Спектральные портреты задач штурма-лиувилля и Орра-Зоммерфельда с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-Математический факультет

На правах рукописи УДК 517.43, 517.927, 517.928

Покотило Вадим Игоревич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ И ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

Специальность: 01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00348Э478

Москва 2009

003489478

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Асташова Ирина Викторовна доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Буслаев Виктор Иванович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет

Защита диссертации состоится 25 декабря 2009 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В гидромеханике хорошо известно уравнение Орра-Зоммерфельда, которое возникает при линеаризации уравнения Навье-Стокса для плоскопараллельных течений между двумя фиксированными стенками (см. подробности, например, в монографии х). Оно имеет вид

{(D2 - а2)2 - iaR[q{x){D2 - а2) - <f{x)]}y = -iaRX{D2 - а2)у, (1) у(-1) = 2/(-1)= 2/(1) = 2/(1) = 0. (2)

Здесь D = d/dx, а — волновое число (а ф 0), R — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а q(x) — профиль скорости течения жидкости в канале |i| < 1.

Задача Орра-Зоммерфельда изучалась многими авторами с начала XX века. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в монографиях Драйзина и Райда1, Дикого 2, а также в работах Гейзенберга, Вазова, Лина и других авторов (см. библиографию в 1). В частности, вопрос о том, как ведет себя спектр задачи Орра-Зоммерфельда был поставлен еще Гей-зенбергом. В этой связи укажем важную работу Моравед 3, где показано, что при q(x) = х собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков [—1, —г/у/3], [1, —г/\/3] и луча [—г/\/3, —гоо), хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается. Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в указанной работе только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра-Зоммерфельда — Гейзенбергом.

В начале 90-х годов Редди, Хеннингсон и Шмидт4, а также Трефезен5

!Drazm R. G., Reid W. Н. "Hydrodynamic Stability"//Cambridge, 1981

2Дикий Л. А. "Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы"//Л., Гидрометеоиздат.,

1973

3Morawetz С. S. "The Eigenvalues of Some Stability Problems Involving Viscosity", J. Rat. Mech. AnaJ., 1952, 1, 579-603

• 4Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S. "Pseudospectra of the Orr-Sommerfeld operator"//SIAM J. Appl. Math., 1993, 53,1,15-47

5Trefethen L. N. "Pseudospectra of linear operators"//ISIAM 95: Proceeding of the Third Int. Congress on Industrial and Appl. Math. Academic Varlag. Berlin., 1996, 401-434

начали изучать более простую задачу вида

iey" + q(x)y = Ху, £ = (aR) 1 > О у(-1) = у( 1) = О,

(3)

(4)

представляющую несамосопряженный вариант классической спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Их численные расчеты подтверждали схожесть спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и модельной задачи. В ходе этих исследований стала ясной важность спектрального анализа задачи (3) при е —> 0. Отметим, что если в уравнении (3) вместо ге участвует параметр е > 0, то получается самосопряженная задача с малым параметром. Спектр такой задачи вещественный, сгущается при е -> 0, причем можно найти явные формулы для локализации собственных значений (формулы квантования Бора-Зоммерфельда). Замена параметра е на ге меняет задачу кардинально.

Стоит отметить, что спектральная задача Штурма-Лиувилля (3) изучалась как на конечном отрезке, так и на всей вещественной оси. Важные исследования о спектре несамосопряженной задачи (3) с малым параметром для случая всей оси были проведены в работе Днестровского и Костомарова6. Однако, полного описания спектра задачи (3) как для бесконечного, так и для конечного интервала ни для какой конкретной функции q(x) не было получено вплоть до недавнего времени. Эта задача получила свое развитие в исследованиях Шкаликова и его аспирантов Дьяченко, Туманова и Неймана-Заде. В литературе наиболее часто встречаются два стационарных профиля скорости: профиль Куэтта - q(x) = х и профиль Пуазейля - q(x) = х1. Аналитическое объяснение портрета собственных значений задачи с профилем Куэтта при s -> 0 было проведено в 7. А именно, было доказано, что при q(x) = х собственные значения модельной задачи (3), (4) локализуются вдоль луча [—г/д/З, -гоо) и двух отрезков [-1, -г/л/3], [1, —г/\/3], а также найдена асимптотика собственных значений в окрестности указанных отрезков. Предельное множество, вдоль которого концентрируются собственные значения, названо спектральным галстуком. Более частный результат другим методом независимо получен в 8. Эта задача получила свое обобщение в работе Шкаликова 9, где был рассмотрен случай монотонного на отрезке про-

6 Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П, "Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач"// Журнал выч. мат. и мат. физики, 4, е2 (1964), с. 267-277:

'Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи"//Мат. заметки., 1997, 62, 6, 950-953

8Степин С. А. "Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в сингулярной теории возмущений"//Фундаментальная и прикладная математика., 1997, 3,4,1199-1227

'Шкаликов А. А. "Спектральные портреты оператора Орра-Зоммерфельда при больших числах Рей-

филя течения и доказано, что предельное множество состоит из трех кривых также по форме напоминающих галстук. В последней работе также приведены результаты для случая профиля Пуазейля, который подробно изучен в 10 для симметричного квадратичного потенциала и в 11 для несимметричного квадратичного потенциала. В указанных работах линии, вдоль которых концентрируются собственные значения, получили название предельного спектрального графа.

Цель работы.

Найти функции q(x) частного и общего видов, для которых можно полностью описать спектральные портреты при е 0 модельной задачи (3). А именно, доказать, что спектральный портрет в случае несимметричного квадратичного потенциала, найденный в 11, не случаен: похожая картина наблюдается для широкого класса аналитических функций q(x), обладающих одним экстремумом на заданном отрезке. Найти предельные спектральные кривые модельной задачи (3), рассматриваемой на вещественной оси, в случае q(x) = х2п и в случае q(x) = х4 — а2х2.

Методы исследования.

Метод фазовых интегралов, основанный на изучении ВКБ-асимптотик решений дифференциальных уравнений и областей их применимости на базе анализа поведения графов Стокса, является ключевым при получении результатов диссертации.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и основные из них состоят в следующем:

1. Найден класс функций с одним экстремумом на заданном отрезке, для которого описан спектральный портрет при е -> 0 несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями у(а) = у{Ь) = 0.

нольдса"//Современкая математика., Фундаментальные направления, 2003, 3, 89-112

10Туманов С. Н., Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда с профилем Пуазейля"//Известия РАН., 2002, 66, 4

"Туманов С. Н., Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда с квадратичным профилем"// Electronic archive http://arXiv.org/ps/math-ph/0212074, 2002

2. Найден предельный спектр и асимптотические формулы для собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, с потенциалом в виде произвольного одночлена четной степени.

3. Найден предельный спектральный граф несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, с потенциалом в виде произвольного симметричного многочлена четвертой степени. В рамках исследования расположения предельного спектрального графа также установлена связь между поведением критических кривых рассматриваемой задачи и свойствами гипергеометрической функции.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами, занимающимися спектральной теорией операторов и гидромеханикой.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на конференциях:

«Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И. Г. Петровскому, Москва, 2007 г.

«Спектральные и эволюционные задачи», Крымская осенняя математическая школа, Севастополь, 2008 г.

«Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего, Москва, 2009 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

«Несамосопряженные операторы», руководители — профессор А. Г. Ко-стюченко и профессор А. А. Шкаликов (2005, 2006, 2007, 2008, 2009 гг.),

«Операторные модели в математической физике», руководители — профессор А. А. Шкаликов, доцент А. М. Савчук, доцент И. А. Шейпак (2008, 2009 гг.)

«Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов», руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор В. В. Власов, профессор К. А. Мирзоев (2008 г.)

Публикации.

Основные результаты работы изложены в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация изложена на 71 странице и состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы. Список литературы содержит 58 наименований.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе исследуется поведение спектра модельного семейства дифференциальных операторов

Щу = ту" + е > О, (5)

действующих на отрезке [а, 6] с краевыми условиями:

у(а) = у(Ъ) = 0, (б)

при е —>■ О с профилем ц{х), имеющим один экстремум на отрезке [а, Ъ]. Для простоты можно считать, что д(л;) продолжается во всю комплексную плоскость как целая функция, но можно ограничится только требованием ее аналитичности в окрестности отрезка [а, 6] вдобавок к основным условиям, которые сформулированы ниже. Не ограничивая общности, мы можем рассматривать случай а < 0 < Ь, 0 = д(0) < д(а) < д(6), полагая, что функция <7(1) убывает на отрезке [а, 0] и возрастает на отрезке [0,6]. Тогда область значений функции q(x) при х 6 [а, 6] есть отрезок [0,д(Ь)]. В этом случае область значений квадратичной формы изучаемого семейства операторов (Ьу, у) лежит в полуполосе

П = {А € С\1тп\ < 0, 0 < ДеЛ < 9(Ь)}.

Так как спектр оператора заключен в его числовом образе, то при любом е > 0 собственные значения задачи лежат в этой полуполосе. Итак, сформулируем основные условия на функцию д(х). (%) Функция q(x) вещественна при х £ [а, 6], убывает на отрезке [а, 0] и возрастает на отрезке [0, Ь], причем а < 0 < Ь, 0 = д(0) < д(а) < д(6).

Существуют не пересекающиеся области С?1,£?2 С С, имеющие в качестве части своей границы отрезки [а,0] и [0,6] соответственно, такие, что q(z) аналитична в G\,G2 и биективно отображает Gi на полуполосу Щ, а С?2 на полуполосу П (здесь черта означает замыкание областей), где

Пх = {Л 6 С\1т\ < 0, 0 < ReX < q(a)}.

(ii) При любом с G (0, q(a)) прообраз луча гс — {А|Л = с —it, 0 < t < 00} в Gi есть функция относительно мнимой оси, т.е. любая прямая 1т\ = const пересекает прообраз луча гс только один раз, либо не пересекает вовсе. Аналогично, при любом с G (0, q{b)) прообраз луча гс в Gi есть функция относительно мнимой оси.

Из этих условий, по принципу соответствия границ следует, что область Gi полностью лежит в верхней полуплоскости, а область (?2 полностью лежит в нижней. Примерами функций, удовлетворяющих сформулированным двум условиям, могут служить q(x) =х1 на отрезке [—1,2], q(x) = 1—cos(x) на отрезке [—|,7г] и другие.

Пусть £ - единственный корень уравнения q(z) — А = 0. лежащий в Gi, определенный при А G ГЦ. Аналогично, - единственный корень уравнения q{z) — А = 0, лежащий в G2, определенный при А € П. Введем ветвь л/Л, которую всюду далее будем называть основной: Arg(\fX) G (—f,0) при ImX < 0.

Рассмотрим набор кривых в полуполосах П и Щ:

7] = {А € П!|Де Г y/i(g($ - А)d£ = 0} hi

il = {A G П|Re Г Vi(q(0 - m = 0} hi

i>={\eii\Re[ v*m - m=0} hi

Гй ,_

70 = {A G Ilijiîe / чЛ(9(0 - A)d( = 0} hi

7œ = {A G n|Q(A) = Re f л/i{q(x) - A)dx = 0} J a

Как показано в диссертации данные кривые качественно ведут себя также как изображено на рис. 1:

0 а2 ь2

/71 <а А? /ъ

Т'оо \

Рис. 1: Критические линии для случая д(х) = х2 (0 < — а < Ъ)

Кривые 7а; 7ь и То проходят через.точки вещественной оси д(а), и О, соответственно, и являются функциями относительно вещественной оси. Кривая Ттс является функцией относительно мнимой оси, имеющей асимптотику со = пРи ^ Кривые 7ц, 7^,7^ пересекаются лишь в некоторой точке Аг € П. Кривые 7а,7а,то пересекаются лишь в некоторой точке А] б Щ. Кривые 7*, ^ не пересекаются. Никакая из упомянутых кривых не имеет самопересечений.

Обозначим через 70 часть кривой 70 между 0 и А[, через 7] - часть кривой тI, заключенную между точками д(а) и А1, через 7а - часть кривой 7^, заключенную между точками А1 и Аг, через 7^ - часть кривой 72, заключенную между точками д(Ь) и Аг, наконец, через 7оо - часть кривой 7», заключенную между А2 и —гоо. Положим (см. рис. 2)

Г = 7о и 7а и 7д и 7^ и 7оо

Теорема 1.1. При любом т > 0 найдется £о > 0, такое, что все собственные значения задачи (5), (6) при е < £о лежат внутри т-окрестности графа Г.

Рис. 2: Предельные спектральные кривые для случая ц{х) = х2 (0 < — а < Ь)

Во второй главе диссертации рассматривается спектральная задача Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде одночлена четной степени. Изучается семейство дифференциальных операторов

Це)у = геу" + д{х)у, е > О, (7)

действующих в пространстве 1,2 (М) при е 0. Рассматривается семейство потенциалов вида q{x) = (х + а)2п + Ь, а, Ь € К, п 6 N. Заметим, что достаточно рассмотреть случай ц(х) — х2п, поскольку при замене £ = х + а оператор и краевые условия не меняются, а прибавление константы Ь просто сдвигает спектр. Так как д(а;) —оо при х -4 ±оо, то спектр этого оператора дискретен при любом е > 0. Положим

Сформулируем основные результаты этой главы:

Теорема 2.1. Для всякой 6 -окрестности луча 7 найдется £о > 0 такое, что при е < £о все точки спектра задачи (7), рассматриваемой на вещественной оси, содержаться в этой окрестности.

Для получения более детальной информации о поведении собственных значений в окрестности луча агдХ = ~2(п+1) положим

\k = e spsn' v ; , где

ZUA

u=^A=f Vi - еп<%).

Теорема 2.2. Для любого отрезка I С 7 не содержащего нуль, для любой окрестности Т этого отрезка, не содержащей некоторой окрестности нуля, найдутся ео > 0 и константа С > 0 такие, что при всех е < е0 окрестность Т будет содержать точки спектра. Более того, если рассмотреть точки Xf¡'; то в каждой окрестности U¡c этих точек радиуса Се, лежащей в Т найдется и при том единственная точка спектра.

В третьей главе диссертации рассматривается спектральная задача Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде симметричного многочлена четвертой степени. Изучается семейство дифференциальных операторов

L{e)y = iey" + (хА - а?х2) у, е > О, (8)

действующее в пространстве ^(R), где е малый параметр. Так как q(x) 00 при х ±оо, то спектр этого оператора дискретен при любом е > 0. Наша задача - описать характер поведения спектра при е —» 0. Во второй главе мы показали, что при q(x) = х4, то есть при а = 0, предельным множеством является луч e~tt, t £ R+. В диссертации доказано, что предельный спектр рассматриваемой задачи получается масштабированием с коэффициентом ^ из предельного множества, соответствующего а = 1, поэтому все результаты получены для этого случая. При этом, в силу того, что спектр оператора лежит в замыкании его числового образа, спектральный параметр А ограничен квадрантом

П = {A G С\ - 1 < ДеА, 7т А< 0}. Пусть 2Fi{p,q;r;z) - гипергеомегрическая функция, определяемая рядом

Е

Сp)k{q)kzk . p(p+i)g(g + i)¿2 ,

— i -1---i--—;-—Г--1- ...

к=0 Щг)к г 2г(г + 1)

В нашем случае р, <?, г - вещественные константы, а г - аналитическая функция, зависящая от спектрального параметра А. Критические кривые, вдоль которых концентрируется спектр рассматриваемой задачи, найдены в виде уравнений на гипергеометрическую функцию. Пусть

... А + 2 VA + 1 + 2 21 (А) =--:- и

г2(Л) =

Л-2УЛ+1 + 2 Л

Рассмотрим кривые

71 = {А| Пе(е

(жЛг-Р1^-^ 2;х1(А))

72 = {Л| Де(е <

УТ+Т

7Г+7Х+1

) = 0}

7з = {А! Пе(е$Х{ЪШЛШ _ ^(ЧЬ %*(*))

\Л + \/А+ 1

)) = 0}

74 - {А| + ^фМ^Ш)) = 0}

\/Г+7Г+Т

Рис. 3: Критические линии для случая д(х) — х4 — х2

С помощью использования свойств гипергеометрической функции в диссертации показано, что данные кривые в области П качественно ведут себя также как изображено на рис. 3:

Кривая 71 выходит из вещественной точки го < —5. Если А лежит на кривой 7х, то Агд(А) —| при |А| -> оо. Кривая 72 выходит из

нуля под углом — ^. Если рассматривать кривую 72 во всей нижней полуплоскости, то Агд(А) -4 — 7г при |А| —> оо вдоль кривой 72. Кривая 74 симметрична 71, а 73 кривой 72, относительно прямой Ие\= — Множество 71 П 72 П 73 П 74 состоит из одной точки Ао € П, Ле Ао = — причем больше кривые 71, 72, 73, 74 между собой не пересекаются.

Сформулируем основной результат главы.

Теорема 3.1. Предельный спектральный граф рассматриваемого семейства операторов (8) является объединением части кривой 72, соединяющей 0 с точкой Ао = -0.5 — ¿0.44503..., части кривой 73, соединяющей -1 с Ао, и кривой 71, выходящей из Ао и стремящейся к асимптоте параллельной лучу * € К+ (см. рис. 4)

1 0.5 о " 0.5 1 1.5 а

Рис. 4: Предельный спектральный граф для случая д(х) = ж4 — х1

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Андрея Андреевича Шкаликова за постановку задач, их полезные обсуждения и постоянный интерес к работе. Автор также благодарит профессора Анатолия Гордеевича Костюченко и всех участников семинара «Несамосопряженные операторы» за плодотворные дискуссии.

Работы автора по теме диссертации.

[1] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом (¡'(я) = х^ — а2х2 //Мат. заметки., 2009, т. 85, вып. 5, с. 792-796

[2] Покотило В. И., Шкаликов А. А. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом //Мат. заметки., 2009, т. 86, вып. 3, с. 469-473

В работе [2] В. И. Покотило принадлежит доказательство лемм 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 и первая часть теоремы 2.1. о форме предельного спектрального графа и топологии графов Стокса. А. А. Шкаликову принадлежит постановка задачи и вторая часть теоремы 2.1, связанная с переходом от топологии графов Стокса к утверждению о предельном спектральном графе.

[3] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом = х4 — а2х2 //Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 106-летию И.Г.Петровского. Тезисы конференции. Москва, 2007, с. 244-245.

[4] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом //Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию В.А.Садовничего. Тезисы конференции. Москва, 2009, с. 42.

[5] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом д(х) = х4 — а2х2 //М., 2008. -18 с. - Библиогр.: 4 назв. Деп. в ВИНИТИ 05.08.09, N 519-В2009

Подписано в печать 23. // 03 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж /С?О экз. Заказ ¿¿Г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

1 Предельный спектр задачи Орра—Зоммерфельда с профилем, обладающим одним экстремумом на отрезке

1.1 Предельные спектральные кривые.

1.2 Граф Стокса.

2 Асимптотика спектра задачи Штурма-Лиувилля на вещественной оси с потенциалом q{x) = х2п

2.1 Граф Стокса.

2.2 Предельный спектральный граф.

3 Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q(x) = хА — а2х

3.1 Кривые в Л-плоскости, соответствующие сложным графам Стокса.

3.2 Классификация сложных комплексов Стокса.

В гидромеханике хорошо известно уравнение Орра-Зоммерфельда, которое возникает при линеаризации уравнения Навье-Стокса в пространственном слое (x,€,i>) G М3, где | х |< 1, (£, v) 6 К2, когда невозмущенное стационарное течение для скорости имеет форму (q(x),0, 0). Это уравнение относительно функции у = у(х) (см. подробности, например, в монографии [37]) имеет вид

D2 - а2)2 - iaR[q(x){D2 - а2) - q"(x)]}y = -iaRX(D2 - а2)у, (1)

Здесь D = d/dx, а — волновое число (а ^ 0), возникающее при разделении переменных по (£, i/) G 12, R — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а Л — спектральный параметр. Обычно уравнение Орра-Зоммерфельда рассматривают с краевыми условиями

Задача Орра-Зоммерфельда изучалась многими авторами с начала XX века. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в монографиях Драйзина и Райда [37], Дикого [7], а также в работах Гейзенберга, Вазо-ва, Лина и др (см. библиографию в [37]). В частности, вопрос о том, как ведет себя спектр задачи Орра-Зоммерфельда был поставлен еще Гейзенбергом.

Особый интерес представляет описание поведения спектра задачи (1), (2) при R —> оо. Число Рейнольдса R обратно пропорционально вязкости жидкости, поэтому сформулированная проблема эквивалентна описанию спектра задачи Орра-Зоммерфельда для жидкости, близкой к идеальной. Долгое время считалось, что для решения этой проблемы важно знать спектр задачи Релся

Задача Релея получается (после деления уравнения (1) на —iaR) формальным предельным переходом при R —> оо и отбрасыванием "лишних"краевых у(-1)=у'(-1)=у(1)=у/(1) = 0.

2) g(x)(D2 - а2)у - q"(х)у = A(D2 - а2)у, у(-1) = 2/(1) = 0.

3)

4) условий. Изучению спектра задачи (3) посвящена обширная литература, с которой читатель может познакомиться в статьях Лина [43] и монографии [37]. В действительности, как отмечено в [28], основная проблема описания спектра задачи Орра-Зоммерфельда при R оо по существу не имеет отношения к задаче Релея. Известно [37], что спектр задачи Релея состоит из отрезка [т,М], где га и М - минимум и максимум функции q{x) (предполагается, что функция q(x) непрерывна), и, возможно, изолированных собственных значений вне этого отрезка. Первым, кто заметил, что спектр задачи Орра-Зоммерфельда при больших R не подходит непрерывно к спектру задачи Релея, был, по видимому, Гейзенберг. Может существовать область, содержащая интервал (га, М), свободная от спектра задачи (1), (2) при всех больших числах R. Это явление получило название "язык Гейзенберга". Гейзенберг еще в 1924 году доказал существование фундаментальной системы решений для уравнения (1), имеющей специальное представление (см. [37]), что очень существенно для объяснения этого явления. Но нам неизвестны работы Гейзенберга, где содержатся идеи, позволяющие объяснить это явление. В этой связи укажем важную работу Моравец [45], где показано, что при q(x) — х собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков [—1, —г/л/3], [1, —i/V3] и луча [—■г/л/3, —гоо) , хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается. Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в указанной работе только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра-Зоммерфельда — Гейзенбергом.

В начале 90-х годов Редди, Хеннингсон и Шмидт [48], а также Трефезен [52] начали изучать более простую задачу вида представляющую несамосопряженный вариант классической спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Здесь е - малый, а Л - спектральный параметры. Их численные расчеты подтверждали схожесть спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и модельной задачи. В пользу того, что спектральную задачу (5), (6) можно рассматривать как упрощенную модель для (1), (2) можно привести следующие аргументы (см. [28]). Сделаем в уравнении (1) следующую замену г = (D2 — а2)у. Из этого равенства и краевых условий у(—1) = у'{ 1) = 0 найдем у{х) по формуле iey" + q{x)y = \у, у(-1)=у( 1) = О,

5)

6)

7)

Тогда уравнение (1) запишется в виде ie(D2 — a2)z + q{x)z + Kz = \z,

8) где f* sh2(x - e X 1

Kz = aR'

9)

Из (7) следует, что y{—1) = y{ 1) = 0, поэтому краевые условия (2) примут вид

Таким образом, задача (1), (2) эквивалентна задаче (8), (10). Эта редукция была проведена еще в работе Орра 1915 года. Теперь, если пренебречь влиянием интегральной добавки - оператора К (заметим, что для q{x) = х имеем К — 0) - и предположить, что краевые условия не существенно меняют спектральный портрет при е —> 0, то с точностью до сдвига спектрального параметра на izc? мы приходим к модельной задаче (5), (6).

Отметим, что если в уравнении (5) вместо ie участвует параметр е > 0, то получается самосопряженная задача с малым параметром. Спектр такой задачи вещественный, сгущается при е —> 0 , причем можно найти явные формулы для локализации собственных значений (формулы квантования Бора-Зоммерфельда). Замена параметра е на ге меняет задачу кардинально.

В диссертации основной акцент поставлен на изучении поведения спектра несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля вида (5) при различных краевых условиях. При решении одномерных задач одним из наиболее эффективных методов является, так называемый, метод фазовых интегралов или метод WKB. В общем случае он используется для исследования уравнений типа

- 0.

10)

J-1 J-1 w" + h2q(z, h)w = 0, где h — большой параметр. При некоторых условиях на q приближенные решения этого уравнения имеют вид w = q-V4e±lhf^dz

И) где 0(1/К) равномерно по z, лежащему в некоторых определенных областях плоскости ^. Нули функции q(z) называются точками поворота. Ясно, что формулы (11) перестают быть верными вблизи точки поворота, поскольку множитель д-1/4 имеет особенность в этой точке. Формулы (11) называются часто WKB-приближениями но именам создателей метода WKB: Вентцель, Крамере и Бриллюэн (1926). Однако вкладом этих авторов было не построение приближения (которое уже было известно), а установление формул, связывающих экспоненциальное и осцилляторное решения в точках поворота на действительной оси. Кроме того, необходимо отметить, что эти формулы фактически были получены ранее Джеффрисом (1924), в связи с чем этот метод также называют методом WKBJ. Джеффрис, в свою очередь, указал, что ему предшествовали работы Ганса (1915) и Рейли (1912). Сами же приближения (11) были, по-видимому, впервые использованы Лиувиллем (1837) и Грином (1837), поэтому их также называют ЛГ-приближениями. Справедливости ради надо отметить, что первые применения этих приближений были весьма сумбурными и начали систематически применяться только после появления работ Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна. Метод фазовых интегралов был впервые систематически изложен в монографии Хединга [25].

Стоке впервые заметил, что произвольные постоянные, входящие в асимптотические решения, изменяются скачком при переходе через некоторые линии, которые теперь называются линиями Стокса. Он изучал уравнение w" - 9zw - 0 (12) в комплексной плоскости г. В настоящее время множитель 9 обычно опускают и называют (12) уравнением Эйри. Стоке нашел интегральные представления для решений этого уравнения и получил асимптотические разложения при больших \z\ для двух линейно независимых решений. Он заметил, что если в некоторой области изменения arg г решение является произвольной линейной комбинацией двух основных асимптотических решений, то в соседней области изменения arg z коэффициенты линейной комбинации могут быть совсем другими. Эта тематика (формулы связи) получила дальнейшее развитие во многих работах в области математической физики и квантовой механики. Достаточно полное освещение этого вопроса можно найти в [23].

Однако, сам метод WKB позволяет выписывать только главный член асимптотики решений. Основой для математического исследования асимптотических рядов, связанных с решениями дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр, послужила работа Хорна [41]. Шлезингер, Биркгоф, Тамаркин, Территин и другие построили асимптотические решения линейных дифференциальных уравнений в областях, не содержащих точек поворота. Уравнениями, имеющими точки поворота, занимались Р. Е. Лан-гер, Ф. В. Олвер и их современники. Монография Олвера [46] содержит последовательное и систематическое изложение теории асимптотических разложений и специальных функций. Важную роль в исследованиях Олвера играет преобразование Лиувилля, позволяющее перейти от произвольной функции q(x) к модельной, например, q(x) = х в случае одной точки поворота. Однако Лиувилль (1837) использовал только частный вид этого преобразования. Лангер (1931, 1935) первым использовал более общий вид для построения равномерных приближений.

Ясно, что имея асимптотические ряды для линейно независимых решений уравнения, можно искать асимптотический ряд для собственных значений соответствующей краевой задачи. В связи с этим необходимо отметить работу Дородницына [9], где был рассмотрен случай одной точки поворота и выписаны первые три члена асимптотического разложения у/Х^ с точностью о(1/п).

В последние годы задачи такого рода исследовались в работах Блехера [33], Косыгина, Минасова, Синая [12], Воробца [4]. Отметим, что в последних двух работах рассматривается весовая функция вида /(ж) = U(x) — с, где с — изменяющийся параметр. Выписываемые там асимптотики справедливы при приближении параметра с к критическому уровню потенциала U(x), хотя множество допустимых потециалов весьма ограничено.

Стоит отметить, что спектральная задача Штурма-Лиувилля (5) изучалась как на конечном отрезке, так и на всей вещественной оси. Важные исследования о спектре несамосопряжепиой задачи (5) с малым параметром для случая всей оси были проведены в работе Днестровского и Костомарова [8]. Однако, полного описания спектра задачи (5) как для бесконечного, так и для конечного интервала ни для какой конкретной функции q(x) не было получено вплоть до недавнего времени. Эта задача получила свое развитие в исследованиях Шкаликова и его аспирантов Дьяченко, Туманова и Неймана-Заде. В литературе наиболее часто встречаются два стационарных профиля скорости: профиль Куэтта - q(x) = х и профиль Пуазейля - q(x) = х2. Аналитическое объяснение портрета собственных значений задачи с профилем Куэтта при е —У 0 было проведено в [26], а именно, было доказано, что при q(x) = х собственные значения модельной задачи (5), (6) локализуются вдоль луча [—г/л/З, —гоо) и двух отрезков [— 1, — ъ/л/Щ, [1, — i/л/З], а также найдена асимптотика собственных значений в окрестности указанных отрезков. При этом предельное множество, вдоль которого концентрируются собственные значения, названо спектральным галстуком. Более частный результат другим методом независимо получен в [19]. Эта задача иолу чи л а свое обобщение в работе Шкаликова [28], где был рассмотрен случай монотонного на отрезке профиля течения и доказано, что предельное множество состоит из трех кривых также по форме напоминающих галстук. В последней работе также приведены результаты для случая профиля Пуазейля, который подробно изучен в [20] для симметричного квадратичного потенциала и в [22] для несимметричного квадратичного потенциала. В указанных работах линии, вдоль которых концентрируются собственные значения, получили название предельного спектрального графа.

В первой главе исследуется поведение спектра модельного семейства дифференциальных операторов

L(e)y = iey" + q(x)y, е > 0, (13) действующих на отрезке [а, Ь] с краевыми условиями: у{а) = у(Ь) = 0, (14) при £ —>■ 0 с профилем q(x), имеющим один экстремум на отрезке [а, 6]. Для простоты можно считать, что q(x) продолжается во всю комплексную плоскость как целая функция, но можно ограничится только требованием ее аналитичности в окрестности отрезка [a, b] вдобавок к основным условиям, которые сформулированы ниже. Не ограничивая общности, мы можем рассматривать случай а < 0 < 6, 0 = g(0) < q(a) < q(b), полагая, что функция q{x) убывает на отрезке [а, 0] и возрастает на отрезке [0, b]. Тогда область значений функции q(x) при х 6 [a, b] есть отрезок [0, q(b)]. В этом случае область значений квадратичной формы изучаемого семейства операторов (Ly,y) лежит в полуполосе

П = {Аб С\1т\ < 0, 0 < ReX < q(b)}.

Так как спектр оператора заключен в его числовом образе, то при любом £ > 0 собственные значения задачи лежат в этой полуполосс. Итак, сформулируем основные условия на функцию q(x). (г) Функция q(x) вещественна при х € [а, Ь], убывает па отрезке [а, 0] и возрастает на отрезке [0, 6], причем а < 0 < Ь, 0 = д(0) < д(а) < q(b).

Существуют не пересекающееся области Gi, G2 С С, имеющие в качестве части своей границы отрезки [а, 0] и [0, b] соответственно, такие, что q(z) аналитична в G\,G2 и биективно отображает G\ на полуполосу Щ , a G2 на полуполосу П (здесь черта означает замыкание областей), где

П1 = {Л <Е С\1т\ < 0, 0 < ReX < q(a)}.

И) При любом с Е (0, q(a)) прообраз луча гс = {Л|Л = с — it, 0 < t < 00} в G\ есть функция относительно мнимой оси, т.е. любая прямая ImX = const пересекает прообраз луча гс только один раз, либо не пересекает вовсе. Аналогично, при любом с Е (0,q(b)) прообраз луча гс в G2 есть функция относительно мнимой оси.

Из этих условий, по принципу соответствия границ следует, что область G\ полностью лежит в верхней полуплоскости, а область Gi полностью лежит в нижней. Примерами функций, удовлетворяющих сформулированным двум условиям, могут служить q(x) = х2 на отрезке [—1, 2], q(x) = 1—cos(x) на отрезке [— |,7г] и другие.

Пусть - единственный корень уравнения q{z) — X = 0, лежащий в G\, определенный при Л Е Пх. Аналогично, £2 - единственный корень уравнения q(z) — Л = 0, лежащий в G2, определенный при А 6 П. Введем ветвь л/А, которую всюду далее будем называть основной: Arg(y/X) Е (—1,0) при ImX < 0.

Рассмотрим набор кривых в полуполосах П и Щ: fl = {AG П!|Де Г лАШ - АК = 0} hi j2 = {Xe U\Re Г y/i(q(£) - X)d£ = 0} ll = {XE U\Re f y/i(q(£) - X= 0} hi

70 = {A e П1|Де / у/Ш) ~ № = 0} rb

Too = {A G n|Q(A) = Re y/i(q(x) - X)dx = 0}

J a

Как показано в диссертации данные кривые качественно ведут себя также как изображено на рис. 1:

Рис. 1: Критические линии для случая q(x) = х2 (0 < —а < Ь)

Кривые , и то проходят через точки вещественной оси q(a); q(b) и 0, соответственно, и являются функциями относительно вещественной оси. Кривая т^ является функцией относительно мнимой оси, имеющей асимптотику cq = ^ /а& q(x)dx при t —у +оо . Кривые 70,7^,7^ пересекаются лишь в некоторой точке А2 G П. Кривые 7а,7а?То пересекаются лишь в некоторой точке Х\ Е Пх. Кривые 7*, 7^ не пересекаются. Никакая из упомянутых кривых не имеет самопересечений.

Обозначим через 70 часть кривой 70 между 0 и Ai, через 7* - часть кривой 7^, заключенную между точками q(a) и Ai, через 7^ - часть кривой 7^, заключенную между точками Ai и Аг, через 7^ - часть кривой 7^ , заключенную между точками q(b) и А2, наконец, через 700 - часть кривой 7то > заключенную между А2 и —гоо. Положим (см. рис. 2)

Г = 70 и 7а и 7а и 7б2 и 7оо

Теорема 1.1. При любом т > 0 найдется £q > 0; такое, что все собственные значения задачи (13), (14) при е < £q лежат внутри т -окрестности графа Г.

Таким образом, данная теорема обобщает результаты полученные в [22] для несимметричного квадратичного профиля на принципиально более широкий класс функций, имеющих один экстремум на заданном отрезке. В этом

Рис. 2: Предельные спектральные кривые для случая q{x) = х2 (0 < —а < Ь) отношении представляется интересным проследить изменение топологии предельного спектрального графа в зависимости от профиля течения на основании серии работ [26], [28], [20], [22]. В случае, когда потенциал представляет собой функцию монотонную на заданном отрезке, а также в случае профиля q(x) = х2 симметричного относительно концов отрезка (профиль Пуазей-ля), предельный спектральный граф состоит из трех кривых: двух конечных линий, выходящих из концов отрезка и пересекающихся в некоторой точке Л, и бесконечной линии, выходящей из точки Л. В диссертации показано, что в случае, когда потенциал представляет собой функцию с одним экстремумом на заданном отрезке (например, для профиля Куэтта-Пуазейля) предельный спектральный граф имеет более сложную форму (см. рис. 2), которая преобразуется в описанное выше множество из трех линий лишь в случае симметрии потенциала.

До сих пор мы рассматривали задачу Штурма-Лиувилля на отрезке, поскольку она является моделью для уравнения Орра-Зоммерфельда. Однако, кроме гидромеханики, задача Штурма-Лиувилля представляет особое значение как для теории дифференциальных уравнений, так и для спектральной теории операторов. Поэтому отдельный интерес представляет рассмотрение задачи не на отрезке, а на вещественной оси. В диссертации показано, что использование метода фазовых интегралов и изучение поведения графов Стокса, также позволяет найти предельный спектральный граф задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, для широкого класса потенциалов q(x). Известно, что спектр оператора Штурма-Лиу вил ля, рассматриваемого в пространстве дискретен в случае неограниченного роста потенциала при х —> ±оо. Поэтому множество потенциалов, для которых задача имеет смысл, несколько сужается. В частности, при изучении потенциалов в виде многочленов имеет смысл рассматривать лишь многочлены четных степеней.

Во второй главе диссертации рассматривается спектральная задача Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде одночлена четной степени. Изучается семейство дифференциальных операторов

Ь(е)у = геу" + q(x)y, £ > 0, (15) действующих в пространстве 1/2 (К) при е 0. Рассматривается семейство потенциалов вида q(x) = (х + а)2п + 6, a, b 6 М, п £ N. Заметим, что достаточно рассмотреть случай q{x) — х2п, поскольку при замене t = х + а оператор и краевые условия не меняются, а прибавление константы 6 просто сдвигает спектр. Так как q{x) —> оо при х —» ±оо , то спектр этого оператора дискретен при любом е > 0. Положим

7 = {А| агдХ = -1^Г]}

Сформулируем основные результаты этой главы:

Теорема 2.1. Для вся7сой 5 -окрестности луча 7 найдется £q > 0 такое, что при е < £q все точки спектра задачи (15), рассматриваемой на вещественной оси, содеро/саться в этой окрестности.

Для получения более детальной информации о поведении собственных значений в окрестности луча argX = —2(^+1) положим ™ гтг(2й: + 1)^ 1 „ Г1 ,

Теорема 2.2. Для любого отрезка I С 7 не содержащего нуль, для любой окрестности Т этого отрезка, не содержащей некоторой окрестности нуля, найдутся £q > 0 и константа С > 0 такие, что при всех £ < ец окрестность Т будет содержать точки спектра. Более того, если рассмотреть точки Ak, то в као/сдой окрестности Uk этих точек радиуса С£, лежащей в Т найдется и при том единственная точка спектра.

В третьей главе диссертации рассматривается спектральная задача Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде симметричного многочлена четвертой степени. Изучается семейство дифференциальных операторов

Ь{е)у = геу" + (ж4 - а2х2) у, е > О, (16) действующее в пространстве 1/2(М), где е малый параметр. Так как q(x) —> оо при х —» ±оо, то спектр этого оператора дискретен при любом е > 0. Наша задача - описать характер поведения спектра при е —> 0. Во второй главе мы показали, что при q{x) = ж4, то есть при а — 0, предельным множеством является луч e~ft, t Е К+ . В диссертации доказано, что предельный спектр рассматриваемой задачи получается масштабированием с коэффициентом ^ из предельного множества, соответствующего а — 1, поэтому все результаты получены для этого случая. При этом, в силу того, что спектр оператора лежит в замыкании его числового образа, спектральный параметр А ограничен квадрантом

П = {А е С\ —l<ReX, ImX < 0}. Пусть 2F\(p, q;r] z) - гипергеометрическая функция, определяемая рядом

EKP)k\4)k* 1 шрч± , Р\Р 1- Х)ЧУЧ 1-Щг)к г 2г(г + 1)

К—и

В нашем случае р, q, г - вещественные константы, a z - аналитическая функция, зависящая от спектрального параметра А. Критические кривые, вдоль которых концентрируется спектр рассматриваемой задачи, найдены в виде уравнений на гипергеометрическую функцию. Пусть

А + 2у/\ +1 + 2 zi(A) =--д-и

А - 2VA + 1 + 2 -2(A) =---

Рассмотрим кривые ъ = {л| = 0}

VI - \/Г+Т

72 = {А| fe^^'H'ii^) = 0}

VI + VA + 1

7з =

А| - ^^Kziill^if^ll)) y/l - ч/Л + 1

Л + л/Х+1

74 = {Л| Яе(е~Л( in w2-^i( — I,\\2; ^(Л)) 2; г2(Л))

Л - \Л + 1 vnvTTT

0} о} o.s 1 l.s г

7' V

Vi

-3 -4 -6 \

Рис. 3: Критические линии для случая q(x) = х4 — х2

С помощью использования свойств гипергеометрической функции в диссертации показано, что данные кривые в области П качественно ведут себя также, как изображено на рис. 3:

Кривая 7i выходит из вещественной точки го < — \ . Если Л лежит на кривой 7i; то Arg{X) —> —| при |Л| —>• со. Кривая 72 выходит из нуля под углом . Если рассматривать кривую 72 во всей нижней полуплоскости, то ArgiX) —> —7г при ]Л| —> оо вдоль кривой 72. Кривая 74 симметрична 7ь а 73 кривой 72, относительно прямой ReX = —Множество 7i П 72 П 7з П 74 состоит из одной точки Ло Е П, ReX о = — причем больше кривые 71, 72, 73, 74 между собой не пересекаются.

Сформулируем основной результат главы.

Теорема 3.1. Предельный спектральный граф рассматриваемого семейства операторов (16) является объединением части кривой 72, соединяющей 0 с точкой Ло = —0.5 — г 0.44503., части кривой 73, соединяющей —1 с Ло, и кривой 7i, выходящей из Ло и стремящейся к асимптоте параллельной лучу e~ft, t Е (см. рис. 4)

1. иТй. О.0.5."Г.L5.2.

V 1 ^Л -•1

5 N.

G

7 \

Рис. 4: Предельный спектральный граф для случая q(x) JC

Результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах: "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И. Г. Петровскому (Москва, 2007 г.); "Спектральные и эволюционные задачи'^ рамках Крымской осенней математической школы (Севастополь, 2008 г.); "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.); "Несамосопряженные операторы", руководители — профессор А. Г. Костюченко и профессор А. А. Шкаликов (2005, 2006, 2007, 2008, 2009 гг.); "Операторные модели в математической физике", руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор А. А. Шкаликов, доцент А. М. Савчук, доцент И. А. Шейпак (2008, 2009 гг.); "Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов", руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор В. В. Власов, профессор К. А. Мирзоев (2008 г.).

Основные результаты работы изложены в 5 работах автора [14], [15], [16], [17], [18]. В работе [15] В. И. Покотило принадлежит доказательство лемм 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 и первая часть теоремы 2.1. о форме предельного спектрального графа и топологии графов Стокса. А. А. Шкаликову принадлежит постановка задачи и вторая часть теоремы 2.1, связанная с переходом от топологии графов Стокса к утверждению о предельном спектральном графе.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. А. Шка-ликова за постановку задач, их полезные обсуждения и постоянный интерес к работе. Автор также благодарит профессора А. Г. Костюченко и всех участников семинара «Несамосопряженные операторы» за плодотворные дискуссии.

1. Афендиков А. Л., Бабенко К. И. О возможности возникновения автоколебательных рео/симов в плоском течении Куэтта// ДАН СССР. 1980. 252, № 1. 65-68.

2. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Математический анализ. 1977. 14. 5-59.

3. Бирман М. III., Соломяк М. 3. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических уравнений// Сиб. мат. журн. 1979. 20, № 1. 3-22.

4. Воробец Я. Г. Асимптотика спектра оператора Лапласа-Бельтрами на торах с лиувиллевыми и инфралиувиллевыми метриками// Успехи матем. наук. 1997. 52, № 2. 163-164.

5. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем// М.-Л.: ГТТИ. 1950.

6. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения// М.: Наука. 1967.

7. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы// Л.: Гидрометеоиздат. 1973.

8. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряэ/сенных краевых задач// Журнал выч. мат. и мат. физики: 1964 267-277.

9. Дородницын А. А. Асимптотические законы, распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка// Успехи матем. наук. 1952. 7, № 6. 3-96.

10. Дьяченко А. В., Шкаликов А. А. О модельной задаче для уравнения Орра-Зоммерфельда с линейным профилем// Функциональный анализ и его приложения. 2002. 36, № 3. 71-75.

11. Жук В. И. Волны Толлмииа-Шлихтинга и солитоны// М.: Наука. 2001.

12. Косыгин Д. В., Минасов А. А., Синай Я. Г. Статистические свойства спектров операторов Лапласа-Бельтрами на поверхностях Ли-увилля// Успехи матем. наук. 1993. 48, № 4. 3-130.

13. Нейман-заде М. И., Шкаликов А. А. О вычислении собственных значений задачи Орра-Зоммерфелъда// Фундаментальная и прикладная математика 2002. 10, № 2.

14. Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q(x) = х4 — а2х2 // Мат. заметки. 2009. 85, № 5.792-796

15. Покотило В. И., Шкаликов А. А. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом// Мат. заметки. 2009. 86, № 3.

16. Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q{x) = х4 — а2х2 // М., 2008. 18 с. - Библиогр.: 4 назв. Деп. в ВИНИТИ 05.08.09 N 519. В2009, № .

17. Стенин С. А. Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в сингулярной теории возмущений// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. 3, № 4. 1199-1227.