Вопросы спектрального и асимптотического анализа для дифференциальных уравнений и матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

С

а

□03052119

Титов Василий Александрович

ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОГО И АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МАТРИЦ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003052119

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета.Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С. А. Степин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент С. Е. Пастухова, доктор физико-математических наук, профессор А. И. Шафаревич

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации РАН имени А. А. Харкевича

Защита диссертации состоится 22 марта 2007 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К.212.203.04 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, аудитория 495-.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан 20 февраля 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К.212.203.04, кандидат физико-математических наук, доцент

^ И. Л. Куценко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В различных областях математической физики возникают постановки вопросов о локализации собственных значений краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и распределении спектра операторов, заданных матрицами или зависящими от параметра матричными семействами. Эффективным средством, используемым для изучения этих вопросов, являются асимптотические и численно-аналитические методы. Применение и развитие этих методов составляют предмет настоящей диссертации.

Способы построения асимптотических формул для решений дифференциальных уравнений второго порядка вне окрестностей точек поворота восходят к Ф. Карлини, Ж. Лиувиллю и Дж. Грину, заложившим основу подхода, названного впоследствии квазиклассическим или методом ВКБ (в честь Дж. Вентцеля, Г. Крамерса и Л. Бриллюэна); дальнейшее развитие этот подход получил в работах Дж. Стокса, Дж. Биркгофа, В.П. Маслова, М.В. Федорю-ка. Поведение решений дифференциальных уравнений вблизи точек поворота исследовали Е.Р. Лангер, Ф. Олвер, В. Вазов и др. Соответствующие результаты для разностных уравнений были получены А. Пуанкаре, О. Перроном, Дж. Биркгофом и К. Р. Адамсом.

Исследованию спектральных свойств краевых задач с помощью асимптотических методов посвящено большое количество работ (см. [1], [2], [3], [4] и цитируемую там литературу). Особый интерес, как в теоретическом, так и в прикладном отношении, представляют несамосопряженные дифференциальные операторы (см., например, [5]), для которых изучение вопроса о распределении и локализации спектра является трудной проблемой. В настоящей диссертации рассматривается задача Штурма-Лиувилля для уравне-

[1] Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // УМН, 1952, т. 7, в. 6, с. 3-66.

[2] Маслов В. П. О предельном поведении некоторых квантово-механических величин. // ДАН СССР, 1954, т. 94, ЛЧ с. 623-626.

[3] Днестровский Ю. Н-, Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, в. 2, с. 267-277.

[4] Федорюк М. В. Асимптотические методы для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983.

[5] Федорюк М. В. Асимптотика собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциалом-полиномом. // Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, №5, с. 811-816.

ния с малым параметром при второй производной и комплексным потенциалом, зависящим от спектральной переменной. В ситуации, когда спектральная переменная входит в уравнение линейно, указанная постановка является в определенном смысле модельной по отношению к краевой задаче Орра-Зоммерфельда, возникающей при изучении устойчивости плоскопараллельного течения вязкой жидкости (см. [6]), а в контексте сингулярной теории возмущений служит моделью перехода от дискретного спектра к непрерывному в несамосопряженном случае (см. [7]).

Методы асимптотического анализа применительно к разностным уравнениям используются для изучения операторов, заданных якобиевыми матрицами (см. [8], [9]). В этой связи определенный интерес представляют дискретные аналоги формул ВКБ.

Исследование квазиклассической локализации спектра краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка основано на использовании асимптотических формул, дающих равномерные по спектральному параметру аппроксимации решений рассматриваемых уравнений решениями соответствующего уравнения сравнения и на оценке точности таких аппроксимаций (см. [1]- [б], [7], [10]). Применительно к задаче Штурма-Лиувилля, рассматриваемой в настоящей работе, оказывается эффективным подход, предложенный Вазовом (см. [11]) и развитый в диссертации. Этот подход позволяет в "больших" окрестностях точек поворота построить требуемые приближения к решениям исходного уравнения, которые используются для вывода правил квантования, определяющих местоположение собственных значений.

Примеры задач рассматриваемого в работе типа, изученных как аналитическими способами (см. [6], [7], [10]), так и с помощью численно-аналитических методов, показывают, что при малых значениях параметра при старшей производной в уравнении собственные числа группируются в серии, находящиеся вблизи ветвей одномерного ориентированного комплекса, причем при уменьшении к нулю параметра собственные числа перемещаются в соответ-

[6] Morawetz С. S. The eigenvalues of some stability problems involving viscosity. //J. Rational Mech. Anal., 1952, v. 1, p. 579-603.

[7] Степан С. А. Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному. // УМН, 1995, т. 50, в. 6, с. 219-220.

[8] Khan S., Pearson D. В. Subordinacy and Spectral Theory for Infinite Matrices. // Helv. Phys. Acta (1992), 65, p. 505-527.

[9] Janas J., Naboko S. Jacobi Matrices with Absolutely Continuous Spectrum. // Proc. Amer. Math. Soc., 127 (1999), p. 791-800.

[10] Степан С. А., Аржанов А. А. Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера. // ДАН, 2001, т. 378, №1, с. 18-21.

[11] Wasow W. Linear turning point theory. Applied mathematical sciences, 54. New-York: SpringerVerlag, 1985.

ствии с ориентацией комплекса. Модельной ситуацией, в которой это удается пронаблюдать, является задача на собственные значения для уравнения Эйри с мнимым параметром при второй производной: здесь бифуркация спектра происходит с образованием двукратного собственного значения, отвечающего жордановой клетке. В этом контексте представляют интерес восходящие к работам [12] и [13] постановки вопросов о возмущении кратного собственного значения в абстрактной ситуации.

Цели работы

1) Исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений с простой точкой поворота и разностных уравнений, ассоциированных с матрицами Якоби.

2) Разработка и применение методов локализации спектра несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения с малым параметром при второй производной и потенциалом, зависящим от спектральной переменной.

3) Исследование механизма расщепления изолированного кратного собственного значения, которому отвечает жорданова цепочка из собственного и присоединенных векторов, а также количественное описание соответствующих бифуркаций.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. В работе

1) С помощью модификации подхода Вазова для дифференциальных уравнений второго порядка с потенциалами, зависящими от спектрального параметра и близкими к линейным в равномерной метрике, получены аппроксимации решений спецфункциями в достаточно больших окрестностях точек поворота с оценками остатков, равномерными по спектральному параметру. Построены формулы типа ВКБ для решений разностных уравнений второго порядка, поведение коэффициентов которых регулярно на бесконечности.

2) Разработан метод локализации спектра обобщенной краевой задачи Штурма-Л иувилля для уравнения с малым параметром при второй производной, Для некоторого класса потенциалов, зависящих от спектральной переменной, обоснованы правила квантования, определяющие местоположение собственных значений задачи. С использованием численно-аналитического

[12] Вишяк М. И., Люсгерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц е самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. // УМН, 1960, т. 15, в. 3, с.3-80.

[13] Лидский В. Б. К теории возмущений яесамосопряженаых операторов. // ЖВМ и МФ, 1966, т. 6, №1, с. 52-60.

метода указаны новые типы комплексов, вблизи ветвей которых группируются собственные значения рассматриваемых краевых задач.

3) Для деформаций жордановых клеток, удовлетворяющих определенным требованиям невырожденности, получена аналитическая классификация типов ветвлений собственных значений и явно вычислены первые ненулевые поправки соответствующих разложений Пюизо. Применительно к краевой задаче Штурма-Лиувилля для уравнения Эйри изучена бифуркация спектра в зависимости от мнимого параметра при второй производной и найдены условия, при которых задача обладает двукратной точкой спектра.

Методы исследования

В работе используются асимптотические методы исследования дифференциальных и разностных уравнений, результаты комплексного анализа, техника теории возмущений и аналитической теории дифференциальных уравнений, а также численно-аналитический метод отыскания собственных значений краевых задач.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные здесь результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов, при изучении краевых задач для дифференциальных уравнений, а также вопросов, возникающих в гидродинамике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на заседаниях научно-исследовательских семинаров механико-математического факультета МГУ под руководством проф. P.A. Минлоса, проф. А.И. Аптекарева и проф. В.Н. Сорокина, на конференции "Современные методы теории краевых задач", посвященной 100-летнему юбилею академика С.М. Никольского (Воронеж, 2005 г.), и на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 и 2006 г.г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах. Их список приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав (первая из которых содержит пять параграфов, вторая разделена на шесть параграфов, а третья состоит из пяти параграфов и приложения); список литературы насчитывает 54 наименования. Имеются 16 иллюстраций, восемь из которых являются гра-

фическими представлениями результатов численного анализа. Общий объем диссертации — 136 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор результатов, связанных с темой исследования, приводятся постановки задач и формулируются основные полученные результаты.

Глава 1 посвящена анализу асимптотического поведения решений дифференциальных и разностных уравнений второго порядка. В §1.1 для разностного уравнения

ип+1 + и„_г - qnu„, (1)

ассоциированного с матрицей Якоби, в предположении регулярности поведения последовательности qn > 0 установлено свойство дихотомии его решений. А именно, доказано

Предложение 1 При уъговии X^i (QnQn+i) 1 < °° уравнение (1) обладает фундаментальной системой решений

п—1 п

и» ~ Пqk' и" ~ П1' п °° •

к=1 А=1

Если qn > 2 и ряд (?n-i9n?n+i) 1 сходится, то для решений спра-

ведливы асимптотические формулы

nl j " i -1

tr2 4 qk~iJ £гv

Доказательство предложения 1 использует подход, позволяющий строить асимптотики решений систем, близких к диагональным (ср. [14]), и метод, основанный на сведении (1) к уравнению Риккати (ср. [15]). Из предложения 1 извлекается

Следствие При условии сходимости ряда Y^kLi G/;+i \ гс?с

ап > 0 и Ьп > 0, разностное уравнение

un+i + апип_! - Ьпип = О

[14] Benzaid Z., Lutz D. Л. Asymptotic Representation of Solutions of Perturbed Systems of Linear Difference Equations. // Studies. Appl. Math. (1987), 77, p. 195-221.

[15] Gerommo J. S., Smith S. T. WKB (Liouviile-Green) Analysis of Second Order Difference Equations and Applications. // J. Approximation Theory (1992), 69, p. 239-301.

обладает фундаментальной системой решений с асимптотиками

п—1 п

Параграфы 1.2-1.5 посвящены получению асимптотик решений двупара-метрических семейств дифференциальных уравнений второго порядка.

Одной из целей настоящей работы является изучение вопроса о распределении и локализации спектра краевой задачи

(г у" + А) у = 0, (2)

у(-1) = 2/(1) = 0 (3)

с малым параметром е > 0 и, вообще говоря, нелинейной зависимостью потенциала <5(г, А) от спектральной переменной А. Исследование этой задачи проводится в следующих предположениях:

Условие (А ) Функция (¿(г, А) регулярна на декартовом произведении Пд X П прямоугольника

П := {|Ие(А - А0)| < а, |1ш(А - А0)| /3},

где /3 > 6/5, 5а > 16 + Р, и круга Пд = {|г| < Д}, Л > 8(а + /?), причем <5(0, Ао) = 0 и для всех (г, А) € Од х П выполнены неравенства

А) - 1| < 1/3, |<5л(2, А) + 1| < 1/9.

При этих требованиях для каждого А 6 П в Пд существует единственная (простая) точка поворота ^о(А) уравнения (2) и справедливо

Утверждение 1 Функция (переменная Лангера)

л0(а) '

регулярна на ПдхП, причем отображения £( • , А), А € П, и • ), г € Од, взаимно-однозначны в круге Од и на прямоугольнике П соответственно и для всех (г, А) 6 Пд х П имеют место оценки

|£(*,А) - 1| < 3/10, + 1| < 1/2.

Результатом, полученным в главе 1 и относящимся к описанию асимптотического поведения решений дифференциального уравнения (2) при условии (А), является

Теорема 1 Уравнение (2) при достаточно малых значениях параметра г > 0 имеет попарно линейно независимые решения У](г, Л), j = 0,±1, регулярные на Пд * П, для которых при (г, А) € [—1, 1] х П справедливы асимптотические формулы

Ю(г, А) = 1 Ые-^е*^, А))(1 + 0(е)) -А) 1

- е^е-^А^е-1^6^, X) + О(е))} (4)

с равномерными оценками остаточных членов; здесь До(2) = — функция Эйри, А±\ (г) = и

( Ч - 1 Г 9 ( 1 )

} л0(а) д8* '

= (¿е-1? - (5)

В основе доказательства теоремы 1 лежит подход Вазова (см. [8]). С использованием преобразования Лиувилля, т. е. замены переменных (у, г) —> (ги, £), где и> = \/£[у, уравнение (2) приводится к виду

здесь А) — производная Шварца по переменной £ функции г(£, А), обратной к £(г, А). С помощью утверждения 1 и с учетом условия (А) устанавливается, что при каждом А 6 П в образе А) содержится круг V = {|£|<2Я/5}.

Уравнение (5), рассматриваемое на V х П, переписывается в форме

4(4) = [(? ¿)-£20>°/2

Матрица системы здесь не содержит слагаемого, линейного по 6. Это обстоятельство позволяет модифицировать дальнейший ход метода Вазова с тем, чтобы построить асимптотические (при малых е) формулы для решений последней системы, справедливые в "большой" окрестности V точки £ = 0. На этом пути устанавливается, что уравнение (5) обладает попарно линейно независимыми решениями А), ] = 0, ±1, при малых значениях пара-

метра е > 0 имеющими вид

А) = ^(е-^е^О^ + О^))-

с равномерными по £ Е Р и А € П оценками остаточных членов. Возвращаясь с помощью обратной замены г = Л) к исходному уравнению (2), можно утверждать существование решений у ¡{г, А), для которых справедливы асимптотические формулы (4). В силу условий (А) и ввиду утверждения 1, для произвольного А £ П образ отрезка [—1, 1] под действием отображения £( • , А) содержится в V и, поэтому, в формулах (4) оценки остаточных членов равномерны по переменной г £ [—1,1] и по параметру А € П.

В главе 2 содержится приложение теоремы 1 к спектральному анализу задачи (2)-(3). Асимптотические формулы (4) для решений уравнения (2) позволяют исследовать распределение нулей соответствующего характеристического определителя и, тем самым, изучить локализацию спектра рассматриваемой задачи при малых е > 0. Основными результатами главы 2 являются сформулированные ниже теоремы 2 и 3.

Теорема 2 Спектр задачи (2)-(3) в прямоугольнике П при £ 4- 0 концентрируется вблизи кривых

7+ = {аг§£(1,А) = тг/6, агё£(-1,А) е [ - 7тг/6, -5тг/б)},

7" = {аг8£(-1, А) = 5тг/б, агё£(1, А) € (-тг/6, тг/б]},

представляющих собой в координатах {йеА, 1т А} графики монотонных (возрастающей и убывающей соответственно) функций переменной 11еА, а также кривой

7 = {Ке(е"'/4у у/О&Х)**) = 0, агд£(±1, А) € [тг/6, 5тг/б]},

являющейся графиком функции переменной 1т А. Для произвольного 0 > 0 расположенные вблизи части кривой 7, ограниченной условием

А) 6 [тг/6 + 9, 5тг/6] (или А) € [тг/6, 5тг/6 - 9]),

собственные значения задачи (2)-(3) при достаточно малых е > 0 имеют асимптотику Хп + 0(е), где точки А„ 6 7 определяются соотношениями

У \ZQiz, А„) йг = е^у/пт, п е Ъ.

Описанные в теореме 2 геометрические свойства множеств 7± и 7 устанавливаются с использованием утверждения 1. В ходе доказательства теоремы 2 прямоугольник П разбивается на части, в каждой из которых выбирается своя пара линейно независимых решений, построенных в теореме

1, и рассматривается соответствующий характеристический определитель. Так, для точек Л € П, расположенных под кривыми arg £(1, А) = тг/б и arg £(—1, Л) = 5я"/6, выбирается пара решений {2/o(2> А), 2/i(2j А)} и рассматривается характеристический определитель

Д(А) = 2/оС—1, A)yi(l, А) - 2/0(1, A)W(-1, А).

При г = ±1 для указанных А асимптотические формулы (4) принимают вид

ц(±1,А)= } ,A))(l + 0(Vg)), j = 0,l,

V4it±M)

где arg £(±1, А) 6 (7г/6,57г/6) и, поэтому, для С = г_1/3ег,'/6£(±1, А) имеем

= ^'МИ)^2) + °^ГЗ/2))-

Таким образом, функция Д(А) может обратиться в нуль лишь вблизи точек А„, определяемых соотношениями

Re(e^(-1, А))3/2 = Re(e"'/8£(1, А))3/2, 1т(Г1/25(А)) = тт, пб Z,

где 5(А) = |е^[(е(1,А))3/2 - А))3/2] = е"/4Отме-

тим, что |An+i - А„| X sß при малых е > 0, причем на окружности диаметра порядка е с центром в точке А„ для Д(А) справедливо (с точностью до множителя, не обращающегося в нуль) асимптотическое представление

Д(А) х exp(-^S(A)) - 1 + 0(уД),

позволяющее локализовать собственные значения рассматриваемой задачи в О(е)-окрестностях точек А„ Е. 7.

Кривые т1 и 7 имеют единственную общую точку, являющуюся точкой их сочленения. Спектр задачи (2)-(3) при малых е > 0 состоит из трех серий собственных значений, одна из которых описана в теореме 2, а две другие концентрируются вблизи ветвей 7±, соединяющих точку сочленения и точки ¿^(±1) € 7±. Если arg £(1, А) 6 [ — 7г/2, тг/6 — , | arg £(-1,А) — 5я-/б| ^ 5 и ¡£(—1,А)| > в, т. е. А принадлежит окрестности участка кривой 7", отделенного от ее концов, то второе слагаемое в характеристическом определителе Д(А) экспоненциально убывает при s J, 0, а

первое слагаемое представляет собой произведение растущего сомножителя

и сомножителя, имеющего асимптотику

л))(1 + 0{£)) +

+ Ai'^V^-l, Л))0(£2/3)},

где главный член на 7~ осциллирует и убывает степенным образом. Ввиду этого естественно ожидать, что равенство А(А) = 0 может выполняться лишь вблизи нулей функции Ai(£,-1/'3e7r,/6£(-l, Л)). Действительно, в указанной области вне окрестностей таких точек диаметра порядка е при е 4 О асимптотика Д(А) (с точностью до множителя, не обращающегося в нуль) имеет вид

Д(А) ж Ai^V^-l, А))(1 + 0(уД)) + 0(уГе).

Таким образом, для определения главного члена асимптотики собственных значений задачи (2)-(3) в окрестности рассматриваемого участка кривой 7~ (и аналогично для -f+) получаются соотношения типа условий квантования, указанные впервые в [7].

Теорема 3 Для произвольного 9 > 0 при достаточно малых е > 0 собственные значения задачи (2)-(3), расположенные вблизи участков кривых 7±, ограниченных условиями

(+) arg £(-1, А) € [-7тг/6 + в, -5тг/б), |£(1, А)| ^ в, (-) arg £(1, А) € (-тг/6, тг/6 - в], |£(-1, Л)| > в,

имеют асимптотики А^ + 0(е), где точки Aj (Е 7^" определяются соотношениями

£(1, Л+) = , а-1, К) =

в которых {i„} С К- — нули функции Эйри Ai.

Глава 3 посвящена изучению распределения и концентрации спектра задачи (2)-(3) в случае Q(z, А) = q(z) - А.

В теореме 4 получен ответ на вопрос о локализации спектра такой задачи при малых t > 0 для потенциалов q{z), достаточно близких к линейному в равномерной метрике, а именно, предполагается выполненным

Условие ( Б ) Функция q(z) аналитична в круге Од, где R > 32, и для всех z G справедливо неравенство |g'(z) — l| < 2/5.

При этих требованиях, несколько более слабых по сравнению с (А), в прямоугольнике

где /3 = (Я — 25)/14, собственные значения указанной задачи при малых е > 0 локализуются (аналогично тому, как это сделано в теоремах 2 и 3) в 0(£)-окрестностях точек, определяемых соотношениями

Месторасположение спектра задачи (2)-(3) в случае (¿(г, Л) = 3(2)—Л для потенциалов д(г), не являющихся близкими к линейным, изучается в §3.2 диссертации. При условии вещественности д(г) на отрезке [—1, 1], спектр рассматриваемой задачи принадлежит полуполосе {Ле А £ [А, В], 1т А < 0}, где А и В — минимум и максимум 9(2) на [—1, 1], причем (см. [16]) вблизи [А, В] при малых е > 0 собственные значения не могут располагаться нигде, кроме как в окрестностях стационарных значений функции д(г), г £ [—1, 1], и точек д(±1). Это обстоятельство дает основание ожидать, что в рассматриваемой ситуации спектр состоит из нескольких серий собственных значений, находящихся вблизи ветвей одномерного ориентированного комплекса, некоторые из которых имеют концы в указанных выше точках.

С помощью численно-аналитического метода, разработанного в [17], для потенциалов-полиномов третьей степени при малых е > 0 (с надлежащей точностью) вычисляются собственные значения и, тем самым, приводятся примеры, подтверждающие сделанное предположение и демонстрирующие различные типы концентрации спектра при е | 0. При уменьшении г собственные значения перемещаются с одной ветви на другую в соответствии с ориентацией комплекса. В случае задачи (2)-(3) для уравнения Эйри, то есть для (¿(г, А) = г — А, имеются три такие ветви: отрезки [±1, Л], где Л = —г'/л/3, и луч [А, —гоо). Ответ на вопрос о том, как в этой ситуации происходит бифуркация спектра в точке Л при уменьшении £, дают предложения 2 и 3 (сформулированные в §3.1 и доказанные в §3.2 и §3.3 соответственно) в сочетании с результатами численного анализа.

¿2

[16] Степин С. А. О спектральных свойствах несамосопряженного оператора + {С1)- // УМН, 1998, т. 53, в. 3, с. 205-206. *

[17] Скороходов С. Л., Христофоров Д. В. Вычисление точек ветвления собственных значений, соответствующих волновым сфероидальным функциям. // ЖВМ и МФ, 2006, т. 46, №7, с. 1195—1210.

{|Ле(А - д(0))| < 7/5, -0 < 1т (А - д(0)) < 2/5},

Предложение 2 Существуют последовательности {е^} и {ек} с асимптотиками

= ¿т^Ы* - ¿П1+0(Г2>) пги

и настолько малое £о > 0, что при £ 6 (0, £о] точка Л = — г'/л/З является собственным значением задачи (2)-(3) для уравнения Эйри лишь в случаях, когда £ = причем точка спектра Л простая, если £ = и двукратная, если е = е*.

Предложение 3 Для всея достаточно больших к £ N. в случае £ = ^ £о собственное значение Л задачи (2)-(3) для уравнения Эйри

(г) при малом отклонении параметра £ от £возмущается аналитически

Х(£) = л + ««(* - + 42)(£ - + - + ...,

причем КеЛ(е) = 0, если £ вещественно, и

(гг) в малой окрестности £% расщепляется в две точки спектра Ах (г) и Аг(г) так, что

ХгМ = А ± №{е - 4)1/2 + №(£ - 4) ± /З£3>(, - 4)3/2 + . - ,

причем НеА^е) = НеАг(е) = 0 при £ > £~£, Яе {Ах (г) 4- Аг(г)} = О и 1тА1(е) = 1шА2(е) при е < и для коэффициента /3^ справедлива асимптотическая формула

Исследуемая бифуркация происходит следующим образом. Для малых е > 0 собственные значения на (Л, —гоо) при некоторой естественной нумерации разбиваются на пары: "четное" и соседнее снизу "нечетное". При уменьшении е четное собственное значение перемещается вверх минуя Л,

останавливается и возвращается в Л, где сталкивается с соответствующим нечетным, двигающимся вверх. Затем Л расщепляется на две точки спектра, симметрично относительно iR встраивающиеся в серии собственных значений, расположенные вблизи отрезков [±1, Л].

Двукратной точке спектра Л рассматриваемой задачи отвечают собственная и присоединенная функции. Вопрос о расщеплении (в результате возмущения) изолированного n-кратного собственного значения, которому отвечает жорданова цепочка из собственного и присоединенных векторов, в абстрактной ситуации изучается в §3.5. В качестве подходящей модели выбирается деформация

Т(е) = J + Л(б)

жордановой клетки J размера п х п, отвечающей нулевому собственному значению с жордановым базисом {ео, ej,..., e„_i}.

Собственные значения оператора Т(е) образуют ветви одной или нескольких многозначных аналитических функций параметра б, имеющих только алгебраические особенности, и разбиваются на циклы j — 1,... ,m, IZ^-iPj — п (см- [12], [13]). Элементы каждого цикла образуют ветви аналитической функции с точкой ветвления е = 0, причем справедливы разложения Пюизо

\Ч\е) = /4'Це1^ + Pojfe2^ + ...,

где 1 ^ к ^ pj и LJj = e2*l/pj. При условии

Q0 ;= (—l)n_1lim e_1det Т(е) = (A'(0)e0,e„_i) ф О

для малых б ф 0 матрица Г(е) диагонализуется и её собственные значения образуют цикл длины п. В теореме 5 получена аналитическая классификация типов ветвлений собственных значений оператора Т(е) и вычислены первые ненулевые коэффициенты соответствующих разложений Пюизо в случае, когда «о = 0 и

ß := (-l)"lim e-2det TU) =

' e-»0 w

n—1

= (A'(°)eo, ek)(A'(0)ek+1, e^) - (A"(0)e0, e„_i) ф 0. k=0

Через q> := ^ (Л'(О)е,-, ej) обозначим сумму элементов матрицы А'(0),

j—i=n~k—l

стоящих на ее подциагоналях.

Теорема 5 Если а0 — ... = ар-1 = 0 и ар ф 0, где О < р < п/2, то собственные значения оператора Т(е) образуют два цикла длин р и п — р, причем

$ = а^-Р), ^ =

В случае, когда = О, О ^ ] < п/2, при нечетном п собственные значения оператора Т(е) образуют цикл длины п, для которого

^> = 0, № =

а при четном п = 2т имеются две возможности:

(г) если а^ ^ 4/3, то собственные значения образуют два цикла длин т и справедливы формулы

(гг) если о?т = 4/3, то собственные значения могут образовывать либо два цикла длин т так, что ^ = $ = /31/", либо один цикл длины п, причем = 0, = /?1/п-

Настоящая диссертационная работа выполнена в рамках программы исследований по гранту поддержки НШ -4564.2006.1 научной школы академика В. А. Садовничего.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Станиславу Анатольевичу Степину за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Список работ автора по теме диссертации

1. Об одной задаче асимптотической теории возмущений. МГУ, М., 2006. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 06.10.2006, №1208 - В2006, 36 с.

2. Об асимптотическом поведении решений разностных уравнений. В сб. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов, Владимир 2004, с.208-209.

3. Dichotomy of WKB-solutions of Discrete Schrodinger Equation. Journal of Dynamical and Control Systems, v.12, №1, January 2006, p.135-144 (совм. с С. А. Степиным; диссертанту принадлежит теорема 2 работы).

4. О возмущении кратного собственного значения. Успехи матем. наук, т.60, вып.1, 2005, с.155-156 (совм. с С. А. Степиным; диссертанту принадлежит теорема 2).

5. О концентрации спектра в модельной задаче сингулярной теории возмущений. ДАН, 2007, т.413, №1, с.27-30. Рукопись депонирована в ВИНИ ТИ 26.12.2006, №1614 - В2006, 85 с. (совм. с С. А. Степиным; диссертанту принадлежат теоремы 1 и 2).

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 10 0 экз. Заказ № €

Введение

Обзор исследований, связанных с диссершцюнной темой.

Описание резулыаюв диссерпшии.

1 Об асимптотических свойствах решений дифференциальных и разностных уравнений

1.1 Асимптотики иша ВКБ для решений дифференциальных и разностных уравнений.

1.2 Уравнение (12) с точкой поворот и переменная Лангера

1.3 Преобразование Лиувилля и схема доказательства теоремы

1.4 Подюювшельные материалы.

1.5 Доказательаво теоремы 1.

2 Квазиклассические асимптотики и концентрация спектра краевой задачи для уравнения с точкой поворота

2.1 Геометрия кривых ->— и

2.2 Геометрия кривой -).

2.3 Характеристические определители.

2.4 Зоны, свободные от спектра задачи (12)-(13).

2.5 Локализация спектра задачи (12)-( 13) вблизи кривой.

2.6 Концешрация при малых £ > 0 собственных значений задачи (12)-(13) вблизи кривых

3 Двупараметрическая задача Штурма-Лиувилля и бифуркация спектра

3.1 Постановка задачи и формулировка результатов.

3.2 Резулыаш численного анализа.

3.3 Кратность собственною значения —//\/3 задачи (3.3)-(3.2)

3.4 Бифуркация cueKipa задачи для уравнения Эйри.

3.5 О деформации жордановой клетки.

В различных областях математической физики возникают постановки вопросов о локализации собственных значений краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и распределении спектра операторов, заданных матрицами или зависящими ог параметра мафичными семейс!вами. Эффективным средеibom, используемым для изучения этих вопросов, являются асимню1ические и численно-аналитические меюды. Применение и развитие этих меюдов составляю! предмет настоящей рабош.

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой

При исследовании спектральных краевых задач для дифференциальных уравнений вюрого порядка оффекшвно применяю1ся метод ВКБ, предназначенный для построения асимптотик решений в областях, не содержащих точек поворот, и меюд Лангера, позволяющий выписывать асимптотики решений вблизи таких точек. Вопросам, связанным с развшием и описанием указанных методов, посвящено большое количсспю работ и монографий (обширную библиографию можно найти в [20], [27] и [47]).

Первые резулыаш, заложившие основу метода ВКБ, восходят к Ж. Ли-увиллю и Дж. Грину, которые в 1837 юду рассмотрели в своих работах заданное на вещественной оси дифференциальное уравнение (ДУ) вида fill i,i"q{z)y = (1) где е > 0 — малый параметр. Оба авюра заметили, что при условии вещественное! и и дое I а точной гладкое! и шиенциала q(z) функции y±(z, S) = фГ'/'ехр! ± ± J' yfiMde} предсчавляюг собой "ночш" решения рассматриваемою уравнения в следующем смысле:

- qW±(*> = 0(e^y±(z, с)), £ 10. 3

При этом, Лиувилль успшовил, чю на любом конечном оiрезке, не содержа-1цом нулей функции q(z), ДУ (1) обладает решениями y±(z, с), асимшоти-чески (при £ I 0) предпавимыми в форме y±(^s) = y±(z,s)(l+0(s]t'2)) (2) с равномерными по переменной z оценками оетточных членов.

Процедура, использованная Лиувиллем, состоит в следующем. С помощью последовательных замен независимой переменной £ = £(~) н искомой функции iv = \Д/у уравнение (1) приводится к виду w = (ii2g(c(0) + 0(О)ш точкой обозначено дифференцирование ио £), заю.м функция £(::) выбира-еюя таким образом, чю z'2q(z(f;)) = 1, то ecu, £(z) = f' \Jq{,н) ds. Условие q(z) ф 0 является необходимым для малое!и оеттка ) по сравнению с величиной £~1. Исходя из этого уаанавливается, что решения последнего уравнения асимиютчески (при с 4-0) эквивалентны соо1ве1ствующим решениям "уравнения сравнения" w = с1ш. Предположение q(z) ф 0 оказываеюя сущес!венным: формулы (2) непригодны в окрестностях точек поворота -нулей функции q(z).

Решение уравнения (1), аппроксимирующееся с одной стороны от точки поворот какой-либо из формул (2), с другой стороны представляется в форме линейной комбинации "приближений Лиувилля-Грина" (2). Определение коэффициентов эюй линейной комбинации как функций параметра s представляет собой проблему "перехода" (или проблему нахождения "формул свяш").

В 1926 году Дж. Вент цель, Г. Крамере и Л. Бриллюэн в процессе исследования уравнения Шредингера использовали приближения Лиувилля-Грина и решили возникшую проблему перехода. Формулы (2) приняю, 1ак-же, называв ВКБ-приближениями, а подход, позволяющий выписывать эти приближения с оценкой оспика, — методом ВКБ.

Дж. Биркгоф рассмснрел ДУ вида (1) в предположении, что функция q(z) аналшична и не обращается в нуль в некоюрой области. В рабою [33] выделены подоблапи, в которых уравнение (1) имеет решения, асимпниически при с 0 предствимые формулами (2) с равномерными оценками остатков. При эюм использовалась техника канонических путей: кривых, вдоль которых функция Re J4 \/s~1q(s) ds монотонна. Paciipoci ранение результатов Лиувилля в комплексную плоскость оказалось возможным, в часпюаи, благодаря тому, чю для получения главного члена асимптотик применялись преобразования, не использующие замену независимой переменной.

При построении методом ВКБ асимшогик решений уравнения (1) с аналитическим в некоторой области нокчщиалом q(z) возникает явление Сгокса, состоящее в следующем: если решение асимпипически нредставимо в форме линейной комбинации приближений (2), ю при непрерывном изменении переменной г коэффициенты разложения могу г в какой-1 о момент измени 1ься скачкообразно. Первым эю замеiил Дж. Сюкс на примере уравнения Эйри у" — zij = 0. Причина рассмафиваемого явления заключается в том, что асимптотические разложения содержат погрешности, которые растут по мере приближения переменной г к линиям Стокса, то есть к линиям уровня Re f*Q \/q(b) da = 0, где zq — точка поворота. В и юге, величина погрешно-ciи оказываек-я сопоаавимой с главным членом асимшотики, что и ведет к разрывному поведению коэффициентов.

Значительный вклад в развшие меюда ВКБ внес М. В. Федорюк, разра-бошвший подход (см. [27]), позволяющий выписывать "глобальную" асимп-'101 ику (при с | 0) решений уравнений вида (1) во всей плоскости в случае, когда функция q(z) целая или полином. Он уаановил, чю при определенных условиях, накладываемых на q(z), линии Стокса разбивают плоское п> С на области 1ипа полосы и полуплоскоаи, оюбражаемые функцией I" у/(l(s) cooiBeicTBenno, в полосу а < Re f" y/q{s) db < Ь и в полуплоскость Re/* \Jq(s) ds > а или Re J * y/q(s) ds < b. Объединения областей обоих шнов, отображаемые функцией fz \/q{s) (1ь в плоскость с конечным числом вертикальных разрезов, сосчавляютт. н. канонические облаем и, в каждой из которых М. В. Федорюк построил фундамешальную сис1ему решений (ФСР) уравнения (1) с асимптотиками (2) и оценками оеттков, равномерными на подмножес1вах, расположенных внутри и отделенных от 1раницы канонической облаа и. Затем он вычислил матрицы перехода между ФСР, 01вечающей одной канонической области, и ФСР, соответс1вующей друюй канонической области. Поскольку конечное число Э1их областей в совокупности составляют С без точек поворота, го перемножение матриц перехода позволяе! най!и "глобальную" асимптотику решений рассматриваемого уравнения во всей плоскос1и и вне окресшосчей нулей функции q(z).

Е. Р. Лашер занимался ciponiM обоснованием методов нос1роеиия асимптотик решений ДУ в окресшостях точек поворота. Так, в работе [43] он рас-смо1рел у1)авнение вида (1) с малым (комплексным) параметром s при следующих условиях: q(z) = zaij>(z), а > 0, и функция ф 0 голоморфна в некоюрой окрестности точки с = 0. Следуя схеме, предложенной Лиувиллем, Е. Р. Лашер выбрал функцию удовлетворяющую cooiношению z2fj(z(^)) = £ft, и привел (1) к виду й= (-Г + Ф(ОУ>- (3)

Решения соответствующего уравнения сравнения iu = могут быгь выражены в терминах функций Бесселя. Е. Р. Лашер установил, что в неко-юрых секторах комплексной плоскоеiи с вершиной в ючке £ = 0 (соогвег-счвующей 2 = 0) решения уравнения (3) при малых £ близки к решениям уравнения сравнения.

Ф. Олвср pacc.moipeji (см. [20]) уравнение (1) на вещественной оси с малым параметром г > 0 в предположении, ню функция q(z) на некоюром (возможно, неограниченном) шпервале / являйся достаточно гладкой и имеет единсч венный простой нуль zq. Переменная Лангера

--) = (| Г \Ш<'С)2/3 (4) при подходящем выборе веши корня) взаимно-однозначна на /. Поэтому, преобразование Лиувилля приводит (1) к уравнению = + ?«))«' (5) с досмточно гладкой на £(/) функцией р(£). Ф. Олвер предложил искать формальное асимпкиическое разложение (ФАР) решения ш(£) последнего уравнения в виде

00 00 п=0 п=0 где в качес1ве Д(£) выбирается Ai(£) или Bi(£) — функция Эйри первого или шорою рода, а С,,(£) и Д,(0 — искомые функции. Подстановка анзаца (6) в уравнение (5) и приравнивание нулю коэффициешов при степенях £ приводит к рекуррентным cooi ношениям, позволяющим последовательно определить С„(£) и D,,(£). Далее Ф. Олвер оценил разность между чааичными суммами формального ряда и фактическим решением ш(£) и, за!ем, усыновил, чю при определенных условиях, накладываемых на функцию q(z), исходное ДУ (1) обладает решением, асимиюшчески при £ 4- 0 преде тви-мым в форме

VS \Z) п=0 и=0 с равномерными по z Е I оценками остатков.

Также Ф. Олвером изучалось асимшотческое поведение решений ДУ вида (1) в комплексной окрестности иросюй точки поворота z0 при малых но абсолютной величине значениях парамефа е £ С (см. [20]). Переменная Лангера £(z), заданная формулой (4), юломорфна и однолиста в окрест-hociи zq. Поэтому, преобразование Лиувилля приводит уравнение (1) к виду (5) с функцией <?(£), аналитической в окрестности нуля.

Основным обьектом рассмотрения Ф. Олве])а здесь являек-я ДУ вида (5) при условии, что функция о(£) аналшична в некоторой (возможно, неограниченной) области G, содержащей точку £ = 0. В этой ситуации ФАР решений уравнения (5) иредставимы в форме (б), где в качестве Л(£) выбирается одна из функций Эйри Aj(£) := j = (),±1. С использованием аналогичной биркгофовской техники канонических путей Ф. Олвером были получены явные оценки, выраженные в терминах так называемых "вспомогательных" и "калибровочных" функций, для разностей между решениями уравнения (5) и частичными суммами соответствующих формальных рядов. При этом, подобласти G, в которых справедливы эти оценки, зависят от индекса j, 1еоме1рических свойств G и аргумента

Иной подход к проблеме простой точки поворота был предложен В. Вазовом (см. статью [48] и монографии [5] и [47]). Разработанная им техника позволяет ciроить асимптотические формулы для решений дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром г'2 при старшей производной и потенциалом, зависящим от г, в достаточно малой комплексной окрестности точки поворота. Опишем идею метода В. Вазова на примере уравнения с аналитическим по совокупности переменных в окрестности точки (.го, 0) потенциалом Q(z, е) = q(z) -f J2T=i удовлетворяющим условиям которая с помощью замен переменной z — ;:(£), где £(z) задается формулой Q(z> £)« = где £ > °>

7)

4), и искомой функции

00

Далее ошскиваеюя мафица-функция Р = Р(£, s) такая, мю преобразование W = PV приводит (8) к системе £Л'' = ДоЛ", обладающей решениями, выражающимися в терминах функций Эйри:

Преобразующая ма1рица Р является решением уравнения

00 еР' = (£Л4(0£*)Р-РЛ о (9) к=0 и ищется в форме ФАР YlT=o^{0£k- ^а этом ПУТИ Лля коэффициентов Рк{£) получаеи'Я рекуррешная пкчема

А0Р0 - Р0А0 = О, п

АоР„ - Р„Ло = Р'пх - ^Акрп-к, п > 1. к=1

В. Вазов нашел формулы, с помощью коюрых последовательно определяются олемешы матриц Рп(£)э 11 установил юломорфнос1ь Р«(£) в окреп ноет и точки £ = 0. Затем он доказал, что уравнение (9) обладает решением Р(£, г), разлагающимся в малой окрестности нуля в равномерный асимшогический ряд Р(£, с) ~ Y1T= о^ь(0£*1 = 0. При эюм ДУ (9) сводилось к интегральному уравнению, решения ко юрою с i роились методом последовательных приближений с использованием известных асимптотик функций Эйри и с применением аналогичной биркгофовской техники канонических нуюй.

Во$вращаясь теперь к исходному уравнению (7), можно утверждать существование решений ijj, j = 0,±1, асимппнически при малых £ > 0, предста-вимых в форме о [Х>(«ФВ + О^рМ^г), * € N,

У \ (1 0

N - V // -п=0 с оценками остатков, равномерными по переменной г в достаточно малой окрестности точки поворота.

Родственной тематике — в частности, различным аспектам сингулярной теории возмущений для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных (как линейных, так и нелинейных), посвящены mohoi рафии [4], [11] и [18].

Наряду с описанием асимшогических свойсчв решений ДУ, определенный интерес представляют постановки задач о поведении решений разноаных уравнений различных типов. Первые резулыаты, относящиеся к эюму направлению, восходя 1 к А. Пуанкаре, О. Перрону и Дж. Биркюфу (ссылки на соответствующие работы см. в монографии [35]).

Дж. Бирмоф в своих работах [31], [32] и [34] (в соавюрсгве с В. Тржиг-зинским) исследовал асимптотику (при с —У оо) решений уравнения

Y(z + l) = A(z)Y(z), где A(z) — квадратная ма!рица размера п х п, элемешы (itJ(z) которой либо при дос1аточно больших [~| разлагаю 1ся в ряды tf-Ч1-1* +. +<) + rf';1)---,/p +., либо в некоторой окрестности бесконечно удаленной ючки имеют аеимшо-тические разложения такого вида. В упомянуilix pa6oiax последоваюльно развиваек'я меюд, позволяющий формально поэлементно выписывать решение Y{z) = {yj(z)}"=1 в виде ih(z) =

Q,(z) = + г(0)г + ^>*1р-1)/Р + . + ^.i/P,

Sj(z) = zr' [(a(j) + bWs-Vp + .) + {('[J) + b\})z~1^ + .) In r + . здесь fip £ Z и in E Z+. Такой вид формального решения при р = 1 имеет сходсIво с ФАР фундамешальной мафицы сиаемы вида Y'(z) = A(z)Y(z) в случае иррегулярной особой точки в бесконечности (см. [13]), главный член которого, в свою очередь, нредспшляет собой ВКБ-ириближение для решения cucie.Mbi. В рабохе [34] Дж. Биркгоф и В. Тржитшнский выделили облает, ограниченные кривыми rc(a(z) - = о, / ф j, внутри которых построенные ими формальные выражения являются асимп-т01ичсскими разложениями решения }'(;) рассматриваемой сисюмы.

Методы асимптотического анализа разностных уравнений эффективно ис-полыукмея для исследования спектральных свойс!в якобиевых матриц, определяющих оператор ,7, действующий в орт ©нормированном базисе {е„} по правилу

Jen = rt„ie„i + Ьпеп + a„en+i гдр bn G IR. В рабою [42] С. Хан и Д. Б. Пирсон установили, что для самосопряженною оператора ,7 вопрос об абсолютной ненрерывносш ею cneKipa связан с наличием у уравнения

-1И»1-1 + Ь„и„ + (initn+\ = А и п так называемого подчиненною решения у„, удовлепюряющего условию: для всякого решения ип , линейно независимою с vn. А именно, они доказали, чго сяреюк / С Ш принадлежит абсолютно непрерывной компоненте спектра ,7 в том и только том случае, когда для почти всех A G I рассматриваемое уравнение обладает подчиненным решением. В рамках эх ого подхода в [39] и [40] были исследованы спектральные свойства самосопряженных операторов различных классов, заданных якобиевыми матрицами. При этом, для отыскания асимптотик решений уравнение переписывалось в виде системы которая каким-либо способом (в зависимости oi требований, накладываемых на ап и &„) приводилась к "почт дшнопальной" форме. К последней системе применялся дискретный аналог теоремы Левинсона (см. [30]), утверждающий, что при определенных условиях решения почти диагональной системы асимптотически эквивалентны решениям диагональной.

Отметим, что мсчод подчиненного решения был первоначально разработан в [37] для спектрального анализа самосопряженных операторов типа Шре-дингера на полуоси.

При изучении асимпютики дискретною спектра краевых задач для однородных дифференциальных уравнений широко применяются различные модификации метода ВКБ. Так, М. В. Федорюк в работе [28] исследовал задачу Штурма-Лиувилля для уравнения где q(z) — полином, на всей оси М. и на полуоси. В рамках разработанного им подхода, позволяющего строи и» "глобальные" асимптотики решений ДУ во всей плоскости ($а исключением окрестностей точек поворота), он изучил расположение линий Стокса для этою уравнения, вычислил матрицы перехода между соответствующими различным каноническим областям ФСР и

-</'М + q(z)y(z) = A y(z), затем (ири достаточно общих дополнительных требованиях, накладываемых на потенциал q(z)) в терминах эшх мафии, выписал условия, ири которых точка А является собавенным значением поставленной задачи. Оiсюда извлекалась информация о расположении больших по абсолюпюй величине co6ciвенных значениях.

Ю.Н. Днеаровский и Д.П. Косюмаров в спиье [9] рассмохрели обобщенную задачу на co6ciвенные значения k2Q(z, А)и/ = О, н/(+оо) = ш(-оо) = О с, вообще говоря, нелинейным вхождением спекхральной переменной А и большим вещественным парамехром к. При эхом на аналшическую по совокупности переменных функцию Q(z, А) накладывался ряд условий, обеспечивающих применимость меюда ВКБ, и требований, касающихся качес!венного расположения соотвегс1вующих линий Сгокса. Для построения областей применимости ВКБ-асимптошк использовалась техника канонических путей. Одним из результатов работы является локализация при больших к собс1венных значений задачи в 0(А'~2)-окрестнос1ЯХ точек, определяемых условиями

-MA)

Г*Ал) к / y/Q(z, A) d:

Л, (А) О, cos t ii(A) гДе — точки поворота уравнения.

А. А. Дородницын в етье [10] исследовал следующую краевую задачу на вещественном оiрезке / = [0, с]: у"(х) + (А 2г(х) + яН)уП = о, «//(0) = йу(0), 1п/(с) = by (с). где А — спектральный параметр, г(х) = хр(х), функции р(х) и q(x) достаточно гладкие и 0 < р(х) < М на /. В pa6oie [10] при больших А получены выраженные в терминах функций Эйри асимпкпики решений рассматриваемою уравнения с равномерными на / оценками остаi ков и, с использованием указанных аппроксимаций, установлено, что co6ci венные значения (с. з.) с большими номерами имеют вид

Jo VrM(h'

Сравнение этого результата с асимш(пикой больших с. з. в случае, когда на oipejKe / не! ючек поворот, показывает, чю собсчвенные значения сдвинуты на величину 7Г 12/0° \/r(x) dx (l + 0(п~^)). Также в [10] изучаются аналогичные задачи с точками поворот внутри I или на его концах.

В контексте сингулярной теории возмущений особый ишерес представляет дейс1вующий в просфанстве Ь-^Щ оператор d'2

Т' = ~ed? + где £ — малый параметр, a q(x) — достаточно гладкая функция, имеющая конечное число максимумов и минимумов, причем 7(±оо) = оо. При с > 0 спектр этого оператора дискретен, однако Го - оператор умножения на q(x) и ею спектр непрерывен. Вопрос о том, каким образом при е ф 0 происходит предельный переход от дискрепшго спектра к непрерывному, изучался с использованием квазиклассической изхники В. П. Масловым в рабою [17]. Одним из результатов этого исследования является следующее утверждение: если при достаточно малом £ > 0 число Хгп = АЦе) является собственным значением опера юра Г£ таким, что функция \гп — q(x) имеет 2 к нулей . , x-2k, то А', удовлепюряет одному из уравнений

1 - / 1 \

-Щ J VK ~ яН = + J) + где п G N, j = 1,2,.,/г. Отсюда, в частности, следует, чю для произвольною числа //, принадлежащего сиекфу оператора Го, при малых с > 0 существует последовательность собственных значений, обозначаемая через

А' }. , такая, чю lim А?, = и. I J t, н' ' ''

Важным направлением в теории краевых задач является развитие методов приближенного определения собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля iey"(z) + q(z)y(z) = A у(г), (10) у(-1) = //(1) = 0, (11) где £ > 0 — малый параметр, а функция q(z) аналитична в некоторой окрестности отрезка [—1, 1]. 3ia задача являемся в определенном смысле модельной по отношению к краевой задаче Орра-Зоммерфельда, возникающей при исследовании устойчивости нлоскопараллельного течения вязкой жидкости (роль малого параметра здесь играет вязкость). При некоторых предположениях качественного харакюра о линиях Стокса соогвеюАвующего уравнения картина спектра задачи Орра-Зоммерфельда при исчезающей вязкости была описана К. Моравец в [44].

Задача (10)-(11) для уравнения Эйри, то есп» для q(z) = z, аналишче-скими среде щами была впервые исследована в рабою С. A. Стенина [24] С использованием асимптотик функций Эйри в [24] установлено, что в облает {1тА > 6 - l/v/3, |А ± 1| > где 8 > 0, спектр при достаточно малых £ > 0 сосюит из двух серий простых собственных значений A* ~ ±1 ± v/£exi)(±7r//6)#„, здесь tn С М- - пули функции Эйри.

В работах [23] и [24[ указано, что вопрос об асимпюгическом при £4-0 распределении с. з. задачи (10)-( 11) исследуек-я с помощью квазиклассической техники в предположении достаточной близости в окрес1ности отрезка [—1, 1] функции q(z) к линейной относительно метрики равномерной сходи-mociи. Там же выписаны cooiношения типа условий квантования определяющие месторасположение с. з. задачи при малых £ > 0.

Подход к изучению спектральных свойств задачи (10)-(11), основанный на использовании ВКБ-асимиютик и биркюфовской техники канонических путей, применимый для широкою класса поюнциалов q(z), предложен в работе [25]. Этот подход позволяет выписывать условия квашования, определяющие главные члены асимиюшк с. з. Применению ВКБ-техники и получению вюрого и последующего членов спектральной асимптотики для сингулярно возмущенных несамосопряженных краевых задач посвящена работа С. А. Оюиина и его ученика А. А. Аржанова [1].

В случае, когда значения q(z) вещественны на отрезке [—1, 1], спектр задачи (10)-(11) расположен в полуполосе {ReA G [я, 6], ImA < 0}, где а и Ь являююя, соогветавенно, минимумом и максимумом функции q(x) на отрезке [—1, 1]. В рабою [23] (см., также, [25]) С. А. Сюиин установил, чю в эюй сшуации при достаточно малых £ > 0 на множестве, предешзляющем собой комплексную окрестность отрезка [«, Ь] за исключением окрестностей ючек стационарности q(z) на [—1, 1] и точек <у(±1), спектр рассматриваемой задачи отсутствует.

В статьях С. А. Стенина и А. А. Аржанова [2] и [3] рассматривается задача ИЬурма-Лиувилля (10)-(11) для уравнения Вебера, то есть для потенциала q(z) = z2. Для локализации спектра при малых £ > 0 используются ВКБ-асимн ютики (при £4-0) решений дифференциального уравнения (10), построенные с помощью биркгофовской техники канонических путей. Применяемый здесь подход не требует априорной информации о расположении линий Сюкса. С. А. Сюпин и А. А. Аржанов установили, что спектр рассматриваемой задачи на множестве

Re А € [0, 1], ImA € (-2/7,0), |А| > S, |А-1|>*}, где 6 > 0,

1, А) = ±№пе±т1\ где состоит из однократных собственных значений, расположенных вблизи отрезка луча arg Л = -тг/4 и кривой, заданной условием

Re{f"/-|(x^A-Al.1x/r^+1)} = О, и выписали условия квантования, определяющие главные члены асимптотик собс1венных значений. Второй член спекфальной асиминники в задаче (10)-(11) для уравнения Вебера был получен в [3].

С. В. Гальцев и А. И. Шафаревич в рабою [8] исследовали исевдоспектр оператора

U = -h'^ + /К(л-), ах1 где V(x) — целая периодическая функция, дейсшиельная на К, a h > 0 — малый нарамеф. Они установили, что /*"-псевдосиекф Н для всякого натурального п совпадает с числовым образом то есть с полуполосой Re А > 0, ImA Е [«, b], где а и b — минимум и максимум на К функции V(x). Таким образом, С. В. Гальцевым и А. II. Шафаревичем было показано, чю /гп-псевдоспекф рассма11>иваемого опера юра существенно шире ею спектра, состоящего из собственных значений, концентрирующихся при /г —> 0 вблизи некоюрых кривых.

Из публикаций, связанных с юматикой насюящего исследования, оiметим, также, работы [45] и [46].

Описание результатов диссертации

Одной из целей настоящей диссертционной работы является развитие методов приближенною определения собсч венных значений на примере краевой задачи is у" + Q(z, А)?/ = 0, (12) у(-1) = у( 1) = 0 (13) с малым параметром £ > 0 и, вообще говоря, нелинейной зависимостью потенциала Q(z, А) 01 снекфальной переменной А. Исследование этой задачи проводиюя в предположении, чю выполнено

Условие (А) Функция Q(z, А) регулярна на д( картоьом произведении VIк х П прямоугольника n = {|Rc(A-A0)|<a, |lm(A - А„)| < 0}, где в > 6/5, 5а > 10 + 3, и круга Qtt = {|~| < i?}, R > 8(а + 3), причем Q((), Ло) = 0 идлявса (с, Л) Е ИцхИ справедливы неравенства д:(г,л) - i| < 1/з, (и)

Q'x(z,\) + 1| < 1/9. (15)

Эп1 требования обеспечиваю! существование в Иц при каждом A G П единственной (простой) точки поворота 2о(Л) уравнения (12) такой, что

Q(~-o(A),A) =0, Q'z(zо(А), А) ^ 0.

Другими целями диссертации являются исследование асимптотических свойс1 в решений дифференциальных уравнений вида (12) и разностных уравнений, ассоциированных с махрицами Якоби, разработка и применение методов локализации спекхра несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля (10)-(11) и обсуждение вопроса о характере расщепления изолированного крапюго собственного значения, которому отвечает жорданова цепочка из собственною и присоединенных векторов, в абстрактной ситуации и применительно к задаче (1())-(11) в случае уравнения Эйри.

1. Аржанов A. A., Ciennn С. А. ВКБ-приближения и спектральные асимптотики в одной задаче сингулярной теории возмущений. // Современная математика и ее приложения, 2003, т. 8, cip. 1-18.

2. Аржанов А. А., Стенин С. А. Квазиклассические спектральные асимп-ioiики и явление Сюкса для уравнения Вебера. // ДАН, 2001, т. 378, ДМ, с. 18-21.

3. Аржанов А. А., Степин С. А. О локализации спектра в одной задаче сингулярной теории возмущений. // УМН, 2002, т. 57, в. 3, с. 161-162.

4. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968.

6. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосоиряженных дифференциальных уравнений. // УМН, 1960, т. 15, в. 3, с.3-80.

7. Владимиров В. С. Методы теории функций мношх комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

8. Гальцев С. В., Шафаревич А. И. Спектр и исевдоспектр несамосопряженного оператора Шредингера с периодическими коэффициентами. // Мат. Заметки, 2006, т. 80, в. 3, с. 356-366.

9. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, в. 2, с. 267-277.

10. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // УМН, 1952, т. 7, в. 6, с. 3-96.

11. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989.12