [f, ^j). При этом для любого шара В = В(а, г) С U существует отображение <р G Мп такое, что <р(х) ф оо для всех х 6Е ^В и р(х, ip 1 о /(ж)) ^ С\Т\/К — 1 для всех х G -В, где константа С\ зависит только от п; константы , Сз зависят только от п, р и 5.

Известно (см., например, [45]), что всякое квазиконформное отображение / на группе Гейзенберга Н" принадлежит классу W^ioc, если р < is+е, где е > 0 — некоторая постоянная. Теорема 4.5 оценивает е при К, достаточно близком к единице. В последней части работы приведен пример, показывающий асимптотическую точность данной оценки. А именно, / ^ W^loc(t/, Hn), когда р ^ ^(к-1)' Заметим, что показатель локальной суммируемости частных производных отображения с ограниченным искажением асимптотически совпадает с известным результатом К. Асталы в

Ход доказательства, как и в евклидовом случае, можно разбить на 3 шага.

1) Построение дифференциального оператора Q, «линеаризующего» оператор, определяющий конформные преобразования. На группе Гейзенберга горизонтальный дифференциал конформного отображения является общим ортогональным преобразованием и имеет дополнительную струкТУРУ: с точностью до множителя он является симплектическим преобразованием. Поэтому оператор Q состоит из двух частей. Одна отвечает за ортогональность, вторая — за симплектичность:

Здесь отображение и действует из Нп в E2n, а (2n х 2п)-матрица DhU равна (XiUj)ij-\^2n- (Заметим, что в евклидовом случае оператор Q состоит только лишь из первой части.)

Приведем еще одно определение. Отображение с ограниченным искажением /: U —>■ Hn, U С Нп, почти всюду в U имеет формальный горизонтальный дифференциал Dhf, который определяет сохраняющий контактную структуру гомоморфизм алгебр Ли Df. Причем J(x, f) фО для почти всех х € U [7]. Поэтому для почти всех х € U существует число /) 0 такое, что

R2 [33].

4.4)

Df{x)X2„+i = А (я, f)X2n+1

Более того [49], \{xj)n = detDhf(x) и X(xJ)n+1 = J(xJ).

Определение 4.2. Отображение с ограниченным искажением /: U —> Hn, U С Н", сохраняет (соответственно, меняет) (К"Д)-ориентацию, если Х(х, /) > О (соотв. А(ж, /) < 0) для почти всех х G U.

В следующей лемме устанавливается основное неравенство для оператора Q.

Лемма 4.1. Пусть f:U С ЕР —¥ Нп — отображение с К-ограниченным искажением, сохраняющее (КR)-ориентацию. Тогда для почти всех точек х £ U выполнено

Нетрудно показать, что близость отображения / к тождественному в норме Соболева означает, что / сохраняет (/(ГЯ)-ориентацию (предложение 4.3).

Дальнейший шаг состоит в использовании коэрцитивных оценок для однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и с конечномерным ядром. Таковые на группе Гейзенберга доказаны Н. Н. Романовским [28]: если dimkerQ < оо, то для каждого шара В С Нп существует проектор Р: Wp(i?,R2n) —> kerQ такой, что \\Dhu-Dh(Pu)\\Lp{B) ^ C\\Qu\\lp{b) для всех и 6 W}(B, R2n). Чтобы применить этот результат, надо найти ядро оператора Q.

Лемма 4.2. Ядро оператора Q на отображениях и 6 И^1ос(Ш1п,М2п), п ^ 2, р ^ 1, конечномерно. В явном виде: и € ker Q тогда и только тогда, когда u(zft) = a + (XI + K)z+{t + i\z\2)(az + b) + 2i(z,b)z, где A, a Е М; а, Ь G Сп, К + К* = 0. На группе И1 ядро оператора Q бесконечномерно.

Следовательно, в рамках данного подхода нет возможности применить коэрцитивные оценки при n = 1.

Принципиальное наблюдение состоит в том, что отображение из ядра оператора Q всегда можно расширить до элемента алгебры Ли мёбиусовых преобразований на группе Гейзенберга (см. леммы 3.2 и 4.2). Это наблюдение дает возможность для всякого отображения / с /^-ограниченным искажением найти мёбиусово отображение в такое, что Рд = id, где д = 0"1 of — тоже отображение с if-ограниченным искажением. Из леммы 4.1 и коэрцитивных оценок получаем для всех р ^ г/. Следовательно, для получения локальной количественной теоремы устойчивости нам надо получить оценку \\p(Dhg(x) — I)\\lp(b) = o(l)^Dhg(x) — I\\lp(b) пРи К —t 1. Для этого мы применяем теорию отображений с ограниченным удельным колебанием.

2) Класс отображений с ограниченным удельным колебанием. В евклидовом случае Ю. Г. Решетняк и JI. Г. Гуров ввели класс отображений с ограниченным удельным колебанием относительно кубов [12]. На группе Гейзенберга кубов нет, а множества, которые являются аналогами двоичных кубов, имеют фрактальную структуру [39]. По этой причине мы ввели класс BSO относительно шаров в метрике Гейзенберга. Так как для доказательства основных свойств этого класса не используется групповая структура, то естественно рассматривать класс BSO на метрических пространствах однородного типа: (X, d, fi) с мерой /i, удовлетворяющей условию удвоения. Мы накладываем еще одно геометрическое условие на метрическое пространство: для любых шаров В\ и Дг таких, что х{В{) 6 Д21 r(Bi) ^ r(i?2), существует шар В такой, что

ВСВХС\В2, г(В)^7^-, х(В!)еВ. (2.1) ус

Здесь константа и ^ 1 не зависит от выбора шаров В\ и В2.

Заметим, что группы Карно являются метрическими пространствами однородного типа, удовлетворяющими условию (2.1).

Пусть U С X измеримое множество и fi(U) > 0. Обозначим

M(f,U) = j^)Ju\f(x)\d»(x) и Mp(f,U) = (M(\fP,U для любой измеримой функции f:U—t

Определение 2.1. Рассмотрим определенный на шарах класс 5 такой, что S(B) есть некоторая совокупность непрерывных функций (р: В —> для любого шара В С X, Класс S называется допустимым, если выполнены следующие условия:

I. Если tp G S(B), то сужение <р на В принадлежит S(B) для любого шара В С В;

II. Существуют константы 0 < а\ ^ 1 ^ «2 такие, что для каждого шара В и произвольной функции ip Е S(B) верно

1 М(<р, В) ^ \ф(х)\ < сх2М((р, В) для всех х Е В;

III. Существует константа аз ^ 1 такая, что для любого шара В и произвольных ip, ф € 'S'(jB) выполнено ж) — -00*01 ^ азМ(<р — ф, В) для всех х £ В.

Функции, удовлетворяющие накладываемым на допустимый класс ограничениям, в некотором смысле похожи на постоянные. Очевидным примером допустимого класса служит класс постоянных функций. В евклидовом пространстве Mn, п ^ 3, нетривиальным примером является класс S(<2(a,r)) = {х Е Q(a,r) ф'(х) 61: ф е Мп, оо (£ ф{С!{а^))}, где Мп — группа мёбиусовых преобразований в Rn, Q(a,r) — куб с центром в точке а и ребром г (см. [27]).

Определение 2.2. Отображение /: U —> Rd называется отображением с ограниченным удельным колебанием в Lq относительно S (/ Е BSOq(S)), q > 0, если существует константа <т > 0 такая, что для любого шара В С. JJ мы можем выбрать функцию ц>в £ S(B) такую, что If(x)-<pB{x)\4»(x)^a4 f |<рв(х)\Чц{х).

JB J в

Наименьшая константа a для всех шаров В С U называется удельным колебанием f в смысле Lq относительно S и обозначается символом osc (f,q,S).

Для заданного шара В = Б (а, г) определим шар В' = В(а, Основное свойство функций с ограниченным удельным колебанием формулируется в следующем утверждении.

Теорема 2.1. Пусть U — открытое множество в X, S — допустимый класс и fU —У Kd. Предположим f Е BSOq(S), а = osc(/, q, S). Положим

EB{t) = {х € В | |f(x) - <рв,(х)\ > t\cpB,(x)\} для t > 0 и В' CU.

Тогда существует число ао > 0 такое, что если а < <tq, то для всех t ^ (t/ctq выполнено 63 (aSZ^W^ L

Константа <jq зависит только от q и ai — аз

Полученный результат об улучшении показателя суммируемости отображения с ограниченным удельным колебанием слабее результата в евклидовом случае в следующем смысле: если отображение / близко к <р на шаре Л, то улучшение показателя интегрируемости можно гарантировать только на меньшем шаре.

Из теоремы 2.1 нетрудно установить улучшение показателя интегрируемости отображений с ограниченным удельным колебанием.

Следствие. Пусть f:U —> принадлежит классу BSOq(S) и а = osc{f,q,S). Если а < o-q, то f Е LP]\oc(U) для всех р € Более того, если q < р < то с 9+р / 3 9 \ jBI/(*) -№(x)№W ^ + ^fr^fo-p)J хстр^Мч(срВ',Ву^ [ \f{x)-<pB>(x)\*dii(x).

J в

3) Применение теории отображений с ограниченным удельным колебанием. Неожиданно трудоемким оказалось исследование свойств производных мёбиусовых преобразований. Используя явное представление, мы показываем, что класс SM = {5М(.В)}#сн»», где SM(B) = {Dhp | ip б Мп, оо ^ </?(|В)}, является допустимым (см. определение 2.1) в теории отображений с ограниченным удельным колебанием (леммы 3.5 и 3.6).

Пусть g — отображение с iiT-ограниченным искажением на шаре В. В силу теоремы 1.2 на любом шаре В С В мы найдем мёбиусово отображение ц> такое, что <ро g близко к тождественному в норме Соболева l}v с порядком близости £, £ —У 0 при К —»• 1.

В евклидовом случае Ю. Г. Решетняк получил следующий результат: если ip'1 о g близко к тождественному в норме Соболева L*, с порядком близости е, где ср — мёбиусово, а д — отображение класса Соболева W*, то при выполнении некоторых ограничений д близко к ip в норме Соболева Lp с порядком близости 0(e).

На группе Гейзенберга такую оценку получить не удается. Применяя теоремы вложения, можно утверждать только, что близость <р~1од к тождественному в норме Соболева L\ с порядком близости е влечет близость д к <р в норме Соболева с порядком близости 0(e) (лемма 4.4). Последнее означает, что Dhg € BSOv/2(SM) и osc(#, vj2, SM) = 0(e). Следовательно, можно установить желаемую оценку для р = v/2\ \\(3{Dhg—I)\\lv/2(b) = o{l)\\Dhg - I\\lu/2{B) при K->1.

Ill) Теорема устойчивости на областях Джона.

Определение 4.3. Область (открытое связное множество) U С Нп называется областью Джона с внутренним радиусом а и внешним радиусом /?, или областью класса J[a, /5], 0 < а < < оо, если существует выделенная точка ро € U такая, что любая другая точка р 6 U может быть соединена в U с точкой ро спрямляемой кривой 7(5), 0 ^ s ^ I ^ /3, где s — длина дуги, для которой 7(0) = р, 7(I) = ро и ос dist[7(s),dt/] ^ — s для всех s € [0,1]. ь

Главным результатом работы является

Теорема 4.7. Пусть U — область класса J(a,j3) в IHP, n > 1. Тогда существуют числа Di,D2,Ds > 0 такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением f:U—t Н" существует мёбиусово отображение (р, для которого верны следующие утверждения:

1) если K(f) < 1 + Di(f)2, то р{<р~1 о f(x), х) ^ С\—\/K(f) — 1 для всех х 6 U\

2) еслиК(/) < 1 +Д2(|Г+3 то |Dh{<p-X о f)(x) - Ifdx < C2(3"(K(f) - I?. Ju

Константа C\ зависит только от п. Константа С2 зависит от ^, п и р.

Отметим основное отличие теоремы 4.7 от результата Ю. Г. Решетняка, полученного в евклидовом пространстве [27, теорема 4.1, гл. 4]: Пусть U — область класса J(a,/3) в Rn; где п ^ 3. Тогда для любого р > п найдется число So = Sq(p), зависящее только от п up и такое, что, если f: U —>

Rn — отображение с ограниченным искажением, K{f) ^ 1 + то существует мёбиусово преобразование <р такое, что о f){x) —

I\Pdx < C(K(f) - 1 )p(f)2p/32". Применяя схему доказательства теоремы 4.7, можно показать, что в евклидовом случае в качестве можно взять

Ш = С(| Г1 i.

На областях Джона группы Н1 верна следующая

Теорема 4.8. Пусть U — область класса J(a,j3) в Н1. Тогда существуют € = e{f3fa) > 0 и функция А: [0,е) —¥ [0,оо), А(£) —> 0 при t —> 0, такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением /: JJ —t И1, К = K(f) < 1-\-е, существует €Е М\, удовлетворяющее следующим соотношениям: 2 р((р 1 о f(x), х) ^ С\—у А (К — 1) для всех х G U и \Dh{v~l о /)(*) - I\Pdx < С2/34(А(К - 1 ))р Ju 7 длл всех р е [1, )- Константа С\ не зависит от а, /3 и /.

Константа Сч зависит от ^ up.

Оценка вида р(у?-1 о /(х), ж) ^ ~ 1) Для всех х 6 Z7, где —

1) —0 при if —> 1, на областях Джона групп Гейзенберга И", п ^ 1, получена Н. С. Даирбековым [14].

Доказательство теорем 4.7 и 4.8 развивает метод Ю. Г. Решетняка, разработанный в евклидовом случае [27]. Главную роль в этом доказательстве играют близкие к тождественному мёбиусовы преобразования и свойства областей Джона. Установлены следующие результаты:

Лемма 3.10. Пусть ср € Мп — мёбиусово преобразование, р(<р(р),р) < £г для всех р 6 B(a,r), е < 1/169 и 1 < s < Тогда существует функция L(s) такая, что р{<р{р),р) < L(s)er для всехр G B(a,sr).

Лемма 3.10 является полным аналогом евклидового случая [27, лемма 2.10, глава 4]. На группах Гейзенберга Н. С. Даирбеков [14] доказал более слабое утверждение. А именно, р(<р(р),р) < ji{£, s)r для всехр 6 sr), где //(е, s) -> 0 при е —у 0.

Лемма 3.11. Пусть ip 6 Мп, е < 1/169, р(<р(р),р) < ег для всех р G В(а,г). Тогда

IDh(p(p) - 11 < (Ne)2 для всех р Е В(а, г). Константа N не зависит от ip и В (а, г).

В доказательстве теоремы 4.7 применяется также специальное покрытие области Джона и следующее предложение, иллюстрирующее «регулярность» границы области Джона в некотором интегральном смысле.

Предложение 4.5. Пусть ограниченное открытое множество U С Нп удовлетворяет равномерному условию внутренней спирали, Q Е А (с) (см. определение 4.3). Тогда существует число 7 > О, зависящее только от сип, что

Предложение 4.5 обобщает теорему 1 работы [32].

Диссертация состоит из 4 глав и введения. Опишем кратко результаты диссертации по главам.

В первой главе установлена локальная качественная теорема устойчивости в норме Соболева на общих группах Карно. Здесь приведены также

Если U G «/(#,/?), то где 7 < С(§)". Константа С зависит только от v. необходимые определения и вспомогательные факты из теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно.

Во второй главе на общих метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения, вводится класс отображений с ограниченным удельным колебанием. Доказывается результат об улучшении показателя суммируемости отображений данного класса.

В третье главе рассматривается группа мёбиусовых преобразований на группе Гейзенберга. В явном виде вычислена алгебра Ли группы мёбиусовых преобразований; показано, что производные мёбиусовых преобразований образуют допустимый класс в смысле теории отображений с ограниченным удельным колебанием, введенный во второй главе; исследуются близкие к тождественному мёбиусовы отображения.

Четвертая глава посвящена доказательству основных результатов работы. Она разбита на шесть параграфов.

В первом параграфе приведены дополнительные ограничения, накладываемые на отображения с ограниченным искажением на группе Гейзенберга: условие контактности и система Бельтрами.

Во втором параграфе вводится дифференциальный оператор первого порядка Q, вычисляется его ядро, строится проектор на ядро оператора Q и устанавливается предварительная теорема устойчивости.

Третий параграф посвящен следствиям устойчивости в норме Соболева. В частности, показана связь производных отображений с ограниченным искажением и классом отображений с ограниченным удельным колебанием.

В четвертом и пятом параграфах доказана локальная и глобальная количественные теоремы устойчивости соответственно.

Последний, шестой параграф, содержит два примера, показывающие точность полученных результатов.

Основные результаты работы сформулированы в работах [10, 16].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. С. К. Водопьянову, за постоянное внимание и помощь в работе.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Исангулова, Дарья Васильевна, Новосибирск

1. Белинский П. П. О порядке близости квазиконформного отображения в пространстве к конформному отображению // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 200, № 4. - С. 759-761.

2. Белинский П. П. О порядке близости пространственного квазиконформного отображения к конформному // Сиб. мат. журн. — 1973. — Т. 14, № 3. С. 475-483.

3. Водопьянов С. К. Геометрические свойства областей и отображений. Оценки снизу нормы оператора продолжения // Исследования по геометрии и математическому анализу / Решетняк Ю. Г. — Новосибирск, 1987. — С. 70-101.

4. Водопьянов С. К., Кудрявцева Н. А. Нормальные семейства отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 2. С. 273-286.

5. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1999. — Т. 40, № 4. С. 764-804.

6. Водопьянов С. К. P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Труды по анализу и геометрии / Водопьянов С. К. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — С. 603-670.

7. Водопьянов С. К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажением групп Карно // Мат. труды — 2002. — Т. 5, № 2. — С. 92-137.

8. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно // Мат. сборник — 2003. — Т. 194, № 6. — С. 67-86.

9. Водопьянов С. К., Основания теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно // Докл. АН — 2005.

10. Гуров JI. Г. Об устойчивости преобразований Лоренца. Оценки для производных // Докл. АН СССР 1975. - Т. 220, № 2. - С. 273-276.

11. Гуров Л. Г., Решетняк Ю. Г. Об одном аналоге понятия функции с ограниченным средним колебанием // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 3. С. 540-546.

12. Даирбеков Н. С. Отображения с ограниченным искажением на группах Гейзенберга // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41, № 3. — С. 567590.

13. Даирбеков Н. С. Устойчивость отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 2. С. 282-295.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.

15. Исангулова Д. В. Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга // Новосибирск, 2005. — 84 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 158).

16. Копылов А. П. Устойчивость в С-норме классов отображений. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. — 223 с.

17. Лаврентьев М. A. Sur une class de replantations continues // Мат. сб. 1935. - Т. 42, № 4. - С. 407-424.

18. Лаврентьев М. А. Об устойчивости в теореме Лиувилля // Докл. АН СССР 1954. - Т. 95, № 5. - С. 925-926.

19. Решетняк Ю. Г. Теорема Лиувилля о конформных отображениях при минимальных предположениях гладкости // Сиб. мат. журн. — 1996. Т. 7, № 4. - С. 835-840.

20. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. — 1968. — Т. 9, 3. — С. 667-684.

21. Решетняк Ю. Г. Об оценках устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях многомерных пространств // Сиб. мат. журн. 1970. - Т. 11, № 6. - С. 1333-1339.

22. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях для областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1976. - Т. 17, № 2. - С. 361-369.

23. Решетняк Ю. Г. Оценки устойчивости и .^-интегрируемость производных квазиконформных отображений // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 4. С. 868-896.

24. Решетняк Ю. Г. Оценки в классе Wp устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях для замкнутой области // Сиб. мат. журн. 1976. - Т. 17, № 6. - С. 1382-1394.

25. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. — Новосибирск: Наука, 1982. — 282 с.

26. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996 — 424 с.

27. Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга ЕР // Алгебра и анализ 2004. - Т. 16, № 2. - С. 82-119.

28. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. — М.: Мир, 1984. 456 с.

29. Семенов В. И. Об однопараметрических группах квазиконформных гомеоморфизмов в евклидовых пространствах // Сиб. мат. журн. — 1976. Т. 17, № 1. - С. 177-193.

30. Семенов В. И. Оценки устойчивости квазиконформных отображений в звездных областях // Сиб. мат. журн. — 1987. — Т. 28, К2 6. — С. 102-118.

31. Троценко Д. А. Свойства областей с негладкой границей // Сиб. мат.журн. 1981. - Т. 22, № 4. - С. 221-224.

32. Astala К. Area distortion of quasiconformal mappings // Acta Math. — 1994. V. 173. - P. 37-60.

33. Balogh Z., Holopainen I., Tyson J. Singular solutions, homogeneous norms and quasiconformal mappings on Carnot groups // Math. Ann. — 2002. V. 324. - P. 159-186.

34. Buckley S. M. Inequalities of John-Nirenberg type in doubling spaces // J. Anal. Math. 1999. - V. 79. - P. 215-240.

35. Buckley S., Koskela P., Lu G. Boman equals John // Proc. XVI Rolf Nevanlinna Colloquium. — 1996. — P. 91-99.

36. Capogna L. Regularity of quasilinear equations in the Heisenberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1997. - V. 50. - P. 867-889.

37. Capogna L., Tang P. Uniform domains and quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Manuscr. Math. — 1995. — V. 86, № 3. — P. 267-281.

38. Christ M. A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral // Colloq. Math. — 1990. V. 60/61, № 2. - P. 601-628.

39. Garofalo N., Nhieu D.-M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Caratl^odory spaces and the existence of minimal surfaces // Commun. Pure Appl. Math. 1996. - V. 49, J№ 10. - P. 1081-1144.

40. Folland G. B. Harmonic analysis in phase space. — Annals of Mathematics Studies, 122. — Princeton, N J: Princeton University Press, 1989. — ix, 277 p.

41. Franchi В., Рёгег С., Wheeden R. L. Self-improving properties of John-Nirenberg and Poincare inequalities on spaces of homogeneous type // J. Funct. Anal. 1998. - V. 153, № 1. - P. 108-146.

42. Friesecke G., James R. D., Miiller S. A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three-dimensional elasticity // Commun. Pure Appl. Math. — 2002. V. 55, № 11. — P. 1461-1506.

43. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincar£ // Memoirs of the AMS. 2000. - V. 688.

44. Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular maps on Carnot groups // J. Geom. Anal. 1997. - V. 7, № 1. - P. 109-148.

45. John F. Rotation and strain j j Comm Pure Appl. math. V. 14. P. 391-413.1961.

46. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Comm Pure Appl. math. 1961. - V. 14. - P. 415-426.

47. Kor&nyi A., Reimann H. M. Quasiconformal mappings on the Heisen-berg group // Invent, math. 1985. - V. 80. — P. 309-338.

48. Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Adv. Math. — 1995. — V. Ill, № 1. P. 1-87.

49. MacManus P., Рёгег С., Generalized Poincar£ inequalities: Sharp self-improving properties // Int. Math. Res. Not. — 1998. — V. 1998, № 2. — P. 101-116.

50. Most о w G. D. Strong rigidity of locally symmetric spaces / Annals of Math. Studies; N 78. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1973. — 196 p.

51. Pansu P. M£triques de Carnot — Carath6odory et quasiisometries des espaces symn^triques de rang un // Acta Math. — 1989. — V. 129, № 1. — P. 1-60.

52. Rickman S. Quasiregular mappings. — Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 26. — Berlin: Springer-Verlag, 1993. — x, 213 p.

53. Wik I. Note on a theorem by Reshetnyak Gurov // Studia Math. — 1987. - V. 86. - P. 193-200.