Теоремы существования и аппроксимации в некоммутатиивном геометрическом анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Грешной Александр Валерьевич

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ В НЕКОММУТАТИВНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

4852376

АВТОРЕФЕРАТ

Новосибирск-2011

4852376

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических нарт, профессор Берестовский Валерий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент Васильчик Михаил Юлианов1гч, доктор физико-математических наук, профессор Миклюков Владимир Михайлович. Ведущая организация:

Московский математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 22 сентября 2011 г. заседании диссертационного

совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.

С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертаниошгого совета

Гутман А. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть {.Xi}(=i,...,jv € C°(U), U С КЛ'. — базисные векторные поля, т. е. rank (Xi,..., Xn)(x) = rank(X(a;)) = N Vx € U, sup ||X(x)|| < Си,

для некоторой константы Си', здесь X — (ЛГхЛГ)-матрпца, г-й столбец которой совпадает с Xi, U — некоторая область. Пусть € С1 (U). Тогда мы имеем n

[Xi,Xj] = Y^, CijXk для некоторых функций Су е C{U). Разделим векторные к=1

поля {^¿"i}-i==ii...jjv на Т (1 < Т < N) непересекающихся наборов

Mi+1 = {Xmi+i,. ..,Xmi+J}, mi = const, г = 0,...,Т-1, m0 = 0.

Каждому векторному полю Xi сопоставим натуральное число i = deg-Xi = j, где j определяется по включению Xi € Afj. Пусть Hi — подрасслоение касательного расслоения, натянутое на все векторные поля Xj такие, что deg-Xj- < г. Полагаем Но — {0}, dim У/о = 0, dim Hi (х) = hi = mi + ■■■ 4- rrii = const для всех x e U, hi > 1, T = max degX*. Совокупность чисел hi, г = 1,..., T, и степеней

degXj, j = 1,..., JV, мы будем называть (формальной) градуировкой системы базисных векторных полей {Xj}t=i,...,jv, а сами базисные векторные поля — (формально) градуированными степенялт (deg Xi,..., deg -Xjy). Тогда для каждой точки х € U мы имеем следующую последовательность векторных пространств:

0 = Н0(х) С Нг{х) С • • • С Н~с(х) = TXU. (0.1)

Среди всех таких систем векторных полей нас особо будет интересовать случаи, когда комл1утаторы базисных векторных полей, формально градуированных степенями, самое большее, складывают степени, т. е.

[Xi,Xj]= Cij^C{U). (0.2)

tieg Xk <deg Xi+deg Xj

В этом случае мы будем говорить, что базисные векторные поля удовлетворяют условию (+deg). Примерами базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), являются: 1° векторные поля {•Xj}^....^ £ C°°(U), являющиеся базисом, адаптированным к фильтрации касательного пространства TU, порожденной эквирегулярной поляризацией, «натянутой» на векторные поля {Xi}i=ii...i„ С {Xi}i=1>...ijv Для некоторого п < N, 2° алгебры Карно, 3° алгебры Гейзенберга.

Напомним, что векторные поля {Xi}i=l T1. определенные на некотором гладком многообразии М. (число п, вообще говоря, не связано с dimjVI), удовлетворяют условгт Хёрмандера, если их значения вместе со значениями всех их коммутаторов до некоторого порядка г порождают в каждой точке х е М. все касательное пространство ТХМ. Если г — минимальное, то говорят, что векторные поля {Xj}j=ii...i„ удовлетворяют условию Хёрмандера степени г. Теперь на некотором гладком многообразии Л4 рассмотрим гладкие векторные поля п < dim ./VI, такие, что

1° {-Xjjj^...^ удовлетворяют условию Хёрмандера степени Т — 1,

2° размерность hi векторного подпространства Hi(x) С ТХЛЛ, х 6 j\4, натянутого на значения всех коммутаторов векторных полей Xi,..., Х„ до порядка i — 1 включительно (под коммутаторами нулевого порядка подразумеваются векторные поля не зависит от выбора х для каждого г.

Понятно, что векторные подпространства Щ(х) удовлетворяют условию (0.1) в каждой точке х € Л4. В этом случае будем говорить, что многообразие М. обладает эквирегулярпой поляризацией Hi с базисом векторных полей {X;}i=li „. Пусть при этом {Xi}i=ii...idimAi — базисные векторные поля такие, что Х%{х),..., Х^(х) образуют базис векторного пространства Щ(х), hi = п. Тогда базисные векторные поля {Xi}^!,... (];,„м удовлетворяют таблице (0.2), где degXi = min{j ] X, С Hj}, и называются базисом, согласованным с фильтрацией подрасслоепий касательного расслоения {0} = Н0 С Hi с ■ ■ • С Н~с = TU.

Каждому набору Mi, определенному выше, сопоставим некоторое положительное число ijii > 1; при этом полагаем, что фi < 1, г = 1,...,Т — 1. Введем в рассмотрение следующую анизотропную метрическую функцию

<1ф(д,и) = . max {К|1/и" | и = ехр(Ха)(д)\, ф = {фг,... ,г!т), (0.3)

n

где Ха = a ¡Xi, а = (ai,..., алг) — достаточно малый по длине вектор, = фj

i=l

в случае, если Xi S Mj, exp(XQ)(g) = х(1), где x(s) — решение следующей задачи Коши x(s) = Xa(x(s)), s 6 [0,1], х(0) = д. Если ф1 = i, г = 1,..., Т, то мы будем использовать обозначение drr вместо dВектор ф мы будем назвать сигнатурой набора векторных полей {Xi}i=1v Из (0.3) вытекает, что (¡ф удовлетворяет аксиомам неотрицательности и симметричности. В случае, когда векторные поля {Xj}i=1 ..1ЛГ совпадают со стандартным базисом евклидова пространства R", метрические функции <1ф удовлетворяют неравенству треугольника и широко используются в теории функциональных пространств Соболева и их обобщениях, и называются анизотропными метриками, показатели анизотропности которых совпадают с компонентами вектора ф (Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Водопьянов С. К., Романов А. С.). В случае векторных полей общего вида метрическая функция d^ может не удовлетворять даже обобщенному неравенству треугольника, однако хорошо известно, что в случае пространств Карно — Каратеодори метрическая функция dcr удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника, являясь тем самым квазиметрикой. В 1985 г. А. Нагель, С. Вэйнгер и Е. Стейн доказали, что квазиметрика dcc билипшицево эквивалентна метрике Карно — Каратеодори рсс (теорема Ball-Box). Напомним определение метрики Карно — Каратеодори. Рассмотрим С°°-гладкое связное риманово многообразие Л4. dim М. = N, снабженное С^-гладким распределением n-плоскостей, где п < N. Такое распределение Д сопоставляет каждой точке х £ М n-мерное векторное подпространство касательного пространства ТХЛ4 в точке х е ЛЛ. Абсолютно непрерывная параметризованная кривая 7(f), t € [а, Ь], называется горизонтальной, если -y(i) касается Д для почти всех t. Пусть значения векторных полей {Xi}i=il...in1 удовлетворяющих условию Хёрмандера в Л4, в каждой точке х 6 Л4 образуют базис линейного

пространства Л(х) (в литературе это условие обычно называют условие Чоу). Из классического результата Рашевского и Чоу вытекает, что любые две точки такого многообразия Л4 можно соединить кусочно непрерывно дифференцируемым горизонтальным путем конечной длины (сс-соединимостъ).

Определение 0.1. Расстояние Карно — Каратеодори pcc(u,v) между точками u,v G М определяется как pcc(u,v) = inf{Z(7) | 7 6 Cu,„}, где Cu,v — множество всех абсолютно непрерывных горизонтальных параметризованных кривых 7 С М, соединяющих и, v. Пространством Карно — Каратеодори называется пара (М.,р,,с)-

Здесь длина 1(7) параметризованной кривой 7 : [а, 6] —► Л4 вычисляется по ь

обычной формуле l(j) = J у/дм^Щ/гЩбЬ , где дм{-,~) — форма стандарта

ного риманова скалярного произведения многообразия ЛЛ. Часто в литературе метрику Карно — Каратеодори называют субриманоеой метрикой, а пространства Карно — Каратеодори — субрилшновъши многообразиями. Начало изучения пространств Карно — Каратеодори в математике и прикладных науках обычно датируют фундаментальной работой К. Каратеодори по основам термодинамики. Пространства Карно — Каратеодори и их частные случаи (группы Карно, Гейзен-берга) являются объектами интенсивного исследования в теории уравнений в частных производных, в теории потенциала, в квазиконформном анализе и теории пространств Соболева, в теории оптимального управления, в геометрической теории меры, в теории минимальных поверхностей, в комплексном анализе, в инженерных науках, связанных с робототехникой и механикой. Особое место в вариационном исчислении и теории оптимального управления занимает направление, посвященное исследованию кратчайших в метрике Карно — Каратеодори (сс-кратчайшие). Изучение сс-кратчайших существенно осложнено тем фактом, что, в отличие от римановых кратчайших, сс-кратчайшие являются экстремалями неголоношюй вариационной задачи в форме принципа максимума Понтрягина. Это приводит к абсолютно новым эффектам, не свойственным римановой геометрии, например, существованию среди сс-экстремалей так называемых анормальных экстремалей (abnormal extremals), аналитическая запись которых, в общем случае, не может быть сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям, разрешенным относительно старшей производной. Существует целое направление в теории оптимального управления, посвященное анормальным экстремалям. С «вычислительной» точки зрения использование метрики Карно — Каратеодори затруднительно. Учитывая теорему Ball-Box, практически всегда используется некоторая эквивалентная метрике Карно — Каратеодори квазиметрика: в получении оценок для параметриксов дифференциальных гипоэллиптических операторов, в субримано-вой геометрии, в геометрической теории меры на неголономных многообразиях, в квазиконформном анализе, и т. д.

Основной объект наших рассмотрений — пары (О, d^), где О С К" — некоторая область, на которой локально определена по правилу (0.3) метрическая функция Такие пары мы будем называть квазипространствами. При этом осо-

бое внимание мы уделяем квазипростраиствам вида (О, dec) и их частным случаям — группам и группалгебрам Карно. Если любые две точки квазипространства (О, dcc) можно соединить абсолютно непрерывной горизонтальной кривой, т. е. такой кривой 7(s) : [0, s0] -> (0,dcc), что для почти всех s 6 [0, s0] выполняется -у(s) € Hi(-y(s)), конечной длины, то такое квазипространство мы будем называть квазипространством Карно — Каратеодори.

Напомним, что канонической конечномерной группой Ли или группалгеброй называется аналитическая группа Ли Q такая, что Q отождествляется с Ж1*, единичный элемент — с точкой 0 (начало координат ~RN), групповая операция опре-датяется при помощи формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа и соответствующей таблицы коммутаторов, заданной на базисных векторных полях {ej}i=i.....N евклидова пространства экспоненциальное отображение группалгебры является тождественным отображением. В частности, группалгебру Гейзенберга И" мы можем представлять себе как евклидово пространство R2n+1 с системой координат (si, уг ..., хп, уп, z) и групповой операцией {xltyi,... ,xn,yn,z)-(x[,y[,... ,x'n,y'n,z')

= (zi +x[, yi +y[,. - ■, xn+x'n,y„+y'n, z+z'+2 YAyix'i-Xiy'S), базис левоинвариант-

ных векторных полей группалгебры Ип имеет вид Xi = dXi + 2yidt, Yi = dVi —2XiOt, T — dt. Изучение квазипространств (0,сЦ) мотивировано различными задачами, в частности, задачами теории сингулярных операторов и субэллиптических уравнений, задачами теории функциональных пространств, задачами многомерного комплексного анализа, задачами вариационного исчисления и оптимального управления, задачами сингулярной дифференциальной геометрии (субримановой геометрии), задачами геометрического анализа (включая квазиконформный анализ на общих метрических пространствах), задачами геометрической теории меры, задачами метрической геометрии, задачами теории тканей и квазигрупп, и др. Диссертационная работа большей частью мотивирована задачей о существовании однородной нильпотентной аппроксимации для базисных векторных полей №}i=i,...,iV € Cr(U), удовлетворяющих таблице (0.2), при минимальных предположениях на г, описанием общих подходов к геометрии квазипространств и развитию соответствующего аналитического аппарата, необходимых для неформального понимания аппроксимации квазипространств (О, da) их нильпотентными касательными конусами, вопросами теории дифференцирования отображений в субрима-новых (квази) метриках и задачами о существовании некоторых классов областей, связанных с пространствами Соболева и квазиконформным анализом, в субримановой геометрии.

Задача об аппроксимации нильпотентными алгебрами параметриксов (приближенных фундаментальных решений) дифференциальных гиноэллиптических операторов в вопросах регулярности их решений берет свое начало от фундаментальной работы Л. Хёрмандера о гипоэллиптичности операторов. В середине 70-х годов прошлого столетия образом возник следующий подход, сформулированный в обзорной работе Г. Фолланда (1977): на подходящих нильпотентных группах построить класс аппроксимирующих дифференциальных операторов для нахождения

парамегрикса, при помощи которого возможно получение соответствующих оптимальных оценок в функциональных пространствах Lp, Lip; ранее подобный подход был успешно реализован при получении теорем регулярности для дь комплексов на строго псевдовпуклых гиперповерхностях в С" в работах Г. Фолланда и Е. Стейна. В 1976 г. в работе Л. Ротшильд и Е. Стейна была развита специальная техника аппроксимации векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, — лифтинг (lifting), основанная на погружении «исходного» многообразия в многообразие больше размерности, касательное пространство которого имеет структуру свободной нилыготентной алгебры Ли. В дальнейшем техника лифтинга упрощалась (Р. Гудман) и использовалась другими авторами (А. Беляш, Ф. Джин). Другой подход к построению нилыготентной аппроксимации в случае векторных полей {Xi}j=i>...,„ е С°°(М), п < dimjVi, образующих базис эквирегулярной поляризации гладкого многообразия М, был разработан в Г. Метивьером (1976) в работе, посвященной изучению асимптотики спектра соответствующего сублапласиана; конструкция Метивьера не использует вложение исходного пространства в другое пространство большей размерности, аппроксимация происходит в «исходном» пространстве. Подобный подход к построению нильпотентной аппроксимации «в том же самом пространстве» для тех или иных наборов векторных полей широко используется в теории оптимального управления в так называемых задачах STLC (small-time local controllability) (Р. Бианчини и Г. Стефани, Г. Гермес, Г. Суссмаин). Несмотря на конструктивные различия, методы построения нильпотентной аппроксимации Родшильд и Стейна, Метивьера существенно используют опредатенные свойства систем координат 1-го рода и разложения Кэмпбел-ла — Хаусдорфа для векторных полей. В 90-х годах появилось несколько работ, в которых для построения нильпотентной аппрокснмаяшг векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, использовались другие системы координат (Г. Гермес, М. Громов, А. Беляш). Выбор других систем координат был мотивирован упрощением вычислений и получением более точных оценок. Дальнейшее развитие теории дифференциальных операторов и субримановой геометрии неизбежно неизбежно привело к вопросу о том, в каком же смысле пилъпотентпные алгебры Ли аппроксимируют «исходные» векторные поля. Используя результат Метивьера, Д. Митчелл в 1985 г. привел схему доказательства следующего факта: касательный конус (в смысле сходимости Громова — Хаусдорфа) в точке х 6 М к метрическому пространству (М,рсс), где М — пространство Карно — Кара-теодори, рс- — его метрика Карно — Каратеодори, изометричен метрическому пространству (Gx, р*), где р* — левоинвариантная метрика Карно — Каратеодори некоторой градуированной группы Ли Gx. Позже в известной работе М. Громова «Carnot-Caratlieodory spaces seen from within» появилась следующая равномерная относительно е > 0 оценка, известная как локальная аппроксимационная теорема Громова-. |pcc(v,u) - p*(v,u)| = o(s) для любых u,v € Bcc(x,iг), где Bcc(x,s) — шар в метрике Карно — Каратеодори многообразия М, обладающего Ст-гладкой эквирегулярной поляризацией, Т — степень неголономности многообразия М. Отметим, что результат Митчелла является следствием локальной аппроксимацион-

ной теоремы. В 1996 г. А. Белляш усилил оценку локальной аппроксимацион-ной теоремы в специальной привилегированной системе координат. Отметим, что результаты работ Метивьера, Митчелла, Белляша, Родшильд и Стейна, Нагеля, Стейна и Вэйнгера доказывались в предположении С30-гладкости или аналитичности векторных полей. Обычно, рассматривая те или иные задачи, связанные с анализом на пространствах Карно — Каратеодори, предполагают, что векторные поля С°°-гладкие. Изучение дифференциальных операторов, которые определяются при помощи негладких векторных полей, началось в 80-х годах с диагональных векторпых полей в К" (Б. Франчи, Е. Ланконелли, 1993). Задача построения нилыютентной аппроксимации для С1-гладких векторных полей, удовлетворяющих таблице (0.2), по-видимому, впервые была рассмотрена Громовым. Задачами, связанными с доказательством теорем Рашевского — Чоу, Ball-Box, теоремы о нилыютентном касательном конусе и локальной аппроксимационной теоремы при минимальных предположениях на гладкость векторных полей в начале 2000-х годов занимались М. Браманте, Л. Брандолини, М. Педрони, Б. Стрит, Д. Ситти, А. Монтанари, Д. Морбиделли, С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова, С. В. Селиванова, А. В. Грешнов. Теорема Рашевского — Чоу и ее обобщения при минимальных условиях на гладкость векторных полей традиционно являются предметом исследования в задачах теории оптимального управления. Так, в недавней работе Ф. Рампаццо и Г. Суссманна на основе методов сглаживания было введено понятие коммутатора для липшицевых векторных полей на некоторых подмножествах их области определения. В этой же работе авторы показали, что данный подход непригоден для определения коммутаторов более высоких порядков для липшицевых векторных полей.

Работы Громова, Митчелла, Родшильд и Стейна, Нагеля, Стейна и Вэйнгера существенным образом повлияли на развитие геометрического анализа, в частности, теории квазиконформных отображений и пространств Соболева, геометрической теории меры, на пространствах Карно — Каратеодори и общих метрических пространствах. В 1989 г. П. Паисю впервые ввел понятие дифференцируемое™ отображений «в терминах» метрики Карно — Каратеодори на группах Карно (V-дифференнируемость). Используя концепцию ^-дифференцирования, А. Кораньи и X. М. Рейманн систематизировали аналитические методы исследования квазиконформных отображений на группах Гейзенберга. Аналитический аппарат, позволяющий развить теорию квазиконформных отображений на группах Карно при минимальных предположениях был разработан С. К. Водопьяновым и его учениками. Используя результаты Д. Митчелла, Г. Маргулис и Д. Мостов разработали понятие диффереицируемости «в терминах» метрики Карно — Каратеодори (сс-дифференцируемостъ) на эквирегулярных пространствах Карно — Каратеодори. Концепция се-диффереицируемости Маргулиса и Мостова имела некоторые конструктивные недостатки, которые в дальнейшем ими устранялись. Используя аналог локальной аппроксимационной теоремы Громова для квазиметрик, С. К. Водопьяновым была предложена другая концепция дифференцируемое™ для пространств Карно — Каратеодори (hc-дифференцируемость), при помощи которой им

были доказаны теоремы типа Радемахера и Степанова о дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори.

Равномерные, ЛТЛ-области, области Джона играют важную роль в квазиконформном анализе и теории функциональных пространств, связанных с ним (пространства Соболева, В МО). Для содержательного построения теории квазиконформных отображений и пространств Соболева на метрических пространствах необходимы примеры областей Джона, равномерных и ЛГТЛ-областей, которые определяются в геометрии рассматриваемого метрического пространства. Для многообразий с римановой метрикой построение примеров областей указанного выше типа (во всяком случав локально) не составляет никакого труда. Однако ситуация радикально меняется в случае пространств Карно — Каратеодори. Любой шар в метрике Карно — Каратеодори (сс-шар) является областью Джона, но неизвестно — является ли сс-шар общих пространств Карно — Каратеодори односвязной областью, соответственно, неизвестно — существуют ли на общих пространствах Карно — Каратеодори односвязныс области Джона. Трудности, которые возникают при поиске равномерных и NT А-областей в метрике Карно — Каратеодори, хорошо видны на примере сс-шаров группы Гейзенберга. В 1995 г. С. К. Водопьяновым и А. В. Грешновым был получен первый нетривиальный пример ограниченной равномерной области в сс-геометрии — шар в метрике Карно — Каратеодори на группе Гейзенберга Н1. Работы С. К. Водопьянова, Л. Капонья, Н.Гарофало инициировали дискуссию о том, являются ли ее-шары группы Гейзенберга NTA-областями. В 1995 г. Л. Капонья и Н.Гарофало получили отрицательный ответ на этот вопрос. Ими же был сформулирован следующий вопрос: является ли сс-шар произвольной группы Карно равномерной областью или нет. Отметим, что вопрос о существовании равномерных областей в сс-геометрии ставился ранее и другими авторами (Р. Уиттманн, 1987). В работах Л. Капонья и Н.Гарофало в 1995-1988 гг. был построен достаточно широкий класс равномерных и NT А-областей на 2-ступенчатых группалгебрах Карно; в частности, ими было доказано, что любая ограниченная область с С1Д-гладкой границей является JVTVl-областыо. Отметим, что до сих пор не известно: существуют ли ограниченные равномерные и NTA-области на т-ступенчатых группах Карно, где т> 2.

Цель работы. Доказательство существовании однородной нильпотентной аппроксимации для базисных векторных полей {A'i}^, . ^ 6 Cr(U), удовлетворяющих условию (+deg), при минимальных предположениях на г, описание общих подходов к геометрии квазипространств и развитие соответствующего аналитического аппарата, необходимых для неформального понимания аппроксимации квазипространств (0,dcc) их нильпотеитными касательными конусами, применение полученных результатов к вопросами дифференцирования отображений в субримано-вых (квази)метриках; доказательство существования некоторых классов областей (равномерные и NT А области, области Джона), связанных с пространствами Соболева и квазиконформным анализом, в субримановой геометрии. Методы исследований. В диссертационной работе используются методы математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационно-

го исчисления и оптимального управления, методы группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории функциональных пространств, методы теории пространств с внутренней метрикой, методы метрической геометрии и геометрической теории меры.

Научная новизна. Все главные результаты являются новыми, выполнены оригинальными методами. Наиболее существенными из полученных в диссертации результатов представляются следующие.

1. Вывод аналогов формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа для С""-гладких базисных векторных полей при различных показателях г.

2. Доказательство существования однородной нильпотентной аппроксимации для С1-гладких базисных канонических векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), в начале координат евклидова пространства Ш1*, и, как следствие, доказательство существования однородной нильпотентной аппроксимации для общих С2-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), в произвольной точке.

3. Необходимые и достаточные условия для базисных векторных полей для того, чтобы метрическая функция d^, определенная по правилу (0.3), была квазиметрикой; нетривиальные примеры таких квазиметрик (квазиметрики dcc).

4. Доказательство локальной аппроксимационной теоремы: для С1-гладких базисных канонических векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), при априорных условиях более слабых, чем принадлежность классу С1а, и, как следствие, для общих С2-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+dcg); для общих С1-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+ deg), в случае Т = 2.

5. Получение аналога сходимости по Громову — Хаусдорфу для компактных квазипространств и доказательство соответствующего аналога теоремы Митчелла о касательном конусе.

6. Примеры квазипространств Карно — Каратеодори в случаях: С2-гладких базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+deg), выражающихся через свои коммутаторы согласованно; недифференцируемых векторных полей типа Леви.

7. На квазипространствах вида (Е/т,(^е) для достаточно широкого класса абсолютно непрерывных горизонтальных кривых доказано, что почти всюду обычная сходимость контролирующих координатных компонент горизонтальной кривой к некоторому направлению в точке (аналог обычной дифференци-руемости) влечет дифференцируемость всех координат рассматриваемой кривой (в смысле dcc) в той же точке; как следствие, доказана сс-дифференцируе-мость се-липшицевой кривой во всех точках существования ее обычной производной, а для произвольной абсолютно непрерывной горизонтальной кривой — для множества точек более широкого, чем точки лебегова множества производной контролирующих компонент рассматриваемой кривой.

8. Построены примеры равномерных, ЛГТМ-областей, областей, удовлетворяющих одновременно условиям внутренней и внешней спиралей на группалгеб-

рах Карно и более общих метрических пространствах. Исследована геометрия шаров в метрике Карно — Каратеодори на общих группалгебрах Гейзенберга, в частности, доказана их равномерность и выполнение для них условия внутреннего сс-однородного конуса. На группе Гейзенберга И1 найдены точные константы в теореме Ball-Box. Теоретическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории субэллиптических уравнений, теории функциональных пространств, теории квазиконформных отображений на группах Карно и объектах более общей природы, в субримановой геометрии, и др. вопросах. Апробация работы. Результаты работы докладывались на 18 Рольф Неванлинна Коллоквиуме (8-12 августа 2000 г., Хельсинки, Финляндия), на 3-м международном конгрессе по анализу ISAAC (20-25 августа 2001 г., Берлин, Германия), на 19 Рольф Неванлинна Коллоквиуме (10-14 июня 2003 г., Университет Иювяйскю-ля, Йювяйскюля, Финляндия), на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной 100-летию со дня рождения С. М. Никольского (23-29 мая 2005 г., Москва, Россия), на международной конференции, посвященная 100-летию со дня рождения И. Н. Векуа (28 мая-2 июня 2007 г., Новосибирск, Россия), на 16 международном Коллоквиуме «Integrable Systems and Quantum symmetries» (14-16 июня, 2007 г., Прага, Чехия), на международной конференции «Математика в современном мире» (17-23 сентября 2007 г., Новосибирск), на международной конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (5-12 ноября 2008 г., Новосибирск, Россия), на международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (14-20 сентября 2009 г., Новосибирск), на общепнститутском математическом семинаре ИМ СО РАН, на семинаре по геометрическому анализу ИМ СО РАН (руководитель: д.ф.-м.н. С. К. Водопьянов), на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН (руководитель: академик РАН Ю. Г. Решетняк), на семинаре ИМ СО РАН «Геометрия, топология и их приложения» (руководитель: чл.-корр., д.ф.-м.н. И. А. Тайманов), на семинаре по многомерному комплексному анализу МГУ (руководители: д.ф.-м.н. Чирка Е. М., д.ф.-м.п. Белошапка В. К., чл.-корр., д.ф.-м.н. Немировский С. Ю., д.ф.-м.н. Сергеев А. Г.). Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-18]. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 10 глав, списка литературы, предметного указателя и списка обозначений, занимает 331 страницу. Библиография включает 205 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий исторический обзор и сжато излагаются основные результаты диссертации.

В Главе 1 получены вспомогательные результаты о свойствах систем координат, индуцированных липшицевымп базисными векторными полями {X¿ },;=i,...,jV G С0,1 (U). Особое внимание уделено системам координат 1-го рода (экспопенци-

алъным отображениям), которые определяются при помощи отображения вд : Ве(0,Тд) —> Од С 17, д е 17, действующего как 9д : (а^,..., х^) —» ехр(Х1)(</) =

N

вд(х, 1) = V, 0д(0) = д, Хх — ХгХ^, здесь для каждого вектора начальных зна-

1=1 _

чений х € Ве(0,Тд) выражение 03(а;,з) обозначает точку на интегральной линии векторного поля Хх, находящуюся на временном расстоянии я, если двигаться от д в сторону возрастания параметра, Ве(0, Тя) — шар в стандартной евклидовой метрике (1е некоторого радиуса Тд.

Определение 1.3. Числа х\,...,хц, шах 1х;| < Т„, которые определяются из

равенства вд(х) = V, х = (ц,..., хя), называются каноническими координатами 1-го рода или нормальными координатами точки и. Таким образом, отображение вд задает систему канонических координат 1-го рода или нормальную систему координат в некоторой окрестности точки д.

Теорема 1.1. Пусть {Х^-!.....ц е С0,1 (17) с константой Липшица Ь. Тогда

1° существует положительное число ед такое, что отображение 9д является гомеоморфизмом на Ве(0,ед);

2° на Ве(0,ед) отображение вд является липшицевым с константой Липшица ¿х, зависящей от Ь, N. ед и Си',

3° отображение вд непрерывно зависит от д, более того, \вд(х, 1) — 9д(х, 1)| < Ь2\д — для некоторой константы Ь2, зависящей от Ь, Ы, еэ и Си;

4° величина ед непрерывно зависит от д € 17.

Лемма 1.1. Пусть {-Х\}£=11 € С0,1 (17) с константой Липшица Ь. Тогда существует область О С 17 такая, что О С 0д(Ве(0, б)) для каждой точки д € О, е = | д е О}, где ед — из теоремы 1.1.

Лемма 1.2. Пусть 6 С°'1(17) с константой Липшица Ь. Тогда

для любой области О С. О такой, что (1е(0,д0) > 0, найдется положительное число ё, зависящее от <1е(0,д0), Ь, Си, е из леммы 1.1, такое, что для любых векторов а = (ах,..., алг), Ь = (Ьг,..., Ьм), тах{|а|, |6|} < ё, и любой точки д 6 О найдется единственный вектор с9 = с9(а,Ъ) = такой, что ехр(Хь) о

(;хр(Х)(<7) = ехр(Хг,)(д) С О.

В Главе 2 для базисных векторных полей 6 С(17), г £ К, изу-

чаются свойства вектор-функции IУд(а,Ъ,Ь,з) = ехр(яХ(,) о ехр^Ха)(д), в,4 € К, N N

где Ха = щХ1, Хь = V] Ь1Хг, д е 17, и нормы векторов о = («ц,..., вдг), •=1 ¿=1

Ь = (&1,..., Ън) достаточно малы. Нами получены некоторые аналоги разложений Кзмпбелла — Хаусдорфа, при помощи которых выведена формула дифференциала экспоненциального отображения вд.

Следствие 2.1. Пусть 6 См(17), 2г < М, — набор базисных век-

торных полей. Тогда найдется положительная константа т, т < I, такая, что

равномерно по д € О и а, Ь 6 Ве(0,т) выполняется асимптотическое равенство

г+1

ехр(Хь) oexp(X„)(ff) =exp(^2i(Xi,,Xa))(s) + Дг+1(а,6,3),

¿=1

Z, € CM-r Vi, ЛГ+! 6 CM-r, Rr+1(a, Ь,д) = о(|(о, Ь)|г+1),

Яг+1 (fc6,6, д) = Яг+1 (а, Ага, а) = О, для всех достаточно малых по модулю чисел k Е R.

Здесь 2j(Xj„ Х0) — соответствующие г-полиномы Ли. Используя следствие 2.1, в лемме 2.2 мы получили формулу дифференциала экспоненциального отображения вд, индуцированного С2г+1-гладкими базисными векторными полями.

Лемма 2.2. Пусть {Xi}i~ 1,...,лг 6 См, 2т + 1 < М, г е N, — базисные векторные поля, Хо = 9д(а), х0 ф д. Тогда

г+1

S ZfctXa + sXi, — Ха) ((0я).е4)(хо) = Km —---(хо) +о(|а|г). (2.21)

Для С°°-гладких векторных полей формулу (2.21) можно найти в известной работе А. Нагеля, Б. Стейна, С. Вэйнгера (1985), посвященной доказательству теоремы Ball-Box.

Если базисные векторные поля имеют гладкость СТ, то получение аналогов разложений Кэмпбелла —Хаусдорфа степени большей г для композиции ехр(-Хь) о exp(Ха)(д) методом доказательства следствия 2.1 невозможно; в связи с уменьшением гладкости векторных полей Хь. Ха необходима модификация «аппроксимирующего» векторного поля. Теоремы 2.4, 2.5 дают необходимые модификации в виде векторного поля ХсВ(а^Ь), где вектор-функция с3(а,Ь) определялась выше в лемме 1.2. Рассмотрим базисные векторные поля {-X"«}«=i,...,jv £ C(U). Из известных теорем теории о. д. у. вытекает, что для любых векторов о, Ь £ таких, что величины |о|, \Ь\ достаточно малы, найдется единственный вектор с3 = ся(а,Ь) =

(с?,..., с®,)(а, Ь) 6 Ст такой, что Wg{a, Ь, 1,1) = ехр( £ с%ХЛ(д) = ехр(Х с°)(д)- Из

4=1 '

определения с9{а,Ъ) вытекает, что с3(0,6) = Ъ, ся(а, 0) = а, при этом отображение с3(а,Ь) в общем случае не ассоциативно, т. е. ся(х, Теорема 2.4.

1° В случае г = 1 вектор ся(а,Ъ) определяется из следующего тождества

XaS{a,b)(g)= (xai + l[Xa,Xb])(g) + R2(g,a,b), а1=а + Ь, (2.31)

где Ro (а, Ь, g) = (Я£,..., R?) (а, Ъ, д) = о(| (а, 6) |2);

2° в случае г — 2 вектор с9(а,Ь) определяется из следующего тождества

X („Л (х XI I [Ха,[Ха,ХЬ]] [Х„,[ХЬ,Ха}} Х&(а,Ь)(9) = [Ла1 + ~\Ла,ЛЪ\ Н--^--1--JTj-

+ Хй2)(з) + Л3(о,Ь,д), (2.32)

где а! = а + Ь, Я.3(а,Ь,д) = ..., )(а,Ь,д) = о(|(а,Ь)|3), и вектор а2 определяется из тождества

. n n

4 £ Ц(Х«+ьС&(9)Хк(д) = Х(,2 (.<?)■ (2.33)

¡,.7=1 к=1

Теорема 2.5. Пусть {Х^<=1_ >лг £ С"". Тогда имеют место следующие разложе-г+1

«ияс9(а,Ь) = а+Ы-Е ^(а,Ь)+Лг+1(а,Ь,Я), ^(а.Ь.р) = ..., 11?+1)(а, Ъ,д)

г=2

= о(|(а,Ь)|г+1) е Сг, где при фиксированном д выражение Р^ (о, Ь) — N-мерный вектор, компоненты которого суть однородные полиномы порядка г, причем среди этих полиномов нет таких, которые зависели бы только от компонент вектора а или только от компонент вектора Ъ, и ка, д) = Лг(кЬ,Ь,д) = 0 для всех достаточно малых по модулю чисел к б К.

Выводом аналогов формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа в системе координат 2-го при минимальных предположениях на гладкость базисных векторных полей занимались М. Враманте, Л. Брандолини и М. Педрони (2008), А. Монтанари и Д. Морбиделли (2008).

В Главе 3 в области V С К" рассматриваются С-гладкие базисные векторные поля удовлетворяющие условию (+с^), и базисные векторные поля {Х?}3=11...^ е СТ(и) такие, что значения векторных полей X?, з =

1ч

образуют базис Н^х) для каждого х 6 и. Тогда X" = ¿2 Ьк^Хк,

^ = 1,..., ЛГ, аеёX? = с!еёХ^ Ък4 б Сг(и), т. е. Хв = ХВ, где X, Хв —* Ю-матрицы, г'-е столбцы которых совпадают с Х^ X? соответственно. Векторные поля мы будем называть в дальнейшем В-связанными с векторными

полями

Определение 3.2. Каждому натуральному числу г от 1 до N сопоставим некоторое натуральное число degг так, что degl < deg2 < - •• < deg^V. Определим следующий неоднородный оператор растяжения

6с:х = (х1,...,х„) -» = с>0. (3.12)

В случае, когда degг = 1 для всех г = 1,..., ТУ, мы будем использовать обозначение Если же deg г = deg Хг для всех г = 1,..., ЛГ, то будем говорить, что оператор 8С согласован с градуировкой векторных полей {Х^{=1.....

Пусть в* : ^ ехр(£>Х?)(д), <?эв(0) = ^(0,...,0) = д, -

С*"-гладкий диффеоморфизм некоторого шара Ве(0, с®) на некоторую окрестность Од с и точки д. В случае В = Е мы используем обозначение вд, где Е — (.¡Ух ЛГ)-единичная матрица.

Определение 3.3. Для каждой матрицы В определим следующий неоднородный оператор растяжения Af•g = 0" о 6С о (0®)-1, degг = ЛецХ;, г = 1,..., ЛГ, согласованный с градуировкой базисных векторных полей {Х®}4=],...1дг.

Если В = Е, то мы используем обозначение Д®.

n

Для каждого мультииндекса о = (alt... ,aN) обозначим |а| = £ а«> Mh =

¿=i

n

¿ ai deg Xi; также для всех г = 1,..., N полагаем X? = (вд 1)tXi, и пусть Вох(0, е) = ¿=1

{ U (аь... ,олг) 6 RN I |а<| < £degXi}. Из определения отображения вд вытекает, что, каковы бы ни были С1- гладкие базисные векторные поля {-Xi}i=i,...,jv, мы имеем Х3(х) = Е + о(1) при х —> 0, где Хв — (N х ЛГ)-матрина, г-й столбец которой совпадает с X?.

Определение 3.5. Рассмотрим некоторые базисные векторные поля {.У«}»=1,...,лг, определенный в некоторой окрестности начала координат евклидова пространства М", градуированные степенями, такие, что элементы матрицы X = (x™)n,m=i,...,N, m-й столбец которой совпадает с Хт, тп ~ 1 ,...,N, равномерно по е е (О,Г), где ê — некоторое фиксированное число, удовлетворяют асимптотическим условиям

Г 5™ + 0(е), п<т,

х™ = ^ 0{е), х™ 6 А{,t, х™ £ diag

[ х™ е Aij, i > j,

или

( 6? + o( 1), n < m,

x™ = < o(l), x™ e At,i, x™ ф diag Лм,

[ O(e^), x%e Atj,i>j,

на множестве Вох(0,Ее), где Aij, 1 < i,j < T, — часть матрицы X, представляющая из себя прямоугольную матрицу, образованную элементами х™ такими, что 1 < п < hi, hj-1 < m < hj, и H > 0 — некоторая достаточно большая константа, одна и та же для всех е 6 (0,е). Тогда мы говорим, что набор векторных полей {Xj}j=il...,Ar удовлетворяет 0(Е)-асимптотическим условиям или о(1)-асимптотическим условиям. Если мы, рассматривая набор базисных векторных полей {Ari}i=1,...iAT, говорим, что базисные векторные поля {Xf }î=i,...,jv равномерно по g удовлетворяют 0(е)-асимитотическим условиям (о(1)-асимптотическим условиям), то имеется ввиду следующее: числа S, Е, введенные выше, не зависят от д.

В Главе 3, применяя результаты Главы 2, мы выводим формулу для дифференциала отображения , индуцированного базисными векторными полями {Xf b=i,...,jv G С2Т~Х(1/), при помощи которой нами доказана Теорема 3.2. Пусть {Xi}i=i,...,jv 6 C2T~1(f) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (+deg). Тогда векторные поля {^f}t=i,...,Ar удовлетворяют О (s)-асимптотическим условиям.

Результат теоремы 3.2 для случая С°°-гладких векторных полей в другом виде был получен Г. Метивьером в 1976 г. в работе, посвященной изучению асимптотики спектра сублапласиана, который определялся при помощи векторных полей, удовлетворяющих условию эквирегулярности. Используя теорему 2.4, в Главе 3 нами получена следующая

Теорема 3.3. Пусть {-Х|}ч=1,...,лг € Ст_1(£7) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (-l-deg). В случаях Т = 2,3 имеют, место следующие разложения

с?(а,Ь) = а; + 6, + • Ь3 + Ь,д), Ь,5) = о(|(а,Ь)|т),

2<]а+/3|<Т <1е8*4<|а+.в|я

(3.25)

где = с9 б Ст-1 — из теоремы 2.4, д € О, а,Ь € Ве(0,ё), коэффици-

енты зависят от д и не зависят от выбора а, Ь; при этом Р^'д — 0(9)

в случае degXi = 4- ¡3\н. Координаты векторных полей X? = в стап~

3=1 3

дартном базисе д^-,---, в точке х = (х1,...,хм) гимеют вид

3 = 3 + £ + Р<(*) = °(ИТ"2)- (3.26)

2<|а+е(|<Т ■¡<|а+е(|ь

В Главе 4 доказано существование в окрестности выделенной точки д 6 и однородной нилыготентной аппроксимации базисных векторных полей {Х,-}*=11Лг £ Сг(и), удовлетворяющих условию (+ Лец), при различных показателях г и Т.

Рассмотрим канонические базисные векторные поля {Х;};^..^ € С1 (О), градуированные степенями, удовлетворяющие следующей таблице коммутаторов

[ХиХ,\{х)=( С^Хк)(х), хео, (4.32)

где О — некоторая окрестность начала координат евклидова пространства К", С,*(х) е С0(О) — некоторые функции такие, что С^(х) = 0 в случаях degX¡ + degX^• < ёед Хь, т. е. коммутаторы векторных полей {-^¿^^....лг, самое большее, складывают степени.

Теорема 4.5. Пусть € С1 (О) — базисные канонические векторные

поля, градуированные степенями, коммутаторы которых, самое большее, складывают степени. Тогда на некотором множестве Вох(О.Ео) С О выполняется

(¿1/*). ° Х(6ех) о =5е_0 *(*),

гдее 6 (0,1), X = Х(х) € Сх(Вох(0,е0)) — нижнетреугольная (ЛГхЛГ)- матрица с диагональными элементами равными 1.

Пусть — г'-й столбец матрицы X из теоремы 4.5, dege¡ = degX¡. Утверждение 4.7. Векторные поля {Х4}г=1,...,лг являются базисом левоинвари-антных векторных полей градуированной алгебры Ли V нильпотентной степени Т некоторой группалгебры Ли при этом на Вох(0, е0) выполняется следующая таблица коммутаторов

[Х4,Х,](х)= ( СЦхл)(х), = 0). (4.47)

е^с^ =deg е* 16

Определение 4.4. Векторные поля {X,-}i=li...iiV назовем канонической^ однородной нилъпотентной аппроксимацией канонических векторных полей {Xj}i=ii...,jv в окрестности точки 0, а соответствующую градуированную группалгебру^Ли Q — каноническим нильпотентным касательным KonycoAt векторных полей в точке 0.

Пусть Xf = £des x'Xi, г = 1,..., N, ||e||h = . max \ai\'s^, где a = (оь ..., aN). Из теоремы 4.5 и утверждения 4.7 вытекает следующая

Теорема 4.6. Пусть 6 C2(U) — базисные векторные поля, удовле-

творяющие условию (+deg). Тогда найдутся положительные константы so, v такие, что для каждой точки д 6 О выполняется 1° (A31/e),Xf X?, г = 1,..., N,

[(Д?/г). Xf, (Д?/г).Х|] [Xf, Щ], i,j — l,...,N,

равномерно на 0g(Box(O, £о))>

2° векторные поля {-Х/}*^,...,^ образуют базис векторных полей градуированной алгебры Ли Vя нильпотентной степени Т и удовлетворяют на 6s(Box(0,£o)) следующей таблице коммутаторов [Xf,Xj] = Y1 W}Xj!, Су =

deg Xi+deg Xj—deg Xh

3° групповая операция W9 : G3 х G3 —> G-' на локальной группе Ли G3, соответствующей алгебре Ли Vs, задается по правилу

Wg(u, и) = и ■ v = w, где и = ехр(Х®)(д), v = ехр(ХЦ)(д), a,be Вох(0, veo), w = ехр {Х',^ь})(д) = ехр(Х°) о ехр(Х°)(д); (4.52)

векторные поля {-Xfb=i.....n левоинвариантны относительно Wa и однородны

относительно действия оператора растяжения-. edegх'Х?(Аяи) = (Ая)гХ?(и), г = 1,..., N, и 6 <G9; единица группы Gs совпадает с точкой д\

4° для компонент вектор-функции cs(a,b) из (4.52) справедливы следующие разложения

%(а,Ь) = ъ + Ь+ J2 (4'53)

ilegXi=|a+/3U

совпадающие с координатной записью группового ядра градуированной нильпотентной степени Т группалгебры Ли Q9 со структурным оператором

C0(ei,eJ)= C^ek, где = C^(g) = const;

deg Xj+deg Xj=deg Xk

5° для компонент вектор-функции c"(a,b), определяемой тождеством exp(XrJ,(ait,))(g) = ехр(Хь) о exp(Xa)(s), а,6 6 Вох(0,ve0), справедливы следующие разложения

4(a,b)=ai + b,,+ Y. ^аа-ЬР + Щ{а,Ь), (4.54)

dcgxi = |a+i;u

где остатки Щ{а,Ь) = о((||о||л + ||Ь||ь)<1е8'*4) обладают следующим свойством: Щ(та,а) = Щ(а,та) = 0 для всех достаточно малых по модулю гей, и асимптотика остатков Щ (а, Ъ) равномерна по а, Ь;

6° ехр(Хс)(д) = ехр(ХЦ)(д) для всех с - (сь ..., ед), где величина |с|ос достаточно мала.

Определение 4.2. Набор векторных полей называется однородной

нильпотентной аппроксимацией векторных полей в окрестности вы-

деленной точки д.

Определение 4.3. Нильпотентная группа С3, соответствующая алгебре Ли, порожденной векторными полями {Х®Ь=1,...,лг, называется нильпотентным касательным конусом векторных полей {-Х"г}г=1,...,лг в выделенной точке д.

Также в Главе 4 в теоремах 4.2, 4.4 для базисных векторных полей {Х;}^-^...,^ 6 С1 (Л), градуированных степенями, удовлетворяющих условию Т = 2, в

предположении, что для функций р)(х) из теоремы 3.3 выполняются асимптотические условия рУ = о(|х|т_1), degXi = I, з > /гТ-1, доказано существование однородной нилъпотентной аппроксимации в окрестности выделенной точки д методом, существенно отличным от доказательств теорем 4.2, 4.4. Отдельно в Главе 4 мы привели доказательство существования однородной нильпотентной аппроксимации для С2Т-1-гладких векторных полей, удовлетворяющих условию основанное на теореме 3.2 и идеях работ Митчелла и Метивьера. Задача о существовании однородной нильпотентной апроксимации для базисных векторных полей, удовлетворяющих условию Т = 2, рассматривалась С. К. Водопья-

новым и М. Б. Кармановой (2009).

Другой важный результат в Главы 4 содержится в следующей теореме. Теорема 4.7. Пусть € С"т(17) — базисные векторные поля, удовле-

творяющие условию (-!-deg), и {Х?}г=1,...,лг — В-связанные с век-

торные поля. Тогда для каждой точки д е 17 отображение 9д о В(д) о (6»в)-1 осуществляет локальный изоморфизм нильпотентных касательных конусов С, С3-».

В теореме 4.7 В — блочно-диагоиальная (./V х Л^)-матрица, получающаяся из матрицы В заменой всех элементов, не принадлежащих блокам Вг^, г = 1,..., Т, на 0, где Вк+и+1 = (Ьи), К < г < Ы < ] < Лг+1 для к, I = 0,..., Т - 1,

и — ннльпотентный касательный конус, соответствующий векторным полям

{.ДГ®}ч=1 .у, в точке д. Из теоремы 4.7 вытекает, что нильпотентпый касательный конус в выделенной точке является единственным с точностью до изоморфизма. Задача о единственности (с точностью до изоморфизма) нильпотентною касательного касательного конуса для векторных полей, удовлетворяющих условию (+ (1ее), также рассматривалась Г. Маргулисом и Д. Мостовым (1995, 2002), С. К. Водопьяновым и М. Б. Кармановой (2009).

В Главе 5 изучаются функции йф из (0.3). Найдены необходимые и достаточные условия для базисных векторных полей для того, чтобы метрическая функция йф была квазиметрикой, построены нетривиальные примеры таких квазиметрик.

Определение 5.1. Неоторицательиая функция d,a, определенная на А х А, где А — некоторое множество, называется квазиметрикой, если:

Io (Ia(u,v) > 0 (аксиома неотрицательности), (Ia(u,v) = 0 тогда и только тогда, когда и = v (аксиома тождества);

2° v) < ka<Ía(v,u) для некоторой константы кд, не зависящей от выбора

и, v (аксиома обобщенной симметричности)', в случае, когда к а = 1 говорят, что £¿A удовлетворяет аксиоме симметричности;

3° <1a(u,v) < + cIa(w,v)) для некоторой константы <2л, не завися-

щей от выбора u,v,w 6 А (обобщенное неравенство треугольника).

Пару (Л, cLa) мы будем называть квазиметрическим простртапством или квазипространством; константы к a, Qa из 2°, 3° — квазиконстантами. В случае к a = Qa = 1 функция d,a называется метрикой, а пара {А, (1а) — метрическим пространством. Теорема 5.4.

Io Пусть {Xijti^.^ív 6 C2(U) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (+deg). Тогда найдется область О-г, От С U, такая, что функция dcc '■ Оу х От —* U {0} является квазиметрикой на От;

2° пусть {^¿}¿=i,...,Ar £ С1{U) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (+deg), Т = 2. Тогда найдется область От, От С U, такая, что функция drr : От х От —> U {0} является квазиметрикой на От ,'

3° пусть {-Х'»3'»=1,—,лг £ С1 (U) — базисные векторные поля, градуированные

степенями, такие, что векторные поля {X?}i=1.....дг равномерно по g £ О, где

О — некоторая подобласть из U, удовлетворяют о(\)-асилттотическим условиям. Тогда найдется область От С О такая, чтпо функция dec : ОтхОт К+и{0} является квазиметрикой на ОтВ С^-гладком случае теорема 5.4 вытекает из теоремы Ball-Box Нагеля, Стей-на и Вэйнгера. Вопросы существования квазиметрик на многообразиях Карно при минимальных предположениях на гладкость векторных полей изучались С. К. Водопьяновым и М. Б. Кармановой (2009).

Следующие теоремы, установленные в Главе 5, показывают, что между обобщенным неравенством треугольника для квазнметрик dy из (0.3) и таблицей (0.2) существует глубокая взаимосвязь.

Теорема 5.2. Пусть {Xj}^!,...^ £ C2(U) — базисные векторные поля с сигнатурой ф. Предположим, что для колтонент вектора ф выполняется следующее условие: < 3. Тогда функция dф является квазиметрикой в некоторой области Оф, Оф С U, тогда и только тогда, когда векторные поля удовлетворяют в области Оф следующей таблице коммутаторов

[**,*«]= Е °íiXj, CieC'iU). (5.12)

Пусть {Xj}^!,...,^ £ С, г > 2. По теореме 2.5 мы имеем c¡ — cf(a£,6T) = a¡£Wi + + S'r+1(a£,ЪТ) + R\.+1(aE,ЬТ, g), где S*+1(ac,bT) представляет собою ко-

нечную сумму слагаемых вида

..-ат„ЬР1 .. , 2 < п + д < г + 1, п,д € N.

Теорема 5.3. Пусть е Сг{и), г > 2, — базисные векторные по-

ля с сигнатурой ф. Предположим, что для компонент вектора ф выполняется следующее условие: ^ < г + 1. Тогда

1° для того, чтобы функция <1-ф была квазиметрикой в некоторой области О у С и, необходимо, чтобы векторные поля удовлетворяли таблице (5.12);

2° функция Л* является квазиметрикой в области Оу, С и тогда и только тогда, когда для всех г и для всех д € О,/, в сумме (а<г> отсутствуют

слагаемые, для которых выполняется шт1 Ч----+ и>т„ + шР1 + • ■ ■ + шРя <

Введем обозначение Вохсс(х,г) = 01(Вох(О,г)). В Главе 6 нами установлены различные варианты локальной аппроксимационной теоремы Громова для квазиметрик <1СС, получено подходящее обобщение понятия сходимости по Громову — Хаусдорфу для компактных квазиметрических пространств, при помощи которого установлена равномерная сходимость квазипространств (Вохсс(д,г/^,4йсс) к квазипространству (Вох®(д, г),й%) при Ь —> со (аналог теоремы Митчелла о касательном конусе).

Обозначим через квзиметрику, которая определяется при помощи векторных полей {АГ?в некоторой окрестности Оя точки д по правилу (0.3), где

и>] = degXj, и пусть Вох%{х,г) — открытый шар в квазиметрике й90\ для каждо-

N _

го вектора Ь = (Ь1;..., Ья) мы используем обозначение X® = Ь»Х?. Рассмотрим

¿=1

базисные векторные поля {Х;};^...^ 6 С1({7), удовлетворяющие условию (+deg), Т = 2. Их формальной однородной нильпотентной аппроксимацией назовем такие векторные поля {X?}*=1,...,лг, что векторное поле (0совпадает с г-м столб-э(с«(Д,Ь),...,<*,((»,Ь))

дом матрицы a(bl,...M

, где функции cf (о, Ь), i = 1,..., N,

(Ь1,...,Ь„)=(0,...,0) из теоремы 3.3.

Теорема 6.3. Пусть базисные векторные поля £ C1(Í7) удовлетворя-

ют условию (+deg), Т = 2, и {Xf }í=i,...,íí — их формальная однородная нильпо-тентная аппроксимация. Тогда найдется число Ej > 0 такое, что для некоторой области Ur С U равномерно относительно g € U~c, gz 6 Вохсс(д,е), е е (0,£i) выполняется следующая оценка max {d^ ( exp (Х^.ь) (gE), exp (Х^ь) (дЕ)), dg(exp(Xi.4)(ffE),exp(X?il>)(<7í))} = o(£), где Ь = (Ьи... ,bN), |&U < 1.

Теорема 6.5. Пусть {X¿}i=lj..iv/v G С1 (О) — канонические базисные векторные поля, определенные в некоторой окрестности О начала координат евклидова пространства Rn, удовлетворяющие условию (+deg), такие, что для функций из (4.32) выполняются оценки \С^(5ех) — Сг*(0)| < conste" для некоторого а е (0,1), и {Xijfci^..,^ — их каноническая однородная нильпотентная аппроксимация в окрестности точки 0. Тогда равномерно по де 6 Вох(0, е) выполняется оценка max { dcc ( exp (X¿I и) (де), exp (Хе. и )) )), dc ( exp (Xgtu) (gE), exp (X¿,. и)) (g£ ))} =

В теореме 6.5 метрические функции dm dc определяются по правилу (0.3) при помощи базисных векторных полей {Х*};=1)...,лг, соответственно. Как

следствие теоремы 6.5, в Главе 6 получена следующая

Теорема 6.6. Пусть {X,}i=:1.....¡4 е C2(U) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (+ deg). Тогда для некоторой области Ur С U равномерно по 9 € U-r, gs е Воxcc(g,e), е G (0,£i), где ei — достаточно малое число, выполняется оценка max|dcc(exp(A'i,u)(ffE),exp(XfiU,)(pE)))

d?(eXp(X5.^Ы,ехр(Х* J(9e))} = (6.43)

где ш = (а>1,... ,ljn), Moo < 1-

Следствие 6.13. Найдется noitcmauma к > 0 такая, что

ВоХгЛд-,, Ае) С Вох®(дг, Ае + йе1+т), Вох®(3г, Лг) С Вох„с(.9^ Ле + ке1+т)

равномерно по д 6 Uy, д€ 6 Вохсс(д, е), А е [0,1], е € (O.ffi).

Следствие 6.13 — аналог локальной аппроксимационной теоремы Громова. Обобщением локальной аппроксимационной теоремы Громова для квазиметрик многообразий Карно при минимальных предположениях на гладкость векторных полей занимались С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова (2009).

Рассмотрим квазипространства (А, йд) такие, что для d44 выполняется аксиома симметрии (ка = 1 в п. 2° определения 5.1), множество А сепарабельно, и каждое множество Ва{х,г) = {у € А | у) < г} является открытым шаром, т. е. для

любой точки у е ВА(х, г) найдется число еу такое, что Ва{у,£у) С Ва{х,г). Определение 6.1. Расстоянием по Липшицу di, для квазипространств (U,djj), ('V,dv) называется величина db(U,V) = inf ^log(max{dilF,dilF-1}), где dilF =

sup 1 и точная нижняя грань берется по всем билипшицевым гомео-

x,y€U '

морфизмам F. Последовательность квазипространств {Z7„} сходится по Липшицу к квазипространству V, если di,(i7n, V) —>п->зс 0.

Определение 6.2. Пусть (X,dx), (Y,dy) — квазипространства, / : X —» Y — произвольное отображение. Величина dis(/) = sup |dy(/(u), f(v)) — dx(u, u)| называется искажением f. Последовательность квазипространств {X„} равномерно сходится к квазипространству X, если существуют гомеоморфизмы /п : Хп —» X такие, что dis(/„) 0.

Определение 6.3. (Квазирасстояние по Хаусдорфу между двумя компактными подмножествами X, Y (квази)метрического пространства (W,dw) определяется

как HW(X,Y) = inf{e | Y С ЛГЕ(Х),Х С NC(Y)}, где N€(A) = |J Bw(y,e) обозна-

yeA

чает е-окрестность множества А; соответственно, последовательность компактных множеств {Х„| С W сходится по Хаусдорфу к компактному множеству X С W, если для любого £ > 0 найдется щ g N такое, что для всех п > по выполняется Хп С Ne(X), X С N,(Xn).

Определение 6.4. Расстояние по Громову — Хаусдорфу между двумя компактными метрическими пространствами X, Y определяется как Н(Х, Y) = inf Hw(X, Y), где инфимум берется по всем изометрическим вложениям пространств X, Y во всевозможные метрические пространства W.

Определение 6.5. Компактные метрические пространства {Xj} сходятся по Громову — Хаусдорфу к компактному метрическому пространству X (X* —>ан X), если lim Н(Х¡, X) = 0.

г—юс

Известно, что если последовательность метрических пространств Хп сходится равномерно к метрическому пространству x, то Х„ —>gh X. Учитывая известные критерии GH-сходимости, следующее определение 6.6 и утверждения 6.1, 6.2 обобщают определение GH-сходимости для квазипространств.

Определение 6.6. Последовательность {(Xi,dx,)} компактных квазипространств L-близка по сетям к квазипространству [X, dx), если существует последовательность положительных чисел —► 0 такая, что для каждого г существуют et-плотные сети Tj С X, и Г- С X такие, что dL(Ti, Г|) < L = const. Следствие 6.14. L-близость no сетям (в смысле определения 6.6) последовательности компактных квазипространств {(Х,, dx()}, г > 1, квазипространству (Xijdxi), квазиконстанты которых ограничены в совокупности, эквивалентна существованию последовательности квазипространств {{Wi,dw,)}t квазиконстанты которых равномерно ограничены, таких, что Х4 и X изометрически вложены в (Wi,dwi) для каждого i, и Hwt(Xf,X) —>¿^00 0. Утверждение 6.3. Предположим, что компактные квазипространства (X,dx), (У, dy) L-близки по сет.ял1, т. е. для любого числа е > 0 найдутся билипшицево эквивалентные (с константой LE, sup Le < L — const) конечные e-cemu Г* =

E

{xl} С X, Г^ = {yf} С Y, и квазиметрики dx, dy непрерывны. Тогда X и Y изометричны.

Рассмотрим на области i/T квазиметрику tdcc. Обозначим через Bt(g,r) шар в квазиметрике ldcc с центром в точке g G Uy радиуса г. Используя следствия 6.13, 6.14, нами установлена следующая

Теорема 6.8. Пусть {(Btk(g,r),tkdcc)}, где tk — 00, г < е0, — последовательность компактных квазипространств. Для каждого достаточно малого числа £ > 0 найдутся такие конечные е-плотные сети Г| С (Btk(g,r),tkdcc), Ге С (Вoxc{g,r),d%) одинаковой мощности такие, что дь{Т%,Те) —оо 0. Следствие 6.15. Квазипространства (Bt(g,r),tdcc), г < в0, сходятся равномерно к квазипространству (Box®(g,г),(if) при t —► 00.

Другая концепция G-ff-сходимости для квазипространств была разработана С. В. Селивановой (2010).

В Главе 7 при помощи теоремы 6.6 построены примеры квазипространств Карно — Каратеодори для случая базисных векторных полей гладкости С2, удовлетворяющих условию (+deg), которые выражаются через свои коммутаторы согласованно. Говорим, что базисные векторные поля € CT(U), удовлетворяющие условию (+deg), выражаются через свои коммутаторы согласованно,

если выполняется Хп = CiXi + £ G^[Xi,Xj] для некото-

¿=1 degXj+deg Xj<degX„

рых непрерывных функций Ci, Cg для каждого п> hi.

Отказываясь от гладкости векторных полей, мы тем самым лишаем себя возможности получить соответствующую теорему об однородной нильпотентной аппроксимации. Однако, теоремы Рашевского — Чоу и Ball-Box могут иметь место и в случае негладких векторных полей. В Главе 7 в некоторой области U евклидова пространства R3 с системой координат (х, у, z) рассматриваются векторные поля X = (1,0,/(гв,у)), Y = (0,1,д(х,у)), Т = (0,0,1), такие, что: 1) функции /, д липшицевы с константой L, или же 2) измеримые функции /, д ограничены некоторой константой К в U, и функция / при каждом фиксированном х является липшицевой с константой L функцией переменного у (L не зависит от i), а функция д при каждом фиксированном у является липшицевой с константой L функцией переменного х (L не зависит от у). Векторные поля рассматриваемой координатной записи в литературе называются полями типа Леей. В Главе 7 при помощи векторных полей X, У, Т построены примеры квазипространств Карно — Каратеодори, для которых выполняется теорема Ball-Box.

Обобщением теоремы Рашевского — Чоу при минимальных предположениях на гладкость базисных векторных полей занимались М. Браманте, Л. Брандолшш и М. Педрони (2008), А. Монтанари и Д. Морбиделли (2008), для многообразий Карно — С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова (2009).

В Главе 8 на квазипространствах вида (JJ~c,dcc) нами доказываются теоремы о дифференцируемое™ (¿^-спрямляемых кривых. Для формулировки полученных результатов введем обозначения: Ргhi(x) = Ргл; (xi,..., х^) = (xi,... ,x/tl), где hi ^ х = (х1} ■. .,xjv); Ха<1) = OiXi, Xg = OjXf; для произвольного множества i=l i=l

А символом Ne(A) обозначается его гг-окрестность. Пусть А С (Oy,dcc) — некоторое множество, д 6 А — некоторая точка, А(д, s) = ЛПВох„„(.д, s), а = (cti,..., ам),

*toti(s)= U exp(Xs.a)(g),I§°t](g)= U exp(XfJ(5). 1 1 .б[а,tj 1 J *е[о ,t]

Определение 8.1. Множество А С (Ur,dcc) сходится к направлению X® в точке g £ А, если для любой последовательности sn —»„^ос 0 найдется последовательность C~7i —юС

0 так;ш, что Д^Sn(A(g,s„)) С Nen •

Для параметризованной кривой 7(s) С (£/т,<М, s 6 [0, so], введем обозначение mi,[я,т] = K1ip dar.(7(s),7(s')); если s = 0, то вместо т7д0,т1 пишем т

s'6[s:t]

Определение 8.4. Пусть 7(s) С С/т, s £ [0,s0], — спрямляемая кривая. Кривая 7 m-спрямляема справа в точке s 6 [0, s0), если lini0'^'j'"1^ <

Определение 8.7. Пусть a(s) : [0, so] —> К — некоторая неотрицательная непрерывная неубывающая функция, а(0) = 0. Кривая 7 = 7(s) С (i/т, dcc), s £ [—s0, So], 7(0) = g, сходится справа к направлению X® в точке д, если для любой по-

следовательности положительных чисел sn —>п-»зс 0 найдется последовательность

положительных чисел еп —>„-^00 0 такая, что Aj/a(ín) (т1[о,«„]) с Определение 8.8. Рассмотрим кривую 7 = 7(3) С (í/т, dac), s 6 [—So, so], 7(0) = g, и пусть i(i) (s) = Ргя, (ÖJ1 (7(5))). Кривая 7 h-дифферепцируема в точке 0, если существует единственный вектор Q(i) £ К'*1 такой, что кривая 7 ^. -сходится

справа (слева) к направлению (—в точке д.

Определение 8.9. Кривая 7(3) С (Ur,dcc), s 6 [—з0,а0], 7(0) = д, сс-дифферен-цируема в точке 0, если существует единственный вектор a^j € КЛ1 такой, что кривая 7 Д^-сходится справа (слева) к направлению (—■в точке д.

Теорема 8.5. Пусть {.Х*}»!,...,^ £ Cr+1(U) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (+deg), 7(3) С (Ur,dct:), s £ [0,so], 7(0) = g, — абсолютно непрерывная горизонтальная кривая такая, что кривая £(1) (s) - Prjft

{ОдЫ»))

т-спрямляема справа и ,-сходится в точке 0 к направлению ß(\) в обычном

смысле. Тогда кривая 7 h-дифференцируема справа в точке 0. Следствие 8.4.

Io Пусть {X¿}¿=1,...,jv £ C2(U) — базисные векторные поля, удовлетворяющие условию (+deg), сс-липшицева кривая 7(s) С (Ur,dcc), s € [0, s0], 7(0) = g, такова, что кривая Prhl 0~1(т(а)) = X(x)(s) дифференцируема в 0. Тогда в точке 0 кривая 7 сс-дифференцируема. Таким образом, любая сс-липшицева кривая сс-дифференцируема п. в.

2° Пусть £ Ст+1((7) — базисные векторные поля, удовлетво-

ряющие условию (+deg), абсолютно непрерывная горизонтальная кривая 7 (s) С (tZ-ndcc), s € [0, s0], 7(0) = g, такова, что в 0 кривая PrHi 0~1(j(s)) = X(i)(s) диф-

s

ференцпруема и выполняется оценка f j¿(i)(s) — i(ij(0)| ds — O(s). Тогда в точке

о

0 кривая 7 сс-дифференцируема. Таким образом, любая абсолютно непрерывная горизонтальная кривая сс-дифференцируема п. в.

Другим способом сс-дифференцируемость почти всюду сс-спрямляемых кривых, параметризованных длиною дуги, па эквирегулярных пространствах Карно — Каратеодори была доказана Г. Маргулисом и Д. Мостовым (1995), сс-дифференцируемость почти всюду абсолютно непрерывных горизонтальных кривых на многообразиях Карно была доказана С. К. Водопьяновым (2007), С. К. Водопьяновым и М. Б. Кармановой (2009).

В Главе 9 для метрических пространств (X, d) достаточно общего вида доказываются теоремы о существовании некоторых классов ограниченных областей Джона. А именно, рассматривается метрическое пространство X с метрикой d, удовлетворяющее следующим условиям.

Io Для любых двух точек xlt х2 £ X существует параметризованная кривая 7(s) : [0, s0] —» X конечной длины 1(у) такая, что 7(0) = xlt 7(0) = х2; длина кривой определяется стандартным образом.

2° Для любых двух точек X\, х2 € X существует кратчайшая в X, т. е. кривая, соединяющая и х2, длина которой равна d(xi,x2).

3° Метрическое пространство (X, d) является пространством однородного ти-

па, т. е. на нем задана нетривиальная борелевская мера /г, такая, что выполняется условие удвоения: ß(B(x,r)) < Dfi(B(x,r/2)), где константа D не зависит от выбора центра и радиуса открытого шара В(х,т) = {у е X | d(x,y) < R}.

4° Пространство X является полным метрическим пространством.

5° Для любого R > О граница открытого шара В(х, R) совпадает со сферой S(x, R) радиуса R, т. е. дВ{х, R) = S(x, Л) = (у 6 X | d(x, у) = R}.

6° Дополнение к замыканию любого метрического шара связно.

Нетривиальным примером таковых пространств является произвольная группа Карно (G, рс) с метрикой Карно — Каратеодори рс.

Определение 9.1. Область V С X называется равномерной, если существуют постоянные а и 6 (константы равномерности) такие, что всякая пара точек Х\, х2 6 V .может быть соединена кривой "/CD конечной длины, для которой выполняются следующие условия равномерности:

l{l) < ad(x!,x2),

min l(-f(xj,x)) < bd(x,8T>), x 6 7, j=1,2

где l(7) — длина кривой 7, 7(xj,x) — часть кривой 7 от точки до точки х. Определение 9.2. Ограниченная область Т> называется областью Джона, если найдется точка х0 &Т> (точка Джона) такая, что каждая точка х е V может быть соединена с х0 кривой у : [0, ¿(7)] —> V, 7(0) = х, 7(^(7)) = ^о, параметризованной длиной дуги, такой, что d(y(t),dT>) > Ct, где константа С не зависит от выбора точки х (кривая Джона).

Шар В(х, г) СТ> пространства X, называется М-некасательным, если выполняются соотношения Mr > d(B(x,r),8T>) > М~хг, для некоторой константы М. Определение 9.3. Равномерная область V С X называется NTА-областью, если существуют константы М и г0 такие, что выполняется следующее условие внешней спирали: для любой точки х € дТ) и числа г < г0 найдется iW-некасательный шар В(у,Схг) такой, что В(у,С1г) С В(х,г) \ Т>, где константа Ci зависит только от М. Говорим, что область D удовлетворяет условию внутренней спирали, если выполнено условие внешней спирали для области X \ Т>.

Теорема 9.1. Любой шар B(x,R) С (X,d) содерэюит область В, удовлетворяющую одновременно условиям внутренней и внешней спиралей.

Из метода доказательства теоремы 9.1 вытекает Следствие 9.1. Область В является областью Джона.

На группах Карно близкими к условиям внутренней и внешней спиралей являются условия внутреннего и внешнего сс-однородных конусов, которые мы сформулируем для груипалгебр Карно (б,/эс) с метрикой Карно — Каратеодори рс\ соответственно Вс(х,г) — сс-шар с центром в точке х радиуса г на (Q,pc)■ Определение 9.4. Область Т> С Я удовлетворяет условию сс-однородного внутреннего конуса в точке хо 6 ОТ), если найдется такой шар B,.(vxa,£xa), что

CXo(hXo,sXo) С®, CXQ{hXo,eXo) = x0C0(vXo,hXo,eX(1), где множество

C0(vXo,hXo,cXo) = •[ (J (J 5ти | рс(0, v*0) = hXo}

«ев„(«*0 ,£,0)те[о,1]

называется сс-однородным конусом с вершиной в точке 0, высотой hXo, радиусом основания £Хо и осью &тvXo, т > 0.

Определение 9.5. Область D С 5 удовлетворяет условию сс-однородного внутреннего конуса, если каждая точка и 6 сФ удовлетворяет условию се-внутрен-него однородного конуса, и при этом найдутся константы к\ ,к2 >0 такие, что к,1 < sup < кг, Ki < sup hu < к2.

Теорема 9.2. На группалгебре Карно (Я, рс) существуют области Джона, не удовлетворяющие одновременно условиям внутреннего и внешнего сс-однородных конусов.

Задачей о существовании ограниченных областей, удовлетворяющих условиям внутренней и внешней спиралей, на группах Карно занимались С. К. Водопьянов (1995), JI. Капонья и Н. Гарофало (1995, 1998), задачей о существовании ограниченных областей, удовлетворяющих условиям внутреннего и внешнего сс-однородных конусов на группах Карно занимались Л. Капонья и Н. Гарофало (1995,1998), Н. Н. Романовский (2004); свойства областей Джона на 2- и 3-сту-пенчатых группах Карно изучались Р. Монти и Д. Морбиделли (2005).

В Главе 10 на произвольных группалгебрах Карно нами построены примеры неограниченных равномерных областей, на группалгебрах Гейзенберга И" построены примеры ограниченных АТЛ-областей с негладкой границей и исследована геометрия сс-шаров, на Н1 получены точные константы в теореме Ball-Box. Теорема 10.1. Области Ги = {х G G ] Xj > 0}, j = 1, ...,hi, равномерны на группалгебре Карно (Q,pc)•

Теорема 10.2. Область Г" = {(xi,yi,... ,x„,y„,i) С Н" | t > 0}является равномерной на группалгебре Гейзенберга (Нп,рс). Теорема 10.3. Область Вохс(0,1) С (Н",рс) равномерна. Теорема 10.4. Область Вохс(0,1) С (И", рс) является NT А. Теорема 10.6. Шар Вс(0,1) С (Н",рс) удовлетворяет условию сс-однородного внутреннего конуса.

Теорема 10.7. Шар Вс(х,Я) С (Н",рс) 1° является равномерной областью, 2°

не удовлетворяет условию внешней спирали.

Теорема 10.5. На группалгебре Н1 справедливы включения

константы 1 в (10.25) точные.

Проблема существовании равномерных и А/ТА-областей на 2- и 3-ступенчатых группах Карно рассматривалась Р. Монти и Д. Морбиделли (2005); геометрия сс-шаров на группалгебре Гейзенберга Н 1 изучалась В.Н.Верестовским (1994), В.Н.Бе-рестовским н И. А. Зубаревой (2001).

(10.25)

Работы автора по теме диссертации

1. Водопьянов С. К., Грешное A.B. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1015-1048.

2. Водопьянов С. К., Грешное А. В. Аналитические свойства квазиконформных отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 13171327.

3. Водопьянов С. К., Грешное А. В. Продолжение дифференцируемых функций и квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996. Т. 348, № 1. С. 15-18.

4. Greshnov А. V. Extension of differentiable functions beyond the boundary of the domain on Carnot groups // Sib. Adv. Math. 1997. V. 7, N 3. P. 20-€2.

5. Vodop'yanov S. K., Greshnov A. V. Quasiconformal mappings and BMO-spaces on metric structures // Sib. Adv. Math. 1998. V. 8, N 3. P. 132-150.

6. Грешное А. В. О равномерных и NT А- областях на группах Карно // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42, № 5. С. 1018-1035.

7. Грешное А. В. О существовании областей, удовлетворяющих условиям внутренней и внешней спиралей // Математические труды. 2002. Т. 5, № 2. С. 138154.

8. Водопьянов С. К., Грешное А. В. О дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 5. С. 592-596.

9. Грешное А. В. Метрики равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори и их касательных конусов // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 259-292.

10. Грешное А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 290-312.

11. Грешное А. В. О дифференцируемости горизонтальных кривых в квазипро-странсгвах Карло — Каратеодори // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 67-86.

12. Грешное А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких некоммутирующих векторных полей // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 1. С. 47-62.

13. Грешное А. В. О применениях формулы Тейлора на некоторых квазипространствах // Математические труды. 2009. Т. 12, Л"» 1. С. 3-25.

14. Грешное А. В. Об одном классе липшицевых векторных полей в Ä3 // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 517-527.

15. Грешное А. В. Об обобщенном неравенстве треугольника для квазиметрик, индуцированных некоммутирующими векторными полями // Математические труды. 2011. Т. 14, № 1. С. 70-98.

16. Грешное А. В. Некоммутирующие векторные поля и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. Новосибирск. 2008. 28 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 207).

17. Greshnov A. V. John domains and homogeneous cone condition on Carnot groups // World Scientific: NJ, London, Singapore, Hong Kong. 2003. / Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd ISAAC Congress. (Germany, Berlin, 20-25 August 2001). 2003. V. 1. P. 57-62.

18. Greshnov A. Some approximation theorems for quasimetrics, induced by non-commutative vector fields // Lie Groups: New Research. NY: NOVA Publishers, 2009. P. 307-323.

Грешное Александр Валерьевич

Теоремы существования и аппроксимации в некоммутативном геометрическом анализе

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать Формат 60x84 1/16 Заказ № 1045 Офсетная печать. Объем 1.8 п.л. Тираж 80 экз. Редакционно-издательский центр ЗАО "Прайс Курьер". 630128, г. Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4г, офис 310. тел. 3307202.

Учреждение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

На правах рукописи

05201151372

Грешнов Александр Валерьевич

Г.

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ В НЕКОММУТАТИВНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: доктор физ.-мат. наук, профессор С. К. Водопьянов

Новосибирск—2 011

Содержание

Введение 4

§ 0.1. Краткая аннотация 4

§ 0.2. Объект исследований 5

§ 0.3. Мотивация исследований 11

§ 0.4. Проблемы 20

§ 0.5. Краткий обзор содержания диссертации 25

§ 0.6. Апробация полученных результатов 57

§ 0.7. Основные обозначения 58

Глава 1. Динамические системы и координаты 60

§1.1. Динамические системы и их простейшие свойства 60 §1.2. Базисные векторные поля и нормальная система координат 62

§1.3. Динамические системы координат. Примеры 69

Глава 2. 2-лупы, динамические системы

и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа 74

§2.1. Определения и примеры 74 § 2.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для Сг-гладких

векторных полей 78 § 2.3. 2-лупы, индуцированные Сг-гладкими

базисными векторными полями 86

§ 2.4. Пример 95

§ 2.5. Конечномерные группы и алгебры Ли 98

Глава 3. Базисные векторные поля,

градуированные степенями 103

§ 3.1. Определения, свойства и примеры 103 § 3.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для С2Г~2-базисных

векторных полей, градуированных степенями 109

§ 3.3. Канонические векторные поля 116

§ 3.4. Градуированные группалгебры Ли. Примеры 122

Глава 4. Нильпотентный касательный конус 124

§ 4.1. е-сжатые и ^-однородные векторные поля 124

й-

§4.2. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация

и нильпотентный касательный конус 129

§ 4.3. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация

для С1-гладких канонических векторных полей 140

§ 4.4. Изоморфизм нильпотентных касательных конусов 151

Глава 5. Квазиметрики и квазипространства 157

§ 5.1. Определения и примеры 157

§5.2. Квазиметрики и квазигруппы 160

§5.3. Базисные векторные поля

и анизотропные метрические функции 162

§ 5.4. Квазиметрики и векторные поля,

градуированные степенями 166

§ 5.5. Свойство поглощения для множеств Вохсс(<?,г) 171

§5.6. Эквивалентные квазиметрики

и билипшицево эквивалентные квазипространства 173

§5.7. Градуировка векторных полей

и нильпотентный касательный конус 177

Глава 6. Аппроксимация квазипространств

нильпотентными касательными конусами 180

§6.1. Некоторые свойства градуированных группалгебр Ли . 180 § 6.2. Локальные аппроксимационные теоремы

для квазиметрик 185

§ 6.3. Квазиметрики различных нильпотентных

касательных конусов. Примеры 201

§ 6.4. Компактные квазипространства и сходимость

по Громову — Хаусдорфу 205

Глава 7. Квазипространства Карно — Каратеодори 216

§ 7.1. Векторные поля, выражающиеся согласованно

через свои коммутаторы, и сс-соединимость 216

§ 7.2. Квазипространства Карно — Каратеодори,

порожденные липшицевыми векторными полями 223

§ 7.3. Квазипространства Карно — Каратеодори,

порожденные измеримыми векторными полями 234

Глава 8. Дифферендируемость горизонтальных

кривых в квазипространствах 245

§ 8.1. Сходимость множеств к направлению 245

§ 8.2. Горизонтальные и сс-спрямляемые кривые 247

§ 8.3. Абсолютно непрерывные горизонтальные кривые 250 § 8.4. Спрямляемость и сходимость горизонтальных кривых

к направлению 255

§ 8.5. со- и /ьдифференцируемость горизонтальных кривых 260

Глава 9. Области, удовлетворяющие условиям

внутренней и внешней спиралей 268

§ 9.1. Определения и формулировки результатов 268

§ 9.2. Доказательства утверждений 9.1, 9.3, 9.4 272

§ 9.3. Доказательство теоремы 9.1 276

§ 9.4. Условия сс-однородных конусов и области Джона 281

Глава 10. Вычисления на группалгебрах Карно 284

§ 10.1. Равномерные области на группалгебрах Карно 284 § 10.2. Шары в метрике Карно — Каратеодори

на группагебрах Гейзенберга 299

Литература 309

Предметный указатель 323

Список обозначений 327

ВВЕДЕНИЕ

§ 0.1. Краткая аннотация

В настоящей работе на областях U С рассматриваются базисные векторные поля {-Х^}^!,...^ е C°(U), т. е.

rank(Xi,.. .,XN)(x) = N Vx e U, sup ||Х(ж)|| < Си = const,

xGU

градуированные формально степенями, т. е. каждому векторному полю Xi присвоено некоторое натуральное число deg Хг, принадлежащее множеству {1, ...,iV}, Т = max deg Xi. В случае, когда

Сг-гладкие базисные векторные поля {^}г-1,..мдг, г > 1, удовлетворяют в U следующей таблице коммутаторов

С*хк, Cij е СГ~1(С/),

deg Хк <deg Xt+deg Хэ

при соответствующих показателях Т доказаны теоремы существования их однородной нильпотентной аппроксимации в выделенной точке д £ U. и развит соответствующий аналитический аппарат, основанный на выводе аналогов формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа для базисных векторных полей различной гладкости.

Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы метрические функции вида drp(u,v) = maxi=1)..Mjv {l^il ^desxt j, ( N \

v = exp ( JD a-iXt)(u), где 1 < ipi < ■ ■ • < фт, являлись квазиметриками в некоторых областях От С U\ построены важные примеры таких квазиметрик — квазиметрики dcc, соответствующие случаям V'degx = degXi при г > 2, Т > 2, и г = 1, Т = 2. Доказана эквивалентность квазиметрик, порожденных различными базисами векторных полей, согласованных с фильтрацией касательного пространства, индуцированной векторными полями при помощи кото-

рой установлена теорема об изоморфизме различных нильпотентных касательных конусов, определенных в общей точке д.

Для квазипространств вида (Uy,dcc), где Uy С U — некоторая область, доказаны теоремы их аппроксимации нильпотентными касательными конусами (Og,d£) в некоторой окрестности Од С С/т выделенной точки д £ U — установлены локальные аппроксима-ционные теоремы для квазиметрик dcc и при помощи которых

получены аналоги сходимости по Громову — Хаусдорфу квазипространств , dCc)i Ur С U, к квазипространству (Og,dполучены обобщения теоремы Рашевского — Чоу. Построены примеры квазипространств Карно — Каратеодори, индуцированных недифферен-цируемыми векторными полями.

На квазипространствах (Uy,cIcc), Ur С £7, для достаточно широкого класса абсолютно непрерывных горизонтальных кривых доказано, что почти всюду обычная сходимость контролирующих координатных компонент горизонтальной кривой к некоторому направлению в точке (аналог обычной дифференцируемости) влечет диф-ференцируемость всех координат рассматриваемой кривой (в смысле dcc) в той же точке. Как следствие, получена сс-дифференцируемость почти всюду произвольной абсолютно непрерывной горизонтальной кривой.

Построены примеры равномерных, NT А- областей, областей, удовлетворяющих одновременно условиям внутренней и внешней спиралей на группах Карно-и* более общих метрических пространствах. Исследована геометрия шаров в метрике Карно — Каратеодори на группах Гейзенберга.

§ 0.2. Объект исследований

Рассмотрим базисные векторные поля £ C°(U), т. е.

rank^Xi,..., XN){x) = rank(X(а;)) = N Vcc G U, sup.||X(a;)|| < Cv,

x€U

для некоторой константы Си; здесь X — (N х 7V)-матрица, г-й столбец которой- совпадает с Xi, U с М^ — некоторая область. Пусть € С1 (i7). Тогда мы имеем

N

[Xi, Xj] = Е CijXь> е (0-1)

fc=i

Разделим векторные поля на Т (1 < Т < N) непересека-

ющихся наборов

Mj+i = {Xmi+1,..., Xmi+1}, rrii = const, г — 0,..., Y-l, m0 = 0.

Каждому векторному полю Xi сопоставим натуральное число deg Xi = j, где j определяется по включению Х{ £ Mj. Пусть Hi — подрас-слоение касательного расслоения, натянутое на все векторные поля Xj такие, что deg Xj < i. Полагаем Н0 = {0}, dim Н0 = 0,

dimЩ(х) — hi = mi + • • • + rrii = const для всех x G U, hi > 1, T = max degXi. Совокупность чисел /ц, i — 1,-..,T, и степеней

degXj = j, j = 1,..., iV, мы будем называть (формальной) градуировкой системы базисных векторных полей а сами базисные векторные поля {Хг}г=1,...,лг — (формально) градуированными степенями (degXl5..., degXn)- В этом случае для каждой точки х € U мы имеем следующую неубывающую последовательность векторных пространств (флаг):

О = Н0(х) С Hi{x) С • • ■ С Ят(®) = TXU. (0.2)

Среди всех таких систем векторных полей нас особо будет интересовать случай, когда коммутаторы базисных векторных полей, формально градуированных степенями, самое большее, складывают степени, т. е.

lXi,X,]= Е. CiiX*> ^eC(U). (О-3)

degXfe<deg Xt+degX3

В этом случае мы будем говорить, что базисные векторные поля удовлетворяют условию (-f deg).

Примерами базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+ deg), являются

1° векторные поля' € C°°(U), являющиеся базисом,

адаптированным к фильтрации касательного пространства TU, порожденной эквирегулярной поляризацией, «натянутой» на векторные поля с {Хг}г=1!...;дг для некоторого п < N, удовлетворяющие условию Хёрмандера, см. [130];

2° алгебры Карно [91, 178];

3° алгебры Гейзенберга [156].

Напомним, см. [91, 143], что векторные поля {-^¿}i=i,...,n5 определенные на некотором гладком многообразии Л4 (число п, вообще говоря, не связано с dim.A/i), удовлетворяют условию Хёрмандера, если их значения вместе со значениями всех их коммутаторов до некоторого порядка г порождают в каждой точке х 6 ЛЛ все касательное пространство ТХА4. Если г — минимальное, то говорят, что векторные поля {Хг}г=1)...)П удовлетворяют условию Хёрмандера степени г. Теперь на некотором гладком многообразии Л4 рассмотрим гладкие векторные поля п < dimA'i, такие, что

1° {Xi}i-iimm_fn удовлетворяют условию Хермандера,

2° размерность hi векторного подпространства Щ{х) С ТХМЬ х Е М, натянутое на значения всех коммутаторов векторных полей Xi,..., Хп до порядка г — 1 включительно (под коммутаторами нулевого порядка подразумеваются векторные поля {^г}г=1,...,п)? не зависит от выбора х для каждого i.

Понятно, что векторные подпространства Щ(х) удовлетворяют условию (0.2) в каждой точке х £ Л4. В этом случае будем говорить, что многообразие Л4 обладает эквирегулярной поляризацией Нг с базисом векторных полей {-X¿}¿=i,...,n} ср. с [130]. Пусть при этом {-X¿}¿=i,...,dim.M — базисные векторные поля такие, что Xi(x),...,Xht(х) образуют базис векторного пространства Н{(х), hi = п. Тогда базисные векторные поля {.X¿}¿:=i,...,dim.M удовлетворяют таблице (0.3), где degJ*Q = min-fj | Х{ С Hj], и величина Т из (0.2) называется степенью неголономности многообразия Л4, а набор векторных полей {^Q}í=i,...,dim./Ví — базисом, согласованным с фильтрацией подрасслоений касательного расслоения

{0} = Н0 С #i С • • • С НТ = TU,

ср. с [89, 130].

*

Каждому набору M¿, определенному выше, сопоставим некоторое положительное число ф{ > 1; при этом полагаем, что фг < Фг+i, i = 1,..., Т — 1. Введем в рассмотрение следующую анизотропную метрическую функцию

йф(д,и) = max {|a¿|1/Wl | и = ехр(Ха)(р)}, ф = ... ,фу),

Ъ—1

(0.4)

N

где Ха = щХг, а = (ai,... ,ajv) '— достаточно малый по длине »=1

вектор, Шг = ipj в случае, если Xi е Mj, exp(Ха)(д) = ж(1), где x(s) — решение следующей задачи Коши

¿(e) = Xa(x(s)), s е [0,1], х(0) = д.

Вектор ф мы будем назвать сигнатурой набора векторных полей {•Xí}¿=i,...,jv- Если ф1 = г, i = 1,..., Т, то мы будем использовать обозначение dcc вместо d-ф. Из (0.4) вытекает, что йф удовлетворяет аксиомам неотрицательности и симметричности. В случае, когда векторные поля совпадают со стандартным базисом ев-

клидова пространства метрические функции с1ф удовлетворяют

неравенству треугольника и широко используются в теории функциональных пространств Соболева и их обобщениях, см. [8, 14, 15], и называются анизотропными метриками, показатели анизотропности которых совпадают с компонентами вектора ч/>; здесь термин «анизотропность» употребляется в том смысле, что оценки d-ф относительно стандартной евклидовой метрики в разных координатных направлениях оказываются существенно различными. Отметим серию пионерских работ С. К. Водопьянова [14-16], в которых для решения традиционных для теории функциональных пространств задач (граничные значения дифференцируемых функций, продолжение дифференцируемых функций за границу области определения, компактность оператора вложения в пространство непрерывных функций) был разработан специальный метод, основанный на свойствах внутренних метрик евклидовых областей, индуцированных анизотропными метрическими функциями d-,p. В случае векторных полей общего вида метрическая функция d-ф может не удовлетворять даже обобщенному неравенству треугольника, см. пример 5.2 настоящей работы, однако хорошо известно [130, 176], что в случае пространств Карно — Каратеодори, см. определение 0.1, метрическая функция dcc удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника, являясь тем самым квазиметрикой [139], см. определение 5.1 настоящей работы. Более того, квазиметрика dcc билипшицево эквивалентна метрике Карно — Каратеодори рсс (теорема Ball-Box). Здесь уместно напомнить определение метрики Карно — Каратеодори. Для этого, следуя [166], рассмотрим С°°-гладкое связное риманово многообразие Л4, dim.M = N, снабженное С°°-гладким распределением n-плоскостей, где п < N. Такое распределение А сопоставляет каждой точке х £ Л4 n-мерное векторное подпространство касательного пространства ТХМ к Л4 в точке х € М.. Абсолютно непрерывная параметризованная кривая 7(t), t б [а, 6], называется горизонтальной, если 7 (t) касается А для почти всех t. Пусть значения векторных полей {Хг}г=1,...,п, удовлетворяющих условию Хёрмандера в Л4, в каждой точке х £ М образуют базис линейного пространства А (ж) (в литературе это условие обычно называют условием Чоу [89, 91, 148]). Из классического результата Рашевского [75] и Чоу [105] вытекает, что любые две точки такого многообразия М можно соединить кусочно непрерывно дифференцируемым горизонтальным путем конечной длины (сс-соединимость). Отметим, что в случае аналитических векторных полей условие Чоу является и необходимым [175, 194] для

сс-соединимости.

Определение 0.1. Расстояние Карно — Каратеодори pcc(n, v) между точками и, v € М. определяется как

Pcc{u,v) = inf{Z(7) | 7 G CU}V},

где CUjV — множество всех абсолютно непрерывных горизонтальных параметризованных кривых 7 С Л4, соединяющих и, v. Пространством Карно — Каратеодори называется пара (М.,рсс)•

Здесь длина 1(7) параметризованной кривой 7 : [а, 6] —Л4 вы-

ь

числяется по обычной формуле ¿(7) = f л/Ям (,í(f) > 7(¿)) dt , где

а

дм{-г) — форма стандартного риманова скалярного произведения многообразия М. Часто в литературе метрику Карно — Каратеодори называют субримановой метрикой, а пространства Карно — Каратеодори — субриманоеыми многообразиями, см., например, [89, 191]. Начало изучения пространств Карно — Каратеодори в математике и прикладных науках обычно датируют фундаментальной работой К. Каратеодори [101] по основам термодинамики. Пространства Карно — Каратеодори и их частные случаи (группы- Карно, Гей-зенберга) являются объектами интенсивного исследования в теории уравнений в частных производных [74, 91, 92, 97, 98, 107, 109, 113, 115, 117, 135, 143, 162, 185, 186, 204], в теории потенциала [18, 74, 91, 92, 154, 155, 157, 176; 185, 186, 204], в квазиконформном анализе и теории пространств Соболева [17-19, 27-30, 33-35, 39-49, 54-56, 79, 93, 99, 116, 120, 127, 128, 134, 137-139, 145, 149, 156, 161, 163, 164, 171, 177, 178, 200, 201], в теории оптимального контроля [6, 12, 26, 50, 67, 90, 125, 126, 140, 147, 159; 168-170, 175, 181, 184, 190195], в геометрической теории меры [31, 57, 106, 172, 202, 203], в теории минимальных поверхностей [100, 118, 119, 121], в комплексном анализе [113-115, 157, 186-189], в инженерных науках, связанных с робототехникой и механикой [108]. Нильпотентные группы и многообразия, порождаемые векторными полями, удовлетворяющими условию Хёрмандера, с неримановыми метриками изучаются и используются в теории субэллиптических уравнений [91, 93, 97, 98, 107, 109, 112, 115, 117, 143, 167, 176, 186, 204], в задачах, связанных с неголономной механикой [124]. Особое место в вариационном исчислении и теории оптимального' контроля занимает направление, посвященное исследованию кратчайших в метрике Карно — Каратеодори (сс-кратчайшие). Известная задача Дидоны о поис-

ке максимальной площади при фиксированном периметре [4] — это переформулировка задачи о нахождении со-кратчайших одномерной группалгебры Гейзенберга, см. [6, 12, 26, 100], а также §10.2 настф-ящей работы. Изучение сс-кратчайших существенно осложнено тем фактом, что, в отличие от римановых кратчайших, сс-кратчайшие являются экстремалями неголономной вариационной задачи в форме принципа максимума Понтрягина [71, 192, 193]. Это приводит (в связи с тем, что коэффициент А0 из стандартной формулировки принципа максимума Понтрягина [71], на который умножается функционал длины, вообще говоря, может быть не равен нулю) к абсолютно новым эффектам, не свойственным римановой геометрии, например, существованию среди сс-экстремалей так называемых анормальных экстремалей (abnormal extremals) [125, 159168-170], аналитическая запись, которых, в общем случае, не может быть сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям, разрешенным относительно старшей производной. Существует целое направление в теории оптимального управления, посвященное анормальным экстремалям, см., например, [50, 67, 125, 159, 168-170]. В настоящее время достаточно изучены лишь сс-кратчайшие 2-ступенчатых групп Карно [125], однако далее в самом простом случае — группах Гейзенберга— поведение сс-кратчайших далеко не просто, см. § 10.2 настоящей работы. Отметим, что для общих групп Карно до сих пор не известно — являются ли. их сс-кратчайшие гладкими.. Все это приводит к тому, что с «вычислительной» точки: зрения метрика Карно — Каратеодори м