О некоторых аппроксимационных методах в теории операторных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи Хишам Рахман Мухамад Ал-Хлшейи

некоторых аппроксимационных методах в теории операторных включений

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ -2006

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом

университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Обуховский Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Каменский Михаил Игоревич

кандидат физико-математических наук Стенюхин Леонид Витальевич

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет

им. Г.Р. Державина

Защита состоится 25 апреля 2006 года в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ■20 " марта 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, .

профессор Гликлих Ю.Е.

¿.рое а

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась к середине 20-го века и к настоящему времени нашла многочисленные приложения в теории игр и математической экономике, теории управляемых систем, в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в выпуклом и негладком анализе и теории экстремальных задач, в теории обобщенных динамических систем и многих других разделах современной математики.

Одним из важных вопросов теории многозначных отображений (мультио-тображений) является вопрос о существовании однозначного непрерывного сечения или однозначной непрерывной аппроксимации. Одной из первых теорем о сечениях, нашедшей многочисленные приложения, была классическая теорема Э. Майкла. В ней доказывается существование непрерывного сечения у полунепрерывного снизу мультиотображения с выпуклыми замкнутыми значениями, лежащими в банаховом пространстве. В дальнейшем, помимо Э.Майкла, вопрос существования непрерывных сечений у полунепрерывных снизу мультиотображений (ЬБС-теория) изучался В.Д. Гельманом, Д. Реповшем, П.В. Семеновым, Л.Рыбинским, Л. Гурневичем и его учениками, и многими другими авторами. Подробная библиография по этому вопросу содержится в недавних монографиях Д. Реповша и П.В. Семенова и Ю.Г.Борисовича, В.Д.Гельмана, А.Д.Мышкиса и В.В.Обуховского.

В тех случаях, когда мультиотображение не обладает непрерывным сечением, весьма эффективным орудием является метод непрерывных однозначных аппроксимаций, т.е. отображений, график которых лежит в произвольно малой окрестности графика мультотображения. Восходящий к пионерским работам Дж. фон Неймана и С.Какутани, этот метод для полунепрерывных сверху мультиотображений (ШС-теория) развивался в работах А.Д. Мышкиса, А.Челлины, Ю.Г. Борисовича, Ю.Е. Гликлиха, Б.Д. Гельмана, В.В.Обуховского, А. Гранаса, Л. Гурневича, В. Крышевского, Д. Реповша, П.В. Семенова и многих других исследователей.

Возникает вопрос о связи между этими проблемами (между БЭС-теорией и иЗС-теорией). В этом направлении ряд результатов получен в работах Е.В. Щепина и Н.Б. Бродского, Д. Реповша и П.В. Семенова и некоторых других. В настоящей диссертационной работе предлагается новый подход к решению этой задачи. В ней выделяются свойства семейства подмножеств, обеспечива-

ющие возможность того, чтобы полунепрерывное сверху мультиотображение со значениями из этого семейства можно было аппроксимировать полунепрерывными снизу мультиотображениями, значения которых также лежат в этом семействе. Если эти полунепрерывные снизу мультиотображения обладают непрерывными сечениями, то эти сечения будут непрерывными аппроксимациями первоначального мультиотображения.

Существенное место в теории многозначных отображений занимает проблема изучения операторных включений вида /(х) G Ф(х). Частным случаем таких включений является задача о неподвижных точках многозначного отображения, т.е. включениях вида х £ F(x). Операторные включения такого типа естественно возникают в теории игр и математической экономике, теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других вопросах современной математики. В настоящий момент в теории операторных включений и теории неподвижных точек многозначных отображений существуют два основных подхода - аппроксимативный и гомологический.

Первым исследованием, в котором аппроксимативный метод был применен в теории неподвижных точек мультиотображений, была работа С.Какутани. В ней была доказана теорема, обобщающая классическую теорему Брауэра на случай полунепрерывных сверху мультиотображений с выпуклыми значениями в конечномерном пространстве.

Гомологический метод в теории неподвижных точек мультиотображений ведет свое начало от работы С.Эйленберга и Д.Монтгомери. В этой работе с помощью теоремы Виеториса об изоморфизме был построен первый топологический инвариант для мультиотображений с ацикличными значениями - число Лефшеца.

В дальнейшем построение ряда разнообразных топологических инвариантов мультиотображений различных классов и изучение на их основе неподвижных точек и точек совпадения осуществлялось в работах Х.Ф. Бонен-бласта и С. Карлина, Ки Фана, И.Л. Гликсберга, А. Гранаса, И.В. Яворов-ского, А.Д. Мышкиса, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, В.Г.Звягина, В.В. Обуховского, П.Дзекка, Ж.М. Ласри и Р. Робера, Д.Ж. Бургина, Л. Гур-невича, 3. Кухарского, Ю. Брышевского, Ю.Б. Зелинского, Ю.Е. Гликлиха, 3. Дзедзея, В. Крышевского и многих других. Применения методов теории операторных включений и теории неподвижных точек мультиотображений в различных задачах теории управляемых систем и теории дифференциальных

включений описаны в недавних монографиях Л.Гурневича, М.И.Каменского, В.В.Обуховского и П.Дзекка, С.Ху и Н.Папагеоргиу.

В настоящей диссертационной работе получает дальнейшее развитие аппроксимативный метод в теории операторных включений. В ней доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей (мультиполей), у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а значения мультиотображения лежат в некотором фиксированном семействе подмножеств ( АМН-системе). Ранее теоремы биекции для различных классов многозначных векторных полей изучались в работах Ю.Г. Борисовича, В.В.Обуховского, В.Т. Дмитриенко и других. Опираясь на доказанную теорему, в диссертации вводится абстрактное понятие топологического инварианта, определенного на множестве мультиполей, доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта. Полученная теорема применяется для построения топологической степени мультиполей со значениями из АМН-системы.

Далее в диссертационной работе аппроксимативные методы применяются для изучения операторных включений вида а(х) € Ф(х), где а - замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф - многозначное отображение, являющееся композицией мультиотображения, имеющего "хорошие"значения, и непрерывного однозначного отображения. Свойство значения быть "хорошим"означает, что это множество лежит в семействе подмножеств, описываемом некоторым набором аксиом (АМ-системе). Для таких включений доказывается теорема существования решений (точек совпадения) и выясняются некоторые свойства множества решений (неограниченность этого множества). В заключение полученные результаты применяются для исследования интегро-дифференци-альной системы, которая может быть естественно интерпретируема как управляемая система с интегральной обратной связью.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является дальнейшее развитие метода однозначных аппроксимаций многозначных отображений и применение полученных результатов к исследованию следующих проблем: построению топологических инвариантов многозначных векторных полей; изучению разрешимости операторных включений.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории многозначных отображений и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В результате проведенного исследования выделен^! аксиомы, которым должны удовлетворять семейства подмножеств метрического пространства для того, чтобы полунепрерывное сверху мультиотоб-ражение со значениями из этого семейства можно было аппроксимировать полунепрерывными снизу мультиотображениями со значениями из того же семейства. Это позволяет получить новые результаты о существовании однозначных аппроксимаций, развить гомотопическую теорию для нового класса мультиполей и изучать разрешимость операторных включений. Все результаты диссертации являются новыми.

Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследования. Все основные результаты диссертации доказаны.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории многозначных отображений, теории управляемых систем и теории дифференциальных включений.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных научных конференциях:

"Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения". ТВМНА-2005, Воронеж, ВГУ, - 2005 год;

"Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования". Воронеж, ВГУ, - 2005 год.

На Воронежских зимних математических школах: "Современные методы теории функций и смежные проблемы. (ВЗМШ-2005)". Воронеж, ВГУ, - 2005 год;

"Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крейна". Воронеж, ВГУ. - 2006 год.

На семинаре В.В. Обуховского и Б.Д. Гельмана ( 2004-2005, ВГПУ).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов и списка литературы. Объем диссертации составляет 86 страниц. Библиография содержит 48 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6]. В совместных работах [4] - [6] автором самостоятельно получены все основные результаты.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор исследований по ее тематике, изложены основные результаты, полученные в работе, а также сведения об апробации работы.

Первая глава диссертации состоит из двух параграфов и посвящена изучению таких семейств подмножеств метрического пространства, для которых теорему о существовании однозначных аппроксимаций у мультиотображений со значениями из этого семейства можно получить из теоремы о существовании однозначных сечений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [4], [6].

Основным в этой главе является второй параграф. В нем дается основное определение аппроксимационного семейства.

Пусть Y - метрическое пространство, Р(У) обозначает совокупность всех непустых подмножеств У.

1.2.1. Определение. Семейство подмножеств A(Y) пространства Y называется аппроксимационным, если существует отображение А : P(Y) —> A(Y), удовлетворяющее следующим условиям: (AI) для любого В € A{Y) выполнено А(В) = В; (А2) если В,Се P(Y) и С С В, то А(С) С А (В);

(A3) для любого е > О существует 8 = 5{е) > 0 такое, что для любого множества В CY выполнено включение \(Us(B)) С UE{X(B)); (A4) для любого множества В CY, любой точки у G А (В) и любого е > О, найдутся компактное подмножество В' С В и точка т/ £ А (В') такие, что р(у,у') < е.

В диссертационной работе приводятся примеры аппроксимационных семейств и изучаются их свойства. В частности, доказывается следующее утверждение об аппроксимации полунепрерывного сверху мультиотображения полунепрерывными снизу мультиотображениями.

1.2.7. Теорема. Пусть X - метрическое пространство; A(Y) - ап-проксимационное семейство подмножеств в метрическом пространстве Y. Пусть F : X —> A(Y) - полунепрерывное сверху мультиотображение, тогда для любого е > 0 существует полунепрерывная снизу е-аппроксимация Fe : X A(Y) такая, что:

1) для любой точки х € X выполняется включение F{х) с FE(x);

2) Fe(X) С А(F(X)).

Далее в этом параграфе дается определение системы Майкла и сильней системы Майкла.

1.2.8. Определение. Семейство подмножеств М(У) является системой Майкла, если оно удовлетворяет следующему условию: (М) для любого метрического пространства X, полунепрерывного снизу многозначного отображения Р : X —► М(У), замкнутого подмножества А С X и непрерывного сечения / : А —У У сужения Р\а, существует непрерывное сечение д : X —¥ У мулътиотображения Р такое, что д\д = /.

1.2.14. Определение. Система подмножеств М(У) является сильной системой Майкла, если эта система одновременно является системой Майкла и аппроксимационным семейством в У. Сильную систему Майкла будем обозначать АМ(У).

Из Теоремы 1.2.7 и определения сильной системы Майкла вытекает следующее утверждение.

1.2.17. Теорема. Пусть мультиотображение Р : X АМ(У) полунепрерывно сверху, тогда для любого е > 0 у мулътиотображения Р существуют однозначная непрерывная е-аппроксимация /£ такая, что /£(Х) С Х(Р(Х)).

Вторая глава диссертации посвящена развитию аппроксимативного метода в гомотопической теории многозначных векторных полей. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [1], [5].

В этой главе дается следующее определение.

2.1.5. Определение. Семейство подмножеств 7*(У) назовем АМН-семейством, если:

(Н1) семейство V(У) является сильной системой Майкла; (Н2) для любого компактного множества А £ Р(У) множество А (Л) также является компактным;

(НЗ) произвольная точка у €У принадлежит семейству 'Р{У), т.е. {у} € /Р(У) для любой точки у 6 У.

Пусть X - метрическое пространство, Е - банахово пространство, V : X Е - фиксированное непрерывное собственное однозначное отображение, Т{Е) - некоторое АМН-семейство в Е. Пусть Р : X -»• Т(Е) - полунепрерывное сверху компактное мультиотображение.

Рассмотрим многозначное собственное отображение Ф = V — Р : X -»• 'Р(Е). Такое мультиотображение будем называть компактным мультиполем

с главной частью v и компактной частью F.

Пусть Л - замкнутое подмножество в X, а В - компактное подмножество в Е.

2.1.7. Определение. Компактное мулыпиполе Ф допустимо относительно пар (X, А) и (Е,Е\ В), если Ф(Л) С (Е\В).

Обозначим Т>р((Х,А)-, (Е,Е \ В)) множество допустимых многозначных компактных векторных полей с главной частью v.

В этом множестве естественно вводится понятие гомотопности, которое порождает отношение эквивалентности векторных полей.

2.1.8. Определение. Пусть

Ф0 = t> - Fo, «1 = » - € Vv((X, А); (Е, Е \ В)).

Будем говорить, что поле Фо гомотопно полю Фь (Фа ~ Фх), если существует полунепрерывное сверху компактное отображение К : X х [0,1] —»■ ~Р{Е) такое, что:

а) Фо(я) = v(x) — К{х, 0), Ф^х) = v(x) - К(х, 1) для любого х £ X;

б) (v(x) - К(х, t)) П В = 0 для любых х £ А и t £ [0,1]. Обозначим множество различных гомотопических классов

П Р[(Х,А);(Е,Е\В)].

В силу свойства (НЗ) определения АМН-системы, однозначные непрерывные компактные отображения являются частными случаями полунепрерывных сверху компактных мультиотображений. Следовательно, в множестве

Т>Р((Х,А);(Е,Е\В))

выделяется подмножество

Щ(Х,А);(Е,Е\В)),

являющееся совокупностью допустимых однозначных непрерывных компактных векторных полей <р = v — / с главной частью v и компактной частью /•

В Т>0((Х, А); (Е, Е \ В)) также можно определить отношение гомотопности, предполагая, что К является однозначным компактным непрерывным отображением. Тогда множество Т>о{{Х,А)\ (Е,Е\В)) также распадается на множество непересекающихся гомотопических классов [ip]o- Обозначим это множество П0[(Х, А); (Е, Е \ Б)].

Возникает отображение вложения множества По[(ЛГ, А); (Е, £'\5)] во мнЬ-жество ПР[(Х, Л); (Е, Е\ В)].

2.2.1. Теорема. Отображение вложения

т : П0[(Х, А); {Е, Е\В)]-> ПР[(Х, А)\ (Е, Е \ В)},

устанавливает биективное соответствие между эти)чи множествами.

Теорема биекции играет основопологающую роль в построении топологических инвариантов для допустимых мультиполей. В диссертационной работе предлагается абстрактная схема этого построения. Пусть задано некоторое отображение

Т.Щ(Х,АУ,(Е,Е\В))->С,

где б - некоторое множество.

Будем называть отображение 7 топологическим инвариантом, если из того, что у?0. <Р1 € Т>0((Х, А); (Е, Е\В)) и <р0 ~ <Рг, вытекает, что 7(уо) = 7(^1)-Таким образом, топологический инвариант 7 порождает отображение множества

ПоКх.лмд.яхв)]

в множество С?. Это отображение будем обозначать той же буквой 7. Пусть <?о - некоторое подмножество в б.

2.3.1. Определение. Множество Со является существенным для топологического инварианта 7, если для любого поля

<реТ>о((Х,А)-,(Е,Е\В)),

из того, что 7(у>) 6 Со вытекает, что В С <р{Х).

Аналогично можно определить понятие топологического инварианта на множестве

Ър((Х,А);(Е,Е\В)).

Справедливо следующее утверждение о продолжении и единственности топологического инварианта.

2.3.2. Теорема. Пусть топологический инвариант

7:Р0 ((Х,А);{Е,Е\В))^0

такое, что множество (?о С С является для него существенным. Тогда существует единственный топологический инвариант

7 ^Р((Х,А),(Е,Е\В))-+С

такой, что:

(a) если <р = V — / - однозначное векторное поле, то 7(1/5) = 7(<р);

(b)еслиФ = и-Р€ 2?р((ЛГ, А); (Е,Е\В)) и 7(Ф) € бо, то В С Ф(Х), т.е. множество £?о также является существенным для у.

В заключение этой главы рассматривается вопрос о топологической степени многозначных векторных полей.

Пусть задана Т(Е) - произвольная АМН-система в пространстве Е. Пусть Р : 17 7>(Е) - компактное полунепрерывное сверху мультиотображение. Рассмотрим компактное векторное поле Ф(х) — х — Р(х). Пусть это поле невырождено на границе Г = 811, т.е. О ^ Ф(х) для всех а; £ Г. Совокупность всех таких мультиполей будет обозначаться

Vv((U>T)■,(E,E\0)).

Справедливо следующее утверждение.

2.4.2. Теорема. Существует и единственнен топологический инвариант

который является продолжением 7 - степени однозначных компактных векторных полей, причем множество Z\0 является для 7 существенным, т.е. если 7(Ф, 17) ф 0, то существует точка хо € ¿7 такая, что 0 € Ф(хо).

Опираясь на Теорему 2.4.2, можно доказать следующее утверждение. Пусть 'Р(Е) - произвольная АМЯ-система в пространстве Е. Пусть и - ограниченное открытое множество, содержащее 0 простраства Е, Р :Л Т{Е) -компактное полунепрерывное сверху мультиотображение, Ф(х) = х — Р(х) -компактное мультиполе, порожденное Р.

2.4.3. Теорема. Если для любой точки х € Г выполнено условие х А(Р(х) и 0), то мультъиотображение Р имеет неподвижную точку.

Третья глава диссертации посвящена применению аппроксимативных методов к изучению операторных включений вида а(х) € Ф(х), где а - замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф - многозначное отображение, являющееся композицией мультиотображения, имеющего "хорошие"значения, и непрерывного однозначного отображения. Для таких включений доказывается теорема существования решений (точек совпадения) и обосновывается неограниченность множества всех решений.

В заключение главы полученные результаты применяются для исследования интегро-дифференциальной системы, которая может быть естественно интерпретирована как управляемая система с интегральной обратной связью. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах автора

И, [3].

Пусть X - метрическое пространство, Ф : X К(Е) - полунепрерывное сверху мультиотображение.

3.1.3. Определение. Мультиотображение Ф называется суперпозици-онно апроксимируемым (БА-мультиотображением), если существуют: метрическое пространство У, правильная система Майкла АМ(У) в пространстве У, полунепрерывное сверху мультиотображение Р : X АМ{У), непрерывное однозначное отображение р : У Е такие, что для любой точки х е X справедливо равенство Ф(г) = р(Р(х)).

Многозначное отображение Ф называется вполне непрерывным 5А-му-льтиотображением, если мультиотображение Р : X АМ(Е) является вполне непрерывным.

Для 8А-мультиотображений справедлива следующая теорема о неподвижных точках.

3.1.4. Теорема. Пусть Т - замкнутое выпуклое ограниченное подмножество банахова пространства Е, Ф : Т К(Е) - вполне непрерывное Б А-мультиотображение. Если Ф(Т) С Т, то мультиотображение Ф имеет неподвижную точку.

Пусть теперь Е\, Е^ - два банаховых пространства, Сь{Е\) обозначает совокупность всех непустых выпуклых замкнутых подмножеств Е\. Пусть а : 0(а) С Е\ -* Е% - замкнутый линейный сюръективный оператор; а-1 : Еч -л Су{Е{) - многозначный линейный оператор, являющийся обратным к а. Число

уе£г 112/11

называется нормой мультиоператора о-1 : Е2 —>

Рассмотрим оператор дифференцирования <1 : С С([а,Ь];Д")

С([а, 6]; Я"), где Э{<£) - пространство непрерывно дифференцируемых вектор-функций со значениями в Л".

3.2.1. Предложение. Норма мультиоператора дГ1 вычисляется по формуле ||ГЧ| =

Пусть Ф : Е\ —► Р{Е<1) - мультиотображение. Нас будет интересовать

разрешимость следующего операторного включения:

а(а;) е Ф(х). (3.1)

Обозначим N(a, Ф) множество решений этого включения (иначе говоря, множество точек совпадения пары (а, Ф)).

Пусть Y - метрическое пространство, С(У) обозначает совокупность всех непустых замкнутых подмножеств Y, мультиотображение F : X С Е\ -4 C(Y) полунепрерывно сверху.

3.2.5. Определение. Мультиотображение F - вполне непрерывно по модулю отображения а (или а-вполне непрерывно), если для любого ограниченного множества А С E-¿ и любого ограниченного множества В С X множество F(B П а-1 (Л)) является компактом в Y.

3.2.7. Определение. SА-мультиотображение Ф = pF является а-вполне непрерывным, если а-вполне непрерывным является мультиотображение F.

Справедливо следующее утверждение.

3.2.8. Теорема. Пусть Ф : Ei -> С(^) - SА-мультиотображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Ф - а-вполне непрерывно;

S) существуют неотрицательные числа С\ и ci такие, что для любого х £ Е\ справедливо неравенство: ¡|Ф(х)|| := тах |Ы| < сЛЫ! + ci.

Если ci < jj^rjy, то множество N(a, Ф) непусто.

Справедливо следующее утверждение о структуре множества N(a, Ф).

3.2.9. Теорема. Пусть выполнены условия Теоремы 3.2.8 и

dim(Ker(a)) > 0.

Тогда множество N(a, Ф) является неограниченным.

В третьем параграфе этой главы Теоремы 3.2.8, 3.2.9 применяются для изучения следующего класса интегро-дифференциальных систем.

Пусть / = [0, Г] - отрезок на числовой прямой, мультиотображение F : I х Д" Kv(JFPn), где символ Kv обозначает совокупность всех непустых выпуклых подмножеств, таково, что:

F1) для каждого i€ Д" мультифункция F(-, х) : I Kv(Rn) имеет измеримое сечение;

F2) для п.в. t € I мультиотображение F(t, •):/?"-» Kv(FCn) полунепрерывно сверху;

F3) существуют такие суммируемые функции а,/3 :1 —» R1, что ||F(f,*)||= mac ||y||<a(í)|N| + ^(í)

y&F{t,x)

для всех i6if и п.в. t € I.

Обозначим Vf ■ C(I—»■ Cv(Ll(I; R™)) - мультиоператор суперпозиции, сопоставляющий функции х € C(I;R!") множество всех суммируемых сечений мультифункции F(t,x(t)).

Пусть / : / х Д" х Я"1 —> Л" - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию:

(г'х) существуют такие положительные числа ci, c<i и 6, что для любых (t, и, v) € / х i?" х Л"1 справедлива оценка

ll/(í.«f«)ll <ci||«ll + eílMI+i-

Пусть к : I х / L(í?n,R!,n) - непрерывное отображение. Обозначим

Яо = шах |i(í, s)|. t,ae[o,r]1 v л

Для /г € (О, Т) обозначим

h h

J (к о VF){x) = J (k(t, s)F(s, x{s)ds о 0

интегральный мультиоператор Гаммерштейна с ядром к, порождаемый муль-тиотображением F.

В диссертационной работе изучается следующая задача:

x'(t) = f(t,x(t),y(t)) (3.4)

h

уб J(koPF)(x). (3.5)

о

Решением задачи (3.4), (3.5) называется такая пара функций

хеС([0,%1Г), yeC([0,h];Rm),

которые удовлетворяют (3.4) и (3.5) при любых t € [0, h].

Пусть / - оператор суперпозиции, порожденный отображением /, а муль-тиотображение

F : С([О, h], R") Cv(C(¡О, Л], Д") х С([0, h], Rm)),

определено соотношением F(x) = (x,J(koPf)(x)).

Пусть d : D(d) С C([0,/i], Л") ->• С([0,Л],Я") - оператор дифференцирования, где D(d) - пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [О, Л].

3.3.10. Лемма. Задача (3.4), (3.5) эквивалентна следующему включению:

d(x) е f(F(x)). (3.6)

Пусть мультиотображение Ф : С([0, /г], R") ->• С(С([0, h], #")) определено как

Ф(х) = /№)).

3.3.11. Лемма. Ф является d-вполне непрерывным SA-мулътиотобра-жением.

Эти леммы дают возможность применить Теоремы 3.2.8 и 3.2.9 к рассматриваемой задаче. В диссертационной работе доказано следующее утверждение.

3.3.12. Теорема. Если

h

О < h{c\ + с2К0 f a(s)ds) < 2, (3.7)

о

то:

(a) множество решений задачи (3.4), (3.5) определенных на отрезке [0, h] непусто;

(b) множество траекторий {ж} системы (3.4), (3.5) является неограниченным в пространстве С{[0, h], Я").

Публикации автора по теме диссертации

1. Ал-Хашеми Х.Р. О топологической степени для одного класса многозначных векторных полей.//Х.Р. Ал-Хашеми. - Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. ТВМНА-2005. Воронеж, ВГУ. - 2005. - С.12.

2. Ал-Хашеми Х.Р. Об одном операторном включении//Х.Р. Ал-Хашеми. -Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Международная научная конференция. Воронеж, ВГУ. - 2005. - С.6.

3. Ал-Хашеми Х.Р. Об одной интегро-дифференциальной сиетеме//Х.Р. Ал-Хашеми. - Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крейна. Воронеж, ВГУ. - 2006. - С.6.

4. Ал-Хашеми Х.Р. Об аппроксимациях многозначных отображений// Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. - Вестник ВГУ, серия физика, матем.- 2003. - N2. - С.136-143.

5. Ал-Хашеми Х.Р. О теореме биекции для одного класса многозначных отоб-ражений//Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. - Вестник ВГУ, серия физика, матем. - 2004. - N2. - С.184-189.

6. Ал-Хашеми Х.Р. Об аппроксимациях многозначных отображений//В.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. - Современные методы теории функций и смежные проблемы. (ВЗМШ-2005). - 2005. - С.70 .

Научное издание

Хишам Рахман Мухамад Ал-Хашеми

О некоторых аппроксимационных методах в теории операторных включений

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР № 040324

Подписано в печать 15.03.2006 г. Формат 60x841/16. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 122. Тираж 100 экз.

Воронежский госпедуниверситет. Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.

2,006 ft ,

»-6291

Введение

Глава I. Однозначные сечения и аппроксимации многозначных отображений

§1 Некоторые сведения о многозначных отображениях

1.1. Полунепрерывные снизу многозначные отображения.

1.2. Однозначные непрерывные сечения многозначных отображений

1.3. Полунепрерывные сверху многозначные отображения.

1.4. Алгебраические операции над многозначными отображениями.

1.5. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений

§2 Аппроксимационные семейства и системы Майкла

2.1. Аппроксимационные семейства.

2.2. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений с образами в аппроксимациоииом семействе.

2.3. Системы Майкла.

2.4. Сильные системы Майкла.'.

Глава 2. Теорема биекции для многозначных отображений с образами из АМН-системы

§1 Допустимые многозначные отображения

1.1. Собственные многозначные отображения.

1.2. Допустимые многозначные векторные поля.

§2. Теорема биекции

§3. О топологических инвариантах многозначных векторных полей

§4. О вращении многозначных векторных полей с образами в АМНсистеме

Глава 3. О некоторых аппроксимативных методах в теории операторных включений

§1 Об одной теореме о неподвижной точке

§2 Об одном классе операторных включений

2.1. О некоторых свойствах замкнутых сюръективпых операторов.

Разрешимость одного класса операторных включений.

§3 Об одном классе интегро-дифференциальных включений

3.1. Многозначные оператор суперпозиции и интегральный оператор

3.2. Теорема существования для одного класса интегро-дифференциальиых включений.

Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась к середине 20-го века и к настоящему времени нашла многочисленные приложения в теории игр и математической экономике, теории управляемых систем, в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в выпуклом и негладком анализе и теории экстремальных задач, в теории обобщенных динамических систем и миогих других разделах современной математики.

Одной из важных проблем теории многозначных отображений (мультиотображе-ний) является вопрос о существовании однозначного непрерывного сечения или однозначной непрерывной аппроксимации. Одним из первых результатов о сечениях, нашедших многочисленные приложения в математике, была классическая теорема Э. Майкла [46]. В ней доказывается существование непрерывного сечения у полунепрерывного снизу многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами, лежащими в банаховом пространстве. Вопрос о существовании непрерывных сечений у полунепрерывных снизу мультиотображеиий (LSC-теория), помимо Майкла, изучался Б.Д. Гельманом [14], Д. Реповшем и П.В. Семеновым [42], JI.Рыбинским [48], JI. Гурневичем и его учениками [39], и многими другими авторами. Подробная библиография по этому вопросу содержится в иедавиих монографиях Д. Реповша и П.В. Семенова [42] и Ю.Г.Борисовича, Б.Д.Гельмаиа, А.Д.Мышкиса и В.В.Обуховского [И].

В тех случаях, когда мультиотображение не обладает непрерывным сечением, весьма эффективным орудием является метод непрерывных однозначных аппроксимаций, т.е. отображений, график которых лежит в произвольно малой окрестности графика мультотображения. Восходящий к пионерским работам Дж. фон Неймана и С.Какутапи, этот метод для полунепрерывных сверху мультиотображеиий (USC-теория) развивался в работах А.Д. Мышкиса [26], А.Челлипы [41], Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха [12], Б.Д. Гельмана [14], В.В.Обуховского [7], А. Грапаса [40], JI. Гурневича [39], В. Крышевского [45], Д. Реповша и П.В. Семенова [42] и миогих других исследователей. Подробная библиография по этому вопросу содержится в [8],[10], [11].

Возникает вопрос о связи между этими проблемами (между LSC-теорией и USC-теорией). В этом направлении некоторые результаты получены в работах Е.В. Щепи-па и Н.Б. Бродского, Д. Реповша и П.В. Семенова и некоторых других. В настоящей диссертациопиой работе предлагается новый подход к решению этой задачи ( см. главу 1). В ней выделяются такие свойства семейства подмножеств, чтобы полунепрерывное сверху многозначное отображение с образами из этого семейства, можно было аппроксимировать полунепрерывными снизу мультиотображепиями, образы которых также лежат в этом семействе. Если эти полунепрерывные снизу отображения обладают непрерывными сечениями, то эти сечения будут непрерывными аппроксимациями первоначального многозначного отображения.

Существенное место в теории многозначных отображений занимает проблема изучения операторных включений вида f(x) & Ф(ж). Ее частным случаем является задача о неподвижных точках многозначного отображения, т.е. точках, удовлетворяющих включению вида х G F(x). Операторные включения такого типа естественно возникают в теории игр и математической экономике, теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других актуальных вопросах современной математики. В настоящий момент в теории операторных включений и теории неподвижных точек многозначных отображений существуют два основных подхода - аппроксимативный и гомологический.

Первым исследованием, в котором аппроксимативный метод был применен в теории неподвижных точек мультиотображений, была работа С.Какутани [43]. В пей была доказана теорема, обобщающая классическую теорему Брауэра па случай полунепрерывных сверху мультиотображений с выпуклыми значениями в конечномерном пространстве.

Гомологический метод в теории неподвижных точек мультиотображений ведет свое начало от работы С.Эйлепберга и Д.Монтгомери [37]. В этой работе с помощью теоремы Виеториса об изоморфизме был построен первый топологический инвариант для мультиотображений с ацикличными значениями - число Лефшеца.

В дальнейшем построение ряда разнообразных топологических инвариантов мультиотображений различных классов и изучение па их основе неподвижных точек и точек совпадения осуществлялось в работах Х.Ф. Боненбласта и С. Карлипа, Ки Фана, И.Л. Гликсберга, А. Грапаса, И.В. Яворовского, А.Д. Мышкиса, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, В.Г.Звягина, В.В. Обуховского, П.Дзекка, Ж.М. Ласри и Р. Робера, Д.Ж. Бургипа, Л. Гурневича, 3. Кухарского, Ю. Брышевского, Ю.Б. Зелинского, Ю.Е. Гликлиха, 3. Дзедзея, В. Крышевского и многих других. Применения методов теории операторных включений и теории неподвижных точек мультиотображений в различных задачах теории управляемых систем и теории дифференциальных включений описаиы в недавних монографиях Л.Гурпевича, М.И.Каменского, В.В.Обуховского и П.Дзекка, С.Ху и Н.Папагеоргиу. Подробная библиография по этим вопросам содержится в обзорах [7], [8], [9], [10] и книге [11].

В настоящей диссертационной работе получает дальнейшее развитие аппроксимативный метод в теории операторных включений ( см. главы 2 и 3). В ней доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей, у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а образы многозначного отображения лежат в некотором фиксированном семействе подмножеств. Ранее теоремы биекции для различных классов многозначных векторных полей изучались в работах Ю.Г. Борисовича [4], [5], В.В.Обуховского [24], В.Т. Дмитриенко [20] и других. Опираясь на доказанную теорему, в диссертации вводится абстрактное понятие топологического инварианта, определенного на множестве мультиполей, доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта. Полученная теорема применяется для построения топологической степени мультиполей со значениями из АМН-системы.

Далее в диссертационной работе аппроксимативные методы применяются для изучения операторных включений вида а(х) € Ф(х), где а - замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф - многозначное отображение, являющееся композицией мультиотображеиия, имеющего "хорошие"значепия, и непрерывного однозначного отображения. Свойство значения быть "хорошим"означает, что это множество лежит в семействе подмножеств, описываемом некоторым набором аксиом (АМ-системе). Для таких включений доказывается теорема существования решений (точек совпадения) и выясняются некоторые свойства множества решений (неограниченность этого множества). В заключение полученные результаты применяются для исследования интегро-дифференциальной системы, которая может быть естественно интерпретируема как управляемая система с интегральной обратной связью.

Работа состоит из введения и трех глав.

Первая глава диссертации состоит из двух параграфов и посвящепа изучению таких семейств подмножеств метрического пространства, для которых теорему о существовании однозначных аппроксимаций у многозначных отображений с образами из этого семейства, можно получить из теоремы о существовании однозначных сечений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [17], [19].

Первый параграф этой главы является вспомогательным. Он посвящен изложению основных фактов теории многозначных отображений. В ней, следуя [6], [14], излагаются основные факты о непрерывных однозначных сечениях и е-аппроксимациях многозначных отображений с выпуклыми замкнутыми образами.

Основным в главе является второй параграф. В нем дается базовое в дальнейшей работе определение аппроксимационного семейства. Пусть Y - метрическое пространство.

1.2.1. Определение. Семейство подмножеств A(Y) пространства Y будем называть аппроксимационным, если существует отображение А : P(Y) —»• A(Y), сопоставляющее произвольному непустому подмнооюеству из Y некоторое подмно-э/сество из семейства A{Y), удовлетворяющее следующим условиям: (А1) для любого В G A(Y) множество А (Б) = В; (А2) если В,Се P(Y) и С С В, то \{С) С Л (В);

A3) для любого е > 0 существует S = 6(e) > 0 такое, что для любого множества В С Y выполнено включение \(Us(B)) С Ue(X(B)).

А4) для любого множества В С Y, любой точки у G Л (В) и любого е > 0, найдутся компактное подмножество В' С В и точка у' е Х(В') такие, что р(у, у') < г.

В этом параграфе приводятся примеры аппроксимационных семейств и изучаются их свойства. В частности, доказывается следующее утверждение.

1.2.6. Предложение. Пусть A(Y) - аппроксимационное семейство в пространстве Y. Тогда:

1) для любого е > 0 существует S > 0 такое, что если С £ A{Y) и В С Щ(С), то Л (В) С ие(С);

2) если многозначное отображение F : X —* P(Y) - полунепрерывно снизу, то многозначное отображение Fx : X A(Y), Fx(x) = X(F(x)) также полунепрерывно снизу.

Опираясь на это предложение, доказывается теорема об аппроксимации полунепрерывного сверху многозначного отображения полунепрерывными снизу.

1.2.7. Теорема. Пусть A(Y) - аппроксимационное семейство подмнооюеств в метрическом пространстве Y, пусть F : X —► A(Y) - полунепрерывное сверху многозначное отобраоюение, тогда для любого е > 0 существует полунепрерывная снизу е-аппроксгшация Fe : X —» A(Y) такая, что:

1 )для любой точки х G X выполняется включение F(x) С Fe(x); 2) образ Fe{X) С Л(F(X)).

Далее в этом параграфе дается определение системы Майкла и сильной системы

Майкла.

1.2.8. Определение. Будем говорить, что семейство подмножеств M(Y) является системой Майкла, если оно удовлетворяет следующему условию: (М) для любого метрического пространства X, полунепрерывного снизу многозначного отображения F : X —> M(Y), замкнутого подмножества А С X и непрерывного сечения f : А —> Y многозначного отображения Fсуществует непрерывное сечение g : X —*Y многозначного отображения F такое, что д\д — /.

1.2.14. Определение. Будем говорить, что система подмножеств M(Y) является сильной системой Майкла, если эта система одновременно является системой Майкла и аппроксимационным семейством в Y. Сильную систему Майкла будем обозначать AM(Y).

Сильные системы Майкла тесно связаны с проблемой существования однозначных е-аппроксимаций многозначных отображений. Из теоремы 1.2.7 и определения сильной системы Майкла вытекает следующая теорема.

1.2.17. Теорема. Пусть многозначное отобраэюение F : X —> AM(Y) полунепрерывно сверху, тогда для любого е > 0 у многозначного отображения F существуют однозначная непрерывная е-аппроксимация fe и fe(X) С Л(F(X)).

Вторая глава диссертации посвящена развитию аппроксимативного метода в теории операторных включений. В пей доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей, у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а образы многозначного отображения лежат в некотором фиксированном семействе подмножеств. Раннее теоремы биекции для некоторых классов многозначных векторных полей изучались в работах [4], [5], [20] и др.

Также в этой главе дается определение топологического инварианта на множестве многозначных векторных полей и доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [18], [1].

В этой главе дается следующее определение.

2.1.5. Определение. Семейство nodMHOOicecmeV(Y) назовем АМН-семейством, если:

HI) семейство V{Y) является сильной системой Майкла;

Н2) для любого компактного мноо/сества A G V(Y) множество А(Л) также является компактным;

НЗ) произвольная точка у £ Y принадлежит семейству V(Y), т.е. {у} G V(Y) для любой точки у E.Y,

Пусть X - метрическое пространство, Е - банахово пространство, v : X —* Е - фиксированное непрерывное собственное однозначное отображение, V(E) - АМН-семейство в Е. Пусть F : X —> V(E) - полунепрерывное сверху компактное многозначное отображение.

Рассмотрим многозначное собственное отображение Ф = v — F : X —► V(E). Такое отображение будем называть многозначным компактным векторным полем с главной частью v и компактной частью F.

Пусть А - замкнутое подмножество в X, а В - компактное подмножество в Е.

2.1.7. Определение. Будем говорить, что многозначное компактное векторное поле Ф допустимо относительно пар (X, А) и (Е, Е \ D), если Ф(Л) С (Е\В).

Обозначим Т>-р((Х, Л); (Е, Е\В)) множество допустимых многозначных компакт-пых векторных полей с главной частью v.

В этом множестве естественно вводится понятие гомотопности, которое порождает отношение эквивалентности векторных полей.

2.1.8. Определение. Пусть

Ф0 = v- Fo, Фх = v-Fxe V-p((X, А)-, (Е, Е \ В)).

Будем говорить, что поле Фо гомотопно полю Ф1, (Фо ~ Ф1), если существует полунепрерывное сверху компактное отображение К : X х [0,1] —> V(E) такое, что: а) Фо(ж) — v(x) — К(х, 0), Ф^ж) = v(x) — К(х, 1) для любого х € X; б) (v(x) - К(х, t))nB = 0 для любых х Е А и t Е [0,1].

Обозначим множество различных гомотопических классов Пр[(Х, Л); (Е, Е \ В)]. В силу свойства (НЗ) определения АМН-системы, однозначные непрерывные компактные отображения являются частными случаями полунепрерывных сверху компактных многозначных отображений. Следовательно, в множестве

VP((X,A)-,(E,E\B)) выделяется подмножество

V0((X,A);(E,E\B)), это множество допустимых однозначных непрерывных компактных векторных полей <р — v — / с главной частью v и компактной частью /.

В этом подмножестве Vo((X, Л); (Е, Е \ В)) также можно определить отношение гомотопности, предполагая, что К является однозначным компактным непрерывным отображением. Тогда множество V0((X,A)-,(E,E\ В)) также распадается на множество непересекающихся гомотопических классов [ф\о. Обозначим это множество По[(Х,А)-,(Е,Е\ В)}.

Возникает отображение вложения множества По[(Х, А); (Е,Е\ В)] во множество UV[(X,A)-(E,E\B)}.

2.2.1. Теорема. Отображение вложения г : Пор:, А)-, (Е, Е\В)] - ПР[(Х, Л); (Е, Е\В)], устанавливает биективное соответствие между этими множествами.

Теорема биекции играет основопологающую роль в построении топологических инвариантов для допустимых многозначных векторных полей. Рассмотрим абстрактную схему этого построения.

Пусть задано некоторое отображение

7:V0((X,A);(E,E\B))^G, где G - некоторое множество.

Будем называть отображение 7 топологическим инвариантом, если из того, что сРо, V?1 G T>q{(X, Л); (Е, Е \ В)) и (р0 ~ (ри вытекает, что 7(^0) = 7(^1)

Таким образом, топологический инвариант 7 порождает отображение множества гомотопических классов

По [(Х,АУ,(Е,Е\В)} в множество G. Это отображение будем обозначать той же буквой 7. Пусть Go некоторое подмножество в G.

2.3.1. Определение. Будем говорить, что множество Gо является существенным для топологического инварианта 7, если для любого поля </? G Т>о((Х, Л); (Е, Е\ В)), из того что 7(<р) G Go, вытекает, что В С <р(Х).

Аналогично можно определить понятие топологического инварианта на множестве

Vv((X,Ay,(E,E\B)).

Имеет место следующая теорема о продолжении и единстенности топологических инвариантов.

2.3.2. Теорема. Пусть топологический инвариант

7:V0((X,A);(E,E\B))^G такой, что множество Gq С G является для него существенным. Тогда существует единственный топологический инвариант

7 :VP((X,A);(E,E\B))-*G такой, что: a) если (р = v — / - однозначное векторное поле, то 7(<р) = 7(<р); b) если Ф = v-F е V<p((X,A)-,(E,E\ В)) и -у(Ф) е Go, то В С Ф(Х), т.е. множество Go также является существенным для 7.

В заключение этой главы рассматривается вопрос о вращении (топологической степени) многозначных векторных полей.

Пусть теперь задана V(E) - произвольная AMII-система в пространстве Е. Пусть F : U —► Т{Е) - компактное полунепрерывное сверху многозначное отображение. Рассмотрим компактное векторное поле Ф(ж) = x—F(x). Пусть это поле невырождено на Г, т.е. Ф(ж) ^ 0. Очевидно, что множество всех невырожденных векторных поле образуют множество

VP((U,T)-(E,E\ 0)). Тогда из теорем 2.2.1 и 2.3.2 вытекает следующее утверждение.

2.4.2. Теорема. Существует и единственнен топологический инвариант j:VP((U,ry,(E,E\0))^Z, который является продолжением 7 - вращения однозначных компактных векторных полей, причем множество Z \ 0 является для 7 существенным, т.е. если 7(Ф, U) ф 0, то существует точка х0 U такая, что 0 е Ф(ж0).

Опираясь на теорему 2.4.2, можно доказать следующий результат. Пусть V(E) - произвольная AMЯ-система в пространстве Е. Пусть U - ограниченное открытое множество, содержащее ноль пространства Е, F : U —► V(E) - компактное полунепрерывное сверху многозначное отображение. Обозначим Ф(ж) = х — F(x) - компактное векторное поле, порожденное F. Пусть Г = dU.

2.4.3. Теорема. Пусть для любой точки х G Г выполнено условие х $ A(F(x)U0), тогда отображение F имеет неподвижную точку.

Третья глава диссертации посвящена изучению одного класса операторных включений.Начиная с работы А.Д. Мышкиса [26] в целом ряде исследований (см., например, [12, 22, 31, 32, 33, 34, 35] и др.) аппроксимативиые методы применялись к различным классам певыпуклозиачиых многозначных отображений с целыо изучения их неподвижных точек и разрешимости операторных включений.

В работах [47], [15] изучались операторные уравнения вида а{х) — f(x), где а -линейный непрерывный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а / - вполне непрерывное отображение. Для этих уравнений доказывались теоремы существования решений и изучалась топологическая размерность множества решений этого уравнения.

В работе [13] были рассмотрены операторные включения вида а(х) е Ф(ж), где а - непрерывный линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф - многозначное вполне непрерывное отображение с выпуклыми замкнутыми образами. Для этих включений также доказывались теоремы существования решений и изучалась топологическая размерность множества решений этих включений.

В работе [16] изучались операторные уравнения вида а(х) = f(x), где а - замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а / - вполне непрерывное отображение.

В настоящей главе аппроксимативные методы применяются для изучения операторных включений вида а(х) € Ф(ж), где а - замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф - многозначное отображение, являющееся композицией многозначного отображения, имеющего "хорошие"образы, и непрерывного однозначного отображения. Свойство образа быть "хорошим"означает, что это множество лежит в семействе подмножеств, описываемом некоторым набором аксиом. Для таких включений доказывается теорема существования решений и выясняются некоторые свойства множества решений (неограниченность этого множества).

В заключение главы полученные результаты применяются для исследования одной иптегро-дифференциальной системы, которая может описывать управляемую систему с интегральной обратной связью.

Пусть X - метрическое пространство, Ф : X —► К(Е) - полунепрерывное сверху многозначное отображение.

3.1.3. Определение. Многозначное отображение Ф называется суперпозицион-но апроксимируемым многозначным отображением (SA-отображением), если существуют: метрическое пространство Y, правильная система Майкла AM(Y) в пространстве Y, полунепрерывное сверху многозначное отображение F : X —> AM(Y), непрерывное однозначное отображение р : Y —> Е такие, что для любой точки х £ X справедливо равенство Ф(ж) = p(F(x)).

Многозначное отображение Ф называется вполне непрерывным SA-отображением, если многозначное отображение F : X —* АМ(Е) является вполне непрерывным.

Для SA-отображений справедлива следующая теорема о неподвижных точках.

3.1.4. Теорема. Пусть Т - замкнутое выпуклое ограниченное подмножество банахова пространства Е, Ф : Т —> К(Е) - многозначное вполне непрерывное SA-отображение. Если Ф(Т) С Т, то отображение Ф имеет неподвижную точку.

Пусть теперь Е\,Е2- два банаховых пространства, а : D(a) С Е\ —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор. Число назовем нормой многозначного отображения а~1 : Е2 —► Cv(E\).

Рассмотрим оператор дифференцирования d : D[d) С С\ад —> С[а,ь], где 0(d) - множество непрерывно дифференцируемых вектор-функций со значениями в Rn. Очевидно, что оператор d является замкнутым сюръективпым оператором. Вычислим для него 11 11 [

3.2.1. Предложение. Число ||g?-1|| =

Пусть F : Е\ —* Р(Е2) - многозначное отображение. Нас будет интересовать разрешимость следующего включения: a = sup( а(х) G Ф(ж).

3.1)

Обозначим N(a, Ф) множество решений этого включения.

Пусть Y - метрическое пространство, многозначное отображение F : X С Ei —* С (У) полунепрерывно сверху.

3.2.5. Определение. Будем говорить, что отображение F - вполне непрерывно по модулю отобраэюения а (или а-вполне непрерывно), если для любого ограниченного множества А С Е2 и любого ограниченного множества В С X множество

F(B П а-1 (Л)) является компактом в Y.

3.2.7. Определение. Будем говорить, что многозначное SA-отображение Ф является а-вполне непрерывным, если а-вполне непрерывным является отображение F.

Справедлива следующая теорема.

3.2.8. Теорема. Пусть Ф : Е\ —» С(2?2) - многозначное SA-omo6paoicenue, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Ф - а-вполне непрерывно;

2) существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х G Е\ справедливо неравенство: max ||?/|| < с||ж|| + d. у€Ф(х)

Если с < ||ali||, то N(a, Ф) является непустым мноэюеством.

Справедлива теорема, характеризующее некоторые свойства множества N(a, Ф).

3.2.9. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.8 и dim(Ker(a)) > 0.

Тогда множество N(a, Ф) является неограниченным.

В третьем параграфе этой главы теоремы 3.2.8, 3.2.9 применяются для изучения одного класса интегро-дифференциальных систем.

Пусть I - отрезок на числовой прямой, Е0, Е - конечномерные банаховы пространства, многозначное отображение F : I х Eq —■► К(Е) таково, что F1) для каждого х € Е0 многозначное отображение F(-,x) : I —»• К(Е) имеет измеримое сечение;

F2) для п.в. t G I многозначное отображение F(t, •) : Eq —1► К(Е) полунепрерывно сверху;

F3) существуют такие суммируемые функции а,(3 :1 —> R1, что max \\y\\<a(t)\\x\\+f3(t) y6F(t,x) для всех х £ Eq и ii.b. t е I.

Пусть [0,Т] С R, / : [О, Г] х Rn х Rs —» Rn - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: ii) существуют такие положительные числа Ci, С2 и d, что для любых (t,u,v) е [О, Т] х Rn х Rs справедливо неравенство f{t,u,v)\\<c1\\u\\ + c2\\v\\ + d.

Пусть к : [0,Т] х [О, Т] —> L(RS,RS) - непрерывное отображение. Обозначим /Го = max \k(t,s)\.

Пусть многозначное отображение F : [О, Г] х Rn —> Kv(Rs) удовлетворяет условиям (Fl) - (F3).

В работе рассматривается следующая задача: x'(t) = f(t,x(t),y(t)) (3.4) h ye J (к oVF)(x), (3.5) о h где h G (О, Т]. Здесь J (к о VF)(x) - многозначный интегральный оператор Гаммеро штейна.

Решением задачи (3.4), (3.5) будем называть такую пару функций х G С([0, h],Rn), у € С([0, h],Rs), которые удовлетворяют (3.4) и (3.5) при любых t € [0, h].

Пусть / - оператор суперпозиции, порожденный отображением /, а многозначное отображение

F : С([0, h],Rn) Cv(C{[0,h],Rn) х C([0,h],Rs)), h определено условием F(x) = (ж, J(k о VF)(x)). о

Пусть d - оператор дифференцирования, где D{d) - множество непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [0, h].

3.3.10. Лемма. Задача (3-4), (3.5) эквивалентна следующему включению: d(x) е f(F(x)). (3.6)

Пусть многозначное отображене

Ф : C([0,h],Rn) C(C([0,h],Rn)), Ф(х) = f(F(x)).

3.3.11. Лемма. Отображение Ф является d-вполне непрерывным SA-отображением.

Применяя теорему 3.2.8 для доказательства существования решений включения (3.6), получим следующее утверждение.

3.3.12. Теорема. Если a) множество решений задачи (3.4), (3.5) определенных на отрезке [0, h] является непустым мноэ/сеством; b) множество траекторий {ж} этой системы является неограниченным в пространстве С([0, h], Rn). h

3-7) о то

1. Ал-Хашеми Х.Р. О топологической степени для одного класса многозначных векторных полей.//Х.Р. Ал-Хашеми. - Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. ТВМНА-2005. Воронеж, ВГУ. - 2005. - С. 12.

2. Ал-Хашеми Х.Р. Об одном операторном включении//Х.Р. Ал-Хашеми. Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Международная научная конференция. Воронеж, ВГУ. - 2005. - С.6.

3. Ал-Хашеми Х.Р. Об одной интегро-дифференциальной системе/ /Х.Р. Ал-Хашеми. Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крейна. Воронеж, ВГУ. - 2006. - С.6.

4. Борисович Ю.Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. I.//Ю.Г. Борисович. Геом. и теория особенностей в нелинейных уравнениях. Воронеж, ВГУ. - 1987. - С.24-46.

5. Борисович Ю.Г. Современный подход к топологических характеристик нелинейных операторов. II.//Ю.Г. Борисович. -Глобал. анал. и нелинейн. уравнения. Воронеж, ВГУ. 1988. -С.22-43.

6. Введение в теорию многозначных отображений/Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1986. - 102с.

7. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных точек многозначных отображений//Ю.Г. Борисович,Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. УМН, - 1980. - т.35, N 1. -С. 59-126.

8. Многозначные отображения.//Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. - 1982. - т. 19. - С. 127-229.

9. Многозначный анализ и операторные включения.//Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. Современные проблемы математики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Новейшие достижения. - 1986. - т.29. - С.151-211.

10. О новых результатах в теории многозначных отображений./ /Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1987. - т.25. - С.121-195.

11. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. Москва: Изд-во КомКнига, 2005. - 214с.

12. Борисович Ю.Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений. //Ю.Г. Борисович, Ю.Е. Гликлих. 7-я летняя мат. школа, 1969. - Киев, 1970. - С.283-294.

13. Гельман Б.Д. О топологической размерности множества решений операторных включений, содержащих сюръективные операторы//Б.Д. Гельман. Вестник ВГУ, серия физика, математика. - 2001. - N1. - С.75-80.

14. Гельман Б.Д. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений// Б.Д. Гельман. Вестник ВГУ, серия физика, математика. - 2002, N2. - С.50-55.

15. Гельман Б.Д. Об одном классе операторных уравнений//Б.Д. Гельман. Матем. заметки. - 2001. - т.70, N4. - С.544-552.

16. Гельман Б.Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама//Б.Д. Гельман. Функциональный анализ и его приложения. - 2004. - т.38, N 4.- С. 1-5.

17. Гельман Б.Д. Об аппроксимациях многозначных отображений// Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. Вестник ВГУ, серия физика, матем.- 2003. - N2. - С. 136-143.

18. Гельман Б.Д. О теореме биекции для одного класса многозначных отображений//Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. -Вестник ВГУ, серия физика, матем. 2004. - N2. - С. 184-189.

19. Гельман Б.Д. Об аппроксимациях многозначных отображе-ний//Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. Современные методы теории функций и смежные проблемы. (ВЗМШ-2005). - 2005. - С.70 .

20. Дмитриенко В.Т. Гомотопическая классификация одного класса многозначных отображений/В.Т. Дмитриенко. Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 27 мая 1980, N2092-80. - 18с.

21. Канторович JI.B. Функциональный анализ/ JI.B. Канторович, Г.П. Акилов. М: Наука. - 1977.

22. Корпев С.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений.//С.В. Корнев, В.В. Обуховский. Труды матем. ф-та (новая серия). Воронеж, ВорГУ. - 2004. - N8. - С.56-74.

23. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа./М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М: Наука, 1975.

24. Обуховский В.В. К определению вращения одного класса компактно сужаемых многозначных векторных полей// В.В. Обуховский, Е.В. Горохов. Тр. Мат. фак. Воронеж, ун-т. - 1974.- N 12. С. 45-54.

25. Реповш Д. Теория Э. Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения.//Д.Реповш, П.В. Семенов. Успехи матем. наук. - 1994. - т.54, N6. - С.49-80.

26. Мышкис А.Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории//А.Д. Мышкис.- Матем. сб. 1954. - т.34(76), N3. - С.525-540.

27. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования//А.Ф. Филиппов. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матам., механ., астрон., физ., химии. - 1959. - N 2. - С. 25-32.

28. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частыо//А.Ф. Филиппов. Матем. сб. - 1960. - т. 51, N 1. - С.99-128.

29. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью./А.Ф. Филиппов. М: Наука, 1985. - 223с.

30. Щепин Е.В. Селекторы фильтраций многозначных отображе-ний//Е.В. Щепин, Н.Б. Бродский. Труды мат. инст. Стекло-ва, в.212. - с.220-240.

31. Anichini G. Approximation of nonconvex set valued mappings. G. Anichini, G. Conti, P. Zecca. Boll. Un. Mat. Ital. С (6). -1985, N4. - P. 145-154.

32. Anichini G. A further result on the approximation of nonconvex set valued mappings. //G. Anichini, G. Conti, P. Zecca. Boll. Un. Mat. Ital. С (6). - 1985, N 4. - P. 155-171.

33. Anichini G. Approximation and selection for nonconvex multifunctions in infinite-dimensional spaces//G. Anichini, G. Conti, P. Zecca. Boll. Un. Mat. Ital., В (7). - 1990, N 4. - P.410-422.

34. Bader R. On the extension of approximations for set-valued maps and the repulsive fixed points.// R. Bader, G. Gabor, W. Kryszewski. Boll. Un. Mat. Ital. В (7). - 1996, N 10. - P. 399-416.

35. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values.// A.Bressan, G. Colombo. Studia Math. - 1988, V.90, N 1. - P.69-86.

36. Cellina A. Approximation of set-valued functions and fixed-point theorems// A. Cellina. Ann. math. Рига. Appl. - 1969, v.82. -P. 17-24.

37. Eilenberg S., Montgomery D. Fixed point theorems for multivalued trasformations// S. Eilenberg, D. Montgomery. -Amer. J. Math. v. 68. - P.214-222.

38. Gorniewicz L. Fixed points of contractive multivalued maps// L. Gorniewicz, S.A. Marano, M. $losarski. Proc. Amer. Math. Soc.- 1996, V.124. P.2675-2683.

39. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings./L. Gorniewicz. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht-Boston-London. - 1999.

40. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory//A. Granas, J. Dugundji. Springer-Verlag, New York, 2003.

41. Cellina A. Approximation of set-valued functions and fixed-point theorems//A. Cellina. Ann. math. Рига. Appl. - 1969, v.82. -P. 17-24.

42. Repovs D., Semenov P.V. Continuous Selections of Multivalued Mappings. Mathematics and its Applications/D. Repovs, P.V. Semenov N 455, Kluwer, Dordrecht. - 1998.

43. Kakutani S. A generalization of fixed point theorem//S. Kakutani. Duke Math. J. - 1941, N 8. - P. 457-459.

44. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Speces./ M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. De Gruyter Ser. in Nonlinear Analysis and Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-New York. - 2001.

45. Kryszewski W. Topological and approximation methods of degree theory of set-valued maps./W. Kryszewski. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 336 (1994), 1-101.

46. Michael E. Continuous selections, 1// E. Michael. Ann. of Math.- 1956, V.63, N 2. P. 361-382.

47. Ricccri В. On the topological dimension of the solution set of a class of nonlinear equations//B. Ricceri. C.R. Acad. Sci., Paris. - 1997, v.325. - P.65-70.

48. Rybiriski L.E. Continuous selections and variational systems//L.E. Rybinski. Wyzsa Szkola Inzyner., Instytut Matem., Zielona Gora, 1992.