Рациональная аппроксимация аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЯ ИНСТИТУТ и^аня ВЛ.СЖЖЩ

На правах рукооиов УЖ 517.63

*

ПРОХОРОВ ВаоиднЙ Адекоаевяч РАЦИОНАЛЬНА)! АППРОКСИМАЦИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (01.01.01 - мптвмагичвоклА анализ)

АВТОРЕФЕРАТ,

ддоовргацди на ооиокакав учйной отепеиа доктора фазако-ыятеиати-чвоках ввун

МОСКВА .1994

Работа suaoJKiöHa и Белорусском государственной упявероиготе.

Офишшлышо оппонента! доктор фа^яко-магемогичвокнх неук,

профессор Пекарский A.A.

доктор фиаико-магечатичеоких наук, професоор Рахшнов ¿¡.а,

доктор фиияко~математачоо№х ноук, професоор Тихомиров В.М.

Бвдуадя организация - Иаотигут прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН

Заищта состоатоя & РёШ^/Ш^ 1994 г. в U.0Ü часов на заселения спецаализарованного совэта Д.С02.38.03 в Математи-чеокои инотитуте им.В.А.Стеклова РАН до адресу; II7333, г. Москва, у л,Вавилова, 42.

С дасоертацней мошю ознакомнтьал в библиотеке Математического шютатуго нм.В.А.Стеклова РАН.

Автореферат раэоодаи 4 ШлЩик 1994 г.

ФчоныЛ оокрвтарь оаециадигтроианаого совете, доктор фааяко-магемагнчео-

ких ааук В.А.ВАТУТИН

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАДО1Ы

Актуальность темы. В теории нрибяижеиия функцией важное место занимает проблематика, связанная о наилучшими рациональными аппроксимациями аналитических функций. Принципиальное значение для теории аппроксимаций функций имеют исследования, посвященные прямым теоремам теории рациональной аппроксимации аналитических функций. В этих теоремах в терминах, связанных со свойствами аппроксимируемой функции, расположением и структурой ее множества особенностей; характером ее аналитического продолжения, устанавливается скорость убывания величин ^^ «. наилучших приближений аналитической функции в равномерной метрике на компакте Ь. комплексной плоскости рациональными функциями порядка не выше (I- • Решение открытых пройдем в втом направлении является научной задачей, шиной как для развитая теории, гак и для приложений.

Основополагающая роль в исследовании скорости рациональной аппроксимации аналитических функций принадлежит подученным в начале 30-х годов работам Дж. Уоша. В этих работах, с использованием методов, относящихся к интерполяции рациональными функциями с фиксированными полюсами, подучены наиболее общие результаты, характеризующие поведенче последовательности [< п = О, -I, 2 ... .

В настоящее время в теории рациональной аппроксимации анй= логических функций можно выделять два основных подхода в исоАфз дования скорости рациональной аппроксимации.

В основе первого направления лежат методы, базирующиеся на конструкции аппроксимаций Наде < интерполяционных последсвЗ-

ватепъностей рациональных функций со свободными полюсами). Аппроксимации Наде позволяют исследовать скорость рациональной аппроксимации для ва&яюс классов аналитических функций, например, таких, как класс аналитических функций, имеющих конечное число то'чек ветвления. Центральная роль в исследовании проблем втого направления принадлежит цолучеиным в 70-90-е года работам А.А.Гончара. Существенней вклад внесли также Е.А.Рахманов (1984, 1987 гг.), Г.Ш*вль'(1986 г.), Дк.Натолл (1977, 1984 гг.)

Другой подход в исследования рациональной аппроксимации аналитических функций основывается на методах теории операторов Ганкеля. В основе иопольэуемюс методов лежит теорема Адамяна-Ароаа-Крейяа {1971 г.), позволяющая свости исследования скорости рациональной аппроксимации аналитической функции к исследованию скорости убивания последовательности f Sn j , а = О, i,. ■. , сингулярных чисел одоратора Ганкеля, построенного по аппроксимируемой функции. В связи с отим подходом выделим работы В.В.Пе-ллера (1980, 1982 гг.), С.В.Хрущева (1982 г.), О.Г.Парфенова (1986 г.). Ваяшо отмотать, что соответствующие результат относятся к случа», когда функция, по которой строится оператор Гйнколя, задана на границе единичного круга. Глава I диссертации посвящена исследованию метрических свойств оператора Ган-

f)

коля для случая, когда непрерывная функция j , по которой строится оператор Ганкелл А^ , задана на границе мяогосвяз-иой области /т* , ограниченной конечным числом замкнутых аналитических жорданоаых кривых Г . В втой ситуации доказана теорема, являющаяся обобщением георемы Адамяна-Ароеа-Крейла.

Соответствующие результаты позволяет исследовать скорость рациональной аппроксимации аналитических функций в более общих

ситуацияг, чем рассматривались ранее. Среди приведенных в главе 2 результатов,использующих теорию операторов Ганкеля и характеризующих поведение последовательности [рц]ф П -О, /, выделим теорему, которая показывает, что справедлива гипотеза А Д.Гончара (1982 г.), состоящая а том, что справедлива оценка

(ип. д Й <госр (-2/С(£,Р»>

п -»

если аппроксимируемая функция ^ голоморфна в V N Р , где

Р - компакт в С , ЕП'Р -ф . С(Е,Р) - емкость конденсатора (£ р) . В связи о »тим результатом отмстим работу 0.Г.Парфенова (1986 г.).

Третья глава диссертации посвящена исследованию скороот* рациональной аодроксимацми аналитических функций, имевдих конечное число существенно особых точек, порядок которых конечен. В частности, подучены результаты, относящиеся к рациональной аппроксимации целых функций конечного порядка. Скорооть полиномиальной аппроксимации целых функций исследована в работах А.В.Батырева (1951 г.), Р.С.Варги (1968 г.), Т.Винярского (1970 г.). В главе 3 исследована также скорость рациональной аппроксимации целых функций, имеющих конечный обобщенный порядок. В этом направлении для полиномиальной аппроксимации выделим работу С.М.Шаха (1977 г.). В основе подученных в диссертации результатов лежит анализ аоимптотмчесхого поведения сингулярных чисел оператора Ганкедя, построенного по аппроксимируемой функции.

В четвертой главе изучается скорость рациональной аппроксимации мероморфных функций, имеющих конечный порядок. Соответствующие результаты дают более точную характеристику скорости

рациональной аппроксимации меромор£ных функций, чем рассматривались ранее. В этой связи отметим работы Дж.Натолла (1970 г.), С.Поммеренке (1973 г.), Д.Карлсона (1976 г.).

Цель работы

Т Иоо ПРПППЯНИЙ ЛРЯГ»И ПРЖПТГ гипгггпяпныыа тгилллыи С ппо-

Смирнова ограниченных аналитических в области 0- функций,

2, Получение новых прямых теорем теории рациональной аппроксимация, 8 том числе, доказательство справедливости гипотезы

Исследование скорости рациональной аппроксимации для оле-дупаих классов аналитических функций:

3. целых функций, имеющих конечный порядок;

4. целых функций, имеющих конечный порядок н конечный тип;

5. функций, имеющих конечное число существенно особых точек, порядок которых конечен;

6. целых функций, шехвде конечный обобщенный порядок;

7. мероморфкызс функций, имеющих конечный порядок.

Структура и объем диссертации. Б соответствии с указанными вопросами диссертация состоит аз введения и четырех глав, каждая вз которых разделена на параграф. Объем работы ^е стр.,

А.А.Гончара об оценке сверху для

библиография содержит 87 наименовании.

Общая методика исследования. Анализ задача I основан на методах теории операторов Гаикеля и методах, отнооящихоя к граничным задачам теории аналитических функций. Изучение задач 2-7 базируется на исследовании асимптотического поведения сингулярных чисод оператора Ганкеля, построенного яо аппроксимируемой функции, м методах теории потенциала.

Научная новизна. Все результаты являютоя новыми, основные кз них дают качественно новую информадио о скорооти рациональной аппроксзмации аналитических функций. Эти результаты впервые опубликованы в работах автора 1*153 - [23] в 1989-1993 годах.

Теоретическая и практическая значимость. Дксоортатщя имеет теоретический характер. Ее результаты и методы имеют непосредственные приложения к различным вопросам теории приближения аналитических функций многочленами и рациональными функциями (приведенные в главах 2-4 результаты не исчерпывают круг задач из теории аппроксимации рацяонвдышыа функциями, которые могут быть исследованы развитыми в ней методами). Результаты диссертации могут найти применение в задачах математической физика, для решения которых используются наилучшие рациональные аппроксимации.

Апробация работы. Результат диссертации докладывадиоь на семинарах в БГУ, МГУ и ШАЛ (1988-1693 гг.) на всесоюзных школах по теории операторов а функциональных пространствах (Ульяновск, 1990. Н.Новгород, 1991), на Международной конференции по комплексному анализу в приложениям (Варна, 1991), иа конференции по теоретической в прикладной математике (Тарту, 1990),

на Ш Всесоюзной вколе "Понтрягииские чтения. Оптимальное управление. Геометрия я анализ" (Кемерово, 1990), на Ш. Всесоюзной конференции "Новые подхода к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 1991), на У1 конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на всесоюзных школах по теории функций (Баку, 1989, Одесса, 1991, Саратов, 1992), на Международной конференции, посвященной памяти академака М.Ф.Кравчука (Киев, 1992), на 2-м Меадународиой коллоквиуме по численному анализу (Пловдив, 1993), на Международной конференции "Нелинейные численные методы и рациональная аппроксимация" (Антверпен, 1993).

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

^Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения, общую характеристику рассматриваемых задач и полученных результатов и ряд замечаний об обозначениях и терминологии.

В последние годм в вопросах рациональной аппроксимации аналитических функций широко используется теория операторов Ганкеля. Так, например, теория операторов Ганкеля находит применение в таких вопросах рациональной аппроксимации аналитических функций, как исследование скорости рациональной аппроксимации, связь скорости рациональной аппроксимации со свойствами аппроксимируемой функции. Соответствующие вопроси тесным образом связаны с исследованием метрических свойств операторов Ганкеля, в том число, с исследованием скорости убывания последовательности сщиудярных чисел компактных операторов Ганкеля, а также зависимости скорости убнвакия последовательности сингулярных чисел от свойств функции, по которой строится оператор Ганкеля.

- е. -

Использование теории операторов Гаикеля позволило получить ряд важных результатов теория рациональной аппрокоимации аналитических функций. Отметим работы В.В.Пеллера (1980, 1982 гг.), С.В.Хрущева (1982 г.), 0.Г.Парфенова (1986 г.), где для исследования скорости рациональной аппрокоимации' аналитических функций применяются методы теории ганкелевых операторов. В основе используемых методов лежит теорема Адаыяна-Арова-КреДна (1971 г.), позволяющая охарактеризовать наилучшие приближения Дц~

рациональными функциями порядка не выше п. как сингулярные числа оператора Ганкеля А£ , построенного по функции ^ .

К основным результатам главы I относится теорема, являющаяся обобщением теоремы Адамяна-Арова-Крейна для случая, когда функция I* задана на границе ыногоовязной области, ограниченной конечным числом попарно непересекающихся замкнутых аналитических жордановых кривых.

Пусть 0- - ограниченная область, граница Г которой соотоит из N попарно непересекающихся замкнутых аналитических кордановых кривых.

Обозначим через 1;р($-) , 4 , - класс Смирно-

ва аналитических в области (г пункций. Каждая функция из класоа £0(£) имеет почти во всех точках & Г предельные значения по некасательным к Г путям. Определяемая на Г этими предельными значениями функция принадлежит пространству ¡~р(Г) . Функции аз класса £ р (&) однозначным образом определяются по своим предельный значениям и могут быть отоздео-

- д -

вдели с отши иредешшии значениями. В этом смысле будем считать, что Ер О» с 1р[Г) . Условно

I

~ =0 для всех 2 с- С

5 " *

является яеобходимш к достаточным условием того, что заданная на Г функция У(£) , | е Г , принадлежащая ¿.р(Г) , является граничным значение« функция из класса Смирнова (б-) ,

Представим пространство £.,(/".) в ввде прямой сушы подпространств ¿.^ (/")= £,(0© Е2( £•) • где Ер(&) -ортогональное дополнение к £,(£) в ^ ^ О •

Дусть Функция С—(г) ' 0п°Рат°Р Ганкедя,^.'£,(£)-»■

определим как композита» операторов умноженад на фун-

хца» | в ортогонального проектора /71 на

Для лябой функции ^^ в соответствии с определенней

имеем .

Обозначщ черва , (| ^ £) . >г- О, {,2,... ,

поолодовотедьяость сингулярных чисел оператора

где I /г ^ берется до совокупности всех линейных операторов

К > £¿(0-) -* ( Ог) * ранг которых не превосходит /г ,

//•// - яорыа соответствующего линейного оператора. Нетрудно вадегь, что оосяадовательноогь [ , 0,1,2,,, .. , является иевозрасгащей. Кромо того, можно заметить, что в случае.

когда оператор j\^ компактен, последовательность f Srt| ,

п = О. {. Z, ...» совпадает о последовательностью собственных

* ' i/Z

чисел (с учетом кратностей) оператора , где

'■ Е^ ( G-) Сэ (G-) - сопряженный оператор к А£ .

С экстремальной задачей (I) тесно связана олодупдвя задача рациональной аппроксимации функции ^ .

Для любого целого неотрицательного чиола П через $ + E^J.^ обозначим класс функций, предотавиыых в виде А = \ > V , где t <? У в .

Уклонение £ в пространстве Z. СП от клаоса будем обозначать »

Ь с e^(s-)

где j|«|| - норма в пространстве L (Г) ,

^ ок»

Для случая, когда £ - открытый единичный круг, в рабо-

I)

те В.Ы.Адамлна, Д.З.Арова, Ы.Г.Крейна исследован вопроо о связи величин * сингулярных чисел .

Обозначим через

С (Г) ^ £(е-) класо функций I.

представимых в виде fi - fy V . где ^ G С(Г), V&£j(fx). Справедлива следующая теорема: Пусть функция £ принадлежит классу С(Г)

тогда

Ал = , 1,2.,... .

В главе I доказывается теорема, являющаяся обобщением

I) Адамян В.«., Аров Д.З. ,Крейя Ы.Г. Ыатем. сб. I97I.T.86(I28). С. 34-75.

©формулированной вш1е теоремы Адэмяна-Арова-Крейяа для случая, когда & является М -связной областью.

Теорема I. Пусть - ограниченная область, граница Г которой состоит из А/ попарно нелересекаюсцася замкнутых аналитических жордановых кривых; функция £ принадлежит классу С(Г)-*-£ (&) . Тогда для всех Целых чисел_ П- , П >> ,

сх>

справедливо соотношение

Отметим, что в рассмотренной выше ситуации, а именно, когда функция ^ принадлежит классу С(Г) + Е^ (ß-J , оператор А £ является компактным оператором,

В главе 2 с помощью методов теории операторов Ганкеля исследуется скорость рациональной аппроксимации аналитических функций.

Пусть £ *• произвольный компакт, принадлежащий расширенной комплексной плоскости С . Функция ^ голоморфно на компакте £ » Для любого целого неотрицательно числа ti уклонение ^ от (в равномерной метрике на £ ) будем обозначать

где || • \\£ - S Up -норма на Е .

Последовательность (р„}» H-C>ti,Z,... , является иевоз-

раставдой а стремится к нуле геометрически, а именно: г.—" Уп lim рл < i. п -> J

- 12 -

Дж.Уолш [31 методами, относящимися к интерполяции рациональными функциями с фиксированными полюсами, получил наиболее общий результат, характеризующий поведение последовательности £р/г|» * П - 0,. Сформулируем соответствующее утверждение.

1фсть «йнкцая | голоморфна в £ \ Р , где Р - компакт £ С , р /) £ = 0 • оле^ицее неравенство

Уолша:

Ф {

linь Реи * у , (2)

П -г О-» . J

где p-eocpdfCiE.P)) , C(£,F)- емкость конденсатора(£,F),

Заметим, что неравенство (2) нельзя усилить в классе всех функций | , голоморфных в с \ {Ряд важных результатов, полученных в последние годи и характеризующих поведение последовательности f prt}» Ib - 0,1,8,...» относится к конструктивным рациональным аппроксимациям функций. В основе исследований лежат метода, базирующиеся на конструкции аппроксимаций Наде. Исследования опираются на решение некоторых теоретико-потенциальных проблем, центральная из которых состоит в том, что рассматривается задача равновесия во внешнем поле на контурах, обладающих определенным свойством симметрии. Анализ таких задач позволяет сделать вывод о скорости рациональной аппроксимации, В чаотнооти, для аналитических функций, имеющих конечное число точек ветвления »не £ ,

доказано существование предела

0. i ÍLrrv JV = -р >

П. «* о» J

где р( i/С (Е, F)) , компакт F единственным образом определяется по компакту £ и точкам ветвления функции ^.

Отметим, что соответствующие результаты тесным образом связаны о исследование предельного распределения нулой ортогональных многочленов с переменными и, в общем случае, комплексными веоовыми функциями.

Центральное место в этих исследованиях принадлежит полученным в последние годы работа« A.A.Гончара, Е.А.Рахманова, Г.Шталя, Дж.Натолпа. Далеко не полный список монографий, обзоров, основных отатей по конструктивным рациональным аппроксимациям, сходимости наилучших рациональных аппроксимаций, скорости рациональной аплрокоимации приведен в библиографии (см. [I] -

М ).

В последние года,наряду с конструктивными методами,широкое применение а вопросах рациональной аппроксимации аналитических функция находит теория ганкелевых операторов.

В основе доказательства приведенных ниже результатов, характеризующих скорость рациональной аппроксимации аналитических функций, лежит анализ асимптотического поведения сингулярных чиоел оператора Ганкеля, построенного по приближаемой функции

Сформулируем основные результаты главы 2.

Сладущая теорема показывает, что справедлива гипотеза А.А.Гончара.^

Теорема_2_. П^сть £ - произвольный компакт в € , функция I голоыо^ла в £ N F . Мв F - компакт в f ,

I) Conchar A.A. Rational approximation of analytic function.«

/ Lfict. Notes Math. 1982. V. 1043. P. 471*47*

Р Г\Е-(р . Тогда

О- л *

Шг рп * -р. >

п У

где р = ехр(1/йС$Ы

О.Г.Парфенов*^, опираясь на теорему Адамяна-Арова-Крейна, показал справеливость теорем 2 и 3 для случая, когда £ - континуум, имеющий связное дополнение. Существенно подчеркнуть, что в настоящей диссертации рассмотрен общий случай, когда Е. -произвольный компакт в € .

Теорема 2 является следотвйем более общего утверждения, а котором характеризуется скорость стремления к нулю произведения

РоРг-Ргь •

Теорема 3. Пусть £ - произвольный компакт в_ С , функция ^ гюломорфна в , где Я" - компакт в_ С , РП£-(р . Тогда

7Т— 1//г2 /

Лет

п

(Ро^-Р») * р . р=гхр(№Е,П). (3)

Нетрудно видеть, что поскольку оценка (2) в класое всех функций, голоморфных в С\Р , является точной, то оценка (3) также является точной в этом классе.

Выделим особенности предлагаемого метода. Поскольку £ -произвольный кошакт, го нельзя использовать теорему Адамяна-Арова-Крейна. Теорема Адамяна-Арова-Крейна относится к ситуации, когда ганкелев оператор строится по функции, заданной на границе единичного круга. В настоящей диссертации используется

I) Парфенов О.Г. Матем. сб. 1986. Т. 131(173). С. 501-618.

теорема I, являющаяся обобщением теоремы Адамдаа-Арова-Крейна для случая, когда функция задана на границе многосвязноЯ области, ограниченной замкнутыми аналитическими жордановыми кривыми. Эта теорема позволяет свести исследование скорости убывания произведения РоР* • •• рп. к исследованию скорости убивания произведения ,., сингулярных чисел оператора Ганкеля , построенного по аппроксимируемой функции £ (переход от Д к не составляет труда). Неравенство (3) вытекает из неравенства для оингулярных чисел

т— 1/п2 ^

ит- ... 5^) ^ — •

П с"» >р

Для исследования асимптотического поведения произведения ... £л используются методы, берущие овое начало из теоремы Полиа (1929 г.) об асимптотике определигелей Адамара.

Выделим, еще один результат, являющийся следствием теоремы 3. Соответствующее утверждение позврляет охарактеризовать функции, для которых в соотношении (2) достигается равенство.

Сл^дотвие. Пуоть /¿/м i /р , тогда

л 1[п

ШИ Р*

п <*«> ,

И ^ - од^значиая аналш-ическая функция (в естественной области сущелтвов^ия).

Исследование асимптотического поведения сингулярных чноел оператора Ганкедл, построенного по аппроксимируемой функции, позволяв* доказать и другие результаты теория рациональной аппроксимация аналитических функций.

Глава 3 диссертации посвящена исследованию скорости рациональной аппроксимации функций, имеющих конечное число существенно особых точек, порядок которых конечен. В том числе, исследована скорость рациональной аппроксимации целых функций конечного порядка.

Пусть Е - произвольный компакт, принадлежащий комплексной плоскости С , £ - целая функция.

Вопросы полиномиальной аппроксимации целых функций хорошо исследованы. Отметим работы А.В.Батырева (1951 г.), Р.С.Варги (1968 г.), Т.Винярского (1970 г.), где доказаны основные результаты в этом направлении. Выделим теорему, относящуюся к рациональной аппроксимации и вытекающую из результатов полиномиальной аппроксимация.

Пусть -j? - целая функция конечного порядка 0 , тогда

Рп.

{

iirjb / ^ (4)

п ^оо nltin, <г

причем в случае, когда ^ - целая функция конечного порядка (Jv > 0 , конечного типа V >0 , справедливо соотношение J— ф <г

a SL Р* Л * 0/1 Т(С0Р(£)) >

где CQp (Е) - яогарщ[мическая емкость компакта £ .

В настоящей диссертации с помощью методов, испольэупдих теорию ганкелевых операторов и обобщение теоремы Адамяна-Арова-Крейна, доказаны теоремы, усиливающие сформулированный вше результат.

Теорема 4. Пусть £ - произвольный компакт в^ С , ^ -целая функция ^ О , тогда

Т~ ¿л(РоР1 Ргь) ^ < ит -г1-- ^ - — •

Ц -Си ГЬ 0

Выделим следствия, аналогичные сформулированным выше следствиям теоремы 3.

Следот£ие_1. Имеет место соотношение

О- ^ ~

тГп <~г .

П о*->

Отметим еще один результат, касающийся целых функций, для

которых в соотношении (4) достигается равенство.

Следствие 2. Пусть ¿¿т - - — , тогда ------- п ^^ п Сп п. (Г

О- ^ Рп /ГГ.- ntn.it • Ь главе 3 исследована также скорость рациональной аппроксимации целых функций, имевдих конечный порядок Р > 0 и конечный тип V >0 .

Теорема 5. Пусть £ - произвольный компакт _в_ С , £ -целая функция конечного порядка £Г'> 0 и конечного типа Т>0. Тогда

рп* ?

О• ' <г

где Сор(Е) - ^ •

Сформулируем соответствующие следствия.

ÇîimûtbboJU Справедшто cooriicmemio^

[> Г

Um, рп ti 4 m(CQp(E» •

Следетвие_2^ Пусть

J-jj^pn. Сет (с ар (ь)),

тогда для любого О , 0< 6 < { , выполнено соот^ошепяв

о. ег/п /Г

Ш1 ря П4б>т(С0Р(£)).

П- -У

Следущая теорема является обобщение!! тоорегш 4 а отпоодт-ся к ситуация, когда аппроксгшируеиэя функция иаеоя в респпренной комплексной плоскости m , m > l , оуцостне:шо особых точек конечного порядка.

Теорема__6_. Пусть . В - прогаБолышй К05шакг_а , j|yn- ,

причал точка ^ » i-1,..., m • отляезся существенно особой^ точкой конечно^ порядаа (¡[^ О фунедаз ^ . Тогда

Т~ ^ LPoPi-'Pn) , i

cl m эр * Гл '

n, c*o tl Cn П •■•■*■(/m

Выделим следствия теоремы. Следствие_1. Имеет место соотношение

Поскольку последовательность [Pnj> П.~0,1,£,,,. , является невозрастащей, то из сформулированной теоремы непосредственно получается, что

ft

^-P/t *__L

т :

Следующее утверждение касается функций, для которых в последнем соотношении имеет меото знак равенства. Сле^отвие_2, Пусть

Кип —л—-г >

п СП п (¡¿ +...

'т

тогда

2i

т

in рп.

п in.

п

Во второй чйоти главы 3 изучается скорость рациональной аппроксимации целых функций, имеющих конечный обобщенный порядок. Сходимость наилучших полиномиальных аппроксимаций целых функций, имеющих конечный.обобщенный порядок, изучена в статье С.Ы.Шаха.1*

Введем необходимые понятия, опираясь на работы М.Н.Шереметы (1967, 1968 гг.), где исследована связь мевду ростом максимума модуля целой функции и коэффициентами ее1, степенного.ряда.

Функция Я >0 , определенная на о«)' , принадле-

жит классу , если на [ ^ + »-)• ета функция дифференциру-

\

I) Shah З.М., J. Approх. Theory." 1977. V. 19.P. ЭГ5-Э24.

ема, строго монотонно возрастает, ttin -too, и удов-

летворяет условию

О- &((l + LOÇX) JçgJ -J-;-

ю« fufce)

для любой функция ¿t.' , такой, что ÎLtn UÙ(Ot)—0 .

Функция A принадлежит классу A » если Â L. и функция •Л. является медленно возрастающей функциейj а именно

Р-

t /rt -7— ; - 1 5С —■» -f оо Мои

для всех С .

Пусть £ - целая функция, функции dGj\. , Обоб-

щенный порядок (^(с/,^, функции ^ определим о помощью формулы

„« i— oUUMl'i-J))

где

М(1;р = тах 1$(г)1,л>о.

г

Отметим, что пря ИпСВ • » получим опре-

деление порядка целой функции ^ .

Исследование асимптотического поведения сингулярных чисел оператора Ганкеля /4| , построенного по целой функции, имеющей конечный обобщенный порядок, позволяет доказать следующий

результат теории рациональной аппрокоимации целых функций.

Теорема Пусть фикции Ы. <Бу\. , р, е • £ - уелая функция конечного обменного порздка . Тогда^

П

СКп)

А/ * ¿п 1 ) (5)

/ \п(п*1У р<>р1-?п;

Отматш некоторцо слодотвия этой теоремы, Следогвке I. Имеет место соотношение^

0. Ы(п)

щп ■ м м *ГЫ,рЛ)>

Поскольку последовательность ^ , ц~0, , является

невоараотаодой, то из соотношения (5) непосредственно следует, что

•¡г—

* <6>

Выделки результат, характеризующий скорость рациональной аппроксимации целых функций, для которых в соотношении (6) достигается знак равенства.

Слвдствцэ_2_. Пусть ^унвдщ , & I-

о¿(п)

п -

Я*

• Р»'

Тогда для любого числя Э G (0} {) имеем

Уп.

Последняя глава 4 посвящена изучению скорости рациональной аппроксимации мероморфных функций, имеющих конечный порядок.

Применение методов теории интерполяции рациональными функциями позволяет исследопать сходимость наилучших рациональных аппроксимаций мероморфных функций, оценить порядок убывания величин р/г . Ведущая роль в этих исследованиях принадлежит работам Дж.Натолла (1970 г.), С.Поммеренке (1973 г.), Д.Карлсона (1976 г.). Особо выделим статью Д.Карлсона*\ который показал

справедливость неравенства

о

tu prt i

■tim p < ~~ (7)

ntnrh <■r

для мероморфных функций конечного порядка (j'^ О .

К основным результатам главы £ относится теорема 8, дающая более точную характеристику скорости рациональной аппрокоимации мероморфных функций конечного порядка.

Введем необходимые понятия. Характеристическую функцию Т(Ч ф меромор{яой функции | определим о помощью формулы

где

I) К*г1я*оп J.j. Math. Xnel. Appl. 1976. V. 53. Р. 38-52.

/тф. ¡л1ЫЬлШ} л.п(Ы)1л

О

2Х

П(% ~ число полюсов функции в круге/2! X (о учетом кратниогей), 11(0'^) - кратность возможного полюса в точке

Основные результаты главы 4 относятся к случаю, когда мо-роморфная функция ^ имеет конечный порядок

Л г~

О - ит ^

1 ->о- 1

Методы теории операторов Ганкелл н, в частности, исследование скорооти убывания последовательности { , И = 0)£, ... » сингулярных чисел оператора Ганкедя А | , построенного по меро-морфной.функции ^ , позволяют доказать следующую теорему, характеризующую скорооть стремления к нулю произведения^р^

Теорема 8. Пуоть ^ - толоыорфная на компакте £ и меро-морфная в комплексной плоскости С функция, шешая конечный порядок (¡"2-0 . Тогда

¿"(РсАРа-Рп) I

7д>7~ (8)

(I 1П(1 у

Нетрудно вадегь, что поскольку неравенство (7) является точным

в классе всех мероморфных функций порядка С> 0 , то неравенство (8) также является точным в этом классе.

В основе доказательства неравенства (б) лежит доказательство соответствующего неравенства для произведения оингуллрнызс чисел

п . {

--- ^--г"

п с^. п -Си п, «

Используемые методы базируются на подходе, берущем свое начало из теоремы А.Эдрея (1939 г.) об оценке определителей Адямара.

Кок и в главе 3, где исследована скорость рациональной аппроксимации целых функций конечного порядка, из неравенства

О- Р^Рп.

(8) вытекает оценка сверху для (1ГП —.

д-г^ ПСп/и

Теоромя 9. Нусгь У - голоморфная на_ комлакто Ь и мезоморфная в комплексной плоскости С функция-, имеющая конечный порядок С1 . Тогда

р. О к I — - - - -

т

Д —ь схэ

п?пп ^ (Г

Выделим «це один результат, являюцийся непосредственным следотнием теоремы 8. _

Следствие . Пусть -Л'гМ „¿> = " 7?г , тогда ----- - .— ----- п пгп гЬ У

^ Ра___{_

I

ЦП —

о пЫл

- ¿Г) -

ЛИТЕРАТУРА

1. Чебышев П.I. Полное собрание сочинений. Т.Ш. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948.

2. Бернттейн С.Н. Собрание сочинений. T. I. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

3. Уолт Дж.Д. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области . М.: ИД, 1961.

4. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. U.: Наука, 1988.

5. Pad* and rational approximation // Ed. by Varg;a R.S. К.-Y.» Academio Ргвша, 1977.

6. Rational Approximation and Interpolation // Kd. Gi-avee-Mor-rl» P.R., Saff B.B. arid Var^a R.S. Berllnt Springer, 198*.

7» Approximation theory // Ed. Saff B.B. Berlin.* Springer Д9В7.

$, Nonlinear numerical Methods and Rational Approximation // Ed. Cuyt A. Dordrecht» D.Reidel Pub. Co., 1987 i

9. Е.Грейвс-Моррио, Бейкер Дж. Аппроксимации Паде. ML-.Мир, .1986.

10. Гончар А.А. 0 скорооти рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Матем. сб. 1978. Т. 105(147), С. 147-163.

И» Гончар А.А. 0 скорооти рациональной аппроксимации аналитических функций // Тр. UIUH СССР. 1984. Т. 166. С. 52-60.

12. Stahl H. Orthogonal îolynorniale with complex valued weight funotion ï. II // Conntr. ar>prox.I9ftfi.Y.2.K225-?40,?4I-25I.

13 » Nuttall J, Aeymptotloe of dinfonnl Hermlte»Pnde polynomial*.// J. Appro*.Theory. 2904. V. 4?. » 4.TP. 299-396.

- ¿ñ -

Гончар Л.Л., Рпхмапов Е,А. Равновесные распределения я скорость рациональной аппроксимация аналитических функций // Матем. с<5. 1987. Т. 134(176). С. 30G-352.

РАБОТЫ АНГОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

15. Прохоров В.А. Об одной задаче рациональной аппроксимация // Проблемы теоретической н прокладной математики. Тарту, 1990, С. 100-182.

16. Прохоров В.А. О рациональной аппроксимация аналитических функций // 5-th International Conf«renoe on complex analy-nea und apnlicatlone. Varna. 1991. P. 31-52.

17. Прохоров В.Л. Об аппроксимации аполитических функций раци-ональннмя функциями // Доклада РАН. 1992. Т. 327. ]S 4-6. 0. 438-441.

18. Прохоров В.А. О скорости рациональной аппроксимации // International Confчгепсо dedicated to the moraory of academician M.P.Krnvohuk. Зшшпчг!вв. Klov-Lutnk. 1992.P. 167

19. Прохоров В.А. Об одной теореме Адамяна-Арова-Крейяа // Матем. сб. 1993. Т. 184. К I. С. 89-104.

20. Prokhorov V.А. The degree of rational approximation to me-romorphlc functions // 2 International Colloquim on numerical nnelyslo. Яшшпог1оя. Plovdiv. 1993,

21. Прохоров В.А. Рациональная аппроксимация аналитических функций // Матем. сб. 1993. Т. 184, » 2. С. 3-32.

22. Прохоров В.А. О наилучшей рациональной аппроксимации аналитических функций //Доклада АН Беларуси. 1994. Т.Я8, Д> 2.

23. Прохоров В.А. О скорости рациональной аппроксимации мершор-фяих функций // Матем. сб. Т994. Т. 185, Й I. С, 3-26.

- 27 -