Аппроксимационные свойства некоторых классов векторных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Иа правах рукописи

005534494

Дубашинский Михаил Борисович

Аппроксимационные свойства некоторых классов векторных

полей

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой стенени кандидата физико-математических наук

10 ОКТ 2013

Санкт-Петербург 2013

005534494

Работа выполнена на кафедре математическою анализа Математико-механнческого факультета ФГБОУ B1IO Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: Хавин Виктор Петрович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Математико-механнческого факультета ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты: Дубцов Евгений Сергеевич,

доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории математического ашишза ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Васин Андрей Васильевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики ФГБОУ ВГ10 Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Защита диссертации состоится (НстА^Л 2013 года и ¿^'Ф часов на

заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д.27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического' института им. В.А. Стеклова Российской академии наук.

Автореферат разослан » Л 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

АЛО. Зайцев

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы: В диссертации изучаются задачи аппроксимации векторными полями на-компактных подмножествах евклидова пространства. Исследование йацелено, в основном, на задачи приближения в пространстве С{К) непрерывных векторных полей, заданных на компактном множестве К С (TV > 2).

Пусть V - некоторый класс непрерывных векторных полей, каждое из которых задано вблизи множества К. Нас интересует следующий вопрос: какие векторные поля из С{К) могут быть равномерно на К приближены следами (сужениями) на К, полей'класса V? В роли V у нас чаще всего выступают: во-первых, класс всех полей, гармонических вблизи К, а во-вторых - класс всех полей, безвихревых вблизи К (см. определение 2; при N = 3 гармоничность поля / означает, что rot / = 0 и div/ = 0). Следующее определение играет центральную роль, в диссертации.

Определение 1. Будем говорить, что поле / £ С(К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию на множестве К, если найдётся такая последовательность векторных полей {fm}m=i> что II/ ~ fm\\c(K) m~*°°> 0, ,и для каждого т = 1,2,... поле fm - гармоническое в окрестности м,ножества К (зависящей, вообще говоря, от т). Если поля fm лишь безвихревые,. то мы говорим, что / допускает равномерную безвихревую аппроксимацию на К. В случае, если любое поле / 6 С{К) допускает равномерную гармоническую (или равномерную безвихревую) аппроксимацию на К,.будем говорить, что множество К обладает свойством равномерной гармонической (или безвихревой) аппроксимации.

При N = 2 вопрос о равномерной гармонической, аппроксимации равносилен классическому вопросу об аналитической аппроксимации: какие функции, непрерывные на компактном множество К с С, могут быть равномерно на К приближены .функциями, аналитическими вблизи множества К1 (Согласно известной теореме Рунге, вопрос о таком приближении равносилен вопросу о равномерном приближении рациональными функциями с полюсами вне К.) Если любая, функция /, непрерывная на К, допускает такую аппроксимацию, то мы говорим, что множество К обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации. Классическая теорема, Га.ртогса,-Розенталя утверждает, что любое компактное множество нулевой площади обладает этим свойством. Далее, по известной теореме Бишопа (см. [2], [3]), возможность равномерной аналитической аппроксимации функции /, непрерывной на компактном множестве К С С, есть локальное свойство функции / и множества К, а свойство равномерной аналитической аппроксимации есть локальное свойство множества К С С.

Вопрос о характеризации множеств, обладающих свойством равномерной аналитической аппроксимации, был окончательно решён А.Г. Витушкиным (см. [2], [3], [15]). Его работам предшествовали результаты М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша и С.Н. Мергеляна о равномерной аппроксимации многочленами от 2. Отметим, что справедливость теорем А.Г. Витушкина и С.Н. Мергеляна, как и теоремы Бишопа, связана, в частности, с тем, что система Коши-Римана, определяющая класс функций, аналитических на открытых подмножествах комплексной плоскости, относится к классу эллиптических систем дифференциальных уравнений и имеет фундаментальное решение 1/тгг.

Таким образом, множества в Е2, обладающие свойством равномерной гармонической аппроксимации, описаны с исчерпывающей полнотой. Иначе обстоит дело с задачей равномерной гармонической аппроксимации в при N > 3. Здесь известны многомерные аналоги теоремы Рунге и теоремы Гартогса-Розенталя, доказанные В.П. Хавиным, А. Преса Саге и Е.В. Малин-никовой (см. [4], [6], [11]). Вопрос о гармонической аппроксимации в при N > 3 всё ещё далёк от разрешения. Однако известно, что ответ на этот вопрос принципиально отличается от двумерного случая: В.П. Хавин и С.К. Смирнов показали, что класс полей, допускающих гармоническую аппроксимацию на множестве К С вообще говоря, нельзя описать в локальных терминах - в отличие от двумерной ситуации (см. [5]). Наше исследование, в основном, нацелено на задачи аппроксимации в при N > 3.

Отметим, что для компактных множеств в нулевой УУ-мерной лебеговой меры задача гармонической аппроксимации совпадает с задачей безвихревой аппроксимации, которой в диссертации уделено значительное внимание. Далее, если компактное множество К С может быть приближено сверху открытыми односвязными множествами, то на множестве К задача безвихревой аппроксимации равносильна задаче аппроксимации градиентами. Глава 3 диссертации посвящена прямым методам решения различных вариантов последней задачи.

Естественным обобщением классического комплексного анализа считается теория аналитических функций многих комплексных переменных. Однако, не менее естественным многомерным обобщением комплексного анализа в С служит и теория гармонических векторных полей в М^ (и теория гармонических дифференциальных форм на римановом многообразии). Здесь многие принципиальные вопросы (в том числе вопросы об аппроксимационных свойствах гармонических векторных полей) не решены и остаются весьма актуальными.

Цели работы.

1. Исследовать связь задач равномерной гармонической и почти гармонической аппроксимации (последнее при N = 3 означает, что вихри и дивергенции аппроксимирующих полей равномерно стремятся к нулю на К).

2. Исследовать в духе предыдущего пункта связь задач аппроксимации и почти аппроксимации решениями однородных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, системы Коши-Римана.

3. Исследовать дискретный аналог задачи аппроксимации градиентами, точнее говоря, задачу аппроксимации точными векторными полями на графе, используя технику перехода к двойственной задаче.

4. В ситуации предыдущего пункта найти прямой метод построения дискретного градиента, приближающего заданное дискретное поле на графе, а в случае невозможности такого приближения - препятствия к его существованию.

5. Опираясь на результаты предыдущего пункта, установить связь задачи аппроксимации градиентами в К^ с теорией квазилинейных уравнений в частных производных (как и в случае дискретной задачи, мы получим прямой метод, приводящий либо к аппроксимирующему градиенту, либо к препятствию к его существованию).

6. Получить прямой метод решения задачи приближения дифференциалами форм произвольной степени на римановых многообразиях.

7. Описать возможность равномерной безвихревой аппроксимации в К3 в терминах потенциалов Био-Савара.

8. Изучить задачи гармонической, безвихревой, почти гармонической и почти безвихревой аппроксимации на компактных подмножествах гладких двумерных подмногообразий в К3.

Методы исследования. В работе используется техника теории приближений (интегральные представления, теоремы двойственности). Для исследования задачи приближения градиентами и дифференциалами используются методы дискретного анализа и теории графов, теория дифференциальных уравнений в частных производных и методы анализа на римановых многообразиях. Существенную роль в работе играют геометрическая теория меры, теория потенциала и теория потоков Де Рама.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в задачах о гармонических векторных полях и в исследованиях, связанных с геометрической теорией меры.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на семинаре по теории операторов и теории функций ПОМИ РАН в 2010 г. и на семинаре по комплексному и гармоническому анализу в Норвежском университете естественных и технических наук (Трондхейм) в 2010 г., а также в междисциплинарной исследовательской Лаборатории имени П.Л. Чебышева при СПбГУ в 2012 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две работы [01], [Б2[.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на пункты и подпункты, приложения и списка литературы, включающего 36 названий. Общий объем диссертации - 123 страницы.

2. Содержание работы

Во введении к диссертации обсуждаются задачи гармонической аппроксимации на компактных множествах в RN и даётся обзор истории вопроса.

В главе 1 даны основные определения, необходимые для понимания работы. Важную роль в работе играют потоки Де Рама в RN, а точнее -потоки размерности 0 (то есть обобщённые функции в Ж1*, пространство таких функций мы обозначаем через ©'(R^)) и потоки размерности 1, которые можно понимать как обобщённые векторные поля в RN, то есть векторные поля, компоненты которых суть обобщённые функции; пространство таких потоков мы обозначаем через V'(RN). Потоки размерности 0 и 1 суть непрерывные линейные функционалы на пространстве пробных функций и на пространстве пробных векторных полей V(RN) соответственно. Символ Т[(р\ обозначает результат применения потока Т € V'(RN) размерности 1 к пробному векторному полю (р € 2?(MJV); аналогичный смысл имеет символ Т[ф[ для Т € D'(R^) и <р € T>(RN). Естественным образом определяется оператор div: V'(RN) V(RN), а при TV = 3 - оператор rot: V'(К3) —¥ V'(R3). Поток Т € V'(RN) называется соленоидальным, если div Т = 0.

Пространства М(К) и М(К) суть пространства скалярных и векторных борелевских зарядов, сосредоточенных на компактном множестве К С RN', нормы || • ||м(К) и II ' IIм(к) СУТЬ полные вариации зарядов. Отметим, что пространства М(К) и М(К) можно понимать как подпространства в V'(RN) и ^'(R^) соответственно.

Символ HN всюду обозначает TV-мерную меру Хаусдорфа (или меру Лебега в R-^); {a, b) есть скалярное произведение векторов a, b G R^. Если К С R^ -

компактное множество, то С(К) есть обычное пространство скалярных функций, заданных и непрерывных на К\ это пространство оснащено равномерной нормой.

Ключевую роль в диссертации играет следующее

Определение 2. Пусть Ü С - открытое множество, а /: О, RN -С1-гладкое векторное поле.

1. Поле f называется гармоническим (па множестве Q), если его матрица Якоби симметрична, а её след равен нулю.

2. Поле / называется безвихревым, если его матрица Якоби симметрична.

Гармоничность поля / означает, что / локально совпадает с градиентом гармонической функции. При N = 3 это значит, что

rot /= О,

div/ = О,

Далее, поле / безвихревое в том и только в том случае, если / локально совпадает с градиентом гладкой функции (а при N = 3 - что rot / = 0).

При N = 2 гармоничность поля / = (/i, /2) означает комплексную аналитичность комплекснозначной функции f\ — í/2 (мы отождествляем К2 и С). Именно поэтому задача равномерной аппроксимации гармоническими векторными полями (в смысле определения 1) при N = 2 равносильна задаче равномерной аналитической аппроксимации в комплексной плоскости. Точная формулировка упомянутой выше теоремы Бишопа о локальности этой аппроксимации такова (см. [2], [3]):

Теорема 3. Предположим, что открытые множества fii,...,f2j С С

i

(1 g N) таковы, что К С |J fij. Если комплекснозначная функция

3 = 1

f £ С (К) допускает равномерную аналитическую аппроксимацию на каждом из множеств Kj = clos (К nüj), j = 1,...,/, то f допускает равномерную аналитическую аппроксимацию и на всём множестве К. Кроме того, если каждое из множеств Kj (j = 1,..., Z) обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации, то и всё множество К обладает этим свойством.

Глава 2 посвящена задачам почти аппроксимации. Эти задачи получаются ослаблением условий, налагаемых на аппроксимирующие векторные поля: если в задаче точной аппроксимации мы требуем, чтобы эти поля удовлетворяли некоторой системе дифференциальных уравнений, то в задаче почти аппроксимации мы требуем, чтобы эта система удовлетворялась приближённо. Задача равномерной аппроксимации почти гармоническими векторными полями в R3 ставится следующим образом.

Определение 4 (определение 2.0.3). Пусть К - компактное множество в К3, а / € С(К). Предположим, что найдётся такая последовательность векторных полей /,„ класса 2?(М3), т = 1,2,..., что

(2)

11Г^/т|1с(К) (3)

Н^у/^Цс^^^О. ^ (4)

В этом случае мы будем говорить, что поле / допускает равномерную почти гармоническую аппроксимацию на множестве К.

Если любое векторное поле, заданное и непрерывное на К, допускает такую аппроксимацию на К, то мы будем говорить, что К обладает свойством равномерной почти гармонической аппроксимации.

Точно так же ставятся и задачи равномерного приближения почти безвихревыми векторными полями в М3 и равномерного приближения почти аналитическими функциями в С. Вообще, если = 2,3,..., N2, N3 = 1,2,... и Т - произвольный линейный дифференциальный оператор любого порядка с гладкими коэффициентами, переводящий гладкую вектор-функцию Г: М^1 —> в гладкую вектор-функцию ТР: М^1 —> М^3, то по аналогии с поставленной выше задачей равномерной почти гармонической аппроксимации можно ставить задачу равномерного приближения почти решениями оператора Т на компактном множестве К С К^1 и вопрос о том, обладает ли множество К свойством равномерной аппроксимации почти решениями оператора 7~. (Задача равномерного приближения точными решениями оператора Т также ставится аналогично задачам равномерной гармонической и равномерной аналитической аппроксимации.)

Норму || ■ \\с(к) в оценке (2) (или в оценках (3) и (4)) можно заменить на норму || • ||¿¿-(/г) для некоторого р € [1,оо) - так мы получим задачу //-аппроксимации равномерно почти гармоническими векторными полями (или, соответственно, задачу равномерного приближения ¿Апочти гармоническими векторными полями). Точно так же можно обобщить и задачу равномерного приближения почти решениями произвольного дифференциального оператора Т.

Оказывается (теорема 2.1.4), что для любого однородного дифференциального оператора Т первого порядка, имеющего гладкие коэффициенты, задача равномерной аппроксимации почти решениями оператора Т локальна, то есть для этой задачи верна теорема, аналогичная теореме 3. Отсюда следует, что свойство равномерной аппроксимации почти решениями оператора Т есть локальное свойство компактного множества в К^1. В частности, это касается задач равномерной аппроксимации почти гармоническими и почти безвихревыми полями. С учётом того, что задача равномерной гармонической аппроксимации в К3 нелокальна (см. [5]), как и задача равномерной почти безвихревой аппроксимации, мы заключаем, что, вообще говоря,

задачи равномерного приближения почти гармоническими и почти безвихревыми полями неравносильны своим точ'ным аналогам.

Однако в некоторых случаях такая равносильность всё же имеет место. Именно, пусть Т - однородный эллиптический дифференциальный оператор произвольного порядка с постоянными коэффициентами, переводящий гладкую вектор-функцию Г: К^1 —» К^2 в гладкую вектор-функцию ТГ\ Е^1 —» М^2 (см. [12]). Тогда задача равномерного приближения почти решениями оператора Т равносильна задаче равномерного приближения точными решениями этого оператора (см. теорему 2.2.4).

Отметим следующие примеры эллиптических систем дифференциальных уравнений: это система уравнений Коши-Римана в комплексной плоскости, система Моисила-Теодореску в К3 (см., напр., [13]) и система, определяющая кватерпионные функции кватернионной переменной, аналитические слева (см. [14]).

Равносильность задач аналитической и почти аналитической аппроксимации на плоском компактном множестве легко усмотреть из формулы Коши-Грина, восстанавливающей гладкую функцию / по её значениям на границе области и по значениям функции д/, где д - оператор Коши-Римана. Трёхмерный аналог этой формулы (формула (2.8)) обладает, однако, некоторыми особенностями, препятствующими непосредственному обобщению такого рассуждения на трёхмерную ситуацию. Тем не менее, этот аналог позволяет установить равносильность некоторых задач аппроксимации в К3. Второе утверждение следующей теоремы было известно и раньше ([5], [7]).

Теорема 5 (теорема 2.2.6). Пусть компактное множество К С К3 имеет нулевой объём, а / 6 С (К)

1. Если поле / допускает равномерное почти безвихревое приближение на К, то оно допускает и равномерное почти гармоническое приближение на К.

2. Если поле / допускает равномерное приближение безвихревыми полями на множестве К, то оно допускает и равномерное приближение гармоническими полями на К.

С помощью трёхмерного аналога формулы Коши-Грина можно исследовать и задачу аппроксимации полями с равномерно малой дивергенцией. Поле / называется соленоидалъным, если сИу / = 0. Мы ограничиваемся результатом для задачи равномерной почти соленоидальной аппроксимации в К3, то есть, в нашей терминологии, равномерной аппроксимации почти решениями оператора сПу. Оператор сПу не относится к классу эллиптических операторов, однако оказывается, что эта задача равносильна задаче равномерной

соленоидальной аппроксимации, поставленной по аналогии со сформулированными выше задачами равномерной гармонической и равномерной безвихревой аппроксимации (теорема 2.2.7). Геометрические условия, равносильные возможности равномерной соленоидальной аппроксимации, получены в работе [5).

Отметим, наконец, что все задачи почти аппроксимации легко переформулировать по двойственности. Мы выводим общий результат для систем первого порядка (теорема 2.1.5). Например, заряды, ортогональные всем полям, допускающим равномерное почти безвихревое приближение на компактном множестве К С К3 - это заряды из М(К), имеющие вид rot/7, где Д € М(К) (см. следствие 2.1.6).

Глава 3 диссертации посвящена задаче равномерной аппроксимации градиентами. Пусть N > 2 - целое число, К С RN - компактное множество, / 6 С{К) - векторное поле, а е > 0. Гладкую функцию и: M.N —> R мы называем £-первообразной поля / на К, если ||Vm — /Ц^^ < Нас интересуют следующие вопросы. Во-первых: какие условия, налагаемые па компактное мпоэюество К С M.N, векторное поле / € С(К) и число е > О, обеспечивают существование е-первообразной поля f па множестве К1 Во-вторых: при каких условиях поле f е С (К) имеет е-первообразную на К при любом е > О? В-третьих: па каких множествах К С М^ любое поле / € б {К) имеет £-первообразную при любом £ > О? (В этом случае мы говорим, что множество К обладает свойством равномерной аппроксимации градиентами.)

Согласно теореме 5, задача равномерной гармонической аппроксимации на компактном множестве К нулевой меры Лебега равносильна задаче равномерной безвихревой аппроксимации на этом множестве, а если К есть пересечение убывающей последовательности односвязных открытых подмножеств пространства R.N, то на К последняя задача равносильна задаче равномерной аппроксимации градиентами. Таким образом, задача приближения градиентами оказывается тесно связанной с задачей гармонической аппроксимации.

На поставленные выше вопросы об аппроксимации градиентами легко ответить, используя двойственность. Пусть solAT = {Д 6 М(К): div Д = 0} (оператор div на векторных зарядах понимается в смысле распределений). Применяя теорему Хана-Банаха, мы немедленно заключаем, что

inf{||/- Vu||dw: U е C^R")} = зир{Д[/]: Д е sol (К), Ы\Й(К) < 1} (5)

(заряды Д в правой части последнего равенства можно воспринимать как препятствие к аппроксимации). Далее, теорема С.К. Смирнова (см. [1]) устанавливает возможность выпуклого интегрального разложения векторных зарядов, фигурирующих в правой части (5), на так называемые элементарные соленоиды. Элементарные соленоиды - это векторные заряды в

EjV, имеющие специальную геометрическую структуру, задаваемую липши-цевыми кривыми; при этом каждый такой заряд сосредоточен на порождающей его кривой и имеет единичную полную вариацию. Обозначим через с {К) множество элементарных соленоидов, сосредоточенных на К. Равенство (5) вместе с теоремой С.К. Смирнова позволяет заключить, что поле / £ С(К) имеет е-первообразную на множестве К в том и только в том случае, если T[/j < е для любого Т £ с (К). Кроме того, множество К обладает свойством равномерной аппроксимации градиентами в том и только в том случае, если с{К) = 0 (последнее свойство, в частности, выполняется, если на К нет вообще ни одной непостоянной линшицевой кривой, отсутствие ненулевых соленоидальных зарядов на таких множествах непосредственно доказано

в [5]).

Таким образом, возможность равномерной аппроксимации градиентами легко выразить в геометрических терминах с помощью двойственности и теоремы С.К. Смирнова. Применение двойственности, однако, не даёт ощутимого ответа на вопрос о том, каким образом построить аппроксимирующее поле вида Vu или же заряд р е sol(A"), препятствующий аппроксимации. Основная цель главы 3 - получить заключение в духе равенства (5) без применения теоре-мы Хана Банаха, иначе говоря, мы намереваемся найти прямой метод решения задачи равномерной аппроксимации градиентами. Интерес к этому вопросу вызван, в том числе, и тем, что теоремы С.Н. Мергеляна и А.Г. Витушкина, об аналитической аппроксимации на комплексной плоскости имеют как доказательства по двойственности (см. [3]), так и доказательства, не опирающиеся на теорему Хана-Банаха (см. [2]). Аналог теоремы Рупге для гармонических дифференциальных форм также доказывается и через двойственность (см. [4]), и конструктивно (см. [6]).

Ставя вопрос о прямом методе равномерной аппроксимации градиентами, мы допускаем зазор между левой и правой частями равенства (5). Итак, пусть N > 2, К С Е^ - компактное множество, а / £ С(К) - векторное поле. Предположим также, что заданы два числа £,,£* (0 < е, < £*). Наша цель -в явном виде, то есть без применения теоремы Хана-Банаха, построить либо такую функцию и £ С^Е^), что |Уы — /| < е* на К, либо такой заряд р 6 sol (К), что p[f\ > е. Ш\щку

Чтобы найти какой-либо подход к поставленной задаче, мы рассматриваем её дискретный аналог - задачу аппроксимации градиентами на конечном ориентированном графе (задачу приближения градиентами в евклидовом пространстве мы далее называем непрерывной задачей, чтобы отличать её от её дискретного варианта). Мы ставим дискретную задачу не для того, чтобы непосредственно свести к ней непрерывную задачу путём сё дискретизации: наша цель состоит в том, чтобы получить в задаче на графе такой метод, который можно было бы перенести на непрерывную ситуацию.

В подпункте 3.2.2 мы вводим формализм дифференциальных операторов на графе. Пусть G - конечный ориентированный граф, V - множество его вершин, Е - множество его рёбер (допускаются кратные рёбра и петли). Для е € Е обозначаем через begin е начало ребра е, а через end е - его конец; ребро е в этом случае мы будем записывать как е = (begin е, end е). Обозначим через U = {и: V —> R} множество функций вершин графа, а через F = {/: Е —> R} - множество функций его рёбер. Введём две нормы в пространстве F: для / е F положим Ц/Ц«, = max |/(е)|,. ||/||х = £ |/(е)|.

ее Е

Элементы пространства U суть аналоги скалярных функций в R.N; далее, пространство F, оснащённое [| • Цоо-нормой, есть аналог пространства векторных полей в (и мы называем его элементы дискретными полями), а то же пространство, оснащённое || • ^-нормой, - аналог пространства векторных зарядов в M.N (элементы этого пространства мы называем дискретными зарядами). Для /ь /2 £ F положим /J/2] = X) Л(е) Ые)-

ее Е

Операторы дискретного градиента V: U —* F и дискретной дивергенции div: F —> U вводятся следующим образом:

(Vii) (е) = ?i(end е) — u(begin е), е 6 Е-, (div/)(«)= £ /(e)- £ /(е), «еК

begin e=v ende=v

Функцию и € U будем называть (дискретной) е-первообразной дискретного поля /, если || Via — /IU < е. Нас интересует, при каких условиях дискретное поле / € F имеет е-первообразную.

Возможность существования £-псрвообразной дискретного поля / легко выразить в двойственных терминах: заряды, ортогональные дискретным градиентам, - это в точности соленоидальные заряды (то есть такие заряды fi £ F, что divц = 0). При выполнении некоторого технического условия симметричности (предположение 3.2.1), не нарушающего общность задачи, любой солсноидальный заряд разлагается на "простейшие" соленоиды в графе: такими зарядами оказываются циклы, то есть заряды, порожденные простыми замкнутыми ориентированными путями в графе G; обозначим через с((7) множество циклов в графе G. Цикл Г € с((7) препятствует существованию е первообразной дискретного поля /, если Г[/| > е||Г||х-Наша цель - получить прямой (то есть не использующий двойственности) метод построения е-первообразной на графе или препятствия к её существованию. Применение теоремы Хана-Банаха к задаче на графе приводит к равенству, аналогичному равенству (5). Как и в случае непрерывной задачи, мы допускаем зазор между левой и правой частями этого равенства, точнее, мы ограничиваемся рассмотрением такой задачи: для заданных дискретного поля / € F и числа е > 0 мы хотим в явном виде построить либо

Зе-первообразную поля /, либо цикл Г е с(б'), препятствующий существованию е-первообразной поля /. Для этого в подпункте 3.2.3 мы вводим пошаговый процесс, который мы называем алгоритмом перестроек.

В результате этого процесса мы построим некоторую последовательность

функций urn: V -> R, т = 0,1,2____ На каком-то шаге функция ит

может оказаться Зг-первообразной поля /. В теореме 3.2.3 мы показываем, что так и случится, если е-первообразная поля / существует. Однако эта теорема не достигает нашей цели, именно, она не обходит теорему Хана-Банаха и не позволяет в явном виде построить препятствие к существованию £-первообразной (в случае, если её существование невозможно). Основной результат, касающийся дискретной задачи аппроксимации градиентами, - это

Теорема 6 (теорема 3.2.6). Предположим, что упомянутый выше процесс не приводит к существованию Зе-первообразной дискретного поля /. Тогда найдётся циклТ 6 c(G), препятствующий существованию £-первообразной поля /. Такой цикл Г может быть найден в явном виде, исходя из функций ит.

Для доказательства нам, в частности, требуется установить равномерную ограниченность функций ит. Мы выводим эту ограниченность из леммы 3.2.5 об ограниченности функций, получаемых в ходе процесса более общего вида. Эта лемма, как нам кажется, представляет самостоятельный интерес. Отмстим, что явную конструкцию цикла Г, препятствующего существованию е-первообразной дискретного поля / 6 F, можно понять, не вдаваясь в детали построения, из неформального замечания к теореме 3.2.6.

Таким образом, алгоритм перестроек позволяет обойти применение и теоремы Хана-Банаха, и дискретного ангигога теоремы С.К. Смирнова о разложении (дискретных) соленоидальных зарядов. Перенос этого метода на непрерывную задачу, к которой мы возвращаемся в пункте 3.3, приводит нас к некоторому квазилинейному параболическому уравнению в частных производных, в котором участвует время £. Далее, мы заменяем это параболическое уравнение на эллиптическое, соответствующее стационарному состоянию параболического уравнения (в подпункте 3.3.1 мы излагаем эвристические соображения, приводящие к этим уравнениям). С помощью стандартных методов вариационного исчисления нетрудно показать, что это уравнение имеет обобщенное решение. Обобщённая форма нашего уравнения такова. Пусть П С - открытое множество с гладкой границей, а / € ¿"(closfi) -векторное поле. Мы ищем такую функцию и € И/1'2(П), что

J (C(|Vu - /I) (Vu - /) , Vr/) dHN = 0 (6)

n

для любой функции Г] € W1,2(fi); здесь С: [0,оо) [0,оо) - бесконечно гладкая неубывающая ограниченная функция, причём £(i) = 0 при £ € [0, е]

и £(i) > 0 при I > £. Уравнение (6) совпадает с уравнением Эйлера правильно подобранного нелинейного функционала на W1,2(fi), из чего легко следует существование требуемой функции и (см. подпункт 3.3.2).

Прямая схема решения задачи равномерной аппроксимации градиентами в евклидовом пространстве такова. Пусть К С - компактное множество, / € С {К) - непрерывное векторное поле, а е > 0. Будем считать, что поле / продолжено на с сохранением непрерывности. Пусть - убыва-

ющая последовательность открытых множеств в M.N с гладкими границами,

оо

причем Р) Пт = К. Пусть ит - решение уравнения (6) на множестве fim.

m= 1

Верно одно из двух утверждений (теорема 3.3.3):

1. Для какого-то т = 1,2,... оценка |Vum — /| < е верна почти всюду в £1т. В этом случае регуляризация функции ит приводит к гладкой £*-псрвообразной поля / на К, где е* > £ произвольно.

2. Существует ненулевой заряд Д € sol А', для которого /Г[/] > еЦДЦ^да-Такой заряд может быть получен переходом к слабому пределу в последовательности зарядов, построенных, исходя из функций ит и множеств fim.

Отмстим, что такой метод позволяет избежать лишь применения теоремы Хана-Банаха, но не обходит теорему С.К. Смирнова о разложении соленои-дальных зарядов.

Нетрудно видеть, что конструкцию решения задачи равномерной аппроксимации градиентами в евклидовом пространстве можно приспособить к равномерному приближению дифференциалами форм произвольной степени на компактных подмножествах римановых многообразий. Вопросу о таком приближении посвящён пункт 3.4. Пусть М - гладкое TV-мерное ориентируемое риманово многообразие без края, а К С М - компактное множество. Пусть р = l,...,iV и / - непрерывная дифференциальная форма степени ■р, заданная на К. Гладкая (р — 1)-форма и, заданная на М, называется е-первообразной формы и на К, если \du — /| < £ на К (здесь | • | - норма на р-ковекторах, порождаемая римановой структурой на М). Отметим, что понятие е-первообразной формы на римановом многообразии обобщает понятие е-первообразной векторного поля в R^: векторные поля в R^ можно понимать как дифференциальные формы степени 1, а оператор V - как оператор d на формах степени 0.

Возможность существования е-первообразной формы / на множестве К легко выразить в двойственных терминах: препятствиями к такому приближению оказываются потоки размерности р, имеющие конечную массу и нулевую границу (см. [8]). Вопрос о прямом методе решения задачи равномерной аппроксимации дифференциалами для римановых многообразий ставится так же, как и для евклидова случая (и форм степени 1). Оказывается, что метод, полученный для задачи в евклидовом пространстве, применим и для

задачи на многообразиях. Аналогом уравнения (6) для римановых многообразий оказывается такое уравнение: мы ищем (р — 1)-форму и на открытом множестве Г2 С М такую, что формы и и du суммируемы с квадратом но мере Хаусдорфа на П, и равенство

Ja\du-f\)(du-f)A*dr] = 0 (7)

п

выполняется для любой гладкой (р — 1)-формы 77 на М; здесь * - звезда Ходжа, а функция £ определена так же, как и для задачи в M.N. Как и в евклидовом случае, можно показать, что это уравнение имеет решение: для этого достаточно построить такой функционал на пространстве (р — 1)-форм, что уравнение Эйлера этого функционала совпадает с (7), см. подпункт 3.4.5. Единственное отличие от задачи приближения градиентами состоит в том, что для применения вариационных методов к этому уравнению требуется нормальная разрешимость оператора d в пространствах форм, суммируемых с квадратом (см. [16] и подпункт 3.4.4 диссертации; для М = RN и р = 1 это следует из хорошо известных теорем вложения для пространств Соболева). В остальном прямая схема равномерного приближения дифференциалами на римановых многообразиях принципиально не отличается от прямой схемы аппроксимации градиентами в евклидовом пространстве.

В главе 4 мы выводим некоторые частные результаты о гармонической и безвихревой аппроксимации в трехмерном пространстве.

В пункте 4.1 мы исследуем задачу равномерной безвихревой аппроксимации в К3. Для этого мы вводим потоки Био-Савара, порождаемые солс-ноидальными распределениями в М3. Пусть Т € 2?'(М3) - поток размерности 1 с компактным носителем в R3. Определим потенциал Ньютона потока Т равенством UT = Т * щ, а потенциал Био-Савара потока Т -

равенством BSr = ¿г rot UT. Потенциалы UT и BSr, хорошо известные в классической физике, суть потоки размерности 1 в R3, свёртка и оператор rot в определениях этих потенциалов понимаются в смысле распределений. Если Т € 2?'(R3) и divT = 0 в смысле распределений, mo rot BST = Т, divBST = О, кроме того, вне носителя потока Т распределение BS совпадает с гармоническим векторным полем (см. предложение 4.1.2).

Следующий результат характеризует заряды из М(К), ортогональные всем полям, безвихревым вблизи К (а значит, и всем полям, допускающим равномерную безвихревую аппроксимацию на К), в терминах потоков Био-Савара и в терминах теории гомологий.

Теорема 7 (теорема 4.1.3). Пусть К С 1! - компактное мноэ/сестпво, а ¡2 £ М(К) - векторный заряд, сосредоточенный на К. Следующие условия равносильны:

1. j2[f\ = 0 для любого поля f, гладкого и безвихревого вблизи К;

2. div/7 = 0, и поле BS'1 точно в R3 \ К;

3. Для любой окрестности Q множества К найдётся такой векторный

заряд v = ¿?п с носителем в П, что rot V = р.

Третье условие теоремы имеет гомологический характер. По теореме С.К. Смирнова, любой соленоидальный заряд с носителем на К можно разложить в выпуклую интегральную комбинацию зарядов из с(К); значит, в третьем условии теоремы 7 речь идёт о такой комбинации, гомологичной нулю в любой окрестности множества К (в то время как при описании равномерной почти безвихревой аппроксимации в R3 возникают такие комбинации, гомологичные нулю в классе зарядов на самом множестве К, см. выше). В пункте 4.2 мы приводим целый класс примеров, иллюстрирующий полученные результаты; этот класс обобщает пример компактного множества, построенный в [5] для доказательства нелокальности задачи равномерной гармонической аппроксимации в R3. В частности, из этих примеров следует, что задачи равномерной почти гармонической и равномерной почти безвихревой аппроксимации в R3 неравносильны своим точным аналогам. Кроме того, из приведённого в пункте 4.2 обсуждения становится ясно, что свойство равномерной безвихревой аппроксимации на компактном множестве зависит, во-первых, от наличия на нём спрямляемых кривых, то сеть от его метрических характеристик, во-вторых, от взаимного расположения этих кривых, то есть от его топологических характеристик. И метрические, и топологические свойства множеств сохраняются при диффеоморфизмах, поэтому сохраняется и свойство равномерной безвихревой аппроксимации. Это верно и для равномерной почти безвихревой аппроксимации (предложение 4.3.1).

Равносильность задач равномерной безвихревой и почти безвихревой аппроксимации всё же имеет место для некоторого класса компактных множеств в R3: грубо говоря, для множеств этого класса имеет место теорема вложения W1,1(R3 \ К) —> Ll{dK). Точная формулировка такова.

Предложение 8 (предложение 4,4.1). Предположим, что компактное мио-э/сество К С R3 обладает следующим свойством: для любой скалярной функции ф € C°°(R3 \ К) такой, что f |V?/)| dH3 < оо, найдётся семей-

и3\к

ство открытых множеств {Пт}^=1 с С1 -гладкими границами, Пт+1 С

оо

(~) Пт = К, такое, что sup f \ф\<Ш.2 < оо. Тогда на множестве

т=О т дпт

К задача равномерного приблиэюения почти безвихревыми полями равносильна задаче равномерного приближения безвихревыми полями.

Условие этого предложения выполняется, в частности, для "плоских" компактных множеств в R3, то есть для компактных подмножеств двумерной плоскости в R3. Отождествим эту плоскость с R2, а плоское множество в R3 - с компактным подмножеством в R2. Верно следующее

Предложение 9 (предложение 4.5.1 и следствие 4.5.3, см. также теорему 4.5.2). Все четыре задачи равномерной гармонической аппроксимации, равномерной безвихревой аппроксимации, равномерной почти гармонической аппроксимации и равномерной почти безвихревой аппроксимации па плоском множестве в М3 равносильны. Множество К обладает свойством такой аппроксимации в том и только в том случае, если в R2 не существует ненулевой функции ограниченной вариации, сосредоточенной на К. Кроме того, это верно в том и только в том случае, если в плоскости R2 не существует множества Каччопполи Е с К, для которого 7í2(E) > 0.

(Определения функции ограниченной вариации и множества Каччоиноли см., напр., в [9].)

Наконец, аналогичный факт верен и для компактных подмножеств гладких двумерных подмногообразий в R3 (см. предложения 4.6.1 и 4.6.2). В самом деле, как было указано выше, свойства безвихревой и почти безвихревой аппроксимаций сохраняются при диффеоморфизмах. Это позволяет свести вопрос об аппроксимации на подмножестве гладкого многообразия к предложению 9, локально отображая это подмножество на плоское множество в R3.

Список литературы

[1] С.К. Смирнов, Разлоэюепие соленоидальпых векторных зарядов па элементарные соленоиды и структура пормальгшх одномерных потоков, Алгебра и анализ 5 (1993), № 4, 206-238.

[2] Д. Гайер, Лекции по теории аппроксимации в комплексной области, Мир, М., 1986.

[3] Т. Гамелин, Равномерные алгебры, Мир, М., 1973.

[4] А. Преса Саге, В.П. Хавин, Равномерное приближение гармоническими дифференциальными формами в евклидовом пространстве, Алгебра и анализ 7 (1995), № 6, 104-152.

[5] С.К. Смирнов, В.П. Хавин, Задачи приблио/сения и продолжения для некоторых классов векторных полей, Алгебра и анализ 10 (1998), № 3, 133-162.

[6] Е.В. Малинникова, В.П. Хавин, Равномерное приближение гармоническими дифференциальными формами. Конструктивный подход, Алгебра и анализ 9 (1997), № 6, 156-196.

[7j N.V. Rao, Approximation by gradients, J. Approx. Theory 12 (1974), № 1, 52-60.

[8] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987.

[9] Э. Джусти, Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации, Мир, М., 1989.

[10| Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ГНИЛ, М., 1956. [11] Е.В. Малинникова, Равпомер^мя аппроксимация гармоническими дифференциальными формами на компактных подмножествах риманова многообразия, Алгебра и анализ, 11 (1999), № 4, 115-138.

[12] N.N Tarkhanov, The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations, Akademie Verlag, Berlin, 1995.

[13] A.B. Бицадзе, Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, Наука, М., 1966.

[14] A. Sudbery, Quaternionic analysis, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc, 85 (1979), 199-225.

[15] В.И. Смирнов, H.A. Лебедев, Конструктивная теория функций комплексного переменного, Наука, М., 1964.

[16] В.М. Гольдштсйн, В.И. Кузьминов, И.А. Шведов, О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях, Сиб. мат. журн. 28 (1987), № 4, 82-96.

Публикации автора по теме диссертации

[D1] М.Б. Дубашинский, О равномерной аппроксимации гармоническими и почти гармоническими векторными полями, Зап. научн. семин. ПОМИ 389 (2011), 58-84.

[D2] М.Б. Дубашинский, Об одном методе аппроксимации векторных полей градиентами, Алгебра и анализ 25 (2013), № 1, 3-36.

Подписано к печати 18.07.13. Формат60x84 '/к;. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,57. Тираж 100 экз. Заказ 5842.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургский государственный университет Математико-механический факультет

П / '5("14 "2 ¿Л I СП

«■»¿и I

На правах рукописи

Дубашинский Михаил Борисович

Аппроксимационные свойства некоторых классов

векторных полей

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

В.П. Хавин

Санкт-Петербург 2013

Оглавление

Введение 5

История вопроса..................................................................6

Содержание работы..............................................................10

1 Предварительные определения 23

1.1 Потоки в евклидовом пространстве......................................23

1.2 Постановки некоторых задач аппроксимации ..........................27

2 Задачи почти аппроксимации 29

2.1 Общая задача почти аппроксимации ....................................30

2.1.1 Постановка задачи..................................................30

2.1.2 Локальность почти аппроксимации..............................33

2.1.3 Двойственный критерий почти аппроксимации................34

2.2 Равносильность некоторых задач почти аппроксимации

их точным аналогам........................................................37

2.2.1 Почти аналитическая аппроксимация............................38

2.2.2 Почти аппроксимация решениями эллиптических систем . . 41

2.2.3 Задачи гармонической и почти гармонической аппроксимации

на компактных множествах пулевого объёма ..................47

2.2.4 Задачи соленоидальной и почти солеиоидальиой аппроксимации......................................................49

3 Аппроксимация дифференциалами 51

3.1 Задача аппроксимации градиентами

в евклидовом пространстве................................................51

3.1.1 Постановка задачи..................................................51

3.1.2 Применение теоремы Хана-Банаха..............................52

3.1.3 Применение теоремы С.К. Смирнова............................53

3.1.4 О прямом подходе к задаче аппроксимации градиентами . . 55

3.2 Приближения градиентами на конечном графе........................57

3.2.1 Наводящие соображения к постановке задачи..................57

3.2.2 Дискретные аналоги операторов векторного анализа..........58

3.2.3 Алгоритм перестроек..............................................61

3.2.4 Полуинвариант алгоритма перестроек ..........................62

3.2.5 Прямое обоснование алгоритма..................................63

3.3 Решение непрерывной задачи аппроксимации градиентами

в евклидовом пространстве................................................67

3.3.1 Наводящие соображения: поиск метода решения непрерывной задачи................................................67

3.3.2 Теорема существования для квазилинейного уравнения ... 71

3.3.3 Явное построение аппроксимирующего градиента

либо препятствия к аппроксимации..............................74

3.4 Аппроксимация дифференциалами на компактных подмножествах римановых многообразий..................................................77

3.4.1 Предварительные определения. Постановка задачи............77

3.4.2 Потоки на многообразиях. Применение теоремы Хана-Банаха 79

3.4.3 О поиске прямого метода аппроксимации дифференциалами..................................................80

3.4.4 Определение и свойства пространства Х(С1)....................81

3.4.5 Квазилинейное уравнение па римаповом

многообразии ........................................................82

3.4.6 Прямой метод решения задачи аппроксимации дифференциалами..................................................86

3.5 Дополнение: некоторые уравнения на графе............................88

4 Некоторые задачи аппроксимации в К3 95

4.1 Безвихревая аппроксимация..............................................96

4.2 Примеры....................................................................99

4.3 Сохранение аппроксимации при диффеоморфизмах .........102

4.4 Достаточное условие равносильности безвихревой

и почти безвихревой аппроксимаций ..................104

4.5 Плоское компактное множество в трёхмерном пространстве.....105

4.6 Компактные подмножества гладких двумерных подмногообразий

в М3.....................................113

Приложение 117

Литература 121

Введение

Пусть N = 2, 3,..., а К с M.N - компактное множество. Через С (К) обозначим пространство всех векторных полей, заданных и непрерывных на К, оснащённое равномерной нормой. Пусть V - некоторый класс непрерывных векторных полей, каждое из которых задано в некоторой окрестности множества К. Задачи, которым посвящена диссертация, в основном связаны со следующим вопросом: какие векторные поля из С (К) могут быть равномерно на К приближены следами (сужениями) на К полей класса V? В роли V у нас чаще всего выступают: во-первых, класс всех векторных полей, гармонических вблизи К, а во-вторых -класс всех векторных полей, безвихревых вблизи К. Гладкое поле / называется гармоническим, если его матрица Якоби симметрична, а её след равен нулю. Это равносильно тому, что / локально совпадает с градиентом гармонической функции. При N = 2 гармоничность поля / = (/i, /2) означает комплексную аналитичность комплекснозначпой функции /1 — г/2 (мы отождествляем R2 и С), а при IV = 3 - что

Г rot /= О

{ - (1)

[ div / = 0.

Мы говорим, что поле / £ С (К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию на множестве К, если для любого е > 0 найдётся поле гармоническое вблизи К и такое, что |/ — f£\ < £ на К. Будем говорить, что компактное множество К обладает свойством равномерной гармонической аппроксимации, если любое поле / G С (К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию на К.

При N = 2 вопрос о равномерной гармонической аппроксимации равносилен классической проблеме рациональной аппроксимации: па каких компактных множествах К с С любая непрерывная комплексиозначпая функция допускает равномерную на К аппроксимацию рациональными функциями комплексной переменной? Исследования в этом направлении и, в частности, исследования равномерного приближения полиномами от комплексной переменной начались с теоремы Рунге и завершились теоремами С.Н. Мергеляна и А.Г. Витушкипа, в которых были даны окончательные ответы на вопросы о таких приближениях. Методы, использованные в доказательствах этих теорем, были затем применены к различным обобщениям задачи рациональной аппроксимации, причём наибольшее внимание было уделено вопросам приближения решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений. Система (1), однако, не относится к классу эллиптических систем, как и её аналоги при Дг > 3. До окончательного решения задачи равномерной гармонической аппроксимации в WN при N > 3 на сегодняшний день

ещё далеко. Здесь известны многомерные аналоги теоремы Рунге ([5], [7], [14]) и теоремы Гартогса-Розепталя (о рациональной аппроксимации на множествах К С С нулевой площади).

Вопрос о полном описании множеств в M.N (N > 3), обладающих свойством равномерной гармонической аппроксимации, всё ещё открыт. Однако известно, что ответ на этот вопрос принципиально отличается от двумерного случая: в [6] показано, что при N > 3 класс полей, допускающих равномерную гармоническую аппроксимацию на множестве К С M.N, вообще говоря, нельзя описать в локальных терминах - в отличие от двумерной ситуации, в которой работает известная теорема Бишопа о локальности алгебры функций, допускающих равномерную аппроксимацию на компактных подмножествах комплексной плоскости.

Отметим, что для компактных множеств в WN нулевой TV-мерной лебеговой меры задача равномерной гармонической аппроксимации совпадает с задачей равномерной безвихревой аппроксимации (то есть с задачей приближения локально точными векторными полями; при N = 3 поле / безвихревое, если rot / = 0). Этой задаче в диссертации также уделено значительное внимание.

Естественным обобщением классического комплексного анализа считается теория аналитических функций многих комплексных переменных. Однако, не менее естественным многомерным обобщением комплексного анализа в С служит и теория гармонических векторных полей в M.N (и теория гармонических дифференциальных форм на римановых многообразиях). Здесь многие принципиальные вопросы (в том числе вопросы об аппроксимационных свойствах гармонических векторных полей) не решены и остаются весьма актуальными.

История вопроса

Задачи приближения решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений довольно хорошо изучены. Это направление началось с рассмотрения задач равномерной аналитической и равномерной гармонической аппроксимации. Одним из первых результатов в этом направлении была известная теорема Рунге о возможности равномерного приближения функций, аналитических вблизи компактного множества К С С, рациональными функциями с полюсами вне К. Будем говорить, что множество К обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации, если любая непрерывная функция / : К —> С может быть равномерно на К приближена функциями, аналитическими вблизи множества К (или, что то же самое, рациональными функциями с полюсами вне К). Теорема Гартогса-Розенталя утверждает, что компактное множество нулевой площади обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации.

Хорошо известна локализационная теорема Бишопа (см. [3], [4]):

Теорема 1. Предположим, что открытые множества Г2г..... С С (I 6 N)

i

таковы, что К С U Если функция / С (К) допускает равномерную

j=i

аналитическую аппроксимацию на всех множествах К: = clos {К П j = I,... .1, то f допускает равномерную аналитическую аппроксимацию и на всём множестве К.

Отсюда следует, что свойство равномерной аналитической аппроксимации есть локальное свойство компактного подмножества комплексной плоскости.

Окончательный ответ на вопрос о приближениях аналитическими полиномами был дан С.Н. Мергеляном в 50-х годах двадцатого века: любую непрерывную функцию, заданную на компактном множестве К а С и аналитическую во внутренности множества К, можно приблизить полиномами от г в том и только в том случае, если множество С \ К связно. Проблема приближения непрерывных функций рациональными (или, что то же самое, функциями, аналитическими в окрестности множества К) была решена А.Г. Витушкиным примерно в то же время: множество К С С обладает свойством равномерной аналитической аппроксимации в том и только в том случае, если 7(Г2 \ К) = 7(Г2) для любого открытого множества С С; здесь 7 - аналитическая ёмкость подмножества комплексной плоскости, введённая Альфорсом в конце 40-х годов двадцатого века для характеризации множеств особенностей, устранимых для ограниченных аналитических функций (см. [20]).

Доказательства теорем С.Н. Мергеляпа и А.Г. Витушкина конструктивны, в них используется так называемый метод уравнивания коэффициентов ряда Лорана (см. [23], [3]). Задача равномерной аналитической аппроксимации может быть решена и с использованием двойственности ([4]). Двойственный подход основан на изучении комплексных зарядов, сосредоточенных на множестве К и ортогональных следам аналитических функций на К. Как и в конструктивных методах исследования, при таком подходе существенную роль играет наличие фундаментального решения оператора Коши-Римана.

Задача равномерной аналитической аппроксимации допускает обобщения в двух направлениях. Во-первых, мы можем ставить вопрос о приближении решениями других систем дифференциальных уравнений (а не только системы Коши-Римана). Во-вторых, мы можем интересоваться вопросами приближения по нормам, отличным от равномерной.

Вопросам аналитической аппроксимации в Ьр-пормах посвящены работы [27], [21], [31], некоторые результаты в этом направлении можно найти в [22]. При этом выясняется связь задач такой аппроксимации с тонкой топологией Картана и, как и в случае приближения по равномерной норме, с ёмкостными характеристиками множеств. Отметим также работы [24], [25], в которых изучалась задача аналитической аппроксимации по липшицевой норме.

Что же касается вопросов аппроксимации другими классами функций, то наибольшие успехи достигнуты в изучении задач приближения решениями эллиптических дифференциальных операторов. Классическим примером такого оператора, наряду с оператором Коши-Римана д на комплексной плоскости, является оператор Лапласа. Изучение вопросов приближения гармоническими функциями шло параллельно исследованию задачи аналитической аппроксимации (и в тесной связи с этой задачей); этим вопросам посвящено значительное число работ, см., например, монографию [29] и работу [34] о приближении гармоническими функциями па римановых поверхностях. Отметим, что возможность приближения гармоническими функциями оказывается связанной с устойчивостью задачи Дирихле для оператора Лапласа (см. [28]).

Метод уравнивания коэффициентов применим и к задачам приближения решениями эллиптических систем общего вида: в самом деле, эллиптические

системы имеют фундаментальные решения с контролируемым порядком особенности. Некоторые результаты о такой аппроксимации приведены в [16], см. также обзор [30] и библиографию к этому обзору; в частности, в этом направлении получен ряд теорем о приближении полианалитическими функциями, то есть решениями оператора Вк в комплексной плоскости (этот оператор относится к классу эллиптических операторов).

Иначе обстоит дело с вопросами приближения решениями неэллиптических систем. Один из примеров такой системы - система, определяющая гармонические векторные поля в М^ при N > 3. Понятие гармонического векторного поля допускает естественное обобщение: мы говорим, что дифференциальная форма /, заданная и гладкая на ориентируемом римаиовом многообразии, гармоническая, если (1/ = 0, Sf = 0 (с? - дифференциал, а 8 - кодифференциал формы). Такие формы играют чрезвычайно важную роль в геометрии. Отметим, что функция / = /1 + 4/2, заданная па открытом множестве в С, апалитична в том и только в том случае, если 1-форма uJJ = f1 с1х — /2 (1у гармонична на этом множестве.

Система, определяющая гармонические дифференциальные формы, не относится к классу эллиптических систем. На сегодняшний день имеется, насколько нам известно, лишь несколько работ о задачах аппроксимации для этого класса форм.

Аналог теоремы Рупге для гармонических дифференциальных форм доказан в [5], [7], [14]; при этом выясняется ряд принципиальных отличий элементарных приближающих форм от рациональных функций в С.

Пусть К С М^ - компактное множество, ар = 0,..., N. Пространство ©'(М^)^] есть пространство всех р-мерных потоков Де Рама в (см. [13]). На потоках в определены следующие операторы: дифференциал д, понижающий размерность потока на единицу, кодифференциал 3, повышающий размерность потока на единицу, и звезда Ходжа *, переводящая поток размерности р в поток размерности

N — р. Если Т е - поток с компактным носителем, то С/т = Т * -—р—-

- потенциал Ньютона потока Т, ВБТ = ~8иТ ~ поток Био~Савара, порождённый потоком Т, а Сои1г = ^<Ш*Т - поток Кулона, порождённый потоком Т (сдг есть ^ — 1)-мерная мера единичной сферы в М^). Поток £/т имеет размерность р, поток ВЭТ - размерность р + 1, а поток Сои1т - размерность N — р — 1. Вне носителя потока Т потоки 11т, ВЭГ и Сои1т совпадают с гладкими дифференциальными формами.

Через ZP(ШN \ К) обозначим множество р-мерных циклов в \ К, то есть р-мерных цепей в Млг\/С, имеющих нулевую границу. Каждый такой цикл порождает поток размерности р в М^. В аналоге теоремы Рунге для гармонических форм степени р роль рациональных функций играют дифференциальные формы вида

ВЭС1 + СоиГ2, С1 6 \К), с2 £ \ К). (2)

Такие формы называются элементарными. Элементарные формы гармоничны вблизи множества К. В [5] с применением теорем двойственности доказывается, что любая р-форма, гармоническая вблизи множества К, может быть равномерно на К приближена элементарными р-формами. При этом, как и в классической теореме Рупге, имеется значительная свобода в выборе циклов в

элементарных формах (2). В работе [7] теорема Рунге для гармонических дифференциальных форм доказана конструктивно - с помощью формулы Флеминга-Ришеля (см. [10]), а в [14] эта теорема обобщена на случай дифференциальных форм на римановых многообразиях (доказательство также конструктивно).

Пусть р = 1, а N = 3. Будем понимать 1-формы в К3 как векторные поля. В этом случае любое векторное поле, гармоническое вблизи компактного множества К С К3, может быть равномерно на К приближено линейными комбинациями полей Кулона, порождённых точечными зарядами с источниками вне К, и полей Био-Савара, порождённых липшицевыми кривыми (витками с током), расположенными вне К. Поле Кулона единичного заряда, помещённого в точке х е М3, -это поле

Сон1ж = Сои Г {у) = л У.~Х у Е М3.

47г| у — х\6

Далее, если Г: [0, Ь\ —> К3 - липшицево отображение, и Г(0) = Г(Ь), то Г порождает поле Био-Савара

ь _

вэ^ = (у) = / X г» аз, у е м3.

47Г { |Г(5)-у|3

Отметим, что замкнутость кривой Г обеспечивает гармоничность поля вне множества Г([0,Ь]): в противном случае это неверно. Поэтому именно замкнутые кривые оказываются целостными "источниками" гармонических полей Био-Савара (так же, как и в теории электричества). Таким образом, поля Био-Савара в М3 имеют нелокальные источники. С этим связана пелокальность задачи равномерной гармонической аппроксимации: в [6] построен пример компактного множества К С М3 и двух открытых множеств Г^, С М3 таких, что К С Г^ и Г22,