Пространства Соболева и субэллиптические уравнения на группах Карно тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЛОТНИКОВА Елена Александровна

ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА И СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НА ГРУППАХ КАРНО

01 01 01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Р - од ?е ЛВГ 2008

Новосибирск — 2008

003445449

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент Васильчик Михаил Юлианович

доктор физико-математических наук, доцент Клячин Алексей Александрович

Ведущая организация

Российский университет дружбы народов

Защита состоится 4 сентября 2008 года в 16 — 00 часов на заседании диссертационного совета Д003 015 03 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН (630090, г Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан 1 августа 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А Е

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ В 30-е годы прошлого века при решении уравнений с частными производными С Л Соболев заложил основы теории функций с обобщенными производными, разные аспекты которой отражены в его монографии [12], см также [13] Дальнейшее развитие этого направления было мотивированно применениями классов Соболева к теории уравнений с частными производными и другим областям, см , например, книги С М Никольского [8], Е М Стейна[14], О В Бесова, В П Ильина, С М Никольского [1], В М Гольдштейна и Ю Г Решетняка [4], В Г Мазьи [6], Ю Г Решетняка [9], В И Бу-ренкова [16] и других авторов

Большое значение в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными и других вопросах имеют интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств

В работах последних лет интенсивно изучаются функции классов Соболева на неголономных многообразиях и более общих метрических структурах Внимание к этим вопросам обусловлено многочисленными приложениями к исследованию свойств решений субэллиптических дифференциальных уравнений, см , например, работы Л Херманде-ра [26], Д Джерисона [27], Л. Ротшильд и Е Стейна [29], А Санчес-Калле [30], Л Капоньи, Д Даниелли и Н Гарофало [18,19], Б Франки и Е Ланконелли [23], к изучению квазиконформного анализа, см работы С К Водопьянова [2,31], Н С Даирбекова [20], Ю Хейнонена и И Холопайнена [25], и ко многим смежным вопросам

Напомним, что пространства Кар но — Каратеодори — это гладкие многообразия с выделенным касательным подрасслоением, удовлетворяющим некоторым алгебраическим условиям Векторные поля упомянутого подрасслоения называют горизонтальными Геометрия пространств Карно — Каратеодори локально моделируется геометрией подходящей группы Карно Классы Соболева функций, заданных в областях пространств Карно — Каратеодори, определяются через производные вдоль векторных полей из выделенного подрасслоения

В некоторых работах интегральными представлениями функций, определенных в пространствах Карно — Каратеодори, называют нера-

венства вида

|/(z)-Cil îSCa I

\vlî\(v)

p{x,y)v~l

dy,

(1)

B(z,C3r)

где х € В(г,г), а С2> Сз не зависят от х, г и /, — вектор-функция, компоненты которой — всевозможные горизонтальные производные первого порядка компонент вектор-функции /, р{х,у) — метрика Карно — Каратеодори, и — размерность Хаусдорфа относительно этой метрики Интегральные представления вида (1) могут быть использованы при доказательстве неравенств Пуанкаре и Соболева, однако, доказательство многих результатов теории пространств Соболева требуют более точных соотношений Примером таких результатов могут служить коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов Для вывода этих оценок необходимы интегральные представления типа Соболева, которые принято записывать в виде

где P{f) — некоторый полином, а К — интегральный оператор с контролируемой особенностью

На группах Гейзенберга интегральные представления функций вида (2) получены в работе H H Романовского [10], который естественно обобщил подходы С J1 Соболева и Ю Г Решетняка [9], изначально реализованные в евклидовом пространстве В нашей работе мы выводим интегральные представления вида (2) на группах Карно

Как было отмечено ранее, теория пространств Соболева на него-лономных многообразиях имеет приложение к теории субэллиптических уравнений, представляющих собой важный подкласс гипоэллип-тических уравнений, см [26] Кроме того, они возникают в квазиконформном анализе, в финансовой математике и нейробиологии и т д Исследование свойств регулярности субэллиптических уравнений начато в работах [18,19,23,26,27,29]

Этим исследованиям предшествовало обширное развитие теории эллиптических уравнений А именно, в 50-е годы были изучены линейные уравнения, исследован класс квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью, частным случаем которых является уравнение Эйлера

f(x) = P(f) + K(Vf),

(2)

вариационной задачи для функционала

1{и) = j F{x, и, их) dx а

В конце 60-х годов Н Н Уральцева [15] исследовала регулярность решения вариационной задачи для квазирегулярного функционала

J |Vu|pdx

п

В нашей работе рассматривается один класс квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью, которые являются уравнениями Эйлера для функционала вида 1(и) на группе Гейзенберга Более конкретно, исследуется вопрос регулярности слабого решения и € W^ (П) уравнения

2 п

,х2пи) - f{q,u,X!U, ,Х2пи) (3)

i=i

В линейном случае, когда A(iy, и, £) = уравнение (3) является сублапласианом, изучением которого занимались многие авторы, см , например, [21,28]

ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель работы состоит в том, чтобы

1) вывести интегральные представления Соболева вида (2) для функций, определенных в областях групп Карно,

2) исследовать вопрос о регулярности слабых решений квазилинейных субэллиптических уравнений вида (3) на группах Гейзенберга

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ В диссертационной работе используются методы теории пространств Соболева, эллиптических и субэллиптических уравнений, а также классические методы анализа

НАУЧНАЯ НОВИЗНА Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Результаты работы имеют теоретическое значение Методы и результаты работы могут быть применены в теории пространств Соболева на неголо-номных многообразиях, теории субэллиптических дифференциальных уравнений, в квазиконформном анализе и др

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты диссертации докладывались на XLI -XLII, XLIV - XLV Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2003, 2004, 2006, 2007 гг, Диплом третьей степени в 2003 г), на Международной школе-конференции, посвященной 75-летию академика Ю. Г Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 3 сентября 2004 г), на Международной конференции, посвященной 100-летию академика С • М. Никольского (Москва, 23 - 29 мая 2005 г), на Российской конференции, посвященной 50-летию Института математики им С JI Соболева СО РАН «Математика в современном мире» (Новосибирск, 17 - 23 сентября 2007 г); на десятой и одиннадцатой Региональных конференциях по математике «МАК» (Барнаул, 2007, 2008 гг), на семинаре «Геометрический анализ» Института математики им С. Л Соболева СО РАН под руководством д.ф -м н С К Водопьянова; на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им С Л Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю Г Решетняка

По результатам работы получена вторая премия на конкурсе им М А Лаврентьева (2005 г), диплом на Открытом конкурсе на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Российской Федерации (2005 г) и стипендия Сибирского математического журнала (2007 г.)

ПУБЛИКАЦИИ Результаты диссертации опубликованы в [32-42] ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертация изложена на 82 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 69 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается краткий обзор истории по теме диссертации и приводится краткое изложение результатов диссертации

В первой главе диссертации приводятся основные определения и обозначения, а также ссылки на известные результаты, которые будут использоваться в работе Основным является понятие группы Карно

Определение 1.1. Группой Карно G глубины т называется связная односвязная нильпотентная группа Ли, алгебра JIu V которой градуирована так, что У = Ух ® Ф Ут, где [Ух,У,] = У,+х, j < т,

[Vx,ym] = 0

Пусть dim У, — nt, N = щ + + пт, левоинвариантные векторные поля Xi, .,ХП1 образуют базис Ух, Xni+ +n,_1+1, ,Xnt+ +„,,

I < г ^ га, — базис V,, образованный некоторыми коммутаторами порядка г — 1 полей пространства Векторные поля Х\, , ХП1 будем называть горизонтальными Размерность Хаусдорфа группы С отно-

771

сительно заданной метрики равна и = ^

г=1

Глава 1 состоит из пяти параграфов В § 1 1 приведены определения двухступенчатых групп Карно и групп Гейзенберга, которые являются модельными случаями групп Карно В § 1 2 определяются функциональные пространства Соболева и Гельдера на группах Карно, а также формулируется теорема вложения. В следующем параграфе приведены известные интегральные неравенства Гельдера и Минковского, которые используются при получении интегральных оценок

В § 1 4 вводятся два типа областей, для которых будут доказаны основные результаты, кроме этого сформулирована лемма Уитни о декомпозиции, которая доказана в работе [22]

Определение 1.9. Открытое множество Ш С С звездно в области

II с О относительно некоторого шара В (в I7, если для любых точек х £ у & В точка х ¿¿(х-1 у) принадлежит области V для всякого * € (0,1]

Определение 1.10. Область II называется областью Джона ([/ € «/(а, /?),0 < а ^ ¡3 < оо), если существует выделенная точка ро £11 такая, что для любой точки р 6 II существует спрямляемая кривая ф{в), 0 ^ з ^ I ^ Р, для которой гр(0) = р, ф(1) = р0 и ^

для любого в € [0,1}

В § 1 5 даются определения горизонтальных и однородных полиномов на группах Карно и приводятся два свойства этих полиномов, одно из которых следует из результатов работы С К Водопьянова и И М Пупышева [3], а второе доказано в диссертации Кроме этого, вводится определение однородной функции на группах Карно

Вторая глава посвящена интегральным представлениям типа Соболева функций, определенных в областях групп Карно [41,42] В евклидовом случае интегральные представления данного вида были получены Ю Г Решетником [9], метод которого был распространен на группы Гейзенберга в статье Н Н Романовского [10] Основные результаты главы — теоремы 2 1, 2 2 и 2 3

Глава 2 состоит из четырех параграфов В § 2 1 доказана теорема 2 1, в которой получены интегральные представления функций, заданных

в звездных областях групп Карно, через первые производные Кроме этого, в лемме 2 1 сформулировано свойство полученного ядра Г

Пусть £/ С С ограниченная область, V С О звездна в области и относительно шара В(а,К), функция Е Со°(5(а, Д)) удовлетворяет соотношению / у(х) сЬс = 1

В(а,Д)

Теорема 2.1. Если функция / принадлежит классу С°°(II), то для точек х области V справедливо следующее интегральное представление

г г н

/м = у ЯуМу)йу + / г^у,^^1 у)х,/(у)) <*у,

и и 1=1

00

где Г(х,у, ср) = — f <р(х у))£"-1 а Р,(х) — однородный поли-

1

ном степени <1г

В §§ 2 2-2 3 рассматривается случай двухступенчатых групп Карно, на которых первые вертикальные производные представляются в виде линейной комбинации горизонтальных производных второго порядка Тем самым, на двухступенчатых группах Карно в интегральном представлении, полученном в теореме 2 1, можно "перекинуть" одну горизонтальную производную на ядро (это позволяет сделать более тонкое, чем в лемме 2 1, свойство ядер, которое установлено в лемме 2 2) Таким образом, в теореме 2 2 получены интегральные представления только через первые горизонтальные производные Далее, доказана теорема 2 3, в которой выведены интегральные представления функций, заданных в звездных областях двухступенчатых групп Карно, через горизонтальные производные произвольного порядка

Теорема 2.2. Для любой функции / класса С°°(и) в области V справедливо следующее интегральное представление

Дх) = iЯуМу)¿У + /Екг(х,у)ХЛу)¿у, Xеи', и и 1=1

где Кг € х Жк \ {х = у}), функции К, финитны по второму

аргументу и удовлетворяют неравенству

Теорема 2.3. Пусть функция / принадлежит классу С°°(и), к — любое натуральное число Тогда в области V справедливо следующее интегральное представление

/(х).= J Pk(x,y,4>o)f(y)dy

и

/п 1

Е ■

л ч, ,«*=1

(4)

+ j Кп u(x,y,Vo)Xn XtJ(y)dy,

и

где х € V, , У,¥>о) — горизонтальный полином порядка к — 1, зиррР^х, ,<р0) с В, |Рк(х,у,^о)| ^ ск{г, Кч и € С°°(Е"1+П2х К"1+"2 \ {х = у}), функции Кч 1к финитны по второму аргументу и удовлетворяют неравенству

\Х^КН .(Х.УЖСК1 (5)

В §2 4 сформулирована теорема 2 4 [11], позволяющая дифференцировать выведенные интегральные представления вдоль горизонтальных векторных полей В евклидовом случае этот результат доказан С Г Михлиным [7] Кроме этого, доказана лемма 2 4, показывающая, что ядра интегральных представлений действительно удовлетворяют условиям теоремы 2 4

Третья глава посвящена доказательству неравенств Пуанкаре В параграфе 3 11с помощью интегральных представлений через первые производные получены неравенства Пуанкаре на общих группах Карно (теорема 3 1) Далее, в § 3 1 2, используя интегральные представления через горизонтальные производные высших порядков на двухступенчатых группах Карно, доказано неравенство более общего вида, которое принято называть слабым неравенством Пуанкаре

Теорема 3.2. Пусть 1 < р < оо Тогда для всякого к £ N найдется проекционный оператор Рк > переводящий функции класса \¥£(11) в горизонтальные полиномы степени не выше к — 1, такой, что справедливо неравенство

ч, ,4 = 1

Lp{k\В)

где I — мультииндекс, $С к, константа С зависит от r,v,p и выполнено соотношение к — |I\h > ^

В § 3 2 доказывается обобщенное неравенство Пуанкаре для функций, определенных в областях Джона общих группах Карно, при условии выполнения слабого неравенства Следовательно, принимая во внимание результаты § 3 1 2, обобщенное неравенство Пуанкаре на двухступенчатых группах Карно имеет место без дополнительных условий В этом параграфе используется метод работы [24], который основывается на лемме Уитни о декомпозиции

Условие 1. Предположим, что для фиксированного 1 < р < оо и для любой функции / € выполняется слабое неравенство Пуанкаре

п\

ч, ,Н=1

где В — некоторый шар, I — мультииндекс, ^ к, константа С зависит от г,и,р и Рв/ — горизонтальный полином степени к — 1

Основным результатом главы 3 является следующая

Теорема 3.3. Пусть выполняется условие 1, и и € J{ot, /3) Тогда для всякого к € N найдется проекционный оператор Р, переводящий функции класса в горизонтальные полиномы степени не выше /с — 1, такой, что справедливо неравенство

ьР(и)

«11 = 1

где I — мультииндекс, ]7|/1 ^ к, константа С зависит от и,р,а,(3,к и выполнено соотношение к — \1\ь > ^

В четвертой главе на группах Гейзенберга исследуется вопрос о регулярности слабых решений линейных субэллиптических уравнений вида

2п 2п 2п

- Е Хг[аг]Х^ + а1гу] + ^^ЬгХг11) + аги = 9 + ^2^г9г 1,3=1 1=1 1=1

Полученные результаты обобщают результаты О А Ладыженской и Н Н Уральцевой [5]

В § 4 1 формулируются и частично доказываются вспомогательные утверждения В §4 2 вводится класс функций 03(П, М,7,71, и доказывается, что функции данного класса удовлетворяют условию Гельде-ра (теорема 4 2)

Определение 4.1. Функция w(q) принадлежит классу iB(fl, Ai, 7,71, i), если w(q) 6 W1'2^), sup|w| < M и функции v{q) = ±w(q) удовлетво-

n

ряют неравенствам

j \Xv\2dq < {7ct-2p~2(1-,//s) max(u(g) - kf +71}(mes^,p)1-2''s

Ak p — trp

где AktP = {q € B{p) v(q) > k},a 6 (0,1), B(p) Cilu Б(р - ар) — произвольные концентрические шары, к — произвольное число такое, что k ^ sup v(q) — 2M, s > 1/, M, 7,7i — фиксированные положительные

b{p) числа

Теорема 4.2. Пусть w(q) € ®(S7,M, 7,71, j) и шар В(р0) С П Тогда существует а > 0, что для любого концентрического с В(ро) шара В(р),р sC ро, выполняется неравенство

osc{w,B{p)}^C{plpa)a,

где С — C(v, ро, 7,70, t, M, s) То есть класс ©(П, М, 7,71, вкладывается в Са{П)

Далее в §4 3 показывается, что в области Джона fl слабое решение w G И^П) линейного уравнения принадлежит 93(0, M, 7,71, j), а, следовательно, Ca(i2) для некоторого а > 0 Основным результатом главы 4 является следующая

Теорема 4.3. Пусть П — область Джона, ги £ W^'^fl) — слабое решение уравнения

2 п 2п 2 п

- a%]XjW + агш] + ^бЛш + аи> = g +

i,j=l »=1 't=l

коэффициенты которого удовлетворяют условиям существуют константы >0 такие, что для s > и верны соотношения

2 71

«.3=1

.. 2n 2n 2n

t=l г=1 г=1

Тог ¿a w е C£c(iî)

В пятой главе исследуются слабые решения и £ И^'^П) квазилинейного субэллиптического уравнения

2 п

-^хгАг{ч,и,Х 14, ,Х2 „и) =/(д,и,Хги, ,Х2пи), (6) 1=1

где коэффициенты удовлетворяют некоторым специальным условиям

Полученные результаты обобщают теоремы Л Капоньи [17], в работе которого на группах Гейзенберга исследуются свойства регулярности решений уравнения

2 п

-^Х.Л.^А'щ, ■ ,Х2пи) = /(д)

г=1

Глава состоит из трех параграфов В § 5 1 приведены вспомогательные утверждения В § 5 2 введено определение разностного частного и доказана теорема 5 1, позволяющая "дифференцировать" основное уравнение вдоль левоинвариантных векторных полей Кроме этого, в теоремах 5 2 и 5 3 устанавливается, что вертикальная и горизонтальные производные слабого решения уравнения (6) принадлежат пространству <-с2(П) и являются слабыми решениями линейных уравнений вида

2п 2п 2п

- Х^а^Х^ю + агш] + ^ + аю = д 4- ^Хгдг

ЪЛ=1 г=1 г=1

В § 5 3, основываясь на полученных результатах и результатах 4 главы, доказывается гельдеровость риманова градиента слабого решения уравнения (6) Основным результатом пятой главы является

Теорема 5.4. Пусть П С Нп — область Джона, и £ <2(П) - слабое решение уравнения

2 п

,Х2„и) = ,Х2пи),

г=1

где А,(д,и,£) Н"хЕх К2" -> К — дифференцирумая функция Кроме этого, выполняются следующие условия на коэффициенты существуют константы С\ > О, С2 > 0, Сз > 0 такие, что

2 п ^

СГ'Ы2 ^ £ огМъчОъъ < ед2,

г=1

2 п

»0=1 3

существует константа р, > О, что для г > V и любого 1 ^ го ^ 2п

—/(д,и,Хи)

он I II г/2, П

I дЯ2п+1

2п

/(д,и,Хи)

г/2,и

д 2 М(1'ЩХи^ Иг.П ^ Л

д 0 д 1 о С^о , ! "У

«0=

2п д 2п д

2 п

г/2,П

+ -—Аг(д,и,Хи)) II ^/х,

дд1а ) IIг, п

где — п, при 1 ^ го ^ п, и ]0 — г0 — тг, при п + 1 ^ г0 ^ 2п

Тогда существует риманов градиент Уи 6 С^^П) П (П), где а б (0,1) — некоторое число

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д ф -м н С К Водопьянову за постановку задачи, постоянное внимание и неоценимую помощь в работе

Список литературы

[1] Весов О В, Ильин В П, Никольский С M Интегральные представления функций и теоремы вложения M Наука, 1975

[2] Водопьянов С К Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб мат. журн 1996 Т 37, № 6 С 1269-1295

[3] Водопьянов С К, Пупышев И M Теорема типа Уитни о продолжении функций на группах Карно // Сиб мат журн 2006 Т 47, №4 С 731-752

[4] Гольдштейн В M, Решетняк Ю Г Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения M Наука, 1983

[5] Ладыженская О А , Уральцева H H Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа M Наука, 1973

[6] Мазья В Г Пространства С Л Соболева Л Изд-во Ленингр гос ун-та, 1985

[7] Михлин С Г Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения M Физматгиз, 1962

[8] Никольский С М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения М. Наука, 1977

[9] Решетняк Ю Г Теоремы устойчивости в геометрии и анализе Новосибирск Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1996

[10] Романовский H H Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга // Докл РАН 2002 Т 382, № 4 С 456-459

[11] Романовский H H О проблеме Михлина на группах Карно // Сиб мат журн 2008 Т 49, № 1 С. 193-206.

[12] Соболев С Л Некоторые применения функционального анализа, в математической физике M Наука, 1988

[13] Соболев С Л Избранные труды Новосибирск Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2006 Т II

[14] Стпейн И Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций многих переменных и теоремы вложения М Мир, 1973

[15] Уралъцееа Н Н Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы // Записки научных семинаров ЛОМИ 1968 Т 7 С 184— 222

[16] Burenkov V I Sobolev spaces on domains Teubner-Texte zur Mathematik Stuttgard-Leipzig В 137 1998

[17] Capogna L Regularity of quasilmear equations in Heisenberg group // Comm Pure Appl Math 1997 V 50 P 867-889

[18] Capogna L , Danielh D , Garofalo N An embedding theorem and the Harnack inequality fjr njnlmear subelliptic equations // Comm Partial Differential Equations 1993 V 18 P 1765-1794

[19] Capogna L , Damelli D, Garofalo N Capacitary estimates and the local behavior of solutions to nonlinear subelliptic equations // Amer J Math 1996 V 118 P 1153-1196

[20] Dairbekov N S Mappings with Bounded Distortion of Two-Step Carnot Groups // Труды по анализу и геометрии Новосибирск Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2000 Р 122-155

[21] Folland G В , Stem I Estimates for the complex and analysis on the Heisenberg group, spaces on homogeneous groups // Comm Pure Appl Math 1974 V 27 P 459-522

[22] Folland G В , Stem I Hardy spaces on homogeneous groups Princeton, NJ Amer. Math Soc , 1982

[23] Franchi В , Lanconelh E Holder regularity theorem for a class of non uniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann Scuola Norm Sup Pisa CI Sci 1983 V 10, № 4 P 523-541

[24] Garofalo N, Nhieu D M Isopenmetnc and Sobolev inequalities for Carnot-Caratheodory spaces and the existence of minimal surfaces // Commun Pure Appl Math 1996 V 49, № 10 P 1081-1144

[25] Hemonen J, Holopamen I Quasiregular maps on Carnot groups //J Geom Anal 1997 V 7, № 1 P 109-148

[26] Hormander L Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math 1967 V 119 P 147-171

[27] Jerison D The Pomcare inequality for vector fields satisfying Horman-der's condition // Duke Math J 1986. V 53, № 2 P 503-523

[28] Kohn J J Pseudo-differential operators and hypoelhpticity //Proc Symp Pure Math, 23, Amer Math Soc , 1973

[29] Rotschild G В , Stem I Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math 1976 V 137 P 247-320

[30] Sanches-Calle A Fundamental solutions and geometry of sums of squares of vector fields//Invent Math 1984 V 78 P 143-160

[31] Vodopyanov S К Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // The Interaction of Analysis and Geometry Contemporary Mathematics 2007 V 424 P 303-344

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[32] Саженкова Е А (Плотникова Е А ) Об интегральных представлениях на группах Карно // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск Изд-во НГУ, 2003 С 38-39 III место

[33] Саженкова Е А (Плотникова Е А ) Интегральные представления на общих группах Карно // Материалы XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск Изд-во НГУ, 2004 С 78-79 стр

[34] Саженкова Е А (Плотникова Е А ) Теоремы вложения на двухступенчатых группах Карно // Тезисы Международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетняка, 23 августа - 2 сентября 2004 г Новосибирск Изд-во Ин-та математики им С JI Соболева СО РАН, 2004 С 227

[35] Саженкова Е А (Плотникова Е А ) Интегральные представления на двухступенчатых группах Карно // Тезисы Международной конференции, посвященной 100-летию академика С М Никольского, 23 - 29 мая 2005 г М Изд-во Математического института им В А Стеклова РАН, 2005 С 196

[36] Плотникова Е А Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск Изд-во НГУ, 2006 С 51-52

[37] Плотникова Е А Обобщенное неравенство Пуанкаре на областях Джона двухступенчатых групп Карно // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск Изд-во НГУ, 2007 С 104105

[38] Плотникова Е А Обобщенное неравенство Пуанкаре на областях Джона общих групп Карно // Материалы десятой Региональной конференции по математике «МАК-2007» Барнаул Изд-во АлтГУ, 2007 С 28-30

[39] Плотникова Е А Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа // Материалы Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института математики им С JI Соболева СО РАН, 17-23 сентября 2007 г С 87

http //math nsc ru/conference/conf50/Abstracts pdf

[40] Плотникова E А Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа на группах Гейзенберга // Материалы одиннадцатой Региональной конференции по математике «МАК-2008» Барнаул Изд-во АлтГУ, 2008 С 21-23

[41] Плотникова Е А Интегральные представления и обобщенное неравенство Пуанкаре на группах Карно // Сиб мат журн 2008 Т 49 № 2 С. 421-437

[42] Плотникова Е А Интегральные представления функций класса Соболева на областях групп Карно // Математические труды 2008 Т 11 № 1 С 113-131

Плотникова Елена Александровна

Пространства Соболева и субэллиптические уравнения на группах Карно

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 25-01.08 г. Формат 60 х 84 1/16 Уел деч л. 1 Уч.-изд л 1,5. Тираж 100 экз Заказ № 283

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул Пирогова, 2

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Группы Карно.

1.1.1 Общие группы Карно.

1.1.2 Двухступенчатые группы Карно и группы Гейзенберга.

1.2 Функциональные пространства на группах Карно. Теоремы вложения

1.3 Интегральные неравенства.

1.4 Области. Декомпозиция Уитни.

1.5 Горизонтальные и однородные полиномы. Однородные функции

2 Интегральные представления типа Соболева

2.1 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях групп Карно, через первые производные.

2.2 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях двухступенчатых групп Карно, через первые горизонтальные производные.

2.3 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях двухступенчатых групп Карно, через горизонтальные производные произвольного порядка

2.4 О проблеме Михлина.

3 Неравенства Пуанкаре

3.1 Слабые неравенства Пуанкаре.

3.1.1 Случай общих групп Карно.

3.1.2 Случай двухступенчатых групп Карно.

3.2 Обобщенные неравенства Пуанкаре на общих группах Карно

4 Регулярность решений линейных уравнений субэллиптического типа

4.1 Вспомогательные предложения

4.2 Класс функций М, 7,71, и его свойства.

4.3 Гёльдеровость слабых решений линейных уравнений

5 Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа

5.1 Предварительные сведения.

5.2 Дифферепцируемость вдоль векторных полей.

5.2.1 "Дифференцируемость"вдоль левоипвариаптпого векторного поля

5.2.2 Дифференцируемость решения вдоль вертикального векторного поля.

5.2.3 Дифференцируемость решения вдоль горизонтальных векторных полей.

5.3 Гёльдеровость слабого решения.

История вопроса

В 30-е годы прошлого века при решении уравнений с частными производными С. JI. Соболев заложил основы теории функций с обобщенными производными, разные аспекты которой отражены в его монографии [25], см. также [26]. Дальнейшее развитие этого направления было мотивированно применениями классов Соболева к теории уравнений с частными производными и другим областям, см., например, книги С. М. Никольского [16], Е. М. Стейна [27], О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1], В. М. Гольдштейна и 10. Г. Решетняка [7], В. Г. Мазьи [14], Д. Р. Адам-са и JI. И. Хедбсрга [30], В. И. Буренкова [33], Ю. Г. Решетняка [20] и других авторов.

Большое значение в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными и других вопросах имеют интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств. Различные способы вывода интегральных представлений можно найти в работах [2, 3, 17, 21, 29, 32, 62].

В работах последних лет интенсивно изучаются функции классов Соболева на неголономных многообразиях и более общих метрических структурах. Внимание к этим вопросам обусловлено многочисленными приложениями к исследованию свойств решений субэллиптических дифференциальных уравнений, см., например, работы JI. Хермандера [49], Д. Джерисона [50], JL Ротшильд и Е. Стейна [59], А. Санчес-Калле [60], JI. Капоньи, Д. Даниелли и Н. Гарофало [36, 37], Б. Франки и Е. Ланко-нелли [44], С. К. Водопьянова и В. М. Черникова [38], к изучению квазиконформного анализа, см. работы С. К. Водопьянова [4, 67], Н. С. Даирбекова [40], Ю. Хейнонена и И. Холопайнена [48], и ко многим смежным вопросам, см. работы П. Пансу [57],

П. Хайлоша [46], Н. Аркоци и Д. Морбиделли [31].

Напомним, что пространства Карно — Каратеодори — это гладкие многообразия с выделенным касательным подрасслоением, удовлетворяющим некоторым алгебраическим условиям. Векторные поля упомянутого подрасслоения называют горизонтальными. Геометрия пространств Карно — Каратеодори локально моделируется геометрией подходящей группы Карно. Классы Соболева функций, заданных в областях пространств Карно — Каратеодори, определяются через производные вдоль векторных нолей из выделенного подрасслоения.

В некоторых работах [46, 47, 50, 52] интегральными представлениями функций, определенных в пространствах Карно — Каратеодори, называют неравенства вида

-*!<«, / j^P-, (0-1)

B(z,C3r) где х G B(z, г), а Сг, Сз не зависят от х, г и /, Vl/ — вектор-функция, компоненты которой — всевозможные горизонтальные производные первого порядка компонент вектор-функции /', р(х, у) — метрика Карно — Каратеодори, v — размерность Хау-сдорфа относительно этой метрики.

Интегральные представления вида (0.1) могут быть использованы при доказательстве неравенств Пуанкаре и Соболева, однако, доказательство многих результатов теории пространств Соболева требуют более точных соотношений. Примером таких результатов могут служить коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов. Для вывода этих оценок необходимы интегральные представления типа Соболева, которые принято записывать в виде f(x) = P(f) + I<(Vf), (0.2) где P(f) — некоторый полином, а К — интегральный оператор с контролируемой особенностью.

На группах Гейзенберга интегральные представления функций вида (0.2) получены в работе Н. Н. Романовского [23], который естественно обобщил подходы С. J1. Соболева и Ю. Г. Решетняка [20], изначально реализованные в евклидовом пространстве. В нашей работе мы выводим интегральные представления вида (0.2) на группах Карно.

Как было отмечено ранее, теория пространств Соболева на неголономных многообразиях имеет приложение к теории субэллиитических уравнений, представляющих собой важный подкласс гипоэллиптических уравнений, см. [49]. Кроме того, они возникают в квазиконформном анализе, в финансовой математике и нейробиологии и т. д. Благодаря этому, большой интерес в последнее время вызывает исследование вариационной задачи для функционала п на ограниченных областях групп Карно при некотором граничном условии. Уравнениями Эйлера для этих задач будет субэллиптический р-лапласиан:

Если коммутаторы векторных полей в определении пространства Карпо — Кара-теодори тривиальны, то мы имеем евклидово пространство, и этот класс уравнений совпадает с уравнениями эллиптического типа, теория которых была развита в середине прошлого века.

В 1934 году Шаудсром [61] были выведены априорные оценки, с помощью которых была доказана классическая разрешимость задачи Дирихле. Далее, в 50-60-е годы была существенно развита теория линейных уравнений. Значительный вклад в развитие этой теории принадлежит Е. Де Джорджи [41], Дж. Нэшу [56], 11. Мор-ри [54], Г. Стампаккиа [63, 64, 65], О. А. Ладыженской [8, 9], О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [10, 11, 12].

Следующим обширным этаном исследования эллиптических уравнений было изучение квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью. Этот класс уравнений был практически полностью изучен в конце 50-х-начале 60-х годов: получены полные и законченные результаты по вопросам регулярности решений и разрешимости краевых задач. В то же время, активно исследовались вариационные задачи для функционалов п

Как известно, эти задачи тесно связаны с решением уравнений Эйлера, представляющих подкласс уравнений с дивергентной главной частью. Среди многочисленного

0.3)

71 0. количества работ, посвященных этой теме, выделим статьи [10, 11, 12, 41, 54, 55, 56].

Далее, были рассмотрены линейные и квазилинейные системы уравнений эллиптического типа. Пас прежде всего интересуют результаты, касающиеся вырождающихся квазилинейных эллиптических систем, полученные Н. Н. Уральцевой [28] в 60-е годы. Именно эти результаты, а также все полученные результаты предыдущих этапов были использованы для исследования вариационной задачи для квазирегулярного функционала v„r<fc. и

Результаты о регулярности решений субэллиптических уравнений, в настоящее время не составляют такую же полную коллекцию, как в евклидовом случае. Начало развития этой теории было положено в 1967 году в выдающейся работе JL Хёрмапдс-ра [49]. Дальнейшее исследование свойств регулярности линейных и квазилинейных субэллиптических уравнений продолжено в работах [42, 44, 50, 51, 59, 60, 66].

В 1992 году появилась работа С. Сюй [68], в который были выведены оценки Шаудера для оператора Хёрмандера, в этой же работе исследовалась регулярность слабых решений линейных субэллиптических уравнений. В 90-е годы Л. Капонья, Д. Даниелли и Н. Гарофало [34, 35, 36, 37] исследовали регулярность решений различных классов квазилинейных уравнений на группах Карно. В 2000 году X. Манфреди и А. Домокос [53] рассматривали р-гармонические функции на группе Гейзепберга, но только в случае р близкого к 2.

Таким образом, многие вопросы теории субэллиптических уравнений при исследовании вариационной задачи (0.3) остаются открытыми.

Особо отметим, что одной из основных трудностей в теории субэллиптических уравнений, которая не позволяет прямолинейно перенести методы теории эллиптических уравнений, является некоммутативпость геометрии рассматриваемых пространств. Более конкретно, в евклидовом случае на всех этапах значительно использовалось равенство вторых смешанных частных производных. В данном случае такой перестановочности нет, и поэтому разработанные методы перестают работать.

В нашей работе рассматривается один класс квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью, которые являются уравнениями Эйлера для функционала вида 1(и) на группе Гейзепберга. Более конкретно, исследуется вопрос регулярности слабого решения и £ И7^^) уравнения

2п

- XiAi(q, и, Хгщ ., Х2пи) = /(д, и, Хги,., X2nw). (0.4) i=l

В линейном случае, когда Ai(q,u,£) = уравнение (0.4) является сублапласианом, изучением которого занимались многие авторы, см., например, [42, 51]. JI. Капо-нья, Д. Данислли и Н. Гарофало [36] показали, что слабое решение уравнения (0.4) принадлежит пространству Гёльдера С£с(£2). Далее, JI. Капонья [34] исследовал на группах Гейзенберга свойства регулярности слабых решений уравнения

2 п

- ]Г ХгАг(д, Х,и,Х2пи) = /(g). (0.5) t=i

Обобщая метод пространств Морри-Компанато [54, 69) для линейных уравнений, метод Дж. Кона [51] и идею JI. Нирепбсрга [49] об использовании дифференциального частного для квазилинейных уравнений на группы Гейзенберга, JI. Капонья доказал, что слабое решение уравнения (0.5) принадлежит пространству Гёльдера

Результаты нашей работы обобщают теоремы Л. Капопьи. Однако для исследования свойств решений линейных уравнений мы распространяем классический метод Де Джорджи-Нэша-Мозера [13] на группы Гейзенберга.

Обзор основных результатов диссертационного исследования

Диссертация изложена на 82 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 69 наименований.

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

2. Бесов О. В., Ильин В. П. Естественное расширение классов областей в теоремах вложения // Мат. сборник. 1968. Т. 75(117), № 4. С. 483-495.

3. Буренков В. И. Интегральные представления Соболева и формула Тейлора // Тр. МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 33-38.

4. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. жури. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.

5. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно // Математический сборник. Т. 194. № 6. С. 67-86.

6. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теорема типа Уитни о продолжении функций на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 4. С. 731 -752.

7. Голъдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

8. Ладыженская О. А. Простое доказательство разрешимости основных краевых задач и задач о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений // Вестник ЛГУ. 1955. № 11. С. 23-29.

9. Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // УМН. 1957. Т. 12, вып. 5(77). С. 123-148.

10. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многими независимыми переменными j j УМН. 1961. Т. 16, вып. 1(97). С. 19-90.

11. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. О допустимых расширениях понятия решения для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр. 1963. № 1. С. 10-25.

12. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. О непрерывности по Гёльдеру решений и их производных для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов // ДАН СССР. 1964. Т. 155, № 6. С. 1258-1261.

13. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

14. Мазъя В. Г, Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1985.

15. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

16. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

17. Перепелкин В. Г. Интегральные представленя функций, принадлежащих весовым классам С. Л. Соболева в областях и некоторые приложения // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 1, № 2. С. 119-140, 318-330.

18. Плотникова Е. А. Интегральные представления и обобщенное неравенство Пуанкаре на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49. № 2. С. 421-437.

19. Плотникова Е. А. Интегральные представления функций класса Соболева на областях групп Карно // Математические труды. 2008. Т. 11. № 1. С. 113-131.

20. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Изд-во Ин- та математики СО РАН, 1996.

21. Решетняк Ю. Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12, № 2. С. 420-432.

22. Романовский Н. Н. Коэрцитивные оценки для линейных дифференуиальных операторов с постоянными коэффициентами // Мат. заметки. 2001. Т. 70, Вып. 2. С. 316-320.

23. Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 4. С. 456459.

24. Романовский Н. Н. О проблеме Михлина на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 193-206.

25. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа, в математической физике. М.: Наука, 1988.

26. Соболев С. Л. Избранные труды. Новосибирск: Изд-во Ип-та математики СО РАН, 2006. Т. II.

27. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Мир, 1973.

28. Уралъцева Н. Н. Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 184-222.

29. Успенский С. В. О представлении функций, определеяемых одним классом операторов // Тр. МИАН СССР. 1972. Т. 131. С. 292-299.

30. Adams D. R., Hedberg L. I. Function spaces and potential theory. Springer, 1996.

31. Arcozzi N., Morbidelli D. A global inverse map theorem and biLipschitz maps in the Heisenberg group // Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat. 2006. V. 52, № 2. P. 189-197.

32. Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P. On spaces of potentials connected with Lp classes // Ann. Inst. Fourier. 1963. V. 13. P. 211-306.

33. Burenkov V. I. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik. Stuttgard-Leipzig. B.137, 1998.

34. Capogna L. Regularity of quasilinear equations in Heisenberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1997. V. 50. P. 867-889.

35. Capogna L. Regularity of quasilinear equations and 1-quasiconformal maps in Carnot Groups j I Math. Ann. 1999. V. 313, № 2. P. 263-295.

36. Capogna L., Danielli D., Garojalo N. An embedding theorem and the Harnack inequality for nonlinear subelliptic equations // Comm. Partial Differential Equations. 1993. V. 18. P. 1765-1794.

37. Capogna L., Danielli D., Garofalo N. Capacitary estimates and the local behavior of solutions to nonlinear subelliptic equations // Amer. J. Math. 1996. V. 118. P. 11531196.

38. Chernikov V. M., Vodopyanov S.K. Sobolev Spaces and Hypoelliptic Equations // Siberian Advances in Mathematics. 1996. I. T. 6, № 3. P. 27-67. II. 1996. T. 6, № 4. P. 64-96.

39. Citti G., Garofalo N., Lanconelli E. Ilarnack's inequality for sum of squares of vector fields plus a potential // Amer. J. Math. 1993. V. 115, № 3. P. 699-734.

40. Dairbekov N. S. Mappings with Bounded Distortion of Two-Step Carnot Groups // Труды no анализу и геометрии. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2000. Р. 122-155.

41. De Giorgi Е. Sulla differenziabilita е l'analiticita delle estremali degli integrali mul-tipli regolari I j Mem. Acc.Sci.Torino. 1957. V. 3. P. 1-19.

42. Folland G. В., Stein I. Estimates for the complex and analysis on the Heisenberg group, spaces on homogeneous groups // Comm. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 459-522.

43. Folland G. В., Stein I. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton, NJ: Amer. Math. Soc., 1982.

44. Franchi В., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of non uniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. 1983. V. 10, № 4. P. 523-541.

45. Garofalo N., Nhieu D. M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Caratheodory spaces and the existence of minimal surfaces // Commun. Pure Appl. Math. 1996. V. 49, № 10. P. 1081-1144.

46. Hajlasz P. Geometric approach to Sobolev spaces and badly degenerated elliptic equation // Mathematical Sciences and Application. 1995. V. 7. P. 141-168.

47. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincare // Memoirs of the American Mathematical Society. 2000. V. 145, № 688.

48. Heinonen J., Holopainen I. Quasircgular maps on Carnot groups // J. Geoin. Anal. 1997. V. 7, № 1. P. 109-148.

49. Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147-171.

50. Jerison D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J. 1986. V. 53, № 2. P. 503-523.

51. Kohn J. J. Pseudo-differential operators and hypoellipticity //Proc. Symp. Pure Math, 23, Amer. Math. Soc., 1973.

52. Lu G. Weighted Poincare and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and applications // Rev. Mat. Iberoamericana. 1992. V. 8, № 3. P. 367-439.

53. Morrey С. B. Second oreder elliptic equations in several variables and Holder continuity // Math. Z. 1959. V. 72. P. 146-164.

54. Morrey С. B. Existance and differentiability theorems for variational problems for multiple integrals // Univ. of Wisconsin Press, Madison Wis. 1961. P. 241-270.

55. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. V. 80, № 4. P. 931-954.

56. Pansu P. Metriques de Carnot —Caratheodory et quasiisometries des espaces symetriques de rans un // Ann. of Math. 1989. V. 129. P. 1-60.

57. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces // Notas de Mateinatica No. 39, Instituto de Matematica Рига e Aplicada, Conselho Nacional de Pcquisas, Rio de Janeiro, 1968.

58. Rotschild G. В., Stein I. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups j j Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

59. Sanches-Calle A. Fundamental solutions and geometry of sums of squares of vector fields // Invent.Math. 1984. V. 78. P. 143-160.

60. Schauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z. 1934. Z. 38. P. 257-282.

61. Smith К. T. Formulas to represent functions by their derivatives // Math. Ann. 1970. V. 188, № 1. P. 53-77.

62. Stampacchia, G. Contributi alia, regolarizzazione della soluzioni dei problemi al con-torno per le equazioni del secondo ordine ellittiche // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. 1958. V. 12. P. 223-245.

63. Stampacchia G. Problemi al contorno ellittici, con dati discontini, dotat di soluzioni holderiane // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1960. V. 51. P. 1-38.

64. Stampacchia G. On some regular multiple integral problems in the calculus of variations j I Comm. Pure and Appl. Math. 1963. V. 16. P. 383-421.

65. Stein E. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton University Press, 1993.

66. Vodopyanov S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics. 2007. V. 424. P. 303-344.

67. Xu С. J. Regualarity for quasi-linear second-oreder subelliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1992. V. 45. P. 77-96.

68. Xu C. J., Zuily C. Higher interior regularity for quasilinear subelliptic systems // Prepublications Univ. Paris-Sud Math. 1995. V. 425. P. 1-24.