Метод фазовых интегралов в исследовании асимптотик собственных значений несамосопряженных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

0.1. Дополнение.

1. Асимптотические формулы для вещественных собственных значений задачи Штурма

Лиувилля с двумя точками поворота

1.1. Введение.

1.2. Граф Стокса.

1.3. Канонические пары решений

1.4. Формулы перехода.

1.5. Асимптотика собственных значений.

2. Предельное поведение спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда с потенциалом х

2.1. Введение.

2.2. Общие замечания о спектре.

2.3. Граф Стокса.

2.4. Предельный спектральный граф операторов Ь(е)

2.5. Поведение спектра при е —» 0.

2.6. Дополнение.

3. Предельное поведение спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда с произвольным квадратичным потенциалом

3.1. Введение.

3.2. Постановка задачи и общие замечания о спектре

3.3. Топология графа Стокса i(z2 — А)

3.4. Предельные спектральные кривые.

3.5. Поведение спектра при е —> 0.

4. Локализация спектра задачи Орра-Зоммерфельда для больших чисел Рейнольдса 96 4.1. Задача Орра-Зоммерфельда.

Свое развитие данная теория получила в работах Евграфова М.А. и Фе-дорюка М.В. [8], [21]. Там же можно найти подробную библиографию по этому вопросу.

Сложность анализа асимптотического поведения решений уравнения Штурма-Лиувилля зависит от свойств потенциала q(x). Даже, казалось бы, в самых сильных ограничениях на потенциал — требовании его аналитичности — спектр оператора Штурма-Лиувилля имеет сложную структуру. Методология, применяемая в данной работе, позволяет разделить комплексную область на ряд областей, в которых асимптотическое поведение решений описывается достаточно просто. Такими множествами являются области, ограниченные соседними линиями Стокса. Последние определяются как 0-линии уровня функции

S(z,a) = Ref J^jdC, где а —- некоторый ноль потенциала. В рамках данной теории такие точки называются точками поворота потенциала в связи с тем, что в них асимптотические решения уравнения Штурма-Лиувилля имеют точки ветвления.

Далее строятся расширения указанных областей до так называемых канонических — максимальных областей, в которых сохраняется асимптотическое поведение решений. Как было отмечено выше, исследование поведения решений в канонических областях практически не представляет сложной задачи. Для анализа поведения решений в остальных точках комплексной плоскости строятся так называемые матрицы перехода, которые позволяют связать различные канонические области. Как оказалось [21] существует четыре стандартных матрицы перехода, через которые можно выразить все остальные возможные.

Таким образом, в сущности, метод состоит из двух этапов, которые называются "топологический" и "алгебраический". Суть первого состоит в анализе топологии графа Стокса потенциала. Если же последний зависит от параметра (как в

главах 2 и 3), то потребуется изучение изменения топологии в зависимости от параметра. При этом важно следить за равномерностью асимптотических формул. Второй же этап заключается в построении базиса в простанстве решений на всей комплексной плоскости с использованием матриц перехода и результатов первого этапа.

Дадим ряд определений и утверждений, которые будут использоваться нами в дальнейшем для произвольной аналитической функции p(z). Основная их часть взята из работ [21] и [8].

Далее мы даем общепринятые в литературе определения. Они не вызывают сомнения с интуитивной точки зрения, но их математически строгое изложение требует дополнительных пояснений. Чтобы не отвликаться на детали мы приняли решение провести пояснения в дополнениях. В частности, по поводу определений линий, комплексов и графов Стокса смотри дополнении (раздел 0.1).

Определение 0.1. Точками поворота порядка функции р называются ее нули. Точка поворота zq функции называется простой, если она является ее простым нулем. Порядком точки поворота называется кратность ее как нуля функции р.

Для любой точки поворота zq можно ввести многозначную функцию:

S(z1z0)=fy/rtC)dC

Замечание 0.1. Всюду в работе функция S(z, zq) рассматривается в од-носвязных областях, не содержащих внутри точек поворота. Контур интегрирования предполагается лежащим внутри области определения S, а точка zo — на ее границе. Выбор одной из двух ветвей S в областях такого типа либо дополнительно оговаривается (в работе рассма-тиваются так называемые "канонические" ветви S), либо не является существенным, в связи с чем опускается в формулировках.

Определение 0.2. Линией Стокса функции р, выходящей из точки поворота zo, называется кривая, выходящая из zq, вдоль которой

Re5(z,z0) = 0.

Кривая, задаваемая уравнением z$) = 0 называется сопряженной линией Стокса.

Определение 0.3. Комплексом Стокса функции р называется всякое максимальное связное множество, состоящее из линий Стокса. Комплекс Стокса называется простым, если включает лишь одну простую точку поворота. В противном случае комплекс называется сложным.

Отметим, что из определения простого комплекса Стокса следует

Лемма 0.1. Из всякой простой точки поворота выходят ровно три линии Стокса под углами ±27г/3 по отношению друг к другу.

Доказательство этого факта несложно и приводится в [21].

Определение 0.4. Графом Стокса функции р называется совокупность всех ее комплексов Стокса.

Пусть функция p(z, А), зависит от параметра Л, рассмотрим семейство ее графов Стокса Ф(А).

Определение 0.5. Графы Ф(Ах), Ф(Аг) эквивалентны, если существует гомеоморфизм ф : Ф(А0 Ф(А2), при котором точки поворота переходят в точки поворота.

Определение 0.6. Точка Ао называется допустимой, если существует окрестность О(Ао) такая, что для всех точек Л этой окрестности графы Ф(Ао) и Ф(А) эквивалентны. В противном случае точка Ао называется недопустимой.

Пусть p{z, А) = <ю(А)(* - б!(А))"1 .(*- bk{\))n\ Uj 6 N, где bj — алгебраические функции, ао ф 0 — полином. Положим

E(a,6,A) = /yp(C,A)dC

Справедлива следующая лемма (см. [21]

§3 п.5)

Лемма 0.2. Пусть 1\ — нули ao; h — множество всех A: bj(А) = bi(^), j ф I; h — множество всех А, что при некоторых j, I j ф I ReS(6j(A),6j(A), А) = 0. Тогда множество I всех недопустимых точек есть I = I\ U h U /3.

Замечание 0.2. Для функции p(z, А) = i(z2 — А) имеем Д = 0, /2 = {0}, /з= {л | argA = т. е. множество недопустимых точек в П совпадает с лучом argA = -тг/4.

Определение 0.7. Максимальные области однолистности функции S, ограниченные линиями Стокса, содержащие точку поворота на своей границе, а внутри — некоторую линию Стокса, будем называть каноническими областями. (Смотри [21]).

Определение 0.8. Тройку (Dj,lj, aj), где aj — точка поворота, lj — линия Стокса, выходящая из этой точки поворота, Dj — каноническая область, содержащая lj, будем называть канонической.

Определение 0.9. Пусть (Dj, lj, aj) — каноническая тройка. Ветвь функции S(z,aj), для которой Im S(lj,aj) = [0;+оо); будем называть канонической ветвью, соответствующей данной тройке.

1. В первой главе диссертации рассматривается индефинитная задача Штурма-Лиувилля с двумя простыми точками поворота.

Здесь и — спектральный параметр, а / и g — гладкие функции. Индефинитной задача называется в связи с тем, что / меняет знак на [61,62]. Случай двух простых простых точек поворота подразумевает следующее: / имеет только два простых нуля в точках а\ и 02, причем Ь\ < а\ < а2 < 62-Для определенности предполагается, что f(x) < 0 при х 6 (ai,a2) и f(x) > 0 при х е (&i, ai) U (02,62).

Задача состоит в следующем: найти асимптотические формулы для собственных значений ит этой задачи. В случае гладких коэффициентов и одной простой точки поворота А.А. Дородницын [5] нашел первые три члена асимптотики. Параллельно с выполнением этой работы А.В. Дьяченко [6] показал, что в условиях работы [5] существует бесконечно много членов асимптотики и нашел явные рекуррентные формулы для последующих членов. Им же показано, что в случае нескольких точек поворота собственные значения распадаются в несколько серий, для каждой из которых имеется, по крайней мере, три члена асимптотики. Но оказывается, что в случае двух точек поворота можно выписывать бесконечно много членов асимптотики собственных значений, не разбивая их на серии, причем для коэффициентов асимптотических разложений можно указать явные рекуррентные формулы. Именно это является нашей целью. Для ее реализации мы используем метод, отличный от [5], [6]. В общем случае y" = {u2f + g)y, и> О V(h) = у(Ь2) = 0.

0.2) (0.3) главный член асимптотики был найден Ф.В. Аткинсоном и А.Б. Мингарел-ли [27]. Случай двух точек поворота для оператора, заданного на всей оси, рассматривался М. В. Федороюком [21], однако применяемый им метод не работает на конечном отрезке.

В случае, когда / знакопостоянна, асимптотические представления решений при больших и и ассимптотические соотношения для n-го собственного значения ип для краевых задач Штурма-Лиувилля при условии диф-ференцируемости коэффициентов уравнения достаточно большое число раз могут быть получены с точностью до величин порядка любой отрицательной степени номера собственного значения. Для этого часто применяется метод ВКБ (назван в честь Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна, после работ которых ВКБ приближения стали систематически применяться).

Для случая, когда / имеет особенности (нуль или полюс), обычно применялся один из двух методов: первый — метод склеивания решений, при котором выделяется окрестность особой точки и в ней отдельно находится решение, которое затем склеивается с решением в остальной части интервала. Этот процесс склеивания представляет известные затруднения, а, кроме того, не дает аналитической наглядности решения во всем интервале. Второй, наиболее часто используемый метод при нахождении асимптотических представлений, состоит в выражении решения конкретного уравнения через решения эталонного. Эталонное уравнение должно точно изображать особенности поведения коэффициентов: оно должно иметь нули и полюсы того же порядка, что и коэффициенты исходного уравнения. Например, в задачах с одной особенностью — точкой поворота первого порядка (простым нулем потенциала /) — в качестве эталонного уравнения используется уравнение Эйри, а ассимптотические решения выражаются через функции Эйри. Такой подход требует предварительного изучения специальных функций — решений эталонных уравнений. Это создает большие трудности, делая вычисления громоздкими.

Используемая нами методология основана на асимптотических формулах для решения уравнения (0.2) в комплексной плоскости, справедливых в канонических областях, ограниченных линиями Стокса. Нам придется следить за изменением асимптотических формул при переходе из одной канонической области в другую. Изменения в асимптотиках будут получены с помощью матриц перехода. Сформулируем основные результаты главы, относящиеся к задаче (0.2), (0.3). Их также можно найти в опубликованной работе автора [17].

Далее асимптотические равенства и уравнения будет удобно записывать в виде

00 -к Х(и) х exp J2 ски

Эта запись означает, что для всякого п > О х(и) = ехр J ски к + 0(и~К'1^4) I , при и -> +оо. U=o /

Теорема 1.1. При и —» +оо имеет место следующее асимптотическое уравнение на положительные собственные значенил задачи (0.2), (0.3) с двумя точками поворота:

Jliua

- ехР £ пь т ak dtj

7[а1,а2]

JyffdC

-At - 1 9 ,1 Г 5 (Я2 4 /' ai ~ 2 л/f 8 32>/F' = ^ + £ «J^-jj , S > О, ветвь у f (z) определяется условием ее положительности при z > а2, а 1{аиа2) — замкнутый контур, обходящий отрезок [а^аг] против часовой стрелки.

Теорема 1.2. Для положительных собственных значений рассматриваемой задачи Штурма-Лиувилля с двумя простыми точками поворота справедливо асимптотическое представление

00 Afc ит х Aim + Ао + —г, т-ь оо, k=i тк где числа As можно найти явно. В частности, с точностью до 0(т 3); ит = ^—--(ттт + ^ ) + \f-~f dt '

1 1 т2 2т

I J I 111- - 5 (/'Л м m2mJa2]{2fV* + 8fW 32 /5/2 J

1 Я2 I \ / 1 \ ааЛ-^ / Mi +Oy

112] >а2] /

Здесь ветвь f1/2 положительна при z > 0,2, а функция y/—f положительна на всем интервале (ai, аг), а замкнутый контур J[ai,a2] такой же как и в теореме 1.1.

Для определения остальных коэффициентов достаточно выписать асимптотическое разложение ит с неопределенными коэффициентами; подставить в (0.4) и разрешить получившееся уравнение, приравнивая слагаемые, стоящие при равных степенях т.

2. Во второй главе диссертации изучается семейство дифференциальных операторов

L(e)y = icy" + х2у, е > О, (0.5) на отрезке [—1,1] с краевыми условиями у(-1) = у(1) = 0. (0.6)

Рассматриваемая задача является моделью для известного в гидродинамике уравнения Орра-Зоммерфельда с профилем Пуазейля. Некоторые аргументы, поясняющие, что спектральная задача (0.5), (0.6) может служить моделью для уравнения Орра-Зоммерфельда, приведены в [36]. При этом роль малого параметра играет число е = 1/R, где R — число Рей-нольдса, которое обратно пропорционально вязкости жидкости. Таким образом, малым значениям параметра е соответствует уравнение движения жидкости, близкой к идеальной.

Мы покажем, что при малых значениях е собственные значения операторов L(e) концентрируются около некоторых кривых в комплексной плоскости, вид которых укажем явно. Далее мы найдем асимптотические формулы распределения собственных значений, равномерные по е, и укажем функции распределения собственных значений вдоль критических линий.

Подобная задача, когда вместо функции q{x) = х2 в уравнении участвует функция q{x) = х, изучена в работе [23], где предельное множество, вдоль которого концентрируются собственные значения, названо спектральным галстуком. Граф критических линий в изучаемой задаче для q(x) = х2 по форме также напоминает галстук, но только несимметричный. Будем называть его предельным спектральным графом.

Как будет показано, форма предельного спектрального графа для профиля q(x) определяется топологией графов Стокса функции i(q(z) — Л). В общем случае определение критических линий концентрации собственных значений — сложная задача. Нелегкой эта задача является даже для конкретной функции q(x) = х2.

Сколь нам известно, модельная задача (0.5), (0.6) появилась в связи с изучением задачи Орра-Зоммерфельда относительно недавно. В этой связи нам известны работы Редди, Хеннингсона и Шмидта [36] и Трефезе-на [38]. Однако, только в недавней работе автора и Шкаликова [19] дано строгое доказательство того, что что спектральные портреты при е —У 0 модельной и реальной задач совпадают. Некоторые предложения о поведении спектра несамосопряженных задач типа (0.5), (0.6) с малым параметром для случая всей оси были получены в работе Днестровского и Костомарова [4], но полного описания спектра таких задач как для бесконечного, так и для конечного интервала ни для какой конкретной функции q{x) не было получено. Результаты второй главы основаны на работе автора и Шкаликова [18], где было проведено полное исследование спектра задачи (0.5), (0.6) при е —ь 0. Независимо Аржанов и Степин [13] (см. также [14]) получили часть результатов по задаче (0.5), (0.6), касающихся информации о собственных значениях вблизи верхних усов. Однако, работы [13], [14] существенно отличаются от [18] и настоящей работы как по методам, так и по содержанию. В частности, отличия состоят в следующем:

1) Мы получаем полный портрет поведения собственных значений при £ —У 0 и явно находим весь предельный спектральный граф, а не только его часть.

2) Помимо локализационных формул мы находим функции распределения собственных значений на предельных спектральных кривых.

3) Мы решаем существенно более сложную задачу на отрезке [—1,1], не сводя ее к отрезку [0,1], выделяя четную и нечетную составляющие. Скажем об этом подробнее. Изучение задачи (0.5) на отрезке [0,1], например, с краевыми условиями у[0) = у{ 1) = 0 является существенно более простой задачей, поскольку на отрезке [0,1] функция х2 монотонна. Для монотонных функций профиль "верхних усов" спектрального графа был ясен еще из работы [25], а для специального общего класса монотонных функций в [37] был установлен результат о форме предельного спектрального графа и найдены формулы распределения собственных значений вдоль критических линий. Этот результат содержит случай q{x) — х2 как частный. Но если вместо краевых условий (0.6) рассмотреть, например, условия у'{—1) = у( 1) = 0, то задача уже не имеет симметрии и ее нельзя разбить на две задачи на отрезке [0,1]. Однако, развиваемый нами метод без изменений реализуется на случай несимметричных краевых условий. Вид предельного спектрального графа для задачи (0.5) на несимметричном отрезке показывает, что рассматриваемая нами задача сложнее задачи с монотонными профилями достаточно общего класса.

4) Наконец, в этой работе мы решаем не только модельную, но и саму задачу Орра-Зоммерфельда с профилем Пуазейля.

Отметим, что теоремы в форме функций распределения нужны нам для решения задачи Орра-Зоммерфельда, так как для этой задачи локализа-ционные формулы вывести не представляется возможным, а формулы распределения выполнены.

Следующие утверждения представляют основные результаты главы 2.

Положим

71 = {A G П | ~ < arg А < 0, Re^1 J^e - \d() = о}, (0.7)

7о = [0,гое~г7Г/4], где — точка пересечения с 71, tq > 0, (0.8)

Too = {л е п I ~ < arg А < Rер/Д - \d() = о}, (0.9)

7 = 7о U 7i U 7оо. (0.10)

Теорема 2.1. Пусть ^y(S) — 5-окрестностъ множества 7. Тогда для любого 5 > 0 найдется число £q > 0 такое, что все собственные значения оператора L{e) при е < £q лежат внутри 7(£).

В заключительном разделе главы изучается поведение спектра при е —У 0. Теорема 2.1 усиливается, что приводит к такому результату:

Теорема 2.2. Пусть 7 — 70U71 U 700 - предельный спектральный граф оператора L(e). Для любого 5 > 0 существуют постоянные С > О, £q > О такие, что все собственные значения оператора Ь{ё) лежат при £ < £q в объединении С£-окрестности предельного графа 7 и 6-окрестностей точек 0, 1 и точки-узла гое~г7Г/4. При этом все собственные значения, лежащие вне 6-окрестностей указанных точек, лежат в С £-окрестностях Ык точек Акоторые определяются соотношениями

Хк = (2к + Хк € 7о,

А*-нули = - тг/4), Л* € 71,

Хк - нули еш!А у/С2 - XdC = у/ёпЫ, Хк 6 7оо

Д/u Хк Е 7о U 7оо окрестности Ык содержат по одному собственному значению, а для Xk Е 71 - по два с учетом кратности.

Таким образом, собственные значения концентрируются около критических линий, приближаясь к ним асимптотически и в пределе совпадают с ними. В связи с этим во второй и последующих

главах будет рассматриваться так называемая предельная спектральная функция распределения, определение которой мы приведем ниже.

Определение 0.10. Функция iV(A), определенная на

Т = 7\{Ау}, где {Aj}; — точки пересечения критических линий и конечные точки графа на вещественной оси, называется предельной спектральной функцией распределения, если для любой пары точек rji, щ, принадлежащей связной компоненте Т, найдутся числа С > 0 и £о > 0 такие, что в окрестности Т радиуса Се интервала (7/1,772) С Т при £ < £о число точек спектра будет равно

ЩТ) - IN(m) - N(m)I + 0(1), е О

В заключении главы будет доказана теорема о распределении собственных значений изучаемой задачи:

Теорема 2.3. Предельная спектральная функция (в смысле определения 0.10) для каждой из критических кривых предельного спектрального графа представляется в виде

1) В случае А £ 70 •'

2) В случае А Е 71:

3) В случае А Е 7ооттуе -/-i

3. В третьей главе с помощью метода, разработаного в предшествующих

главах, изучается динамика спектра семейства дифференциальных операторов

L(s)y = iey" + q(x)y, £ > О на отрезке [a, b] с краевыми условиями у(а) = у(Ъ) = О при е —> 0, где q — уже произвольный многочлен второго порядка.

Цель главы — прояснить природу предельных спектральных графов.

Как мы уже отмечали, случай монотонного на отрезке профиля q{x) существенно более простой. В этом случае предельный спектральный граф состоит из трех кривых, напоминающих по форме "спектральный галстук". Относительно просто в этом случае находятся и формулы распределения собственных значений. Более сложен случай, когда вершина соответствующей параболы q(x) находится внутри рассматриваемого отрезка. Кроме того, если вершина параболы q{x) проецируется на центр отрезка, то линейной заменой переменных этот случай приводится к случаю q(x) = х1 на [—1,1]. В связи с этим, в третьей главе мы рассмотрим только несимметричные квадратичные профили.

Заранее отметим, что причина схожести топологии предельных спектральных графов для симметричного случая х2 и случая с произвольной монотонной функцией на отрезке (представление в виде объединения трех кривых) случайна: уже для произвольного многочлена второго порядка

А) = ^ А.

Рис. 0.1. Разбиение П критическими линиями.

0 а2 ъ

Пи 7bструктура графа усложняется, хотя внимательный читатель отметит, что даже для симметричного случая q(x) = х2 природа конечных критических линий различна, в то время как для монотонной функции природа конечных линий одинакова.

Как будет показано, исходная задача сводится к следующей: еу" = i(z2 - А)у, у{а) = у(Ь) = 0, где а < 0 < b и |а| < |Ь|.

Введем две кривые в П, где

П = {Л 6 C|ming(a;) < Re Л < maxq(x), ImA < 0} : [а,Ъ] [а,Ь]

7о = {Л G П| Re J = 0}, = {XeU\Ree^ J = 0}.

Как будет показано далее, они вместе с 70 = {Л 6 C|argA — — 7г/4) разбивают П на 6 составляющих: Пи, Пхп Щг, П2Г, И31, Пзг (смотри рисунок 0.1).

Далее рассмотрим кривую в области Щг, задаваемую соотношением

Ree^ J - XdC = 0.

Обозначим Ai — точка пересечения 7а с 7а и Аг — точка пересечения 7 с 7ъ

Теорема 3.1. Рассмотрим следующие кривые:

Тогда для всякой 5-окрестности 7 найдется £q > О такое, что при £ < £q все точки спектра будут содержаться в этой окрестности.

Следующая теорема дает нам локализационные формулы для собственных значении:

Теорема 3.2. Пусть 7 = 70 U 7а U U jb U 7оо — предельный спектральный граф оператора Ь{е). Для любого S > О существуют постоянные С > 0; £о > такие, что все собственные значения оператора L(e) лежат при е < £$ в объединении С£-окрестности предельного графа 7 и S-окрестностей точек 0, а2, Ь2 и точек-узлов Ai и X2. При этом все собственные значения, лежащие вне 6-окрестностей указанных точек, лежат в С£-окрестностях £4 точек Xk, которые определяются соотношениями

70 = [Mi],

7а 7а ' 7а = {А G %| argA > argAi}, 76 = {А € 7б| argA > argА2}, кроме того, введем loo = {A € Пи| Ree*'" / у/С2 - X dQ = 0}.

Обозначим

7 — 7о U 7а U 7а U7bU7oo.

Xk = (2 к +

Для каждого Л^ окрестности Uk содержат по одному собственному значению.

В главе приведена классификация критических линий, составляющих предельный спектральный граф.

1) Характеризуется тем, что одна из точек а или b находится на линии Стокса простого комплекса, а вторая — в той части комплексной плоскости, разбиваемой данным комплексом на три части, которая не содержит эту линию Стокса, либо на соседней линии Стокса. В нашем случае такими являются кривые: 7а, 7~, 7ь

2) Для всех точек Л кривой данного типа графы Стокса являются сложными, а пара точек а и Ь не лежит в одной канонической области относительно графа. В нашем случае такой кривой является 70.

3) Характеризуется тем, что для всех точек Л такой кривой граф Стокса является простым, пара точек а и b лежит в одной канонической области, а сама кривая удовлетворяет уравнению

Ree^ J УС2 — Ас^С = Ree^ / л/Л л/А

Применительно к рассматриваемому случаю такой является кривая 700.

В заключении главы будет доказана теорема о распределении собственных значений изучаемой задачи:

Теорема 3.3. Предельная спектральная функция (в смысле определения 0.10) для каждой из критических кривых предельного спектрального графа представляется в виде

1) В случае A 6 70 •'

ЛГ(Л) = ^el-Л.

2) В случае А СЕ 7а:

N(\\ =

3) В случае А € 7а :

ЛГ(А) = -W'' I \/С2-АЙС

4) В случае А € 7&:

W(A) = J-е"*' / л/С2 - AdCтгу^ J

5) В случае А € 7оо •'

JV(A) = / \/С2 - А^С

4. Четвертая, заключительная,

глава диссертации посвящена хорошо известной в гидромеханике спектральной задаче, называемой задачей Орра-Зоммерфельда: q(x) - X)(D2 - а2)у(х) - q"{x)y{x) = ^(Я2 - а2)У*) (0.11)

-1) = 2/4—1) = У(1) = У'Щ = 0- (0-12)

Здесь D = d/dx, а — волновое число, R — число Рейнольса, характеризующее вязкость жидкости, a q(x) — профиль скорости течения жидкости в канале \х\ < 1. Эта задача получается после линеаризации уравнений Навье-Стокса для плоско-параллельных течений между двумя фиксированными стенками. Более полную информацию об этой задаче читатель можно найти в монографиях Драйзина и Рида [29], Дикого [3], обзоре Редди, Хеннингсона и Шмидта [36].

Хорошо известно, что спектр задачи Орра-Зоммерфельда на конечном интервале дискретен. Цель 4 главы диссертации — выяснить характер поведения собственных значений этой задачи при больших числах Рей-нольдса R (что соответствует малой вязкости жидкости).

В литературе наиболее часто изучались два стационарных профиля скорости: q(x) = х и q(x) = х2. Первый называется профилем Куэтта, второй — профилем Пуазейля (во втором случае часто пишут q(x) = 1 х , а не q{x) = х2, но это не меняет существа дела: спектр задачи для q(x) = х получается симметричным отражением относительно прямой Re Л = 1/2 спектра для q(x) = 1 — ж2). Мы также ограничимся рассмотрением этих двух классических случаев.

Наряду с задачей (0.11), (0.12) рассмотрим соответствующую ей модельную задачу

-is2y" - q(x)y = -Ay, е = (аКГ1'2 (0.13) у{-1) = у(1) = 0. (0.14)

До недавнего времени анализ поведения собственных значений как модельной задачи (0.13), (0.14), так и оригинальной задачи (0.11), (0.12) проводился с помощью компьютерных вычислений (см., например, [29], [36], [35], [38]). Здесь мы также приводим рисунки, на которых изображены собственные значения для обеих задач. Соответствующие рассчеты были получены с помощью программы реализованной Нейманом-заде и Шкаликовым [10]. Программа расчитывает собственные значения методом Галеркина, но выбор базиса для задачи (0.11), (0.12) проводится особым образом (не в пространстве I/2(—1,1), а в пространстве Соболева Hlu(—1,1), где индекс U указывает, что функции этого пространства подчинены краевым условиям (0.12)).

Рис. 0.2. Спектр модельной задачи (слева) и задачи Орра-Зоммерфельда (справа) для профиля Куэтта, R = 3000, а = 1.

Аналитическое объяснение поведения собственных значений модельной задачи при е —> 0 было дано во второй главе диссертации. В 4 главе мы покажем, что предельные спектральные кривые для задачи (0.11), (0.12) остаются такими же как и в модельной задаче.

Рис. 0.3. Спектр модельной задачи (слева) и задачи Орра-Зоммерфельда (справа) для профиля Пуазейля, Ц = 5000, а = 1. Собственные значения, лежащие вблизи луча argA = —7г/4 имеют кратность 2 (в асимптотическом смысле).

В этой связи отметим важную работу Моравец [32], где показано, что при q{x) = х собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков

-l,-i/V3], Н/^3,1], [—г J л/3, —гоо], хотя в [32] подчеркивается, что не удается получить информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков. Для q(x) — х2 предположения работы [32] не реализуются.

В наших доказательствах мы существенно используем идеи из монографии Дикого [3], которые, в свою очередь, опираются на методы, развитые Гейзенбергом, Вазовым, Лином, Моравец и др. (см. библиографию в [29]).

Приведенные здесь портреты локализации собственных значений модельной и реальной задач показывают, что для модельной задачи концентрация собственных значений вдоль предельных кривых ярко выражена, но это не так для исходной задачи Орра-Зоммерфельда. Концентрация вдоль верхних "усов" происходит существенно медленнее (из рисунков ее трудно обнаружить), при этом может возникать явление интерференции: раздвоение предельной кривой на две, которые постепенно сливаются в одну.

Основной результат главы заключается в следующей теореме:

Теорема 4.1. Пусть q(x) = х (случай течения Куэтта). Считаем, что волновое число а > 0 фиксировано. Пусть и у- — отрезки соединяющие точку — г/\/3 с точками 1 и — 1, соответственно, а 7оо — луч, отрицательной мнимой оси, выходящий из —i/y/З. Тогда для любого ё > 0 найдется число Rq = Rq(6), такое, что при R > Rq весь спектр задачи Орра-Зоммерфелъда (0.11), (0.12) лежит внутри ё-окрестности множества

7 = 7+ U 7 U 7оо

Пусть q(x) = х2 (случай течения Пуазейля), а волновое число а > О фиксировано. Пусть

71 = {Л е П | ~ < argA < 0, Ке(е*г j^e -\d() = о},

7о = [0, гое~|7Г/4], где г$е~ш!А— точка пересечения с 71, го > О,

7оо = {а 6 п i ~ < argA < - J, Re(e^/11 у/С2 - X dc) = о}.

Тогда для любого 5 > 0 найдется число До = Ro{$) такое, что при R > Rq весь спектр задачи (0.11), (0.12) лежит внутри ё-окрестности множества

7 — То U 7i U 7оо

0.1. Дополнение

Определение 0.11. Пусть zq — некоторая точка поворота функции f. Рассмотрим Q — некоторую односвязную область, не содержащую точек поворота f, zq G Введём в области Q некоторую ветвь функции Sn(z,zo) = f*o \/f(0 d(. Интегрирование предполагается по контуру, целиком лежащему в Q, за исключением точки zq.

Положим Г(0, zq) = {£ £ О, | Re<S"w(£, zo) = 0}. Отметим, что множество Г(П,2Го) не зависит от выбора ветви S. Рассмотрим

Г(20) = игры, п где объединение берётся по всем областям Q, которые односвязны и не содержат точек поворота f; zq 6 д£1. Множество Г(го) называется комплексом Стокса, соответствующим точке поворота zq.

Определение 0.12. Линией Стокса, исходящей из точки поворота zq, принадлежащей комплексу назовём любую аналитическую кривую с началом в точке zq и концом либо в оо, либо в некоторой точке поворота (возможно, в самой исходной точке).

Определение 0.13. Графом Стокса называется множество г = ип>0), где объединение берётся по всем точкам поворота функции f.

Определение 0.14. Всюду в работе функция S рассматривается в одно-связных областях. Контур интегрирования предполагается лежащим в области определения S, а точка zo — на её границе. Выбор одной из двух ветвей S в областях такого типа либо оговаривается в утверждениях, либо не является существенным, в связи с чем опускается в формулировках.

1. Булдырев B . C . Славянов С Ю . Равномерные асимптотические разложения для решений уравнения типа Шредингера с двумя точками поворота. Вестник ЛГУ 1968 22 В.4. с.70-84

2. Дьяченко A . B . , Шкаликов А.АО модельной задаче для уравнения Орра-Зоммерфельда с линейным профилем. Функциональный анализ и его приложения. Т.36 №4 (2002) ГЛАВА 4 ЛИТЕРАТУРА 105

3. Евграфов М.А. Федорюк М.В.Асимптотика решений уравнения w" — p{z,X)w = О при Л -> со б комплексной плоскости. УМН 1966г. 21 в. 1., с. 3-50. 9. Марченко М.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев. Наук, думка 1977г.

4. Труды МИЭМ, 1969, В.5, с.153-191.

5. Степин C A . Аржанов A .A . ,Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера. Доклады РАН, 2001 т.378, №1, с. 18-21

6. Степин C A . Аржанов A . A . ,Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера. Депонировано ВИНИТИ 15-14В, (2001)

7. Туманов Н., Шкаликов А.А.О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфелъда с профилем Пуазейля. Известия РАН Т.бб №4 (2002)

8. Atkinson F . V . Mingarelli А.В.Asymptotic of the number of zeros and of eigenualues of general weight Sturm-Liouville problems. J . reine ang. Math., 375., (1987) 380-393. ГЛАВА 4 ЛИТЕРАТУРА 107