Формулы регуляризованных слодов некоторого класса дифференциальных операторов с особенностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Цооновский ордена Левина, ордена йстябрьскоЯ Революции в ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени И.В.Лсыоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

РАСТОРГУЕВ ВЛАДШИР АНАТОЛЬЕВИЧ

Формулы регуляризованных слодоз некоторого класса дифференциальных операторов о особенное тьп

(И.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-иатеиатических наук

Москва 1991 г.

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени Ы.В.Ломоносова.

Научнш! руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.А.Садовничий.

Официальные оппоненты - доктор гизико-математическшс-наук Богданов Р.И.

Ймуд^т физико-математический, наук Султанаев Я.Т.

Ведущая организация - Институт матеиатики и механики АН Азербайдканской ССР

' Зачета диссертации состоится " ^" 1991 г.

в 16 час. 05 юм. на заседании специализированного Совета Д.053.05.04 при МТУ по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы , МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ¡.ГПУ / 14 этая /.

Автореферат разослан

1991 г,

Учений секретарь

специализированного совета доцент Т.П. Лукашенко Д.053.05.04

■ ! - з -

I. Общая характеристика работы.

':л!^:.Ак^уаяьность темы. След линейного оператора в конечномерном пространстве есть cyj.ti.ia собственных значэниР с учетом их кратности. Уже для линейных операторов в гильбертовом пространстве конечная сумма заменяется на ряд, поэтому такое определение следа не всегда корректно, хотя имеются операторы /например ядерные/ для которых определение проходэт: сумма диагональных элементов матрицы оператора определена и равна сут.сяг собственных значений. В бесконечномерных случаях приходится использовать понятие регу-ляризовэнного следа, возникшего в работе И.М.Гельфанда и Б..М.Левитана [I] при исследовании задачи Штурма-Лиувилля. Известно, что асимптотическое разложение собственных значени?1 при больном спектральном параметре в задаче Штурма-Лиувилля с гладким потенциалом и нулевыми условиями на концах отрезка [о,^] имеет

представление _ ^ С, с,

+ С» + + + ••■ •

оо

Отсюда видно, что "X* расходится. Однако сумма = ¿.) < «>.

1 "Ч

Число называется регуляризованным следом оператора Штурма-

-Лиувнлля. Основной результат [1] заключается в том, что хотя математически корректное определение 2С' выгладит сложно, конечный ответ имеет простое выражение через значения потенциала в точках ноль и ЗС . Этот фант играет ресакщую роль в распространенности использования Т! в прикладных задачах.

[I] Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве

для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, 88(1953), стр. 593-596.

В частности, с их иоиоцъю можно вычислить пергке собственные значения краевой задачи с заданной точностью /см. [£]/. Они используются при решении обратных задач спектрального анализа. Применяютя для изучения асимптотического поведения спектральной функции операторов и т. д. Работа [1] послужила начало!.: целой серии работ таких авторов как Дикий Л.А., Левитан Б.М., Гасшов Ы.Г., Фадцеев Л.Д., Шевченко Р.Ф., Садовничий В.А. и других, по-свяценных регуляризованным следам линейных дифференциальных операторов, связанных с обыкновенно:.:!: дифференциальна«! уравнениями. Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами исследовались в связи с прикладными задачами 'такими известными математиками как Фукс, А.Пуанкаре и другими. В частности, Фукс выделил класс дифференциальных уравнений с особенностями в коэУ ициентах типа полюс и сформулировал для этих уравнений необходимое и достаточное условие когда решения уравнения регулярны /см.М/.

В диссертационной работе рассмотрены вопросы, связанные с вычислением регуляризованного следа линейного дифференциального оператора четного порядка, имеюцего особенность на конце отрезка.

2. Цель работы. Для развития понятия регуляризации следов линейных операторов в нормируемых функциональных пространствах и соответствующих аналитических методов их вычисления изучить двучленные дифференциальные" операторы на отрезке в одномерном случае с сингулярным коэффициентом при слагаемом нулевого порадка. Сло-

Ш Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля, ЗШ, 1958, 13, выл 3(81), стр. III-I43.

И PutKs L, "ЗонтЛиг dit teint and anje-vaniie McrthtmaUli, т.£1(т). Gesaramiite Шее, T.i, 153, ¿0$.

во "сютулярный коэффициент" означает, что коэффициент имеет асимптотическое поведение в конце отрезка типа 1/се"1* » где вецественное положительное число и X расстояние до конца отрезка.

- Исследовать дискретный спектр дифференциального оператора

LI») = - ■^■У

в пространстве функций ^(х) е cCim"1) обращающихся в ноль

вместе со своге.га П. - производными на концах отрезка [о, а.] , где 0£ <L<Z, \а.е М уточнив при этом необходимую гладкость функции в каздом отдельно рассматриваемом случае.

- Получить и обосновать формулы регуляризованного следа дифференциального оператора Lt^ .

- Получить асимптотическое разложение при бесконечно возрастающем спектрально;.! параметре:

а/ собственных функций оператора U^) ; б/ собственных значений оператора Ц^) :

3. Общая методика исследования. Наиболее общие результаты о методах вычисления регулярнзованнкх следов, в том числе и для дифференциальных операторов высших порядков, получены в работе В.Б. Лидского и В.А.Садовничего /см. ЭД/« В работе [4] бшо обнаружено, что получение формул следов для краевой задачи на конечно!.! отрезке сводится к исследованию нулей целых функций, названных авторами Функциями класса К • Из работ в которых исследуются вопросы регуляризации следов для дифференциальных операторов с особенностью можно выделить работу А.А.Стакуна /см. [51/,

[4] Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованныв суш корней одного класса целых функций. ДАН СССР, 1967, №2, с. 259-262. [б] Стакун A.A. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов с точками поворота. Канд. дисс., МГУ, 1974.

- б -

Основ'пд.: технически:.! приемом исследования сингулярных дифференциальных операторов, указанных в пункте два, является переход к эквивалентному интегрально:,гу уравнению. Интегральные операторы в подходящих нормах и функциональных пространствах, являясь ограниченными, допускаот итерационные приемы построения ;к решена. В частности, в налих вычислениях соответствующие интегральные операторы зависят от спектрального параметра, поэтому интегральные методы позволяет вычислить асимптотическое разложение собственных функций. Переход к интегральному уравнении осуществляется с помощью следующего искусственного приема. Представим уравнение на собственные значения оператора Цц) в виде неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами: слагаемое с сингулярны;.! коэффициентом считаем неоднородны.! членом уравнения. ¿Известная технжа вариации постоянных для решения неоднородных лгаейных дифференциальных уравнений приводит к интегральному вы-раг.енко от неоднородного члена уравнения с ядром, -определяемым собственными функциями линейного уравнения с постоянными коэффициента;/^. Вспоминая, что неоднородное слагаемое в назем случае линейно зависит от известного ресения получаем линеГ-ное неоднородное интегральное уравнение. ¡Неоднородный член интегрального уравнения отвечает за начальное условие исходного дифференциального уравнения. Спектральный параметр аходит в ядро этого уравнения в виде обратной степени и квазиполинома.

Вычисление асимптотического разложения собственных функций оператора Цу) при спектральном параметре стремящемся к бесконечности заключается в асимптотическом разложении каждого члена итерационного ряда интегрального уравнения предыдущего абзаца. В результате мы приходим к формальным асимптотическим разложениям решений интегрального уравнения по функциям, являющиеся про-

изведением обратных степеней S /с дробными показателями при

1 , 1< Л< 2 и при <4=1 /и квазиполиномов

от S . Получение формулы следа в случае конечногладкости коэффициента f(x) в выражении оператора использует несколько первых членов асимптотического разложения и оценок отброшенных членов. Вычисление собственных значений и их асимптотики в зависимости от номера И. -го собственного числа выполняется с учетом указанных в пункте два краевых условий и сводится к исследованию нулей соответствующего определителя Вронского.

Регуляризовакный след оператора L(jj) вычисляется по методике предложенной в работе [4]. Согласно этой методике рассматривается дзета-функция ассоциированная с характеристической функцией оператора /единственные нули характеристической функции -

собственные значения оператора Ц^) /. Эга функция обладает свойством, что равна суше Z^ X^ при тех значениях ^ при которых ряд сходится. Дзет'а-функцгео удается аналитически продолжить

в отрицательную область 5* , в частности, в точку S'* . Тем

«

самым можно придать смысл выражению Z как значение аналитического продолжения дзета-функции в точку

Как объяснялось на примере задачи Штурма-Лиувилля для построения регуляризованного следа нужно ввести вспомогательную дзета-

t* ■ . функпуя. Для этого в сумме Т. \ замен™ на их главные

»■I

части асимптотического разложения при И-»'« , дакщке расходимость ряда при S"=-i . Тогда регуляризованный след является разностью аналитических продолжений ассоциированной дзета-функции и вспомогательной в точку С--1 ,

4. Научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы. Известные методы вычисления асимптотических разложений ре-

шений уравнешш /см. [б] / существенным образом используют регулярность коэффициентов при неизвестной функции /например - метод 1КБ, методы теории возмущений и др./. Наличие сингулярных коэффициентов в линейном уравнении помимо существа задачи требует новой техники для получения и обоснования результатов.

В качестве основного результата, показывающего плодотворность используемых методов, получены и обоснованы формулы регуляризо-валного следа краевой задачи на отрезке для дифференциального оператора с особенностью. Получены асимптотические разложения собт ственных функций при спектральном параметре стремящемся к бесконечности, асимптотика собственных значений в соответствии с номером п, при упорядочении \<'\1< ... .

Формальное асимптотическое разложение реиений уравнения помимо квазимногочле':ов и обратных степеней спектрального параметра содержит квазимногочленк с дробными степенями при 0<J.<L , и квазимногочлены с логарифмом если ¿."i . При вычислении регу-ляризованного следа обобщается метод вычисления следов предложенный в работе [4] на случай когда асимптотическое разложение характеристического уравнения имеет члены вида S*1" , bus / S -спектральный параметр/. Последний функции при продолжении в комплексную область к.:еют точку ветвления в нуле, не являющуюся алгебраической, поэтому при вычислении аналитического продолжения необходимо вводить дополнительные интегралы и вычислять аналитическое продолжение от них.

Работа носит теоретический характер, полученные результаты могут найти применение в различных задачах физики и механики. Результаты диссертации являются новыми.

[б] М.В.Оедорюк Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1983. - 352 с.

5. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладггзг.-лись на семинарах по спектральной теории операторов на механикз-математическом факультете МГУ. Отдельные результаты диссертации бьип изложены fía семинарах по дифференшгльным равнения:.; з '.Г2*.

6. Публикации. Основные результаты диссертации содержатся з работах автора [i] - [о].

II. Обзор содер.тлния диссертации.

В первой главе диссертации решается задача"на собственные значения оператора L(¡j) в случае когда 0< i /такую особенность назовем слабой/. функция г[х)бС'&Д] . Гладкость функции Г(.х) достаточна для вычисления регуляризоганного следа длТфе-ренциального оператора Щ) .

В §1 доказывается теореш существования и единственности репа-ний уравнения с сингулярные коэффициентом. Эти теоре:.:ы используются как в главе один, так к в главе два.

Введем следующие обозначения, определение. Уравнение на собственные значения и функций для дифференциального оператора запишем в виде

lw - t-oT- м . со

Обозначим через S, JÍ, А», к= .tf вспомогательные Ееличп-нп

я = гш,

>=(-isj' у*. jf= 2,6, W, ••• ,

Определенне.

■Асимптотическим разложением решения уравнения (1) при 1М -> м называет ся разложение -ввда

г °° "Их) I

+ ^¿М-к > г

+ 2 , ¡л 1 = 1,

+ £ в^м^г + ,

3=0 й ь 5

где АДО, ЦМ, е { I: (Ц е"1' , а, е С ^

Основные результаты главы один содержатся в следующих утверждениях.

Теорема I.

Ит-1) -

Существует и единственно в С [А'Ч реиение дифференциального уравнения (1) со слабой особенностью / 0< <1< I / удовлетворяющее начальным условиям в точке ноль

= ... , аС1т"1)(о) = ^.

Теорема 2.

Существует и единственно в С [о,0,] решение дифференциального уравнения (а) при т.= 2 и удовлетворяющее усло-

виям

Теорема Л I.

Асимптотическое разложение собственна: 'дикгай оператора при ^ могно представить в вздо

аю ~ Ш)'+ Д4-Л + ^ Г(о) +....

с* 1 * ^ с

в"

(*

Теорема Б I.

Асимптотическое разложение собственных значений спер-лтсра Ц^) имеет представление

+ С(аД)-

Г(о)

Теорема 3 I.

РегулярпзованниГ след д14ференцлального оператора ЬСу) бьгчи-сляется по формуле

-^•с, + с4 г(о) гИ , ^ Я- кЛЛ,...,

а,

т! = { тгА + с, Г(0) ГМГИ г лчм,-.,

от

») Здесь н .".е мн выписываем главные члены асшптотик, члены порядка "о ::алое" от наименьшего написанного члена асигптотики обозначены через " ... В тексте диссертации получены явнь-е выражения для коэффициентов, мы их не приводи.! в силу их громоздкости.

оамеч1Нпз.

Пр.; ¿=0 фор:,гулы регуяярнзованных следсв непрерывно переходят в формулы

Ct- (По)+ Г(о-)) 4- ~ , (

¡.сЛпоН , ^ .

~ ill

~ ~¿>~i¡>- соответственно для 2, ^, 6,... .

Вторая глаьа диссертации развивает результаты первой главы на случай уравнения на собственные значения оператора ¿(|jj при лМ

и особенности 2 . Чтобы получить асимптотической *

разложение собственных функций оператора Цу) при I'M-* «> достаточное для вычисления регуляризованного следа," от Функции ГСх) требуем принадлежности классу С1 [о, О,] . Асимптотическое разложение решения уравнения на собственные значения при будет найдено только для решения удовлетворяющее условию ij(o) = = . Это связано с тем, что у решения, удовлетворяющего

условию '¿to) Ф О , не существует третьей производной в нуле и вычисление асимптотического разложения такого решения требует иного подхода. Кроме того, такие решения / / в краевой

задаче оператора Дз) не участвуют.

Основные результаты главы 2 содержатся в следующих утверждениях.

Теорема А 2.

Асимптотическое разложение собственных функций оператора / / при VX\ -» «о имеет вид а/ При д.

А.М + ~^ ~ f *г(о)] +

S о

а и Л ^ л. I ^ , „V \ ^

б/ При 1 < Л. 2.

ч »Г V , А^в) ГШ) 4-

л, А.М + Ь^Г - +... ,

где ^ - константа Зяяера. Теорема Б 2.

Асимптотическое разложение собственных значений дифференциально-го оператора Ц^) при 1"Х\-> имеет представление, а/ При

- 1^0. - ^^ ¿1 + г-по) ] - Ж | + ...,

б/ При 1 < * * 2.

< 1-1

- (*(«+<&)) • А- ГЬ). ГМ -

А а41 )

а-]+-•■

Теорема В 2.

Регуляризованный след дифференциального оператора Щ) вычисляется по формуле а/ При к= 1

^^(гм+и-ко))^^)! (

б/ При L¿ 1< I

У44 + ■^•п.угм-го-А-,^ 4% <г &

4- ^-гИ-ГМ-,^.

а

Замечание.

При Я=1 формула регуляризованного следа при непре-

рывно перейдет в формулу следа при <¿=1

В параграфе один главы два рассматривается оператор ¿(у) когда г(х") = -1 и ¿=1 .В этом случае решения уравнения на собственные значения построены, в виде контурных интегралов

У - контур'в плоскости "t , который проходит из бесконечности вдоль вещественной оси, обходит одну из точек S , -S , is ,-is и возвращается в минус бесконечность вдоль вещественной оси. Обозначим такие решения через Х3 , X_s , T;t, T_*ti . Асимптотическое разложение решений при ls\ 00 млеет вид

I

«--¿о

■Ь^^Ь)*-1.

Асимптотическое разложение остальных решений , Х-$, Х.ц получается из асимптотического разложения Ts формальной заме-

ной S на ls , -s , -*s соответственно.

В заключение, автор выражает глубокуто благодарность профессору В.А.Садовничему за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Работы автора по те?.:е диссертации.

1. Расторгуев В.А. Регуляризованный след оператора со слабой особенностью. Дифф. уравнения, т.25, "3, 1989 г., стр. 10751078. .

2. Расторгуев В.А., Емелев Г.С. Регуляризованный след оператора с особенностью. Дий. уравнения, т.22, »8, 1985, стр. 13651373.

3. Расторгуев В.А. Регуляризованный след оператора четвертого порядка с особенностью. Депонировано в ВИНИТИ, Г6449-ВЯ7.

4. Расторгуев В.А. Регуляризованный след оператора четвертого порядка с особенностью i< Я . Депонировано в ВИНИТИ, Г6448-В87.

5. Расторгуев В.А. Регуляризованный след дифференциального оператора порядка 2ж со слабой особенностью. Депонировано

в ЗПШГГИ, F74I2-B88.

Подписано к печати

Пен .г /О_

Типография .МЭИ. Крзснокагарыскнаи, 13.

Л- ф-f

Тираж /СП Заказ S>>V Пм-платно.