Интегральные представления и коэрцитивные оценки на группах Гейзенберга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Интегральные представления функций классов Соболева на областях групп Гейзенберга

§1.1. Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях ИР, с помощью первых горизонтальных производных

§ 1.2. О горизонтальных полиномах на грушах Гейзенберга

§1.3. Интегральные представления функций, заданных в областях групп Гейзенберга, с помощью горизонтальных производных произвольного порядка

§ 1.4. Теорема о плотности

§ 1.5. О некоторых классах областей на группах Гейзенберга

Глава 2. Коэрцитивные оценки

Глава 3. Теоремы вложения

§3.1. Обобщенные неравенства Пуанкаре

§ 3.2. О продолжении функций классов Соболева

§ 3.3. Теоремы вложения

Глава 4. Задача Фон-Неймана для субэллиптических систем на группах Гейзенберга

§4.1. Следы функций на границах С2-гладких областей

§4.2. Постановка и решение задачи Фон-Неймана для субэллиптических систем на группах Гейзенберга

0.1. Известно, что интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств, имеют значительные применения в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории кубатурных формул и др. вопросах. Начало интенсивного изучения этих направлений было заложено в фундаментальных работах С. Л. Соболева 1936-1938 гг. Теория пространств функций с обобщенными производными нашла свое отражение в книге самого С. Л. Соболева [1], а также в книгах И. Нечаса [2], С. М. Никольского [3], И. М. Стейна [4], О. В. Бесова) В. П. Ильина и С. М. Никольского [5], В. М. Гольдштей-на и Ю. Г. Решетняка [6], В. Г. Мазьи [7], Д. Р. Адамса и Л. И. Хед-берш [8], В. И. Буренкова [9], Ю. Г. Решетняка [10] и в монографиях других авторов. По поводу различных способов вывода интегральных представлений см. также работы [11-17].

Актуальность теории пространств Соболева на группах Гейзен-берга обусловлена многочисленными приложениями к исследованию свойств решений субэллиптических дифференциальных уравнений, к изучению квазиконформного анализа и ко многим смежным вопросам, см., например, [18-24]. Группы Гейзенберга ЕР представляют из себя наиболее известный, во многом модельный, случай пространств Карно — Каратеодори. Последние суть гладкие многообразия с выделенным касательным подрасслоением, удовлетворяющим некоторым алгебраическим условиям. Векторные поля упомянутого подрасслоения называют горизонтальными. Кривые, у которых касательные вектора содержатся в выделенном подрасслоении, также называют горизонтальными. Расстояние Карно — Каратеодори между двумя точками равно нижней грани длин горизонтальных кривых, соединяющих эти точки. Метрика Карно — Каратеодори не эквивалентна римановой метрике. Изучению геометрии пространств Карно — Каратеодори посвящены работы М. Громова [25, 26], А. Нагеля, Б. М. Стейна, С. Вэйнгера [27], П. Пансу [26, 28] и др. авторов.

Классы Соболева функций, заданных в областях пространств Карно — Каратеодори, определяются через производные вдоль векторных полей из выделенного подрасслоения. Развитие теории таких функциональных пространств стимулировалось изучением свойств регулярности субэллиптических дифференциальных уравнений. В частности, доказательство неравенств Пуанкаре и Соболева для функций, заданных в шаре пространства Карно — Каратеодори было необходимо для обобщения итерационной техники Мозера. С этим направлением исследований связаны работы Д. Джерисона [29-31], Б. Франчи [32-37], Р. JI. Уидена [33, 36, 37], JL Капони [38], Д. Даниэлян [39, 40], Н. Гарофалло [38, 40-42], Д. М. Нье [40, 42] П. Хайлаша [43, 44], Ю. Хэйнонена [45], П. Коскела [43, 45], Г. Лу [36, 37, 46-49], О. Мартио [44], С. К. Водопьянова [50-58], А. В. Грешнова [54-56, 59] и др. авторов.

В настоящее время в некоторых работах интегральными представлениями функций, определенных в пространствах Карно — Каратеодори, называют неравенство вида где х (Е Б (г, г), а (?2 и Сз не зависят от ж, г и /. Из этого соотношения выводятся неравенства Пуанкаре и Соболева. Однако многие более тонкие результаты не могут быть получены с помощью упомянутого неравенства. К таким результатам относятся, например, коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов, которые выражаются в виде линейных комбинаций производных некоторого фиксированного порядка вдоль векторных полей из стандартного базиса горизонтального подрассл оения. В дальнейшем будем называть такие операторы линейными однородными дифференциальными операторами с постоянными в смысле стандартного базиса горизонтального подрассл оения коэффициентами.

Известно, что коэрцитивные оценки являются важным инструментом при изучении систем уравнений математической физики. Обычно в литературе под коэрцитивными оценками для дифференциального оператора понимают либо неравенство dy

B(z,C3r)

IMk*(i» < C(Ü,Q)(\\Qu\\Lp(n) + |MUl(n)) для произвольной вектор-функции и, либо неравенство для финитной вектор-функции. В 1907 г. Корн [60] доказал справедливость таких неравенств для оператора

Эх = (тензор напряжения) при р = 2. Значительно позже, в работах Н. Ароншай-на и К. Т. Смита [61, 62], а также, в работах О. В. Бесова [63] такие неравенства были доказаны для достаточно широкого класса операторов, действующих на функции, заданные в областях евклидовых пространств. См. также [64, 65, 66].

Для операторов и д2 = 1 (Ъи + (Уи)т) - - Яр Чи £ ть

Ю. Г. Решетняк [10, 14] получил более сильный вариант коэрцитивных оценок. Эти неравенства были использованы в квазиконформном анализе для доказательства теорем устойчивости [10].

В данной работе доказывается именно усиленный вариант коэрцитивных оценок для линейных однородных дифференциальных операторов с постоянными в смысле стандартного базиса горизонтального подрасслоения группы Нп коэффициентами, с конечномерным ядром.

В работе использованы идеи и классические подходы к теории пространств функций с обобщенными производными, заложенные в работах С. Л. Соболева, О. В. Бесова, В. И. Буренкова, В. Г. Мазьи, Ю. Г. Решетняка и др.

Цель работы состоит в том, чтобы

1. Вывести интегральные представления типа Соболева функций, заданных в областях групп Гейзенберга.

2. Доказать коэрцитивные оценки и ряд других неравенств, связывающих различные нормы, заданные через горизонтальные производные.

3. Применить полученные неравенства для доказательства теорем вложения и исследования свойств решений субэллиптических систем дифференциальных уравнений.

В диссертации получены следующие результаты.

1. Для точек области О' С Н** выведены интегральные представления типа Соболева функций, заданных в области П С ВР, при условии, что область О' звездна в области О относительно некоторого шара.

2. Показано, что любая ограниченная область О, удовлетворяющая условию конуса на группе Гейзенберга, может быть представлена в виде объединения конечной совокупности открытых множеств Щ, звездных в области П относительно некоторых шаров. Приведены новые и известные примеры областей, удовлетворяющих условию конуса и (е, <£)-условию на группах Гейзенберга.

3. Выведены коэрцитивные оценки для вектор-функций, заданных в ограниченных областях И™, удовлетворяющих условию конуса.

4. Доказаны обобщенные неравенства Пуанкаре для функций, заданных на группах !Р.

5. Построены операторы продолжения вектор-функций классов Соболева, заданных в областях групп Гейзенберга.

6. Доказаны аналоги классических теорем вложения для пространств функций Соболева, заданных в областях групп ИР.

7. Доказана теорема существования и единственности слабого решения задачи Неймана для ряда линейных субэллиптических систем.

Результаты диссертации могут применяться в теории систем субэллиптических дифференциальных уравнений, теории функциональных пространств, квазиконформном анализе на группах Карно, и др. вопросах.

0.2. Приведем основные определения используемые в работе. Точки группы ЕР отождествляются с точками пространства М2п+1. Групповое умножение определяется формулой х'ух", Х2п+1) • (у', УУ2п+\) (х' + у\х" + у", Х2п+1 + У2П+1 - 2(ж7, у") + 2{х",у')), где х' = (Ж1,.,ЖТС), х" = (жп+1,.,ж2п), у' = (Уъ • • • ,Уп), у" =

Уп+1, - • • ,У2п), (х',у") = Х1Уп+1 +----1- ХпУ2п

Метрика Гейзенберга задается следующим образом: р(р, <?) = где

К®',®2»+1)| = + ®"Я)2 + ®1„+1)1/4.

Левоинвариантные векторные поля Х^ = + 2хг+пдх® ^, г = 1,., п, Хг = о^т — 2х1-п-к~г-—, г = п + 1,., 2п, суть стандартный базис горизонтального подрасслоения. Вместе с векторным полем Х2П+1 — дх®п+1 они образуют стандартный базис алгебры Ли, соответствующей группе ЕР. Для них имеют место только следующие нетривиальные коммутационные соотношения:

0.2) [X,-, Ху+п] = -4Х2п+1, 3 = 1

Нетрудно видеть, что отображение левого сдвига 1Х : у ^ х • у есть диффеоморфизм К2п+1 на М2п+1, причем det[В1Х) = 1.

Через V будем обозначать размерность Хаусдорфа группы ШР относительно метрики Гейзенберга, равную 2п + 2.

Семейство отображений ^ : (V, ж", Х2П+г) ^ ¿2Ж2п+1)5 > 0, называют однопараметрическим семейством растяжений. Очевидно, что =

Биинвариантная мера Хаара на группе И" совпадает с мерой Лебега в пространстве Е2п+1. Легко видеть, что = для всякого измеримого множества 5 С И".

Произвольному (2п + 1)-мерному мультииндексу а сопоставим число \oc\h = «1 Ч-----1- «2п + 2ск2«+1- Через Ха обозначим дифференциальный оператор X"1. Х^+х • Рассмотрим следующие нормы:

Н/1к*(п) = XI 11ха/1иР(^)'

N н<к

1«и=ь

11/11= ||/|ир(п) + X) \\хаПьРт

Для произвольного линейного однородного дифференциального оператора порядка к с постоянными в смысле стандартного базиса горизонтального подрасслоения коэффициентами рассмотрим нормы ll/llwQ,p(n) = ll/IUp(íi) + IIQ/IIlp(íí),

II/II vQ,Pm = II/II vf-1^) + 11Ф/11ьр(п)

Пространство W* (П) определяется как пополнение множества {/ £ С°°(0) | ||/||w*(Q) < по норме ||/||w^(fí)- Аналогично определяются пространства Lp(Q), Vp(Q), WqíP(ü), VqíP(ü).

Пространство Vq,p(ÍÍ) есть пополнение пространства Cg°(Q) по норме || • ||vp*(n).

Пространство Cs(0) состоит из функций, у которых горизонтальные производные порядка [s] равномерно непрерывны по Гёльде-ру в смысле метрики Гейзенберга с показателем s — [s] ([s] — целая часть s).

Приведем определения основных классов областей, рассматриваемых в настоящей работе.

Область О С ИР удовлетворяет условию конуса с постоянной R > О, если для каждой точки ж £ П найдется шар Вх С О такой, что конус {ж • ¿«(ж-1 • у) | у £ Вх, 0 < t < 1} содержится в области О, причем радиусы шаров Вх ограничены в совокупности снизу положительной постоянной R. Эквивалентное определение приведено в [38].

Область О С ШР удовлетворяет ясильному условию Липшица", если любая точка ж0 £ дС1 имеет окрестность Uxo, такую, что в некоторой декартовой системе координат множество Ux о П О может быть представлено неравенством хм > fxo(x\,. ,xn-i) (N = 2n + 1), где либо функция fx о удовлетворяет условию Липшица с постоянной L(fxо) и конус xN - х% > L(fxо)||(ж1,., xN-í) - (ж?,. . , имеет непустое пересечение с горизонтальной плоскостью, привязанной к точке ж0, либо функция fxо принадлежит классу Cljl{Uxo).

Область О С ЕР удовлетворяет (е, 8)-условию, если для любых точек ж, у £ О. таких, что р(ж, у) < S, найдется спрямляемая в смысле метрики Гейзенберга кривая у соединяющая точки ж и у, для которой выполняются неравенства

7) < ~p(x->y)i dist(z,dQ) > emin(p(x,z),p(y, z)) для всех z £ 7, где ¿(7) — длина кривой 7 в смысле метрики Гейзенберга.

Будем говорить, что открытое множество и С ИР звездно в области О относительно некоторого шара В (с О, если для любых точек х £ и, у £ В точка х • <5* (ж-1 • у) принадлежит области П для всякого ¿€(0,1].

Горизонтальными полиномами степени не выше I будем называть функции, у которых все горизонтальные производные (т. е. производные вдоль горизонтальных векторных полей Х^ % — 1,., 2п) порядка I + 1 тождественно равны нулю.

0.3. Опишем кратко структуру и содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

2. Necas J. Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques. Prague, 1967.

3. Никольский С. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1 изд. 1969, 2 изд. 1977.

4. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Мир, 1973.

5. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

6. Гояьдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

7. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

8. Adams D. R., Hedberg L. I. Function Spaces and Potential Theory. Springer, 1996.

9. Burenkov V. I. Sobolev Spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik, Stuttgart-Leipzig, B. 137, 1998.

10. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1996.

11. Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P. On spaces of potentials connected with Lp classes // Ann. Inst. Fourier. V. 13, 1963. P. 211-306.

12. Бесов О. В., Ильин В. П. Естественное расширение классов областей в теоремах вложения //Мат. сб. Т. 75(117), №, 1968. С. 483-495.

13. Smith К. Т. Formulas to represent functions by their derivatives // Math. Ann. V. 188, №1, 1970. P. 53-77.

14. Решетняк Ю. Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций // Сиб. Мат. журн. Т. 12, №2, 1971. С. 420-432.

15. Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом операторов // Тр. МИАН СССР. Т. 60,1972. С. 292-299.

16. Буренков В. И. Интегральное представление Соболева и формула Тейлора // Тр. МИАН СССР. Т. 131, 1974. С. 33-38.

17. Перепелкин В. Г. Интегральные представления функций, принадлежащих весовым классам С. Л. Соболева в областях и некоторые приложения // Сиб. мат. журн. Т. 17, JM, №, 1976. С 119-140, 318-330.

18. Goodman R. W. Nilpotent Lie Groups: structur and applications to Analysis. Springer-Verlag, 1976.

19. Coifman R., Weiss G. Analyse harmonique non-commutative sur certain espaces homogenes. Berlin etc.: Springer, 1971. (Lecture Notes in Math.; 242).

20. Folland G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups // Arkiv for Mat. 1975. V. 13. Ж 2. P. 161-208.

21. Folland G. В., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups // Math. Notes 28. Princ. Univ. Press, 1982.

22. Koranyi A., Vagi S. Singular integrals in homogeneous spaces and some problems of classical analysis//Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa. CI. Sci. (4). 1971. V. 25. P. 575648.

23. Koranyi A. and Reimann H. M. Foundations for the Theory of Quasiconformal Mappings on the Heisenberg Group // Advances in mathematics, V. Ill, №1, 1995. P. 1-88.

24. Rothschild L. P., Stein E. M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

25. Gromov M. Carnot — Caratheodory spaces seen from within. Bures-sur-Yette, 1994. 221 p. ( Preprint/ fflES/M/94/ 6).

26. Gromov M., Pansu P. Rigidity of Lattices: An Introduction // Geometric Topology: Recent Development. Berlin etc.: Springer, 1991. (Lecture Notes in Math.; 1504).

27. Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103-147.

28. Pansu P. Métriques de Carnot — Caratheodory et quasiisométries des espacies symétriques de rang un // Annals of Math. 1989. V. 129. P. 1-60.

29. Jerison D. The Poincaré inequality for vector fields satisfying Hôrmander's condition // Duke mathematcal journal, V. 53. №. 2,1986. P. 503-523.

30. Jerison D., Lee J. M. Extremals for the Sobolev inequality on the Heisenberg group and the CR Yambe problem // J. Amer. Math. Soc., V. 1, 1988. P. 1-13.

31. Jerison D., Sanchez-Calle A. Subelliptic, second order differential operators // In: Complex analysis, III, Lectur Notes in Math., 1277, Springer, 1987.

32. Franchi B. Weighted Sobolev — Poincaré inequalities and pointwise inequalities for a class of degenerate elliptic equations // Trans. Amer. Math. Soc., V. 327, 1991. P. 125-158.

33. Franchi B., Gutiérrez C. E., Wheeden R. L. Weighted Sobolev — Poincaré inequalities for Grushin type operators. // Comm. Partial Differential Equations, V. 19, 1994. P. 523-604.

34. Franchi B., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of non uniformly elliptic operators with measurable coefficients. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, V. 10, 1983.

35. Franchi B., Lanconelli E. An embedding theorem for Sobolev spaces related to non smooth vector fields and Harnack inequality // Comm. Partial Differential Equations, V. 9, 1984. P. 1237-1264.

36. Franchi B., Lu G. and Wheeden R. L. Representation formulas and weighted Poincaré inequalities for Hôrmander vector fields // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. V. 45, №2, 1995. P. 577-604.

37. Franchi B., Lu G. and Wheeden R. L. A relationship between Poincaré type inequalities and representation formulas in spaces of homogeneous type // Int. Mat. Res. Notices, №1, 1996. P. 1-14.

38. Capogna L., Garofalo N. Boundary behavior of nonnegative solutions of subelliptic equations in NTA domains for Carnot — Caratheodory metrics // J. Fourier Anal. Appl. V. 4, №4-5, 1998. P. 403-432.

39. Danielli D. Formules de representation et theoremes d'inclusion pour des operateurs sous-elliptiques // C. R. Acad. Sci. Paris, t. 314, Série 1, 1992, p. 987-990.

40. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D. M. Trace inequalities for Carnot Caratheodory spaces and applications // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Serie 4, V. 27,1998. P. 195252.

41. Garofalo N., Lanconelli E. Existence nonexistence results for semilinear equations on the Heisenberg group // Indianna Univ. Math. J., V. 41, 1992. P. 71-98.

42. Garofalo N., Nhieu D.-M. A general extension theorem for Sobolev spaces arising from system of non-commuting vector fields. Preprint. 1996.

43. Hajlazs P., Koskela P. Sobolev met Poincaré. Memoirs of the American Mathematical Society, V. 688, 2000.

44. Hajlasz P., Martio O. Traces of Sobolev functions on fractal type sets and characterization of extension domains. // J. Fane. Anal., V. 143, 1997. P. 221-246.

45. Heinonen J., Koskela P. Weighted Sobolev and Poincaré inequalities and quasireg-ular mappings of polinomial type. // Math. Scand., V. 77, 1995. P. 251-271.

46. Lu G. Weighted Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and aplications // Revista Matematica Iberoamericana, V. 8, №, 1992. P. 367-439.

47. Lu G. Existence and size estimates for the Green's functions of differential operators constructed from degenerate vector fields. // Comm. Partial Differential Equations, V. 17, 1992. P. 1213-1251.

48. Lu G. Embedding theorems into Lipschitz and BMO spaces and applications to quasilinear subelliptic differential equations // Publ. Mat., V. 40, 1996. P. 301-329.

49. Lu G. A note on a Poincaré type inequality for solutions to subelliptic equations // Comm. Partial Differential Equations, V. 21, 1996. P. 235-254.

50. Водопьянов С. К. Lp-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах / Современные проблемы геометрии и анализа. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1989. С. 45-89.

51. Водопьянов С. К. Весовая Ьр-теория потенциала на однородных группах // Сиб. мат. журн. Т. 33, 1992. С. 29-48.

52. Водопьянов С. К. Квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996. Т. 347. № 4. С. 439-442.

53. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.

54. Водопьянов С. К., Грепшов А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1015-1048.

55. Водопьянов С. К., Грепшов А. В. Аналитические свойства квазиконформных отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1317-1327.

56. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. Продолжение дифференцируемых функций и квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996. Т. 348. № 1. С. 15-18.

57. Водопьянов С. К., Черников В. М. Пространства Соболева и гипоэллипти-ческие уравнения // Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние. 1995. Т. 29. С. 7-62.

58. Грешнов А. В. Продолжение дифференцируемых функций за границу области на группах Карно // Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние. 1996. Т. 31. С. 161-186.

59. Korn A. Uber einige Ungleichungen, welche in der Theorie der elastischen und elektrischen Schwingungen eine Rolle spielen. Bull. Intern., Cracov. Akad. umiejet,621909

60. Aronszajn N. On coercive integro-differential quadratic forms // Univetsity of Kansas, Report Ж 14, 1954. P. 94-106.

61. Smith К. T. Inequalities for formally positive integro-differential forms // Bull. Amer. Math. Soc. V. 67, 1961. P. 368-370.

62. Бесов О. В. О коэрцитивности в неизотропном пространстве С. Л. Соболева // Мат. сб. Т. 73, 1967. С. 585-599.

63. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

64. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. Т. 43. №5, 1988. С. 55-96.

65. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: МИР, 1972.

66. Jones P. W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces. // Acta Math. V. 147, 1981. P. 71-88.

67. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.Работы автора по теме диссертации

68. Теоремы о продолжении для соболевских функций, заданных на группах Гейзенберга // Материалы V международной школы-конференции: Тез. докл. (Казань, июнь 2001) / Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского, Т. 8. Казань, 2001. С. 196-198.

69. Коэрцитивные оценки для линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Мат. заметки, Т. 70, вып. 2, 2001. С 316-320.

70. Integral representations and embedding theorems of functions defined on Heisenberg Groups //3 International ISAAC Congress: Abstracts (Berlin, Aug. 2001) Freie Universität Berlin, 2001. P. 36.

71. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга IP // Докл. РАН, 2002. Т. 382, № 4. С. 444-448.

72. Неравенства типа Корна на группах Гейзенберга и задача Неймана для линейных субэллиптических систем // Докл. РАН, 2002. Т. 383, JV® 1.